苏教版数学高二- 选修2-2导学案 1.1.4《导数的概念》

1.1.4 导数的概念 导学案

一、教学目标

(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念

(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度

(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处 的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想

二、教学重点难点

导数概念的理解，以及运用导数解决问题的能力.

三、教学过程

【复习引入】

1.什么叫做平均变化率；

函数y=f(x)的定义域为D ，x 1.x 2∈D ，f(x)从x 1到x 2平均变化率为:

2121

()()f x f x y x x x -∆=∆- 2.曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间上的平均变化率

2121

()()f x f x y k x x x -∆==∆- 3.如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？

曲线的割线和切线

【数学建构】

1.导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x

+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A,则称()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0x x y ='.

0'

000()()(),0x x f x x f x y y f x x x x

=+∆-∆'===∆→∆∆当. 2.求导数的步骤：

①求函数的增量：=∆y 00()();y f x x f x ∆=+∆-

②算比值（平均变化率）：

=∆∆x y 00()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆ ③取极限，得导数：0x x y ='=

0.0x x y y x x

=∆'=∆→∆在时 上述求导方法可简记为：一差、二化、三极限.

3.导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()lim x f x x f x f x k x

∆→+∆-'==∆ 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率

0000()()()lim x f x x f x f x k x

∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.

4.函数在一区间上的导数：

如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说f(x)在开区间 (a,b)内可导．这时，对于开区间 (a,b)内每一个确定的值 x 0，都对应着一个确定的导数 f '(x 0)，这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，记作

''()()(),0y f x x f x f x y x x x

∆+∆-===∆→∆∆当时的值 【数学应用】

例1 求y=x 2+2在点x=1处的导数.

解：222

[(1)2](12)2()y x x x ∆=+∆+-+=∆+∆

2

2()2y x x x x x

∆∆+∆==+∆∆∆ '12,0|2

x y x x x

y =∆∴=+∆∆→∆=当时 变式:求y=x 2+2在点x=a 处的导数.

例2 若2()(1)f x x =-，求(2)((2))f f ''和.

例3

已知y =

'y ，并求出函数在2x =处的切线方程.

解：

y y x x

∆=∆=∆∆

'0y y x x x ∆∴=

=∆∆==∆→当时的值。 【课堂小结】

1.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数” 之间的区别与联系.

（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数.

（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的,就是函数f(x)的导函数 ()f x '.

（3）函数f(x)在点x0处的导数0()f x '就是导函数()f x '在x=x0处的函数值，即

00()()|x x f x f x =''= .这也是求函数在点x0处的导数的方法之一.

2.求切线方程的步骤：

（1）求出函数在点x 0处的变化率0()f x ' ，得到曲线在点(x 0,f(x 0))的切线的斜

（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即000()()().y f x f x x x '-=-

【课后作业】见学案