费马定理、欧拉定理、威尔逊定理(讲稿)

欧拉定理、费马定理、威尔逊定理
1、欧拉函数：φ(m )是1, 2, …, m 中与m 互质的个数，称为欧拉函数.
①欧拉函数值的计算公式：若m ＝p 1α1p 2α2
…p n αn , 则φ(m )＝m (1－1p 1)(1－1p 2)…(1－1p n
) 例如，30＝2·3·5，则.8)51
1)(311)(211(30)30(=---=ϕ
②若p 为素数，则1
()1,()(1),k k p p p p p ϕϕ-=-=-若p 为合数，则()2,p p ϕ≤-
③不超过n 且与n 互质的所有正整数的和为1
()2
n n ϕ；
④若(,)1()()(),a b ab a b ϕϕϕ=⇒= 若()()a b a b ϕϕ⇒
⑤设d 为n 的正约数，则不大于n 且与n 有最大公因数d 的正整数个数为()n
d
ϕ， 同时
()()d n
d n
n d n d
ϕϕ==∑∑；
例1、证明：φ(n )＝1
4
n 不可能成立.
不可能成立假设不成立上式不成立，左边是一个奇数，上式右边是一个偶数，又即：即：为奇质数，则：
设成立，则证：若不可能成立；【练习】证明：n p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p n p p p p p p n n n n k k k k k k
k k k k k k k k k k 4
1
)4()
1()1)(1(4)
1()1)(1(22)1()1)(1(2241)(,,),2(,2|44
1
)4(4
1
)4(21212111
21121222112121212121212
1212
1=
∴∴∴---=---=---==
≥==
=----ϕϕαϕϕααααααααααααααααααααΘΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
例2、证明：数列{2n －3}中有一个无穷子数列，其中任意两项互质.
}
{}32{1,,,1),(mod 1321),(mod 12
2
)(3
2,,,,}32{}32{21211)()
((()
(1)(12121212121i n k k i u u u i u u u u u u u u u k k n n u k u u u u k
i u k
i u x u u u u k k k k k 互素的无穷子数列中一定有一个任意两项数列依此方法一直下去项两两互素的子数列，是、数列＝理有：是欧拉函数，由欧拉定其中作项是两两互素的，记为中已有证明：设数列其中任意两项互素；中有一个无穷子数列，、证明：数列例））-+∴≤≤-≡-∴≤≤≡-=--++++ΛΛΛΛΛΛϕϕϕϕϕϕϕ
例3、已知p 为质数，在1, 2, …, p α中有多少个数与p α互质？并求φ(p α). 直接用性质②
例4 将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，求出这个数列的第2010项.
解：1~105的所有正整数中共有(105)(3)(5)(7)48ϕϕϕϕ==个与105互素，他们从小到排列为：
12345481,2,4,8,11,,104a a a a a a ======L . 对于任一的n a ，由带余除法存在唯一的q , r 使得 105,0,0105n a q r q r =+≥≤<，由(a n ，105)＝1，可得(r ，105)＝1，即1248{,,,}r a a a ∈L .
反之，对于任意固定非负整数q , 1248{,,,}r a a a ∈L 有(105q ＋r ，105)＝1，于是105q ＋r 都是数列的项， 从而存在正整数n ，使得105n a q r =+. 因此数列{}n a 仅由105(1,2,,48)n q a n +=L 的数由小到大排列而成的.
因为2010＝48*41＋42，所以有2010424842201010541,104,89,4394a a a a a =⨯+===而由求得所以. 2、(欧拉定理) 若(a , m )＝1，则a φ(m )≡1(mod m ).
证明：设r 1，r 2，…，r φ(m )是模m 的简化剩余系，又∵(a , m )＝1，∴a ·r 1，a ·r 2，…，a ·r φ(m )是模m 的简化剩余系， ∴a ·r 1×a ·r 2×…×a ·r φ(m )≡r 1×r 2×…×r φ(m )(mod m )，又∵(r 1·r 2·…·r φ(m ), m )＝1，∴a φ(m )≡1(mod m ). 注：这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题. 应用：设(a , m )＝1, c 是使得a c ≡1(mod m )的最小正整数, 则c |φ(m ).
2、(定义1) 设m ＞1是一个固定的整数, a 是与m 互质的整数，则存在整数k (1≤k ≤m )，使a k ≡1(mod m )， 我们称具有这一性质的最小正整数(仍记为k )称为a 模m 的阶，由a 模m 的阶的定义，可得如下性质： ⑴ 设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，u , v 是任意整数，则a u ≡a v (mod m )的充要条件是u ≡v (mod k )， 特别地，a u ≡1 (mod m )的充要条件是k |u 证明：充分性显然.
必要性：设,u l u νν>=-，由(mod )u
a a m ν≡及(,)1a m =知1(mod )l
a m ≡. 用带余除法，,0,l kq r r k =+≤<故1(mod )kq
r
a a m ⋅≡，∴1(mod )r
a m ≡，
由k 的定义知，必须0r =，所以(mod ).u v k ≡
⑵ 设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，则数列a , a 2, …, a k , a k ＋
1,…是模m 的周期数列，最小正周期为k ， 而k 个数a , a 2,…, a k 模m 互不同余.
⑶ 设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，则k |φ(m )，特别地，若m 是素数p ，则a 模p 的阶整除p －1. (4) 设(a , p )＝1, 则d 0是a 对于模p 的阶⇔0d
a ≡1(mod p ), 且1, a , …, a do −1对模p 两两不同余. 特别地, d o ＝φ(p )⇔1, a ,…, a φ(p )−1构成模p 的一个简化剩余系. 定理：若l 为a 对模m 的阶，s 为某一正整数，满足)(m od 1m a s
≡，则s 必为l 的倍数. 例5、设a 和m 都是正整数，a ＞1. 证明：).1(|-m
a m ϕ
证明：实上，显然1-m a a 与互素，且1-m a a 模的阶是m ，所以由模阶的性质③导出).1(|-m
a m ϕ 例6：设m , a ,
b 都是正整数，m ＞1，则(.1)1,1),(-=--b a b
a
m m m
证明：记).1,1(--=b
a
m m d 由于(a , b )|a 及(a , b )|b ，易知1|1)
,(--a b a m m
及1|1),(--b b a m m ，
故d m
b a |1)
,(-， 另一方面设m 模d 的阶是k ，则由)(m od 1),(m od 1d m d m b a ≡≡
推出，k |a 及k |b ，故k |(a ，b ). 因此.1|),(m od 1),()
,(-≡b a b a m d d m 即
综合两方面可知，.1)
,(-=b a m
d 证毕.
3、(费尔马小定理) 若p 是素数，则a p ≡a (mod p ) 若另上条件(a ，p )＝1，则a p −1≡1(mod p ) 证明：设p 为质数，若a 是p 的倍数，则)(m od 0p a a p
≡≡.若a 不是p 的倍数，则1),(=p a 由欧拉定理得：)(mod 1,1)()
(p a
p p p ≡-=ϕϕ，)(mod ),(mod 11p a a p a p p ≡≡∴-，由此即得.
4、(威尔逊定理) p 为质数 ⇔ (p －1)!≡－1 (mod p )
证明：充分性：若p 为质数，当p ＝2，3时成立，当p ＞3时，
令x ∈{1, 2, 3, …, p −1}，则1),(=p x ，在x p x x )1(,,2,-Λ中，必然有一个数除以p 余1， 这是因为x p x x )1(,,2,-Λ则好是p 的一个剩余系去0. 从而对}1,,2,1{},1,2,1{-∈∃-∈∀p y p x ΛΛ，使得)(mod 1p xy ≡；
若)(m od 21p xy xy ≡，1),(=p x ，则)(m od 0)(21p y y x ≡-，)(|21y y p -，这不可能. 故对于不同的}1,,2,1{,21-∈p y y Λ，有1xy ≡／)(m od 2p xy .即对于不同的x 对应于不同的y ， 即1,,2,1-p Λ中数可两两配对，其积除以p 余1，然后有x ，使)(m od 12
p x ≡，即与它自己配对， 这时)(m od 012
p x ≡-，)(mod 0)1)(1(p x x ≡-+，∴1-=p x 或1=x .
除1,1-=p x 外，别的数可两两配对，积除以p 余1.故)(mod 11)1()!1(p p p -≡⋅-≡-.
必要性：若(p －1)!≡－1 (mod p )，假设p 不是质数，则p 有真约数d ＞1，故(p －1)!≡－1 (mod d )，
另一方面，d ＜p ，故d |(p －1)!，从而(p －1)!≡0 (mod d )，矛盾！ ∴p 为质数.
5、算术基本定理：任何一个大于1的整数都可以分解成质数的乘积. 如果不考虑这些质因子的次序，
则这种分解法是唯一的. 即对任一整数n ＞1，有n ＝p 1α1p 2α2
…p k αk ，其中p 1＜p 2＜…＜p k 均为素数， α1、α2、…、αk 都是正整数.
①正整数d 是n 的约数⇔ d ＝p 1β1p 2β2
…p k βk ，(0≤βi ≤αi , i ＝1, 2, …, k )
② 由乘法原理可得：n 的正约数的个数为r (n )＝(α1＋1)(α2＋1)…(αk ＋1) ③ n 的正约数的和为S (n )＝(1＋p 1＋…＋p 1α1
)(1＋p 2＋…＋p 2α2)…(1＋p k ＋…＋p k αk )
④ n 的正约数的积为T (n )＝1
()2
r n n
⑤ n 为平方数的充要条件是：r (n )为奇数.
(2) 判断质数的方法：设n 是大于2的整数，如果不大于n 的质数都不是n 的因子，则n 是质数. (3) n !的标准分解：设p 是不大于n 的质数，则n !中含质数p 的最高次幂为：
).]([][][][)!(132+<≤++++=m m m p n p p
n
p n p n p n n P Λ 从而可以写出n !的标准分解式.
例7、证明：当质数p ≥7时，240|p 4－1.
1
|2401
|531653161
|51
|31
),5(,1),3(16422)1)(1)(1(1111,1,1)
1)(1)(1(1,72401744442242244-∴-⋅⋅--∴==⋅⋅++-=-+-++-++-=-∴≥-≥p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p 两两互素，则与，又费马小定理有：又整除＝能被是相邻的偶数，则：和均为偶数，且又是奇数
素数证：整除；能被时，、证明当素数例ΘΘΘΘ
例8、求2005
2003被17除所得的余数.
解：()
2005
2005
20052003
171141414(mod17),=⨯+≡
因为(17,14)1,=所以由费马小定理得16
141(mod17),≡ 故()()()()()54
2005
200516125552003
1414143334312(mod17),⨯+≡≡≡≡-≡--≡--≡
所以2005
2003被17除所得的余数是14.
变式拓展：已知a 为正整数，a ≥2，且(a , 10)＝1，求a 20的末两位数字.
解：∵(a , 10)＝1，∴a 为奇数，∴a 20＝a φ(25)≡1(mod 25)，又∵a 2≡1(mod 4)⇒ a 20≡1(mod 4)， 又∵(25, 4)＝1，∴a 20≡1(mod 100)，∴a 20的末两位数字01.
例9、证明：方程3
25y x =+无整数解.
解：若y 是偶数，则8 |3
y ，x 2≡3(mod 8)不可能. 故必有y 一定是奇数，从而x 是偶数.
令x ＝2s ，y ＝2t ＋1得t t t s 364222
3
2
++=+, 知t 是偶数，令t ＝2j ，代入得s 2＋1＝j (16j 2＋12j ＋3) 由(16j 2＋12j ＋3)≡3(mod 4) 知存在4k ＋3型的奇素数p ，使得p |(16j 2＋12j ＋3)，从而p | s 2＋1，
即s 2≡－1(mod p )，有(s ，p )＝1, 2
1212
)1()
(---≡p p s (mod p )，于是 1
-p s ≡－1(mod p )与费尔马小定理矛盾.
例10、 试证：对于每一个素数p ，总存在无穷多个正整数n ，使得p |2n －n.. 证明：若p ＝2，则n 为偶数时结论成立.
若p ＞2，则(2，p )＝1，由费尔马小定理2 p －
1≡1(mod p )，故对于任意m ，有2 m (p −1)≡1(mod p ). ∴2 m (p −1)－m (p －1)≡1＋m (mod p )，令1＋m ≡0(mod p )，即m ＝kp －1， 则对于n ＝m (p －1)＝(kp －1)(p －1)(k ∈N *)，均有2 n －n 被p 整除
例11、设a , b 为正整数，对任意的自然数n 有n n
a n
b n ++，则a ＝b . 证明：假设a 与b 不相等. 考虑n ＝1有11a b ++，则a ＜b .
设p 是一个大于b 的素数，设n 是满足条件的正整数：1(mod(1)),(mod ),n p n a p ≡-≡- 由孙子定理这样的n 是存在的，如 n ＝(a ＋1)(p －1)＋1. 由费马定理(1)1
(mod ),n
k p a a
a p -+=≡所以0(mod ),n a n p +≡
也即,(mod )n n p b n b
n b
a p ++≡-再由费马定理，所以p
b a -，矛盾. 例12、设p 是奇素数，证明：2 p －1的任一素因了具有形式x px ,12+是正整数.
证明：设q 是2 p －1的任一素因子，则q ≠2. 设2模q 的阶是k ，则由)(m od 12q p
≡知k |p ，
故k ＝1或p (因p 是素数，这是能确定阶k 的主要因素).
显然k ≠1，否则),(m od 121
q ≡这不可能，因此k ＝p .
由费马小定理)(mod 12
1
q q ≡-推出.1|,1|--q p q k 即因p 、q 都是奇数，故q －1＝2px (x 是个正整数).
例13、设p 是大于5的素数, 求证：在数列1, 11, 111, …中有无穷多项是p 的倍数.
证明： 因5p >是素数, 故(,10) 1.p =由费马小定理1
10
1(mod ),p p -≡
故对每一个正整数l 有()
11010(mod ),l p p --≡ 而()()(){1111019999111,l p l p l p ----==⨯L L 12
3个
个
因()
1(,9)1,10
1,l p p p -=- 故(){
111 1.l p p -L 个
例14、证明：若0(mod ),p
p
m n p +≡则2
0(mod ),p
p
m n p +≡这里p 是奇素数.
证明：因p 是奇素数，故由费马定理得，(mod ),(mod ).p
p
m m p n n p ≡≡于是，(mod ).p
p
m n m n p +≡+ 故可由已知条件0(mod )p
p
m n p +≡得0(mod ).m n p +≡故存在整数k 使得,.m n pk n pk m +==- 因此
()()()()()()
()
12
12
21
1
1
2
10(mod ).
p p p p p p p p p r
p r
r
r
p p p
p
m n m pk m pk C pk m C pk m C
pk m C
pk m p -----+=+-=-+++-++≡L
L
例15、(2004第36届加拿大奥林匹克) 设p 是奇质数，试证：∑-=-+≡
11
212)(mod 2
)
1(p k p p p p k
例16、(第44届IMO ) 设p 是质数，试证：存在一个质数q ，使对任意整数n ，数n p −p 不是q 的倍数.
例17、已知p是给定的质数，求最大正整数m满足：⑴1≤m≤p−1；⑵∑-
=≡
1
1
) (mod
p
k
m p k.
例18、(2006国家集训队测试题) 求所有的正整数对(a, n)，使得n|(a＋1)n−a n
课外练习题：
1、①证明：f (x )＝15x 5＋13x 3＋715x 是一个整值多项式. ②求证：f (n )＝15n 5－32n 2＋13
10
n －1被3除余2.
①则只需证=)(15x f x x x 7533
5++是15的倍数即可. 由3，5是素数及Fetmat 小定理得)5(mod 5
x x ≡，
)3(mod 3x x ≡，则)5(m od 07375335≡+≡++x x x x x ；)3(m od 0275335≡+≡++x x x x x
而(3，5)＝1，故)15(mod 07533
5
≡++x x x ，即)(15x f 是15的倍数, 所以)(x f 是整数. 2、 证明：2730|n 13－n (n ∈N *)
)
(|2730137532),(137532)(|2),(|3),(|5),(|7)(,)(,)(,)(,)()
1)(1)(1)(1)(1()
1)(1)(1()
1)(1(),
(|13),(,)(1375322730)
(,|273043212433527162263366131313n f n f n f n f n f n f n f n n n f n n n f n n n f n n n f n n n n n n n n n n n n n n n n n n f N n n n n f N n n n 两两互素，故，，，，且均整除，，，，即由费马小定理可知：的因式都是故由于可知则由费马小定理，，若记＝证明：【练习】证明：-=-=-=-=++-+++-=++-=+-=-∈-=⋅⋅⋅⋅∈-Θ
3、 已知有正整数b a b a a
b b
a b a ++++的最大公约数不超过与是整数，求证：使得11,.
证明：由于a ＋1b ＋b ＋1a ＝a 2
＋b 2
＋a ＋b ab
……①，设(a , b )＝d ，则d 2|a 2＋b 2，显然d 2|ab ，由①得，d 2|a ＋b
于是a ＋b ≥d 2，a ＋b ≥d ，即 (a , b )≤a ＋b .
4、求最小的正整数k ，使得存在非负整数m ，n 满足k ＝19m －5n
5、将与105互素的所有正整数从大到小排列，试求出这个数列的第1000项；
法一：由105=3×5×7；故不超过105而与105互质的正整数有105×(1－13)(1－15)(1－1
7
)=48个.
1000=48×20＋48－8， 105×20=2100. 而在不超过105的与105互质的数中第40个数是86． ∴ 所求数为2186. 法二：
6．设n m ,为正整数，具有性质：等式(171,)(171,)k m k n -=-对所有的正整数k 成立. 证明：17r
m n =，其中r 是某个整数.。