高考数学难点突破八立体几何中的翻折问题答案

高考数学难点突破八----立体几何中的翻折问题
一、知识储备
翻折问题就是把平面图形经过折叠变成一个空间图形，实际上，折叠问题就是轴对称的问题，折痕就是对称轴，重合的即是全等图形，解决折叠问题时，要把运动着的空间图形不断地与原平面图形进行对照，看清楚其中哪些量在变化，哪些量没有变化，从而寻找出解决问题的方法，达到空间问题与平面问题相互转化的目的。

核心是抓牢折痕就是翻折前与翻折后平面图形的公共底边，折痕与公共底边上两高所在平面垂直。

二、应用举例
例1.如图，在矩形ABCD 中，M 在线段AB 上，且1AM AD ==，3AB =，将ADM ∆沿DM 翻折．在翻折过程中，记二面角A BC D --的平面角为θ，则tan θ的最大值为(
C )
A
B
C
D
例2.在矩形ABCD 中，4,3AB AD ==,E 为边AD 上的一点，
1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成A BE '∆，使得点A '在平面 BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角 A BE C '--的大小为θ，直线,A B A C ''与平面BCDE 所成的角分 别为αβ，，则( D ) A.βαθ<< B.βθα<< C.αθβ<< D.αβ
θ<<
例3.如图，矩形ABCD 中心为, O BC AB >，现将DAC 沿着对角线AC 翻折成EAC ，记BOE a ∠=，二面角B AC E --的平面角为β，直线DE 和BC 所成角为γ，则（ D ）
A. ,2a ββγ>>
B. ,2a ββγ><
C. ,2a ββγ<>
D. ,2a ββγ<<
例4.如图，在ABC △中，1AB =，22BC =，4
B π
=
，将ABC △绕边AB 翻转至ABP △，使面ABP ⊥面ABC ，D 是BC 中点，设Q 是线段PA 上的动点，则当PC 与DQ 所成角取得最小值时，线段AQ 的长度为（ B ） A ．
5 B ．
25
C ．
35
D ．
25
例5.已知在矩形ABCD 中，2AD AB =
，
沿直线BD 将ABD ∆ 折成'A BD ∆，使得点'A 在平面BCD 上的射影在BCD ∆内（不含边界），设二面角'A BD C --的大小为θ，直线
','A D A C 与平面BCD 所成的角分别为,αβ，则（ ）
A. αθβ<<
B. βθα<<
C. βαθ<<
D. αβθ<< 【答案】D
Q D
P
C
B
A
【解析】
分析：由题意画出图形，由两种特殊位置得到点A′在平面BCD上的射影的情况，由线段的长度关系可得三个角的正弦的大小，则答案可求．
详解：如图，∵四边形ABCD为矩形，∴BA′⊥A′D，
当A′点在底面上的射影O落在BC上时，
有平面A′BC⊥底面BCD，又DC⊥BC，可得DC⊥平面A′BC，则DC⊥BA′，
∴BA′⊥平面A′DC，在Rt△BA′C中，设BA′=1，则
，∴A′C=1，说明O为
当A′点在底面上的射影E落在BD上时，可知A′E⊥BD，
设BA′=1，则A D'=，
要使点A′在平面BCD上的射影F在△BCD内（不含边界），则点A′的射影F落在线段OE上（不含端点）．
可知∠A′EF为二面角A′﹣BD﹣C的平面角θ，直线A′D与平面BCD所成的角为∠A′DF=α，
直线A′C与平面BCD所成的角为∠A′CF=β，
<，而A′C的最小值为1，可求得DF＞CF，∴A′C＜A′D，且A′E=1
3
∴sin∠A′DF＜sin∠A′CF＜sin∠A′EO，则α＜β＜θ．
故答案为：D
点睛：本题主要考查二面角的平面角和直线与平面所成的角，考查正弦函数的单调性，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力分析推理能力.
例6、（嘉兴市2020年1月期终）已知矩形ABCD ，4AB =，2BC =，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，沿直线DE 将ADE △翻折成PDE △，在点P 从A 至F 的运动过程中，CP 的中点G 的轨迹长度为 ．
2
2π
分析：设 AC ,FC 的中点为 M , N ，CP 的中点G 的轨迹是以 MN 为直径的半圆．
例7、（宁波市2020年1月期终）已知平面四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，BC CD =，AB AD >，现将ABD △沿对角线BD 翻折得到三棱锥A BCD '-，在此过程中，二面角
A BC D '--、A CD
B '--的大小分别为α，β，
直线A B '与平面BCD 所成角为γ，直线A D '与平面BCD 所成角为δ，则（ ）
A ．γδβ<<
B ．γαβ<<
C ．αδβ<<
D ．γαδ<<
例8、（柯桥一中2020年1月期终）已知在矩形ABCD 中，2AB =，4AD =，E ，F 分别在边AD ，BC 上，且1AE =，3BF =，如图所示， 沿EF 将四边形AEFB 翻折成A EFB ''，则在翻折过程中，二面角B CD E '--的大小为θ，则tan θ的最大值为（ C ） A
．
5
B.5
C.4
例9、（名校合作体2020年3月）已知C 为ABD Rt ∆斜边BD 上一点，且ACD ∆为等边三角形，现将ABC ∆沿AC 翻折至C B A '∆，若在三棱锥ACD B -'中，直线B C '和直线B A '与平面ACD 所成角分别为βα，，则（ ）
A. βα<<0
B.βαβ2≤<
C.βαβ32≤≤
例10、（2020年1月嘉兴期终）已知矩形ABCD ，4AB =，2BC =，E 、F 分别为AB 、
CD 的中点，沿直线DE 将ADE △翻折成PDE △，在点P 从A 至F 的运动过程中，CP 的中点G 的轨迹长度为 ．
分析：取DE 中点O ，连CO PO ,，则点G 的轨迹是以CO 的中点为圆心，
2
221=PO 为半径的半圆，轨迹长为22ππ=r
例11、（2020年4月温州模拟）如图，在ABC ∆中，点M 是边BC 的中点，将ABN ∆沿着AM 翻折成M B A '∆，且点B '不在平面AMC 内，点P 是线段C B '上一点，若二面角B AM P '--与二面角C AM P --的平面角相等，则直线AP 经过C B A '∆的（ A ） A. 重心 B. 垂心 C. 内心 D.外心
G P
F
D B A
例12、（2020年嘉兴一模）将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 翻折，使得二面角
A BD C --的平面角的大小为π
3
，若点E ,F 分别是线段AC 和BD 上的动点，则BE CF 的取值范围为 （ ）
A ．[1,0]-
B ．1[1,]4-
C ．1[,0]2-
D ． 11
[,]24
-
例13、(2020年5月暨阳联考）如图:ABC ∆中，︒
=∠⊥90,ACB BC AB ，D 为AC 的中点，ABD ∆沿BD 边翻折过程中，直线AB 与BC 直线所成的最大角，最小角分别记为
11βα，，直线AD 与直线BC 所成的最大角，最小角分别记为22βα，，则有（ D ）
A. ββαα≤<121,
B. 2121ββαα><，
C. 2121ββαα≤≥，
D.2121ββαα>≥，
分析一：翻折到180时，,AB BC 所成角最小，可知130β=，
,AD BC 所成角最小，20β=，翻折0时，,AB BC 所成角最大，可知190α=，翻折过程中，可知AD 的投影可与BC 垂
直，所以,AD BC 所成最大角290α=，所以 1190,30αβ︒︒==，2290,0αβ︒︒
==
分析二:对角线向量定理
例14、（2020年4月台州二模）如下图①，在直角梯形ABCD 中，
90=∠=∠=∠DAB CDB ABC ， 30=∠BCD ，4=BC ，点E 在线段CD 上运动，如
下图②，沿BE 将BEC ∆折至C BE '∆，使得平面⊥'C BE 平面ABED ，则C A '的最小值为 .
⇒
例15、（2020年嘉兴市基础知识测试）如图，矩形ABCD 中，2,1==BC AB ，点E 为AD 中点，将ABE ∆沿BE 折起，在翻折过程中，记二面角B DC A --的平面角大小为α，则当α最大时，=αtan （ ） A. 22 B. 32 C. 31 D.2
1。