2013年高考分类题库考点17 正弦定理和余弦定理

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考点17 正弦定理和余弦定理

一、选择题

1.（2013·北京高考文科·Ｔ5）在△ABC 中，a=3,b=5,sinA=13

,则sinB=( )

A.15

B.59

D.1 【解题指南】已知两边及一边的对角利用正弦定理求解。 【解析】选

B 。由正弦定理得355,,sin 1sin sin sin 93

所以所以===

a b B A B

B 。 2.（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ4）AB

C ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6

B π=，4

C π

=

，则ABC ∆的面积为（ ）

A.2

1

C.2

1 【解题指南】利用正弦定理和三角形的面积公式可得 【解析】选B.因为,64B C ππ

==,所以712A π=

.由正弦定理得sin sin 64

b c ππ=

，解得c =

117sin 22212

bc A π

=⨯⨯.

因为711

sin

sin())123422222

πππ=+=+=+，

所以11

sin )12

2

bc A =+=，选B. 3.（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ10）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，02cos cos 232=+A A ，7=a ，c=6，则=b （ ）

A.10

B.9

C.8

D.5

【解题指南】由02cos cos 232=+A A ，利用倍角公式求出A cos 的值，然后利用正弦定理或余弦定理求得b 的值.

【解析】选D.因为02cos cos 232=+A A ，所以01cos 2cos 2322=-+A A ，解得

25

1cos 2=

A ， 方法一:因为△ABC 为锐角三角形，所以5

1cos =A ,5

6

2sin =A . 由正弦定理

C c

A a sin sin =

得，C

sin 65

627=. 35612sin =

C ，35

19

cos =C .又)(C A B +-=π， 所以C A C A C A B sin cos cos sin )sin(sin +=+=，

17565035612513519562sin =⨯+⨯=

B .由正弦定理B b A a sin sin =得, 175

6

505627b =，解得5=b .

方法二:由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，51

cos =A ，则495

112362=⨯-+b b ，解得

5=b

4.（2013·陕西高考文科·Ｔ9）【备注：（2013·陕西高考理科·Ｔ7）与之题干相同】

设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a, b, c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 ( ) A. 直角三角形

B. 锐角三角形

C. 钝角三角形

D. 不确定

【解题指南】在含有边角关系式的三角函数恒等变形中,利用正弦定理将边的关系式化为角的正弦式或利用余弦定理将余弦式化为边的关系式,这是判断三角形形状的两个转化方向.

【解析】选A.因为bcosC+ccosB=asinA ,所以由正弦定理得 sinBcosC+sinCcosB=sin 2A,所以sin(B+C)=sin 2A, sinA=sin 2A, sinA=1,所以三角形ABC 是直角三角形.

5.（2013·安徽高考文科·Ｔ9）【备注：（2013·安徽高考理科·Ｔ12）与之题干相同】

设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,则3sinA =5sinB ,则角C= ( ) A.

π3 B. 2π3

C. 3π4

D. 5π

6 【解题指南】 根据正弦定理、余弦定理进行解三角形计算。

【解析】选B.由题设条件可得523

3573⎧

=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩

a b

b c a a b c b

，由余弦定理得

222

2

2

2

257

()()133cos 52223

+-+-∠===-⨯b b b a b c C ab b ，所以2π∠C =

3。 6. （2013·山东高考文科·Ｔ7）ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若

2B A =，1a =

，b =，则c =（ ）

A. B. 2

D.1

【解析】选B.由A B 2=,则A B 2sin sin =，由正弦定理知

B

b

A a sin sin =

,即A A A B A cos sin 232sin 3sin 3sin 1===,所以cosA=23，所以A=6π，3

2π

==A B ，所以

2

π

π=

--=A B C ，所以431222=+=+=b a c ，c=2.

7.（2013·湖南高考理科·Ｔ3）在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b .

若2sin ,a B A =则角等于（ ）