常系数非齐次高阶线性微分方程

整 个 链 条 滑 过 钉 子,即 x 8
2
代入上式得 t 3 ln(9 80) (秒)
g
9
2、 f (x) e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x 型
分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为
f (x) Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i) x
解 设链条的线密度为,经过时间t, 链条下滑了x 米, 8m 10m
则由牛顿第二定律得
m d 2 x (10 x)g (8 x)g,
o
dt 2
即 x g x g , x(0) 0, x(0) 0.
x
99
解得 x(t)
1
(e
1 3
gt
1
e3
gt
) 1,
11
第二步 求如下两方程的特解
y py qy Pm (x) e(i) x
②
y p y q y Pm (x) e(i) x
③
设 i 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 ② 有
特解:
y1 xkQm (x) e(i) x (Qm (x)为m次多项式)
6
例2.
的通解.
解: 本题 2, 特征方程为 r 2 5 r 6 0 , 其根为
对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为 y* x (b0 x b1) e2 x
代入方程得 2b0 x b1 2b0 x
比较系数, 得
b0


1 2
,
b1

1
因此特解为
y*
形式e为xPym*(x)e xQm (x) . 3
Q ( x)
(2 p q )Q (x) Pm (x)
(2) 若 是特征方程的单根 , 即
为m 次多项式, 故特解形式为
(3) 若 是特征方程的重根 , 即
2 p 0 ,
则Q(x) 是 m 次多项式, 故特解形式为 y* x2Qm (x) e x
x
(

1 2
x 1)e2 x
.
所求通解为
(
1 2
x2

x ) e2 x
.7ຫໍສະໝຸດ 例3. 求解定解问题
y y(0)
3
y 2 y(0)
y
1 y(0)

0
解: 本题 0, 特征方程为
其根为
故对应齐次方程通解为 Y C1 C2 ex C3 e2 x
利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :
y* y1 y1
xk e x Qm ei x Qm ei x
xke x Qm (cos x i sin x) Qm (cos x i sin x)
xke x Rm cos x R~m sin x
故 ( y1) p ( y1) q y1 Pm (x) e(i) x
等式两边取共轭 :
y1 p y1 q y1 Pm (x) e(i) x
这说明 y1 为方程 ③ 的特解 .
12
第三步 求原方程的特解 原方程
y py qy e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x
(2) 特征方程
有根
利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为
x ( d cos x k sin x )
18
例8 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,
当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 若用手向 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 物体在弹性力与阻 力作用下作往复运动, 阻力的大小与运动速度
(x)
ei
x
ei 2
x
P~n (x) ei x
ei x 2i



Pl
(x) 2

P~n (x) 2i

e(i) x


Pl
(x) 2

P~n (x) 2i

e( i
)
x
令 m maxn, l ,则
f (x) Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i ) x
2k
方程④的解为
21
x Asin ( k t ) h t cos k t
2k
自由振动
强迫振动
随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅
o
可无限增大, 这时产生共振现象 .
x
若要避免共振现象, 应使 p 远离固有频率 k ; x
若要利用共振现象, 应使 p 与 k 尽量靠近, 或使 p= k.
设特解为 y* e xQ (x) , 其中 Q (x) 为待定多项式 ,
y* e x[ Q (x) Q(x) ]
y* e x[ 2 Q (x) 2 Q(x) Q(x) ]
代入原方程 , 得
(1) 若 不是特征方程的根,
则取
Q (xe)为x[mQ次(x待) 定 (系2 数 多p项)式Q (x) (2从而p得 到 q特)解Q (x) ]
第二步 求出如下两个方程的特解
y py qy Pm (x) e(i) x y py qy Pm (x) e(i) x
第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点
10
第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形
f
(x)

e
x
Pl
成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程.
解: 取平衡时物体的位置为坐标原点,
建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t).
o
(1)
自由振动方程：
d d
2
t
x
2

2n
dx dt

k
2
x

0
x
(2)
强迫振动方程： d 2 dt
x
2

2n
dx dt

k
2
x

h
sin
pt
x
19
例9 上例 中若设物体只受弹性恢复力 f
小结 对方程①, 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设
特解 y* xk Qm (x) e x (k 0, 1, 2)
此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
4
y py qy f (x) ( p, q 为常数) ①
f (x) e xPm (x)
综上讨论
设 y* xkexQm ( x) ,
根据解的结构定理 , 其通解为
y Y y*
齐次方程通解 非齐次方程特解
求特解的方法 — 待定系数法
根据 f (x) 的特殊形式 ,
的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
2
1、f (x) e xPm (x) 型
y py qy f (x)
为实数 , Pm (x) 为 m 次多项式 .
比较系数 , 得
3a 1 3b 4c 0
3c 0 3d 4a 0

a

1 3
,
d

4 9
bc0
于是求得一个特解
16
例6.
的通解.
解: 特征方程为 r 2 9 0, 其根为
对应齐次方程的通解为
为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为
代入方程: 6b cos3x 6a sin 3x
24
2. 求微分方程 y 4 y 4 y e x 的通解 (其中
为实数 ) .
解: 特征方程 r 2 4r 4 0, 特征根: r1 r2 2
对应齐次方程通解:


2时,
令
y

Ae x ,
代入原方程得
A

1
( 2)2
,
设非齐次方程特解为
代入方程得
故
原方程通解为 y C1 C2ex C3e2 x
由初始条件得

C2

2C3


1 2
所求解为 y 3 ex 1 e2 x 1 x
4
4
2

C1


3
4
C2 1
C3


1 4
8
例4. 一质量均匀的链条挂在一无摩擦的钉子上，运 动开始时，链条的一边下 垂8 米，另一边下垂10 米 ， 试问整个链条滑过钉子需多少时间．
比较系数, 得
因此特解为 y* x (5cos3x 3sin 3x )
所求通解为
x (5cos3x 3sin 3x )
17
例7. 设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:
(2) y(4) y x ex 3sin x
解: (1) 特征方程
有二重根
所以设非齐次方程特解为
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
注：上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
5
例1.
的一个特解.
解: 本题 0 , 而特征方程为
0 不是特征方程的根 .
设所求特解为
代入方程 :
比较系数, 得 于是所求特解为
b0
1 ,
b1
1 3
23
思考与练习
1 . (填空) 设 时可设特解为
y* x(ax b) cos x (cx d )sin x
时可设特解为
y* (ax b) cos 2x (cx d)sin 2x k e2 x
提示:
[Rm (x) cos x R~m (x)sin x]
对机械来说, 共振可能引起破坏作用, 如桥梁被破坏,
电机机座被破坏等, 但对电磁振荡来说, 共振可能起有
利作用, 如收音机的调频放大即是利用共振原理.
22
内容小结
1. y p y q y Pm (x) e x
为特征方程的 k (＝0, 1, 2) 重根, 则设特解为
y* x kQm (x) e x
和铅直干扰力 F H sin pt 的作用, 求物体的运动规律.
解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程
d2 dt
x
2

k
2
x

h
sin
p
t
④
• 当p ≠ k 时, 齐次通解:
o
X C1 sin k t C2 cos k t Asin ( k t )
非齐次特解形式: x a sin p t b cos pt
常系数非齐次高阶线性微分方程
(以二次方程为例)
1、 f (x) e x Pm (x) 型
2、 f (x) e x[Pl (x) cos x P~n (x)sin x] 型
Euler方程: 可化为常系数情形
1
一、二阶常系数线性非齐次微分方程 :
y py qy f (x) ( p, q 为常数) ①
其中 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
15
例5.
的一个特解 .
解: 本题 0, 2, Pl (x) x, P~n (x) 0,
特征方程 r 2 1 0
不是特征方程的根, 故设特解为
代入方程得
(3a x 3b 4c) cos 2x (3c x 3d 4 a)sin 2x x cos 2x
多项式 .
14
小 结: 对非齐次方程
y py qy e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x
( p, q 为常数)
i 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则可设特解:
y* xke x Rm cos x R~m sin x
2. y p y q y e x[Pl (x) cos x P~n (x)sin x] i 为特征方程的 k (＝0, 1 )重根, 则设特解为 y* x k e x [Rm (x) cos x R~m (x)sin x]
3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
x
代入④可得:
a k2
h
p
2
,
b0
x
因此原方程④之解为
20
x

Asin ( k t
)
k2
h
p2
sin
pt
自由振动
强迫振动
当干扰力的角频率 p ≈固有频率 k 时,
振幅
h k2 p2
将很大!
• 当 p = k 时, 非齐次特解形式:
x t ( a sin k t b cos k t ) 代入④可得: a 0, b h
其中 R m , R~m 均为 m 次多项式 .
13
第四步 分析 y的特点
y y1 y1
xke x Rm cos x R~m sin x
因
y y1 y1 y1 y1
y1 y1
y*
所以 y本质上为实函数 , 因此 Rm , R~m 均为 m 次实