2隐函数与参量函数微分法

点(3,3)的切线方 , 并程证明曲 C在 线该点的法 22
线通过原 . 点
解 方程两边x求 对导 , 3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 x y
y (3,3) 22
yx2
y2 x
1.
33 (,)
22
所求切线方程为 y3(x3) 即 xy30.
2
2
法线方 y3 程 x为 3即yx, 显然通过原点. 22
x r()cos y r()sin
dy
dy dx
d dx
rr(())scions rr(())csions
d
当re 时
d d x ye e ((s cio nc ssio n ))ss cio n sc sio ns
当 时
2
切线斜率为
k
dy dx
2
1
而re上(点 e2,)所对应的直(0,角 e2)坐标
解 方程两x边 求对 导得
11x y2x y
1 ( x2y2
x2y2)
x 2 x 2y 2y x x 2yx 2 1 y 22 2 x x 2 2 y y y 2
y x y x y y
dy x y dx x y
d2y dx2
d dx
x x
y y
(1y)x ( (y x ) y ()x 2y)1 (y)
dV288米 03/0小,时当 h2米 0 ,时 dt
dh0.10米 4 /小时 dt
水面上升之速率
五、Biblioteka Baidu结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导;
对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求 导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;
相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链 式求导法求解.
求导运算。
--------对数求导法
适用范围:
多个函数相乘、 开乘 方方 和、 幂指函数
u(x)v(x)的情.形
例6
设y(x1)3 x1,求 y. (x4)2ex
解 等式两边取对数得
ly n ln x 1 ) ( 1 ln x 1 ) ( 2 ln x 4 ) ( x 3
上式两边 x求对导得 y1 1 2 1 y x1 3(x1) x4
k
dy dx
xx0
y0 x0
切线方程为 yy0 xy00(xx0)
x 0 y y 0 x x 0 y 0 y 0 x 0
x 0 y y 0 x x 0 y 0 y 0 x 0 x 0 y 0 (x 0y 0 ) a x0 y0
x y 1 a x0 a y0
故在两坐标轴上的截距之和为
2xy 2y (x y)2
2x(x(yx)yy)(3xy)
2( (
x2 y2 x y)3
)
例5 求证抛物线 x y a 上任一点的切线
在两坐标轴上的截距之和等于a
证 方x 程 ya两边 x求对 导得
1 1 dy0 2 x 2 ydx
dy y dx x
故曲线上任一点 (x0, y0) 处切线的斜率为
例3 设 x 4x y y4 1 ,求 y 在 (0 ,1 点 )处.的
解 方程两x边 求对 导得
4 x 3 y x y 4 y 3 y 0
( 1 )
代x入 0, y1 得y
x0 y1
1; 4
将方 (1)两 程边x求 再导 对得
1 x 2 2 2 y x y 1 y 2 ( y ) 2 2 4 y 3 y 0
思考题
设xy((tt))，由yx
(t) (t)
((t)0)
可知yx ((tt))，对吗？
思考题解答
不对．
yx
d
dx
yx
dyx dt
dt dx
(t) 1 (t)t (t)
合作愉快
a x 0 a y 0 a (x 0 y 0 )a
二、对数求导法
有时会遇到这样的情形，即虽然给出的是显函数 但直接求导有困难或很麻烦
观察函数 y(x (x 1)43)2 xe x1, yxsix n. 方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导
方法求出导数.——目的是利用对数的性质简化
在t0时刻炮弹的速度为
v vx2 v2y v 0 2 2 v 0 g 0 sti n g 2 t0 2
四、相关变化率
设x x(t)及y y(t)都是可导函,数而变量x与 y之间存在某种关, 从 系而它们的变化d率x与
dt dy之间也存在一定关, 这系样两个相互依赖的 dt 变化率称为相关变化 . 率
dt 2 1 t
d2y dx2
d (dy) dx dx
d (x) dx y
y
xy y2
y x y
y2
x2 y2 y3
2 y3
(x2y22)
例13 设曲线Γ由极坐标方程r=r(θ)所确定，试求该
曲线上任一点的切线斜率，并写出过对数螺线
r e上点
(e
2
,
)
处的切线的直角坐标方程
2
解 由极坐标和直角坐标的变换关系知
2
两边对 x 求导得
1y1[ 1111] y 2x 1x2x3x4
y y [1111] 2x 1x 2x 3x 3
若x1 y (1x)(2x) 两边取对数得 (3x)(4x)
ly n 1 [1 l x n ) l( 2 n x ) ( l3 n x ) ( l4 n x )(] 2
d2 y dx2
d (dy) dx dx
d ((t)) dt dt (t) dx
容易漏掉
(t)( t) 2( t)(t)(t)1 (t)
即d d22 yx(t)( t) 3( t)(t)(t).
例11 求摆 y x 线 a a((1 t c siottn ))s在 t2处的切
方程.
dy
解 dy dt asint sint dx dx aacost 1 cost
vy
v vx
可由切线的斜率来反映. o
x
dy(v0t
sin1gt2) 2
v0 sin gt
dx (v0tcos)
v0 cos
dy dxtt0
v0si ng0t. v0cos
(2)炮弹 t0时 在刻 x,y沿 轴方向的分速度
vxd dtx tt0(v0tco )stt0v0cos
v y d dt y tt0 (v 0 ts i n 1 2 g2 )tt t0 v0sin g0t
三、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方 xy 程 ((tt))确定 y与x间的函数 , 关
称此为由参数 定方 的程 函 . 所 数确
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 2
消去参数
yt2 (x)2 x 2 24
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
在方程 xy ((tt))中,
设函x数 (t)具有单调连续 t的 1(x反 ), 函
xsix n(cx olsn xsix n ) x
一般地
f(x ) u (x ) v (x ) ( u (x ) 0 ) lf ( n x ) v ( x ) l u ( x n )
又 dln f(x)1df(x) dx f(x)dx
f(x)f(x)dln f(x) dx
f(x ) u (x )v (x )[v (x )lu n (x ) v (x )u (x )] u (x )
y[1(x)] ——参量函数
再x 设 ( t)y , 函 ( t) 都 数 ,且 可 ( t) 0 , 导
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dx dt dx
dy dt
1 dx
(t ) (t )
dt
dy
即
dy dx
dt dx
dt
若函数 xy ((tt))二阶可 , 导
例1 求由方x程 yex ey 0所确定的隐函
y的导dd数 xy, ddxyx0. 解 方程两边x对 求导 ,
yxdy exeydy 0
dx
dx
解得
dy ex y dx x ey ,
由原方x程 0,y知 0,
ddxyx0
exxeyy
x0 y0
1.
例2 设曲C线 的方程x3为 y3 3xy,求过 C上
2
故切线的直角坐标方程为
ye2 (x0) 即 xye2
例14 不计空气的阻力, 以初速度v0, 发射角
发射炮弹, 其运动方程为
x v0t cos,
y
v0t
sin
1 2
gt2
,
求 (1)炮弹在时刻t0的运动方向;
(2)炮弹在时刻t0的速度大小.
解
(1) 在t0时刻的运动方向即 y v 0 轨迹在t0时刻的切线方向,
相关变化率问题:
已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? 例15 河水8以 米3/秒的体流量流入 , 水 水库 库中
形状是长 40为 0米 0, 顶角1为200的水,槽 问水深 20米时 , 水面每小时上?升几米
解
设时刻 t 水深h为 (t), 水库内水V量(t)为 ,则
60 0
V(t)4003h02 上式两边 t求对导得ddVt80030hddht
代x 入 0 ,y 1 ,y
x0 y1
1 4
得
y
x0 y1
1. 16
补证反函数的求导法则
设 x(y)为直接 yf(x 函 )为数 其， 反函
yf(x)可视为x 由 (y)方 0确 程定的一
隐函数 由隐函数的微分法则
方x程 (y)两边 x求 对 导得
1(y) dy
dx
dy 1
dx (y)
例4 设 arc x y tla nx 2 n y2,求 d d,x y d d 2y 2x
1ya 1 a2 an
y xa 1 xa2
xan
yy[ a 1 a2 an ]
xa 1 xa2
xan
例10 设 y x sx in (x 0 )求 ,y .
解 等式两边取对数得 ln y sixn ln x
上式两x边 求对 导得
1ycoxslnxsix n1
y
x
yy(cx o ln sxsixn 1) x
y (x (x 1 ) 4 3 )2 x e x 1 [x 1 1 3 (x 1 1 ) x 2 4 1 ]
例7 求y (x1)(x2)的导数 (x3)(x4)
解 这函数的定义域
x 4 ,2 x 3 ,x 1
若x4 两边取对数得 ly n 1 [l x n 1 ) l( x n 2 ) ( lx n 3 ) ( lx n 4 )(]
x
y
yxxyyllnnxyxy22
例9 解
设 y (x a 1 )a 1 (x a 2 )a 2 (x a n )a n 求 d dx y 两边取对数得
l y a n 1 l x a n 1 ) a 2 l x a ( n 2 ) a n l ( x a n n )
两边对 x 求导得
两边对 x 求导得
1y1 [ 1 1 1 1] y 21x2x3x4x
y y [1111] 2x 1x 2x 3x 3
同理 若2x3 y y [1111]
2x 1x 2x 3x 3 例8 设xy yx求dy
dx 解 两边取对数得
yln xxln y 两边对 x 求导得
yln xy1lnyx1y
dt
dy dx
t 2
sin
1
2 cos
1.
2
当 t 时 ,x a ( 1 ),y a .
2
2
所求切线方程为
yaxa( 1)
即yxa(22)
2
例12
设 x1 t y1 t
证 d d 明 x y x y,d d 2y 2x y 2 3
证
dy
1
dy dx
dt dx
2
1 t 1
1t x 1t y