(精选)传热与流体流动的数值计算(13章
传热与流体流动的数值计算-
当然,要在一本中等篇幅的书中完成这一雄心勃 当然, 勃的任务而不摒弃许多重要的内容, 勃的任务而不摒弃许多重要的内容,这是不可能 的. 因此本书只能简单地讨论控制所述过程的方程的 因此本书只能简单地讨论控制所述过程的方程的 数学形式.读者若需要了解有关方程的完整推导, 数学形式.读者若需要了解有关方程的完整推导, 就必须去查阅有关这一论题的许多标准教科 对于紊流, 书.对于紊流,燃烧以及辐射这样一类复杂过程 数学模型, 的数学模型,我们这里假设读者已经知道或是可 以查得的. 以查得的. 对于数值解的题目本身,我们也不打算在此评述 对于数值解的题目本身 数值解的题目本身, 现有的所有方法并讨论它们的优点与缺点 相反, 优点与缺点. 现有的所有方法并讨论它们的优点与缺点.相反, 我们将把注意力集中在作者已经使用, 我们将把注意力集中在作者已经使用,发展或有 过贡献的一套特定的方法. 过贡献的一套特定的方法.
数值方法概念: 数值方法概念:设想我们希望 求得图中所示域内的温度场. 求得图中所示域内的温度场.可 以认为只要知道域内各离散点上 的温度值就足够了. 的温度值就足够了. 一个可能的方法是想象一个充 满该域的网格, 满该域的网格,并寻求在网格点 上的温度值. 上的温度值. 于是我们就要构成并求解关于 这些未知温度值的代数方程 这些未知温度值的代数方程 代数方程代替微分方程所 组.用代数方程代替微分方程所 固有的简化使得数值方法强有力 并得以广泛应用. 并得以广泛应用.
具有模拟真实条件的能力 可以很容易地模拟真实条件. 可以很容易地模拟真实条件.不用要采用缩小的 模型,就一个计算机的程序而言, 模型,就一个计算机的程序而言,无论是具有很大 或很小尺寸的物体,不论是处理很低或很高的温度, 或很小尺寸的物体,不论是处理很低或很高的温度, 也不论是控制有毒或易燃的物质, 也不论是控制有毒或易燃的物质,还是跟踪很快或 很慢的过程,都几乎不会有任何困难. 很慢的过程,都几乎不会有任何困难. 具有模拟理想条件的能力 人们有时用预测的方法来研究一种基本的物理 现象,而不是一个复杂的工程问题. 现象,而不是一个复杂的工程问题.在研究某种现 象的时候,人们希望把注意力集中在几个基本的参 象的时候,人们希望把注意力集中在几个基本的参 而要设法消除所有无关的因素 数上而要设法消除所有无关的因素. 数上而要设法消除所有无关的因素.因此人们希望 实现若干理想化的条件 例如:二维状态, 若干理想化的条件, 实现若干理想化的条件,例如:二维状态,常密度 一个绝热的表面或是无限的反应速率等.在计算中, 一个绝热的表面或是无限的反应速率等.在计算中, 人们很容易而又准确地约定这样的一些条件.相反, 人们很容易而又准确地约定这样的一些条件.相反, 即便是很小心地安排的实验也很难近似做到这种理 想化的条件. 想化的条件.
流动与传热的数值计算
流动与传热的数值计算流动与传热是物理学中两个重要的概念，它们在我们日常生活中起着重要的作用。
流动是指物质在空间中的移动过程，而传热是指热能从高温区域向低温区域传递的过程。
让我们来了解一下流动。
流动是一种常见的现象，它存在于我们生活的方方面面。
例如，当我们打开水龙头时，水就会从水源处流向下游。
这个过程中，水的分子不断地向前移动，形成了水的流动。
流动的速度可以用流速来表示，通常以米每秒（m/s）为单位。
流速的大小受到多种因素的影响，包括物质的性质、管道的直径和形状等。
在工程领域中，流动的研究对于设计和优化流体系统非常重要。
除了流动，传热也是一个重要的概念。
传热是热能从高温物体传递到低温物体的过程。
这个过程中，热能通过传导、对流和辐射三种方式进行传递。
传导是指热能通过物质的直接接触传递，例如当我们将一根金属棒的一端放在火上，另一端很快就会变热。
对流是指热能通过流体的运动传递，例如当我们在锅中煮水时，水底部受热后会上升，形成对流现象。
辐射是指热能通过电磁波的辐射传递，例如太阳的热能通过辐射传递到地球上。
在实际应用中，流动与传热经常同时发生。
例如，当我们使用空调时，空气通过空调设备进行流动，并且热能也通过传热的方式从室内传递到室外。
这个过程中，空气的流速和传热的效率对于空调的制冷效果起着重要的影响。
为了更好地理解流动与传热的数值计算，我们需要借助数学模型和计算方法。
例如，在流动中，我们可以使用流体力学方程来描述流体的运动规律，并通过数值方法来求解这些方程。
这些数值计算可以帮助我们预测流速、压力分布等参数，从而优化流体系统的设计。
在传热中，我们可以使用热传导方程来描述热能的传递规律，并通过数值方法来求解这些方程。
这些数值计算可以帮助我们预测温度分布、热传导速率等参数，从而优化热传递设备的设计。
除了数值计算，实验方法也是研究流动与传热的重要手段之一。
通过实验，我们可以直接观察流动和传热现象，获取实际数据，并验证数值计算的准确性。
传热计算
t1
tm
t2 ln
t1 t2
t1
式中Δtm称为对数平均半径。当Δt2/ Δt1≤ 2时，可用 （Δt2+ Δt1）/2代替对数平均温度差。
注：（1）应用上式求Δtm时，取换热器两端的Δt中数值
大的为Δt2，小的为Δt1。 （2）上式对并流也适用。
例 现用一列管式换热器加热某流体，该流体在管外流动，进 口温度为100℃,出口温度为160℃；某反应物在管内流动，进 口温度为250℃，出口温度为180℃。试分别计算并流与逆流时 的平均温度差。
dQ dT
Wh c ph
常量
dQ dt
Wccpc
常量
Q~T和Q~t为直线关系，即
T=mQ+k t=m΄Q+k΄
Δt=T-t=(m-m΄)Q+(k-k΄)
温度
T1
T2
t2
t1
Δ t2
Δ t1
0
传热量Q
从上式可以看出： Δt~Q关系呈直线，其斜率为
d (t) t1 t2
dQ
若αo<< αi，则有 由上可知：
1 1 1
ko i o
1 1
K
o
总热阻是由热阻大的那一侧的对流传热所控制，即当两个
对流传热系数相差较大时，欲提高K值，关键在于提高对流 传热系数较小一侧的α。
若两侧的α相差不大时，则必须同时提高两侧的α，才能
提高K值。
若污垢热阻为控制因素，则必须设法减慢污垢形成速率或
(2) 间壁两侧流体皆发生温度变化，这时参与换热的两种流体 沿着传热两侧流动，其流动方式不同，平均温度差亦不同。即 平均温度差与两种流体的流向有关。生产上换热器内流体流动 方向大致可分为下列四种情况。
流体力学与传热：4.4 传热过程的计算
传热计算的出发点和核心：
Q KAtm qm1cp1(T1 T2 ) qm2cp2 (t2 t1)
4.4.3 传热平均温度差
一、恒温传热
tm T t
二、变温传热
tm与流体流向有关
逆流
并流
错流
折流
1. 逆、并流时的tm
Km h1 d1 h2 d2
薄层圆筒壁： 近似用平壁计算
K的大小 A的基准
（3）1/K的意义
1 1 b d1 1 d1
K1 h1 dm h2 d2
控制热阻?
总热阻
外侧 壁阻 热阻
内侧 热阻
11
•
如h2h1,不计壁阻
K
h1
K
h1
A1
•
如h1h2,不计壁阻
11
K h2 K h2
A2
Q KAtm
A
Q Ktm
630000
280031.9
7.05m2
L
A
ndo
7.05
30 2 0.025
1.496m
（2）首先计算K’
1 K
1 h1
R1
b
d1 dm
R2
d1 d2
1 h2
d1 d2
1 K
R2
d1 d2
1 0.00009 25
2800
20
4.6964
K 2129.3W m2 0 C
T1
t2
T1 t2 t
t1 T2
T2 t1 A
逆流
T1
t1
T1 t
t1
t2 T2
T2 t2
传热与流动的数值计算
1.2 传热与流动问题数值计算的基本思想及应用举例
1.2.1 数值解基本思想（基于连续介质假设）
把原来在空间与时间坐标中连续的物理量的场 （如速度场、温度场、浓度场等），用一系列有限 个离散点（称为节点，node)上的值的集合来代替； 通过一定的原则建立起这些离散点上变量值之间关 系的代数方程(称为离散方程，discretization equation)；求解所建立起来的代数方程以获得所求 解变量的近似值。
1.1.1 控制方程及其通用形式 1. 质量守恒方程
( u ) ( v) ( w) 0 t x y z
不可压缩流体： div(U ) 0
( u ) ( v) ( w) =div( U ) x y z
非守恒型
u u 1 p 2u 2u u v ( 2 2 ) x y x y x
(uT ) (vT ) 2T 2T a( 2 2 ) x y x y
(uT ) (vT ) div(TU ) x y
导致依赖区(domain of dependence) 与影响区 (domain of influence)的不同。 所谓依赖区是指赖以决定一个节点的变量数值的 区域；影响区是一个节点的变量影响所及的区域。
T T a 2 t y
2
1 T 1 2T 2T 2 2 2 y a t c t
律的成立
( c pT ) t
div( c pTU ) div( gradT ) ST c p
( c p T )dv div( c pTU )dv div( gradT )dv ST c p dv t V V V V
流体流动与传热的数值计算
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§2、预测有关物理现象的方法
❖ 1．实验研究
❖ 最可靠的数据资料往往来源于实验，如化工过程设备 的气动性能，塔、反应器、流化床，…的操作性能、 流体力学性能等的实验研究；核爆实验等…。采用实 物实验研究可抓住特征、重点的试验，直观、明确的 观察→对于掌握有关外部现象与基本性能之间的本质 关系有重要意义。
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§3 本课程基本内容与安排
第一部分 基本理论
预计课时
❖ 第一章 绪论
2
❖ 第二章 数学描述
3
❖ 第三章 离散化方法
4
❖ 第四章 热传导与扩散
4
❖ 第五章 对流传热与扩散
4
❖ 第六章 流场计算
4
❖ 第七章 求解方法、方法修饰 2
❖ 第八章 专题
2
❖ 第九章 应用实例
1
实际 2 3 4 6 6 6 2 2 1
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优缺点 4) 缺点：一分为二的观点，缺点难免存在。 a. 数学模型的适用限度是关键因素，对于一些 数学模型尚不清楚的过程（如复杂紊流、某些 非牛顿流、多相流、相变过程、流变化等等）。 有待于进一步的模型研究如紊流模型、非牛顿 流体模型、二相气液流等；需要提出模型，计 算分析→较正模型，深化完善模型。 需要的是弄清楚模型：伴有传质过程、复杂化 学反应、动力学等等。30多年来模型研究在不 断发展完善更接近于真实。
& Profile ) 4) 求各传递系数 ( Heat Transfer Coefficient, Mass Transfer
LBM相变传热与流体流动数值分析PPT课件
11.1 计算流体动力学与计算传热学
微观方法：目前适用于纳米尺度和纳秒量级的模拟
• 微观方法假设条件最小，原理上应用范围不受限制。但是 分子动力学方法需要跟踪大量分子的运动，描述每一个分 子的动力学行为，因此所需的计算量非常之大，对计算机 的存储量和计算速度有着非常高的要求。
• 计算条件有限，目前还仅仅局限于纳米尺度的系统和纳秒 时间内的演化过程。
内容介绍
LBM起源与发展 LBM基础理论 LBM基本模型 LBM边界处理方法 LBM应用实例
第1页/共55页
11.1 计算流体动力学与计算传热学
• 流体在物理空间上是由大量分子所构成的离散系统，分 子之间尺度远远大于分子本身尺度，分子通过相互之间 的热运动频繁碰撞从而交换动量和能量。因此，流体的 微观结构在时间和空间上非常复杂，具有非均匀性、离 散性和随机性。
第14页/共55页
11.2 格子Boltzmann方法起源与发展
概述：
Macroscopic
Macroscopic Physics:
• A result of collective behavior of many microscopic particles.
• Not sensitive to underlying microscopic dynamics.
程不能反映正确的非线性和耗散效应。其宏观动力学方程也不 满足 Navier-Stokes 方程。
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11.2 格子Boltzmann方法起源与发 展
➢ LBM 起源
（2）格子气自动机—— FHP 模型和 FCHC 模型
• 缺 乏 对 称 性 的 问 题 在 1986 年 得 以 解 决 ， Frisch 、 Hasslacher 和 Pomeau他们提出了一个具有足够对称性 的二维正六边形的LGA模型，即FHP模型。
传热与流体流动的数值计算(13章)
– 当有关的物理量只与一个空间坐标有关时，所研究 的问题是一维的；当问题与时间无关时，叫做稳态 的，否则叫做非稳态或与时间有关的问题。
– 另一种写法：
z=z（x，y，T） z是因变量，代表在位置（x，y）相对于温度T的等温
面高度。
坐标的合适选择
第一章 引 论
• 1-1 研究的范畴
传热与流体流动的重要性：遍及我们生活中的各个
方面
认识和估计这些过程的必要：预报、控制 预测的本质：说明其中每一个物理量如何随着几何条件、
流量以及流体物性等的变化而改变的
目的：尽可能设计一种具有完全的通用性能的数值方法
1-2 预测的方法
实验研究
•全比例实验 •模型实验
定的状态，就有可能大大节省计算机的存储量和时间。
第三章 离散化方法
• 3-1 数值方法的本质
– 一个微分方程的数值解系由一组可以构成因
变量的分布的数所组成
– 类似于在实验室中进行实验 – 定义
数值方法就是把计算域内有限数量位置（叫做网格 结点）上的因变量值当作为基本的未知量来处理。
– 任务
任务是提供一组关于这些未知量的代数方程并规定 求解这组方程的算法。
得到：
扩散系数
t
(
ml
)
div(uml
)
div(lgradml
)
Rl
— 能量方程
• 对于可以忽略粘性耗散作用的稳态的低速流：
div(uh) div(kgradT ) Sh
其中h是比焓，k是导热系数，T是温度，Sh是容积发热率
• 对理想气体以及固体和液体，将 c gradT=gradh 代入，得
传热与流体流动的数值计算
传热与流体流动的数值计算在我们生活的这个五光十色的世界里，传热与流体流动的数值计算就像是一块神秘的拼图，拼出的是科学与生活的千丝万缕。
想象一下，炎热的夏天，你坐在空调下，轻松惬意。
这个看似简单的享受，其实背后可有一番复杂的道道。
传热，就像给热量“搬家”，热量从一个地方跑到另一个地方，就像小孩子追着冰淇淋车跑，恨不得把凉爽带回来。
流体流动更是一场表演，水、空气，甚至油，都是这个舞台上的主角。
它们在管道里、河流中、甚至在我们的身体里，尽情舞动。
说到数值计算，嘿，这可不是那么简单的事儿。
要把这些复杂的现象用数字表达出来，真得费不少脑筋。
就好比你在做一道数学题，题目看似简单，但越往下看，越觉得麻烦。
这就是科学家们的挑战。
他们得用电脑程序来模拟这些过程，就像是在玩一个巨大的沙盘游戏。
数字在屏幕上跳来跳去，变幻莫测，仿佛在告诉你，嘿，快来看看我在这里干嘛呢！而这些数字背后，隐藏的其实是自然规律，流体如何流动，热量如何传递，全在这其中。
传热的方式多种多样，有传导、对流和辐射。
传导嘛，简单说就是“手握手”，热量通过接触传递，就像你把手放在热水里，立刻感到温暖。
对流就更有趣了，想象一下，当水在锅里加热时，底部的水分子先热起来，像是兴奋的小朋友，争先恐后地往上跑，形成了一个循环。
而辐射呢，哦，这就像阳光照射过来，你不需要和太阳“握手”，它的热量就能到达你身边。
这些传热的方式，就像是大自然给我们上了一堂生动的课，让我们感受到热量是如何在不同的环境中游走的。
再说流体流动，这就像是江河奔腾、海洋翻滚。
想象一下，河水顺着坡度流下，水面上的小船随着波浪摇摆，那真是一幅美丽的画面。
流体流动不仅仅是在河里，在我们的生活中，空气在我们的周围流动，呼吸之间都蕴藏着流体力学的秘密。
还有那些在管道里流动的液体，数值计算就像是在为这些流动的液体打个分数，看看谁更快、谁更稳，简直就是流动的奥运会。
数值计算也不是万能的，有时候它们就像一把双刃剑，能帮助我们，但也可能让我们迷失方向。
热传递与流体力学中的数值计算
热传递与流体力学中的数值计算一、简介热传递和流体力学是两个紧密相关的领域，都涉及物质的运动和转换，成为热力学体系中不可或缺的一部分。
数值计算则是解决热传递和流体力学问题的重要方法。
今天我们将从数值计算的角度出发，探讨热传递和流体力学的数值计算方法，分析其应用和局限性。
二、热传递中的数值计算热传递包括传导、对流和辐射，其中最为重要的是传导。
传导热量-流量的表达式是 Fourier 定律，它指出了热流的大小和热梯度的相关性。
传导热量的数值计算方法包括：1. 显式方法显式法是一种直接求解离散方程形式的传统计算方法，它的计算精度较低，但现在已经逐渐淘汰。
例如，TFLUIDS 软件提供了一种标准的显式方法，用于传导问题的数值计算。
2. 隐式方法隐式法是一种求解离散方程变量的计算方法，它的计算精度较高，但需要更多的计算量。
在隐式方法中，计算可以逐步迭代，直到满足预设的精确性要求。
为了获得高精度的计算结果，通常使用数值计算软件，例如 CFD 和 ANSYS。
3. 软件仿真软件仿真是一种基于多物理场和多机构模型的高级计算方法。
它是一种计算大型和复杂热传递问题的高精度方法，可以处理各种传导模型，包括两相流、相变和复杂结构材料。
此类方法已经被广泛应用于汽车、航空航天、能源和建筑等领域的规划和设计，并得到了广泛的认可。
三、流体力学中的数值计算流体力学是液体和气体力学的研究领域，其主要研究对象是流体的运动和转换。
流体力学的主要模拟对象是流体场中的速度和压力，因此流体力学的核心是 Navier-Stokes 方程组，其中包括质量、动量和能量守恒方程。
流体力学的数值计算方法包括：1. 有限体积方法有限体积方法是一种离散流体力学方程的高精度方法，它考虑了流体的受力、耗散和粘度等因素。
有限体积方法的最大优点是可以处理高速和复杂的流体场问题，例如，超音速飞行器、汽车和火箭引擎等问题。
2. 有限元方法有限元方法是一种更为通用的计算方法，它不仅可以应用于流体力学问题，还可以应用于结构力学、热传递等其他力学问题。
流体流动与传热的数值计算
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三、本课程的目的
❖ 数值求解有关过程的方法很多，但本课程不 打算介绍所有现成的方法，这样只会把同学 们搞糊涂，感到茫然、不知所措。
❖ 本课程主要介绍由Patankar教授与Spalding教 授所开创的（通用）数值计算方法。学习和 掌握这一套方法后即可用以计算分析在科研 工作中可能遇到的实际问题，并可在此基础 上学习、掌握其他数值计算方法。
❖ 但试验的代价→昂贵，某些时候甚至不可能实现，尤 其是在大型工业化装置上进行实验更为困难。
❖ →只能针对已有的现象或装置做→很难用于开发。1： 1，逐渐放大→大大影响了我国化学工业的发展。
❖ 对一些基本物理现象的规律并不都能从实物试验中获 得。
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②相似理论指导下的实验
缩小规模：或取一局部物体作模型试验。如 裂解炉的开发：单管试验、多管缩小尺寸、 传热试验、加热时间等；再如降膜结晶法：a. 短单管→物理现象观察分析；b. 长、单管， 中间实验；c. 多根管的放大试验；d工业装置。 但即使如此，有时也存在不同程度的困难。
2. R.B. Bird & W.E.Steward，Transport Phenomena
3. E.R.G. Eckert，Analysis of heat and mass transfer
4. Jacob，Heat Transfer 5. 王补宣，工程传热与传质学
6. O.C. Zienkiewieg，The finite element method , by 7. H. Schlichting，Boundary layer theory
→所有这些都要求更细的过程、更精密的控制 →有必要预测有关的过程。
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高等传热和流动问题的数值计算
1.讨论有关迭代求解的收敛问题。
对于非线性问题，由于代数方程组的系数值（常常是变量的函数）需要不断更新，因此在使用迭代求解时，须先假设一个试探场，计算出方程组的系数值，不断重复，最终得到十分接近于方程组的正确解。
在使用这种迭代方法时，经常会出现迭代解的发散，使迭代过程爆掉。
为了避免迭代的发散需注意以下几点：1.特别注意边界条件的给定和处理。
2.在源项线性化时必须保证负斜率，源项太大易使迭代发散。
3.起初用来计算系数的试探场应尽可能地接近真实解。
4.一般来说，减少时间步长可降低迭代发散的可能性。
5.对每次得到的改进场采用欠松弛法。
用较小的欠松弛系数有利于迭代的收敛。
6.在迭代过程中必须确保变量和系数值在应有值的范围内。
如某些无量纲的数必须小于或等于1，略微大一点也不可取。
7.在设定迭代收敛精度时不宜过高，一般可取10-3，具体的大小可通过试算决定。
8.遇到迭代过程中断时，应查出在哪个方程，它的分母是否为零，或是因某个参数超出了应有值的范围所引起的等，以便及时地解决迭代发散的问题。
2.流体力学方程组包括连续方程、Navier-Stokes动量方程和能量方程。
运动流体的物理特征量是流体的组分、密度、速度、压力和温度等。
从数学上来说，流体力学方程组就是由流体的这些特征量耦合在一起的非线性偏微分方程组，至今还不能在一般意义上求得它们的解析解，甚至连解析解是否存在都不能证明。
有限容积法比有限元法和有限差分法更为简便，物理图像更为清晰，且有较高的精度。
连续性方程：ðρ+∇∙(ρ v)=0ðt3.有关网格的术语结点：构成控制容积的基本单位，每个结点都有固定的空间坐标。
控制容积（网格）：由几个结点按一定排列顺序而组成的控制容积，其代表点i 定义在控制容积的几何重心。
界面：两相邻网格的交线fj，其代表点由相邻结点的坐标平均值求得。
对于三维网格，界面应是分片光滑的平面。
界面有一特别几何量，即界面的单位法向量nj.在构造网格时，根据流动的几何区域特征，应该首先选择有正交性的规则网格。
第13章_计算流体力学CFD(5)总结
空间推进
定常守恒型二维欧拉方程：
对于亚声速流动，上述 方程是椭圆型的，所有 空间推进方法都不适用， MacCormack方法也不 适用。
空间推进
定常守恒型二维欧拉方程：
对于超声速流动，上述方 程是双曲型的，空间推进 方法适用，MacCormack 方法也适用。
空间推进
定常守恒型二维欧拉方程：
MacCormack方法：
偏微分方程（修正方程）：
修正方程等号右端的项是截断误差，如果截断误差的主项 是偶数阶导数，数值解将主要表现出耗散行为；如果主项 是奇数阶导数，数值解将主要表现出色散行为。
数值耗散、色散及人工粘性
偏微分方程（修正方程）：
等号右端的偶数阶导数项起数值耗散的作用，奇数阶导数 项起数值色散的作用。
数值耗散、色散及人工粘性
速度修正量
可以从
得到。
压力修正法的基本原理
压力修正法本质上是一种迭代法，思路如下：
4） 用步骤3)中修正后的压力做为新的p*，回到步 骤2)。重复这个过程，直到速度场满足连续性方程 为止。
这样就得到修正好了的流场。
6.7.4 压力修正公式
压力修正公式
压力修正公式为：
压力修正公式
压力修正公式为：
SIMPLE算法的步 骤如下： 1）在右图所示的交 错网格上分别给出
p
* n
,
u
* n
,
v
* n
数值方法：SIMPLE方法
SIMPLE算法的步 骤如下： 2）求出 u
* n 1
,
v
* n 1
采用动量方程求解。
数值方法：SIMPLE方法
2）
u
传热与流体流动的数值计算(6~9章)
aeue anbunb b ( pP pE )Ae
X方向动量方程离散化
aeue anbunb b ( pP pE Ae
N ne n
W w P s S x e E ee
y
se
Y方向动量方程离散化
anvn anbvnb b ( pP pN An
第七章 最后的修饰
• 7-1 方法的迭代性质
• 迭代计数起两种不同的作用：
• 一般来说，求解的方程是非线性的、相互关联的。 • 每一次都用一种迭代法对一个因变量求解名义上线性的代数方程 组，而不是直接法来求解。
• 代数方程组的迭代解不需要一直进行到完全收敛。 • 采用顺序求解法而不是采用同时求解法来计算流体流动。 • 介绍的数值方法中，求解一个一个稳态问题跟计算一个 不稳态问题的一个时间步，两者之间没有什么根本差别。 • 对于合理的Δt值，可以采用t时刻的已知的φ值作为t+ Δt时 刻未知φ的估计值。
则（6.25）变为： 类似有：
• 推导得到一个有关压力的方程：
其中各项系数由（6.23a—f）给出，b由下式给出：
b的不同表达式是压力方程和压力修正方程之间唯一 不同。当两方程存在一个主要的差异：在推导压力方 程时，没有做任何近似假设。
– ―SIMPLER‖算法（解压力方程求得压力场，求解压 力修正方程仅仅为了修正速度） • 由一估计的速度场开始。 • 计算动量方程系数，随后计算 。 • 计算压力方程（6.30）的系数，得到压力场。 • 压力场当作p*，求解动量方程，得到u*、v*、 w*。 • 计算质量源b，求解p’方程。 • 采用方程（6.17—19）修正速度场，但不修正 压力场。 • 由必要的话，求解对其他各个φ的离散化方程。 • 返回步骤2，重复步骤直到收敛。
传热与流体流动的数值计算课件
中可能遇到的导热系数的突然
w
e
x
变化。
P
E
一种替代方法：
得到一个通过下式描述的界面 热流密度qe的良好表达式：
(?x)e- (?x)e+
qe
?
ke (TP ? TE ?? (? x?e
(TP ? TE ? (? x?e / ke
(4.7)
5
? 讨论这样一种情况：围绕着网格点P的控制容积由具有均
匀导热系数kP的材料填满，围绕着E点的控制容积由导热系
在点Tp* ，所 选择的直线与
S~T曲线相切。
S
?
S*
?
( dS dT
)* (T p
?
TP* )
?
4?
5TP*3
?
15TP*2 (TP
?
TP* )
SC ? 4 ? 10TP*3
SP ? ? 15TP*2
9
4. SC =4+20Tp*3，Sp= -25Tp*2。这一线性化比已知的S~T曲线 陡，使收敛速度降低。
1. 一开始在所有各个网格点上，猜测或估计一个T值。 2. 由这些估计的T值，计算出离散化方程中的系数的试探值。 3. 解名义上的线性化方程组，得到一组新的T值。 4. 以这些T值作为较好的估计值，返回到第二步并重复整个过程，
直到这种进一步的重复计算（迭代）不再引起T值任何有意义的 变化为止。
? 这种最终不变的状态叫做迭代的收敛。与之相反，迭代 永远也不会收敛到一个解的状态称为发散。
ke kE
kP
kPkE(4.9) Nhomakorabea? 当界面l位于P和E之间的中点时，有fe=0.5，有：
ke
?
2kPkE kP ? kE
传热流体数值计算
1 傅立叶定律傅立叶定律是导热理论的基础。
其向量表达式为:q g r a d T λ=-⋅ (2-1)式中:q —热流密度，是向量，2/()Kcal m h ；gradT —温度梯度，是向量，℃/m ；λ—导热系数，又称热导率，/()Kcal mh C ； 式中的负号表示q 的方向始终与gradT 相反。
2 导热系数（thermal conductivity ）及其影响因素导热系数λ（/()Kcal mh C ）是一个比例常数，在数值上等于每小时每平方米面积上，当物体内温度梯度为1℃/m 时的导热量。
导热系数是指在稳定传热条件下，1m 厚的材料，两侧表面的温差为1度（K ，°C ）,在1秒内，通过1平方米面积传递的热量，用λ表示，单位为瓦/米·度，w/m·k （W/m·K,此处的K 可用℃代替）。
导热系数为温度梯度1℃/m ，单位时间通过每平方米等温面的热传导热流量。
单位是：W/(m·K)。
3．热传导微分方程推导 ♥ 在t 时刻w 界面的温度梯度为xT∂∂在t 时刻e 界面的温度梯度为dx x T x T dx x x Tx T 22∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂ 单位时间内六面体在x 方向流入的热流量为：dydz xT∂∂-λ； 单位时间内六面体在x 方向流出的热流量为：dydz dx x T x T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂-22λ；单位时间内六面体在x 方向流入的净热量为：dxdydz xT22∂∂λ 图3-1 微分单元体各面上进出流量示意图同理，单位时间内六面体在y 方向流入的净热量为：dxdydz yT22∂∂λ； 单位时间内六面体在y 方向流入的净热量为：dxdydz z T 22∂∂λ； 单位时间内流入六面体的总热量为：dxdydz z T y T xT ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂222222λ (3-1) 六面体内介质的质量为:dxdydz ρ。
传热与流体流动的数值计算-帕坦卡
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不稳态项
对流项 扩散系数 扩散项 源项
其中因变量可以代表各种不同的物理量
• 质量守恒或连续性方程：
div(u) 0
t
• 直角坐标的张量表达形式：
t
() xj(uj)源自xj( xj)
S
t
xj
(uj
)
0
15
• 可以代表无因次的变量
• 热、质传递，流体流动，紊流以及有关的一些现 象的所有有关微分方程都可以看成通用方程的一 个特殊情况；可以只编写一个求解通用方程的程
t
9
— 化学组分的守恒
• 令ml代表一种化学组分l的质量分量。当存在速度场u是， 守恒表示为：
t(m l)div(um lJl)Rl
单位容积内化学组 分l的质量变化率
组分l的对流 流量密度
扩散流 量密度
单位容积化学 组分l的生成率
如果用菲克扩散定律表示Jl，
Jl lgradml
扩散系数
得到： t(m l) d iv (u m l) d iv ( lg ra d m l) R l
10
— 能量方程
• 对于可以忽略粘性耗散作用的稳态的低速流：
d iv (u h ) d iv (k g ra d T ) S h
其中h是比焓，k是导热系数，T是温度，Sh是容积发热率
• 对理想气体以及固体和液体，将 c gradT=gradh 代入，得
到
div(uh)div(k cgradh)Sh
–结果外推
•测量仪表精度
✓理论计算
•理论预测出自于数学模型的结果 •数学模型主要由一组微分方程组成
–解析解和数值解
5
1-2 预测的方法
✓理论计算的优点
成本低、速度快、资料完备、具有模拟真实条件的 能力、具有模拟理想条件的能力
✓理论计算的缺点
实际问题分为 A类：能够用合适的数学模型描述 B类：与A类相反的问题－湍流、多相流、NOX生成、 非牛顿流体流动
– 另一种写法：
z=z（x，y，T） z是因变量，代表在位置（x，y）相对于温度T的等温
面高度。
17
坐标的合适选择
恰当明智地选择坐标系统有时可以减少所需要的自变量数。 并非只能使用直角坐标系，任何一种描述空间位置的方式都
是可以采用的。 例子： –1. 在一个静止的坐标系上看以恒定速度飞行的飞机 周围的流体流动是非稳态的；但是相对于固定在飞机 上的移动坐标系而言，流动是稳态的。 –2. 在一圆管内的轴对称流动于直角坐标系内是三维
t(u ) d iv (u u ) d iv (g ra d u ) p x B x V x
其中是粘度，p是压力，Bx是x方向的单位容积内体积力，Vx代表
除去以div(μgradu)所表示的粘性力项之外的其他所有粘性力项。
12
— 紊流的时间平均方程
• 人们假设：紊流中存在有相对平均值的快速而随机的脉动。 • 由Reynold时均运算所产生的附加项是：雷诺应力，紊流
3
第一章 引 论
• 1-1 研究的范畴
➢传热与流体流动的重要性：遍及我们生活中的各个
方面
➢认识和估计这些过程的必要：预报、控制 ➢预测的本质：说明其中每一个物理量如何随着几何条件、
流量以及流体物性等的变化而改变的
➢目的：尽可能设计一种具有完全的通用性能的数值方法
4
1-2 预测的方法
✓实验研究
•全比例实验 •模型实验
序，对不同意义的 重复使用这个程序； • 对不同的 需要对相应的和S分别赋以各自合适
的表达式，同时给出合适的初始条件和边界条件。
16
2-2 坐标的性质
• 自变量
– 一般来说，因变量φ是三个空间坐标与时间的函数
φ =φ（x，y，z，t） – 其中x，y，z以及t都是自变量。
– 当有关的物理量只与一个空间坐标有关时，所研究 的问题是一维的；当问题与时间无关时，叫做稳态 的，否则叫做非稳态或与时间有关的问题。
其中c是定压比热。假设c为常数，即h=cT。
div(uT)div(kgradT)Sh
c
c
• 若u=0，则得到稳态热传导方程：
div(kgradT)Sh0
11
— 动量方程
• 由于必须同时考虑切应力和正应力，加之流体流动有关的 斯托克斯粘性定律比菲克定律或傅里叶定律复杂，动量方 程要复杂得多。用u表示x方向速度，有：
热流密度，紊流扩散流量密度等。 • 许多紊流模型采用紊流粘度或紊流扩散系数的概念来表示
紊流应力以及流量密度。结果，紊流的时间平均方程就具 有了与层流流动方程完全相同的形式。 • 诸如粘度、扩散系数以及导热系数这样一些层流交换系数 需要用相应的有效（即层流加紊流）交换系数取代。 • 相当于具有一个相当复杂的粘度表达式的层流流动方程。
7
假设J代表一个典型因变量的流量密度 单 位 容 积 流 出 的 净 流 量 ＝ J x J y J z d iv J x y z
Jx
J
x
dJ x dx
dx
S
x
8
• 以单位容积为基础来表达一项——变化速 率 ( )
• 代表 t 在单位容积内所包含的相应广延性 质的大小
• ( ) 表示单位容积内有关性质的变化率
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— 紊流的动能方程
• 紊流“双方程模型”：把紊流脉动动能k的方程作为其中 的方程之一。
t(k ) d iv (u k ) d iv ( k g ra d k ) G
K的扩 散系数
紊流能量 的生成率
动能的 耗散率
14
— 通用微分方程
() d iv (u )d iv ( g rad )S
的，但在r，θ，z的圆柱极坐标系内则是二维的。
–3. 坐标变换可能用来进一步减少自变量数量。 –4. 改变因变量可能导致自变量数目的减少。
传热与流体流动的数值计算
[美] S.V. 帕坦卡 著 同济大学机械工程学院
朱彤
1
本课程学习内容
• 物理现象的数学描述 • 离散化方法 • 扩散项处理 • 对流与扩散 • 流场的计算 • 湍流数学模型 • Fluent基础知识介绍
2
参考书目
• 传热与流体流动的数值计算——[美] S.V. 帕坦卡
• 湍流——是勋刚 • 湍流计算模型——陈义良 • 数值传热学——陶文铨
✓预测方法的选择
6
第二章 物理现象的数学描述
• 2-1 控制微分方程 – 微分方程的意义
各个微分方程都代表着一定的守恒原理。 每一个方程以一定的物理量做为它的因变量， 方程本身则代表着那些影响该因变量的各个因 素之间必定存在着的某种平衡。
通常以单位质量为基础来表示各因变量。 例如：质量分量、速度（单位质量的动量）、 比焓等。