第10章 排队论总结

图10-6
随机服务系统

面对拥挤现象，人们总是希望尽量设法减少 排队，通常的做法是增加服务设施。 但是增加的数量越多，人力、物力的支出就 越大，甚至会出现空闲浪费。 如果服务设施太少，顾客排队等待的时间就 会很长，这样对顾客会带来不良影响。



顾客排队时间的长短与服务设施规模的大小， 就构成了设计随机服务系统中的一对矛盾。
Fv (t ) 1 e t ,
则
f v (t ) e t
t0
其中：μ表示单位时间内能被服务的顾客数，即平均 服务率。 1/μ表示一个顾客的平均服务时间。
令
，则ρ称为服务强度。

如：一个服务窗口每分钟处理0.8位顾客(一 个小时处理48人的业务)的业务，则

(2)顾客到达方式。这是描述顾客是怎样来到 系统的，他们是单个到达，还是成批到达。病 人到医院看病是顾客单个到达的例子。在库存 问题中如将生产器材进货或产品入库 看作是顾 客，那么这种顾客则是成批到达的。 (3)顾客流的概率分布，或称相继顾客到达的 时间间隔的分布。这是求解排队系统有关运行 指标问题时首先需要确定 的指标。这也可以理 解为在一定的时间间隔内到达k个顾客(k=1 , 2 , )的概率是多大。顾客流的概率分布一般有 定 长分布、二项分布、泊松流(最简单流)、爱尔 朗分布等若干种。
3．服务台情况。服务台可以从以下3方面来 描述： (1) 服务台数量及构成形式。从数量上说，服 务台有单服务台和多服务台之分。从构成形式上 看，服务台有：①单队——单服务台式， ②单队——多服务台并联式， ③多队——多服务台并联式， ④单队——多服务台串联式， ⑤单队——多服务台并串联混合式以及多队—— 多服务台并串联混合式等等。
当Pn(t1 , t2)符合下述三个条件时，顾客到达过程就 是泊松过程(顾客到达形成泊松流)。
泊松流具有如下特性：
(1) 平稳性。又称作输入过程是平稳的，指在
长度为t 的时段内恰好到达k个顾客的概率仅与时
段长度有关，而与时段起点无关。即对任意
∈(0,∞)，在( , +t ]或(0, t]内恰好到达k个顾客



(2)等待制。这是指当顾客来到系统时， 所有服务台都不空，顾客加入排队行列等 待服务。例如，排队等待售票，故障设备 等待维修等。等待制中，服务台在选择顾 客进行服务时，常有如下四种规则： ①先到先服务。按顾客到达的先后顺序 对顾客进行服务，这是最普遍的情形。 ②后到先服务。仓库中迭放的钢材，后 迭放上去的都先被领走，就属于这种情况。
又称为顾客的平均到达率。
E[Vk (t )] t
D[Vk (t )] t

例1：某银行通过分析顾客到达的数据，得到如下 结论：每小时顾客平均到达的人数为36，即平均 每分钟顾客平均到达人数为0.6（λ= 0.6 ） 每分钟有K个顾客到达的概率：
0.6k e 0.6 p(k ) k!
2.负指数分布
可以证明当输入过程是泊松流时，两顾客相继离开的时 间间隔T 独立且服从负指数分布。（等价）
表示单位时间内顾客平均到达数。 1/ 表示顾客到达的平均间隔时间。
E[T ]
1
D[T ]
1
2
服务时间的分布：
接受服务，然后离开
对顾客的服务时间 ：系统处于忙期时两顾客相继离 开系统的时间间隔，一般地也服从负指数分布，


② 等待时间有限。即顾客在系统中的等待 时间不超过某一给定的长度T，当等待时间 超过T 时，顾客将自动离去，并不再回来。 如易损坏的电子元器件的库存问题，超过一 定存储时间的元器件被自动认为失效。又如 顾客到饭馆就餐，等了一定时间后不愿再等 而自动离去另找饭店用餐。

③ 逗留时间(等待时间与服务时间之和)有 限。例如用高射炮射击敌机，当敌机飞越高 射炮射击有效区域的时间为 t 时，若在这个 时间内未被击落，也就不可能再被击落了。 不难注意到，损失制和等待制可看成是混合制 的特殊情形，如记 s 为系统中服务台的个数， 则当k= s时，混合制即成为损失制；当k=∞ 时，混合制即成为等待制。
的概率相等：
P{ N (a t ) N (a ) k } P{ N (t ) N (0) k }
P{ N (t ) k } Vk ( t )

(2)无后效性。指在任意几个不相交的时间区间内，各自到 达的顾客数是相互独立的。通俗地说就是以前到达的顾客情 况，对以后顾客的到来没有影响。否则就是关联的。 (3)单个性又称普通性。指在充分小的时段内只能有一个 顾客到达。 因为泊松流实际应用最广，也最容易处理，因而研究得 也较多．可以证明，对于泊松流，在长度为t 的时间内到达k 个顾客的概率Vk(t)服从泊松分布，即 k ( t ) k 0 , 1 , 2 , Vk ( t ) e t k! 其中参数>0为一常数，表示单位时间内到达顾客的平均数，
在一定的假设条件下 泊松过程。
顾客的到达过程就是一个
若设N(t)表示在时间区间[0,t)内到达的顾客数(t>0) ,
Pn(t1 , t2)表示在时间区间[t1 , t2) (t2>t1)内有n (≥0)个顾
客到达的概率。即：
Pn {t1 , t 2 } P{ N (t 2 Βιβλιοθήκη Baidu N (t1 ) n} （t2>t1，n≥0）
n e
n!
n=0,1,2,…
式中为常数( >0)，称X服从参数为的泊松分布，若在上式 中引入时间参数t , 即令t代替 ，则有：
( t ) n t Pn{t } e n!
t > 0， n = 0 , 1 , 2 , …
与时间有关的随机变量的概率, 是一个随机过程, 即泊松过程.
(2)有为顾客服务的人或物，即服务员或服务台；
(3)顾客到达系统的时刻是随机的，为每一位顾客提供服务 的时间是随机的，因而整个排队系统的状态也是随机的。排 队系统的这种随机性造成某个阶段顾客排队较长，而另外一 些时候服务员(台)又空闲无事。
（二）排队系统的基本组成部分 通常，排队系统都有输入过程、服务规则和服务 台等3个组成部分： 1．输入过程．这是指要求服务的顾客是按怎样 的规律到达排队系统的过程，有时也把它称为顾客 流．一般可以从3个方面来描述一个输入过程。 (1)顾客总体数，又称顾客源、输入源。这是指顾 客的来源。顾客源可以是有限的，也可以是无限的。 例如，到售票处购票的顾客总数可以认为是无限的， 而某个工厂因故障待修的机床则是有限的。
第10章
排队论
10.1 排队服务系统的基本概念
10.2 输入与服务时间的分布
10.1 排队服务系统的基本概念
排队论（queuing),也称随机服务系统理论，是运筹学 的一个主要分支。 1909 年 ， 丹 麦 哥 本 哈 根 电 子 公 司 电 话 工 程 师 A. K. Erlang的开创性论文“概率论和电话通讯理论”标志此理 论的诞生。排队论的发展最早是与电话，通信中的问题相 联系的，并到现在是排队论的传统的应用领域。近年来在 计算机通讯网络系统、交通运输、医疗卫生系统、库存管 理、作战指挥等各领域中均得到应用。
③随机服务。即当服务台空闲时，不按照 排队序列而随意指定某个顾客去接受服 务，如电话交换台接通呼叫电话就是一例。
④优先权服务。如老人、儿童先进车站； 危重病员先就诊；遇到重要数据需要处理 计算机立即中断其他数据的处理等，均属于 此种服务规则。
(3)混合制。这是等待制与损失制相结合的一 种服务规则，一般是指允许排队，但又不允 许队列无限长下去。 具体说来，大致有三种： ① 队长有限。当排队等待服务的顾客人数超 过规定数量时，后来的顾客就自动离去，另 求服务，即系统的等待空间是有限的。例如 最多只能容纳K个顾客在系统中，当新顾客到 达时，若系统中的顾客数(又称为队长)小于k， 则可进入系统排队或接受服务；否则，便离 开系统，并不再回来。如水库的库容是有限 的，旅馆的床位是有限的。
排队是我们在日常生活和生产中经常 遇到的现象。 例如，上、下班搭乘公共汽车； 顾客到商店购买物品； 病员到医院看病； 旅客到售票处购买车票； 学生去食堂就餐等就常常出现排队和等待 现象。
美国人一生中平均要花费--
6个月 停在红灯前 8个月 打开邮寄广告 1年 寻找放置不当的物品 2年 回电话不成功 5年 排队等待

很容易求出：
0.60 e 0.6 p(0) 0.5488 0! 0.61 e 0.6 p(1) 0.6 0.5488 0.3292 1! 0.6 2 e 0.6 0.36 0.5488 p(2) 0.098 2! 2
认为λ= 0.6 的泊松分布近似地描述了该行到达人数的概率分布情况
要降落的飞机因跑道不空而在空中盘旋等等。

上述各种问题虽互不相同，但却都有要 求得到某种服务的人或物和提供服务的人或 机构。
排队论里把要求服务的对象统称为“顾客”, 提供服务的人或机构称为“服务台”或“服 务员”。
不同的顾客与服务组成了各式各样的服务 系统。顾客为了得到某种服务而到达系统、 若不能立即获得服务而又允许排队等待， 则加入等待队伍，待获得服务后离开系统， 见图10-1至图10-5。
(2) 服务方式。这是指在某一时刻接受服务的顾 客数，它有单个服务和成批服务两种。如公共 汽车一次就可装载一批乘客就属于成批服务。
(3) 服务时间的分布。一般来说，在多数情况 下，对每一个顾客的服务时间是一随机变量，其 概率分布有定长分布、负指数分布、K级爱尔朗 分布、一般分布(所有顾客的服务时间都是独立同 分布的)等等。



2.服务规则。这是指服务台从队列中选 取顾客进行服务的顺序。一般可以分为损失 制、等待制和混合制等3大类。 (1)损失制。这是指如果顾客到达排队系统 时，所有服务台都已被先来的顾客占用，那 么他们就自动离开系统永不再来。典型例子 是，如电话拔号后出现忙音，顾客不愿等待 而自动挂断电话，如要再打，就需重新拔号； 再如停车场。这种服务规则即为损失制。
衡量一个排队系统工作状况的主要指标：
1 顾客在系统中的平均逗留时间Ws
2 服务机构工作强度 3 系统中平均顾客数（Ls)或平均队长(Lq)
10.2 输入与服务时间的分布
常见的分布（即服务时间的概率分布）有： 1.泊松分布 在概率论中, 我们曾学过泊松分布, 设随机变量为X , 则有：
P{ x n}

除了上述有形的排队之外，还有大量的 所谓“无形”排队现象。 如几个顾客打电话到出租汽车站要求派 车，如果出租汽车站无足够车辆、则部分顾 客只得在各自的要车处等待，他们分散在不 同地方，却形成了一个无形队列在等待派车。

在排队过程中，人们会关心哪些问题？

— 什么时候过去，排队的时间会比较短？ — 不排队的话，需要多长时间？ — 是否需要排队？
图10-1 单服务台排队系统
图10-2
单队列——S个服务台并联的排队系统
图10-3
S个队列——S个服务台的并联排队系统
图10-4
单队——多个服务台的串联排队系统
图10-5
多队——多服务台混联网络系统
一般的排队系统，都可由下面 图加以描述
通常称由图10-6表示的系统为一随机聚散服务系统。 “聚”表示顾客的到达，“散”表示顾客的离去。 任一排队系统都是一个随机聚散服务系统。


— （不）包括正在被服务的人，我前面一共还有几人？
— 这次排队我是否合算？ — 队伍长度达到什么程度，我就会放弃本次排队？ — 系统有多少个窗口？是否已经高负荷运转了？
排队的不一定是人，也可以是物：
例如，通讯卫星与地面若干待传递的信息； 生产线上原料、半成品等待加工；
因故障停止运转的机器等待修理；码头的船只 等待装卸货物；

如何做到既保证一定的服务质量指标，又使 服务设施费用经济合理，恰当地解决顾客排队 时间与服务设施费用大小这对矛盾。

这就是随机服务系统理论——排队论所要研 究解决的问题。
一 排队系统的描述 （一）系统特征和基本排队过程
实际的排队系统虽然千差万别，但是它们有以下的共同特征：
(1)有要求服务的人或物——顾客；