三角函数及解三角形知识点
三角函数及解三角形知识点总结
1. 任意角的三角函数的定义： 设〉是任意一个角，p （x,y ）是〉的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是「“x 2r 2.o ,位置无关。
2. 三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）+L i+ ——L+ _ - + ------ ■——+ -■sin ： cos ： tan ：3. 同角三角函数的基本关系式:4.三角函数的诱导公式 k 二.一诱导公式（把角写成2…形式，利用口诀：奇变偶不变，符（2）商数关系：tan-E屮一、cos 。
（用于切化弦） （1）平方关系: 2 2 2sin 工 cos ■■ -1,1 tan : 1cos 2:※平方关系一般为隐含条件，直接运用。
注意“ 1”的代换si …y,cos 」那么r三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点5. 特殊角的三角函数值度 0s30cA45“A60“90 120cA135“150s 180c 270° 360弧31JIJI2n3兀 5兀 JI3兀 2兀度64323462si n 。
01 竝迈1旦1 01222222cosa亦11念力12_112 2222号看象限）sin （2k .亠 x ） = sin x cos （2k ■亠 x ） = cosx ［）tan （2k ，亠 x ）二 tanxsin （ -x ） - - sin x cos （-x ） =cosx H ）tan（-x ） - - tanxm ）|sin （，亠 x ） = -sin x cos （m ） = - cosx tan （二 x ） IV ） Sin （兀 _x ） =sin x cos （兀—x ） = —cosx tan （兀一sin （— -〉）= cos ..zsin （㊁：）=cos ：V ）-?） = sin :6. 三角函数的图像及性质7.函数厂Asi n( X J图象的画法：n 5m —兀-2兀①“五点法” __设X-x…•，令X = 0, 2,，2，求出相应的X 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。
高中数学三角函数解三角形知识点
高中数学三角函数解三角形知识点高中数学中，三角函数和解三角形是重要的知识点。
本文将详细介绍三角函数的定义和性质，以及如何运用三角函数解决各种三角形相关的问题。
一、三角函数的定义和性质1. 正弦函数（sin）：在一个直角三角形中，对于一个锐角θ，正弦函数的值定义为所对直角边与斜边之比，即sinθ = 对边/斜边。
2. 余弦函数（cos）：在一个直角三角形中，对于一个锐角θ，余弦函数的值定义为所对直角边与斜边之比，即cosθ = 邻边/斜边。
3. 正切函数（tan）：在一个直角三角形中，对于一个锐角θ，正切函数的值定义为所对直角边与邻边之比，即tanθ = 对边/邻边。
4. 正弦函数和余弦函数的关系：正弦函数与余弦函数互为倒数，即sinθ = 1/cosθ。
5. 正切函数与正弦函数、余弦函数的关系：正切函数与正弦函数、余弦函数的比值相等，即tanθ = sinθ/cosθ。
6.三角函数的周期性：正弦函数、余弦函数、正切函数都具有周期性，周期为2π或360°。
7.三角函数的图像：正弦函数图像为一条波浪线，余弦函数图像为正弦函数图像向右平移π/2或90°，正切函数图像则为一系列渐进线（纵坐标趋近于正负无穷）。
二、解三角形的基本方法解三角形是指已知一个或多个角度和边长，求解出三角形的未知边长和角度的过程。
1.已知两边算第三边：利用三角形的两边之和大于第三边的性质，可以根据给定的两边长度求解第三边的取值范围。
2.已知一边和与之相对的角度算另外两个角度：根据三角形的内角和等于180°，可以利用给定的一边和一个角求解另外两个角度。
3.已知两边和一个角度算第三边：先根据已知的两边和一个角度求解第三个角度，然后根据三角形的角度和边长之间的关系求解第三边。
三、解三角形的具体例题1.已知三边，求三个角的大小：根据余弦定理或正弦定理计算出三个角的大小。
2.已知三个角，求三个边长：根据正弦定理或余弦定理计算出三个边长的取值范围。
第5章 三角函数与解三角形公式
三角函数与解三角形公式总结【预备知识点】一、任意角与弧度制（一）任意角1.任意角的概念：规定一条射线绕其端点任意方向旋转所形成的角。
2.任意角的分类：（1）正角：规定一条射线绕其端点逆时针方向旋转所形成的角。
（2）负角：规定一条射线绕其端点顺时针方向旋转所形成的角。
（3）零角：规定一条射线绕其端点无任意方向旋转所形成的角，始边与终边重合的角。
口诀：正逆负顺零重合3.相等角、相反角与角的运算（1）相等角：旋转方向相同且旋转量相等。
（2）相反角：旋转方向相反且旋转量相等。
（3）角的运算：线性加减运算与数乘运算。
4.常见误区：（1）锐角是第一象限角，但是第一象限角不一定是锐角，因为有周期。
例如420°。
（2）钝角是第二象限角，但是第二象限角不一定是钝角，因为有周期。
例如495°。
（3）直角不是任意象限角，属于y轴的特殊角。
（4）平角、周角属于轴线角，它不属于任何一个象限角。
（二）弧度制1.弧长公式及其意义（1）弧长公式：l=nπr180⟺lr=n∗π180=|α|⟺l=|α|r（2）弧长公式的意义：（i）圆心角α所对的弧长与半径r的比值，只与α大小有关。
（ii）弧长长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用rad表示，读作弧度。
其中rad可省略。
（3）一般地，正角的弧度数是正数，零角的弧度数是0，负角的弧度数是一个负数。
2.角度制与弧度制的互换依据：180°=π rad{1°=π180rad≈0.01745 rad 1 rad=(180π)°≈57.30°=57°18′（三）常见的角度制与弧度制互换表示二、三角函数常用特殊值【大重点，熟练背诵】【必考知识点】一、三角函数概念（1）定义式【熟记理解】（2）同角三角函数的基本关系【大重点题型：化弦为切经常用到，结合诱导公式与恒等变换】（i）平方关系【重点记第一个】sin2x+cos2x=11+cot2x=csc2x1+tan2x=sec2x（ii）商数关系【重点记第一个】tanx=sinx cosxcotx=cosx sinx（iii）倒数关系tanx∗cotx=1sinx∗cscx=1cosx∗secx=1（3）三角函数在各象限的符号【大重点并背诵】二、诱导公式【大重点，以下表格全背】诱导公式的基本思路【以第1组~第4组为例】：（1）首先，任意负角的三角函数转化成任意正角的三角函数【用公式3或1】（2）其次，任意正角的三角函数转化成0∼2π的三角函数【用公式1】（3）最后，0∼2π的三角函数转化成锐角三角函数【用公式2或4】三、三角恒等变换【大重点，所有公式都要背】1.两角和与差的正弦、余弦、正切Cα−β:cos(α−β)=cosα∗cosβ+sinα∗sinβCα+β:cos(α+β)=cosα∗cosβ−sinα∗sinβSα−β:sin(α−β)=sinα∗cosβ−cosα∗sinβSα+β:sin(α+β)=sinα∗cosβ+cosα∗sinβTα−β:tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanα∗tanβTα+β:tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα∗tanβ扩展：三角和公式Cα+β+γ:cos(α+β+γ)=cosα∗cosβ∗cosγ−cosα∗sinβ∗sinγ−sinα∗cosβ∗sinγ−sinα∗sinβ∗cosγSα+β+γ:sin(α+β+γ)=sinα∗cosβ∗cosγ+cosα∗sinβ∗cosγ+cosα∗cosβ∗sinγ−sinα∗sinβ∗sinγTα+β+γ:tan(α+β+γ)=tanα+tanβ+tanγ−tanα∗tanβ∗tanγ1−tanα∗tanβ−tanα∗tanγ−tanβ∗tanγ2.二倍角的正弦、余弦、正切C2α: cos2α=cos2α−sin2α=1−2sin2α=2cos2α−1; cos2α=1+cos2α2,sin2α=1−cos2α2S2α: sin2α=2sinα∗cosαT2α: tan2α=2tanα1−tan2α扩展1：半角公式Cα2: cosα2=±√1+cosα2Sα2: sinα2=±√1−cosα2Tα2: tanα2=sinα1+cosα=1−cosαsinα=±√1−cosα1+cosα注意：正负由α2所在的象限决定！其中Cα: cosα=cos2α2−sin2α2=1−2sin2α2=2cos2α2−1=1−tan2α21+tan2α2Sα: sinα=2sin α2∗cosα2=2∗tanα21+tan2α2Tα:tanα=2∗tanα2 1−tan2α2扩展2：三倍角公式S3α: sin3α=3sinα−4sin3α=4sinα∗sin(π3−α)∗sin(π3+α)C3α: cos3α=4cos3α−3cosα=4cosα∗cos(π3−α)∗cos(π3+α)T3α: tan3α=3tanα−tan3α1−3tan3α=tanα∗tan(π3−α)∗tan(π3+α)扩展3：四倍角公式S4α: sin4α=−4∗[cosα∗sinα∗(2sin2α−1)]C4α: cos4α=1−8∗cos2α∗sin2αT4α: tan4α=4tanα−4tan3α1−6tan2α+tan4α扩展4：五倍角公式S5α: sin5α=16sin5α−20sin3α+5sinαC5α: cos5α=16cos5α−20cos3α+5cosαT5α: tan5α=5−10tan2α+tan4α1−10tan2α+5tan4α3.和差化积公式sin α+sin β=2sin α+β2∗cosα−β2sin α−sin β=2cos α+β2∗sinα−β2cos α+cos β=2cos α+β2∗cosα−β2cos α−cos β=−2sin α+β2∗sinα−β2tan α+tan β=sin(α+β) cosα∗cosβtan α−tan β=sin(α−β) cosα∗cosβcot α+cot β=sin(α+β) sinα∗sinβcot α−cot β=−sin(α−β) sinα∗sinβtan α+cot β=cos(α−β) cosα∗sinβtan α−cot β=−cos(α+β) cosα∗sinβsin2α−sin2β=sin(α+β)∗sin(α−β)cos2α−cos2β=−sin(α+β)∗sin(α−β)sin2α−cos2β=−cos(α+β)∗cos(α−β)cos2α−sin2β=cos(α+β)∗cos(α−β)记忆口诀：同名和差三角积，（sin α±sin β或cos α±cos β：等式左边只有同是正弦或同是余弦才可以相加减。
高中三角函数及解三角形知识点总结(高考复习)
= 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α .
变形如下：
1 + cos 2α = 2 cos 2 α 升幂公式： 2 1 − cos 2α = 2sin α cos 2 α = 1 (1 + cos 2α ) 2 降幂公式： sin 2 α = 1 (1 − cos 2α ) 2
y = sin x 在 x ∈ [0, 2π ] 上的五个关键点为：
π 3π （0， 0） （ ， ， 1 ） （ ， π， 0） （ ， ，） -1（ ， 2π ， 0） . 2 2
-1-
§1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象：
y
2、记住余切函数的图象：
y
y=tanx
y=cotx
y = A sin ω x
横坐标变为原来的 | 平 移
ϕ ω
2− 3
§ 3.1.2 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1 ω
|倍
个 单 位
1、 sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β 2、 sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β
r = x2 + y 2 ） sin α = x y x y ， cos α = ， tan α = ， cot α = y r r x
π sin + α = cos α , 2 π cos + α = − sin α . 2
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象：
ymax + ymin . 2
ymax − ymin ， 2
三角函数与解三角形
三角函数与解三角形三角函数是数学中重要的概念，它与解三角形密切相关。
在本文中，我将详细介绍三角函数的定义、性质及其在解三角形中的应用。
一、三角函数的定义与性质1. 正弦函数（Sin）：在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边之比，即sinA=opposite/hypotenuse。
正弦函数是一个周期函数，其周期为2π，且在0到2π之间取值范围为[-1,1]。
2. 余弦函数（Cos）：在直角三角形中，余弦函数定义为邻边与斜边之比，即cosA=adjacent/hypotenuse。
余弦函数也是一个周期函数，其周期为2π，取值范围同样为[-1,1]。
3. 正切函数（Tan）：在直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边之比，即tanA=opposite/adjacent。
正切函数是一个无界函数，它的取值范围是所有实数。
此外，还存在反三角函数，如反正弦函数（Arcsin）、反余弦函数（Arccos）和反正切函数（Arctan），它们与正弦函数、余弦函数和正切函数的关系是：Arcsin(sinA) = AArccos(cosA) = AArctan(tanA) = A二、解三角形的基本步骤解三角形指的是已知三角形中的一些条件，推导出其它未知条件的过程。
求解三角形的基本步骤如下：1.已知三角形的两个边长和一个夹角：根据三角函数的定义，可以使用正弦定理、余弦定理或正切定理来求解其他未知边长和夹角。
2.已知三角形的两个角度和一个边长：根据三角函数的定义，可以使用正弦定理、余弦定理或正切定理来求解其他未知边长和角度。
3.已知三角形的三个边长：可以使用正弦定理、余弦定理和海伦公式来求解三个角度。
三、正弦定理与余弦定理1. 正弦定理：对于任意三角形ABC，其边长对应的角度分别为a、b 和c，则有sinA/a = sinB/b = sinC/c。
这个定理可以用来求解已知三角形两个边长和一个角度的情况。
2. 余弦定理：对于任意三角形ABC，其边长对应的角度分别为a、b 和c，则有c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC。
三角函数和解三角形知识点汇总
三角函数和解三角形知识点汇总知识点一三角函数（一）、角的概念的推广1．定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.2．分类：按旋转方向不同分为正角、负角、零角．按终边位置不同分为象限角和轴线角．3．终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.（二）、弧度制的定义和公式1．定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 2．公式（三）、任意角的三角函数（四）、同角三角函数的基本关系 1．平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. 2．商数关系：sin αcos α＝tan α.（五）、三角函数的诱导公式知识点二 三角函数的图像与性质（一）、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图1．正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).2．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).（二）、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )知识点三函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像及应用（一）、“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：1．定点：如下表所示.2．作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝A sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象.3．扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝A sin(ωx＋φ)在R上的图象.（二）、函数y＝A sin(ωx＋φ)中各量的物理意义当函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞) 表示一个振动量时，几个相关的概念如下表：（三）、函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径知识点四 三角恒等变换（一）、两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.（二）、二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α.（三）、有关公式的逆用、变形等 1．tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β). 2．cos 2α＝1＋cos 2α2， sin 2α＝1－cos 2α2. 3．1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.（四）、函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .知识点五 解三角形（一）、正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则（二）、S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.（三）、实际问题中的常用角1．仰角和俯角：在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2．方位角：从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫作方位角．如B点的方位角为α(如图2)．3．方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4．坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.。
解三角形与三角函数最全知识总结
解三角形与三角函数最全知识总结三角形与三角函数是数学中非常重要的内容，广泛应用于几何学、物理学、工程学等多个领域。
以下是对三角形与三角函数的最全知识总结。
一、基本概念1.三角形：由三条边和三个内角组成的图形。
根据边的长度和角的大小关系，可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形等等。
2.内角和：三角形的三个内角的和为180度，或者π弧度。
3.值得注意的几何关系：三角形的内角对应的边对边长相等，相等的两个角对应的边对边长也相等。
4.三角形的面积：可以通过底边和高的乘积的一半来计算，也可以通过三边的长度来计算。
二、三角函数的定义与性质1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，对于一个锐角A，正弦函数的值等于对边与斜边的比值。
即sin(A) = 对边/斜边。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，对于一个锐角A，余弦函数的值等于邻边与斜边的比值。
即cos(A) = 邻边/斜边。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，对于一个锐角A，正切函数的值等于对边与邻边的比值。
即tan(A) = 对边/邻边。
4.三角恒等式：包括平方恒等式、和差恒等式、倍角恒等式等等，可以通过这些恒等式将一个三角函数的式子转化为另外一个三角函数的式子。
5.周期性：三角函数是周期函数，即在每个周期内的函数值是相同的。
三、三角函数的图像与性质1.正弦函数图像：正弦函数的图像是一个连续、周期为2π的曲线，以原点为对称中心。
2.余弦函数图像：余弦函数的图像也是一个连续、周期为2π的曲线，但它的图像是以横坐标π/2为对称轴。
3.正切函数图像：正切函数的图像是一个连续、以π为周期的曲线，有无穷多个渐近线。
四、三角函数的应用1.解三角形：通过已知的边长和角度，可以利用三角函数解出未知的边长和角度。
2.测高度：利用三角形的性质，可以通过测量两个视角和距离，计算出高度的长度。
3.平衡力问题：在物理学中，利用三角函数可以计算出干涉力、斜面上的力等问题。
《三角函数及解直角三角形》知识点总结
《三角函数及解直角三角形》知识点总结Ⅰ、本章知识结构框图：１、正弦、余弦、正切、余切的概念在是三角形ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，（１）锐角Ａ的对边与斜边的比叫做∠Ａ的正弦，记作ｓｉｎＡ。
即ｓｉｎＡ＝∠Ａ的对边＝ａ斜边ｃ（２）锐角Ａ的邻边与斜边的比叫做∠Ａ的余弦，记作ｃｏｓＡ。
即ｃｏｓＡ＝∠Ａ的邻边＝ｂ】斜边ｃ（３）锐角Ａ的对边与邻边的比叫做∠Ａ的正切，记作ｔａｎＡ。
即ｔａｎＡ＝∠Ａ的对边＝ａ∠Ａ的邻边ｂ（４）锐角Ａ的邻边与对边的比叫做∠Ａ的余切，记作ｃｏｔＡ。
即ｃｏｔＡ＝∠Ａ的邻边＝ｂ∠Ａ的对边ａ锐角Ａ的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠Ａ的三角函数。
注意：（１）正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义；@（２）ｓｉｎＡ不是ｓｉｎ与Ａ的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。
“ｓｉｎＡ”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的；（３）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。
２、同角的三角函数之间的关系（１）平方关系：ｓｉｎ²α＋ｃｏｓ²α＝１α为锐角，即同一锐角的正弦和余弦的平方和等于１；（２）倒数关系：ｔａｎα·ｃｏｔα＝１α为锐角，即同一锐角的正切与余切的积为１，互为倒数；（３）商的关系：ｔａｎα＝，ｃｏｔα＝，；α为锐角，即同一锐角的正弦与余弦的商等于正切，同一锐角的余弦与正弦的商等于余切。
注意：（１）这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同时还要注意它们的变形，如：︳ｓｉｎＡ︳＝１－︳ｃｏｓ²Ａ︳，︳ｃｏｓＡ︳＝１－ｓｉｎ²Ａ；（２）ｓｉｎ²α是（ｓｉｎα）²的简写，读作“ｓｉｎα”的平方；不能将ｓｉｎ²α写成ｓｉｎα²，前者是α的正弦值的平方，后者表示α²的正弦值。
特殊角有０°、３０°、４５°、６０°、９０°，它们的三角函数值如下表：注意：记忆特殊角的三角函数值，可用下述方法：０°、３０°、４５°、６０°、９０°的正弦值分别是它们的余弦值分别是￥３０°、４５°、６０°的正切值分别是它们的余切值分别是若∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°则ｓｉｎＡ＝ｃｏｓ（９０°－Ａ）＝ｃｏｓＢ任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值ｃｏｓＡ＝ｓｉｎ（９０°－Ａ）＝ｓｉｎＢ任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值ｔａｎＡ＝ｃｏｔ（９０°－Ａ）＝ｃｏｔＢ任意锐角的正切值等于它的余角的余切值ｃｏｔＡ＝ｔａｎ（９０°－Ａ）＝ｔａｎＢ任意锐角的余切值等于它的余角的正切值用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角是必须掌握的。
(完整版)三角函数解三角形知识点总结
1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y xr rαα==，()tan ,0yx xα=≠三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。
2.三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ －sin α cos α tan α3. 同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：22221sin cos 1,1tan cos αααα+=+= （2）商数关系：sin tan cos ααα=（用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。
注意“1”的代换4.三角函数的诱导公式诱导公式（把角写成απ±2k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限）Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin(5.特殊角的三角函数值6.三角函数的图像及性质sin y x =cos y x = tan y x =图像定义域 R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k Z ∈时，max 1y =；当22x k ππ=-()k Z ∈时，当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当2x k ππ=+()k Z ∈时，min 1y =-．既无最大值也无最小值度0 30 45 6090 120 135 150 180︒270360弧度0 6π 4π 3π 2π 23π 34π 56π π32π 2π sin α1222 32132 22121cos α132 221212- 22-32-1- 0 1tan α 0 331 3无3- 1-33-无7.函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法： ①“五点法”――设X x ωϕ=+，令X ＝0，3,,,222ππππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象； ②图象变换法：这是作函数简图常用方法。
三角函数与解三角形
三角函数与解三角形在数学中，三角函数是研究角度和三角形之间关系的重要工具。
通过三角函数的使用，我们可以解决很多与角度和三角形相关的问题。
本文将介绍三角函数的基本概念以及如何应用三角函数解决三角形的各类问题。
一、三角函数的基本概念1. 正弦函数（sine function）正弦函数常用符号为sin，对于任意角θ，其正弦值sinθ等于对边与斜边的比值：sinθ = 对边/斜边。
2. 余弦函数（cosine function）余弦函数常用符号为cos，对于任意角θ，其余弦值cosθ等于邻边与斜边的比值：cosθ = 邻边/斜边。
3. 正切函数（tangent function）正切函数常用符号为tan，对于任意角θ，其正切值tanθ等于对边与邻边的比值：tanθ = 对边/邻边。
4. 余切函数（cotangent function）余切函数常用符号为cot，对于任意角θ，其余切值cotθ等于邻边与对边的比值：cotθ = 邻边/对边。
5. 正割函数（secant function）正割函数常用符号为sec，对于任意角θ，其正割值secθ等于斜边与邻边的比值：secθ = 斜边/邻边。
6. 余割函数（cosecant function）余割函数常用符号为csc，对于任意角θ，其余割值cscθ等于斜边与对边的比值：cscθ = 斜边/对边。
二、解三角形的常用方法1. 已知边长求角度假设我们已知一个三角形的两条边长a和b，以及它们之间的夹角θ。
我们可以利用正弦、余弦或正切函数求解这个角度。
- 已知边长a和b，以及夹角θ，可以使用正弦函数来求解：sinθ = a/b，从而可以解得角度θ。
- 已知边长a和b，以及夹角θ，可以使用余弦函数来求解：cosθ = a/b，从而可以解得角度θ。
- 已知边长a和b，以及夹角θ，可以使用正切函数来求解：tanθ = a/b，从而可以解得角度θ。
2. 已知角度求边长假设我们已知一个三角形的一条边长a，以及与这条边相连的两个角度θ和φ。
三角函数和解三角形知识点汇总
三角函数和解三角形知识点汇总三角函数和解三角形是高中数学中的重要内容，这两个知识点在解决几何问题和求解三角方程等方面具有广泛的应用。
本文将对三角函数和解三角形的相关概念和性质进行汇总和总结。
一、三角函数的基本概念和性质1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边之比。
在单位圆中，正弦函数定义为点在单位圆上的纵坐标。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦函数定义为邻边与斜边之比。
在单位圆中，余弦函数定义为点在单位圆上的横坐标。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边之比。
在单位圆中，正切函数定义为点在单位圆上的纵坐标与横坐标之比。
4. 三角函数的周期性：正弦函数、余弦函数和正切函数都具有周期性，周期为360度或2π弧度。
5. 三角函数的基本关系：正弦函数、余弦函数和正切函数之间存在一定的关系，如正弦函数与余弦函数的平方和等于1，正切函数与正弦函数的比值等于余弦函数。
二、解三角形的基本方法1. 解直角三角形：直角三角形是最简单的三角形，可以通过已知两个角或两个边长度，求解出三个角和三个边的长度。
解直角三角形常用的方法包括正弦定理、余弦定理和勾股定理。
2. 解一般三角形：一般三角形包括三个不等边和三个不等角。
解一般三角形的关键是要找到足够的已知条件，一般包括已知两个角和一个边的长度，或已知两个边和一个角的大小。
解一般三角形常用的方法有正弦定理和余弦定理。
三、三角函数和解三角形的应用1. 几何问题的求解：三角函数和解三角形广泛应用于几何问题的求解，如求解三角形的面积、角度、边长等。
2. 物理问题的求解：三角函数和解三角形也在物理问题的求解中发挥着重要作用，如求解力的合成与分解、两个物体之间的角度等。
3. 工程问题的求解：在工程问题中，三角函数和解三角形用于求解斜面的倾斜角度、测量高楼大厦的高度等。
四、总结本文对三角函数和解三角形的相关知识进行了汇总和总结。
三角函数及解三角形知识点总结
三角函数及解三角形知识点总结三角函数是数学中一个重要的分支，它研究了三角形中角度和边长之间的关系。
解三角形则是利用已知的一些条件，计算出三角形中的未知量。
本文将总结三角函数和解三角形的相关知识点，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、三角函数的基本概念1. 正弦函数（sine function）正弦函数是三角函数中最基本的一种，用sin表示。
它表示一个角的对边与斜边之比，即sinθ = 对边 / 斜边。
2. 余弦函数（cosine function）余弦函数是与正弦函数相似的三角函数，用cos表示。
它表示一个角的邻边与斜边之比，即cosθ = 邻边 / 斜边。
3. 正切函数（tangent function）正切函数也是常见的三角函数，用tan表示。
它表示一个角的对边与邻边之比，即tanθ = 对边 / 邻边。
二、三角函数的性质1. 周期性三角函数具有周期性，即在一定范围内，函数值会重复出现。
例如正弦函数和余弦函数的周期是2π，而正切函数的周期是π。
2. 定义域和值域不同的三角函数具有不同的定义域和值域。
正弦函数和余弦函数的定义域是整个实数集，值域是[-1, 1]；而正切函数的定义域是除去其奇点的整个实数集，值域是整个实数集。
三、解三角形的基本方法解三角形是根据已知条件来计算未知量和角度的过程。
下面介绍几种常用的解三角形方法。
1. 余弦定理（Law of Cosines）余弦定理可以用来计算三角形中的边长。
对于一个三角形ABC，已知边长a、b和夹角C，余弦定理可以表示为c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cosC。
通过此公式，我们可以计算出任意一条边的长度。
2. 正弦定理（Law of Sines）正弦定理可以用来计算三角形中的角度和边长。
对于一个三角形ABC，已知边长a，b和夹角C，正弦定理可以表示为a/sinA = b/sinB = c/sinC。
通过此公式，我们可以计算出未知的角度和边长。
三角函数及解三角形知识点
三角函数知识点正角 : 按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角2、角的极点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的会集为k 360k 36090 , k第二象限角的会集为k 36090k 360180 , k第三象限角的会集为k 360180k 360270 , k第四象限角的会集为k 360270k 360360 , k终边在 x 轴上的角的会集为k180 ,k终边在 y 轴上的角的会集为k 180 90 ,k终边在坐标轴上的角的会集为k 90 ,k3、与角终边相同的角的会集为k 360, k4、已知是第几象限角，确定n* 所在象限的方法：先把各象限均分n 等n份，再从 x 轴的正半轴的上方起，依次将各地域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的地域．n5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是l ．r7、弧度制与角度制的换算公式：2360 ，1， 1180．1808、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为 r ，弧长为l，周长为C，面积为S，则 l r ， C 2r l ，S 1lr1r 2．229、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是x, y ，它与原点的距离是 r r x2y 20 ，则sin y， cosx， tan y x 0 ．r r x10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线： sin， cos， tan．12、同角三角函数的基本关系： 1 sin 2cos21sin 21cos2,cos2 1 sin2； 2sin tancossin tan cos,cos sin．tan yP T O M A x13、三角函数的引诱公式：1 sin 2k sin，cos 2k cos，tan 2k tan k．2 sin sin，cos cos，tan tan．3 sin sin，cos cos，tan tan．4 sin sin，cos cos，tan tan．口诀：函数名称不变，符号看象限．5 sin cos，cos sin．226 sin cos，cos sin．22口诀：奇变偶不变，符号看象限．14、函数y sin x 的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，获取函数y sin x的图象；再将函数y sin x的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变），获取函数y sin x的图象；再将函数y sin x的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），获取函数 y sin x的图象．函数 y sin x 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变），获取函数y sin x 的图象；再将函数y sin x 的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，获取函数y sin x的图象；再将函数y sin x的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），获取函数y sin x的图象．函数 y sin x0,0 的性质：① 振幅：；②周期：2；③频率： f1；④相位：x；⑤初相：2．函数 y sin x，当 x x1时，获取最小值为 y min；当 x x2时，获取最大值为 y max，则1ymaxymin，1ymaxymin，x2x1x1 x2．222 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函性数y sin x y cos x y tan x质图象定义R R x x k, k2域值1,11,1R域最当 x 2k k当 x 2k k时，值2既无最大值也无最小值时，y max1；当x2k2k时， y min1．周2期性奇奇函数偶性在2k, 2k22单k上是增函数；在调性2k, 2k322k上是减函数．对对称中心 k,0k称对称轴性x k k2半角公式y max1；当x2kk时， y min1．2偶函数奇函数在 2k,2 k k上是增函数；在在 k2, k22k,2 kk上是增函数．k上是减函数．对称中心对称中心k,0kkk,022对称轴 x k k无对称轴sin(A/2)=√((1 -cosA)/2)sin(A/2)=-√((1 -cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1 -cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1 -cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1 -cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB辅助角公式sin cos2 2 sin，其中tan．降幂公式（sin^2 ） x=1-cos2x/2（cos^2）x=i=cos2x/2全能公式令 tan(a/2)=tsina=2t/(1+t^2)cosa=(1-t^2)/(1+t^2)tana=2t/(1-t^2)公式一：设α 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin tan （2kπ＋α）＝（2kπ＋α）＝sin αtan αcoscot（2kπ＋α）＝（2kπ＋α）＝cosαcot α公式二：设α为任意角，π +α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin tan （π＋α）＝－ sin αcos（π＋α）＝－cosα（π＋α）＝ tan αcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与 - α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sin αcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tan αcot（－α）＝－cot α公式四：利用公式二和公式三可以获取π - α与α的三角函数值之间的关系：sin tan （π－α）＝ sin α（π－α）＝－ tan αcoscot（π－α）＝－（π－α）＝－cosαcot α公式五：利用公式一和公式三可以获取2π - α与α的三角函数值之间的关系：sin tan （2π－α）＝－（2π－α）＝－sin αtan αcoscot（2π－α）＝ cosα（2π－α）＝－ cot α公式六：π/2 ±α及 3π/2 ±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π /2＋α）＝ cosαcos（π /2 ＋α）＝－ sin αtan （π /2＋α）＝－ cot αcot（π /2 ＋α）＝－ tan αsin（π /2－α）＝ cosαcos（π /2 －α）＝ sin αtan （π /2－α）＝ cot αcot（π /2 －α）＝ tan α( 以上 k∈Z)注意：在做题时，将 a 看作锐角来做会比较好做。
三角函数与解三角形知识点总结
三角函数与解三角形知识点总结三角函数是数学中的一种重要的函数，在几何学、物理学、工程学等多个学科中都有广泛的应用。
解三角形则是利用三角函数求解三角形的各个边长和角度的过程。
下面将对三角函数和解三角形的相关知识进行总结。
一、三角函数的概念及性质1. 正弦函数：在一个直角三角形中，对于一些锐角，其对边与斜边的比值被定义为正弦，用sin表示。
正弦函数的定义域是实数集，值域是[-1,1]。
2. 余弦函数：在一个直角三角形中，对于一些锐角，其邻边与斜边的比值被定义为余弦，用cos表示。
余弦函数的定义域是实数集，值域是[-1,1]。
3. 正切函数：在一个直角三角形中，对于一些锐角，其对边与邻边的比值被定义为正切，用tan表示。
正切函数的定义域是实数集，值域是(-∞,∞)。
4. 余切函数：在一个直角三角形中，对于一些锐角，其邻边与对边的比值被定义为余切，用cot表示。
余切函数的定义域是实数集，值域是(-∞,∞)。
5. 正割函数：在一个直角三角形中，对于一些锐角，其斜边与邻边的比值被定义为正割，用sec表示。
正割函数的定义域是实数集，值域是(-∞,-1]∪[1,∞)。
6. 余割函数：在一个直角三角形中，对于一些锐角，其斜边与对边的比值被定义为余割，用csc表示。
余割函数的定义域是实数集，值域是(-∞,-1]∪[1,∞)。
二、解三角形的基本原理解三角形的基本原理是利用三角函数的定义和性质来求得三角形的各个边长和角度。
1.利用已知边长和角度求解三角形：如果已知一个三角形的两个角度和一个边长，可以利用三角函数的定义和性质来求解三角形的其他边长和角度。
例如，已知一个三角形的两边长分别为a和b，以及夹角C，可以利用余弦定理和正弦定理来求解三角形的第三边长和其他两个角度。
2.利用已知边长求解三角形的角度：如果已知一个三角形的三个边长，可以利用余弦定理和正弦定理来求解三角形的三个角度。
例如，已知一个三角形的三个边长分别为a、b、c，可以利用余弦定理求解三个角度。
三角函数及解直角三角形
三角函数及解直角三角形1、知识点梳理知识点一：锐角三角函数定义：在Rt△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为cosA= ∠A的正切：tanA= ，它们统称为∠A的锐角三角函数注意：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与有关，与直角三角形的无关2、取值范围<sinA< ，cosA< ，tanA>知识点二：特殊角的三角函数值：ΑSinαcosαtanα300450600注意：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的，要在理解的基础上结合表格进行记忆2、正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而知识点三：解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素，求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据：Rt∠ABC中，∠C=900 三边分别为a、b、c⑴三边关系：⑵两锐角关系⑶边角之间的关系：sinA cosA tanAsinB cosB tanB注意：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在图上标上仰角和俯角⑵坡度坡角：如图：斜坡AB的垂直度h和水平宽度l的比叫做坡度，用i表示，即i=坡面与水平面得夹角为用字母α表示，则i=tanα=hl。
⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图：OA表示OB表示OC表示OD表示（也可称东南方向）铅直水平线3、 利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：⑴把实际问题抓化为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）⑵根据条件特点，选取合适的锐角三角函数去解直角三角形⑶解出数学问题答案，从而得到实际问题的答案注意：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决2、近几年真题再现：1．（天津）tan60°的值等于（ ）A ．1BCD ．22．（温州）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA 的值是（ ）A ．3B ． 4C ．3D ． 4A ．B ．C ．D ．A ．B ．C ．D ．A ．12B ．C ．米D ．7 （潍坊）一渔船在海岛A 南偏东20°方向的B 处遇险，测得海岛A 与B 的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A 处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C 靠近，同时，从A 处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C 处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ）A ．/小B ．30海里/小时C ．/小时D ．/小时8（东营）某校研究性学习小组测量学校旗杆AB 的高度，如图在教学楼一楼C 处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D 处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB 的高度为 米．精确到0.1）11 （莱芜）如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛A 、B 上的观测点进行观测，从A 岛测得渔船在南偏东37°方向C 处，B 岛在南偏东66°方向，从B 岛测得渔船在正西方向，已知两个小岛间的距离是72海里，A 岛上维修船的速度为每小时20海里，B 岛上维修船的速度为每小时28.8海里，为及时赶到维修，问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？（参考数据：cos37°≈0.8，sin37°≈0.6，sin66°≈0.9，cos66°≈0.4）3、考点训练考点一：锐角三角函数的概念例1 （贵阳）如图，P 是∠α的边OA 上一点，点P 的坐标为（12，5），则tan α等于（ ）A ． 513B ．1213C ．512D ．125对应训练1．如图，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则tan ∠AOB 的值是（ ）A ．23B ．32C ．13D ．13考点二：特殊角的三角函数值对应训练2．计算6tan45°-2cos60°的结果是（）A．B．4 C．D．5考点三：化斜三角形为直角三角形3．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD平分AC．若BD=8，AC=6，∠BOC=120°，则四边形ABCD的面积为．（结果保留根号）考点四：解直角三角形的应用例4 （2015•舟山）某学校的校门是伸缩门（如图1），伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°（如图2）；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°（如图3）．问：校门打开了多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848）．思路分析：先求出校门关闭时，20个菱形的宽即大门的宽；再求出校门打开时，20个菱形的宽即伸缩门的宽；然后将它们相减即可．点评：本题考查了菱形的性质，解直角三角形的应用，难度适中．解题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要把实际问题抽象到解直角三角形中，一切将迎刃而解．对应训练4．如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米，∠PAB=38.5°，∠PBA=26.5．请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置．（以A，B为参照点，结果精确到0.1米）（参考数据：sin38.5°=0.62，cos38.5°=0.78，tan38.5°=0.80，sin26.5°=0.45，cos26.5°=0.89，tan26.5°=0.50）。
解三角形与三角函数最全知识总结
三角形与三角比1.（包括角α在平面几何里，我们把周角分成360等份，每一份叫做1度的角，这种用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制；我们也可以用圆弧的长与圆半径的比值来表示这个圆弧或圆弧所对的圆心角的大小；把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度；用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制；如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么比值l r 就是角α的弧度数的绝对值，即lrα=，这里α的正负由它的终边的旋转方向决定；零角的弧度数为零；弧度制与角度制的换算关系：1弧度180π︒=；1180π︒=弧度；在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系；例如，与角α终边相同的角可以表示为{|2,k ββπα=+}k ∈Z ，与角α终边共线的角可以表示为{|,}k k ββπα=+∈Z ；弧长公式：||l r α=；扇形面积公式：211||22S r lr α==扇形；附表：由α的象限判断2α、3α、2α、3α的象限：2.(r >sin α在平面直角坐标系中，称以原点O 为圆心，以1为半径的圆为单位圆，把点(,)P x y 看作角α的终边与单位圆的交点，如图，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，过点(1,0)A 作单位圆的切线，这条切线必然平行于y 轴，设它与角α的终边或其反向延长线相交于点T ；于是，cos x OM α==，sin y PM α==，tan yAT xα==；所以点P 坐标总可以表示成(cos ,sin )αα；我们把PM 、OM 、AT 这三条线段分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，这些线段通称为三角函数线；由三角函数线得出的常用三角不等式：①2πsin tan x x x << 3.①切割化弦，“切”通过商数关系化为“弦”，“割”通过倒数关系化为“弦”；②弦化切，一般和“齐次式”有关，通过分式上下同时除以cos 或2cos 得到“切”；③1的代换，通过平方关系，将1代换成所需的三角比；（2）诱导公式：奇变偶不变，符号看象限；第一组：sin(2)sin k παα+=；cos(2)cos k παα+=；tan(2)tan k παα+=；第二组：sin()sin αα-=-；cos()cos αα-=；tan()tan αα-=-；第三组：sin()sin παα+=-；cos()cos παα+=-；tan()tan παα+=；第四组：sin()sin παα-=；cos()cos παα-=-；tan()tan παα-=-；第五组：sin()cos 2παα-=；cos()sin 2παα-=；tan()cot 2παα-=；第六组：sin()cos 2παα+=；cos()sin 2παα+=-；tan()cot 2παα+=-；4.三角恒等变换（1）和与差公式cos(α-sin(α+tan(α+由cos ϕ)3πα±；cos 2α=sin2α=①2α=2α=；21sin 2(sin cos )ααα±=±；1tan tan()1tan 4απαα±=± ；tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=± ；⑥常见角的变换：()ααββ=+-；22αα=⋅；()()244πππαα=++-；2()()ααβαβ=++-；2()()βαβαβ=+--；()()222αββααβ+=---；(()222αββααβ-=+-+；5.解三角形（1）三角形面积公式（其中R 是三角形外接圆半径，r 是内切圆半径，2a b cp ++=）111sin sin sin 222ABC S bc A ac B C ∆===；22sin sin sin 4ABC abc S R A B C R ∆==；ABC S pr ∆==；222b ac =+222c a b =+②sin 2A =③,,A B C ④,,A B C ①sin(A +②sin2A B +三角函数1.sin y x =，合是{|2x x =sin y x =的最小正周期；sin()y A x ωϕ=+的周期是2||T πω=；（3）奇偶性：sin y x =是奇函数；（4）单调性：sin y x =在闭区间[2,2]()22k k k ππππ-+∈Z 上都是增函数；在闭区间3[2,2]()22k k k ππππ++∈Z 上都是减函数；（5）对称性：正弦函数sin y x =既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是2x k ππ=+()k ∈Z ，对称中心(,0)k π()k ∈Z ；2.余弦函数图像对任意一个实数x 都有唯一确定的值cos x 与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为cos y x =，它叫做余弦函数，它的定义域是实数集R ；（1）值域和最值：余弦函数cos ,y x x =∈R 的值域是[1,1]-，max 1y =，此时x 的集合是{|2,}x x k k π=∈Z ，min 1y =-，此时x 的集合是{|2,}x x k k ππ=+∈Z ；cos(y A x ω=+（4）]()k π+∈Z 上是减函数；)；对称中心(,0)2k ππ+(k 3.表示为tan y =（1）值域和最值：由tan y x =的定义可以得到它的值域是实数集R ，无最值；（2）周期性：由tan()tan x x π+=可知正切函数是周期函数，π是它的最小正周期；（3）奇偶性：由tan()tan x x -=-(,)2x k k ππ≠+∈Z 可知正切函数是奇函数；（4）单调性：正切函数tan y x =在区间(,)22k k ππππ-+()k ∈Z 内都是增函数；（5）对称性：正切函数tan y x =是中心对称图形，对称中心是(,0)2k π()k ∈Z ；4.函数sin()y A x ωϕ=+的图像与性质函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>中的常数,,A ωϕ对其图像有如下影响：正数A 决定了函数sin()y A x ωϕ=+的值域为[,]A A -，A 叫做该正弦曲线的振幅；如图，sin y x =与2sin y x =的图像对比，横坐标不变，纵坐标变成原来的2倍；正数ω12T ωπ==叫做该ϕϕ叫做初相；如图，sin y =sin y x =纵坐标变成原来的上加下减5.反三角函数函数sin ,[,]22y x x ππ=∈-的反函数叫做反正弦函数，记作arcsin ,[1,1]y x x =∈-；函数cos ,[0,]y x x π=∈的反函数叫做反余弦函数，记作arccos ,[1,1]y x x =∈-；函数tan ,(,)22y x x ππ=∈-的反函数叫做反正切函数，记作arctan ,(,)y x x =∈-∞+∞；arcsin y x =arccos y x =arctan y x=（1）值域：arcsin [,]22y x ππ=∈-；arccos [0,]y x π=∈；arctan (,)22y x ππ=∈-；（2）奇偶性：arcsin y x =与arctan y x =为奇函数；arccos y x =为非奇非偶函数；(0,2πsin(arcsin )x =cos(arccos )x =tan(arctan )x =arcsin x +6.（1）sin x a =（2）cos x a =（3）tan x a =的解集为{|arctan ,}x x k a k π=+∈Z .。
高中数学 三角函数与解三角形知识点总结
三角函数与解三角形一、三角函数的图象与性质 1．三角函数图象变换由函数sin y x =的图象通过变换得到sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.2．三角函数的性质（1）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的定义域均为R ； 函数tan()y A x ωϕ=+的定义域均为ππ{|,}2k x x k ϕωωω≠-+∈Z . （2）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最大值为||A ，最小值为||A -； 函数tan()y A x ωϕ=+的值域为R .（3）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最小正周期为2πω； 函数tan()y A x ωϕ=+的最小正周期为πω．（4）对于()sin y A x ωϕ=+，当且仅当()πk k ϕ=∈Z 时为奇函数，当且仅当()ππ2k k ϕ=+∈Z 时为偶函数； 对于()c o s y A xωϕ=+，当且仅当()ππ2k k ϕ=+∈Z 时为奇函数，当且仅当()πk k ϕ=∈Z 时为偶函数；对于()tan y A x ωϕ=+，当且仅当()π2k k ϕ=⋅∈Z 时为奇函数． （5）函数()()s i n 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式ππ2π2π(22k x k k ωϕ-≤+≤+ )∈Z 来确定，单调递减区间由不等式()π3π2π2π22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 来确定； 函数()()c o s 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式()2ππ2πk x k k ωϕ-≤+≤∈Z 来确定，单调递减区间由不等式()2π2ππk x k k ωϕ≤+≤+∈Z 来确定；函数()()t a n 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式()ππππ22k x k k ωϕ-<+<+∈Z 来确定． 【注】函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+，tan()y A x ωϕ=+（ω有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把ω化为正数后求解． （6）函数sin()y A x ωϕ=+图象的对称轴为ππ()2k x k ϕωωω=-+∈Z ，对称中心为π(,0)()k k ϕωω-∈Z ； 函数c o s (y Ax ωϕ=+图象的对称轴为π()k x k ϕωω=-∈Z ，对称中心为ππ(,0)()2k k ϕωωω-+∈Z ； 函数tan()y A x ωϕ=+图象的对称中心为π(,0)()2k k ϕωω-∈Z . 【注】函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的图象与x 轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线都为对称轴. 函数tan()y A x ωϕ=+的图象与x 轴的交点和渐近线与x 轴的交点都为对称中心，无对称轴.1．同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系：22sin cos 1αα+=． （2）商的关系：sin cos tan ααα=． （3）常见变形：2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-，sin sin tan cos ,cos tan αααααα=⋅=. 2．诱导公式3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）()C αβ-：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ （2）()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- （3）()S αβ+：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （4）()S αβ-：sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ- （5）()T αβ+：tan()αβ+=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ++≠+∈-Z（6）()T αβ-：tan()αβ-=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ--≠+∈+Z（1）2S α：sin 2α=2sin cos αα（2）2C α：cos 2α=2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=- （3）2T α：tan 2α=22tan πππ(π,)1tan 224k k k αααα≠+≠+∈-Z 且5．公式的常用变形（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-（2）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα= （3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-（4）辅助角公式：sin cos a x b x +)x ϕ=+，其中cos ϕϕ==，tan baϕ=三、解三角形 1．正弦定理 （1）内容在ABC △中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c ==A B C.正弦定理对任意三角形都成立． （2）常见变形①sin sin sin ,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B ba Bb A a Cc A b C c B B b A a C c ====== ②;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b cA B C A B A C B C A B C+++++======+++++ ③::sin :sin :sin ;a b c A B C =④正弦定理的推广：===2sin sin sin a b c R A B C，其中R 为ABC △的外接圆的半径. （3）应用①已知两角和任意一边，求其他的边和角； ②已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 2．余弦定理 （1）内容三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222222222cos ,2cos 2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-，（2）余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论：222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===.（3）应用①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角． 3．解三角形的实际应用 （1）三角形的面积公式设ABC △的三边为a ，b ，c ，对应的三个角分别为A ，B ，C ，其面积为S .①12S ah = (h 为BC 边上的高)；②111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===；③1()2S r a b c =++(r 为三角形的内切圆半径)．（2）解三角形实际应用题的步骤。
(完整版)解三角形知识点归纳(附三角函数公式)
高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++===4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)7、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A 等，变形： 222cos 2b c a bc+-A =等，8、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。
②已知三边求角） 9、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =o；②若222a b c +>，则90C <o；③若222a b c +<，则90C >o． 11、三角形的四心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等） 12同角的三角函数之间的关系（１）平方关系：ｓｉｎ²α＋ｃｏｓ²α＝１ （２）倒数关系：ｔａｎα·ｃｏｔα＝１ （３）商的关系：ααααααsin cos cot ,cos sin tan ==三角函数诱导公式：“ （2πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限”，是指（2kπα+），k ∈Z 的三角函数值，当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦（正切，余切;正割、余割也同样）;当k 为偶数时，函数名不变。
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三角函数知识点⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域． 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα=．7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈⎪⎝⎭． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：奇变偶不变，符号看象限．14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<． 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sin y x =cos y x = tan y x =图象定义RR,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭函数 性质域值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x kππ=+()k∈Z时，max1y=；当22x kππ=-()k∈Z时，min1y=-．当()2x k kπ=∈Z时，max1y=；当2x kππ=+()k∈Z时，min1y=-．既无最大值也无最小值周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k kππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k∈Z上是增函数；在32,222k kππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k∈Z上是减函数．在[]()2,2k k kπππ-∈Z上是增函数；在[]2,2k kπππ+()k∈Z上是减函数．在,22k kππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k∈Z上是增函数．对称性对称中心()(),0k kπ∈Z对称轴()2x k kππ=+∈Z对称中心(),02k kππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭对称轴()x k kπ=∈Z对称中心(),02kkπ⎛⎫∈Z⎪⎝⎭无对称轴半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 辅助角公式()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A． 降幂公式（sin^2）x=1-cos2x/2（cos^2）x=i=cos2x/2 万能公式 令tan(a/2)=tsina=2t/(1+t^2) cosa=(1-t^2)/(1+t^2) tana=2t/(1-t^2) 公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2k π＋α）＝sin αcos （2k π＋α）＝cos α tan （2k π＋α）＝tan α cot （2k π＋α）＝cot α 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
诱导公式记忆口诀奇变偶不变，符号看象限。
同角三角函数基本关系同角三角函数的基本关系式倒数关系:tanα·cotα＝1sinα·cscα＝1cosα·secα＝1商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα两角和差公式两角和与差的三角函数公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）tan2A=2tanA/(1-tan2A)sin2a=2sinacosacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sin^2(α/2)＝(1－cosα)／2cos^2(α/2)＝(1＋cosα)／2tan^2(α/2)＝(1－cosα)／(1＋cosα)另也有tan(α/2)=(1－cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]万能公式推导附推导：sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝2tanα/(1＋tan^2(α))然后用α/2代替α即可。