两个计数原理、排列与组合

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布

1.计数原理

(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题．

(2)理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．

(3)理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．

(4)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

2．概率

(1)事件与概率

①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．

②了解两个互斥事件的概率加法公式．

(2)古典概型

①理解古典概型及其概率计算公式．

②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．

(3)随机数与几何概型

①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．

②了解几何概型的意义．

3．概率与统计

(1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列．

(2)了解超几何分布，并能进行简单应用．

(3)了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念；理解n次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单问题．

(4)理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题．

(5)借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

10．1两个计数原理、排列与组合

1．分类加法计数原理

完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝________________种不同的方法．2．分步乘法计数原理

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝____________种不同的方法．

3．两个计数原理的区别

分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关做一件事的不同方法的种数问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法______________，用其中______________都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法______________，只有______________才算做完这件事．

4．两个计数原理解决计数问题时的方法

最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析是需要分类还是需要分步．

(1)分类要做到“______________”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．

(2)分步要做到“______________”，即完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要______________，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数． 5．排列

(1)排列的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素，按照____________排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．

(2)排列数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的________________的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号______表示．

(3)排列数公式：A m

n ＝________________________.这里n ，m ∈N *，并且________．

(4)全排列：n 个不同元素全部取出的一个____________，叫做n 个元素的一个全排列．A n n ＝n ×(n －1)×(n －

2)×…×3×2×1＝__________，因此，排列数公式写成阶乘的形式为A m n ＝ ，这里规定0！＝________. 6．组合

(1)组合的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素____________，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．

(2)组合数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的____________的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号________表示．

(3)组合数公式：C m

n ＝A m n A m m ＝____________＝____________．这里n ∈N *，m ∈N ，并且m ≤n .

(4)组合数的两个性质： ①C m n ＝____________；

②C m n ＋1＝____________＋____________.

自查自纠

1．m 1＋m 2＋…＋m n 2．m 1×m 2×…×m n

3．相互独立任何一种方法互相依存各个步骤都完成 4．(1)不重不漏(2)步骤完整相互独立

5．(1)一定的顺序(2)所有不同排列A m n (3)n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ≤n

(4)排列n ！n ！

（n －m ）！1

6．(1)合成一组(2)所有不同组合C m n (3)n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！

n ！

m ！（n －m ）！

(4)①C n－m

n ②C m n C m－1

n

(2016·郑州模拟)某项测试要过两关，第一关有3种测试方案，第二关有5种测试方案，某人参加该项测试，不同的测试方法种数为()

A．8 B．15 C．125 D．243

解：由分步计数原理知所求为3×5＝15.故选B.

某校学生会由高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人组成，现要选择不同年级的两名成员参加市里组织的活动，则共有选法()

A．27种 B．33种 C．36种 D．81种

解：由两个计数原理知，所求为3×3＋3×4＋3×4＝33(种)．故选B.

(2016·四川)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()

A．24 B．48 C．60 D．72

解：由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个位数有C13种方法，再将剩下的四个数字排列有A44种方法，则满足条件的五位数有C13A44＝72个．故选D.

(2017河南五校质量监测改编)6名同学排成一排照相，甲不站两端，则不同的站法有________种．

解：所求为A14A55＝480种．故填480.

现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有____________种．

解：按A→B→C→D顺序分四步涂色，共有4×3×2×2＝48(种)．故填48.

类型一分类与分步的区别与联系

甲同学有若干本课外参考书，其中有5本不同的数学书，4本不同的物理书，3本不同的化学书．现在乙同学向甲同学借书，试问：

(1)若借一本书，则有多少种不同的借法？

(2)若每科各借一本，则有多少种不同的借法？

(3)若借两本不同学科的书，则有多少种不同的借法？

解：(1)因为需完成的事情是“借一本书”，所以借给他数学、物理、化学书中的任何一本，都可以完成这件事情．

故用分类计数原理，共有5＋4＋3＝12(种)不同的借法．

(2)需完成的事情是“每科各借一本书”，意味着要借给乙三本书，只有从数学、物理、化学三科中各借一