常系数非齐次高阶线性微分方程
高阶常系数非齐次线性微分方程的新解法
用w
n- k 1
R 2 ( t) ・( t - w 1 ) = tn + ( - Q1 - w 1 ) tn- 1+ …+ ( - Q k + w 1Q k- 1 ) tn- k + … + ( - Qn- 1 + w 1Q n- 2) t + w 1 Qn- 1 ,
86 所以由定理 1 知, R 2( t ) ・ ( t- w 1) = R 1 ( t) . 定理 3 的证明 使用数学归纳法 . 1. 当 n= 1 时, 定理显然成立; 2. 假设 n = k 时 , 该定理成立; 3. 当 n= k + 1 时 , 由定理 1 知
∑∑C
t ≠t
0
ktj
e
ut x 0
j= 0
∫
x e
j ( u t - ut ) x
0
k t0
- 1
dx + e
ut x 0
・ ∑ C kt 0 j x dx + C k+ 1 e
j j= 0
∫
ut x 0
,
利用 x j e x d x = e x ・
高阶常系数非齐次线性微分方程
高阶常系数非齐次线性微分方程在工程、物理、金融等领域都有广泛应用。
它是一个非齐次方程，其中存在一个常系数，其次数为高阶的微分方程，求解这个微分方程是理解和应用这些领域的重要基础。
一、概述在微积分的学习过程中，学生们常常会遇到求解常系数非齐次线性微分方程的问题。
它也被称为高阶非齐次微分方程。
其中的“常系数”指的是微分方程中所有的系数都是常数，而“非齐次”则表示方程中存在非零项。
假设我们有一个高阶常系数非齐次微分方程：$$\frac{d^ny}{dx^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+...+a_1\frac{dy}{dx}+a_0y=f(x)$$其中 $a_0,a_1,...,a_{n-1}$ 是常数，$f(x)$ 是一个已知函数。
为了解决该微分方程，我们需要找到一个解 $y(x)$。
二、齐次微分方程的求解首先，我们需要解决由齐次微分方程所得到的通解。
齐次微分方程是指 $f(x)$ 的项为 $0$，即$$\frac{d^ny}{dx^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+...+a_1\frac{dy}{dx}+a_0y=0$$这个微分方程可以通过假设 $y(x)=e^{\lambda x}$ 为通解进行求解，得到特征值方程：$$\lambda ^n+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+...+a_1\lambda+a_0=0$$特征值方程的解称为特征根$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$，它们也称为系统的固有值。
特征根决定了系统的动态性质。
找到特征根后，我们可以得到齐次微分方程的通解：$$y(x)=c_1e^{\lambda_1 x}+c_2e^{\lambda_2x}+...+c_ne^{\lambda_n x}$$其中 $c_1, c_2,...,c_n$ 是常数。
三、非齐次微分方程的求解在解决了齐次微分方程的通解后，我们可以将非齐次微分方程转化为齐次微分方程。
高阶常系数非齐次线性微分方程的算子法
高阶常系数非齐次线性微分方程的算子法
高阶常系数非齐次线性微分方程的算子法是一种特殊的数值解法，用于求解高阶常系数非齐次线性微分方程。
它利用算子方法（operator method）来求解这类方程，即将微分方程转化为
一个算子方程，然后再使用数值方法求解算子方程。
首先，将高阶常系数非齐次线性微分方程转化为算子方程，即：
$\mathcal{L}y=f$
其中，$\mathcal{L}$是一个算子，$y$是待求解的函数，$f$是
方程的右端项。
接下来，使用数值方法求解算子方程。
常用的方法有有限差分法（finite difference method）和有限元法（finite element method）等。
有限差分法是将算子方程转化为一组线性方程组，然后使用数值解法（如Gauss-Seidel法）求解。
有限元法是将空间上的算子方程转化为一组有限元方程，然后使用数值解法（如Galerkin法）求解。
最后，根据求解的结果，得到算子方程的解，即高阶常系数非齐次线性微分方程的解。
常系数非齐次线性微分方程组的特解定理
1 1
2
1 1
＝0，
积分得 c1(t)＝ c1 ，c2(t)＝- e t + c2 ， c3(t)＝ et + c3 ，
t x c1 (t ) c2 (t )et c3 (t )e t c1 (t ) c (t )e t 2 2 (t )e c3 (t ) (t )e t 1 ； 令 y c1 (t ) c3 (t )e t ，代入原方程组得： c1 c3 z c (t ) c (t )e t 2c (t )e t c (t ) c (t )et 2c (t )e t 3 1 2 3 2 3 1 t t (t ) ＝0， c (t ) ＝ e ， 求得 c1 2 (t ) ＝ e ， c3
常系数非齐次线性微分方程组的特解定理
dX ＝AX-B 中，若 A、B 为常数阵，且 A≠O，[AB]与 A 同秩， dt
定理 在常系数非齐次线性微分方程组
则线性方程组 AX＝B 的解就是该微分方程组的一个特解 X；并且当 A 满秩时，常数解 X 唯一. 证明 当 A、X、 a dt
dx dt 2 x y z 2 dy 求常系数非齐次线性微分方程组（*） x z 1 的通解 dt dz 3x y 2 z 3 dt
例
解
解得特征根为 ＝0， 1， -1. 求得对应的特征向量为 1 ＝c1(1,1,-1)， 2 ＝c2(1,0,-1)， 3 ＝c3(1,1,-2)，
一般地，再由常数变易法求原方程组（*）的解.
x c1 c2 e t c3e t 原方程组（*）的通解为： y c1 c3e t 1 . z c c e t 2c e t 1 1 2 3 2 x y z 2 y x 1 z 1 ，求得 但若根据定理，直接解对应的线性方程组 x ，取 x＝0，可以得到一个 z x 1 3 x y 2 z 3
常系数非齐次线性微分方程
常系数非齐次线性微分方程
常系数非齐次线性微分方程是一类常见的微分方程，在数学和物理
学等领域有着广泛的应用。
那么，常系数非齐次线性微分方程是什么呢？它的一般形式是什么样的？它的解法有哪些呢？下面我们来一一
探讨。
首先，常系数非齐次线性微分方程是指一类满足以下形式的微分方程：a1(x)y'' + a2(x)y' + a3(x)y = f(x)
其中，a1(x)、a2(x)、a3(x)是常数系数，y是未知函数，f(x)是给定的函数。
这类微分方程的特点是：未知函数的阶数不超过二阶，并且常数
系数都是常数。
其次，常系数非齐次线性微分方程的解法有多种。
对于没有特殊限制
的常系数非齐次线性微分方程，通常采用牛顿迭代法来求解。
牛顿迭
代法是利用牛顿近似定理，通过不断迭代来逼近方程的解的一种求解
方法。
但是，如果该方程具有特殊的性质，则可以使用其它方法来求解。
例如，如果该方程具有对称性，则可以使用对称法求解；如果该
方程具有线性特征，则可以使用线性特征法求解。
最后，常系数非齐次线性微分方程在数学和物理学等领域有着广泛的
应用。
在数学中，它常用于描述各种数学模型；在物理学中，它常用
于描述各种物理现象，如电学、力学、热学等。
因此，掌握常系数非
齐次线性微分方程的求解方法，对于理解和研究这些领域的知识具有
十分重要的意义。
常系数非齐次微分方程的特解怎么设
常系数非齐次微分方程的特解怎么设常系数非齐次微分方程的特解怎么设一、引言在微积分学中，微分方程是研究变量之间关系的重要工具。
其中，常系数非齐次微分方程是一类特殊且常见的微分方程，其解法具有一定的规律性。
本文将对常系数非齐次微分方程的特解设定进行探讨，并分析其中的原理和应用。
二、常系数非齐次微分方程的定义和特点常系数非齐次微分方程是指微分方程中的系数都是常数，且方程右端有非零的常数项。
其一般形式可以表示为：```a_n*y^(n) + a_(n-1)*y^(n-1) + ... + a_1*y' + a_0*y = f(x)```其中，n为微分方程的阶数，`a_n, a_(n-1), ..., a_1, a_0`为常数，`y^(n)`表示y的n次导数，f(x)为非零的常数项。
常系数非齐次微分方程的求解主要有两个步骤：先求解对应的齐次线性微分方程，再求解非齐次线性微分方程。
其中，对于齐次线性微分方程，我们可以利用特征方程的方法求解得到其通解。
而对于非齐次线性微分方程，则需要设定特解，并将特解与齐次方程的通解相加。
三、设定特解的方法设定特解的方法主要有待定系数法和常数变易法两种。
1. 待定系数法待定系数法是常用的一种设定特解的方法，其基本思想是通过设定未知函数的形式，将特解代入微分方程，进而确定未知函数的系数。
常见的设定特解的函数形式有多项式、幂函数、指数函数、三角函数等。
以常见的一阶非齐次线性微分方程为例，形式如下：```a_1*y' + a_0*y = f(x)```我们可以设定特解的函数形式为`y_p = C`，其中C为待定常数。
将特解代入方程，得到：```a_1*0 + a_0*C = f(x)```从上式可以解得待定常数C的值，进而求得此时的特解。
对于高阶非齐次线性微分方程，设定特解的方法类似。
不同的是，在设定特解的函数形式时，需要根据方程右端的f(x)的形式选择相应的函数。
高数常系数非齐次线性微分方程
一、 f (x) e x Pm (x) 型 为实数 , Pm (x) 为 m 次多项式 、
设特解为 y* e x Q (x) , 其中 Q (x) 为待定多项式 ,
y* e x[ Q (x) Q(x) ]
y* e x[ 2 Q (x) 2 Q(x) Q(x) ]
代入原方程 , 得
例2 求微分方程y5y6yxe2x得通解 解 齐次方程y5y6y0得特征方程为r25r 60 其根为r12 r23
因为f(x)Pm(x)exxe2x 2就是特征方程得单根
所以非齐次方程得特解应设为 y*x(b0xb1)e2x
把它代入所给方程 得 2b0x2b0b1x
因此所给方程得通解为
提示 2b01 齐2b次0方b1程源自y5y6y0得通解为YC1e2xC2e3x
高数常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数线性非齐次微分方程 :
y py qy f (x) ( p, q 为常数) ①
根据解得结构定理 , 其通解为
y Y y*
齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解得方法 — 待定系数法 根据 f (x) 得特殊形式 , 给出特解 y *得待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 、
例4、求方程 y y x cos 2x 得一个特解 、
解: 本题 0, 2, Pl (x) x, P~n (x) 0,
特征方程 r 2 1 0
i 2i 不就是特征方程得根故, 设特解为
y* ( a x b) cos 2x (c x d )sin 2x
代入方程得
(3a x 3b 4 c) cos 2x (3c x 3d 4 a)sin 2x x cos 2x
特解:
1),
y1 xkQm (x) e(i ) x (Qm (x)为m次多项式)
常系数非齐次线性微分方程
非齐次线性微分方程
例2求微分方程y〃一 2y' - 3y = e、*(l +疔)的.
【例2解］齐次方程的通解为=邕厂‘ + 设特解形式为 y* = e3"(a° + ai* + a2x2} 代入原方程得 2QI + 4Q°+ (6^2 + 8QI)X + 12力2疔=1 + *2
dy dy d 1 dy dx dt
dx x dt
d2y
1 dy 1 d2y x2 dt
dx
2
* x2 d t2
常系数非齐次线性微分方程
无阻尼强迫振动：若+砂工=hsinpt
dtz
方程的右端为f(x) = hsinpt,与
eQX[Z^(x)cos/?% + P[(x)sin6x]
比较，有a = 0,8 = p, Pm(x) = 0, PQ) = h.所以
当p丰k，其特解可设为：
m
烏=°)
x* = acospt + bsinpt.
p)Q'(x) = Pm(x) ◄------
(2A + p)Q'(x)决定左端多项式最高次数，于是 Q3)=xQm(x) (Qm(x)为m次多项式) 所以特解形式 为
y* = xe"*Qm(x) (Qm(x)为m次多项式)
第52讲常系数非齐次线性微分方程一一常系数非齐次线性微分方程
微积分(高阶线性微分方程
y 2 sin x ,
常数, 通解
y C1 cos x C2 sin x.
8
可推广到n阶齐次线性方程.
推论 如果函数 y 1 ( x ), y 2 ( x ), , y n ( x )是n 阶齐次 线性方程
y
( n)
P1 ( x ) y
( n 1 )
Pn1 ( x ) y Pn ( x ) y 0
( B ) C1 y1 C 2 y2 ( C1 C 2 ) y3 ;
(89考研)
(C ) C1 y1 C 2 y2 ( 1 C1 C 2 ) y3 ;
提示
y1 y3 , y2 y3 是对应齐次方程的解,
二者线性无关 . (解的叠加原理可证)
14
已知微分方程 y p( x ) y q( x ) y f ( x )有三 个解 y1 x , y2 e , y3 e , 求此方程满足初始条件
( r pr q ) e
2 rx
0
e
rx
0,
故有
r pr q 0
2
特征方程
2
特征根 r1, 2
p
p 4q 2
20
特征根r的不同情况决定了方程 y py qy 0 的通解的不同形式.
r pr q 0
2
设解y e
rx
特征方程
(1)有两个不相等的实根 ( 0)
y P ( x ) y Q( x ) y
0
(1)
定理 如果函数 y 1 ( x )与 y 2 ( x )是方程 (1 )的两个解 ,
那末 y C 1 y 1 ( x ) C 2 y 2 ( x )也是 (1 )的 解, ( C 1 , C 2 是常数 ).
常系数非齐次线形微分方程
解的稳定性
要点一
稳定性定义
如果微分方程的解在某个初始条件下，对于任意小的扰动 ，其解的轨迹变化都不显著，则称该解是稳定的。
要点二
判定方法
通过分析微分方程的系数和初值条件，利用线性化方法和 Lyapunov函数等方法进行稳定性判定。
04 微分方程的应用
在物理中的应用
振荡器模型
常系数非齐次线性微分方程可以用来描述物 理中的振荡器模型，如弹簧振荡器、电磁振 荡器等。
解法
通过将高阶方程降阶，转化为多个一阶非齐 次线性微分方程，再利用一阶非齐次线性微
分方程的解法求解。
变系数非齐次线性微分方程
定义
变系数非齐次线性微分方程是指系数随x变化的非齐次线 性微分方程。
解法
通过变量替换或参数方程等方法，将变系数方程转化为 常系数方程，再利用常系数非齐次线性微分方程的解法 求解。
总结词
积分因子法是一种通过引入积分因子来化简常系数非齐次线性微分方程的方法，通过消除方程中的导 数项，将其转化为可求解的一阶线性微分方程。
详细描述
积分因子法的基本步骤是寻找一个函数，使得方程两边同乘以该函数后，导数项被消除。这个函数就 是积分因子。通过积分因子的引入，可以将高阶微分方程转化为低阶微分方程，从而简化求解过程。
非线性微分方程
定义
非线性微分方程是指未知函数及其导数之间存在非线 性关系的微分方程。
解法
非线性微分方程的解法通常需要使用数值方法或近似 解法，如迭代法、摄动法等。
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波动方程
在物理中，波动方程是一种典型的常系数非齐次线 性微分方程，可以用来描述声波、光波、水波等的 传播规律。
高阶常系数线性非齐次微分方程几种解法
其 中 ，１Ｃ， ， 为任意 常数 ． Ｃ，２… Ｃ 这个 通解 （） 括 了方程 （） ３包 １ 的所 有解 ．
对 于方 程（）由于 对应 齐次方 程（） １， ２的基 本解 组 易求 ， 以只要 再 求 出方 程 （ 的一个 特 解 ， 其通 解 所 １ ） 则 便可求 ．
１ 高阶常系数微分方程特解 的几种求法
第 １ 卷第 ５ ９ 期
２１ ００年 ９ 月
河 南 城 建 学 院 学 报
Ｊ ｕ ａ ｏ ｎ ｎ Ｕ ｉｅｓ ｙ ｏ ｒ ａ ｏ ｓｒ ｃｉ ｏ ｒ ｌ ｆＨｅ ａ ｎｖ ｒｉ ｆＵ ｂ ｎ Ｃ ｎ ｔ ｔ ｎ ｎ ｔ ｕ ｏ
Ｖｏ ． ９ Ｎｏ． １１ ５
Ｓｐ２ １ ｅ ．０ ０
收稿 日期 ：０ ０ ６ ９ ２ １ —０ —１
作者 简介 ： 陈华喜 （９７一） 男， 徽 淮南人 ， 士 ， １７ ， 安 硕 蚌埠 学 院数理 系讲 师 ， 主要 从 事微 分 方程 及 代数 学研
究。
河 南 城 建 学 院 学 报
２１ 年 ９月 ００
例 １ 求方程 ＋Ｙ ：＿ 的通 解 ．
称 为 ｎ阶常 系数齐 次线性 微分 方程 ， 为叙 述 简便 ， 称方程 （） ２ 为方程 （） 应 的齐次方 程 ． １对 定理 ｌ Ｊ 设 Ｙ （ ， ２ ） … ， ｎ ） 【 ｌ ） Ｙ （ ， Ｙ （ 为方 程 （） ２ 的基本解 组 ， Ｙ ） 方程 （） 而 （ 是 １ 的某一 解 ， 方程 则 （ 的通 解可表 为 １ ） Ｙ ）＝ ｅＹ （ （ ｌ１ ）＋ＣＹ （ ２２ ）＋… ＋ｃ （ ， ）＋Ｙ ） （ （ ３ ）
二 Ｓｌ 戈 ｎ
故 原方程 的通解 为 Ｙ＝ Ｃｃｓ ｌ。 ＋ ｃｓ ＋ｃｔｃｓ 一 ２ｉ ｎ 。 。
常系数非齐次线性微分方程
代入原方程 , 得
(1) 若 不是特征方程的根,
则取
Q (xe)为x[mQ次(x待) 定 (系2 数 多p项)式Q (x) (2从而p得 到 q特)解Q (x) ]
形式e为xPym*(x)e xQm (x) .
Q ( x)
(2 p q )Q (x) Pm (x)
( p, q 为常数)
i 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则可设特解:
y* xke x Rm cos x R~m sin x
其中
上述结论也可推广到高阶方程的情形.
例4.
的一个特解 .
解: 本题 0, 2, Pl (x) x, P~n (x) 0,
特征方程 r 2 1 0
特解:
y1 xkQm (x) e(i) x (Qm (x)为m次多项式)
故 ( y1) p ( y1) q y1 Pm (x) e(i) x
等式两边取共轭 :
y1 p y1 q y1 Pm (x) e(i) x
这说明 y1 为方程 ③ 的特解 .
第三步 求原方程的特解 原方程
y py qy e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x
f (x) Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i) x
Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i ) x
第二步 求如下两方程的特解
y py qy Pm (x) e(i) x
②
y p y q y Pm (x) e(i) x
③
设 i 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 ② 有
齐次方程通解 非齐次方程特解
求特解的方法 — 待定系数法
高阶常系数线性非齐次微分方程特解几种非常规解法
高阶常系数线性非齐次微分方程特解几种非常规解法
高阶常系数线性非齐次微分方程的解法比一般的非齐次微分方程复杂的多，而采用正规的分步法或积分复原法来求解，效率低下易出现错误，所以需要采用非常规的解法来加快求解的效率，提高解的准确性。
经过一系列的研究，目前已经形成了三种主要的非常规解法：
一是拉格朗日多元展开法。
该法是将微分方程展开成多元多项式求解，计算结果精确，但计算比较复杂，不适合大规模计算。
二是Kowalewsky-Trunov展开法。
该法是通过对称性质对“元胞”或者“子空间”进行展开，以求解非齐次线性微分方程，这一方法有很强的鲁棒性，同时可以有效避免数值计算错误。
三是Padé拆分法。
该法将线性常系数微分方程根据代数特性进行拆解和重新组合，从而达到快速精确求解的目的。
这三种非常规解法都具有自身独特的优点，以及不同的应用场景，有效的提高了求解高阶常系数线性非齐次微分方程的效率，也为科学研究提供了更好的解决方案。
高数常系数非齐次线性微分方程
边值问题具有唯一性、存在性和稳定性等重 要性质。在适当的条件下，边值问题的解是 存在且唯一的，同时解对边界条件的微小变 化具有稳定性。
边值问题的求解方法
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
分离变量法
对于某些具有特殊形式 的常系数非齐次线性微 分方程，可以通过分离 变量的方法将其转化为 可解的常微分方程或偏 微分方程进行求解。
积分变换法
利用积分变换（如傅里 叶变换、拉普拉斯变换 等）将边值问题转化为 等价的积分方程或常微 分方程进行求解。这种 方法适用于具有特定性
质的边值问题。
有限差分法
将边值问题的定义域离 散化，构造差分方程近 似代替微分方程，从而 将边值问题转化为线性 代数方程组进行求解。 这种方法适用于求解复 杂区域上的边值问题。
02
常系数非齐次线性微分方程的基本解
法
分离变量法
分离变量法的基本思想
将非齐次线性微分方程中的未知函数和自变量进行分离， 使得方程两边分别只含有未知函数和自变量的函数，然后 通过积分求解。
分离变量法的适用条件
适用于一阶常系数非齐次线性微分方程，且方程中的非齐 次项可以表示为自变量的函数与未知函数的乘积。
数值解法的应用举例
要点一
物理学中的应用
在物理学中，常系数非齐次线性微分 方程经常用来描述物体的运动规律， 如振动、波动等现象。通过数值解法 ，可以对这些现象进行模拟和预测。
要点二
工程学中的应用
在工程学中，常系数非齐次线性微分 方程经常用来描述系统的动态特性， 如控制系统的稳定性、电路的响应等 。通过数值解法，可以对这些系统的 性能进行分析和优化。
常数变易法的求解步骤
先设出与原方程对应的齐次方程的通解，然后将通解中的常数替换为新的未知函数，代入原方程求解得 到新未知函数的方程，最后解出新未知函数并代回通解得到原方程的解。
高阶常系数非齐次微分方程特解的求法
高阶常系数非齐次微分方程特解的求法1 微分方程概述微分方程是表示具有时间和空间性质的模型系统的改变过程的数学方程。
它是建立在微分学基础上的一种数学描述，用来描述函数的时间变化的过程的数学工具，表达了可变量之间有关性的数学隐喻。
2 高阶常系数非齐次微分方程高阶常系数非齐次微分方程是在数学领域中一般称之为线性微分方程，其中微分阶次大于一，而系数都是常数。
高阶常系数非齐次线性微分方程是指右端为0，且其系数常数都不等于0的非齐次线性微分方程。
它与一阶常系数非齐次线性微分方程最大的不同是，一阶线性微分方程只含有一阶导数，而高阶常系数非齐次线性微分方程含有多个阶导数。
3 高阶常系数非齐次微分方程具体求法高阶常系数非齐次微分方程的求法是由一般解来确定特解。
通常可以采用欧拉法，即将微分方程化为一组常微分方程，再给出一组解析解，最后对解析解合成得到一般解，因而求得特解。
例如，考虑非齐次微分方程：y''（t）+cosx（t）y'（t）+sinx （t）＝te（t）将此方程化为一组常微分方程：y'（t）＝v（t）v'（t）＝-cosx（t）v（t）-sinx（t）+te（t）解得解析解：y（t）＝M1·te（t）+M2·tsinx（t）+M3·tcosx（t）+M4·sin²x（t）+M5·sinxcosx（t）+M6·cos²x（t）其中，M1，M2，M3，M4，M5，M6均为常数，合成出一般解，最后得到特解：y（t）＝te（t）+A·tsinx（t）+B·tcosx（t）+C·sin²x（t）+D·sinxcosx（t）+E·cos²x（t）以上就是求高阶常系数非齐次微分方程特解的求法。
它是比较常用的一种求法，可以用来求解高阶常系数非齐次微分方程。
常系数非齐次线性微分方程
非齐次线性方程的 一个特解
对应齐次线性方程 的通解
对应齐次线性方程 的通解为
y′′ + py′ + qy = 0
Y = C1 y1 + C 2 y2
通解
Y = C1e r1 x + C 2 e r2 x
Y = ( C1 + C 2 x ) e r1 x
αx
特征根
( 1)
r1 ≠ r2 ，
( 2 ) r1 = r2 ( 重根 )
2x
λx
因Pm ( x ) = x , λ = 2是特征单根，
故应设特解 y = x ( b0 x + b1 ) e
* 2x
1 代入原微分方程，确定 b0 = , b1 = 1, 2 1 2x * 特解 y = x x 1 e 2 1 2x x 2x 所 求 通 解 为 y = C1 e + C 2 e + x x 1 e 2
解 P = x , λ = 0, ω= 1,特征方程 r + 1 = 0,
2
特征根 r1 = i , r2 = i
Q λ + iω = i 是特征根， ∴ k = 1.
特解形式为
y = x ( a0 x + a1 ) cos x + ( b0 x + b1 ) sin x
*
y =x e
Q λ + iω = 2i 不是特征根，
∴ y2 = cos 2 x 于是 y′′ + y = 3 3cos 2 x的特解为
代入 y′′ + y = 3cos 2 x，得a = 1, b = 0,
设y2 = a cos 2 x + b sin 2 x
常系数非齐次线形微分方程
波动方程
在物理中，波动方程是一种典型的常系数非齐次线 性微分方程，可以用来描述声波、光波、电磁波等 的传播规律。
热传导方程
在物理中，热传导方程也是一种典型的常系 数非齐次线性微分方程，可以用来描述热量 在物体中的传递规律。
在工程中的应用
1 2
控制工程
常系数非齐次线性微分方程在控制工程中有着广 泛的应用，如控制系统分析、设计等。
通解的求解
通解的定义
通解是指满足齐次线性微分方程的解，它与非齐次项 无关。
通解的求解方法
通解可以通过求解对应的齐次线性微分方程得到，或 者通过待定系数法、常数变易法等求解。
通解的性质
通解具有与非齐次项无关的特性，即通解不受非齐次 项的影响。
举例说明
• 举例：考虑常系数非齐次线性微分方 程$y''+y=x^2$，其中非齐次项为 $x^2$。通过设特解为 $y_1=ax^2+bx$，代入原方程求解 得到特解$y_1=x^2$。通解可以通过 求解对应的齐次线性微分方程得到， 即$y_2=c_1\cos t+c_2\sin t$。因 此，该常系数非齐次线性微分方程的 通解为$y=y_1+y_2=x^2+c_1\cos t+c_2\sin t$。
电路分析
在电路分析中，常系数非齐次线性微分方程可以 用来描述电流、电压等的变化规律。
3
信号处理
在信号处理中，常系数非齐次线性微分方程可以 用来描述信号的滤波、调制等处理过程。
在经济学中的应用
消费模型
常系数非齐次线性微分方程可 以用来描述经济学中的消费模
型，如凯恩斯消费函数等。
投资模型
在经济学中，投资模型也可以 用常系数非齐次线性微分方程 来描述，如资本存量-时间滞
高数-微分方程-高阶常系数非齐次线性方程的特解
高等数学——微分方程高阶 常系数 非齐次 线性方程 的特解2010年8月~10月 解读《2010版考研数学复习指南（理工类,文登考研培训特供版）》P160,表6-6------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 1.原方程为()()()12121n n n kx n n y Py P yP y P y e ---'+++++=L ............................................................ 1 1.1. k 是()0F D =的m 重根，0n m ≥≥ ............................................................................... 1 1.2. 原方程为kx y py qy e '''++= ............................................................................................... 6 2.微分算子对三角函数的若干性质 .............................................................................................. 7 2.1. 正弦函数 ............................................................................................................................ 7 2.2. 余弦函数 ............................................................................................................................ 7 2.3. 正弦函数+余弦函数 . (8)3.原方程为()()()12121sin n n n n n y Py P yP y P y x ω---'+++++=L ...................................................... 8 3.1. i ω±是()0F D =的m 重根，0k m ≥≥ ........................................................................... 8 3.2. i ω±不是()0F D =的根 .................................................................................................. 20 4.原方程为()()()111n n kx n n y P yP y P y e h x --'++++=L .................................................................. 27 4.1. 微分算子法的结论 .......................................................................................................... 28 4.2. 位移定理()()()()kx kx F D e u x e F D k u x =+ ................................................................... 28 5.原方程为()()()111n n n n y P y P y P y v x --'++++=L ，其中()v x 为关于x 的m 阶多项式 .......... 29 5.1. 对于幂函数的微积分用排列数统一表示 ...................................................................... 29 5.2. 待定系数法，0不是特征根，即0n P ≠ ........................................................................ 29 5.3. 微分算子法，0不是特征根，即0n P ≠ ........................................................................ 34 5.4. 待定系数法，0是(){0n F D =阶的k 重根，k n ≤且k m ≤ (38)5.5. 微分算子法，0是(){0n F D =阶的k 重根，k n ≤且k m ≤ (42)6. 原方程为()()()()12cos sin F D y x h x F D iy i x h x ωω=⋅⎧⎪⎨=⋅⎪⎩，其中()10011n n n n F D P D PD P D P D --=++++L ......... 46 7.原方程为一般形式()()F D y f x =，其中()10011n n n n F D P D PD P D P D --=++++L (47)7.1. 方法一 .............................................................................................................................. 47 7.2. 方法二：指数函数穿梭法 .............................................................................................. 48 8. 齐次方程的特解，原方程为()()()121210n n n n n y Py P y P y P y ---'+++++=L ............................ 49 9. 后记 .. (50)1. 原方程为()()()12121n n n kx n n y Py P y P y P y e ---'+++++=L原方程用微分算子表示为()12121n n n kx n nD PD P D P D P y e ---+++++=L 令()12121n n n n n F D D PD P D P D P ---=+++++L ，则原方程为()kx F D y e = 特征方程为121210n n n n n P P P P λλλλ---+++++=L ，即()0F λ=，即()0F D = 1.1. k 是()0F D =的m 重根，0n m ≥≥试证：若k 是()0F D =的m 重根，0n m ≥≥，则原方程()kx F D y e =的特解为()()*1m kx m y x e Fk =，其中()()()()()m m m mD kD kdF D Fk F D dD ==== 证明：若k 是()0F D =的m 重根，0n m ≥≥，则()()()()()()()100000m m F k F k F k F k F k -=⎧⎪'=⎪⎪''=⎪⎨⎪⎪=⎪⎪≠⎩L （特征方程对特征变量λ求导，或者说对微分算子D 求导。
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整 个 链 条 滑 过 钉 子,即 x 8
2
代入上式得 t 3 ln(9 80) (秒)
g
9
2、 f (x) e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x 型
分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为
f (x) Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i) x
解 设链条的线密度为,经过时间t, 链条下滑了x 米, 8m 10m
则由牛顿第二定律得
m d 2 x (10 x)g (8 x)g,
o
dt 2
即 x g x g , x(0) 0, x(0) 0.
x
99
解得 x(t)
1
(e
1 3
gt
1
e3
gt
) 1,
11
第二步 求如下两方程的特解
y py qy Pm (x) e(i) x
②
y p y q y Pm (x) e(i) x
③
设 i 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 ② 有
特解:
y1 xkQm (x) e(i) x (Qm (x)为m次多项式)
6
例2.
的通解.
解: 本题 2, 特征方程为 r 2 5 r 6 0 , 其根为
对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为 y* x (b0 x b1) e2 x
代入方程得 2b0 x b1 2b0 x
比较系数, 得
b0
1 2
,
b1
1
因此特解为
y*
形式e为xPym*(x)e xQm (x) . 3
Q ( x)
(2 p q )Q (x) Pm (x)
(2) 若 是特征方程的单根 , 即
为m 次多项式, 故特解形式为
(3) 若 是特征方程的重根 , 即
2 p 0 ,
则Q(x) 是 m 次多项式, 故特解形式为 y* x2Qm (x) e x
x
(
1 2
x 1)e2 x
.
所求通解为
(
1 2
x2
x ) e2 x
.7ຫໍສະໝຸດ 例3. 求解定解问题
y y(0)
3
y 2 y(0)
y
1 y(0)
0
解: 本题 0, 特征方程为
其根为
故对应齐次方程通解为 Y C1 C2 ex C3 e2 x
利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :
y* y1 y1
xk e x Qm ei x Qm ei x
xke x Qm (cos x i sin x) Qm (cos x i sin x)
xke x Rm cos x R~m sin x
故 ( y1) p ( y1) q y1 Pm (x) e(i) x
等式两边取共轭 :
y1 p y1 q y1 Pm (x) e(i) x
这说明 y1 为方程 ③ 的特解 .
12
第三步 求原方程的特解 原方程
y py qy e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x
(2) 特征方程
有根
利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为
x ( d cos x k sin x )
18
例8 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,
当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 若用手向 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 物体在弹性力与阻 力作用下作往复运动, 阻力的大小与运动速度
(x)
ei
x
ei 2
x
P~n (x) ei x
ei x 2i
Pl
(x) 2
P~n (x) 2i
e(i) x
Pl
(x) 2
P~n (x) 2i
e( i
)
x
令 m maxn, l ,则
f (x) Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i ) x
2k
方程④的解为
21
x Asin ( k t ) h t cos k t
2k
自由振动
强迫振动
随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅
o
可无限增大, 这时产生共振现象 .
x
若要避免共振现象, 应使 p 远离固有频率 k ; x
若要利用共振现象, 应使 p 与 k 尽量靠近, 或使 p= k.
设特解为 y* e xQ (x) , 其中 Q (x) 为待定多项式 ,
y* e x[ Q (x) Q(x) ]
y* e x[ 2 Q (x) 2 Q(x) Q(x) ]
代入原方程 , 得
(1) 若 不是特征方程的根,
则取
Q (xe)为x[mQ次(x待) 定 (系2 数 多p项)式Q (x) (2从而p得 到 q特)解Q (x) ]
第二步 求出如下两个方程的特解
y py qy Pm (x) e(i) x y py qy Pm (x) e(i) x
第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点
10
第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形
f
(x)
e
x
Pl
成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程.
解: 取平衡时物体的位置为坐标原点,
建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t).
o
(1)
自由振动方程：
d d
2
t
x
2
2n
dx dt
k
2
x
0
x
(2)
强迫振动方程： d 2 dt
x
2
2n
dx dt
k
2
x
h
sin
pt
x
19
例9 上例 中若设物体只受弹性恢复力 f
小结 对方程①, 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设
特解 y* xk Qm (x) e x (k 0, 1, 2)
此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
4
y py qy f (x) ( p, q 为常数) ①
f (x) e xPm (x)
综上讨论
设 y* xkexQm ( x) ,
根据解的结构定理 , 其通解为
y Y y*
齐次方程通解 非齐次方程特解
求特解的方法 — 待定系数法
根据 f (x) 的特殊形式 ,
的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
2
1、f (x) e xPm (x) 型
y py qy f (x)
为实数 , Pm (x) 为 m 次多项式 .
比较系数 , 得
3a 1 3b 4c 0
3c 0 3d 4a 0
a
1 3
,
d
4 9
bc0
于是求得一个特解
16
例6.
的通解.
解: 特征方程为 r 2 9 0, 其根为
对应齐次方程的通解为
为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为
代入方程: 6b cos3x 6a sin 3x
24
2. 求微分方程 y 4 y 4 y e x 的通解 (其中
为实数 ) .
解: 特征方程 r 2 4r 4 0, 特征根: r1 r2 2
对应齐次方程通解:
2时,
令
y
Ae x ,
代入原方程得
A
1
( 2)2
,
设非齐次方程特解为
代入方程得
故
原方程通解为 y C1 C2ex C3e2 x
由初始条件得
C2
2C3
1 2
所求解为 y 3 ex 1 e2 x 1 x
4
4
2
C1
3
4
C2 1
C3
1 4
8
例4. 一质量均匀的链条挂在一无摩擦的钉子上，运 动开始时，链条的一边下 垂8 米，另一边下垂10 米 ， 试问整个链条滑过钉子需多少时间．
比较系数, 得
因此特解为 y* x (5cos3x 3sin 3x )
所求通解为
x (5cos3x 3sin 3x )
17
例7. 设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:
(2) y(4) y x ex 3sin x
解: (1) 特征方程
有二重根
所以设非齐次方程特解为
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
注：上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
5
例1.
的一个特解.
解: 本题 0 , 而特征方程为
0 不是特征方程的根 .
设所求特解为
代入方程 :
比较系数, 得 于是所求特解为
b0
1 ,
b1
1 3
23
思考与练习
1 . (填空) 设 时可设特解为
y* x(ax b) cos x (cx d )sin x