大学高数第一章--函数和极限

极
限
如：y sin3 x 可视为 y u3,u sin x 复合而成的
复合函数。
类似地，可以定义多于两重复合关系的复合函数。
11
例 已知 y arcsin[ln(x 1)]
（1）分析 y 的复合结构；（2）求 y 的定义域.
解：(1) y arcsinu ， u ln v ， v x 1
径。
有时用到的邻域需要把中心去掉，x0 的 邻域去掉中心 x0
后，称为点 x0 的去心 邻域，记作 N x0 , 。
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1.1.4 初等函数
1、基本初等函数（basic elementary function）
幂函数y xa (a为任意实常数)
第 一
指数函数y ax (a 0, a 1)
解析式: y C(C为常数) 定义域:实数集R
第 一 章 函 数 和 极 限
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幂函数基本性质
解析式: y xa (a为常数)
定义域:必须视常数 a的取值而定，若 a 为分数时，
第 一
章 通常还要根据其分母的奇偶来决定函数的定义域。
函
数 和
图像特征:所有幂函数必经过点(1,1)
极
限
16
第 一 章 函 数 和 极 限
限
其中，集合 X 称为定义域，集合Y 称为值域。
2
关于函数定义的几点说明
1、函数相同的条件
两个函数相同的条件是定义域和对应规则均相同。
第 一
2、函数定义域的规定
章
函 函数的定义域必须满足实际意义，在不考虑函数的
数
和 实际意义时，函数的定义域是使函数表达式有意义
极
限 的一切实数。
3、函数的表示方法
函数最常用的表示方法为公式法，图像法、表格法
第
f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是偶函数；
一
章
若是 f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是奇函数；
函
数 和
性质：奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于 y 轴对称。
极
限 思考：函数 f (x) x2 (1 x 2) 的奇偶性
8
4.函数的周期性
设函数 f (x) 的定义域为 D .如果存在一个不为
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1.1.3复合函数
定义 1.2 如变量 y 是变量 u 的函数，变量 u 又是
变量 x 的函数，即： y f (u) ， u (x) ，
第 一
且 u (x) 的值域与 y
f (u) 的定义域有公共部分，
章 则称 y 是 x 的复合函数，记作： y f [(x)]
函
数 和
变量 u 称为中间变量。
章
函
对数函数y loga x(a 0, a 1)
数 和
三角函数y sin x, y cos x, y tan x, y cot x等
极
限
反三角函数y arc sin x, y arc cos x等
常数函数y C(C为常数)
课后作业:复习基本初等函数的性质、定义域、图像等特征
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常函数基本性质
医用高等数学
教师：杜晓曦
电话：
1
第1章 函数和极限
1.1 函数 1.1.1函数的概念
第 一
定义 1.1 设 X ,Y 是非空数集，对于集合 X 中的任意一个数 x ，
章
函 在集合 Y 中均有确定值 y 与其对应，则称 y 是 x 的函数，记为：
数
和 极
y f (x) ，其中 x 称为自变量， y 称为因变量，
零的数 l ，使得对于任一 x D 有 (x l) D ，且
第 一
f (x l) f (x)
章 函
恒成立，则称 f (x) 为周期函数， l 为 f (x) 的周
数 和
期，通常所说周期函数的周期是指最小正周期.
极
限 常见的周期函数有：sin x 、cos x 、tan x ，cot x
前两者周期为 2 ，后两者周期为 。
(2)
1 x 1
ln(x 0
1)
1
1
e
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1 1
x
e
1
D :[1 1, e 1] e
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邻域的概念
以 x0 为中心的任何开区间称为点 x0 的邻域，记作 N x0 。 设 为任一正数，称开区间 x0 , x0 为 x0 的 邻 域，记作 N x0 , ， x0 称为邻域的中心， 称为邻域的半
一 章 函 数 和 极 限
5
1.1.2 函数的几种特性
1.单值性与多值性
对于自变量的每一个取值，函数y有唯一确定的一个
第 值与之对应，这样的函数称为单值函数，否则称为
一
章 多值函数。
函
数
和 极 限
y0
y2 x2 r2
y0
y x2
x0
x0
y0 '
单值函数实例 6
多值函数实例
2、函数的单调性
设 x1 , x2 是函数 f (x) 在其定义域的某区间 (a,b)内的任意两点，且 x1 x2
3
函数的常用表示方法
1、公式法
例1-1：在出生1-6个月期间内，正常婴儿的体重近
第 似满足以下关系式：y 3 0.6x
一 章
2、图像法
函 数
例1-2：监护仪记录了某患者一段时间内体温 的变
和 极
化曲线，如图1-1，对于这段时间的任意时刻 都能
限 读出患者的体温 的值。
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3、表格法 例1-3：表格1-1统计记录了某地区某年1-12月中当 第 地流行性出血热的发病率。
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幂函数图像（a 0时）
第 一 章 函 数 和 极 限
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幂函数图像（a 0时）
指数函数基本性质
解析式: y ax (a>0，且a 1) 基本特征:定义域为实数集R，值域为(0,+∞)，函数 第 图像必经过点(0,1)
一 章 函 数 和 极 限
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对数函数基本性质
解析式: y loga x(a 0,且a 1)
第
若 f (x1) f (x2) ,则称该函数在该区间上单调递增；
一
章
若 f (x1) f (x2),则称该函数在该区间上单调递减；
函
数
和 极
例如函数 y x2
限
在 (, 0) 上单调递减，
在 (0, ) 上单调递增
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3.函数的奇偶性
如函数 y f (x) 的定义域 D 关于原点对称，且对于任意 xD ，均有：
基本特征:定义域为(0,+∞)，值域为实数集R，图像
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5.函数的有界性
若存在某个正数 M ，使得不等式
f (x) M
第
一 章
对于函数 f (x) 的定义域 D 内的一切 x 值都成立，则称函数
函
数 f (x) 在定义域内是有界函数；
和 极
限 如果这样的正数 M 不存在，则称函数 f (x) 在定义域 D 内是
无界的。
如:函数 y sin x ，在 ,内有界,且：| y | 1