超越考研《无穷级数》练习题参考答案

无穷级数

P127-练习1 判别下列级数的敛散性：

1．

31

2

ln n n n

∞

=∑

；

【解】 32

14

54

ln ln lim lim 01→∞

→∞

==n n n

n

n

n

n

，而级数51

4

1∞

=∑

n n

收敛 （5

4

p =

的p -级数）， 则由正项级数的极限形式的比较判别法知

31

2

ln n n n

∞

=∑

收敛.

2．

21

sin

2

n

n n π

∞

=∑．

【解】因为2

2

sin

2

2

π

π≤

n

n

n n ，

由于2

1

1

2(1)12

lim lim 122n n n n n

n n u

n u p p ++

+==<，故由正项级数的比值判别法知级数2

12π∞

=∑n n n 收敛. 再由正项级数的比较判别法知21

sin

2

n

n n π

∞

=∑收敛，且为绝对收敛.

P128-练习2 设常数0,a >试判别级数

1

(1)(1cos )n

n a n ∞

=--∑是条件收敛还是绝对收敛． （1992） 【解】211

1(1)(1cos )(1cos )2sin 2n

n n n a a a n n n ∞

∞∞

===--=-=∑∑∑， 因为正项级数212n a n ∞

=⎛⎫ ⎪⎝

⎭∑收敛，而2

2sin 22a a n n ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， 所以

正项级数211

(1cos )2sin 2n n a a n n ∞

∞

==-=∑∑收敛， 从而

级数

1

(1)(1cos )n

n a n ∞

=--∑绝对收敛.

P129-练习3 设正项级数

1

n n a ∞

=∑收敛，且常数(0,)2π

λ∈，则21(1)(tan )n n n n a n λ

∞

=-∑（ ）． （A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）收敛性与λ有关 【解】因正项级数

1

n

n a

∞

=∑收敛，所以

21

n

n a

∞

=∑也收敛.

又22tan

lim

lim tan ,0n

n n n n a n n a n

l

l l l ==>，故由正项级数的极限形式的比较判别法知

21

(1)(tan )n n n n a n λ

∞

=-∑是绝对收敛的. 选（A ）

P130-练习4 设级数

1

n

n a

∞

=∑与

1

n

n b

∞

=∑均收敛，且n n n a c b ≤≤，证明：级数

1

n

n c

∞

=∑收敛．

【证明】由0n n n n n n n a c b c a b a ≤≤⇒≤-≤-, 故级数

1

1

(),

()n

n n

n n n b

a c

a ∞

∞

==--∑∑均为正项级数.

因为级数1

n

n a

∞

=∑与

1

n

n b

∞

=∑均收敛，

则

1

()n

n n b

a ∞

=-∑收敛，由正项级数的比较判别法知1

()n n n c a ∞

=-∑收敛，

又由于级数()1

1

()n n

n n n n c a

c a ∞∞

===+-∑∑，则由性质知级数1

n n c ∞

=∑收敛．

P133-练习5 求幂级数121(1)21

n n

n x n -¥

=--å的收敛域及和函数． （2010）

【解】易求得级数的收敛半径1R =，且在1x =±时级数均收敛，故收敛域为[1,1]-；

当()1,1x ∈-时 ，设11221

111(1)(1)()()2121

n n n n n n S x x x x xS x n n --ゥ

-==--===--邋，

其中121

11(1)()21

n n n S x x

n -¥

-=-=-å， 而12112212

00

1

1

(1)1

()(1)arctan 211n x

x x n n n n n S x x dx x dx dx x n x -ゥ---==¢骣骣

-÷÷çç÷==-==÷çç÷÷çç÷-+桫桫邋蝌

， 故1()()arctan ,[1,1]S x xS x x x ==-