非平衡格讲义林函数和介观输运理论
第三章输运现象与分子动理学理论非平衡态理论
气体：
当气体各层流速不均匀时，产生黏性现象，直
至各层均匀为止。
u0
z
B
设各层平面平行，气层整
体作定向运动，流速各层不
df ’
均匀。
dA
df
由于流速不同，各层间发
u = u(z)
生相互作用 —黏性力(内摩擦力)。o u = 0
C
力的作用效果：使流动慢层加快，快层减慢。
考察在 z0 处相邻两 截面B、C (平行于流 速)
— 动量流
2.动量流密度：J
p
dp dt
1 A
由
f
(dduz)z0 A
dp dt
Jp A
Jp
du dz
小结：
y v1
z
v2
x
黏性现象是由于气体内部速度不均匀引起的，
用速度梯度描述其不均匀性，内部有动量的输运,
直至各处速度均匀为止。
七、泊肃叶定律：
流体在管道内作匀速运动时，抵消黏性力靠管
子两端的压强差Δp 。 体积流率： dV
1. 碰撞的微观机制(模型) 无引力的刚球(除碰撞瞬间外)
设分子有效直径为 d , 碰撞时假设某一分子静
止(B),
A球从远处向B运动。
2. 瞄准距离 b 当 b = 0 时， 正碰
b 当 b > d 时， 不碰
d
b
A
B
当 b < d 时， 斜碰
简化模型
(1)无引力的刚球(除碰撞瞬间外)
(2)分子有效直径为d (分子间距平均值)
A
v12
Δt 内分子A走过的距离为： v12t
Δt 内分子A扫过圆筒的体积为： d2v12t
(只有质心落入筒内分子才能与A分子相碰)
介观系统中的自旋极化输运
介观系统中的自旋极化输运【摘要】：本论文针对既具有重要应用价值，又具有基础理论研究意义的介观系统中的自旋极化输运现象做了较为系统和深入的理论研究。
其目的一方面在于揭示介观系统中新效应的物理机制和规律，另一方面为设计和实现具有优良性能的量子器件提供物理模型和理论依据。
在简要地回顾了低维介观体系物理研究中的一些重要实验和理论进展，并较详细地介绍了本文所采用的理论工具——非平衡格林函数方法之后，我们针对几个有趣的问题进行了研究。
首先我们从理论上提出了一种新型的能够产生自旋极化电流的设计，该装置构建在由随时间振荡的自旋相关的隧穿所伴随的开放耦合双量子点上。
我们计算出了流过该装置的自旋极化电流的精确表达式。
数值分析的结果表明，流经该装置的电荷流和自旋流可以由门电压、驱动场的频率以及外磁场控制；此外，通过该装置的自旋极化电流能够产生非常有趣的反共振行为。
通过对限制在孤立的耦合双量子点中电子的动力学行为的详细分析，我们对此反共振行为做出了定性地解释并指出了其在自旋电子器件方面的可能应用。
然后我们研究了与局域声子模耦合的单分子和量子点的输运特性，重点关注声子效应对自旋流及其噪声谱的影响。
自旋流由施加在量子点中的旋转磁场产生。
结果表明电声子相互作用可以导致伴峰的出现，它们钉扎在能量等于声子频率整数倍的位置，峰的高度对电声子相互作用的强度非常敏感；此外，声子模对自旋流的零频噪声谱也有显著的影响。
最后，基于TMR体系下的无限UAnderson模型，我们讨论了在强电子关联和电声子耦合的共同作用下与金属铁磁电极相连的单分子或量子点中的量子输运特性。
通过延拓的运动方程方法我们首先计算了谱密度和非线性微分电导。
我们发现电声子相互作用在铁磁—量子点—铁磁强关联系统的自旋极化输运中扮演非常重要的角色。
在铁磁电极处于反平行磁化位形时，其输运特性与其它的理论分析结果相类似。
而在平行位形，则呈现出了非常不同的输运行为。
由于铁磁电极磁特性的影响，Kondo共振峰和声子伴峰在平行位形下均劈裂为不对称的两个低密度的小峰。
第三章 输运现象与分子动理学理论的非平衡态理论 4
1 u 1 u ΔA f nvΔAm ( 2 ) nvm 3 z 6 z
牛顿黏性定律：
f
du A dz
1 1 nmv v 3 3
二、讨论： 1. 与分子数密度n、压强P无关：
二、讨论：
1. 与分子数密度n、压强P无关： 1 v 1 mv pure nmv nmv 3 v12 n 3 3 2 可见气体的黏性与分子数密度及气体压强无关。
z=z0平面将气体分为A、B两层， 沿z轴方向存在温差。
A B
( z0 )
z z0
z z0
( z0 )
z z0
在 z z0 这两层对应的温度及分子平均动能为
T ( z0 )
( z0 )
对宏观量 的变化作级数展开后取一级近似： 根据基本出发点2， ( z0 ) ( z0 ) ( z0 ) ( z0 )
§3.8 气体输运系数的导出 气体分子的运动速度可表示为： u v V
热运动速度 定向运动速度
宏观看来，一个小的区域内分子的平均速度就是该处气体 的定向运动速度。 气体分子动理论： 气体分子总有杂乱无章的热运动
任意截面S两侧交换分子；
ΔS
若沿S面法线方向有某种物理量存在不均匀性，
1 P nv At[mu ( z0 ) mu ( z0 )] 6
动量定理：P 等于A层A 面元所受的黏性力的冲量f t，即：
1 f Δt nvΔAΔt[mu( z0 ) mu( z0 )] 6 1 f nvΔA[mu( z0 ) mu( z0 )] 6
非平衡格林函数方法
非平衡格林函数方法
非平衡格林函数方法是一种量子力学计算方法，用于研究非平衡态下的电子结构和输运性质。
它通过求解非平衡格林函数来描述系统的电子态和输运性质。
非平衡格林函数是描述非平衡态下的电子密度矩阵和电子自能的重要工具。
在非平衡态下，电子系统中存在着电子的注入和抽出，因此电子系统的密度矩阵和自能不再是平衡态下的对角化态。
非平衡格林函数方法通过求解非平衡态下的格林函数，可以得到体系的电子密度矩阵和自能，从而研究体系的输运性质。
非平衡格林函数方法可以用于研究各种体系的输运性质，如半导体器件、分子器件、纳米结构等。
该方法的优点在于可以考虑电子-电子相互作用和电子-声子相互作用等非平衡效应，可以得到更为准确的结果。
非平衡格林函数方法的实现需要使用一系列数学工具，如Keldysh路径积分、费曼图等。
这些工具的使用使得非平衡格林函数方法的计算复杂度较高，但是在研究非平衡态下的电子输运性质时，该方法是一种非常有效的计算工具。
总之，非平衡格林函数方法是一种重要的量子力学计算方法，可以用
于研究非平衡态下的电子结构和输运性质。
在未来的研究中，非平衡格林函数方法将继续发挥重要作用，推动纳米电子学、分子电子学等领域的发展。
(10)第七章 非平衡态气体运动的初级理论(讲义)
于研究气体的性质和规律特别重要的是每个分子平均在单位时间内与其它分子相碰的次数。这 个量称为分子的平均碰撞频率。以 Z 表示。
A molecule moving through a gas collides with other molecules in a random fashion. This behavior is sometimes referred to as a random walk process. The mean free path increases per unit volume decreases. Note that the motion is not limited to the plane of the paper.
值：
∫ Z (v) f (v)dv
Z=
∫ f (v)dv
其中， λ = m ，令 2kT
∫ ∫ Z(v, v1) f (v) f (v1)dvdv1
=
∫ ∫ f (v) f (v1)dvdv1
∫ ∫ nσ
| v − v1 | e−λ(v2+v12 )dvdv1
=
∫ ∫ e−λ(v2+v12 )dvdv1
=
6.9 ×10−8
m
7．2 粘滞性 7．2．1 粘滞现象的宏观规律
在力学中曾讨论过流体的粘滞现象。当流体各层流速不同时，任意相邻两层流体之间将产 生相互作用力。力的作用结果，总是使流速小的那一层流体加速，使流速较大的那一层流体减 速。这种现象称为粘滞（viscosity）现象，其相互作用力称为粘滞力。
[1]。所不同的是，在平衡态时，分布函数有麦克斯韦分布形式，它不随位置和时间变化，而在 非平衡态时，分布函数不只是速度，而且是位置和时间的函数。一旦找出了分布函数，一切问 题就好解决了。
热学第三章输运～1
f = 6πηvR
——斯托克斯公式 斯托克斯公式
R ~ 106 m,vmax ~ 104 m s1
解释云雾的形成: 2 ρgR 2 解释云雾的形成: v max = 9η 七,非牛顿流体
1,其速度梯度与互相垂直的粘性力间不呈线性 , 函数关系,如血液,泥浆,橡胶等. 函数关系,如血液,泥浆,橡胶等. 2,其粘性系数会随着时间而变的,如:油漆等 ,其粘性系数会随着时间而变的, 凝胶物质. 凝胶物质. 3,对形变具有部分弹性恢复作用,如沥青等 ,对形变具有部分弹性恢复作用, 粘弹性物质. 粘弹性物质.
y粘滞力: 粘滞力: 源自 AB = f BA二,牛顿粘性定律 1,实验表明: ,实验表明:
A
B
ds
x
z0
f BA
→u y
o
du f = η ds dz z 0
形式一
x 4-3
η
——粘度(粘性系数) 粘度(粘性系数) 粘度
单位是Pas 单位是
说明: )定律对气体和液体都是适用的. 说明: 1)定律对气体和液体都是适用的. 2)η与流体的性质及温度,压强有关 ) 与流体的性质及温度 与流体的性质及温度, 气体的黏度随温度升高而增加, 气体的黏度随温度升高而增加, 液体的黏度随温度升高而减少. 液体的黏度随温度升高而减少. 2,从效果看: ,从效果看: 设在dt 时间内,通过ds截面 截面, 轴定向输运的动量: 设在 时间内,通过 截面,沿z轴定向输运的动量:dp 若规定沿z轴正方向传递的动量 若规定沿 轴正方向传递的动量dp>0,则 轴正方向传递的动量 ,
压强均匀且温度稳定分布的一维热传导) 二,傅立叶定律 (压强均匀且温度稳定分布的一维热传导) 设等温面是x-y平面,若在稳态情况下,温度 仅是 的函数, 仅是z的函数 设等温面是 平面,若在稳态情况下,温度T仅是 的函数, 平面 且温度沿Z轴正方向逐渐加大, 处取一截面A, A,则单 且温度沿Z轴正方向逐渐加大, z=z0 处取一截面A,则单 T 位时间内通过该截面A的热量Q 位时间内通过该截面A的热量Q与温度梯度 z Z 及截面的面积A成正比: 及截面的面积A成正比: z T2 (< T ) 1 B
输运现象的两种理论
输运现象的两种理论研究输运现象有两种理论：①唯象理论它是以统计⼒学为基础的，称为不可逆过程热⼒学。
这种理论仅适⽤于对热⼒学平衡状态只有较⼩偏离的体系。
这时“流”和“⼒”呈线性关系。
L.昂萨格根据统计⼒学证明,如果适当选择“流”和“⼒”，则联系“流”和“⼒”的唯象系数矩阵是对称矩阵，这就是昂萨格对易关系。
它表明,只有⼀半交扰效应的系数须⽤理论或实验决定，其他⼀半则可以从对易关系推出。
②⾮平衡统计理论这是研究输运现象最有效和最基本的理论，其核⼼是建⽴并求解适当的动⼒论⽅程，得出粒⼦分布函数及其随时间、空间的变化规律以及各输运系数的微观参量形式的表达式，从⽽计算出各种输运系数。
建⽴动⼒论⽅程，通常采⽤两种途径：分⼦运动论和系综⽅法（即分布函数理论）。
分⼦运动论从粒⼦间相互作⽤模型出发，当粒⼦在空间中运动时,它的代表点就在相空间运动。
因此,研究⼀个体系随时间的变化只须研究粒⼦代表点在相空间的运动。
对于各种具体问题，需要建⽴不同形式的动⼒论⽅程。
各种形式动⼒论⽅程的主要差别就在于碰撞项的不同，⽅程的有效性和局限性也体现在碰撞项上。
L.E.玻⽿兹曼第⼀个从数学上⽤严格的分⼦运动理论来研究动⼒论⽅程。
他假定：碰撞的相互作⽤长度远⼩于分布函数发⽣明显变化的长度；碰撞的持续时间远⼩于分布函数发⽣明显变化的时间;所有的碰撞都是⼆体碰撞;参与碰撞的粒⼦除在碰撞时刻以外都是互不相关的。
由此导出玻⽿兹曼碰撞项，其相应的动⼒论⽅程称为玻⽿兹曼⽅程，它只适⽤于所假定的那种特殊碰撞机制的⽓体，主要是稀薄的中性理想⽓体。
对于完全电离的⽓体，由于温度很⾼，且库仑碰撞截⾯随粒⼦相对速度增⼤⽽迅速减⼩,因此,动⼒论⽅程中的“碰撞项”与“流动项”相⽐可忽略不计，相应的动⼒论⽅程称为符拉索夫⽅程，⼜称⽆碰撞玻⽿兹曼⽅程。
对于部分电离⽓体，带电粒⼦间的远程碰撞将起重要作⽤，此时必须采⽤朗道⽅程或福克-普朗克⽅程。
⽤粒⼦分布函数描写电离⽓体是最细致的⼀种⽅式，但实际上并不⼀定要求细致到这种程度。
非平衡格林函数
非平衡格林函数非平衡格林函数（Non-equilibriumGreen'sfunctions,NEGF）是描述非平衡态下系统行为的重要工具。
它是格林函数的一种推广，广泛应用于凝聚态物理、纳米电子学、光电子学等领域。
本文将从NEGF 的基本概念、历史发展、理论框架、应用研究等方面进行介绍和分析。
一、基本概念NEGF是一种描述量子系统非平衡态下的行为的理论工具。
它是格林函数理论的一种推广，用于描述系统中的电荷、能量、自旋等自由度在时间和空间上的演化。
NEGF理论可以用来计算非平衡态下的输运性质，如电导率、热导率等，也可以用于描述非平衡态下的光学性质，如吸收谱、发射谱等。
NEGF理论的核心是非平衡态下的格林函数。
格林函数是描述量子系统中的相互作用效应的数学工具，它反映了系统中某个自由度的激发情况对其他自由度的影响。
在平衡态下，格林函数可以用来描述系统的激发态密度、热力学性质等。
在非平衡态下，格林函数则可以用来描述系统中的输运性质。
二、历史发展NEGF理论的历史可以追溯到20世纪50年代。
当时，人们开始研究电子在晶体中的输运性质，发现传统的电子输运理论无法解释一些实验现象，如局域化、能级移动等。
为了解决这些问题，人们开始研究非平衡态下的电子输运理论。
1960年代初，Kadanoff和Baym等人提出了非平衡态下的格林函数理论，为后来的NEGF理论的发展奠定了基础。
NEGF理论在20世纪80年代得到了快速发展。
当时，人们开始研究纳米电子学、光电子学等领域，需要描述非平衡态下的输运性质。
NEGF理论的优越性质得到了广泛认可，并被应用于多个领域。
目前，NEGF理论已经成为描述非平衡态下的量子系统行为的重要工具。
三、理论框架NEGF理论的核心是非平衡态下的格林函数。
在NEGF理论中，系统的哈密顿量可以表示为H=H0+V其中H0是自由哈密顿量，V是相互作用哈密顿量。
系统的演化可以用密度矩阵来描述。
在NEGF理论中，密度矩阵可以表示为ρ(t)=ρ0+δρ(t)其中ρ0是平衡态下的密度矩阵，δρ(t)是非平衡态下的扰动。
5非平衡格林函数的定义即公式
第十九章 非平衡态的格林函数§19.1 定义与性质非平衡的各个格林函数的定义[1, 2]与§9.1节中在形式上完全一样.只是为了简省起见与为了便于统一构造图形,将记号稍作改变.12C H1H2i (G T A B −−=〈〉))〉〉 (19.1.1) 12C H1H2i (G T A B ++=〈〉 (19.1.2) 1212H1H 2i i (,)G g x x A B +−>==〈 (19.1.3) 1212H2H1i i (,)G g x x B A η−+<==−〈 (19.1.4) R R 121212H1H 2i i (,)()[,]G g x x t t A B ηθ−==−〈〉 (19.1.5)A A 121221H1H2i i (,)()[,]G g x x t t AB ηθ−==−−〈〉 (19.1.6)其中T C 是复编时算符，其物理意义与第九章中的编时算符T t 稍有不同，但总的原则是一样的，即总是将较早的时间排列在右边. i C T 是反复偏时算符.它的作用正好和T t 相反:总是将较早的时间排列在左边. 这两个算符的确切含义在后面再进一步介绍.为简洁计,以下标1,2代表宗量x 1=(x 1,t 1), x 2=(x 2,t 2).有必要的话还自动包括自旋分量,如x 1=(x 1t 1σ1).其中i G 12++这个函数是在这儿新定义的.其实在第九章中,在处理平衡态时,也可定义这个格林函数,只是没有利用到它,所以就不写了.对于格林函数gg g ><=− ,以后不用,所以此处也没有写出来.上述格林函数的定义式中，除了两个编时算符，其它符号及其物理含义与§9.1节都相同.这些格林函数也都适用于各种系统,只有对于玻色系统在发生凝聚的范围内不适用.唯一的不同之处是:现在的求平均〈…〉是对系统中所有的态求平均,包括各种非平衡态.而第九章中的格林函数则只对巨正则系综的所有平衡态求平均.由于这一规定,处理方法就不完全相同了.计算的结果也就会有不同.例如对于无相互作用系统,0a a n +〈〉=k k k (19.1.7)其中n k 是非平衡态的分布函数而不是平衡态时的费米分布或者玻色分布f −η(εk )=1/[exp(βεk )－η]了.这儿仍用下标0表示无相互作用系统.许多情况下,只处理与平衡态不远的情况,称近平衡系统或准平衡系统.当A 和B 分别是费米子(玻色子)的湮灭和产生算符，则以下两个公式与第九章中的完全相同.(19.1.4)式在t 1= t 2= t 时为单粒子密度矩阵.1212i (,)(,,G t t N t ηρ−+=x x x x ) (19.1.8)这儿t 2从哪一侧趋于t 1是无所谓的,因为G −+在t 2= t 1时是连续的.在t 1= t 2时还有121212i[(,)(,)]()G t t G t t δ+−−+−=x x x x x x − (19.1.9)由于定义式(19.1.1，3−6)和(9.1.1−5)相同，所以(9.1.14−19)式中凡是不涉及G ++的关系式都仍然成立.我们重写如下.1212122112()()G t t G t t G θθ−−+−−+=−+− (19.1.10) R 121212121212()()G t t G G G G θ+−−+−−−=−−=−+G *(19.1.11a) A 122112121212()()G t t G G G θ+−−+−−+−=−−−=− (19.1.11b) R A 12121212G G G G +−−+−=− (19.1.12) 涉及G ++后有以下关系.,−++−++−−+=+G G G G (19.1.13)此式说明，这四个格林函数中，只有三个是独立的.此式与(19.1.10−12)结合得到(19.1.14a) 1221121212()()G t t G t t G θθ+++−−+=−+−R G G G G G −−−++−++=−=− (19.1.14b) A G G G G G −−+−−+++=−=− (19.1.14c)以下我们都设A 和B 是一对湮灭和产生算符.由各格林函数的定义式还可得到以下的共轭或者反共轭的关系.推迟与超前格林函数互为共轭:A R 1221G G = (19.1.15) 函数G −−和G ++之间是互为反厄米共轭的:*1221G G −−++=− (19.1.16) 函数G −+和G +−本身是反共轭的:12211221,G G G G −+−+∗+−+−∗=−=− (19.1.17) 在上面取共轭时,不能忘记宗量的交换.对于均匀空间内的稳态,所有函数只依赖于差值t = t 1−t 2, x = x 1−x 2.可对这些量作傅立叶展开.傅立叶分量之间有关系:(,)[(,)]G G ωω−−++∗=−k k ，A R (,)[(,)]G G ωω∗=k k (19.1.18) 又从(19.1.17)得:*(,)[(,)]G G ωω+−+−=−k k ，(,)[(,)]G G ωω−+−+∗=−k k (19.1.19) 说明G +−(k , ω)和G −+(k , ω)是纯虚数.对于无相互作用系统的格林函数，已在§9.4节中求出,只要记住其中的n k 不是平衡分布即可.计算热力学量仍用第九章的公式.§19.3 正规自能与戴森方程(0)(0)*(0)*12121443321443321[G G G G G G ΣΣ−−−−−−−−−−−++−−−=++∫=(0)*(0)*4414433214433234]d d G G G G x ΣΣ−−−++−−++++−++x (19.3.1)类似地写出另外三个格林函数的戴森方程表达式.这四个方程可以压缩地写成矩阵形式.(0)(0)*441212144332341d d G G G G x x Σ=+∫=(19.3.2) 其中*****,G G G G G ΣΣΣΣΣ−−−+−−−++−+++−++⎛⎞⎛==⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎞⎟⎠(19.3.3) 用矩阵相乘的方法展开,就得到(19.3.1)与另外三个方程.有一点必须强调,由于(19.1.13)的线性关系的存在,(19.3.2)中只有三个方程是独立的.为了把这一点明显地表现出来,我们用下面的方法对矩阵G 作线性变换,利用(19.1.13)将其中的一个矩阵元化为零.所采用的线性变换为1g G R GR −= (19.3.8) 其中1111R ⎞=⎟−⎠，11111R −−⎞=⎠⎟ (19.3.9)是幺正矩阵.容易算出,变换的结果为A g R12G G G G G G G G G G G G G G G G G G G F −−+−−+++−−+−−+++−−+−−+++−−+−−+++⎛⎞−−+−+−==⎜⎟+−−+++⎝⎠⎛⎞⎜⎟⎝⎠(19.3.10) 其中用到了(19.1.13、14)并定义了F 函数:(19.3.11) F G G G G ++−−+−−+=+=+这时方程(19.3.2)的形式不变.由于四个格林函数之间有线性关系(19.1.13),因此四个正规自能也不是完全独立的,应该有一个线性关系.现在来找出这个关系.明确写出(19.3.6)的矩阵形式:101**413133232123**131332321010()d 0101G G G G G G G x x x GG ΣΣδΣΣ−−−+−+−++−−−+−−−++−+++−++⎛⎞⎜⎟⎝⎠⎛⎞⎛⎛⎞⎛⎞=−+⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝∫⎞⎟⎠)0 (19.3.12)由(19.1.13),必有G −101(G −−+G ++−G −+−G +−)=0.将(19.3.12)左边的四个矩阵元相加,得到右边被积函数中四个矩阵元相加应该为零.推得结果为****131313133232()(G G ΣΣΣΣ−−−++−++−−−++++−=得到正规自能之间的线性关系为****0ΣΣΣΣ−−−++−+++++= (19.3.13) 注意它与(19.1.13)式符号上的差别.正规自能矩阵的变换结果就成为(19.3.14) R *1*gA0R R ΩΣΣΣΣ−⎛⎞==⎜⎝⎠⎟其中定义了****()ΩΣΣΣΣ−−++−++−=+=−+,R **ΣΣΣ−−+++A **, =ΣΣΣ−++−=+⎞⎟⎠d d (19.3.15)它们与(19.1.14)式有区别.把(19.3.2)式经变换后得到的方程写出来RA A(0)A(0)A4443433212131434A R R (0)R (0)(0)R(0)4332321212121214140000d d 0G G G G x x G F G F G F G F ΩΣΣ⎛⎞⎛⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝∫ (19.3.16)其中G A 矩阵元满足的方程为(19.3.17)A (0)A (0)A A A 44121214433234d d G G G G x x Σ=+∫也可写出G R 矩阵元满足的方程,不过利用(19.1.13)可以发现,它并不比(19.3.17)给出更新的物理内容.G (0)R 和G (0)A 与无相互作用系统的分布函数无关,这可参看(9.4.17)式.因此方程(19.3.17)不依赖于无相互作用系统的分布函数.最后,F 所满足的方程为(0)(0)R A (0)A A (0)R R44121214433214433214433234()F F G G F G G F x x ΩΣΣ=+++∫ (19.3.18)图19.10 复时间回路.§19.4 Lengreth 定理我们现在要再进一步说明复编时算符T C 的含义.前面讲的编时的顺序是，时间上先从−∞演化到+∞,再从+∞演化到−∞,这样才能准确地回到原来的状态.为了明确区分这两步的演化，做如下的规定.从−∞时间演化到+∞时，时间有一正的小虚部，记为t +.称作正向路径(上岸).从+∞演化到−∞时，时间有一负的小虚部，记为t −.称作逆向路径(下岸).见图19.10.正是由于时间是一复数，所以把T C 称为复编时算符.时间回路就是复回路. (19.1.1−6)式中的时间都有一小的虚部，也就都称为复编时格林函数.当t 2在复回路上位于t 1之后，A 和B 就交换次序并加一负号，否则不变.下岸的时间总是晚于上岸的时间. 我们再把(19.1.1−4)中的时间表明如下.1212(,)G G t t −−−−++= (19.4.1)1212(,)G G t t ++++−−= (19.4.2) 1212(,)(,)G t t G t t +−+−−+= (19.4.3) 1212(,)(,)G t t G t t −+−++−= (19.4.4)因果格林函数(19.1.1)式中两个时间都在正向路径上，说明这是一个正编时的效果.(19.1.2)式中两个时间都在逆向路径上，说明这是一个反编时的效果.大于和小于格林函数G <和G >(关联函数)的时间总是分别在上下岸.推迟和超前格林函数的形式不变，因为有阶跃函数决定了时间的顺序.不管时间是在正向还是逆向路径上.松原函数中由于没有时间的概念，所以无法定义非平衡态的松原函数.规定了复时间路径之后，六个格林函数之间仍然存在(19.1.10−14)这些关系. 非平衡统计的微扰论必须建立在复编时格林函数上，而可观察量则与实时格林函数相联系.连接二者的桥梁是Lengreth 定理[4].如果复编时格林函数满足1212C(,)d (,)(,)C t t tA t t B t t =∫ (19.4.5)积分路径是图19.11，那么有R 121212(,)d [(,)(,)(,)(,)]C t t t A t t B t t A t t B t t +∞<<<−∞=+∫A A R A A A R A (19.4.6)R 121212(,)d [(,)(,)(,)(,)]C t t t A t t B t t A t t B t t +∞>>>−∞=+∫ (19.4.7)R R 1212(,)d (,)(,)C t t tA t t B t t +∞−∞=∫ (19.4.8)AA 1212(,)d (,)(,)C t t tA t tB t t +∞−∞=∫ (19.4.9)注意，此四式右边的积分路径已经不是闭合回路.以上四式常简记为如下的形式. (19.4.10)R ()AB A B A B <<<=+R ()AB A B A B >>>=+ (19.4.11) R R ()AB A B = (19.4.12) A A ()AB A B = (19.4.13)图19.11 (19.4.5)式右边的积分路径.图19.12 把图19.11中的积分路径加以简化，上下岸在时间t >max(t 1,t 2)的路径上的积分相互抵消.图19.13 把图19.12中的路径再加以变形.我们来证明(19.4.6)式.由于大于t 2的时间的路径上的积分抵消.先把图19.11的积分路径(,)(,)A t t B t t <+−(19.4.14)第一项变为图19.12的路径.再进一步变形为图19.13的路径.(,)d (,)(,)d (,)(,)d C t t tA t t B t t tA t t B t t t <+−+<−==+∫∫∫1212121212CC C 2(,)B t t <−中积分的时间t 总是超前于2t −，所以标记为2(,)B t t <−.同理，在第二项中则应标记为1(,)A t t <+.(19.4.14)第一项的积分为2− (19.4.15a) 其中第一项111112C 1212112111112R 1d (,)(,)d (,)(,)d (,)(,)d ()(,)(,)d (,)(,)d [()(,)()(,)](,)d (t t t tA t t B t t tA t t B t t tA t t B t t t t t A t t B t t tA t t B t t t t t A t t t t A t t B t t tA t θθθ+−−∞>+<−<+<−−∞+∞+>+<−<+<−∞−∞+∞+>++<+<−−∞+∞−∞=+=−−=−−−=∫∫∫∫∫∫∫2,)(,)t B t t +<−1(,)A t t +中积分的时间t 总是超前于1t +，所以标记为1(,)A t t >+；同理.在第二项中则应标记为1(,)A t t <+.1第二项将积分的上下限换位后，如果要将上限扩展为无穷大，需要加入一个因子()t t θ+−.最后一步则使用了(19.1.11a)式.现在看(19.4.14)式的第二项.222212C 12121221212212d (,)(,)d (,)(,)d (,)(,)d (,)()(,)d (,)(,)d (,)()(,)d (,)()(,t t t tA t t B t t tA t t B t t tA t t B t t tA t t t t B t t tA t t B t t tA t t t t B t t tA t t t t B t t θθθ<+−−∞<+<−<+>−−∞∞<+−<−<+>−−∞−∞∞∞<+−<−<+−>−−∞−∞=+=−−=−−−=∫∫∫∫∫∫∫A 12d (,)(,)tA t t B t t +∞<+−−∞∫2) (19.4.15b)把(19.4.15a ，b)两式代入(19.4.14)，则(19.4.6)式得证.复编时格林函数满足戴森方程.121212133442(,)(,)d d (,)(,)(,)CG t t g t t t t g t t t t G t t Σ=+∫ (19.4.16)此式简记为G g g G Σ=+ (19.4.17)由此式出发，利用Lengreth 定理，可得到以下的实时格林函数满足的方程. (19.4.18) R R R R G g g G Σ=+R A G <G >ΣG ==Σ (19.4.19)A A A A G g g G Σ=+R R A A R A RR 1A 1ARA(1)(1)()()G G g G G G g g g G G GΣΣΣΣ<<−<−<=+++=+ (19.4.20)R R A A R A (1)(1)G G g G G ΣΣΣ>>=+++ (19.4.21) 式(19.4.18−21)这一组方程完备地描述了非平衡动力学的一般性质.但是由于式(19.1.12)，其中只有三个方程是独立的. (19.4.20)被称为Keldish 方程.我们来证明(19.4.20)式：从(19.4.17)得R R R A A A G g g G g G g G ΣΣΣ<<<<<=+++ (19.4.22) 所以：R R A A R A (1)(1)g G g G g G ΣΣ<<<−=++ (19.4.23) 从(19.4.18)式得R R 1R R (1)g g Σ−− (19.4.24) 又R R R R R R R R R R (1)(1)1()1g G G g g G ΣΣΣΣ−+=+−− (19.4.25) 所以R R 1R R (1)1g G Σ−−=+ (19.4.26) 把(19.4.24，26)代入(19.4.23)即得(19.4.20)的第一个等式.第二个等式的证明用到(19.4.19)和(19.4.24)式.下面定义的两个乘积不含积分.(19.4.27)121212(,)(,)(,)C t t A t t B t t =121221(,)(,)(,)D t t A t t B t t = (19.4.28) 可以证明以下关系式.121212(,)(,)(,)C t t A t t B t t <<<= (19.4.29) 121221(,)(,)(,)D t t A t t B t t <<>= (19.4.30) R R R R 12121212121212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)C t t A t t B t t A t t B t t A t t B t t <<=++R (19.4.31)R R A 1212211221AR12211221(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)D t t A t t B t t A t t B t t A t t B t t A t t B t t <<<<=+=+ (19.4.32)最后，再证明一个有用的关系式.[5](19.4.33) R A R R A ()G G G G ΣΣ−=−A H 根据戴森方程(10.4.10)式或者(19.3.17)式，R,A 101R,A ()()G G Σ−−=−注意，现在，其推迟和超前函数只差一个无穷小的虚部，并且只在分子上，所以完全可以忽略这个无穷小的虚部.010()G E −=−A 1R 1R A ()()G G ΣΣ−−−=−两边同时左乘G R 和右乘G A ，即得(19.4.33)式.当一个系统处于平衡态时，小于格林函数可以用推迟和超前格林函数来表示，见(9.2.55)、(9.2.50)和(19.1.12)式A R (,)[(,)(,)]()g g g f ηωηωω<−=−−k k k =ω (19.4.34)。
热学第3章_输运理论和分子动理论的非平衡态理论资料
• 气体：0.006—0.4w/(m.k)
二. 热传导的微观机理
热传导是由于分子热运动强弱程度（即温度）不同所 产生的能量传递。 （ 1）气体：当存在温度梯度时，作杂乱无章运动的气体分 子，在空间交换分子对的同时交换了具有不同热运动平均能 量的分子，因而发生能量的迁移。 气体内的热传导过程是分子热运动平均动能输运的宏观表现。 （2）固体和液体 其分子的热运动形式为振动。 温度高处分子热运动能量较 大，因而振动的振幅大；温度低处分子振动的振幅小。 热运动能
2 ( d1 d 2 ) 4
(2) 对刚性分子碰撞截面可形像化地比喻为古代战争用的盾牌.
二、分子间平均碰撞频率
平均碰撞频率------单位时间内一个分子平均碰撞的次数 讨论碰撞截面时假定视作盾牌的被碰撞的A分子静止，视作 质点的B分子相对A运动，去碰撞A。现在反过来，认为所有其 它分子都静止，而 A 分子相对于其它分子运动，显然 A 分子的 碰撞截面这一概念仍适用. 这时A分子可视为截面积为σ 的一个圆盘，圆盘沿圆盘中心 轴方向以速率v12 运动.
§3.1 黏性现象的宏观规律
§3.2 扩散现象的宏观规律
§3.3 热传导现象的宏观规律
§3.4 气体分子平均自由程
§3.5 气体输运系数的导出
§ 3.1
黏性现象的宏观规律
一. 层流（laminal flow）
直圆管中流体的流线图
层流 在流动过程中，相邻质点的轨迹线彼此仅稍有差别， 不同流体质点的轨迹线不相互混杂，这样的流动称为层流。
z
u0 F
df '
df
u( z)
一种含时量子输运的理论和应用
物理学进展 PROGRESS IN PHYSICS
一种含时量子输运的理论和应用
程 霄，谢 航 ∗
重庆大学物理学院，重庆，401331
摘要: 含时量子输运研究的是开放体系中的电子波的演化问题。这类问题，由于电极耗散等外界 环境的影响，中心体系内的电子运动受外场驱动时，其运动状况不光取决于当下时刻，还和过去 一段时刻的历史状况求和相关。这是一种非马尔科夫过程，数学上也比较难以求解。
131
C. 量子自旋霍尔绝缘体中的瞬态自旋极体系的含时输运 [31, 44]
132
致谢
134
参考文献
134
含时量子输运理论是量子输运领域的一个比较复 杂的问题。输运问题研究开放体系，受到周围环境 中无限多个电子的影响，体系的态密度不同于孤立 系统，呈现为连续的曲线。在单电子近似下，量子体 系是多个单电子态从最低能到费米面附近能态的线性 叠加而成。每个电子态遵循薛定谔方程；整个体系各
I. 理论部分
A. 量子输运简介
Received date: 2019-07-24 *E-mail: xiehangphy@
纳米器件因为其广阔的应用前景，一直以来都是 研究的热点，对其输运性质（器件对电压的响应）的 研究是其中很重要的一个方面。纳米器件中的量子输
文章编号: 1000-0542(2019)04-0119-18
本文以作者比较熟悉的运动方程方法为主，介绍 含时量子输运的基本理论。其中包括格林函数基础， 非平衡格林函数理论，电流计算公式和单粒子表象下 的密度矩阵运动方程方法和复数吸收势方法。对于其 他一些的含时输运方法，如级联运动方程 (HEOM)， 波函数演化等方法，我们也有提及。最后我们介绍含 时输运的一些有趣的推广和应用，如次近邻近似下的 非对称瞬态电流，石墨烯纳米带中的瞬态电流，含自 旋和多体效应的电子动力学演化等。
格林函数与输运
格林函数与输运《多粒子物理学》读书报告：格林函数与输运内容提要：1概述；2单粒子性质的格林函数表述；3用格林函数推导迁移率中1-α项1概述 1． 1金属中电子输运特性对于金属*m e τμ-=， μσ0en -=，τ是输运驰豫时间，它的物理意义是处在某动量本征态的电子的平均寿命，即0=t 时一个处于某动量本征态的电子在τ=t 时完全失去了对其原有动量的记忆。
输运驰豫时间包括各种相互作用的贡献主要有杂质散射﹑电子-声子相互作用﹑电子-电子相互作用等等：∑=--ii 11ττ即输运驰豫时间由各种机构中i τ最小的决定。
绝对零度时，纯金属晶体中电子不受散射，具有无穷大电导。
T >0时实际金属的电阻是由电子受到杂质和晶格振动的散射引起的。
在室温时，典型金属的电阻率约为10-8Ω.m ，随着温度降低到室温以下，电阻近似线性地减小（图1,see, p.131 in Ref.[1]），在低温时水平地达到一定值。
低温时的电阻率与试样的纯度密切相关，对于高纯度的退火单晶体，约可以达到室温电阻率的10-4倍。
不纯试样中的附加电阻在整个温度范围内近似地与温度无关。
这个事实叫做马赛厄司定则（Mathiessen rule ，又翻译为马提生定则（1862））。
这个附加电阻是由于杂质引起的电子散射，在低温下它构成电阻的主要部分。
杂质散射电阻与温度无关的事实暗示出可动电子的浓度与温度无关，这与半导体中电子浓度与温度呈指数函数关系大不一样。
声子散射电阻依赖于温度，在高温时可变得很大。
这两部分电阻具有可加性，因此可分别处理。
上述金属中的杂质不含磁性杂质。
磁性杂质的散射将导致低温下电阻值的对数上升，称为近藤(Kondo)效应。
1． 2半导体输运特性半导体中的散射仍可分为电离杂质和晶格振动的散射两大类。
晶格振动的散射又分为声学波和光学波散射两种。
声学波通过两种方式散射电子：引起密度变化从而产生形变势（声学声子形变势散射）；在没有反演中心的极性晶体中引起压电极化（压电散射,长声学波明显）。
第三章 输运现象与分子动理学理论的非平衡态理论 3PPT课件
在碰撞的不断作用下，气体分子只能沿着迂 回曲折的路径行进。
每一次入射分子运动方向的改变，都 意味着入射分子与其它分子发生了碰撞。
分子运动状态发生变化，必是受到了 外力作用。
整体概况
概况一
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01
概况二
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02
概况三
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03
•B
2. 碰撞的定义： 当气体分子在运动过程中彼此接近时，由于分子间的相互作
为了使初始动能大的分子A与分子B发生碰撞，必须取较小的d 值， 也就是必须有较小的碰撞截面。 ④ 碰撞截面 与气体温度有关： 温度升高则碰撞截面减小
§3.5.2 分子间平均碰撞频率 §3.5.4 气体分子平均自由程
分子在连续两次碰撞之间所走过的路程称为自由程 ；
分子在单位时间内与其他分子碰撞的次数称为碰撞频率 Z。 任一分子在任意两次碰撞中所走过的路程和所需的时间具有 极大的偶然性。
1. 分子有效直径d：
⑴ 对心碰撞时： 分子有效直径指在碰撞过程中两分子质心间最近距离的平均值。
a）若将分子视为刚球，则刚球直径即为分子的有效直径。
b) 若两个有效直径分别为d1、d2的不同的刚球形分子相碰，
则碰撞中的有效直径为：
1 2
(d1
d2)
⑵ 非对心碰撞时：
设一束视为质点的A分子平行射
向一静止B分子，B分子质心为O。
vΔ t
内与分子A相碰。
即：在∆t 时间间隔内，所有质心处在体积为
( v Δt)的柱体范围内的分子都与A相碰。
d
实际上这个圆柱体是一个曲折的圆柱体。 A
设被A碰撞的分子的数密度为n，
则∆t 时间与A相碰的平均分子数为： NnVnvΔt
量子输运格林函数方法
0
0
间趋于 +∞ 时，系统仍然回到初始时刻的基态，而且只相差一个相位，用公式可
以表示为[1]
∞ = S (+∞, −∞) = eiL
0
0
（2.1）
图 2.1 Contour C
在非平衡状态下，系统并不能保证其基态 在经过 S (+∞, −∞) 作用后不变。 0
人们通过将时间轴扩展到复平面上（如图 2.1 所示），引入了时间回路的概念。这 样系统就可以从 t0 = −∞ 出发沿着 t 轴演化到 t1' = +∞ （上支），然后从 t1' = +∞ 沿着 t 轴演化回到 t0 = −∞ （下支）。这样系统通过时间演化又回到了最初的基态，与平 衡态很类似，所以在这种情形下，在平衡态格林函数基础上发展起来的各种理论 仍然可以方便的使用。此时， S 算符的形式变为 SC = S (−∞, +∞)S (+∞, −∞) 。引入 回路 C 上的非平衡格林函数[2]：
t2
图 2.3 图 2.2 中的回路 C 变形为两个时间回路
其中回路 C1 在时间轴上支，回路 C2 在时间轴的下支。则式子（2.4）变为
∫ C(t1, t2 ) = dtA(t1, t)B(t, t2 ) C
∫ ∫ = dt[ A(t1+ , t)B< (t, t2− ) + dtA< (t1+ , t)B(t, t2− )]
Meir和Wingreen推导出了相互作用区域与理想电极相连时的电流公式 [6,7]。随 后人们沿着Meir的思路和步骤对电流公式进行了推广。孙庆丰等人给出了量子点 多电极（可以是正常电极也可以是超导电极）体系的电流表达式[8]。最近，李 保文等人将非平衡格林函数推广到铁磁电极-正常金属-超导电极构成的异质结 中，并且得到了Landauer-Büttiker型的电流普遍公式[9]。利用他们得出的这个公 式，我们可以用同一套理论来研究自旋相关的电流和Andreev反射电流等输运问
量子输运格林函数方法
G−+ ≡ G> (t1,t2 ) = i cλ (t1)cλ† (t2 )
常用到的实时格林函数还有推迟格林函数 Gr 和超前格林函数 Ga Gr (t1,t2 ) = −iθ (t1 − t2 ) [cλ (t1), cλ† (t2 )]±
Ga (t1,t2 ) = iθ (t1 − t2 ) [cλ (t1), cλ† (t2 )]± 以上定义的六个格林函数之间满足以下的几个关系式
是可以严格求解得到的。
0
{ } 引入 S 矩阵的定义 S = Tˆ
∫ exp ⎡⎣−i
H +∞ '
−∞
I
(
t
)
dt
⎤ ⎦
，在相互作用绘景中 t 时刻的态就可
以表示为 t = S(t, 0) 0 。那么在 0 时刻哈密顿 H 对应的基态 0 就可以表示成基 I
态 的时间演化，即 0 = S(0, −∞) 。平衡态理论中的一个重要假设是：当时
2.1.1 非平衡格林函数的定义
非平衡格林函数是一种处理非平衡问题的有效方法，它是由平衡态格林函数
推广得到的。首先我们先简单介绍下平衡态理论。平衡态理论中所用到的时间是
定义在实时间轴上的。若系统的哈密顿量可以写为 H = H0 + H ' ，其中 H ' 是相互作
用部分，可以看成是微扰。在薛定谔绘景中 H 0 的基态
Gr − Ga = G> − G< ， G++ + G−− = G> + G<
( ) ( ) ( ) ( ) ⎡⎣Gr(a) t1, t2 ⎤⎦+ = Ga(r) t2 , t1 ， ⎡⎣G<(>) t1, t2 ⎤⎦+ = −G<(>) t2 , t1 （2.3）
非平衡格林函数和介观输运理论2
3）、Kondo效应：W.G. van der Wiel, et.al. Science 289, 2105 (2000)非平衡格林函数和介观输运理论一、Green函数的定义和一些基本关系：二、关于Green函数的三个主要方程：三、电流与Green函数的关系：四、几个用Green函数计算电流的例子：参考书：1、H. Haug, A.-P. Jauho, Quantum Kinetics intransport and optics of semiconductors,Springer-Werlag, 19982、G.D. Mahan, Many-Particle Physics.非平衡格林函数和介观输运理论一、Green函数的定义和一些基本关系：二、关于Green函数的三个主要方程：三、电流与Green函数的关系：四、几个用Green函数计算电流的例子：参考书：1、H. Haug, A.-P. Jauho, Quantum Kinetics intransport and optics of semiconductors,Springer-Werlag, 19982、G.D. Mahan, Many-Particle Physics.二、关于Green 函数的三个主要方程：1、运动方程；2、Dyson 方程；1)、把H 分成：2)、从海森伯表象－>相互作用表象；3)、wick 定理展开，费马图表示；4)、连接图与非连接图可约自能与不可约自能；5)、得到Dyson 方程3、Keldysh 方程；0IH H H =+非平衡格林函数和介观输运理论一、Green函数的定义和一些基本关系：二、关于Green函数的三个主要方程：三、电流与Green函数的关系：参考文献：1、Y. Meir, N.S. Wingreen, Phys.Rev.Lett.68,2512(1992).2、A.-P. Jauho, N.S. Wingreen, Y. Meir,Phys.Rev.B 50,5528 (1994).四、几个用Green函数计算电流的例子：非平衡格林函数和介观输运理论一、Green函数的定义和一些基本关系：二、关于Green函数的三个主要方程：三、电流与Green函数的关系：四、几个用Green函数计算电流的例子：Thank You!。