高三数学考前赢分30天_第26天

2014年高三数学考前赢分第26天

核心知识

1．导数的定义：设函数 y=f(x)在区间（a,b ）上有定义, x 0 ∈（a,b ），△x 无限趋近于0

A ，则称函数f(x)在x=x 0处的可导，并称该常数是A 为函数f(x)在x=x 0处的导数，记作)(0/x f

3．(1)导数的几何意义：函数y=f(x)在x 0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点（x 0，y 0）处的切线的斜率，即斜率为)(0/x f 。过点P 的切线方程为：y- y 0=)(0/x f (x- x 0).

(2) 导数的物理意义：函数 S=s(t) 在点 t0 处的导数 s '(t0), 就是当物体的运动方程为 S=s(t) 时, 物体运动在时刻 t0 时的瞬时速度 v, 即: v=s '(t0). 设 v=v(t) 是速度函数, 则 v '(t0)表示物体在时刻 t=t0 时的加速度.

4．几种常见函数的导数：

0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=；

；x x e e =)'(；a a a x x ln )'(=。 5．导数的四则运算法则：

)()()]()(['''x v x u x v x u ±=±；[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+；

[()]'()Cu x Cu x '=；6．（理）复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u ) ϕ′(x ).

7． 函数的单调性

（1） 设函数y=f(x)在某个区间内可导，若)(/x f >0，则f(x)为增函数；若

)(/x f <0，则f(x)为减函数。

（2） 求可导函数单调区间的一般步骤和方法。

①确定函数f(x)的定义区间； ②求)(/x f ，令)(/

x f =0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；

③把函数f(x)的间断点[即包括f(x)的无定义点]的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间； ④确定)(/x f 在各小区间内的符号，根据)(/x f 的符号判定f(x)在每个相应小开区间内的增减性。

8． 可导函数的极值

（1）极值的概念

设函数f(x)在点x 0附近有定义，且若对x 0附近所有的点都有f(x)f(x 0)），则称f(x 0)为函数的一个极大（小）值，称x 0为极大（小）值点。

（2）求可导函数f(x)极值的步骤 ①求导数)(/x f ；②求方程)(/x f =0的根；③检验)(/x f 在方程)(/x f =0的根的左右的符号，如果根的左侧为正，右侧为负，则函数在此处取得极大值；如果在根的左侧为负，右侧为正，则函数在此处取得极小值。

9． 函数的最大值与最小值

a) 设y= f(x)是定义在区间[a,b]上的函数，并在（a,b ）内可导，求函数在[a,b]上

的最值可分两步进行：

①求y= f(x) 在（a,b ）内的极值；②将y= f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

b) 若函数f(x)在[a,b]上单调递增（或递减），则f(a)为函数的最小值（或最大值），

f(b)为函数的最大值（或最小值）。

10．（理）定积分定义 设函数 )(x f 在区间],[b a 上有定义，把 [a,b] 等分成 n 个小闭

区间，每个小区间的长度为△ ，依次为12,,,,,i n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,作和 ()()()()12n i n S f x x f x x f x x f x x =∆+∆+⋅⋅⋅+∆+⋅⋅⋅+∆

如果△x 无限趋近于0（亦即n 趋向于+∞）时，S n 无限趋近于常数S ，那么称常数S 为函数)(x f 在],[b a 的定积分，记作()b

a S f x dx =⎰ 其中)(x f 称为积分函数， ],[

b a 称为积分区间，a 称为积分下限,b 称为积分下限。

11．（理）定积分几何意义：在区间],[b a 上曲线与 x 轴所围图形的代数和（即x 轴上方的面积减去x 轴下方的面积）。

12．（理）微积分基本定理 对于被积函数 )(x f ，如果()()',F x f x =则 ()()()b

a f

x dx F b F a =-⎰ 解题规范 1 设函数()32()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数。 （Ⅰ）求b 、c 的值。 （Ⅱ）求()g x 的单调区间与极值。

● 标准答案

解析：（Ⅰ）∵()32f x x bx cx =++，∴()2

32f x x bx c '=++。从而322()()()(32)g x f x f x x bx cx x bx c '=-=++-++＝32(3)(2)x b x c b x c +-+--是一个奇函数，所以(0)0g =得0c =，由奇函数定义得3b =； （Ⅱ）由（Ⅰ）知3()6g x x x =-，从而2

()36g x x '=-，由此可知，

是函数()g x 是单调递增区间；

是函数()g x 是单调递减区间；

()g x 在，()g x 在

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