计数原理1(附有解析)
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（7）先在个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有，留下三个空位， 甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱 排的，即
（8）不考虑限制条件有，而甲排头有，乙排当中有，这样重复了甲 排头，乙排当中一次，即
（3）， 求这样的集合的集合个数. 2．计算：（1）； （2） （3） 3. 个排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？ （1）甲排头， （2）甲不排头，也不排尾， （3）甲、乙、丙三人必须在一起， （4）甲、乙之间有且只有两人， （5）甲、乙、丙三人两两不相邻， （6）甲在乙的左边（不一定相邻）， （7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序， （8）甲不排头，乙不排当中。
答案 一、选择题： 1.C。两端排男生有
，把女生看做一个整体和剩下两个男生全排列有
，故不同的排法有
。(新教材：
。) 2.A。设女生有x名，则x≤3，且当x=3，其方法数不等于16，故 x≤2，不同的选法有，
=16，解得x=2。 3.D。不同的组成方法有
=28+8=36。 4.B。选甲不选乙：
-4=16(种)。 11.B． 从到共计有个正整数，即
二、填空题
1.420。不同的选配方法有
=420。 2.2。设女生有x人，则男生有6-x，显然x<3。∴
=16，解之得x=2。 3.78。慢车B在3道上，快车A在1道上有
种方法，慢车、快车都不在1、3道上，有
种方法，故共有
=78(种)。 4.720。∵5=1+1+3=1+2+2两种情况，每种情况有3种分法，共6种抽 法，分到5所学校每校一人，共有
种方法，故不同的支教方案有6
=720(种)。 5.18。取0时，有2条，不取0时有(
-4)条，故所求直线有
-4+2=18条。 三、解答题 1．解：中有元素
。 2．解：（1）原式。
（2）原式。 另一方法：
（3）原式 3.解：（1）甲固定不动，其余有，即共有种；
（2）甲有中间个位置供选择，有，其余有，即共有种； （3）先排甲、乙、丙三人，有，再把该三人当成一个整体，再加上
=30(个)。 7.D。以既会英语又会日语的人进行分类：这两个人有1人参加英语 翻译，2人都参加英语翻译，2人都不参加英语翻译，因此不同的选法有
=27(种)。 8.D。四位数的四个数字之和能被9整除，则这个四位数能被9整 除。∵3+4+5+6=18，能被9整除，∴不同的四位数有
=24(个)。 9.C。由三个数字组成四位数，且每个数字都用上，因此必有一个 数字被重复使用，当不重复使用数字排首位时，这样的四位数有
则不同的建桥方案共有( )。 (A)8种 (B)12种 (C)16种 (D)20种 11.且,则乘积等于 A． B． C． D． 二、填空题：把答案填在题中的横线上。 1.(福州)从5名男生和4名女生中，选出3个分别承担三项不同的工 作，要求3人中既有男生又有女生，则不同的选配方法共有_____(用数 字作答)种。 2.(黄冈)某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少 有1名女生入选时的不同的选Hale Waihona Puke Baidu有16种，则小组中的女生数目为____。 3.(郑州)有5列客车停在某车站并行的5条火车轨道上。若快车A不 能停在第3道上，慢车B不能停在第1道上，则5列客车的停车方法共有 _____种(用数字作答)。 4.(重庆)某区对口支援西部贫困山区教育，需从本区三所重点中学 抽调5名教师，每所学校至少抽调1人到山区5所学校支援，每校一人， 则有_____种支教方案。 5.(沈阳)若直线方程Ax+By=0的系数A，B可以从0，1，2，3，6，7 这六个数字中取不同的数而得到，则这样的方程表示的不同直线的条数 是_____。 三、解答题 1．集合中有个元素，集合中有个元素，集合中有个元素，集合满足 （1）有个元素； （2）
1.(西安)4个男生与3个女生站成一排，如果两端不站女生且3个女生必 须相邻的排法有( )。 (A)144种 (B)288种 (C)432种 (D)576种 2.(海淀)某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1 名女生入选时的不同选法有16种，则小组中的女生数目为( )。 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 3.(郑州)高中一年级8个班协商组成年级篮球队，共需10名队员，每个 班至少要出1名，不同的组成方式的种数是( )。 (A)16 (B)24 (C)28 (D)36 4.(湖南)从6名短跑运动员中选出4人参加4×100m接力赛，如果甲、乙 两人都不跑第一棒，那么不同的参赛方案有( )。 (A)180种 (B)240种 (C)300种 (D)360种 5.(西城)某乒乓球队共有男女队员18人，现从中选出男女队员各一人组 成一对双打组合。由于在男队员中有两人主攻单打项目，不参与双打组 合，这样一共有64种组合方式，则乒兵球队中男队员的人数为( )。 (A)10人 (B)8人 (C)6人 (D)12人 6.(东北三校)在平面直角坐标系中，x轴正半轴上有5个点，y轴正半轴 上有3个点，将x轴上的5个点和y轴上的3个点连成15条线段，这15条线 段在第一象限内的交点最多有( )。 (A)30个 (B)35个 (C)20个 (D)15个 7.(泉州)某企业现有外语人员7人，其中3人只会英语，2人只会日语， 还有2人既会英语又会日语，现该企业要举行商务活动，需要从中抽调3 名英语，2名日语翻译，共有多少种选法。( )。 (A)60 (B)45 (C)42 (D)27 8.(天津)用1、2、3、4、5、6六个数字组成没有重复数字的四位数中， 是9的倍数的共有( )。 (A)360个 (B)180个 (C)120个 (D)24个 9.(南宁)用1、2、3三个数字组成一个四位数，规定这三个数字必须同 时使用，且同一数字不能相邻地出现，这样的四位数有( )。 (A)6个 (B)9个 (C)18个 (D)36个 10.(黄冈)如图，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四 个小岛连接起来，
，当重复数字排首位时有
，故共有不同的四位数有
=18(个)。 10.C。四个小岛中每两岛建一座桥共建六座桥，其中建三座桥连接 四个小岛符合要求的建桥方案是只要三座桥不围成封闭的三角形区域符 合要求，如桥AC，BC，BD符合要求，而围成封闭三角形不符合要求，如 桥AC，CD，DA，不符合要求，故共有
另四人，相当于人的全排列，即，则共有种；
（4）从甲、乙之外的人中选个人排甲、乙之间，有，甲、乙可以交 换有， 把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于人的全排列， 则共有种；
（5）先排甲、乙、丙之外的四人，有，四人形成五个空位，甲、 乙、丙三人排 这五个空位，有，则共有种；
（6）不考虑限制条件有，甲在乙的左边（不一定相邻），占总数的 一半， 即种；
=27，不选甲、乙有
=24，选乙不选甲：
=72。甲、乙都选上有
=72，故共有72+72+72+24=240。 5.A。设有男生x人，则女生(18-x)人。 ∴
=64。 ∴(18-x)(x-2)=64，解之x=10。 6.A。为使线段的交点在第一象限，则需在x轴上任找两点和y轴上 任找2个点，这四个点对应着两线段在第一象限的一个交点，故交点最 多个数有
（8）不考虑限制条件有，而甲排头有，乙排当中有，这样重复了甲 排头，乙排当中一次，即
（3）， 求这样的集合的集合个数. 2．计算：（1）； （2） （3） 3. 个排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？ （1）甲排头， （2）甲不排头，也不排尾， （3）甲、乙、丙三人必须在一起， （4）甲、乙之间有且只有两人， （5）甲、乙、丙三人两两不相邻， （6）甲在乙的左边（不一定相邻）， （7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序， （8）甲不排头，乙不排当中。
答案 一、选择题： 1.C。两端排男生有
，把女生看做一个整体和剩下两个男生全排列有
，故不同的排法有
。(新教材：
。) 2.A。设女生有x名，则x≤3，且当x=3，其方法数不等于16，故 x≤2，不同的选法有，
=16，解得x=2。 3.D。不同的组成方法有
=28+8=36。 4.B。选甲不选乙：
-4=16(种)。 11.B． 从到共计有个正整数，即
二、填空题
1.420。不同的选配方法有
=420。 2.2。设女生有x人，则男生有6-x，显然x<3。∴
=16，解之得x=2。 3.78。慢车B在3道上，快车A在1道上有
种方法，慢车、快车都不在1、3道上，有
种方法，故共有
=78(种)。 4.720。∵5=1+1+3=1+2+2两种情况，每种情况有3种分法，共6种抽 法，分到5所学校每校一人，共有
种方法，故不同的支教方案有6
=720(种)。 5.18。取0时，有2条，不取0时有(
-4)条，故所求直线有
-4+2=18条。 三、解答题 1．解：中有元素
。 2．解：（1）原式。
（2）原式。 另一方法：
（3）原式 3.解：（1）甲固定不动，其余有，即共有种；
（2）甲有中间个位置供选择，有，其余有，即共有种； （3）先排甲、乙、丙三人，有，再把该三人当成一个整体，再加上
=30(个)。 7.D。以既会英语又会日语的人进行分类：这两个人有1人参加英语 翻译，2人都参加英语翻译，2人都不参加英语翻译，因此不同的选法有
=27(种)。 8.D。四位数的四个数字之和能被9整除，则这个四位数能被9整 除。∵3+4+5+6=18，能被9整除，∴不同的四位数有
=24(个)。 9.C。由三个数字组成四位数，且每个数字都用上，因此必有一个 数字被重复使用，当不重复使用数字排首位时，这样的四位数有
则不同的建桥方案共有( )。 (A)8种 (B)12种 (C)16种 (D)20种 11.且,则乘积等于 A． B． C． D． 二、填空题：把答案填在题中的横线上。 1.(福州)从5名男生和4名女生中，选出3个分别承担三项不同的工 作，要求3人中既有男生又有女生，则不同的选配方法共有_____(用数 字作答)种。 2.(黄冈)某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少 有1名女生入选时的不同的选Hale Waihona Puke Baidu有16种，则小组中的女生数目为____。 3.(郑州)有5列客车停在某车站并行的5条火车轨道上。若快车A不 能停在第3道上，慢车B不能停在第1道上，则5列客车的停车方法共有 _____种(用数字作答)。 4.(重庆)某区对口支援西部贫困山区教育，需从本区三所重点中学 抽调5名教师，每所学校至少抽调1人到山区5所学校支援，每校一人， 则有_____种支教方案。 5.(沈阳)若直线方程Ax+By=0的系数A，B可以从0，1，2，3，6，7 这六个数字中取不同的数而得到，则这样的方程表示的不同直线的条数 是_____。 三、解答题 1．集合中有个元素，集合中有个元素，集合中有个元素，集合满足 （1）有个元素； （2）
1.(西安)4个男生与3个女生站成一排，如果两端不站女生且3个女生必 须相邻的排法有( )。 (A)144种 (B)288种 (C)432种 (D)576种 2.(海淀)某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1 名女生入选时的不同选法有16种，则小组中的女生数目为( )。 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 3.(郑州)高中一年级8个班协商组成年级篮球队，共需10名队员，每个 班至少要出1名，不同的组成方式的种数是( )。 (A)16 (B)24 (C)28 (D)36 4.(湖南)从6名短跑运动员中选出4人参加4×100m接力赛，如果甲、乙 两人都不跑第一棒，那么不同的参赛方案有( )。 (A)180种 (B)240种 (C)300种 (D)360种 5.(西城)某乒乓球队共有男女队员18人，现从中选出男女队员各一人组 成一对双打组合。由于在男队员中有两人主攻单打项目，不参与双打组 合，这样一共有64种组合方式，则乒兵球队中男队员的人数为( )。 (A)10人 (B)8人 (C)6人 (D)12人 6.(东北三校)在平面直角坐标系中，x轴正半轴上有5个点，y轴正半轴 上有3个点，将x轴上的5个点和y轴上的3个点连成15条线段，这15条线 段在第一象限内的交点最多有( )。 (A)30个 (B)35个 (C)20个 (D)15个 7.(泉州)某企业现有外语人员7人，其中3人只会英语，2人只会日语， 还有2人既会英语又会日语，现该企业要举行商务活动，需要从中抽调3 名英语，2名日语翻译，共有多少种选法。( )。 (A)60 (B)45 (C)42 (D)27 8.(天津)用1、2、3、4、5、6六个数字组成没有重复数字的四位数中， 是9的倍数的共有( )。 (A)360个 (B)180个 (C)120个 (D)24个 9.(南宁)用1、2、3三个数字组成一个四位数，规定这三个数字必须同 时使用，且同一数字不能相邻地出现，这样的四位数有( )。 (A)6个 (B)9个 (C)18个 (D)36个 10.(黄冈)如图，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四 个小岛连接起来，
，当重复数字排首位时有
，故共有不同的四位数有
=18(个)。 10.C。四个小岛中每两岛建一座桥共建六座桥，其中建三座桥连接 四个小岛符合要求的建桥方案是只要三座桥不围成封闭的三角形区域符 合要求，如桥AC，BC，BD符合要求，而围成封闭三角形不符合要求，如 桥AC，CD，DA，不符合要求，故共有
另四人，相当于人的全排列，即，则共有种；
（4）从甲、乙之外的人中选个人排甲、乙之间，有，甲、乙可以交 换有， 把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于人的全排列， 则共有种；
（5）先排甲、乙、丙之外的四人，有，四人形成五个空位，甲、 乙、丙三人排 这五个空位，有，则共有种；
（6）不考虑限制条件有，甲在乙的左边（不一定相邻），占总数的 一半， 即种；
=27，不选甲、乙有
=24，选乙不选甲：
=72。甲、乙都选上有
=72，故共有72+72+72+24=240。 5.A。设有男生x人，则女生(18-x)人。 ∴
=64。 ∴(18-x)(x-2)=64，解之x=10。 6.A。为使线段的交点在第一象限，则需在x轴上任找两点和y轴上 任找2个点，这四个点对应着两线段在第一象限的一个交点，故交点最 多个数有