奇异值分解在图像压缩中的应用

图像压缩与矩阵奇异值分解

0 引言

矩阵不仅是各数学学科，而且也是许多理工学科的重要的数学工具。就起本身的研究而言，矩阵理论和线性代数也是极富创造性的领域。他们的创造性极大的推动和丰富了其他众多学科的发展，血多新的理论，方法和技术的诞生于发展就是矩阵理论的应用和推广。所以说矩阵理论在物理，力学，信号与信息处理，通信，电子，系统，控制，模式识别，土木，电机，航空和航天等众多学科中式最富有创造性和灵活性，并起着不可代替作用的数学工具。

1 矩阵的奇异值分解

在介绍矩阵的奇异值分解的时候，我们必须先得知道两个重要的的引理。

(1)对于任何一个矩阵A 都有rank(AA H )=rank(A H A)=rankA.

(2)对于任何一个矩阵A 都有A H A 与AA H 是半正定Hermite 矩阵。

在这里对于这两个引理就不做详细的证明了。

在这里，于是就定义了,A H A 的正特征值λi ，AA H 的真特征值u i ，称 αi =λi =u i (i=1,2,……，r) 是A 的正奇异值，简称奇奇异值。

现在介绍完一些相关的概念后，我们再来介绍一下矩阵的奇异值分解的定理及相关的证明，定理如下：

若A ∈C R M*N ，δ1≥δ2≥……≥δr ，是A 的r 个正奇异值，则存在m 阶酋矩阵U 和n 阶酋矩阵V ，满足

A=UDV H

=U ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆000V H 其中，∆=diag(δ1，

……，δr)，U 满足U H AA H U 是对角矩阵，V 满足V H A H A V 时对角矩阵。

这里证明如下：

AA H 是Hermite 矩阵，故存在m 阶酋矩阵U ，满足

令U=（U1，U2）,其中U1是m ⨯r 矩阵，U2是m ⨯(n-r)j 矩阵，则

比较上式两端可以知道

U 1H AA H U 1=∆∆H (1) U 1H AA H U 2=0 (2)

U 2H AA H U 1=0 (3) U 2H AA H U 2=0 (4)

令V1=A H U 1∆-H ,则

V 1H V 1=∆-1U 1H AA H U 1∆-H =Er,所以V1是n ⨯r 的次酋矩阵，V1∈Ur n*r ，于是存在V2使得V=（v1，v2）为n 阶酋矩阵，所以

这里U 1H A V 1=U 1H AA H U1∆-H =∆∆H ∆-H ,又因0=V 1H V 2=∆-1U 1H A V 2，故U 1H A V 2=0，又（4）得U 2H A=0，所以U 2H A V 1=0。最后的得到

A=UDV H =U ⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡∆000V H 。 3 图像压缩传输

奇异值分解在图像处理中有着极其重要的应用。比如说在这里有一副图像有n ⨯n 个像素，如果将这个n 2个数据一起传输，那么往往会显得数据量太大，这样会导致网络的拥塞，那我们就必须想个方法来解决这个问题。那么我们可以用图像压缩来传输。这样不光是能够传输较少的数据，而且在接收端还能够利用这些传输的数据重构原图像。

在这里我们不妨就设n ⨯n 矩阵A 表示要传输的原n ⨯n 个像素。假定对矩阵A 进行奇异值分解，便得到A=UDV H ，其中，在这里我们把奇异值按大到小的顺序排列。如果从中选择k 个大奇异值以及与这些奇异值对应的左和右奇异向量逼近原源图像，便可以一共使用k(2n+1)个数值代替原来的n ⨯n 个图像数据。这k(2n+1)个被选中的新数据时矩阵A 的前k 个奇异值，n ⨯n 左奇异值向量矩阵U 的前k 列和n ⨯n 右奇异向量矩阵V 的前k 列的元素。比率ρ=)

12(k n n +⨯n 称为图像的压缩比。显然，被选中的大奇异值的个数k 应该满足条件k(2n+1)

k<1

n 2n n +⨯。因此，我们在传送图像的过程中，就无需去传送n ⨯n 个原始的数据，而只需要传送k(2n+1)个有关奇异值和奇异值向量的数据即可。在接收端，在接受到奇异值σ1，σ2，……，σk 以及左奇异向量u 1，u 2，……，u k 和右奇异向量v 1，v 2……，v k 后，即可通过截尾的奇异值分解公式

A=∑=k

1i σi u i v i T

重构出原来的图像。

并且我们通过上面还可以知道，若k 的值偏小，既是压缩比ρ偏大，则重构的图像的质量有可能不能令人满意。反之，过大的k 值又会使得压缩比过小，降低图像压缩和传送的效率。所以，需要根据不同种类的图像，选择合适的压缩比，以兼顾图像传送的效率和重构质量。这里我们举一个实例如下：比如说有个图像的像素矩阵为

A=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡126234121 其AA T 和A T A 的特征向量矩阵为

U=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------2973.06275.07195.06005.04629.06519.07422.06259.02392.0，V= ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡------8441.05355.00238.04665.07120.05248.02640.04541.08509.0， 奇异值矩阵

D=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡2882.00000950.20004576.8 现在经过分解后，包含9个元素的矩阵A 可以只用含有3个元素的矩阵D 来表示。最后在接收端，由矩阵的重构公式可得

A'=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0708.19551.10020.68505.10948.39958.31714.18913.10048.1 于是我们就得到了近似的原像素矩阵。从这里看出矩阵的奇异值分解大大降低了图像的数据量传输率。

四 总结

矩阵理论的应用甚广，在这里矩阵的奇异值的分解除了图像压缩以外，还有很多方面的应用，例如静态系统的建模，阶数的确定等等。这些还都只是矩阵理论中的奇异值分解的应用，所以说矩阵理论涉及范围相当的广泛，所以说我们要学好这门学科，利用这些矩阵理论的知识解决实际的问题。本文中只是利用矩阵的奇异值的分解，对图像的传送做了数据量传送的减少，这样优化了整个传送系统。更有利于数据的传送。

参考文献：

1.张贤达.矩阵分析与应用.清华大学出版社.

2.史昌荣，魏丰.矩阵分析.北京理工大学出版社.

3.聂守平,魏晓燕.数字图像的奇异值分解.南京师大学报.