(精选)传热与流体流动的数值计算(13章
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t
9
— 化学组分的守恒
• 令ml代表一种化学组分l的质量分量。当存在速度场u是， 守恒表示为：
t(m l)div(um lJl)Rl
单位容积内化学组 分l的质量变化率
组分l的对流 流量密度
扩散流 量密度
单位容积化学 组分l的生成率
如果用菲克扩散定律表示Jl，
Jl lgradml
扩散系数
得到： t(m l) d iv (u m l) d iv ( lg ra d m l) R l
13
— 紊流的动能方程
• 紊流“双方程模型”：把紊流脉动动能k的方程作为其中 的方程之一。
t(k ) d iv (u k ) d iv ( k g ra d k ) G
K的扩 散系数
紊流能量 的生成率
动能的 耗散率
14
— 通用微分方程
() d iv (u )d iv ( g rad )S
– 另一种写法：
z=z（x，y，T） z是因变量，代表在位置（x，y）相对于温度T的等温
面高度。
17
坐标的合适选择
恰当明智地选择坐标系统有时可以减少所需要的自变量数。 并非只能使用直角坐标系，任何一种描述空间位置的方式都
是可以采用的。 例子： –1. 在一个静止的坐标系上看以恒定速度飞行的飞机 周围的流体流动是非稳态的；但是相对于固定在飞机 上的移动坐标系而言，流动是稳态的。 –2. 在一圆管内的轴对称流动于直角坐标系内是三维
7
假设J代表一个典型因变量的流量密度 单 位 容 积 流 出 的 净 流 量 ＝ J x J y J z d iv J x y z
Jx
J
x
dJ x dx
dx
S
x
8
• 以单位容积为基础来表达一项——变化速 率 ( )
• 代表 t 在单位容积内所包含的相应广延性 质的大小
• ( ) 表示单位容积内有关性质的变化率
t
不稳态项
对流项 扩散系数 扩散项 源项
其中因变量可以代表各种不同的物理量
• 质量守恒或连续性方程：
div(u) 0
t
• 直角坐标的张量表达形式：
t
()
xj
(uj)
xj
( xj
)
S
t
xj
(uj
)
0
15
• 可以代表无因次的变量
• 热、质传递，流体流动，紊流以及有关的一些现 象的所有有关微分方程都可以看成通用方程的一 个特殊情况；可以只编写一个求解通用方程的程
10
— 能量方程
• 对于可以忽略粘性耗散作用的稳态的低速流：
d iv (u h ) d iv (k g ra d T ) S h
其中h是比焓，k是导热系数，T是温度，Sh是容积发热率
• 对理想气体以及固体和液体，将 c gradT=gradh 代入，得
到
div(uh)div(k cgradh)Sh
✓预测方法的选择
6
第二章 物理现象的数学描述
• 2-1 控制微分方程 – 微分方程的意义
各个微分方程都代表着一定的守恒原理。 每一个方程以一定的物理量做为它的因变量， 方程本身则代表着那些影响该因变量的各个因 素之间必定存在着的某种平衡。
通常以单位质量为基础来表示各因变量。 例如：质量分量、速度（单位质量的动量）、 比焓等。
t(u ) d iv (u u ) d iv (g ra d u ) p x B x V x
其中是粘度，p是压力，Bx是x方向的单位容积内体积力，Vx代表
除去以div(μgradu)所表示的粘性力项之外的其他所有粘性力项。
12
— 紊流的时间平均方程
• 人们假设：紊流中存在有相对平均值的快速而随机的脉动。 • 由Reynold时均运算所产生的附加项是：雷诺应力，紊流
热流密度，紊流扩散流量密度等。 • 许多紊流模型采用紊流粘度或紊流扩散系数的概念来表示
紊流应力以及流量密度。结果，紊流的时间平均方程就具 有了与层流流动方程完全相同的形式。 • 诸如粘度、扩散系数以及导热系数这样一些层流交换系数 需要用相应的有效（即层流加紊流）交换系数取代。 • 相当于具有一个相当复杂的粘度表达式的层流流动方程。
3
第一章 引 论
• 1-1 研究的范畴
➢传热与流体流动的重要性：遍及我们生活中的各个
方面
➢认识和估计这些过程的必要：预报、控制 ➢预测的本质：说明其中每一个物理量如何随着几何条件、
流量以及流体物性等的变化而改变的
➢目的：尽可能设计一种具有完全的通用性能的数值方法
4
1-2 预测的方法
✓实验研究
•全比例实验 •模型实验
其中c是定压比热。假设c为常数，即h=cT。
div(uT)div(kgradT)Sh
c
c
• 若u=0，则得到稳态热传导方程：
diFra Baidu bibliotek(kgradT)Sh0
11
— 动量方程
• 由于必须同时考虑切应力和正应力，加之流体流动有关的 斯托克斯粘性定律比菲克定律或傅里叶定律复杂，动量方 程要复杂得多。用u表示x方向速度，有：
传热与流体流动的数值计算
[美] S.V. 帕坦卡 著 同济大学机械工程学院
朱彤
1
本课程学习内容
• 物理现象的数学描述 • 离散化方法 • 扩散项处理 • 对流与扩散 • 流场的计算 • 湍流数学模型 • Fluent基础知识介绍
2
参考书目
• 传热与流体流动的数值计算——[美] S.V. 帕坦卡
• 湍流——是勋刚 • 湍流计算模型——陈义良 • 数值传热学——陶文铨
的，但在r，θ，z的圆柱极坐标系内则是二维的。
–3. 坐标变换可能用来进一步减少自变量数量。 –4. 改变因变量可能导致自变量数目的减少。
–结果外推
•测量仪表精度
✓理论计算
•理论预测出自于数学模型的结果 •数学模型主要由一组微分方程组成
–解析解和数值解
5
1-2 预测的方法
✓理论计算的优点
成本低、速度快、资料完备、具有模拟真实条件的 能力、具有模拟理想条件的能力
✓理论计算的缺点
实际问题分为 A类：能够用合适的数学模型描述 B类：与A类相反的问题－湍流、多相流、NOX生成、 非牛顿流体流动
序，对不同意义的 重复使用这个程序； • 对不同的 需要对相应的和S分别赋以各自合适
的表达式，同时给出合适的初始条件和边界条件。
16
2-2 坐标的性质
• 自变量
– 一般来说，因变量φ是三个空间坐标与时间的函数
φ =φ（x，y，z，t） – 其中x，y，z以及t都是自变量。
– 当有关的物理量只与一个空间坐标有关时，所研究 的问题是一维的；当问题与时间无关时，叫做稳态 的，否则叫做非稳态或与时间有关的问题。
9
— 化学组分的守恒
• 令ml代表一种化学组分l的质量分量。当存在速度场u是， 守恒表示为：
t(m l)div(um lJl)Rl
单位容积内化学组 分l的质量变化率
组分l的对流 流量密度
扩散流 量密度
单位容积化学 组分l的生成率
如果用菲克扩散定律表示Jl，
Jl lgradml
扩散系数
得到： t(m l) d iv (u m l) d iv ( lg ra d m l) R l
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— 紊流的动能方程
• 紊流“双方程模型”：把紊流脉动动能k的方程作为其中 的方程之一。
t(k ) d iv (u k ) d iv ( k g ra d k ) G
K的扩 散系数
紊流能量 的生成率
动能的 耗散率
14
— 通用微分方程
() d iv (u )d iv ( g rad )S
– 另一种写法：
z=z（x，y，T） z是因变量，代表在位置（x，y）相对于温度T的等温
面高度。
17
坐标的合适选择
恰当明智地选择坐标系统有时可以减少所需要的自变量数。 并非只能使用直角坐标系，任何一种描述空间位置的方式都
是可以采用的。 例子： –1. 在一个静止的坐标系上看以恒定速度飞行的飞机 周围的流体流动是非稳态的；但是相对于固定在飞机 上的移动坐标系而言，流动是稳态的。 –2. 在一圆管内的轴对称流动于直角坐标系内是三维
7
假设J代表一个典型因变量的流量密度 单 位 容 积 流 出 的 净 流 量 ＝ J x J y J z d iv J x y z
Jx
J
x
dJ x dx
dx
S
x
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• 以单位容积为基础来表达一项——变化速 率 ( )
• 代表 t 在单位容积内所包含的相应广延性 质的大小
• ( ) 表示单位容积内有关性质的变化率
t
不稳态项
对流项 扩散系数 扩散项 源项
其中因变量可以代表各种不同的物理量
• 质量守恒或连续性方程：
div(u) 0
t
• 直角坐标的张量表达形式：
t
()
xj
(uj)
xj
( xj
)
S
t
xj
(uj
)
0
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• 可以代表无因次的变量
• 热、质传递，流体流动，紊流以及有关的一些现 象的所有有关微分方程都可以看成通用方程的一 个特殊情况；可以只编写一个求解通用方程的程
10
— 能量方程
• 对于可以忽略粘性耗散作用的稳态的低速流：
d iv (u h ) d iv (k g ra d T ) S h
其中h是比焓，k是导热系数，T是温度，Sh是容积发热率
• 对理想气体以及固体和液体，将 c gradT=gradh 代入，得
到
div(uh)div(k cgradh)Sh
✓预测方法的选择
6
第二章 物理现象的数学描述
• 2-1 控制微分方程 – 微分方程的意义
各个微分方程都代表着一定的守恒原理。 每一个方程以一定的物理量做为它的因变量， 方程本身则代表着那些影响该因变量的各个因 素之间必定存在着的某种平衡。
通常以单位质量为基础来表示各因变量。 例如：质量分量、速度（单位质量的动量）、 比焓等。
t(u ) d iv (u u ) d iv (g ra d u ) p x B x V x
其中是粘度，p是压力，Bx是x方向的单位容积内体积力，Vx代表
除去以div(μgradu)所表示的粘性力项之外的其他所有粘性力项。
12
— 紊流的时间平均方程
• 人们假设：紊流中存在有相对平均值的快速而随机的脉动。 • 由Reynold时均运算所产生的附加项是：雷诺应力，紊流
热流密度，紊流扩散流量密度等。 • 许多紊流模型采用紊流粘度或紊流扩散系数的概念来表示
紊流应力以及流量密度。结果，紊流的时间平均方程就具 有了与层流流动方程完全相同的形式。 • 诸如粘度、扩散系数以及导热系数这样一些层流交换系数 需要用相应的有效（即层流加紊流）交换系数取代。 • 相当于具有一个相当复杂的粘度表达式的层流流动方程。
3
第一章 引 论
• 1-1 研究的范畴
➢传热与流体流动的重要性：遍及我们生活中的各个
方面
➢认识和估计这些过程的必要：预报、控制 ➢预测的本质：说明其中每一个物理量如何随着几何条件、
流量以及流体物性等的变化而改变的
➢目的：尽可能设计一种具有完全的通用性能的数值方法
4
1-2 预测的方法
✓实验研究
•全比例实验 •模型实验
其中c是定压比热。假设c为常数，即h=cT。
div(uT)div(kgradT)Sh
c
c
• 若u=0，则得到稳态热传导方程：
diFra Baidu bibliotek(kgradT)Sh0
11
— 动量方程
• 由于必须同时考虑切应力和正应力，加之流体流动有关的 斯托克斯粘性定律比菲克定律或傅里叶定律复杂，动量方 程要复杂得多。用u表示x方向速度，有：
传热与流体流动的数值计算
[美] S.V. 帕坦卡 著 同济大学机械工程学院
朱彤
1
本课程学习内容
• 物理现象的数学描述 • 离散化方法 • 扩散项处理 • 对流与扩散 • 流场的计算 • 湍流数学模型 • Fluent基础知识介绍
2
参考书目
• 传热与流体流动的数值计算——[美] S.V. 帕坦卡
• 湍流——是勋刚 • 湍流计算模型——陈义良 • 数值传热学——陶文铨
的，但在r，θ，z的圆柱极坐标系内则是二维的。
–3. 坐标变换可能用来进一步减少自变量数量。 –4. 改变因变量可能导致自变量数目的减少。
–结果外推
•测量仪表精度
✓理论计算
•理论预测出自于数学模型的结果 •数学模型主要由一组微分方程组成
–解析解和数值解
5
1-2 预测的方法
✓理论计算的优点
成本低、速度快、资料完备、具有模拟真实条件的 能力、具有模拟理想条件的能力
✓理论计算的缺点
实际问题分为 A类：能够用合适的数学模型描述 B类：与A类相反的问题－湍流、多相流、NOX生成、 非牛顿流体流动
序，对不同意义的 重复使用这个程序； • 对不同的 需要对相应的和S分别赋以各自合适
的表达式，同时给出合适的初始条件和边界条件。
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2-2 坐标的性质
• 自变量
– 一般来说，因变量φ是三个空间坐标与时间的函数
φ =φ（x，y，z，t） – 其中x，y，z以及t都是自变量。
– 当有关的物理量只与一个空间坐标有关时，所研究 的问题是一维的；当问题与时间无关时，叫做稳态 的，否则叫做非稳态或与时间有关的问题。