大一高等数学 第一章第六节 极限存在准则 两个重要极限
0106极限存在准则两个重要极限
xn + 1 =
2
2 2 x lim 3 + xn , xn + 1 = 3 + xn , n +1 = lim ( 3 + xn ), n→ ∞ n→ ∞
1 + 13 1 − 13 A = 3 + A, 解得 A1 = , A2 = (舍去)， 2 2 1 + 13 ∴ lim xn = . 2 n→ ∞
◆ 进一步可证 :
1 x 1 x lim (1 + ) = e, lim (1 + ) = e, lim (1 + 1 ) x = e. x → +∞ x → −∞ x x x →∞ x
1 x ◆ lim (1 + ) = e x x →∞
1∞型
1 ⊗ 定理 若 lim ⊗ = ∞ , 则有 lim (1 + ) = e x →a x →a ⊗
显然 xn+1 > xn , ∴ {xn } 单调增 加;
xn < 1 + 1 + 1 1 1 1 1 1 + ++ < 1 + 1 + + + n ⋅ ( n − 1) 2⋅1 3⋅ 2 2! 3! n!
1 = 3 − < 3, ∴ 数列{x } 有上界 ; n n
1 n ∴ lim xn 存在 , 即 lim (1 + ) 存在, n→ ∞ n→ ∞ n 1 n 记 lim (1 + ) = e, e = 2.71828. n→ ∞ n
x →0
∴ lim (1 − cos x ) = 0, ∴ lim cos x = 1,
x →0
1.6极限存在准则 两个重要极限
1 x
)
x
1
2. (1 + 0 ) 趋势
( 1+ x )
∞
x ( 1+
1
3.
x
x
)
x
8
1 − cos x 例3 求 lim . 2 x→0 x
x 2 x 2 sin sin 1 2 = lim 2 解 原式 = lim x→0 x2 2 x →0 x 2 ( ) 2 x sin 1 2 )2 1 2 1 . = lim( = ⋅1 = x→0 x 2 2 2 2
sin x “配” 配 x
2. 三相同 3. x → 0
lim
x→0
sin x x
7
1 x lim(1 + x ) = lim(1 + ) = e x→0 x →∞ x
f ( x )g ( x ) 含
1 x
(1 + 0)∞ 的
型:
1. 倒数关系 ( 1+ x )
( 1+
1 x 1 x
方 法
“
(1+ x) , 1x (1+ ) x
13
思考题
1、求极限 、
x→+∞ →+∞ x→+∞ →+∞
lim 3 x + 9 x
(
)
1 x
答： lim 3 x + 9 x
(
)
1 x
= lim 9
x→+∞ →+∞ 1 x 3 3x ⋅ x
( )
x
1 x
1 + 1 x 3
1 x
1 = 9 ⋅ lim 1 + x x →+∞ 3
高等数学第一章第6节夹逼准则
x0 x0 2 x0 2 x0 x0 1 x0 x0 1
-2-
x
第六节
极限存在准则
x x0
两个重要极限
x x0
证
0,
lim g( x ) A, lim h( x ) A,
第 一 章 函 数 极 限 连 续
所以 1 , 2 0, 使当 0 | x x0 | 1 时, 恒有 | g( x ) A | 即 A g ( x ) A 当 0 | x x0 | 2 时, 恒有
0
(2)
x x0
g ( x ) f ( x ) h( x ), lim g( x ) A, lim h( x ) A,
x x0
那末当 x x0 时, f ( x ) 的极限存在, 且 lim f ( x ) A.
y
x x0
A A A
o
y h( x ) y f ( x) y g( x )
- 11 -
第六节
极限存在准则
两个重要极限
1 x ) e 二 重要极限 lim(1 x x 在第二节中,利用单调有界原理证明了重要极限
第 一 章 函 数 极 限 连 续
1 n lim(1 ) e n n 现在说明 n 换成连续变量 x , 在 x , x , x
所以
第 一 章 函 数 极 限 连 续
sin x lim 1 x 0 x sin x sin( x ) sin t lim lim lim 1 x 0 x 0 t 0 x x t
而
所以
sin x lim 1 x 0 x
-9-
1-6极限存在准则与两个重要极限
返回
微积分
第一章 极限与连续
五、连续复利公式
设本金为 A , 年利率为 r .
按年计息 : 一年末本利和为 二年末本利和为 t 年末本利和为 : A(1 r) .
t
: A ( 1 r ); : A (1 r ) ;
2
返回
微积分
按月计息 : 一年末本利和为 二年末本利和为 t 年末本利和为
n
x n 6 ( n 1, 2 , )，
返回
微积分
第一章 极限与连续
四、第二个重要极限
1
lim (1 x )
x 0
x
e 或 lim (1
x
1 x
) e
x
返回
微积分
第一章 极限与连续
例4 求下列极限：
(1) lim (1
x 2
3 x
)
x
( 2 ) lim x 1 x
微积分
第一章 极限与连续
第六节
极限存在准则与两个重要极限
一、夹逼准则
定理1： ( 1 ) 若当
n
n N 0时 , 有 y n x n z n , 且
n n
lim y n lim z n a , 则 lim x n a . ( 2 ) 若当 x U ( x 0 ) 时 , 有 g ( x ) f ( x ) h ( x ), 且
x 0
是
x 0
而 lim
x
;
sin[ ( x ]
( 3 ) 将 x 换成 ( x ), 则有 sin( 1 x ) 1 x 1.
(x)
1 ( ( x ) 0 ),
高数第-章极限存在准则两个重要极限PPT课件
高数第-章极限存在准 则两个重要极限ppt 课件
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REPORTING
2023
目录
• 极限存在准则概述 • 第一个重要极限：夹逼准则 • 第二个重要极限：单调有界准则 • 极限存在准则的深入探讨 • 两个重要极限的拓展与应用 • 课程总结与回顾
2023
学习方法与技巧分享
深入理解概念
通过反复阅读教材和参考书籍，加深对极限存 在准则和两个重要极限的理解。
多做练习题
通过大量的练习题，熟练掌握求解函数极限的 方法和技巧。
归纳总结
及时归纳总结学习过程中的重点和难点，形成自己的知识体系。
下一步学习计划与建议
深入学习后续章节
在掌握本章知识点的基础上，继续深入学习后续章节，如导数、 微分等。
两个重要极限的引入
第一个重要极限
lim(sinx/x) = 1 (x->0)。
第二个重要极限
lim[(1 + 1/x)^x] = e (x->∞)。
引入原因
这两个极限在微积分学中具有重要地位，是求解许多复杂极限问题的基础。
应用举例
利用这两个重要极限可以求解诸如三角函数、指数函数、对数函数等的极限问题。
工程学
在工程学中，两个重要极限被用于分析和设计各 种工程结构，如桥梁、建筑、机械等，以确保其 稳定性和安全性。
经济学
在经济学中，两个重要极限被用于研究和分析市 场供需关系、价格变动等经济现象，为经济政策 制定提供理论支持。
两个重要极限的拓展形式
多元函数极限
将两个重要极限的概念拓展到多元函数，研 究多元函数在某一点或某一区域内的极限行 为。
2023
PART 03
高数上册第一章第六节极限存在准则两个重要极限
1 当 x > 0 时 1 x x 1 x 1 由夹逼定理得 lim x[ ] 1. x 0 x
【注】记住[x]的运算性质： x 1 [ x ] x
7
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2.【单调有界准则】
如果数列xn满足条件
x1 x2 xn xn1 , 单调增加 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
18
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当 x 1 时,
有 [ x ] x [ x ] 1,
1 [ x] 1 x 1 [ x ] 1 (1 ) (1 ) (1 ) , [ x] 1 x [ x]
1 [ x ]1 1 [ x] 1 而 lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) e, x x x [ x] [ x] [ x] 1 [ x] lim (1 ) x [ x] 1 1 [ x ]1 1 1 e , lim (1 ) lim (1 ) x x [ x] 1 [ x] 1
2 lim x n 1 lim( 3 x n ), n
A 3 A,
2
1 13 1 13 1 13 lim x . n 解得 A , A (舍去) n 2 2 2
10
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【说明】 该方法只有在证明了极限存在时，才 能由递推公式，通过解方程的方法求 极限，否则可能导致荒谬的结论
2
)
作单位圆的切线，得ACO .
扇形OAB的圆心角为 x ,
于是有sin x BD,
OAB的高为BD ,
高数同济§1.6 极限存在准则两个重要极限
从而有
= lim ( t +
t +
-1 t (t +1) t +1
)
1) t +1 = lim (1 + t t +
= lim [(1 + 1)t (1 + 1)] = e t t
故
1) x lim (1 + x x
n1 = 1 + 1! n
xn+1 = 1 + 1 +
1 (1 - 1 ) + 1 (1 - 1 )(1 - 2 ) + 2! n+1 3! n+1 n+1
大 大
1 + ( n+1)! (1 - n1 1)(1 - n2 1)(1 - nn 1) + + +
正
比较可知
首页
xn xn+1 ( n = 1, 2 , )
那么数列{xn }的极限存在 且 lim xn = a
由条件(2) e 0 N 0 当nN 时 有 |yn-a|e 及|zn-a|e 即有 a-eyna+e a-ezna+e 由条件(1) 有 a-eynxnzna+e 即 |xn-a|e 这就证明了 lim xn =a 简要证明
6.lim(1 + x ) =
x 0 1 x
1 x 5.lim(1 - ) = x x
1 x x 0
e
-1
;
e;
7.lim(1 - x ) = e -1 .
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高数上册第一章第六节极限存在准则两个重要极限
【几何解释】
单调减少
单调增加
广义单调数列
*
相应地，函数极限也有类似的准则
统称为单调有界准则
准则Ⅱ及
【准则 】
准则
*
【补例2】
【证】 (舍去) 递推公式 注意到
*
【说明】
该方法只有在证明了极限存在时，才能由递推公式，通过解方程的方法求极限，否则可能导致荒谬的结论
如
①式两端取极限后 得
①
从而得
矛盾
*
【例4】
【解】 【例5】 【解】
*
【例6】
【解】 【例7】 【解】
*
三、小结
【两个准则】
【两个重要极限】 夹逼准则; 单调有界准则 .
*
【思考题】
求极限
*
【思考题解答】
抓大头
*
二、两个重要极限
三、小结 思考题
第六节 极限存在准则 两个重要极限
一、极限存在准则
一、极限存在准则
【证】
【夹逼准则】
*
上两式同时成立,
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
【注意】
02
利用夹逼准则Ⅰ关键是将xn作适当缩放,得到极限容易求的数列yn与zn，且极限相等.
准则 Ⅰ和准则 Ⅰ'称为夹逼准则.
利用夹逼准则Ⅰ′关键是对不易求极限的f(x)作适当缩放，得到极限容易求的g(x)与h(x)，且极限相等.
*
【补例1】
【解】 由夹逼准则得 抓大头
*
【练习】
［提示］ ［提示］ ［提示］单调有界准则
*
［提示］ ［提示］ 由夹逼定理得 【注】记住[x]的运算性质： 当 x > 0 时
2.【单调有界准则】
第六节极限存在准则两个重要极限PPT课件
第9页/共11页
例5
解
令t=-x 则x 时 t 于是
第10页/共11页
例6 解:
练习
1. 2.
1
lim(1 sin 2x) x
x0
1
1 sin 2 x
lim(1 sin 2x) x lim[(1 sin 2x)sin2x ] x
x0
x0
e2.
lim( x 2)x e2.
x x
lim(
x
x
3x3 x 2x2 1
sin
1 x
lim
x
x(3x2 1) 2x2 1
sin
1 x
lim
x
(3x2 2x2
1) 1
(sin
1 x
/
1 x
)
3 2
第7页/共11页
二、准则II及第二个重要极限
准则II 单调有界数列必有极限
准则II的几何解释
以单调增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向 移动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而 对有界数列只可能后者情况发生
一、准则I及第一个重要极限
准则 I
如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件 (1)ynxnzn(n=1 2 3 )
(2) lim y a lim z a
n n
n n
那么数列{xn }的极限存在
且
lim
n
xn
a
准则I
如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)A lim h(x)A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)A
即
时， 圆扇形AOB的面积
极限存在准则两个重要极限公式
夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的
方法．下面利用它证明另一个重要的
极限公式： lim sin x 1 x0 x
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1x
oC
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
亦故即有
1sin sxinxxxctoa1snxx
1. 单调有界准则
数列 xn : 单调增加 x1 x2 xn xn1 ,
单调减少 x1 x2 xn xn1 ,
准则I 单调有界数列必有极限 单调上升有上界数列必有极限
说 明: 单调下降有下界数列必有极限 (1) 在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定 有界，但有界的数列不一定收敛．
1
1 1 n1 n 1
1 yn1
由于数列 yn 是单调增加的，所以数列 zn 是单调减少的.
又
xn
1
1
n
n
1
1
ห้องสมุดไป่ตู้n1
n
zn
z1
4
则 2 xn 4. 综上，根据极限存在准则Ⅰ可知，数列是
收敛的.
2023年12月9日星期六
4
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通常用字母 e 来表示这个极限，即
lim
n
1
1
n
)
( n 1, 2,
), 且
x1 0,
a0,
求
lim
n
xn
.
利用极限存在准则
第六节 极限存在准则 两个重要极限
第六节 极限存在准则 两个重要极限 ㈠本课的基本要求了解极限存在的两个准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。
㈡本课的重点、难点重点是两个重要极限，难点是用两个重要极限求极限 ㈢教学内容本节介绍判定极限存在的两个准则，并利用它们求出微积分中两个重要极限：1sin lim=→xxx 及 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim一．夹逼准则准则Ⅰ 如果数列}{},{n n y x 及}{n z 满足下列条件：⑴),3,2,1( =≤≤n z x y n n n ，⑵a z a yn n nn ==∞→∞→lim lim ,，那么数列}{n x 极限存在，且a x n n =∞→lim 。
证 因a z a y n n →→,，所以根据数列极限的定义，∃>∀,0ε正整数1N ，当1N n >时，有ε<-a y n ；又∃正整数2N ，当2N n >时，有ε<-a z n 。
现在取},max{21N N N =，则当N n >时，有ε<-a y n ，ε<-a z n 同时成立，即εε+<<-a y a n ，εε+<<-a z a n 同时成立。
又因n x 介于n y 和n z 之间，所以当N n >时，有εε+<≤≤<-a z x y a n n n ，即ε<-a x n 成立，这就证明了a x n n =∞→lim 。
上述数列极限存在准则可以推广到函数的极限： 准则Ⅰ’ 如果⑴当),(0r x U x∈（或M x >）时，)()()(x h x f x g ≤≤ ⑵A x h A x g x x x x x x ==∞→→∞→→)(,)(lim lim )()(00，那么)(lim)(0x f x x x ∞→→存在，且等于A 。
准则Ⅰ及准则Ⅰ’称为夹逼准则。
准则不仅告诉我们怎样判定一个函数（数列）极限是否存在，同时也给了我们一种新的求极限的方法：即为了求得某一函数的极限，不直接求（比较困难）它的极限，而是把它夹在两个已知（易求的）有同一极限的函数之间，那么这个函数的极限必存在，且等于这个公共的极限。
极限存在准则与两个重要极限
100 000 2.718 27 100 000 2.718 30
1 000 000 2.718 28 1 000 000 2.718 28
e e
1.2 准则Ⅱ与第二个重要极限
因此，
lim
x
1
1 x
x
e
．
e 是无理数，它的值是 2.718 28 ．在 1.1 中提到的指数函数 y ex 及自然对数 y ln x 中的
（2） lim g(x) lim h(x) A ，
xx0
xx0
则有 lim f (x) A ． xx0
1.1 准则Ⅰ与第一个重要极限
作为准则Ⅰ及准则Ⅰ'的应用，下面证明一个重要极限： lim sin x 1 ． x0 x
证明 在图所示的单位圆中，设圆心角 BOA x ， AD 切圆 O 于 A ， 且与 OB 延长线相交于 D ，于是有
3 1
x 1
1
lim
x 1
3
x
2x 1
2x
lim
x
2x 2x
3 1
lim
x
1 1
3
x
2x
1 x 2x
1
3
e2
1
e2
e．
1.7 无穷小阶的比较
在 1.4 节中我们已经知道，两个无穷小的和、差及乘积仍是无穷小．但是关于两
个无穷小的商却会出现不同的情况．例如，当 x 0 时，2x ， x2 ，sin x 都是无穷小
an1
1
n
1
n1
1
1
1
21!1
n
1
1
1 3!
1
1 n
1
高等数学1.6极限存在准则、两个重要极限
二、两个重要极限
例4
1 cos x 求 lim . 2 x0 x
2 x x 2 sin 2sin 2 1 lim 2 解 原式 lim 2 x 0 2 x x 0 x 2 2 2
0 0
sin x lim 1 x 0 x
lim cos x 1,
x 0
x x0 x x0
lim f ( u ) A， 则 lim f [ g ( x )] A lim f ( u )
u a
证明
lim(1 x ) e
x 0
1 x
x x0 1 x
u a
1 1 令 x , lim(1 )t ＝ lim(1 x ) t t t x0
x x0 ( x ) x x0 ( x )
f ( x) lim h( x ) A, 那末 xlim x
( x)
0
存在, 且等于 A 上述两准则称为两边夹准则.
例1 求 lim( n 解：
1 n 1
2
1 n 2
2
1 n n
2
).
n n n
2
n
x 1 sin x 1, cos x 1 sin x cos x x
A
下面证 lim cos x 1,
x0
2 x x x 2 2 1 cos x 2 sin 2( ) , 2 2 2
0 cos x 1 x2 lim 0, lim(1 cos x ) 0, x0 x0 2 sin x lim cos x 1, lim1 1, lim x 0 x0 x0 x
(2)
1 x lim (1 ) e x x
1.6极限存在准则两个重要极限
准则1：若数列}{n x 、}{n y 、}{n z 满足以下条件：（i ） N n ∈∃0，当0n n >时，有n n n z y x ≤≤； （ii ）a y n n =∞→lim ，a z n n =∞→lim 。
那么数列}{n x 极限存在，且a x n n =∞→lim 。
证明：因为a z y n n n n ==∞→∞→lim lim ，所以对0,01>∃>∀N ε，当1N n >时，有ε<-a y n ，即εε+<<-a y a n ，对2N ∃，当2N n >时，有ε<-a z n ，即εε+<<-a z a n ，又因为n n n z x y ≤≤，所以当},{21N N Max N n =>时，有εε+<≤≤<-a z x y a n n n ，即有：εε+<<-a x a n ，即ε<-a x n ，所以 a x n n =∞→lim 。
准则1′如果函数)(),(),(x h x g x f 满足下列条件：（i ）当))(,(0M x r x U x >∈∧时，有)()()(x h x f x g ≤≤。
（ii ）当)(0∞→→x x x 时，有A x h A x g →→)(,)(。
那么当)(0∞→→x x x 时，)(x f 的极限存在，且等于A 。
第一个重要极限：1sin lim0=→xxx作为准则I ′的应用，下面将证明第一个重要极限：1sin lim 0=→xxx 。
证明：作单位圆，如下图： 设x 为圆心角AOB ∠，并设20π<<x 见图不难发现：AOD AOB AOB S S S ∆∆<<扇形，即：x x x tan 2121sin 21<<，即 x x x tan sin <<， （因为20π<<x ，所以上不等式不改变方向，若02<<-x π，不等式也成立）当x 改变符号时，x x x sin ,cos 及1的值均不变，故对满足20π<<x 的一切 x ，有1si n co s <<x xx 。
极限存在准则-两个重要极限公式
2
举例2
使用公式2计算 lim(x→1) (x² - 1) / (x - 1)
重要极限公式的意义和应用
这两个重要极限公式不仅帮助我们更容易地计算函数的极限值，还能在实际 问题中应用。了解这些公式将使我们更精确地理解和解决数学和科学中的难 题。
例子
计算极限 lim(x→2) [3x + 2x²]
重要极限公式2: 复合函数的极限等于 函数内外极限的复合
1 公式说明
当我们计算复合函数的极限时，可以将外部函数的极限值与内部函数的极限值进行复合 计算。
2 例子
计算极限 lim(x→0) sin(x) / x
重要极限公式的应用
1
举例1使用公式1计算 lim(x→) [2x + 5x²]
极限存在准则-两个重要 极限公式
本节介绍两个重要的极限公式，能够帮助我们计算函数的极限值。第一个公 式是两个函数的极限的和等于函数和的极限，第二个公式是复合函数的极限 等于函数内外极限的复合。
重要极限公式1: 函数极限的和等于和 的极限
公式说明
当我们计算两个函数在某一点的极限值时，可以将两个函数的极限分别计算，然后将其结果 相加。
高等数学 第六节 极限存在准则 两个重要极限
1 + 2 +⋯+ n < I n 2 2 2 n +n n +n n +n < 1 + 2 +⋯+ n , n2 + 1 n2 + 1 n2 + 1
+ 即 1 + 22 ⋯ + n < In < 1 + 2 + ⋯ + n , n +n n2 + 1
n(n + 1) n(n + 1) < In < , 2 2 2(n + 1) 2(n + n)
n
或 lim(1+ x)
x→0
1 x
=e .
e = 2.7182818284 59045⋯ (无理数 ⋯ )
sin x =1 . 2) . lim x→0 x
弦长 AB = 2 sin x , 弧长 AB = 2 x , 切线长 CD = 2 tan x .
F
A C
x
B
E
D
7
sin x < x < tan x . ( x > 0)
∀ε > 0 , ∃ N1 , 当 n > N1 时, A − ε < yn < A + ε ;
∃ N 2 , 当 n > N 2 时, A − ε < zn < A + ε , 从而 , 当 n > max{ N1 , N 2 } 时 ,
A − ε < yn ≤ xn ≤ z n < A + ε
n→∞
13
uk + uk uk −1 − uk −1 − uk −1uk uk uk−1 = − (1 + uk ) (1 + uk −1 ) 1+ uk 1+ uk−1 uk − uk −1 = > 0 ⇒ uk +1 > uk , { un } 单调增加 . (1 + uk ) (1 + uk −1 )
第6节 极限存在准则 两个重要极限概要
第六节极限存在准则两个重要极限教学目的：掌握两个极限的存在准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
教学重点：利用两个重要极限求极限教学难点：利用第二重要极限求极限的方法教学过程：准则I 如果数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足下列条件:(1(1,2,3, n n n y x z n ≤≤= ,(2 lim , lim n n n n y a z a →∞→∞==, 那么数列{}n x 的极限存在，且lim n n x a →∞= 准则I ' 如果函数( f x 、( g x 及( h x 满足下列条件:(1( ( ( g x f x h x ≤≤,(2lim ( , lim ( g x A h x A ==,那么lim ( f x 存在, 且lim ( f x A =．注：在上面的定理中，记号“lim ”下面没有标明自变量的变化过程。
实际上，定理对0x x →及x →∞都是成立的。
准则I 及准则I '称为夹逼准则（或迫敛性准则）。
第一个重要极限0sin lim1x x x →=．证如图, 设圆心角AOB x ∠=(0 2x π<<,DB 1 OC Ax因为△AOB 的面积<圆扇形AOB 的面积<△AOD 的面积，所以 111sin tan , 222x x x << 即 sin tan cos 1. sin x x x x x x <<⇒<< 由偶函数性质，02x π-<<时也成立。
又 0lim cos 1x x →= 由准则I '，即得0sin lim1x x x →= 例1 求0tan lim . x x x→ 解 0000tan sin 1sin 1lim lim( lim lim 1. cos cos x x x x x x x x x x x x →→→→=⋅=⋅= 例2 求201cos lim . x x x→- 解 222222000022sin sin sin 1cos 1111lim lim lim lim( 1. 2222( 22x x x x x x x x x x →→→→-====⋅= 例3 求0arcsin lim . x x x→ 解令arcsin t x =, 则sin t x =, 当0x →时, 有0t →. 于是由复合函数的极限运算法则得00arcsin limlim 1. sin x t x t xt →→== 例4 求1lim sin . x x x →+∞ 解令t=1/x.当x →+∞时，t →0.01sin lim sin lim 1. x t t x x t→+∞→== 例5 求sin lim . x x xππ→- 解令t x =-, 则sin sin( sin x t t =-=. 当x →0时，t →0.0sin sin limlim 1. x t x t x t ππ→→==- 例6求0x → 解0sin 4lim 41 41284x x x x →→=⋅⋅=⋅⋅=．准则II 单调有界数列必有极限.准则II 的几何解释:以单调增加数列为例, 数列的点只可能向右一个方向移动, 或者无限向右移动, 或者无限趋近于某一定点A , 而对有界数列只可能后者情况发生．准则II ' 设函数( f x 在点0x 的某个左邻域内单调并且有界，则( f x 在0x 的左极限0( f x -必定存在。
1(6)极限存在准则 两个重要极限
1 x lim (1 + ) = e x →+∞ x
24
极限存在准则 两个重要极限
( x → ∞)
准则Ⅰ 准则Ⅰ 准则Ⅰ和 准则Ⅰ’ 称为 夹逼准则. 夹逼准则.
4
极限存在准则 两个重要极限
例1 求 lim (
n→ ∞
1 n +1
2
+
1
2
1 n +2
2
+L+
1
2
1 n +n
2
).
n
2
解 Q
n
2
n +n n +1 n +n n +1 n 1 又 lim 2 = lim = 1, n→ ∞ n + n n→ ∞ 1 1+ n n 1 lim 2 = lim = 1, 由夹逼定理得 夹逼定理得 n→ ∞ n + 1 n→ ∞ 1 1+ 2 n 1 1 1 lim ( 2 ) = 1. + +L+ 2 2 n→ ∞ n +1 n +2 n +n
1 + cos x (1) 求 lim 2 x →π (π − x ) 解 令t = π − x, 则x → π时, t → 0, 故
1 − cos x 1 lim = 2 x →0 x 2
1 + cos x 1 + cos(π − t ) lim = lim x →π (π − x )2 t →0 t2
n
22
极限存在准则 两个重要极限
即
1 1 n n 1 + n + 2 ⋅ 2 又因为 1 1 1 =1 1+ ⋅ ⋅ ≤ n+2 n 2 2 n 即 1 n 1 记为 lim(1 + ) = e xn = 1 + ≤ 4 n →∞ n n 即 { xn } 有上界. 故 { xn } 收敛.
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lim f (x) A
(
x x
x0 )
( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 )
二、 两个重要极限证:Leabharlann 当x(0,
π 2
)
时，
△AOB 的面积＜
圆扇形AOB的面积
BD
1
x O
C
A
＜△AOD的面积
即 亦故即有 显然有
1 2
sin
x
1 2
tan
x
sin x x tan x
(0
x
π 2
)
cos x sin x 1 x
有
lim
n
f
(xn
)
A.
法1 找一个数列
xn x0 ,
使
lim
n
f
(xn
)
不存在
.
法2 找两个趋于
的不同数列 xn 及 xn , 使
lim
n
f
(xn )
lim
n
f
(xn )
例1. 证明
不存在 .
证: 取两个趋于 0 的数列
xn
1 2n π
及
xn
1 2n π
π 2
(n 1, 2,)
有 lim sin 1 lim sin 2n π 0 n xn n
3. lim xsin 1 __0__ ;
x0
x
2. lim xsin 1 _1___ ;
x
x
4. lim (1 1)n _e__1_; n n
作业
P56 1 (4)，(5)，(6) ;
(4) ;
2
(2)，(3)，
4
(4) , (5)
第七节
感谢下 载
使
lim
n
f
(xn
) 不存在
.
法2 找两个趋于
x0 的不同数列 xn及 xn , 使
lim
n
f
(xn )
lim
n
f
(xn )
(2) 数列极限存在的夹逼准则
函数极限存在的夹逼准则
2. 两个重要极限
或 注: 代表相同的表达式
思考与练习
填空题 ( 1～4 )
1. lim sin x __0___ ; x x
对上述 , N , 当
时, 有
于是当 故
“
n N 时 f (xn ) A .
lim
n
f
(xn )
A
” 可用反证法证明. (略)
y
A
O x0 x
定理1. lim f (x) A
x x0 (x )
且
(xn )
说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .
xn x0 , f (xn ) 有定义
第一章
极限存在准则及 两个重要极限
一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则
二、 两个重要极限
一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则
1. 函数极限与数列极限的关系
定理1.
lim f (x) A
xx0
x
xn: xn x0 , f (xn ) 有定义,
xn x0 (n ), 有 lim f (xn ) A
解: 原式 =
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
1 2
lxim0
sin
x 2
x
2
2
1 12 2
例5. 已知圆内接正 n 边形面积为
π
An
n R2
sin
π n
cos
π n
n
证明:
R
证:
lim
n
An
lim π
n
R2
sin
π n
π
cos
π n
n
说明: 计算中注意利用
2.
证: 当 x 0 时, 设 n x n 1, 则
(1 n11)n (1 1x)x (1 1n)n1
lim (1
n
n11)n
lim
n
(1 n11)n1 e
1
1 n1
(P53~54)
lim (1
n
1 n
)n1
lim [(1
n
1n)n（1
1n）]
e
lim (1
x
1 x
)
x
e
当
时, 令 x (t 1), 则
从而有
t
lim (1
t
11)(t
1)
tlim(tt 1)(t1)
(0
x
π 2
)
注
注
例2. 求
解:
lim
x0
tan x
x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
lim sin x lim 1 1 x0 x x0 cos x
例3. 求
解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此
原式 lim t t0 sin t
sin t 1
t
例4. 求
t
lim (1
1t )t
1
lim [(1
t
1t )t
(1 1t )]
e
故
lim (1
x
1 x
)
x
e
说明: 此极限也可写为
1
lim(1 z) z e
z0
例6. 求
解: 令 t x , 则
lim (1
t
1t )t
lim 1
t
说明 ：若利用
lim (1
( x)
(1x))
(
x)
e,
则
原式
lim (1
x
1 x
)
x
1
e1
例7. 求
解:
原式 =
lim [(sin
x
1 x
cos
1x ) 2
x
]2
x
lim (1
x
sin
2x) 2
1
(1
sin
2 x
sin
)
2 x
e
内容小结
1. 函数极限与数列极限关系的应用 (1) 利用数列极限判别函数极限不存在
法1 找一个数列
xn: xn x0 , 且 xn x0 ( n )
lim sin
n
1 xn
lim sin(2n π
n
π2 )
1
由定理 1 知
不存在 .
2. 函数极限存在的夹逼准则
定理2. 当 x U (x0 , ) 时, g(x) f (x) h(x) , 且
( x X 0)
lim g(x) lim h(x) A
x x0 (x )
x x0 (x )
xn
n
为确定起见 , 仅讨论
x x0 的情形.
定理1. lim f (x) A
xx0
有定义, 且
xn x0 , f (xn )
有
lim
n
f (xn )
A.
证： “ ” 设 lim f (x) A, 即 0, 0, 当
xx0
有 f (x) A .
xn: xn x0 , f (xn ) 有定义 , 且