控制系统的稳态误差分析

2.增加前向通道中积分环节的个数,使系统型号提高, 可以消除不同输入信号时的稳态误差.
3.若在系统增加入顺馈控制装置,就能实现既减小系统 的稳态误差,又保证系统稳定性不变的目的.
(1)对扰动进行补偿
GN (s) 为待求的前
馈控制装置的传递
函数，N(s为) 扰动
作用
R
GN (s) G1(s)
N
G2(s) C
0 称为零型系统； 1 称为一型系统；
2 称为二型系统；
12
13 14
1、单位阶跃信号输入
r(t) 1(t) R(s) 1 s
R(s)
E(s)
G(s)
B(s)
C(s)
H (s)
ss
lim
s0
sE(s)
lim s0 1
sR(s) G(s)H (s)
1 1 Kp
(3-49)
令
Kp
lim G(s) H
R(s)
E(s)
G(s)
B(s)
H (s)
C(s) R(s) 1 R'(s) E1(s) G(s)H(s) C(s)
H (s)
图3-24 系统结构图
图3-25 等效单位反馈控制系统结构图
E1(s)
R'
(s)
C(s)
R(s) H (s)
C(s)
1 R(s) C(s)H (s)
H (s)
1 R(s) B(s)
(3-45b)
系统的稳态误差为:
ess
lim e(t) t
同理系统的稳态偏差为: ss
lim (t)
t
(3-46a) (3-46b)
2、有差系统: 通常把阶跃输入信号作用下存在误差
的系统称为有差系统。
3、无差系统: 通常把阶跃输入信号作用下不存在误
差的系统称为无差系统。
注意:这里所讲的误差指 系统原理上的误差。
Ⅱ型系统： K K
ss
ss
ss
1 K
表3－1 输入信号作用下的稳态偏差
系统 静态误差系数 型别
阶跃输入
r(t) R
Kp
Kv K
ss
R 1 Kp
0
K
00
R 1 K
Ⅰ K 0 0
Ⅱ K 0
斜坡输入
r(t) vt
ss
v Kv
v
K
0
加速度输入
r (t ) t 2
2
ss
K
K
如果系统输入信号是多种典型信号代数组合时， 应用叠加原理可求的系统的稳态偏差（稳态误
K2 s K1K2
1
s
1 K1
三、典型输入信号下稳态偏差的计算
开环传递函数的一般形式为： R(s)
m
K (1is)
G(s)H (s)
i 1 n
s (1 Tis)
i 1
E(s)
G(s)
B(s)
H (s)
(3-48)
C(s)
K为系统的开环增益或开环传递系数或开环放大系数；
i ,Ti 为系统内部环节的时间常数； 积分环节的个数。根据 的数值，可以对系统进行分类：
装置的传递函数
GR (s)
E
C
G(s)
图3-31 对输入进行补偿的系统方框图
C(s) 1 GR (s)G(s) R(s) G(s)R(s) GR (s)G(s)R(s) (3-57)
1 G(s)
1 G(s) 1 G(s)
若使 C(s) R(s)
GR
(s)
1 G(s)
(3-58) (3-59)
N (s)
enss
lim
s0
sE1n
(s)
lim
sG2 (s)
s0 1 G1(s)G2 (s)H (s)
N (s)
(3-52) (3-53) (3-54)
五、提高系统稳态精度的方法
1.增大系统的开环放大系数可以增强系统对参考输入的 跟随能力;增大扰动点以前的前向通道放大系数可以降低 扰动引起的稳态误差.
例12 r 已知系统结构如图3-26所示，当参考输入为 (t) t
时，试求出系统在输入信号作用下的稳态误差。
解：第一步：判别稳定性。
R(s)
K (0.5s 1) C(s)
系统的闭环特征方程：
s(s 1)(2s 1)
D(s) s(s 1)(2s 1) K(0.5s 1) 0
2s3 3s2 (1 0.5K)s K 0
H (s)
C(s)
lim 1 1
令
Kv
s0
lim sG(s)H (s)
s0
sG(s)H (s)
lim
s0
K s 1
Kv
(3-50)
为系统的静态速度误差系数。
零型系统： Kv 0
Ⅰ型系统： Kv K
ss
ss
1 K
Ⅱ型系统： Kv
ss 0
3、等加速度信号输入
r(t) 1 t 2 2
ess
lim sE(s)
s0
lim s s0
s(s 1)(2s 1) s(s 1)(2s 1) K(0.5s 1)
1 s2
1 k
计算结果表明，稳态误差 的大小，与系统的开环增 益K有关。系统的开环增 益越大，稳态误差越小。 由此看出，稳态精度与稳 定性对K的要求是矛盾的。
例13 已知系统结构如图3-27所示，当参考输入为r(t) 1(t)
二、稳态误差的计算
系统的稳态误差的计算为:
ess
lim e(t) t
lim
s0
sE1
(s)
同理系统的稳态偏差的计算为:
ss
lim (t) t
lim sE(s) s0
(3-47a) (3-47b)
s 式(3-47)应用的条件是：E(s), E在1(右s)半 平面及虚轴（除原
点）解析，即没有极点。
令 R(s) 0
图3-30 对扰动进行补偿的系统方框图
则由扰动引起的系统的输出为
令
CN
(s)
G2
(s)G1(s)GN
1 G1(s)G2
(s) (s)
1
N
(s)
G2(s)G1(s)GN (s) 1 0
GN
(s)
1 G1 ( s)
(3-55) (3-56)
(2)对输入进行补偿
GR (s) 为待求的前馈控制 R
第五节 控制系统的稳态误差分析
一、基本概念 1.偏差、误差和稳态误差 R(s)
偏差 (t的) 定义：
(t) r(t) b(t)
E(s) R(s) B(s) (3-44a)
E(s)
G(s)
C(s)
B(s)
H (s)
图3-24 系统结构图
误差 e(t的) 定义：
e(t) cd (t) c(t) E1(s) Cd (s) C(s) (3-44b)
s0
(s)
lim
s0
K s
零型系统：
Kp
K
lim
s0
s0
K
为系统的静态位置误差系数
ss
1 1 K
Ⅰ型和Ⅱ型系统： K p ss 0
2、单位斜坡信号输入
r(t) t
R(s)
1 s2
R(s)
ss
lim sE(s)
s0
lim sR(s) s0 1 G(s)H (s)
E(s)
B(s)
G(s)
图3-26 例12的结构图
由稳定判据：(1)各项系数大于0，则 K 0
s (2)列劳斯表 3 2
1+0.5k
s2 3
k
s1 3-0.5k
s0 k 3
稳定条件为
0K 6
第二步：求 E(s)
E(s)
er
(s)R(s)
1
1 G(s)
R(s)
R(s)
K (0.5s 1) C(s) s(s 1)(2s 1)
四、扰动输入引起的稳态偏差
N
R
en
(s)
1
G2 (s)H (S) G1(s)G2 (s)H
(s)
E G1(s)
G2(s) C
H (s)
图3-29 有干扰作用下的反馈系统
En
(s)
en
(s)
N
(s)
1
G2 (s)H (s) G1(s)G2 (s)H
(s)
N
(s)
nss
lim
s0
sEn
(
s)
lim sG2 (s)H (s) s0 1 G1(s)G2 (s)H (s)
(4 s
6 s2
6 s3
)
15
17
(b)
er (s)
1 1 G(s)
s3
s2 (s 4) 4s2 10s
10
R(s)
10(s 1) C(s) s2 (s 4)
ess
ss
lim sE(s)
s0
(b)Ⅱ型系统
lim s
s0
Baidu Nhomakorabea
s3
s2 (s 4) 4s2 10s
10
(4 s
6 s2
6 s3
)
2.4
3t，2 所以 ess
系统（b)为Ⅱ型系统，其
K
所10以 4
ess
6 K
24 10
2.4
(3)应用终值定理
er (s)
1 1 G(s)
s(s 4) s2 4s 10
R(s)
10 C(s) s(s 4)
ess
ss
lim sE(s)
s0
(a)Ⅰ型系统
lim
s0
s
s(s s2 4s
4) 10
e 干扰为 n(t) 1(t) 时，试求系统总的稳态误差 ss
解：第一步：判别稳定性。
由于是一阶系统，所以只
要参数 K1, K2
R
大于零，系统就稳定。
K1
N
K2 C
s
第二步：求 E(s)
图3-27 例13的结构图
E(s) er (s)R(s) en (s)N (s)
er
(s)
s
s K1K2
en
差）。为了满足系统稳态响应的要求， 值应v
按最复杂的输入信号来决定（例如，输入信号
包含有阶跃信号和等速度信号时， 值必v 须大
于等于1）。
例14 已知两个系统如图3-28所示，当参考输入为
r(t) 4 6t 3t2 时，试分别求出两个系统的稳态误差。
R(s)
10 C(s)
s(s 4)
R(s)
R(s) 1 s3
R(s)
ss
lim sE(s)
s0
sR(s) lim s0 1 G(s)H (s)
E(s)
B(s)
G(s)
H (s)
C(s)
1
lim
s0
s
2G
(
s)
H
(s)
1
K
(3-51)
令
K
lim
s0
s2G(s)H
(s)
lim
s0
K s 2
为系统的静态加速度误 差系数
零型系统： K 0
Ⅰ型系统： K 0
H (s)
1 E(s) H (s)
图3-24 中系统的误差传递函数为:
e
(s)
1
H
1 (s)G(s)
R(s)
E(s)
G(s)
B(s)
H (s)
C(s)
则:
E(s)
1
R(s)
1 H (s)G(s)
图3-24 系统结构图
(3-45a)
1 E1(s) H (s)(1 H (s)G(s)) R(s)
G(s) K (0.5s 1) s(s 1)(2s 1)
R(s)
1 s2
s(s 1)(2s 1)
1
E(s) s(s 1)(2s 1) K (0.5s 1) s2
e 第三步：利用终值定理求稳态误差 ss s 当 0 K ， 6闭环特征方程（即 的E分(s母) ）中，没有 右半平面的
根，所以满足终值定理应用条件，稳态误差为：
10(s 1) C(s)
s2 (s 4)
(a)Ⅰ型系统
(b)Ⅱ型系统
图3-28
解(1)判别系统的稳定性：
(a)系统特征方程为 D(s) s2 4s 10 0
(b)系统特征方程为 D(s) s3 4s2 10s 10 0
系统稳定 系统稳定
18
19
(2)系统(a)为Ⅰ型系统，其 K 不0能紧跟 中r的(t分) 量
(s)
s
K2 K1K2
R(s) 1 s
N(s) 1 s
E(s) s 1 K2 1
s K1K2 s s K1K2 s
E(s) s 1 K2 1 s K1K2 s s K1K2 s
e 第三步：利用终值定理求稳态误差 ss
ess
lim sE(s)
s0
lim
s0
s
s
s K1K2
1 s