郑011 1.6微积分基本定理导学案2013-14高二下数学2-2
高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理(2)教学设计 理 新人教A版选修2-2
难点：运用微积分基本定理计算简单的定积分。
课型
□讲授
□习题
□复习 □讨论
□其它
教学内容与教师活动设计
备注
一、先学后讲
（一）引入
复习一：微积分基本道理 复习二：定积分公式
学生自主学习
复习三：定积分性质
（二）经典例题
例 1 求下列定积分：
2
（1） ( x 1)dx 0
（3） cos x dx 0
挑战陈规的精神！通过实例体会微积分基本定理求定积分的方法。
情感态度与价值观：揭示寻求计算定积分新方法的必要性，激发学生的求知欲。
体会“以直代曲”——临渊慕鱼，不如退而结网的思想。
授课题目
微积分基本定理
拟 2 课时Байду номын сангаас第 2 课时
明确目标 熟练地用微积分基本定理计算一些有关微积分的问题
重点难点 重点：微积分基本定理的应用。
（2） 2 (ex 1)dx
0
x
（4） 3 x 2 4 dx 0
教师分析后， 学生独立或合 作完成后，教 师点评
例 2.求由曲线 y x2 6x 13, y x 3 围成的封闭区域的面积。
例 3：已知函数 f (x) x3 ax2 bx 在 x 1处有极值-2。 （1）求常数 a,b。（2）求曲线 y f (x) 与 x 轴围成的图形的面积。
（三）问题过关
计算
1 1
f (x)dx, 其中
f
(
x)
x x
3 2
, ,
x x
0 0
二、总结提升 1、本节课你主要学习了
三、问题过关
布置作业： P66 ：14.(1),(3),(5) 16.
高中数学选修2-2学案：1.6微积分的基本定理(2)
1. 6微积分的基本定理（2）【学习目标】1．理解微积分基本定理；2．应用微积分基本定理解决综合问题； 3．了解求定积分的类型及方法．【新知自学】知识回顾：1.一般地，如果)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，并且)()(x f x F ='，那么=⎰dx x f ba)(_______________= ．2．计算定积分的关键是找到满足)()(x f x F ='的函数________，通常，可以用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从_________方向上求出)(x F ．新知梳理：1. 定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0．(1)当对应的曲边梯形位于x 轴上方时(图1)，定积分的值取_______ 且等于曲边梯形的________ ；(2)当对应的曲边梯形位于x 轴下方时(图2)，定积分的值取_______ 且等于曲边梯形______ 的相反数；(3)当位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为 _______ (如图3)且等于位于x 轴_____ 的曲边梯形的面积减去位于 ______ 的曲边梯形的面积． 2.活用定积分的三个性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝ ； (2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝(3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )．对点练习：1.设[)[]⎩⎨⎧∈-∈=2,1,21,0,)(2x x x x x f ，则dx x f ⎰20)(等于 ( )A.43 B.54C.65 D.不存在2．求下列定积分: （1）求=⎰edx x11； （2）()=+-⎰dx ex xπ23sin 2_____________．（3）()=+⎰dx x x 20cos 2sin π_________ ．3.设()f x 是奇函数，则=⎰-aadx x f )( .4.求⎰-aadx x 2．【合作探究】典例精析：例1. 计算定积分 （1）dx ⎰+4|)3-x ||1-x (|;；（2）设函数⎩⎨⎧≤≤<≤=21,110,)(2x x x x f ，求dx x f ⎰20)(.变式练习：()dx x x ⎰--++332332=___________________.例2.求使dx c x 212)+⎰（最小的c 的值.规律总结：(1)由三条直线x ＝a 、x ＝b (a ＜b )、x 轴、一条曲线y ＝f (x )[f (x )≥0]围成的曲边梯形的面积(如图1)：S ＝⎠⎛abf (x )d x .(2)由三条直线x ＝a 、x ＝b (a <b )、x 轴、一条曲线y ＝f (x )[f (x )≤0]围成的曲边梯形的面积(如图2)：S ＝|⎠⎛a bf (x )d x |＝－⎠⎛a bf (x )d x .(3)由两条直线x ＝a 、x ＝b (a <b )、两条曲线y ＝f (x )、y ＝g (x )[f (x )≥g (x )]围成的平面图形的面积(如图3)：S ＝⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x .【课堂小结】【当堂达标】1.曲线)0(sin π≤≤=x x y 与直线21=y 围成的封闭图形的面积是 ( ) A.3 B.32-C.32π- D.33π-2.dx t ⎰+21)2(=______________.3.求直线x=-1,x=1, y=0,以及y=|x|-2所围成的图形的面积.4.如图，求阴影部分的面积.【课时作业】1. 由曲线2x y =和直线()1,0,,1,02∈===t t y x x ，所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为A.41B.31C.21D.322.dx x |4|12⎰-=________________.3.设函数()0)(2≠+=a c ax x f ，若⎰=10)()(x f dx x f ，100≤≤x ，则0x 的值为 ．4.计算由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成图形的面积．5.求定积分dx x x ⎰-326．。
高中数学 1.6 微积分基本定理学案 新人教A版选修2-2
1.6 微积分基本定理学习目标：1.了解导数与定积分的关系以及微积分基本定理的含义．(重点、易混点)2.掌握微积分基本定理，会用微积分基本定理求定积分．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．微积分基本定理＝的函数[提示]不唯一，如F 1(x )＝x ＋1，F 2(x )＝x ＋5，…等其导数为1，故F (x )不唯一． 2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下．则 (1)当曲边梯形在x 轴上方时，如图161①，则⎠⎛a b f (x )d x ＝S 上．(2)当曲边梯形在x 轴下方时，如图161②，则⎠⎛ab f (x )d x ＝－S 下．(3)当曲边梯形在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图161③，则⎠⎛ab f (x )d x ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则⎠⎛ab f (x )d x ＝0.图① 图② 图③图161[基础自测]1．思考辨析(1)若⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab g (x )d x ，则f (x )＝g (x )( )(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√2．若a ＝⎠⎛01(x －2)d x ，则被积函数的原函数为( )A ．f (x )＝x －2B ．f (x )＝x －2＋C C ．f (x )＝12x 2－2x ＋CD ．f (x )＝x 2－2x[答案] C 3．cos x d x ＝________.[解析][答案] 14．如图162，定积分⎠⎛a b f (x )d x 的值用阴影面积S 1，S 2，S 3表示为⎠⎛ab f (x )d x ＝________.【导学号：31062090】图162[解析] 根据定积分的几何意义知⎠⎛abf (x )d x ＝S 1－S 2＋S 3. [答案] S 1－S 2＋S 3[合 作 探 究·攻 重 难](1)⎠⎛01(2x ＋e x)d x ；(2)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－3cos x d x ； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2－cos x 22d x ；(4)⎠⎛03(x －3)(x －4)d x .[解] (1)⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )＝(1＋e 1)－(0＋e 0)＝e.(2)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－3cos x d x ＝(ln x －3sin x )| 21＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1) ＝ln 2－3sin 2＋3sin 1. (3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2－cos x 22＝1－2sin x 2cos x2＝1－sin x ，＝⎝⎛⎭⎪⎫π2＋cos π2－(0＋cos 0)＝π2－1. (4)∵(x －3)(x －4)＝x 2－7x ＋12， ∴⎠⎛03(x －3)(x －4)d x＝⎠⎛03(x 2－7x ＋12)d x⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－72x 2＋12x＝27－632＋36＝632.[规律方法] 当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得函数F x由微积分基本定理求定积分的步骤第一步：求被积函数f x的一个原函数F x ；第二步：计算函数的增量F b －Fa[跟踪训练]1．计算下列定积分． (1)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ；(2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x2－sin 2x 2d x ； (3)⎠⎛49x (1＋x )d x .【导学号：31062091】[解] (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 33＋ln x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－83＋ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝ln 2＋23.＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×27＋812－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×8＋162＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋812－163－8 ＝2716(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x <π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求⎠⎛04f (x )d x ；(2)⎠⎛02|x 2－1|d x .[思路探究] (1)按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，(2,4]三段求定积分，再求和．(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分．[解] (1)(x －1)d x ＝(－cos x )＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.(2)⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3| 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x | 21＝2.[规律方法] 1.本例(2)中被积函数f (x )含有绝对值号，可先求函数f (x )的零点，结合积分区间，分段求解．2．分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解． [跟踪训练]2．(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2x ，0≤x ≤1，x 2，1＜x ≤2，求⎠⎛02f (x )d x .(2)求|x 2－x |d x 的值.【导学号：31062092】[解] (1)⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(1＋2x )d x ＋⎠⎛12x 2d x＝(x ＋x 2)＝2＋73＝133.(2)∵|x 2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，－2≤x ＜0，x －x 2，0≤x ≤1，x 2－x ，1＜x ≤2，∴|x 2－x |d x＝143＋16＋56＝173.[探究问题]1．求f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x 的表达式．提示：f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23ax 3－12a 2x 2＝23a －12a 2. 2．试求f (a )取得最大时a 的值． 提示：f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－43a ＋49＋29＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －232＋29，∴当a ＝23时，f (a )的最大值为29.(1)已知t ＞0，f (x )＝2x －1，若⎠⎛0t f (x )d x ＝6，则t ＝________.(2)已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________．[解] (1)⎠⎛0t f (x )d x ＝⎠⎛0t (2x －1)d x ＝t 2－t ＝6，解得t ＝3或－2，∵t ＞0，∴t ＝3.(2)⎠⎛12(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ＝32k ＋1.由2≤32k ＋1≤4，得23≤k ≤2.母题探究：1.(变条件)若将例3(1)中的条件改为⎠⎛tf (x )d x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，求t . [解] 由⎠⎛0t f (x )d x ＝⎠⎛0t (2x －1)d x＝t 2－t ，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＝t －1， ∴t 2－t ＝t －1，得t ＝1.2．(变条件)若将例3(1)中的条件改为⎠⎛0t f (x )d x ＝F (t )，求F (t )的最小值．[解] F (t )＝⎠⎛0t f (x )d x ＝t 2－t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14(t ＞0)， 当t ＝12时，F (t )min ＝－14.[规律方法] 利用定积分求参数应注意的问题利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下限小于积分上限．[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列值等于1的是( )【导学号：31062093】A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x C [选项A ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01x d x ＝x 22＝12； 选项B ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ′＝x ＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ＝32；选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011d x ＝x ＝1；选项D ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝12，所以⎠⎛0112d x ＝12x ＝12.] 2．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2D [⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝()x 2＋ln x ＝a 2＋ln a －1，∴a 2－1＝3，且ln a ＝ln 2，故a ＝2.]3.⎠⎛02⎝⎛⎭⎪⎫x 2－23x d x ＝________.【导学号：31062094】[解析] ⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x＝x 33－x 23＝83－43＝43[答案] 434．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，0≤x ＜1，3－x ，1≤x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝________.[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋1)d x ＋⎠⎛12(3－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33＋x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －x 22＝176.[答案]1765．已知f (x )是二次函数，其图象过点(1,0)，且f ′(0)＝2，⎠⎛01f (x )d x ＝0，求f (x )的解析式．[解] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∴a ＋b ＋c ＝0. ∵f ′(x )＝2ax ＋b ， ① ∴f ′(0)＝b ＝2.②⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2＋cx＝13a ＋12b ＋c ＝0.③由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝2，c ＝－12，∴f (x )＝－32x 2＋2x －12.。
高中数学选修2-2学案5：1.6微积分基本定理
1、学习内容：利用微积分基本定理（牛-莱公式）求定积分2、学习目标：（1）掌握牛-莱公式，理解其含义，并能用来解决相关问题（2）数学思想方法（转化）：将求定积分的问题转化成求原函数的问题（3）培养数学能力3、重点：牛-莱公式的应用难点：求被积函数的原函数4、学习过程：4、1（1）引入：①函数()y f x =在0x x =处的导数()0f x '的几何意义是 ②定积分()ba f x dx ⎰的几何意义是 （2）定积分的性质：①()b a kf x dx ⎰= ②()()b a f x g x dx ±⎡⎤⎣⎦⎰= ③()()b caa f x dx f x dx =+⎰⎰ 其中c ∈ （3）已知()()F x f x '=在下列条件下求()F x①()cos f x x = ()F x =②()sin 2f x x = ()F x =③()31f x x=()F x = ④()121f x x =-+ ()F x = ⑤()21x f x e -= ()F x =⑥()13x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()F x = （温馨提示：写完()F x 后应求导检查）4、2自主学习知识点：（1）微积分基本定理：（2）思考：①满足()()F x f x '=的()F x 有 个判断：若()()F x f x '= ，()()()b b a a f x dx F x c =+⎰（ ） ()()()b ba a f x dx f x c dx =+⎰⎰ （ ） ②写出()b a f x dx ⎰与()ab f x dx ⎰的关系式（3）计算定积分 ①2112x dx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰ ② 120121x e dx x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭⎰4、3合作学习：求定积分()332332x x dx -++-⎰做完后每小组选一个交流发言4、4教师点拨：（1）求定积分关键是求原函数，有时可将被积函数化简变形后求原函数，记住验证（2）有时可利用定积分的性质化简计算过程（3）个别题目还可利用定积分几何意义解决4、5成果展示：求定积分201sin2xdxπ-⎰4、6收获小结：你本节课最大的收获是什么？5、作业：习题1、6B组第一题同步导学[解析]42页第10、11题。
高中数学 专题1.6 微积分基本定理教案 新人教A版选修2-2(2021年整理)
高中数学专题1.6 微积分基本定理教案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学专题1.6 微积分基本定理教案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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微积分基本定理【教学目标】1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．2．会利用微积分基本定理求函数的积分．【教法指导】本节学习重点：会利用微积分基本定理求函数的积分．本节学习难点:直观了解并掌握微积分基本定理的含义．【教学过程】☆复习引入☆从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f(x)＝x3非常简单，但直接用定积分的定义计算ʃ错误!x3d x的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了两个重要的概念-—导数和定积分,这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系求定积分呢？☆探索新知☆探究点一微积分基本定理问题你能用定义计算ʃ错误!错误!d x吗？有没有更加简便、有效的方法求定积分呢?思考1 如下图,一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t）,并且y（t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t）＝y′(t)．设这个物体在时间段[a,b]内的位移为s，你能分别用y（t)，v(t）表示s吗？答由物体的运动规律是y＝y（t)知：s＝y(b)－y(a），通过求定积分的几何意义，可得s＝ʃ错误!v(t)d t＝ʃ错误!y′（t)d t，所以ʃ错误!v(t)d t＝ʃ错误!y′(t）d t＝y(b）－y(a)．其中v(t）＝y′(t)．小结（1)一般地，如果f(x)是区间［a，b］上的连续函数，并且F′（x)＝f（x），那么ʃ错误!f（x)d x＝F（b)－F（a）．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．(2)运用微积分基本定理求定积分ʃ错误!f（x）d x很方便，其关键是准确写出满足F′（x)＝f（x）的F（x）．思考2 对一个连续函数f（x）来说,是否存在唯一的F(x)，使F′（x）＝f（x)?若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？答不唯一，根据导数的性质,若F′(x)＝f(x）,则对任意实数c,[F（x）＋c］′＝F′(x）＋c′＝f(x)．不影响，因为ʃ错误!f（x）d x＝[F（b）＋c］－[F（a）＋c］＝F(b)－F(a)例1 计算下列定积分：（1)ʃ错误!错误!d x；(2)ʃ错误!（2x－错误!）d x；(3）ʃ错误!(cos x－e x)d x。
人教新课标版数学高二-2-2导学案 1.6 微积分基本定理
1.6 微积分基本定理（结合配套课件、作业使用，效果更佳）周；使用时间17 年 月 日 ；使用班级 ；姓名【学习目标】1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．重点：会利用微积分基本定理求函数的积分．难点：直观了解并掌握微积分基本定理的含义.【检查预习】预习课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答.【自主学习】知识点一 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)思考1 已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x ，则ʃ10(2x ＋1)d x 与F (1)－F (0)有什么关系？ 思考2 对一个连续函数f (x )来说，是否存在唯一的F (x )，使得F ′(x )＝f (x )?1．微积分基本定理(1)条件：f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且 ；(2)结论：ʃb a f (x )d x ＝ ；(3)符号表示：ʃb a f (x )d x ＝ ＝2．常见的原函数与被积函数关系(1)ʃb a C d x ＝Cx |b a (C 为常数)．(2)ʃb a x n d x ＝⎪⎪1n ＋1x n ＋1b a (n ≠－1)．(3)ʃb a sin x d x ＝－cos x |b a .(4)ʃb a cos x d x ＝sin x |b a . (5)ʃb a 1xd x ＝ln x |b a (b >a >0)． (6)ʃb ae x d x ＝e x |b a .(7)ʃb a a x d x ＝ ⎪⎪a x ln a b a (a >0且a ≠1)．(8)ʃb a x d x ＝⎪⎪⎪23x 32b a (b >a >0)． 知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系思考 定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，在x 轴下方的面积为S 下，则(1)当曲边梯形在x 轴上方时，如图①，则ʃb a f (x )d x ＝(2)当曲边梯形在x 轴下方时，如图②，则ʃb a f (x )d x ＝(3)当曲边梯形在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图③，则ʃb a f (x )d x ＝ 特别地，若S 上＝S 下，则ʃb a f (x )d x ＝【合作探究】类型一 定积分的求法例1 (1)定积分ʃ10(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1(2)ʃ20|1－x 2|d x ＝________. (3)ʃ21[2x 2＋x ＋1x－cos x ]d x ＝________. 跟踪训练1 (1)计算定积分ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝______. (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2x ，0≤x ≤1，x 2，1<x ≤2，求ʃ20f (x )d x . 类型二 利用定积分求参数例2 (1)已知2≤ʃ21(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________．(2)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)．若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．跟踪训练2 (1)已知x ∈(0,1]，f (x )＝ʃ10(1－2x ＋2t )d t ，则f (x )的值域是________．(2)已知ʃ10[(3ax ＋1)(x ＋b )]d x ＝0，a ，b ∈R ，试求ab 的取值范围．【学生展示】探究点一【教师点评】探究点二及【学生展示】出现的问题【当堂检测】1．若ʃa 1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．22．ʃ20(x 2－23x )d x ＝________. 3．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，ʃ10f (x )d x ＝－2.求a ，b ，c 的值．4．已知f (x )＝⎩⎨⎧ 4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算ʃπ0f (x )d x .【小结作业】小结：作业：对应限时练。
(整理)16《微积分基本定理》导学案.
sx-14-(2-2)-0261.6《微积分基本定理》导学案编写：刘威 审核：陈纯洪 编写时间:2014.5.13班级＿＿＿＿＿组名＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿等级＿＿＿＿＿＿＿【学习目标】1. 通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分；2. 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
【重点与难点】：重点：微积分基本定理（牛顿-莱布尼兹公式及其运用 难点：微积分基本定理的含义 【知识链接】知识点一：微积分基本定理自学教材 51—53页.探究一下导数和定积分的联系).知识点二：利用微积分基本定理求定积分阅读教材53-54，完成下列问题()()1322220111::1;22;(3)(2cos sin 1)dx x dx x x dx x x π--⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰例计算下列定积分202:,()f x dx ≤≤⎧⎨≤⎩⎰2x 0x 1例设f(x)=求5 1<x 2感悟提升：,微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系同时它也提供了计算定积分的一种()()()()()'.,.b af x dx F x f x F x F x =⎰计算定积分的关键是找到满足的函数通常我们可以运用基本初函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求出【小结】1.微积分基本定理（牛顿—莱布尼茨公式）：2.变速直线运动中位移函数与速度函数的联系：3.利用微积分基本定理求定积分的方法步骤：【当堂检测】1.计算下列各定积分：（1）220(42)(4)x x --⎰ （2）1dx ⎰（3）212()x e dx x-⎰2. （1）计算定积分30sin xdxπ⎰的值，并从几何上解释这个值表示什么（2）计算定积分2sin x dxπ⎰.【课后反思】本节课我还有哪些疑惑？。
数学：1.6《微积分基本定理》学案(新人教A版选修2-2)
高二数学理科导学案1.6 微积分基本定理学习目标知识与技能 通过实例直观了解微积分积分定理的含义;熟练地用微积分积分定理计算微积分.过程与方法 从局部到整体，从具体到一般的思想，利用导数的几何意义和定积分的概念，通过寻求导数和定积分之间的内在联系，得到微积分基本定理，进一步得出积分定理。
情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
学习重点 直观了解微积分基本定理的含义，并能用定理计算简单的定积分。
学习难点 了解微积分基本定理的含义学习连接 导数，定积分学习过程 一、【复习回顾】1.基本初等函数地求导公式（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）2.导数运算法则: （1） （2）（3） （4）:3.连续函数)(x f 在[]b a ,上的定积分定义:4.定积分的性质:二、引入新课我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。
我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T -而()()S t v t '=。
对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。
1.6微积分基本定理导学案
1.6微积分基本定理 【学习目标】1．通过实例（变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义；2．了解微积分基本定理；3.会用微积分基本定理求函数的定积分． 【重点难点】重点：微积分基本定理．难点：导数与积分的关系；利用微积分基本定理求函数的定积分． 【学习过程】 一．课前预习 1．用定积分定义求dx x121⎰时，将区间[1，2]n 等分，每个i ξ均取小区间的右端点，则和式为______．你会进一步计算吗？ 2．微积分基本定理：一般地．如果)(x f 是区间],[b a 上的连续函数，且)()(x f x F ='，那么_______________.这个结论叫做_______________，又叫做___________________．为了方便，常把)()(a F b F -记成___________，即_____________. 3．利用微积分基本定理计算定积分dx x f bd)(⎰的关键是____________，这是求导数的逆运算．4．探究：满足)()(x f x F ='的函数)(x F 唯一吗？对于计算定积分有影响吗？请说明．二、探究互动()().122;11:131221dx x x dx x⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-计算下列定积分例变式练习1:()()()()____4____3____2____112131031010====⎰⎰⎰⎰-dx x dx x xdx dx 例２．计算定积分dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-312213变式练习2()()()()()()()___14___1233___12___2312121221102=+=-+=⎪⎭⎫⎝⎛+=+-⎰⎰⎰⎰-dx e dx x x dx x x dt t x⎰⎰⎰ππππ2020sin ,sin ,sin :3xdxdx x dx x 计算下列定积分例【变式练习3】.2sin )1(220dx x ⎰π(2)⎰--202)4)(24(dx x x(3)⎰-21)2(dx xe x(4)⎰12dx ex(5)⎰462ππxdx例4已知)(x f 是一元二次函数，其图像过点（1，0），且2)1(='f 且0)(10=⎰dx x f ,求 )(x f 的解析式。
人教课标版高中数学选修2-2：《微积分基本定理》教案-新版
1.6微积分基本定理一、教学目标1．核心素养通过微积分基本定理的学习，提高推理论证、抽象概括能力，体会由局部到整体、具体到一般的数学思想.2．学习目标通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义，体会由局部到整体、具体到一般的思想.3．学习重点通过探究变速直线运动的速度与位移的关系，直观了解微积分基本定理的含义，并能正确应用基本定理计算简单的定积分.4．学习难点了解微积分基本定理的含义.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务阅读课本1.6节，思考：（1）什么是微积分基本定理？（2）怎样利用微积分基本定理求定积分的值？（3）当曲边梯形的位置位于x 轴下方时，怎样求定积分的值？2．预习自测1．043x dx -+⎰的值为( ) A ．－2B ．0C ．5D .12答案：C ．2．121dx x ⎰等于( )A ．－2ln2B ．2ln2C ．－ln2D ．ln2答案：D ．3．由曲线y ＝x 3，直线x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的曲边梯形的面积为( )A ．1B .12C .13D .14答案：D ．（二）课堂设计1．知识回顾1）定积分的几何意义：如果在区间[,]a b 上()f x 连续且恒有()0f x ≥，则定积分()ba f x dx ⎰的几何意义是由,,0x a xb y ===与()y f x =所围成的曲边梯形的面积.2）定积分的性质：（1）()()b ba akf x dx k f x dx =⎰⎰ (k 为常数) （2）1212[()()]()()b b b a a af x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰； （3）()()()b c b a a cf x dx f x dx f x dx =±⎰⎰⎰（其中a c b <<）. 2．问题探究活动一：探讨导数与积分的关系我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法.有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢？ 下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例：设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S (t ),速度为v (t )（()v t o ≥），则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰.另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T -而()()S t v t '=. 活动二：证明微积分基本定理对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有()()()ba f x dx Fb F a =-⎰？ 若上式成立，我们就找到了()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法.设()()F x f x '=则在[,]a b 上，⊿y =()()F b F a -将[,]a b 分成n 等份，在第i 个区间[xi -1,xi ]上，记⊿yi =F (x i )-F (xi -1),则 ⊿y =∑⊿yi 如下图，因为⊿hi =f (xi -1) ⊿x 而⊿yi ≈⊿hi 所以⊿y ≈∑⊿hi =∑f (xi -1) ⊿x故⊿y =lim ∑⊿hi =∑f (xi -1) ⊿x =⎰b a dx x f )(即⎰b a dx x f )(=()()F b F a -所以有微积分基本定理：如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则()()()b a f x dx F b F a =-⎰⎰b a dx x f )(为了方便起见，还常用()|ba F x 表示()()Fb F a -，即()()|()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式.牛顿-莱布尼茨公式指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁.它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础.因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果.例1．计算下列定积分：（1）211dx x ⎰；（2）3211(2)x dx x-⎰. 解：（1）因为'1(ln )x x=， 所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x==-=⎰. （2））因为2''211()2,()x x x x==-， 所以3332211111(2)2x dx xdx dx x x -=-⎰⎰⎰233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=. 点拨：准确求出被积函数的原函数是求解本题的关键例2．计算下列定积分：2200sin ,sin ,sin xdx xdx xdx ππππ⎰⎰⎰. 由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论. 解：因为'(cos )sin x x -=，所以00sin (cos )|(cos )(cos 0)2xdx x πππ=-=---=⎰， 22sin (cos )|(cos 2)(cos )2xdx x ππππππ=-=---=-⎰， 2200sin (cos )|(cos 2)(cos 0)0xdx x πππ=-=---=⎰. 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:（1）当对应的曲边梯形位于x 轴上方时（图1.6一3)，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；图1.6一3(2）（2）当对应的曲边梯形位于x 轴下方时（图1.6一4），定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．点拨：利用定积分的几何意义是解决本题的关键.例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车.设汽车以等减速度a =1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间.当t =0时，汽车速度0v =32公里/小时=3210003600⨯米/秒≈8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为0(t)=t=8.88-1.8t v v a -当汽车停住时,速度(t)=0v ,故从(t)=8.88-1.8t=0v 解得8.88t= 4.931.8≈秒于是在这段时间内,汽车所走过的距离是 4.934.9300(t)(8.88 1.8t)s v dt dt ==-⎰⎰= 4.93201(8.88 1.8t )21.902-⨯≈米,即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.点拨：可以看出，求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程的过程就是求解定积分的过程，所以以后遇到类似的题就可以直接使用定积分来做.3．课堂总结【知识梳理】1.微积分基本定理：如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()()b b a af x dx F x F b F a ==-⎰.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.我们常常把定理中的()F x 称为()f x 的原函数.2．定积分的取值定积分的值可能取正值也可能为负值，还可能是0：（1）当对应的曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；（2）当对应的曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；（3）当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.【重难点突破】（1）微积分基本定理①该定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求积分与导数互为逆运算.②微积分基本定理提供了一种有效的求定积分的方法，且这种方法往往比利用定积分的定义求定积分简单.利用微积分基本定理求定积分()b af x dx ⎰的关键是找到()()F x f x '=的函数()F x ，即找到()f x 的原函数.通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出()F x .③被积函数的原函数有很多，即若F (x )是被积函数f (x )的一个原函数，那么F (x )＋C (C 为常数)也是被积函数f (x )的原函数．但是在实际运算时，不论如何选择常数C (或者是忽略C )都没有关系，事实上，以F (x )＋C 代替微积分基本定理中的F (x )有⎠⎛ab f (x )dx ＝[F (b )＋C ]－[F (a )＋C ]＝F (b )－F (a )． （2）利用微积分基本定理计算定积分时：①常常先对被积函数化简，再求定积分；②当被积函数为分段函数时，常常分成几段积分的和的形式求解；③当被积函数含有绝对值符号时，常常先去掉绝对值符号再求定积分.（3）求定积分的主要方法有：①利用定积分的定义；②利用定积分的几何意义；③利用微积分基本定理.4．随堂检测1.⎠⎛01(e x ＋2x )dx 等于( ) A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1答案：C解析：【知识点：微积分基本定理】⎠⎛01(e x ＋2x )dx ＝(e x ＋x 2)|10＝(e 1＋1)－e 0＝e . 2．若S 1＝⎠⎛12x 2dx ，S 2＝⎠⎛121x dx ，S 3＝⎠⎛12e x dx ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 2＜S 3＜S 1D ．S 3＜S 2＜S 1答案：B解析：【知识点：微积分基本定理】S 1＝⎠⎛12x 2dx ＝13x 3＝13×23－13＝73，S 2＝⎠⎛121x dx ＝ln x ＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x dx ＝e x ＝e 2－e ＝e (e －1)．ln 2＜ln e ＝1，且73＜2.5＜e (e －1)，所以ln 2＜73＜e (e －1)，即S 2＜S 1＜S 3.3．若⎠⎛0k (2x －3x 2)dx ＝0，则k 等于( ) A ．0B ．1C ．0或1D ．不确定答案：B解析：【知识点：微积分基本定理】⎠⎛0k (2x －3x 2)dx ＝(x 2－x 3) ＝k 2－k 3＝0，∴k ＝0(舍去)或k ＝1.4．⎠⎛02|1－x |dx ＝( ) A ．0B ．1C ．2D ．－2答案：B解析：【知识点：微积分基本定理】⎠⎛02|1－x |dx ＝⎠⎛01(1－x )dx ＋⎠⎛12(x －1)dx ＝(x －12x 2)10|＋(12x 2－x )21| ＝(1－12)＋(12×4－2)－(12－1)＝1.5．⎠⎛-11(x 2＋sin x )dx ＝________. 答案：23解析：【知识点：微积分基本定理】∵(13x 3－cos x )′＝x 2＋sin x ，∴⎠⎛-11 (x 2＋sin x )dx ＝(13x 3－cos x )11|-＝23. （三）课后作业基础型 自主突破1．4232(30)d x x x +-=⎰（ ） A ．56B ．28C.563D ．14答案：C解析：【知识点：微积分基本定理】4423342211(30)d (30)34x x x x x x +-=+-⎰＝13(43－23)＋14(44－24)－30(4－2)＝563. 2．若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是（ ）A ．F (x )＝13x 3B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)答案：B解析：【知识点：微积分基本定理】3．若2111d 2b x x =⎰，则b =（ ） A ．32B ．2C ．3D ．4答案：B解析：【知识点：微积分基本定理】 2111111d (1)2bbx x x b =-=--=⎰，解得2b = 4．直线l 过抛物线C : x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ）A ．43B ．2C ．83D．答案：C解析：【知识点：定积分求面积】l 与C 围成的图形的面积为诶2232228(1)d ()4123x x x x ---=-=⎰ 5．计算定积分20cos(2)3x dx ππ+=⎰___________.答案：解析：【知识点：微积分基本定理】22001cos(2)sin(2)323x dx x ππππ+=+=⎰6．计算下列定积分：（1）220(42)(4)d x x x --⎰ （2）22123d x x x x+-⎰ （3）220(sin cos )d 2x x x π+⎰答案：见解析解析：【知识点：定积分的简单应用】（1）2222300(42)(4)d (16842)d x x x x x x x --=--+=⎰⎰22340413240(164)321683233x x x x --+=--+= （2）2222211123317d (2)d (23ln )3ln 222x x x x x x x x x x +-=+-=+-=-⎰⎰（3）222200cos 1sin 3(sin cos )d (sin )d cos 222224x x x x x x x x x ππππ+⎛⎫+=+=-++=+ ⎪⎝⎭⎰⎰能力型 师生共研7.若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为（ ）A.1B.2C.－1D.－2 答案：A解析：【知识点：微积分基本定理】f (1)＝lg1＝0，23300(0)3d aaf t t t a ===⎰，由f (f (1))＝1，得a 3＝1，a ＝1.8．若直线l 1：x ＋ay －1＝0与l 2：4x －2y ＋3＝0垂直，则积分⎠⎛－a a (x 3＋sin x －5)dx 的值为（ ） A ．6＋2sin2 B ．－6－2cos2 C ．20 D ．－20 答案：D解析：【知识点：微积分基本定理，两直线垂直】 由l 1⊥l 2，可得a ＝2，∴原式＝22233222(sin 5)d (sin )d (5)d 02020x x x x x x x ---+-=++-=-=-⎰⎰⎰9．已知f (x )是一次函数且10()d 5f x x =⎰，1017()d 6xf x x =⎰，则f (x )的解析式为（ ） A ．4x ＋3 B ．3x ＋4 C ．－4x ＋3 D ．－3x ＋4答案：A解析：【知识点：微积分基本定理】 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则xf (x )＝ax 2＋bx ，1120()d ()522a af x x x bx b =+=+=⎰①113217()d ()32326a b a b xf x x x x =+=+=⎰②，联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b ＝5a 3＋b 2＝176⇒⎩⎨⎧a ＝4b ＝3，∴f (x )＝4x ＋310.若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－11f (x )g (x )dx ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1，1]上的一组正交函数.给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2. 其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是________(填序号). 答案：①③解析：【知识点：微积分基本定理】①中⎠⎛－11f (x )g (x )dx ＝⎠⎛－11⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12x cos 12x dx ＝⎠⎛－11⎝⎛⎭⎪⎫12sin x dx ＝0；②中⎠⎛－11f (x )g (x )dx ＝⎠⎛－11(x ＋1)(x －1)dx ＝⎠⎛－11(x 2－1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x ⎪⎪⎪1－1＝－43≠0；③中f (x )·g (x )＝x 3为奇函数，在[－1，1]上的积分为0，故①③满足条件. 探究型 多维突破11．定义在R 上的可导函数y ＝f (x )，如果存在x 0∈[a ，b ]，使得f (x 0)＝⎠⎛abf (x )d x b －a成立，则称x 0为函数f (x )在区间[a ，b ]上的“平均值点”，那么函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2,2]上“平均值点”的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：C解析：【知识点：微积分基本定理】由已知得：f (x 0)＝242232213(3)42044x x x x dx --⎛⎫- ⎪-⎝⎭==⎰，即x 30－3x 0＝0，解得：x 0＝0或x 0＝±3，∴f (x )的平均值点有3个.12．已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ，函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为___________.答案：45解析：【知识点：定积分求面积】 当210≤≤x ，线段AB 的方程为x y 10=；当121≤<x 时，线段BC 方程为1010+-=x y ，即函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤==121,1010210,10)(x x x x x f y ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤==121,1010210,10)(22x x x x x x xf y ，函数与x 轴围成的图形面积为1122210210(1010)x dx x x dx +-+⎰⎰1123321021010(5)33x x x =+-+45=.自助餐1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x )dx 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1 答案：C解析：【知识点：微积分基本定理】2．设f (x )＝⎩⎨⎧x 20≤x <1，2－x 1≤x ≤2.则⎠⎛02f (x )dx 等于( )A ．34 B ．45 C ．56 D ．不存在 答案：C解析：【知识点：微积分基本定理】⎠⎛02f (x )dx ＝⎠⎛01x 2dx ＋⎠⎛12(2－x )dx 3．若⎠⎛1a (2x ＋1x )dx ＝3＋ln2且a >1，则实数a 的值是( )A ．2B ．3C ．5D ．6 答案：A解析：【知识点：微积分基本定理】 4．函数F (x )＝⎠⎛0x cos tdt 的导数是( )A ．()cos F x x '=B ．()sin F x x '=C ．()cos F x x '=-D ．()sin F x x '=- 答案：A解析：【知识点：微积分基本定理】 5．(3)d ba f x x '=⎰（ ） A ．()()fb f a -B ．(3)(3)f b f a -C ．1[(3)(3)]3f b f a - D ．3[(3)(3)]f b f a - 答案：C解析：【知识点：微积分基本定理】因为错误！未找到引用源。
人教版高中数学选修2-2学案：1.6微积分基本定理(1)
1.6微积分基本定理（1）【学习目标】1.通过实例(变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系)，直观了解微积分基本定理的含义；2.了解微积分基本定理；3.会用微积分基本定理求函数的定积分．【新知自学】知识回顾：1.定积分的概念：一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点012a x x x =<<< …1i i x x -<<<…n x b <=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆=______，在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ，作和式：11()()n nn i i i i b a S f x f nξξ==-=∆=∑∑.如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为________________．记为_______. 2．定积分的几何意义：______________________ ___________________ .新知梳理：1.微积分基本定理:一般地，如果)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，并且，)()(x f x F ='，那么=⎰dx x f ba)(________．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼兹公式．为了方便，常把)()(b F a F -记成_________，即()()|bbaaf x dx F x ==⎰________________________．2．利用微积分基本定理计算定积分dx x f ba⎰)(的关键是找到满足____________的函数)(x F ，通常，可以用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从 _______上求出)(x F ．3．求导数运算与求原函数运算互为 ___ ． 在微积分基本定理中函数)(x F 叫函数)(x f 在区间[]b a ,上的一个原函数．因为[])()(x F C x F '='+，所以C x F +)(也是函数_________的原函数．对点练习：1.已知)()(x f x F ='，则下列等式正确的是 ( ) A.⎰-=ba a Fb F dx x f )()()( B.⎰-=ba b F a F dx x f )()()(C.)(lim )(1i ni ban F nab dx x f ξ∑⎰=∞→-=D.x F nab dx x f i ni ban ∆-=∑⎰=∞→)(lim )(1ξ． 2．已知⎩⎨⎧<<≤≤-=10,101,)(2x x x x f ，则⎰-11)(dx x f 的值为 ( )A.23B.32- C.32 D.34 3．设⎰⎰⎰===11132sin ,,xdx c dx x b dx x a ，则c b a ,,的大小关系是( )A.c b a <=B.c b a >=C.c a b <<D.a b c >> 4.计算下列定积分：（1）dx x 3131）（⎰；（2）dx x⎰211.【合作探究】典例精析：例1. 求下列定积分: (1) dx x x ⎰-12)(；(2) dx x x ⎰+20)sin 3(π；变式练习：求下列定积分: (1) dx x x⎰+232)43(；(2)dx ⎰1x .例2.求下列定积分: (1) ⎰πcos xdx ；π变式练习：求下列定积分:（1）dx x x 2202cos 2sin ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+π；（2）xdx ⎰22-2cos ππ.规律总结：利用微积分基本定理求定积分,实质上是求导数逆运算，即求导数等于被积函数的一个函数，求解时注意以下两个方面：（1）熟练掌握基本函数导数及导数的运算法则，学会逆运算；（2）当被积函数较为复杂，不容易找到原函数时，可适当变形后再求解.【课堂小结】1. 由抛物线x y =2和直线x =1所围成的图形的面积等于（ ）A.1B.34 C.32D.312.如果⎰⎰-==1201)(,1)(dx x f dx x f ，则⎰=21)(dx x f ．3.（1）dx x ⎰πsin =________；（2）dx x ⎰π20sin =_________．4.求下列定积分的值 (1)dx x⎰311；（2）dx e x ⎰22.【课时作业】1.dx x1312⎰=_____________. 2.⎰-=-1121dx x ． 3.dx x x10⎰=___________________.4.求下列定积分的值 (1) dx x e ⎰++1211；（2）dx xx x⎰-20sin cos 2cos π;(3) dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-31212.5.已知()623113+=-++⎰-a dx b a ax x且()d x b a ax x t f t⎰-++=033)(为偶函数，求b a ,的值.赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DAC1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠F AE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DBa +b-aa45°ABE1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠F AE ＝45°Da +b-aa45°E挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DEa +bx -b-ab45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°. （1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．AB CFEDCDC。
导学案 微积分基本定理学案
§1.6：微积分基本定理（导学案）学习目标1、通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分．2、通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法．教学重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分． 教学难点：了解微积分基本定理的含义．一、自主学习：1．定积分的定义： ，2．定积分记号： 思想与步骤 几何意义． 3．用微积分基本定理求定积分()121xdx +=⎰ ()0bkx dx =⎰二、 新知探究新知1：微积分基本定理：背景：我们讲过用定积分定义计算定积分,但如果要计算13x dx ⎰，211dx x⎰其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。
我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
探究问题1：变速直线运动中位置函数S(t)与速度函数v(t)之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位移为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的位移记为S ，则一方面：用速度函数v(t)在时间间隔12[,]T T 求积分，可把位移S =21()T T Sv t dt =⎰另一方面：通过位移函数S （t ）在12[,]T T 的图像看这段位移S 还可以表示为12()()S T S T - 探究问题2：位移函数S(t)与某一时刻速度函数v(t)之间的关系式为 ()()S t v t '=上述两个方面中所得的位移S 可表达为2112()()()T T v t dt S S T S T ==-⎰上面的过程给了我们启示上式给我们的启示：我们找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。
定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。
高中数学选修2-2优质学案：1.6 微积分基本定理
1.6 微积分基本定理[学习目标] 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的定积分.[知识链接]1.导数与定积分有怎样的联系？答 导数与定积分都是微积分学中两个最基本、最重要的概念，运用它们之间的联系，我们可以找出求定积分的方法，求导数与定积分是互为逆运算.2.在下面图(1)、图(2)、图(3)中的三个图形阴影部分的面积分别怎样表示？答 根据定积分与曲边梯形的面积的关系知：图(1)中S ＝⎠⎛ab f (x )d x ， 图(2)中S ＝－⎠⎛ab f (x )d x ， 图(3)中S ＝⎠⎛0b f (x )d x －⎠⎛a0f (x )d x . [预习导引]1.微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a ). 2.函数f (x )与其一个原函数的关系(1)若f (x )＝c (c 为常数)，则F (x )＝cx ；(2)若f (x )＝x n (n ≠－1)，则F (x )＝1n ＋1·x n ＋1； (3)若f (x )＝1x，则F (x )＝ln x (x >0)； (4)若f (x )＝e x ，则F (x )＝e x ；(5)若f (x )＝a x，则F (x )＝a xln a (a >0且a ≠1)；(6)若f (x )＝sin x ，则F (x )＝－cos x ；(7)若f (x )＝cos x ，则F (x )＝sin x .要点一 求简单函数的定积分例1 计算下列定积分(1)⎠⎛123d x ； (2)⎠⎛02(2x ＋3)d x ； (3)⎠⎛－13(4x －x 2)d x ； (4)⎠⎛12(x －1)5d x . 解 (1)因为(3x )′＝3，所以⎠⎛123d x ＝(3x )⎪⎪⎪21＝3×2－3×1＝3. (2)因为(x 2＋3x )′＝2x ＋3， 所以⎠⎛02(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )⎪⎪⎪ 20 ＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10.(3)因为⎝⎛⎭⎫2x 2－x 33′＝4x －x 2， 所以⎠⎛－13(4x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－x 33⎪⎪⎪3－1 ＝⎝⎛⎭⎫2×32－333－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×(－1)2－(－1)33＝203. (4)因为⎣⎡⎦⎤16(x －1)6′＝(x －1)5， 所以⎠⎛12(x －1)5d x ＝16(x －1)6⎪⎪⎪21＝16(2－1)6－16(1－1)6 ＝16. 规律方法 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤：①求f (x )的一个原函数F (x )；②计算F (b )－F (a ).(2)注意事项：①有时需先化简，再求积分；②若F (x )是f (x )的原函数，则F (x )＋C (C 为常数)也是f (x )的原函数.随着常数C 的变化，f (x )有无穷多个原函数，这是因为F ′(x )＝f (x )，则[F (x )＋C ]′＝F ′(x )＝f (x )的缘故.因为⎠⎛ab f (x )d x ＝[F (x )＋C ]|b a ＝[F (b )＋C ]－[F (a )＋C ]＝F (b )－F (a )＝F (x )|b a ，所以利用f (x )的原函数计算定积分时，一般只写一个最简单的原函数，不用再加任意常数C 了.跟踪演练1 求下列定积分：(1)⎠⎜⎛0π2 (3x ＋sin x )d x ； (2)⎠⎛12 ⎝⎛⎭⎫e x －1x d x . 解 (1)∵⎝⎛⎭⎫32x 2－cos x ′＝3x ＋sin x ， ∴⎠⎜⎛0π2 (3x ＋sin x )d x ＝⎝⎛⎭⎫32x 2－cos x ⎪⎪⎪⎪π20＝⎣⎡⎦⎤32×⎝⎛⎭⎫π22－cos π2－⎝⎛⎭⎫32×0－cos 0＝3π28＋1； (2)∵(e x －ln x )′＝e x －1x， ∴⎠⎛12 (e x－1x )d x ＝()e x －ln x ⎪⎪⎪21＝(e 2－ln 2)－(e －0) ＝e 2－e －ln 2.要点二 求较复杂函数的定积分例2 求下列定积分：(1)⎠⎛14 x (1－x )d x ； (2)⎠⎜⎛0π2 2cos 2 x 2d x ； (3)⎠⎛14 (2x ＋1x)d x . 解 (1)∵x (1－x )＝x －x ，又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2′＝x －x . ∴⎠⎛14 x (1－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2⎪⎪⎪41 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×432－12×42－⎝⎛⎭⎫23－12＝－176. (2)∵2cos 2x 2＝1＋cos x ，(x ＋sin x )′＝1＋cos x ， ∴原式＝⎠⎜⎛0π2 (1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪ π20＝π2＋1. (3)∵⎝⎛⎭⎫2x ln 2＋2x ′＝2x ＋1x， ∴⎠⎛14 (2x ＋1x )d x ＝⎝⎛⎭⎫2x ln 2＋2x ⎪⎪⎪41 ＝⎝⎛⎭⎫24ln 2＋24－⎝⎛⎭⎫2ln 2＋2＝14ln 2＋2.规律方法 求较复杂函数的定积分的方法：(1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数与常数的和与差.(2)确定积分区间，分清积分下限与积分上限.跟踪演练2 计算下列定积分：(1)⎠⎛12 (x －1)5d x ； (2)⎠⎜⎛0π2 (sin 3x cos x )d x ；(3)⎠⎛121x (x ＋1)d x . 解 (1)因为⎣⎡⎦⎤16(x －1)6′＝(x －1)5，所以⎠⎛12(x －1)5d x ＝16(x －1)6⎪⎪⎪21 ＝16×(2－1)6－16×(1－1)6＝16.(2)因为⎝⎛⎭⎫14sin 4x ′＝sin 3x cos x ，所以⎠⎜⎛0π2 (sin 3x cos x )d x ＝⎝⎛⎭⎫14sin 4x ⎪⎪⎪⎪π20 ＝14sin 4π2－14sin 40＝14. (3)令f (x )＝1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1， 取F (x )＝ln x －ln(x ＋1)＝lnx x ＋1， 则F ′(x )＝1x －1x ＋1. 所以⎠⎛121x (x ＋1)d x ＝⎠⎛12(1x －1x ＋1)d x ＝ln x x ＋1⎪⎪⎪ 21＝ln 43. 要点三 定积分的简单应用例3 已知f (a )＝⎠⎛01 (2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值. 解 ∵⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2′＝2ax 2－a 2x ，∴⎠⎛01 (2ax 2－a 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2⎪⎪⎪10 ＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a 2－43a ＋49＋29 ＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29. 规律方法 定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用. 跟踪演练3 已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01 f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值.解 由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2.①又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0，②而⎠⎛01 f (x )d x ＝⎠⎛01 (ax 2＋bx ＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12b x 2＋c x ⎪⎪⎪ 10＝13a ＋12b ＋c ， ∴13a ＋12b ＋c ＝－2，③ 由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.要点四 求分段函数的定积分例4 计算下列定积分：(1)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2 (x ≤0)，cos x －1 (x >0)，求⎠⎜⎛－1π2 f (x )d x ； (2)⎠⎛03 |x 2－4|d x . 解 (1)⎠⎜⎛－1π2 f (x )d x ＝⎠⎛－10x 2d x ＋⎠⎜⎛0π2 (cos x －1)d x ， 又∵⎝⎛⎭⎫13x 3′＝x 2，(sin x －x )′＝cos x －1， ∴原式＝13x 3⎪⎪⎪ 0－1＋(sin x －x )⎪⎪⎪⎪π20 ＝⎝⎛⎭⎫0＋13＋⎝⎛⎭⎫sin π2－π2－(sin 0－0) ＝43－π2. (2)∵|x 2－4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4 (x ≥2或x ≤－2)，4－x 2 (－2<x <2)， 又∵⎝⎛⎭⎫13x 3－4x ′＝x 2－4，⎝⎛⎭⎫4x －13x 3′＝4－x 2， ∴⎠⎛03 |x 2－4|d x ＝⎠⎛02 (4－x 2)d x ＋⎠⎛23 (x 2－4)d x＝⎝⎛⎭⎫4x －13x 3⎪⎪⎪ 20＋⎝⎛⎭⎫13x 3－4x ⎪⎪⎪ 32＝⎝⎛⎭⎫8－83－0＋(9－12)－⎝⎛⎭⎫83－8＝233. 规律方法 (1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段积分和的形式；(2)带绝对值的[解析]式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值号，化为分段函数；(3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论.跟踪演练4 求⎠⎛－33 (|2x ＋3|＋|3－2x |)d x . 解 ∵|2x ＋3|＋|3－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4x ，x <－32，6，－32≤x ≤32，4x ，x >32，∴⎠⎛－33 (|2x ＋3|＋|3－2x |)d x ＝⎠⎛－3－32 (－4x )d x ＋⎠⎛－3232 6d x ＋⎠⎛323 4x d x ＝－2x 2⎪⎪⎪ －32－3＋6x ⎪⎪⎪ 32－32＋2x 2⎪⎪⎪332＝45.1.定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( ) A.e ＋2B.e ＋1C.eD.e －1 [答案] C[解析] ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪10＝e.故选C. 2.若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( ) A.5 B.4 C.3 D.2[答案] D[解析] ⎠⎛1a⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝⎠⎛1a 2x d x ＋⎠⎛1a 1x d x ＝x 2|a 1＋ln x ⎪⎪a 1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2，解得a ＝2. 3.⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝ . [答案] 43[解析] ⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x ＝x 33⎪⎪⎪ 20-x 33⎪⎪⎪ 20＝83－43＝43. 4.已知f (x )＝⎩⎨⎧ 4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算⎠⎛0π f (x )d x . 解 ⎠⎛0π f (x )d x ＝⎠⎜⎛0π2 f (x )d x ＋⎠⎜⎛π2πf (x )d x ＝⎠⎜⎛0π2 (4x －2π)d x ＋⎠⎜⎛π2π cos x d x ， 取F 1(x )＝2x 2－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π；取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x .所以⎠⎜⎛0π2 (4x －2π)d x ＋⎠⎜⎛π2πcos x d x ＝(2x 2－2πx )⎪⎪⎪⎪ π20＋sin x ⎪⎪⎪⎪ ππ2＝－12π2－1，即⎠⎛0π f (x )d x ＝－12π2－1.1.求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分.(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和.(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分.2.由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.。
1.6《微积分基本定理》教案新部编本(新人教选修2-2).1.doc
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校普通高中课程标准实验教科书—数学选修2-2[人教版A]1.4.2微积分基本定理教学目标：了解牛顿-莱布尼兹公式教学重点：牛顿-莱布尼兹公式教学过程一、复习：定积分的概念及计算二、引入新课我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。
我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T -且()()S t v t '=。
对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有()()()ba f x dx Fb F a =-⎰若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。
定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰证明：因为()x Φ=()xa f t dt ⎰与()F x 都是()f x 的原函数，故()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤）其中C 为某一常数。
令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ=()aa f t dt ⎰=0即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a∴ ()x Φ=()F x -()F a =()xa f t dt ⎰ 令xb =，有()()()ba f x dx Fb F a =-⎰为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即()()|()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。
高二数学(人教A版)选修2-2导学案设计：1.6微积分积分定理(无答案)
编号： gswhsxxx2-2-01012文华高中高二数学选修2--2 第一章《导数及其应用》1.6 微积分积分定理导教案学习目标：1. 经过实例直观认识微积分积分定理的含义;2. 娴熟地用微积分积分定理计算微积分.3.研究导数和定积分的联系重难点：1.基本初等函数地求导公式:2.导数运算法例:3.连续函数 f ( x) 在 a,b 上的定积分定义:4.定积分的性质:学习方法认识并掌握导数的观点及求法。
学习过程一．【知识点实例研究】看课本 57— 59微积分基本定理: __________________________________________________假如 f (x) 是区间 a,b 上的连续函数而且 F / (x)bf ( x) ,那么 f ( x)dx ___________a二．典型例题例 1.计算以下定积分:2 13 1 )dx (1) dx (2) (2xx 21 x 1例 2.计算以下定积分 : sin xdx ,22 sin xdx ,sin xdx .由计算结果你能发现什么结论?试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论.例 3.计算以下定积分 :2 x 2)dx2x 22x 3 (1) (4 2x)(4(2)dx1x3241 ) dx(4)x) dx(3) ( xx (12x1(5) 2(3x sin x)dx22 )dx (6) (e x1x1 (7)e2 x dx3 (9) 2 x dx1(11) 2 (sin2x)dx02(13)1x dx0x 1本节课我最大的收获是: (8) 4 cos2xdx61x2 dx (10)x0 1ax 2 dx (12) a2我存在的迷惑有:《微积分积分定理 》节节过关达标检测班级组名学生姓名1.以下各式中 ,正确的选项是b /( x) dxf / (b) f /(a)b/ ( x)dx f / (a)f / (b) A.f B.faabf /(x)dxf (b) f ( a)b/ ( x) dx f (a)f (b)C.a D.fa2.已知自由落体的运动速度 v gt (g 为常数 ),则当 t1,2 时 ,物体着落的距离是A.1B. g 3D. 2ggC. g21)dx 32a(2xln 2, 则 a 的值是3.若1x1 x 2dx 等于4. 11A.4B.2C.D. 217115. f ( x) 是一次函数 ,且f ( x)dx5, xf (x)dx ,那么 f (x) 的分析式是6A. 4x3B. 3x4C. 4x 2D. 3x 46.a 1) dx8 ,=()已知(2xa则 a7.设 f ( x) 是奇函数 ,求af (x)dx =()ax 2 , x 0,128.设 f ( x),求f ( x)dx2 x, x 1,2。
高中数学 1.6 2微积分基本定理教案 选修2-2
2013年高中数学 1.6 2微积分基本定理教案新人教A版选修2-2[教学目的]使学生了解积分上限函数的概念，理解微积分基本定理，掌握牛顿—莱布尼兹公式与积分上限函数的求导方法．[重点与难点]重点是微积分基本定理与牛顿—莱布尼兹公式，难点是微积分基本定理的证明．[教学过程]前面介绍了积分的概念，从理论上讲，总可通过和式的极限来确定积分的值，但实际运算起来是很繁琐的，有时甚至无法计算。
本节通过揭示积分与导数的关系，将引出计算积分的一个简便而可行的计算公式——牛顿—莱布尼兹公式.为了解决这个问题，我们先来介绍积分上限函数的概念及其性质一、积分上限函数及其导数⒈ 积分上限函数的概念设函数)(xfy=在],[ba上连续，x为],[ba上的一点，不难得知，)(xf在部分区间],[xa上的积分⎰x a dxxf)(存在，这里，x既表示积分的上限又表示积分变量，为明确起见，把积分变量改用另一字母t表示，从而该积分可表为⎰x a dt t f)(.显然，对于],[ba上的任一取值x，积分⎰xadttf)(都有唯一确定的值与之对应，因此，⎰x a dt t f)(在区间],[ba上确定了一个以积分上限x为自变量的函数，称之为积分上限函数，通常记为)(xΦ，即)(xΦ⎰=x a dt t f)()(bxa≤≤⒉ 积分上限函数的性质积分上限函数具有如下的重要性质定理1（微积分基本定理）如果函数)(xfy=在],[ba上连续，则积分上限的函数) (x Φ⎰=x a dt t f)()(bxa≤≤在],[ba上可导，且)(xΦ'⎰=xadttfdxd)()(xf=)(bxa≤≤证明当),(bax∈时，若自变量在x处取得增量x∆且),(baxx∈∆+，函数)(xΦ相应的增量为∆Φ-∆+Φ=)(x x )(x Φ⎰∆+=xx xdt t f )(xf ∆⋅=)(ξ（积分中值定理）其中，ξ介于x 与+x x ∆之间。
于是，)(x Φ'x x ∆∆Φ=→∆0lim)(lim 0ξf x →∆=)(x f =当a x =或b x =时，同理可证得：)(a +Φ')(a f =，)(b -Φ')(b f = 证毕 这个定理的重要意义在于：⑴肯定了连续函数的原函数必存在；⑵初步揭示了积分与导数的关系,从而预示有可能通过原函数来求得积分；⑶给出了积分上限函数的导数公式⎰xa dt t f dxd )()(x f =,并由复合函数的求导法则可推得⎰)()(x adtt f dx d ϕ)()]([x x f ϕϕ'⋅= 例1 求极限xdt t x x ⎰→020cos lim.解：易知该极限为00型未定式，故由洛必达法则得x dt t xx ⎰→020cos lim 1cos lim 020⎰→=x x dt t dx d 20cos lim x x →=1= 例2 求下列函数的导数：⑴ =)(x ϕ⎰-x t dte cos 12⑵ =)(x ϕ⎰x xdtt 222sin解：⑴=')(x ϕ'⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰-xt dt e cos 12)(cos 2cos '⋅=-x e x x e x sin 2cos ⋅-=- ⑵；因为=)(x ϕ⎰x xdt t 222sin ⎰=022sin xdt t ⎰+x dt t 202sin ⎰=xdt t 202sin ⎰-22sin x dtt所以，=')(x ϕ'⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰xdt t 202sin '⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰202sin x dt t )2()2sin(2'⋅=x x )(sin 24'⋅-x x24sin 2x =4sin 2x x -.例3 设)(x f 是)0[∞+，内的正值连续函数，证明函数=)(x F ⎰⎰x x dtt f dt t tf 00)()(在)0(∞+，内是单调增加的.证 因为=')(x F 200)()()()()(⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰x xx dt t f dtt f t x f dt t f x f x2000)()()()(⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰⎰xx x dt t f dt t tf dt t xf x f 200)()()()(⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰x xdt t f dt t f t x x f当0>x 时，在],0[x 上，0)(>x f ，0)()(≥-t f t x ，且0)()(≠-t f t x ，故知0)(>'x F ，从而推得)(x F 在)0(∞+，内是单调增加的.二、牛顿—莱布尼兹公式定理2 如果函数)(x F 是连续函数)(x f 在],[b a 的一个原函数，那么⎰b adx x f )()()(a F b F -=证 因为)(x f 在],[b a 上连续，所以，)(x Φ⎰=xadt t f )(为)(x f 的一个原函数，又)(x F 是)(x f 的原函数，因此，)(x ΦC x F =-)(当a x =时，)(a ΦC a F =-)(，又=Φ)(a 0)(=⎰aadt t f 得)(a F C -=当b x =时，有)(b Φ)()(a F b F -=-即⎰badt t f )()()(a F b F -=-整理即得⎰b adx x f )()()(a F b F -= 证毕注：⑴ 上式叫牛顿—莱布尼兹公式，也称为微积分基本公式. ⑵ 在运用该公式时，)()(a F b F -通常记为[]b ax F )(或bax F )(；⑶ 该公式对于b a >时也适用；公式表明：一个连续函数在某一区间上的积分等于它的任何一个原函数在该区间上的增量.这就为积分的计算提供了一个简便而有效的方法.例4 求⎰102dxx .解：因为C x dx x +=⎰3231所以，⎰12dx x 3131103=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x 例5 求⎰-+++012241133dx x x x .解：因为，⎰+++dx x x x 1133224⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++=dxx x 11322C x x ++=arctan 3 所以，⎰-+++012241133dx x x x []013arctan -+=x x 41π+= 由上可知，利用牛顿—莱布尼兹公式求积分一般分两步完成，运算熟练后，可合并表示.例6 求⎰π022cos dx x.解：⎰π022cos dx x ⎰+=π0)cos 1(21dx x []π0sin 21x x +=2π=例7 求⎰-222},max{dxx x .解：因为，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤<≤-=211002},max{222x x x x x x x x所以，⎰-222},max{dx x x ⎰-=022dx x ⎰+1dx x ⎰+212dxx2331-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x 10221⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x 21331⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x 211=例8 设⎪⎩⎪⎨⎧+∞⋃-∞∈∈=),()0,(0],0[sin 21)(ππx x x x f ，求)(x Φ⎰=xdt t f 0)(在),(+∞-∞内的表达式.解：当π≤≤x 0时，)(x Φ⎰=xtdt 0sin 21)cos 1(21cos 210x t x-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=当0<x 时，)(x Φ⎰=xdt 000= 当π>x 时，)(x Φ⎰=π0)(dt t f ⎰+xdt t f π)(⎰=π0sin 21dt t ⎰+x dt π0π0cos 21⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=t 0+1=所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤-<=Φππx x x x x 10)cos 1(2100)(习题3.21．求由参数表示式⎰=tudux 0sin ，⎰=tuduy 0cos 所确定的函数y 对x 的导数．２．求下列极限：⑴2cos 1limx dte x tx ⎰→ ⑵xdt e e x t t x cos 1)(lim--⎰-→３．计算下列各函数的导数：⑴)(x ϕ⎰+=xdtt 121 ⑵)(x ϕ⎰+=23411x x dtt4．计算下列各积分：⑴ ⎰+331211dx x ⑵⎰--2121211dxx⑶⎰-10)1(dx x x ⑷⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+2121dx x x⑸⎰---+2111e dx x ⑹⎰π20sin dx x⑺⎰-ππxdx3cos ⑻⎰-ππxdx2sin⑼⎰20)(dx x f ,其中,⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=12111)(2x x x x x f ．5．设⎩⎨⎧∈∈=]2,1[)1,0[)(2x x x x x f ，求)(x Φ⎰=xdt t f 0)(在]2,1[的表达式．６．求函数=)(x ϕ⎰-xdtt t 02)(6的极值．７．设函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导且0)(≤'x f ，试证明：x adt tfa x )(1在),(ba内有0)(≤'xF．=) (xF⎰-。
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f′(3x)dx＝(
a
A．f(b)－f(a)
课前完成导学案,掌握基本题型,时间不超过 20 分钟,A 层次完成所有会做的题目;B 层次完成除★★所有会做的题目;
C 层次完成不带★所有会做的题目,坚决杜绝抄袭现象
2013-14 高二数学选修 2-2 导学案 011 编制人:郑淑芬
答案
题型一：用微积分基本定理求简单函数的定积分 1、
C．－cosx 4.答案 A 解析 F(x)＝
D．－sinx
x
costdt＝sint
0
6
x ＝sinx－sin0＝sinx. 0
(2x－4)dx＝16－4＝12.
0
所以 F′(x)＝cosx，故应选 A. ) B．f(3b)－f(3a) D．3[f(3b)－f(3a)]
b
f′(3x)dx＝(
a
2013-14 高二数学选修 2-2 导学案 011 编制人:郑淑芬 课题 学习 目标 重点 难点 §1.6 微积分基本定理 课时 1 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），了解牛 顿-莱布尼兹公式 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的 关系），直观了解微积分基本定理的含义 学习流程 [知识链接]： （1）定义表达式：
sin xdx的几何意义？
③当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时， 定积分的值取____值， 且等于_______________面积；
问题 3：① 求 ②
2
0
sin xdx ______________ .
2
0
sin xdx的几何意义？
3 1 2. （ - 2 sin 0
③当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲 边梯形面积时，定积分的值为_____ ，且等于_________________ _______________________面积．
0
解：
1
(x －2x)dx＝
2
0
1
x2dx－
0
1
2xdx
0
1 1 1 5 2 2 ＝ －0＋2×2－ ×2 －2×1－ ×1 ＝ .故应选 C. 2 3 2 6 8. A.
1 1 1 31 2 2 ＝ x －x ＝ －1＝－ . 3 0 3 3 0
5.
1
|x|dx 等于(
) B.
课前完成导学案,掌握基本题型,时间不超过 20 分钟,A 层次完成所有会做的题目;B 层次完成除★★所有会做的题目; 3
②
，积分
是两个三角形的面积和
C 层次完成不带★所有会做的题目,坚决杜绝抄袭现象
2013-14 高二数学选修 2-2 导学案 011 编制人:郑淑芬 ∴ =1
审核人: 杨红波 2 2 1 2. x ＋ 4dx＝
题型一：用微积分基本定理求简单函数的定积分 1、
1
0
x 2 dx
2、
4 0
cos 2 xdx
F ( x) f ( x) ）的数值差 F (b) F ( a) 来计算 f ( x) 在 [a, b] 上的
b
a
f (x)dx=
定积分. 2、.若ƒˊ(x)=x ,那么函数ƒ(x)唯一确定吗？
4 3 1 4 2 2 ＝16x－4x － x ＋ x 3 2 0 32 40 ＝32－16－ ＋8＝ . 3 3 6.
求 sin xdx _____________ ，
0
利用定积分的几何意义计算定积分 ① ② ③ ④.
2 3 1 ( x 2 ) dx= ( x 2 2 x 3 ln x ) x 1 2
使用时间:
班级:
姓名: 3.答案 D 解析 ∵1－2sin
2
层次: θ ＝cosθ 2
教师评价得分:
-2
x
③
是
圆，积分
=
=
21 A. 4 C. 33 8
5 B. 4 D. 21 8
2.答案 A 4 答案 12 解析 如图 A(0，－4)，B(6,8) 解析
2
-2
x2＋ 14dx＝ 2 x2dx＋ 2 1 dx -2 -2 x4 x
审核人: 杨红波 使用时间: 9、 利用定积分的几何意义计算定积分 ① ②
班级:
姓名: 1 C. [f(3b)－f(3a)] 3
层次:
教师评价得分:
D．3[f(3b)－f(3a)]
0
sin xdx _____________ ，
0
sin xdx的几何意义 ?
5. x2 x dx =_________
-1
1
(－x)dx
0
课前完成导学案,掌握基本题型,时间不超过 20 分钟,A 层次完成所有会做的题目;B 层次完成除★★所有会做的题目;
1
C 层次完成不带★所有会做的题目,坚决杜绝抄袭现象
2013-14 高二数学选修 2-2 导学案 011 编制人:郑淑芬 题型三：利用定积分的几何意义求定积分 问题 1：① 求 ②
5.
（3）定积分的性质 ① ② ③4－x )dx；
2
6.
0
2
1
x2＋2x－3 dx. x
a b
kf (x)dx= [f1 (x) f 2 (x)]dx= f (x)dx=
5、利用基本初等函数的求导公式求下列函数的原函数 4、计算定积分
a
b
b
a
f ( x)dx 的关键是什么？
1 2
③当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取___值， 且等于_______________________面积；
③
④.
6
6.从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x，y)， (2x－4)dx 则点 M 取自阴影部分的概率为________．
0
问题 2：① 求 ②
2
7.已知 f(x)＝3x ＋2x ＋1，若
审核人: 杨红波 使用时间: 题型二：用微积分基本定理求分段函数的定积分
班级:
姓名:
2
层次:
教师评价得分:
x (0 x 1) 7．设 f ( x) 2 x1 x 2
2
求 sin xdx ______________ ，
，则
4 5
2
0
f ( x)dx 等于(
5．函数 F(x)＝ A．cosx
x
costdt 的导数是( B．sinx
)
0
S△AOM＝ ×2×4＝4
1 S△MBC＝ ×4×8＝16 2 ∴
1 2
1 3 －3 2 ＝ (x －x ) 3 -2 1 21 1 1 1 ＝ 8－ － －8＋ ＝ . 8 3 8 4 3 故应选 A. 3.
题型二：用微积分基本定理求分段函数的定积分 7．设 f ( x) 3 4
x 2 (0 x 1) 2 ，则 f ( x)dx 等于( 0 2 x 1 x 2
4 5 5 C. 6 D．不存在
)
A.
B.
b
a
f ( x)dx = _______________.这个结论叫做微积分基本定理,又
0
sin xdx的几何意义 ?
解析：① =3 ，积分
6
(2x－4)dx
0
2
1
x2＋2x－3 dx. x
2
当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取___值，且 等于_______________________面积；
是长方形的面积
∴
解：
1
x2＋2x－3 dx＝ x
2
1
7 ＝ －3ln2. 2
)
2
sin xdx的几何意义？
1
0
x 2 dx
1 3 x 是 x 2 的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹 3
A. C.
3 4 5 6
B.
当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取____值， 且等于_______________面积；
解：由于 公式有
D．不存在
1 3 1 1 3 1 3 1 2 0 x dx = 3 x |0 = 3 1 3 0 = 3
2
3、
e
0
1
2x
dx
4、
1
0
(x2－2x)dx；
（2）定积分几何意义： ① ②
b
a
f (x)dx (f (x) 0) 表示
b
a
f (x)dx (f (x) 0) 表示
3、若F x =f ( x)则与导函数f ( x)相对应的原函数F ( x)唯一吗？ 如果不唯一，它们之间有什么关系？ 原函数的选择影响最后的计算结果吗？
-1
2
(4－2x)(4－x )dx；
2
2
1
xdx
(－x)dx＋
-1 0
1
dx
-1 0
0
解：
(4－2x)(4－x )dx＝
2
0
2
C. (16－8x－4x ＋2x )dx
2 3
-1
1
xdx
D.
xdx＋
0
-1
1
(－x)dx
可以发现，定积分的值可能取 ______________