数理金融资产定价的原理与模型.ppt
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资产定价理论CAPMPPT课件
02 CAPM模型的理论基础
资本资产定价模型的基本假设
市场有效性
市场上的所有信息都会被所有投 资者所获取，且投资者会根据这
些信息做出理性的投资决策。
投资者风险厌恶
投资者对风险持厌恶态度，更 倾向于投资风险较低的资产。
投资者同质预期
投资者对未来市场的预期是一 致的。
资产无限可分
资产可以无限分割，即投资者 可以购买任意数量的资产。
应用
CAPM模型广泛应用于投资组合管理、资本预算和风 险管理等领域。
CAPM模型的未来研究方向
01
改进模型
扩展模型
02
03
实证研究
研究如何改进CAPM模型，使其 更准确地预测资产价格和收益率。
探索如何将CAPM模型与其他金 融理论结合，以更全面地解释金 融市场现象。
进一步验证CAPM模型的有效性 和适用性，通过大量实证数据来 支持或质疑该模型。
基于多因素模型的CAPM改进
01 02 03
多因素模型的发展
传统的CAPM模型假设资产收益率只受市场风险的影响， 但现实中影响资产收益率的因素有很多，因此多因素模型 被引入到CAPM的改进中。多因素模型认为资产收益率受 到多种因素的影响，如市场风险、利率风险、通货膨胀风 险等。
扩展CAPM模型
基于多因素模型的CAPM改进主要是将传统的CAPM模型 扩展为多因素模型。这些改进包括引入更多的风险因子、 建立因子载荷矩阵等，以更全面地反映资产的风险和预期 收益之间的关系。
03 CAPM模型的实证研究
CAPM模型在实证研究中的应用
评估资产风险和回报关系
01
通过实证研究，使用CAPM模型分析资产的风险和回报关系，
以检验资本资产定价的有效性。
第13章资产定价理论.pptx
Rp
Rf
[RM Rf
M
] p
思考：证券市场提供了时间和风险的交易场所？
证券市场线（SML）
协方差的性质：一种证券与市场组合的协方差 等于该证券与市场组合中每种证券协方差的加 权平均数。
市场组合的标准差等于所有证券与市场组合协 方差的加权平均数的平方根，其权重为各种证 券在市场组合中的比例。
4、流动性问题 流动性差会大大降低资产的价格，艾米胡和门
德尔松 (Amihud & Mendelson,1996)，乔迪亚、罗 尔和苏伯拉曼(Chordia, Roll & Subrahmanyam,2000)。 资产价格中应包含流动性溢酬。
第二节 套利定价模型
套利定价理论(Arbitrage Pricing Theory，简称 APT)
罗斯 (Ross,1976) 提出，其与夏普等人的 CAPM相比，假设条件减少了许多，使用起来 较为方便。
因素模型
套利定价理论认为，证券收益是与某些因素相 关的。
因素模型认为各种证券的收益率均受某个或某 几个共同因素影响。各种证券的收益率之所以 相关，主要是因为他们都会对这些共同因素起 反应。
优风险资产组合的构成是无关的。
资本市场线（CML）
2、市场组合 在均衡时，最优风险组合中各证券的构成比例
等于市场组合 (Market Portfolio)中各证券的构成 比例。 市场组合？ 由所有证券构成的组合，在该组合中，每一种 证券的构成比例等于该证券的相对市值。而证 券的相对市值就等于该证券市值除以所有证券 的总市值。
单个证券的预期收益率水平取决于其与市场组 合的协方差。
证券市场线（SML）
证券市场线反映了单个证券与市场组合的协方 差和其预期收益率之间的均衡关系。
《金融数学模型》课件
略。
风险管理
金融数学模型可以对投资组合 进行风险评估和管理，帮助投 资者降低投资风险。
资产定价
金融数学模型可以对资产进行 定价，帮助投资者确定资产的 价值。
决策支持
金融数学模型可以为决策者提 供科学的数据支持，帮助决策
者做出更准确的决策。
金融数学模型的分类
线性模型
非线性模型
线性模型是指模型中的变量之间存在线性 关系，如回归分析、弹性系数等。
残差分析
检查残差是否随机、正态分布，并具有恒定的方差。这有助于诊断模 型是否满足某些假设。
04
非线性回归模型
非线性回归模型的定义
总结词
非线性关系
详细描述
非线性回归模型用于描述因变量和自变量之间的非线性关系，这种词：参数估计
详细描述：通过最小二乘法等参数估计方法，确定非线性回归模型的参数，以使 实际数据与预测数据之间的误差最小化。
建立模型
根据收集到的数据，使用最小二乘法等统计方法 来估计模型的参数 (a) 和 (b)。
确定自变量和因变量
确定要预测的变量作为因变量，选择与预测结果 相关的变量作为自变量。
诊断和修正
检查模型的残差图和其他统计量，以确定模型是 否满足某些假设（如线性关系、误差的正态性和 同方差性）。如果需要，可以使用转换或引入其 他变量来改进模型。
基尼指数越小，模型的纯度越高。可以通过计算每个节点的基 尼指数来评估模型的分类效果。
通过计算每个特征在决策树中的使用次数或信息增益等指标来 评估特征的重要性，从而了解哪些特征对模型预测效果影响最
大。
06
神经网络模型
神经网络模型的定义
神经网络模型是一种模拟人脑神经元工作方式的计算模型 ，通过训练和学习，能够实现对复杂数据的分类、预测和 优化等任务。
风险管理
金融数学模型可以对投资组合 进行风险评估和管理，帮助投 资者降低投资风险。
资产定价
金融数学模型可以对资产进行 定价，帮助投资者确定资产的 价值。
决策支持
金融数学模型可以为决策者提 供科学的数据支持，帮助决策
者做出更准确的决策。
金融数学模型的分类
线性模型
非线性模型
线性模型是指模型中的变量之间存在线性 关系，如回归分析、弹性系数等。
残差分析
检查残差是否随机、正态分布，并具有恒定的方差。这有助于诊断模 型是否满足某些假设。
04
非线性回归模型
非线性回归模型的定义
总结词
非线性关系
详细描述
非线性回归模型用于描述因变量和自变量之间的非线性关系，这种词：参数估计
详细描述：通过最小二乘法等参数估计方法，确定非线性回归模型的参数，以使 实际数据与预测数据之间的误差最小化。
建立模型
根据收集到的数据，使用最小二乘法等统计方法 来估计模型的参数 (a) 和 (b)。
确定自变量和因变量
确定要预测的变量作为因变量，选择与预测结果 相关的变量作为自变量。
诊断和修正
检查模型的残差图和其他统计量，以确定模型是 否满足某些假设（如线性关系、误差的正态性和 同方差性）。如果需要，可以使用转换或引入其 他变量来改进模型。
基尼指数越小，模型的纯度越高。可以通过计算每个节点的基 尼指数来评估模型的分类效果。
通过计算每个特征在决策树中的使用次数或信息增益等指标来 评估特征的重要性，从而了解哪些特征对模型预测效果影响最
大。
06
神经网络模型
神经网络模型的定义
神经网络模型是一种模拟人脑神经元工作方式的计算模型 ，通过训练和学习，能够实现对复杂数据的分类、预测和 优化等任务。
数理金融NO_1_[1].4
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4.3 期望收益率关系式与风险分类
T
w w
T
(
2
1
( 1 1 2 E ( R )) )= 1 w 1 2 w E ( R )
T T
1 2 (a - 2 b c ) D .
(1 -8 )
在方差-均值坐标下,最小方差组合方差-均值空间是 抛物线;在均方差-均值坐标系下,他是一双曲线,见 图2-1-1和2-1-2.
重庆邮电大学数理学院
4.1 标准的均值-方差资产组合问题
定义1.1：如果一个资产组合对确定的方 差具有最大的期望收益率，同时对确定的 期望收益率水平，有最小的方差。称这样 的资产组合称为“均值-方差”有效的资 产组合。 定义1.2：如果一个资产组合对确定的期 望收益率水平有最小的方差，那么称该投 资组合为最小方差资产组合。 显然， “均-方”有效投资组合是最小方 差投资组合，反之不然。 分析推导如下：
鲜思东 重庆邮电大学数理学院
4.1 标准的均值-方差资产组合问题
分析： 设市场只有 n 种风险资产,其收益率向量记 为 R ( X , X , , X ) T,投资此 n 种风险资产的资产组
1 2 n
合为 w ( w 1 , w 2 , , w n ) . 两资产的收益率的协方差
= ( r ) ( r ) ( c 2 rb r a ) .
2 2 1
(2 -7 )
两基金分离定理(货币分离定理)
所有最小方差资产组合可表示成不同两资产的资产组合. 即无风险资产和不含无风险资产的组合,即所谓切点资产 组合w t ( w t 0 , w t ),其中
1 a
.
金融数学课件第四章资本资产定价模型CAPM
E (r ) O’ EO’ Q m O A
Em EQ’ B
Q’
rf
0
βmm =1
βim
β 系数含义
β 系数表示证券或组合的系统风险 根据β 系数将证券或组合分为两种 SML上的B点在m点的左边，其β 系数值 小于1。表明证券B的变动幅度小于整个 市场的变动，称为防卫性证券或证券组 合（defensive securities） SML上的A点在m点的右边，其β 系数值 大于1。表明A的变动幅度大于整个市场 的变动，称为攻击性证券或证券组合 （Aggressive securities）
处在SML上的投资组合点，处于均衡状态。如图 中的m、Q点和O点 高于或低于直线SML的点，表示投资组合不是处 于均衡状态。如图中的 O’点和Ｑ’点 市场组合m的β 系数β mm＝1，表示其与整个市 场的波动相同，即，其预期收益率等于市场平 均预期收益率Em SML对证券组合价格有制约作用 市场处于均衡状态时，SML可以决定单个证券或 组合的预期收益率，也可以决定其价格
事后β 系数的估计
所谓事后β 系数，是从市场的实际表现，来估计过 去到现在一段时期以来，实际表现的β 值是多大， 因而它属于一个实证而非预测的范畴 由于用的是历史的数据，所以也称为历史的β 方法 假定α i，β i为常数。用资产i的收益率和市场价格 指数收益（市场组合收益率替代物）的历史数据， 建立线性回归模型，得到α i和β i的估计值α *i， β *i： rit＝α i+β irmt+ε it ，t＝1，2，…，T 具体估计过程分选取样本和估计两个步骤 分段计算β 系数
一般所说的CAPM就是传统的标准的 在一定假设条件下成立 不“传统的标准的”CAPM，是对假设 条件的一些放宽 本章主要介绍“传统的”
《资产定价基本原理》幻灯片PPT
4
第二节 资产的价值类型
一、对资产价值的理解
〔一〕资产的价值不是一个静态的、性质不变的 概念。
〔二〕价值与价格、本钱
价格——为取得一项资产所花费的实际货币量
本钱——为创立一项资产所必需的生产要素的货 币价值
价格 成本
不一定与价值相等
5
二、资产评估中常见的价值类型
〔一〕公允市场价值〔fair market value) 指资产在评估基准日的公开市场上的交易价格。
15
2、非市场价值标准〔非公开市场价值〕 1〕含义： 指不满足市场价值成立条件以及满足市 场价值成立条件，但只能在非公开市场条件下实现 的价值。
2〕适用对象：需采用非市场价值标准评估的资产业务。
从资源业务看：
属于特定评估目的〔主要指非正常产权变动或非产权变 动〕。主要有：保险、税收、投资、清算等；专用资产 价值或市场的公开竞争受到限制下的资产评估。
9
〔五〕重置价值〔replacement value〕
❖ 指在现时条件〔市场、技术〕下，获得与被估资产
❖
同等功能的处于在用状态的资产所需消耗的本钱。
❖
又称为折余重置本钱。
❖ 一般在非市场和有限市场条件下运用。
❖
❖
10
〔六〕清算价值
❖ 指企业停顿营业，变卖企业所有资产减去所有负债后 以货币形式存在的余额。
作价基础
公允市价
17
3、内在价值
为公允市价 设定了上限
4、重置价值 5、清算价值
❖ 对于可在公开市场出售的资产而言：
内在价值
市场价值
❖ 不具有在公开市场出售条件的资产：
内在价值
非市场价值
❖ 与内在价值相一致时 ❖ 与内在价值不一致时
数理金融(资产定价的原理与模型) PPT资料共103页
本书以资产定价的原理和模型为主线，主要介绍资产定价 的无套利定价和均衡定价原理，以及以此为依据的债券定 价，风险资产定价和衍生产品定价模型。本书从易到难先 介绍单期模型，然后介绍多期模型。
各章的基本概念和主要结论分述如下。
第一章
期望效用函数理论与单期定价模型
第1章介绍期望效用函数理论、投资者的风险类型 及其风险度量以及单期无套利模型和均衡定价模型， 是学习金融经济学和数理金融学的基础知识。
性质 2（中值性） 对任意 x, y, z B ，如果 x y z ，那么存在唯
一的 0,1 使x 1 z ～ y
性质 3（有界性） 存在 x* , y * B ，使对任意 z B ，有 x* zy *
性质 3 是为了证明效用函数存在定理更方便，性质 1 和性质 2 是重要 的，并不是所有具有偏好关系都是有这三条性质。
称形如
V (x) 1 r ( ax b)r r 1r
b 0
的函数为双曲绝对风险厌恶函数，它是金融经济学中用到的一类重要的效用函数。
1.4 均值方差效用函数
1.4.1 资产的收益率
假设从时点 t 到时点 t 1没有红利支付，时点 t 的价格为 Pt ，时点 t 1的价
格为 Pt1 ，则该资产从时点 t 到时点 t 1百分比收益（也称单位净收益） Rt 为
F1 P1 r
2.1.2 现值与贴现
在计算现值时，贴现因子起着很重要的作用，下面我们讨论贴现因子。 1.单利贴现因子
单利的贴现因子为 1 。 1 nr
2.复利贴现因子
复利贴现因子为 1 。
1 r n
3.连续复利折现因子
连续复利贴现因子为 e nr 。
2.1.3 多重现金流
各章的基本概念和主要结论分述如下。
第一章
期望效用函数理论与单期定价模型
第1章介绍期望效用函数理论、投资者的风险类型 及其风险度量以及单期无套利模型和均衡定价模型， 是学习金融经济学和数理金融学的基础知识。
性质 2（中值性） 对任意 x, y, z B ，如果 x y z ，那么存在唯
一的 0,1 使x 1 z ～ y
性质 3（有界性） 存在 x* , y * B ，使对任意 z B ，有 x* zy *
性质 3 是为了证明效用函数存在定理更方便，性质 1 和性质 2 是重要 的，并不是所有具有偏好关系都是有这三条性质。
称形如
V (x) 1 r ( ax b)r r 1r
b 0
的函数为双曲绝对风险厌恶函数，它是金融经济学中用到的一类重要的效用函数。
1.4 均值方差效用函数
1.4.1 资产的收益率
假设从时点 t 到时点 t 1没有红利支付，时点 t 的价格为 Pt ，时点 t 1的价
格为 Pt1 ，则该资产从时点 t 到时点 t 1百分比收益（也称单位净收益） Rt 为
F1 P1 r
2.1.2 现值与贴现
在计算现值时，贴现因子起着很重要的作用，下面我们讨论贴现因子。 1.单利贴现因子
单利的贴现因子为 1 。 1 nr
2.复利贴现因子
复利贴现因子为 1 。
1 r n
3.连续复利折现因子
连续复利贴现因子为 e nr 。
2.1.3 多重现金流
数理金融中的金融模型与定价理论
数理金融中的金融模型与定价理论金融模型与定价理论是数理金融研究的重要组成部分，它们用于描述和解释金融市场中的现象和行为，并提供了对金融资产价格进行定价的方法。
本文将介绍数理金融中的一些经典金融模型和定价理论，包括随机过程、股票价格模型和期权定价等。
一、随机过程在数理金融中，随机过程被广泛用于描述金融市场中的风险和不确定性。
随机过程是时间的函数，通常用随机变量的数列来表示。
在金融市场中，我们关注的是连续时间的随机过程，其中最常用的是布朗运动，也称为几何布朗运动。
布朗运动是一种满足随机微分方程的随机过程，它具有平稳增量和独立增量的性质，被广泛应用于金融领域的风险建模和定价方法中。
二、股票价格模型股票价格模型是研究股票价格变动的数理模型，旨在描述和预测股票价格的波动。
其中最常用的模型是几何布朗运动和几何布朗运动的扩散。
根据这些模型，我们可以构建出股票价格的随机微分方程，通过求解这个方程，可以得到股票价格的概率分布，从而对未来价格的走势进行预测。
三、期权定价期权是金融衍生品中的一种，它给予持有人在未来某个时间以约定价格购买或出售某种资产的权利。
期权的定价一直是金融学中的经典问题之一。
数理金融中最早提出的期权定价模型是布莱克-斯科尔斯模型，它基于几何布朗运动的假设，通过假设市场中不存在套利机会，得到了一个偏微分方程，称为布莱克-斯科尔斯方程。
通过求解这个方程，可以得到期权的理论价格。
除了布莱克-斯科尔斯模型，还有许多其他的期权定价模型，例如考虑风险中性测度的模型、随机波动率模型等。
这些模型拓展了金融模型的应用领域，提高了对金融市场的定价精度。
总结数理金融中的金融模型和定价理论在解释金融市场中的现象和行为，以及对金融资产价格进行定价方面发挥了重要作用。
从随机过程到股票价格模型，再到期权定价模型，这些模型和理论不断推动着数理金融的发展。
未来，随着金融市场的不断变化和发展，数理金融中的金融模型和定价理论也将不断地完善和创新。
《资产定价模型》PPT课件
– 消极的投资组合。选择一种或几种无风险证券与风险 证券构成组合；
– 积极的投资组合。投资者必须充分考虑证券实际价格 是否被高估或低估，从而选择有吸引力的证券构建证 券组合。同时还应根据市场的趋势调整资产组合。
• 当预测到市场价格呈上升趋势时，可增加高β值证券的持有 量；
• 当市场价格呈下降趋势时，则应减少高β值证券的持有量。
– 马科维兹的资产组合理论奠定了现代投资组合理论的 基石，此后，经济学家一直在利用数量方法不断丰富 和完善投资组合的理论和方法。
4- 5
一、证券组合的收益和风险
资产组合理论的前提条件 第一，证券市场是有效的; 第二，投资者都是风险厌恶者; 第三，投资者根据证券的预期收益率和
标准差选择证券组合; 第四，多种证券之间的收益是相关的。
MV
可行域
0
p
4- 15
有效边界的微分求解法*
• 均值-方差（Mean-variance）模型是由哈 里·马克维茨等人于1952年建立的，其目 的是寻找有效边界。
• 通过期望收益和方差来评价组合，投资者 是理性的：害怕风险和收益多多益善。
– 在市场均衡状态下，最优风险证券组合与市场 证券组合M一致，投资者选择市场证券组合就 等价于选择了最优风险证券组合；
– 在现实中，一般用市场上某种指数所对应的证 券组合作为市场组合的近似替代。
4- 29
资本资产定价模型（CAPM）
E(RM ) Rf [E(Ri ) E(RM )] M
• CAPM的β表示式
令
i
iM
2 M
则有：E(Ri ) Rf i [E(RM ) Rf ]
或: E(Ri ) Rf i [E(RM ) Rf ]
– 积极的投资组合。投资者必须充分考虑证券实际价格 是否被高估或低估，从而选择有吸引力的证券构建证 券组合。同时还应根据市场的趋势调整资产组合。
• 当预测到市场价格呈上升趋势时，可增加高β值证券的持有 量；
• 当市场价格呈下降趋势时，则应减少高β值证券的持有量。
– 马科维兹的资产组合理论奠定了现代投资组合理论的 基石，此后，经济学家一直在利用数量方法不断丰富 和完善投资组合的理论和方法。
4- 5
一、证券组合的收益和风险
资产组合理论的前提条件 第一，证券市场是有效的; 第二，投资者都是风险厌恶者; 第三，投资者根据证券的预期收益率和
标准差选择证券组合; 第四，多种证券之间的收益是相关的。
MV
可行域
0
p
4- 15
有效边界的微分求解法*
• 均值-方差（Mean-variance）模型是由哈 里·马克维茨等人于1952年建立的，其目 的是寻找有效边界。
• 通过期望收益和方差来评价组合，投资者 是理性的：害怕风险和收益多多益善。
– 在市场均衡状态下，最优风险证券组合与市场 证券组合M一致，投资者选择市场证券组合就 等价于选择了最优风险证券组合；
– 在现实中，一般用市场上某种指数所对应的证 券组合作为市场组合的近似替代。
4- 29
资本资产定价模型（CAPM）
E(RM ) Rf [E(Ri ) E(RM )] M
• CAPM的β表示式
令
i
iM
2 M
则有：E(Ri ) Rf i [E(RM ) Rf ]
或: E(Ri ) Rf i [E(RM ) Rf ]
金融资产定价(PPT 81张)
1 ( 1 5% )n
1.7722
1 P 0 .1 5 6 0 .0 5 0 .0 2 5
3 0
2 3 P P 0 0 3 (1 0.05) (1 0.05) 7 1.7722 6 3.1945 (1 0.05) 3 (1 0.05) 7 8.99(元 ) 1 P 0 P 0
（一）套利机制应用于金融资产相对定价
一价定律和套利机制保证了一个完善的金融市场 会自动稳定在“没有套利机会”的均衡状态。 一旦偏离这种均衡，套利行为就会发生，使得市场 在很短的时间内回到原来的均衡状态。 相对定价法是建立在绝对定价法基础之上的 相对定价法在实践中适用性更广泛
第二节 确定性条件下的金融 资产价值评估
法玛
效率市场
马科维茨
资产组合理论
夏普
CAPM模型
罗斯
APT模型
斯科尔斯
期权定价
二、金融资产定价的基本问题
跨期： 金融资产的买卖可以看做是投资者在不同时 间点上配置自己的资金。 不确定性： 一个事件未来可能演进的结果和每种结果发 生的概率已知，但事先不能断定哪种结果会发生。 比如明天某股票的价格
“十二五”普通教育本科国家级规划教材
主编：张强乔海曙
第9章 金融资产定价
第一节 金融资产定价概述
确定性条件下的 第二节 金融资产定价
不确定性条件下的 第三节 金融资产定价
掌握金融资产定价的基本问题和基本方法 掌握债券定价公式和股利贴现模型 掌握资本市场线公式 掌握无风险套利组合原理
第一节 金融资产定价概述
一
债券价值评估
股票价值评估
二
一、债券价值评估
（一）债券价值评估的基本公式
数理金融学和金融工程基础-第四章课件-PPT课件
• 哈里斯· 马科维茨（《资产组合选择》1952，《资产组 合选择：投资的有效分散》1959）和詹姆斯· 托宾 （1958）创造了资产组合理论，为资产定价理论奠定 了基础。均值-方差分析是资产定价的方法论创新。威 廉· 夏普（《资本资产定价：风险条件下等市场均衡理 论》1964）和约翰· 林特纳（风险资产的价值，股票资 产组合的风险选择，资本预算）1965）给出了完备市 场上资本资产价值的一般均衡分析模型，从而确立了 现代资产定价理论的基本体系和研究框架。 • 最新又发展出资本定价（见罗伯特· C· 默顿《连续时间 金融》修订版，中国人民大学出版社2019年版）。
• 从总的方面看，资产定价及其模型从消费品和资本品 之间的关系；异质资产之间的关系；当前和未来之间 的关系；风险和确定之间的关系，四个方面研究了资 产的现值。
本章要点
• （1）把握资本资产价值分析的由来和原始模型。 资产定价模型揭示的各种均衡关系都是通过欧拉方程 得到的。因为著名的夏普-林特纳-莫辛的证券市场价 格的线性方程就是由欧拉方程推出的。证券市场价格 的线性方程也被誉为“证券定价基本方程”，它也有 多种形式。要注意这种“一把钥匙开多把锁的方法”。 • （2）把握动态资产定价的理论框架。 资产定价模型一般指消费资本资产定价模型和一般金 融资产定价模型，现在又有资本定价模型。所有这些 模型都属于一般均衡分析体系，资本资产定价模型是 作为一般均衡的结果。金融经济学必须从市场均衡的 视角来讨论资产定价问题。
• 在这个环境下，无风险资产和风险资产的单个共同基 金足够产生所有有效投资组合。在这些条件下，所有 投资者应当持有相同比例的风险资产。特别地，每个 投资者应当保持相同的债权-股票比率。为了取得合意 的风险回报组合，投资者只需变动无风险资产在投资 组合中的比例。
数理金融(资产定价的原理与模型)-精PPT文档共104页
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
数理金融(资产定价的原理与模型)-精
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平
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1.1 序数效用函数
1.1.1 偏好关系 1.1.2 字典序 1.1.3 效用函数 1.1.4 偏好关系的三条重要性质
性质 1（序保持性） 对任意 x, y B ， x y ，及, 0,1， x 1 y x 1 y
当且仅当 。
性质 2（中值性） 对任意 x, y, z B ，如果 x y z ，那么存在唯
▪ 随着金融市场的发展及各种金融创新不断出现，各种金融 衍生产品层出不穷，这又给数理金融学的发展提出了更高 的要求，同时也为数理金融学的发展提供了广阔的空间。 数理金融学成为金融工程学的理论基础。现代金融学离不 开数学，因此无论是从事金融理论研究和金融市场决策有 关的实务工作都需要学习数理金融理论，掌握利用数学工 具分析金融问题的方法。数理金融学一方面能使经济和管 理专业的学生掌握定量分析的方法和技术，同时对于数学 和理工科专业的学生来说，通过学习数理金融学也是他们 掌握的数理工具大有用武之地。
——资产定价的原理与模型 郭多祚主编
▪ 数理金融学（Mathematical Finance）是二十世纪后期发展起 来的新学科。数理金融学的特点是数学作为工具对金融学的 核心问题进行分析和研究。金融学的三个基本研究内容之一， 资产定价问题与数学密切相关。数学工具的运用使金融学成 为一门真正的科学。现代金融学产生是由于“两次华尔街革 命”，第一次华尔街革命是指1952年马科维茨（H.M. Marcowitz）投资组合选择理论的问世。此后，马科维茨的学 生夏普（W.F. Sharpe）在马科维茨理论的基础上，提出了资 本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，CAPM）。他 们两人的成果获得了1990年诺贝尔经济学奖。他们的工作是 利用数学工具，在严格的假设的基础之上，利用数学推理论 证解决了风险资产的定价问题，是将数学方法应用于金融学 成功的范例，也是划时代的开创性的工作。第二次华尔街革 命是指1973年布莱克（F.Black）和斯科尔斯（M.S.Scholes） 期权定价公式。这一成果荣获1997年诺贝尔经济学奖。他们 也是利用数学工具解决了重要的金融衍生产品期权的定价问 题。两次华尔街革命标志着现代金融学的诞生，同时也产生 了一门新的学科：数理金融学。
1.2 期望效用函数
1.2.1 彩票（lottery）及其运算 1.2.2 彩票集合上的偏好关系 1.2.3 基数效用函数存在定理 定理 1.2 (基数效用函数存在定理) 设 B~ 具有性质 1—性质 3 的偏好关系” ”
则存在效用函数U : B R 满足: (1) P Q 当且仅当U (x) U ( y)
▪ 本书以资产定价的原理和模型为主线，主要介绍资产定价 的无套利定价和均衡定价原理，以及以此为依据的债券定 价，风险资产定价和衍生产品定价模型。本书从易到难先 介绍单期模型，然后介绍多期模型。
▪ 各章的基本概念和主要结论分述如下。
第一章
期望效用函数理论与单期定价模型
▪ 第1章介绍期望效用函数理论、投资者的风险类型 及其风险度量以及单期无套利模型和均衡定价模型， 是学习金融经济学和数理金融学的基础知识。
▪ 期望效用函数理论是von-Nenmann和Morgenstren创 立的。期望效用函数是对不确定性的环境中，对于 各种可能出现的结果，定义效用函数值，即vonNenmann and Morgenstren效用函数，然后将此效用 函数按描述不确定性的概率分布取期望值。本章首 先介绍期望效用函数理论。然后在此基础上研究投 资者的风险偏好以及风险度量，最后介绍单期定价 模型。
一的 0,1 使x 1 z ～ y
性质 3（有界性） 存在 x* , y * B ，使对任意 z B ，有 x* zy *
性质 3 是为了证明效用函数存在定理更方便，性质 1 和性质 2 是重要 的，并不是所有具有偏好关系都是有这三条性质。
1.1 序数效用函数
1.1.5 序数效用函数存在定理 定理 1.1 设选择集 B 上的偏好关系“ ”具有 1.1.4 中的性质 1～ 性质 3，则存在效用函数 U : B R 使得 1. x y 当且仅当U(x) U(y) 2 x ～ y 当且仅当U(x) U(y)
1.3.3 阿罗-伯瑞特（Arrow-Pratt）绝对风险厌恶函数
称ห้องสมุดไป่ตู้
A(x) = V "(x) V '(x)
为阿罗-伯瑞特（Arrow-Pratt）绝对风险厌恶函数。称
T (x) A x 1
为风险容忍函数。称
R(x) xA(x)
为相对风险厌恶函数。
1.3.4 双曲绝对风险厌恶类函数（HARA）
(2) P ～ Q 当且仅当U (x) U ( y)
(3) 设 P , Q B~ , 0,1 ,则U (P (1 )Q) U (P) (1 )U (Q)
1.2.4 von Nenmann-Morgenstren 效用函数
1.2.5 伯瑞特（Pratt）率
给定 von Neumann and Morgenstern 效用函数V X ,定义 Pratt 率 Ah : R R
称投资者为风险中性的。
1.3.2 Markowitz 马科维茨风险溢价
设 (w0 , h~) 满足下列条件
V (w0
~ (w0 , h))
pV (w0
h1) (1
p)V (w0
h2 )
更一般地
V (Ew~ (w~)) E(V (w~))
其中 w~ w0 h~ 。则称 (w0 , h~) 为马科维茨风险溢价（Markowitz risk premium）。
Ah
x
V
x
h V x V x h
h 2V V x
x
命题 2 Pratt 率 A h 对于正仿射变换是不变的
1.3 投资者的风险类型及风险度量
1.3.1 投资者的风险类型 对一般的风险资产 w~ 有,V (Ew~) E(V (w~)) ,则称投资者为风险厌恶型。对一 般地 w~ ，有V (Ew~) E(V (w~)) 称投资者为风险爱好型。效用函数V 是线性函数，