12函数极限的概念PPT课件

作
lim
x x0
f
(x)
A
(或当x
x0时,
f
(x)
A)
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极限存在的充要条件
左,右极限统称为函数 f ( x )的单侧极限.
显然 x → x0 时, f ( x ) 的极限存在的充分 必要条件是： f ( x ) 在 x0 处的左、右极限 存在且相等 . 即
lim f ( x) A
x x0
数 f ( x)无限地趋近于一个确定的常数 A，那么
就称常数 A当 x （或 x ）时函数
f ( x)的极限,记作
lim f ( x) A (或 lim f ( x) A)
x
x
例如 lim arctan x , lim e x 0
x
2 x
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2. x 时函数的极限
的面积接近？
3、最终内接正多边形面积能否与外接圆
的面积相等？
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二、数列的极限
1.数列的定义
按正整数1,2,3,编号依次排列的一 列数 y1, y2 ,, yn , 称为无穷数列,简称数 列，记为 { yn} .其中的每个数称为数列的 项, yn 称为通项(一般项).
例如 1, 1 , 1 , 1 ,, 1 , { 1 }
如果当| x | 无限增大（即 x ）时，函
数 f ( x)无限地趋近于一个确定的常数 A，那么
就称常数 A当 x 时函数 f ( x)的极限,记作
lim f ( x) A
x
例如
1 lim 0 x x
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x x0，意味着 x 从 x0 附近某处开始连 续取值直到x（0 x0是定义域内的点）, 或除
例2
试求函数
f
(x)
x
2
, 0 x 1
1 , x 1
在 x 0和 x 1处的极限 .
解 (1)因为 lim f ( x) lim ( x 1) 1.
x0
x0
lim f ( x) lim x2 0.
x0
x0
函数 f (x) 在 x = 0 处左、右极限存
在但不相等，
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提问与解答环节
x0 之外的所有值（ x0 不是定义域内的点）.
(1)当x从x0右方向趋近x0时，记为x x0
注 意
x x
0
0
x
(2)当x从x0左方向趋近x0时，记为x x0
x x0
x
0
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3. x x（0 或x x0）时函数的极限
如果当x x0时，函数f ( x)无限地趋
近于一个确定的常数 A, 那么就称数Ａ 为当
x x0时函数f ( x)的左极限, 记作
lim f ( x) A 或
x x0 0
f ( x0 0) A.
( x x0 )
例如 lim arcsin x
x 1
2
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如果当x x0时，函数f ( x)无限地趋
近于一个确定的常数 A, 那么就称数Ａ 为当
x x0时函数f ( x)的右极限, 记作
中函数的变化趋势.
下面就函数在两种不同变化过程中的变
化趋势问题分别加以讨论：
1）当 | x |无限增大（记为x ）时，函数 f (x) 的极限.
2）当 x 无限接近于 x0（记为x x0）时，函 数f (x) 的极限.
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1. x (或 x )时函数的极限
如果当 x （或 x ）时，函
记为 An ，且
An
6
2n1
1 2
R2
sin
2
6 2n1
这样就得到一系列内接正多边形的面积
A1 , A2 , A3 ,, An ,
内接正多边形的边数作得越多, 内接正多
边形的面积越接近于圆的面积 S .
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1、内接正多边形的边数一直增大下去结
果如何？
2、有哪些内接正多边形的面积与外接圆
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
lim f ( x) A 或
x x0 0
f ( x0 0) A.
( x x0 )
例如 lim arcsin x
x1
2
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4.x x0 时函数的极限
如果当x x0 ( x x0 )时，函数f ( x) 无限地趋近于一个确定 的常数A, 那么就
称数Ａ 为当x x0时函数f ( x)的极限, 记
第2节 函数的极限
一、极限思想 二、数列的极限 三、函数的极限
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一、极限思想
割圆术 ——刘徽 设有一圆，首先作内接正
六边形，把它的面积记为A1， 再作内接正十二边形，面积记
为 A2,再作内接正二十四边形, 面积记为 A3
循此下去，每次边数加倍.
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一般地,把内接正6 2n1边形的面积
lim f ( x) lim f ( x) A
x x0
x x0
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ຫໍສະໝຸດ Baidu x2 x
例1
设函数f
(
x)
x
,x 0,
0 , x 0 ,
求 lim f ( x). x0
解
x2 x
lim f ( x) lim
x0
x0 x
lim( x 1) 1 x0
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x 1, x 0,
lim
n
un
A
(或当 n
时, un
A).
极限存在的数列称为收敛数列,没
有极限的数列称为发散数列.
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例如 求极限 lim 1 n n
un
1 lim 0 n n
0 n=1n=2 n=3 n=4 n
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三、函数的极限
函数极限概念是与求一些量的精确值有
关的，它研究的是在自变量的某一变化过程
234 n
n
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2.整标函数
若让数列 un 中的 n 除取正整数外还
连续的实数，则变量 n 可用 x 替代，数
列 un 可表示成 un f ( x) ，因此数列又
称为整标函数，记为
un f (n).
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3. n 时数列{un }的极限
如果当 n无限增大时，数列 {un }无限地 趋近于一个确定的常数 A，那么就称A为数 列 {un }的极限，或数列 {un }收敛于A，记为