辽宁省六校协作体2020届高三第一学期开学考试试题理科数学【含解析】

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2020年辽宁省辽南协作校高考数学一模试卷(理科)(Word解析版)

2020年高考（理科）数学一模试卷一、选择题.1．已知集合M＝{0，x2}，N＝{1，2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝（）A．{0，x2，1，2}B．{2，0，1，2}C．{0，1，2}D．{0，1，−√2，√2，2} 2．已知复数z满足（1﹣i）z＝|2i|，i为虚数单位，则z等于（）A．1﹣i B．1+i C．12−12i D．12+12i3．设a→，b→是向量，则“|a→|＝|b→|”是“|a→+b→|＝|a→−b→|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．若空间中三条两两不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l2，l2⊥l3，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l3B．l1与l3既不垂直又不平行C．l1∥l3D．l1与l3的位置关系不确定5．已知正三棱锥P﹣ABC，点P、A、B、C都在直径为√3的球面上，若PA、PB、PC两两互相垂直，则该正三棱锥的体积为（）A．16B．12C．13D．1126．点M（5，3）到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是（）A．y＝12x2B．y＝﹣36x2C．y＝12x2或y＝﹣36x2D．y=112x2或y=−136x27．函数y＝cos2x+sin x﹣1的值域为（）A．[−14，14]B．[0，14]C．[﹣2，14]D．[﹣1，14]8．函数f(x)=e x+1|x|(e x−1)（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．9．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，为了得到y ＝sin2x 的图象，只需将f （x ）的图象（）A ．向右平移π3个单位B ．向右平移π6个单位C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位10．如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为（）A ．20√6海里B ．40√6海里C ．20(1+√3)海里D ．40海里11．甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（） A ．甲得9张，乙得3张 B ．甲得6张，乙得6张 C ．甲得8张，乙得4张 D ．甲得10张，乙得2张12．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的两顶点分别为A 1，A 2，F 为双曲线的一个焦点，B 为虚轴的一个端点，若在线段BF 上（不含端点）存在两点P 1，P 2，使得∠A 1P 1A 2＝∠A 1P 2A 2=π2，则双曲线的渐近线斜率k 的平方的取值范围是（）A ．(1，√5+12)B ．(1，√3+12)C ．(0，√5+12)D ．(32，√3+12)二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)={log 9(x 2−1)，x ＞02x+1，x ≤0，则f(√10)+f(0)= ． 14．我国古代数学名著《数术九章）有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1530石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒．估计这批米内所夹的谷有石．15．考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间．当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5730年后会变为原来的一半．假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用y 表示该有机体死亡x 年后体内碳14的含量，则y 与x 的关系式可以表示为．16．已知f （x ）＝x （e +lnx ），g （x ）=13x 3+32x +m ，对于∀x ∈[12，+∞）时都有f （x ）≤g（x ）恒成立，则m 的取值范围为．三、解答题（6个小题共70分）17．数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =32a n −12a 1，且a 1＝3．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =2log 3a n −1a n，求数列{b n }的前n 项和T n ． 18．港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥．它连通了珠海香港澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹．截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11.3万人次的最高纪录．2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如图．（1）①同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图．估计客流量的平均数．②求客流量的中位数．（2）设这100天中客流量超过5万人次的有n 天，从这n 天中任取两天，设X 为这两天中客流量超过7万人的天数．求X 的分布列和期望．19．如图所示，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点．（1）证明：B 1C 1⊥CE ；（2）设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为√26．求线段AM 的长．20．已知椭圆C 的标准方程是x 26+y 22=1设F 是椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝﹣3上任意一点，过F 做TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ．（1）证明：线段OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）（2）当|TF||PQ|最小时，求点T 的坐标．21．已知函数f （x ）＝cos x +x sin x +e x ﹣ax ．（1）若函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线与x 轴平行，求实数a 的值及函数f （x ）在区间[−π2，π2]上的单调区间；（2）在（1）的条件下，若x 1≠x 2，f （x 1）＝f （x 2），求证：f′(x 1+x 22)＜0．（f '（x ）为f （x ）的导函数）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，（满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3+tcosαy =tsinα（t 为参数，0≤α＜π），在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的单位长度，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 2的极坐标方程为ρ+2cos θ＝0．（1）若α=π4，试判断曲线C 1和C 2的位置关系；（2）若曲线C 1与C 2交于点M ，N 两点，且P （3，0），满足|PM |+|PN |＝5|MN |．求sin α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣2|+|2x +4|．（Ⅰ）解不等式：f （x ）≥﹣3x +4；（Ⅱ）若函数f （x ）的最小值为a ，且m +n ＝a （m ＞0，n ＞0），求1m+1n的最小值．参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合M＝{0，x2}，N＝{1，2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝（）A．{0，x2，1，2}B．{2，0，1，2}C．{0，1，2}D．{0，1，−√2，√2，2}【分析】利用交集性质求出x2＝2，由此能求出M∪N．解：∵集合M＝{0，x2}，N＝{1，2}，M∩N＝{2}，∴x2＝2，∴M∪N＝{0，1，2}．故选：C．【点评】本题考查并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．已知复数z满足（1﹣i）z＝|2i|，i为虚数单位，则z等于（）A．1﹣i B．1+i C．12−12i D．12+12i【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由（1﹣i）z＝|2i|＝2，得z=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．设a→，b→是向量，则“|a→|＝|b→|”是“|a→+b→|＝|a→−b→|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义，可得答案．解：若“|a→|＝|b→|”，则以a→，b→为邻边的平行四边形是菱形；若“|a→+b→|＝|a→−b→|”，则以a→，b→为邻边的平行四边形是矩形；故“|a→|＝|b→|”是“|a→+b→|＝|a→−b→|”的既不充分也不必要条件；故选：D．【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“|a→|＝|b→|”与“|a→+b→|＝|a→−b→|”表示的几何意义，是解答的关键．4．若空间中三条两两不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l2，l2⊥l3，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l3B．l1与l3既不垂直又不平行C．l1∥l3D．l1与l3的位置关系不确定【分析】空间中三条两两不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l2，l2⊥l3，画出图象，即可判断出结论．解：空间中三条两两不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l2，l2⊥l3，可得l1与l3平行、相交或为异面直线．则下列结论一定正确的是D．故选：D．【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．已知正三棱锥P﹣ABC，点P、A、B、C都在直径为√3的球面上，若PA、PB、PC两两互相垂直，则该正三棱锥的体积为（）A．16B．12C．13D．112【分析】由正三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为√3的球面上，且PA，PB，PC两两垂直，球直径等于以PA，PB，PC为棱的正方体的对角线，由此可求得棱锥的侧棱长，然后求解三棱锥的体积．解：∵PA，PB，PC两两垂直，又∵三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为√3的球面上，∴以PA，PB，PC为棱的正方体的对角线即为球的一条直径．∴（√3）2＝PA 2+PB 2+PC 2＝3PA 2⇒PA ＝PB ＝PC ＝1，所以三棱锥的体积为：13×12×1×1×1=16，故选：A ．【点评】考查的知识点是棱锥的外接球及棱锥的结构特征，其中根据已知条件，得到棱锥的外接球直径等于以PA ，PB ，PC 为棱的正方体的对角线，是解答本题的关键． 6．点M （5，3）到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是（） A ．y ＝12x 2B ．y ＝﹣36x 2C ．y ＝12x 2或y ＝﹣36x 2D ．y =112x 2或y =−136x 2 【分析】根据点M 到准线的距离为|3+14a|＝6，分a ＞0和a ＜0两种情况分别求得a ，进而得到抛物线方程．解：当a ＞0时，开口向上，准线方程为y =−14a ，则点M 到准线的距离为3+14a =6，求得a =112，抛物线方程为y =112x 2，当a ＜0时，开口向下，准线方程为y =−14a ，点M 到准线的距离为|3+14a |＝6解得a =−136，抛物线方程为y =−136x 2．故选：D ．【点评】本题主要考查了抛物线的性质．属基础题． 7．函数y ＝cos 2x +sin x ﹣1的值域为（） A ．[−14，14]B ．[0，14]C ．[﹣2，14]D ．[﹣1，14]【分析】由条件根据y ＝cos 2x +sin x ﹣1＝﹣sin 2x +sin x =−(sinx −12)2+14，再利用二次函数的性质求得函数的最值，可得函数的值域．解：∵函数y ＝cos 2x +sin x ﹣1＝﹣sin 2x +sin x =−(sinx −12)2+14，sin x ∈[﹣1，1]，故当sin x =12时，函数y 取得最大值为14；当sin x ＝﹣1时，函数y 取得最小值为﹣2，故函数y 的值域为[﹣2，14]．故选：C ．【点评】本题主要考查正弦函数的值域，二次函数的性质，属于基础题．8．函数f(x)=e x +1|x|(e x −1)（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【分析】利用函数的奇偶性，和特值进行验证．解：f （x ）为奇函数，排除A ，B ．又当x ＞0时，f （x ）＞0，且f(x)=1|x|(1+2e x −1)单调递减，故C 符合．故选：C ．【点评】本题考查函数图象的判断，属于基础题目．9．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，为了得到y ＝sin2x 的图象，只需将f （x ）的图象（）A ．向右平移π3个单位B ．向右平移π6个单位C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位【分析】由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的f（x）的解析式．再根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象的变换规律，可得结论．解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ），(A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π2)的图象可得A＝1，T=2πω=2[π3−(−π6)]=π，∴ω＝2．再由五点法作图可得2×(−π6)+φ＝0，∴φ=π3．故函数的f（x）的解析式为f（x）＝sin（2x+π3）＝sin2（x+π6）．故把f（x）＝sin2（x+π6）的图象向右平移π6个单位长度，可得g（x）＝sin2x的图象，故选：B．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象的变换规律，属于中档题．10．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为（）A．20√6海里B．40√6海里C．20(1+√3)海里D．40海里【分析】分别在△ACD和△BCD中利用正弦定理计算AD，BD，再在△ABD中利用余弦定理计算AB．解：连接AB，由题意可知CD＝40，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，∴∠CAD＝45°，∠ADB＝60°，在△ACD中，由正弦定理得ADsin30°=40sin45°，∴AD＝20√2，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴BD=√2CD＝40√2．在△ABD 中，由余弦定理得AB =√800+3200−2×20√2×40√2×cos60°=20√6．故选：A ．【点评】本题考查了解三角形的应用，合理选择三角形，利用正余弦定理计算是关键，属于中档题．11．甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（） A ．甲得9张，乙得3张 B ．甲得6张，乙得6张 C ．甲得8张，乙得4张D ．甲得10张，乙得2张【分析】由题意知本题是一个古典概型试验发生的事件是投骰子，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲），（乙，乙）．其中甲获胜有3种，而乙只有1种，从而得到甲乙获胜的概率．解：由题意，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲），（乙，乙）．其中甲获胜有3种，而乙只有1种，所以甲获胜的概率是34，乙获胜的概率是14．所以甲得到的游戏牌为12×34=9，乙得到圆心牌为12×14=3；当甲得3分时获得12张游戏牌，当甲得1分时获得3张牌，当甲得2分时获得9张牌，故选：A ．【点评】本题以实际问题为载体，考查概率的运用，解题的关键是分析再赛两局，甲、乙各自获胜的概率．12．已知双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的两顶点分别为A 1，A 2，F 为双曲线的一个焦点，B 为虚轴的一个端点，若在线段BF 上（不含端点）存在两点P 1，P 2，使得∠A 1P 1A 2＝∠A 1P 2A 2=π2，则双曲线的渐近线斜率k 的平方的取值范围是（）A ．(1，√5+12)B ．(1，√3+12)C ．(0，√5+12)D ．(32，√3+12)【分析】求出直线BF 的方程为bx +cy ﹣bc ＝0，利用直线与圆的位置关系，结合a ＜b ，即可求出双曲线渐近线的斜率平方的取值范围．解：由题意可设F （c ，0），B （0，b ），则直线BF 的方程为bx +cy ﹣bc ＝0， ∵在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点P i （i ＝1，2），使得∠A 1P i A 2=π2， ∴线段BF 与以A 1A 2为直径的圆相交，即√b 2+c2a ，化为b 2c 2＜a 2（b 2+c 2），又b 2＝c 2﹣a 2，即有a 4+a 2b 2﹣b 4＞0，可得0＜b 2a2＜1+√52，在线段BF 上（不含端点）存在两个不同的点P i （i ＝1，2），使得∠A 1P i A 2=π2，可得a ＜b ，可得1＜b 2a2＜1+√52，故选：A ．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查渐近线的斜率的范围，考查直线与圆的位置关系的判断，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)={log 9(x 2−1)，x ＞02x+1，x ≤0，则f(√10)+f(0)= 3 ．【分析】推导出f （√10）＝log 9（10﹣1）＝1，f （0）＝20+1＝2，由此能求出f(√10)+f(0)的值．解：∵函数f(x)={log 9(x 2−1)，x ＞02x+1，x ≤0，∴f （√10）＝log 9（10﹣1）＝1， f （0）＝20+1＝2，f(√10)+f(0)=1+2＝3．故答案为：3．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．我国古代数学名著《数术九章）有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1530石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒．估计这批米内所夹的谷有 170 石．【分析】设这批米内所夹的谷有x 石，由等可能事件概率计算公式得x1530=28252，由此能估计这批米内所夹的谷的数量．解：粮仓开仓收粮，有人送来米1530石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒．设这批米内所夹的谷有x 石，则x 1530=28252，解得x ＝170，∴估计这批米内所夹的谷有170石．故答案为：170．【点评】本题考查米内所夹的谷数量的求法，考查等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间．当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5730年后会变为原来的一半．假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用y 表示该有机体死亡x 年后体内碳14的含量，则y 与x 的关系式可以表示为 y ＝（12）x5730．【分析】根据题意建立函数模型，利用条件，即可得出解析式解：依题意可设y =(12)ax ，当x ＝5730时，y =12，即有12=(12)5730a ，解得a =15730，故答案为：y ＝（(12)x5730．【点评】本题主要考查函数模型的应用，属于基础题．16．已知f （x ）＝x （e +lnx ），g （x ）=13x 3+32x +m ，对于∀x ∈[12，+∞）时都有f （x ）≤g（x ）恒成立，则m 的取值范围为 m ≥23e √e −√e ．【分析】分离参数m ，即要使原式成立，只需m ≥−13x 3+(e −32)x +xlnx ，x ≥12时恒成立．构造函数h(x)=−13x 3+(e −32)x +xlnx ，x ≥12，利用导数求该函数的最大值即可．解：由题意，要使对于∀x ∈[12，+∞）时都有f （x ）≤g （x ）恒成立，只需m ≥−13x 3+(e −32)x +xlnx ，x ≥12时恒成立，令h(x)=−13x 3+(e −32)x +xlnx ，x ≥12，则h′(x)=−x 2+lnx +e −12，易知h′(√e)=0，而h″(x)=−2x +1x =1−2x 2x ，当x ∈[12，√22)时，h ″（x ）＞0，h ′（x ）递增；当x ∈(√22，+∞]时，h ″（x ）＜0，h ′（x ）递减．结合h′(12)=e −ln2−34＞0，h′(√22)=e −1−12ln2＞0，∴x ∈[12，√e)时，h ′（x ）＞0，h （x ）递增；x ∈(√e ，+∞]时，h （x ）递减．故h(x)max =h(√e)=23e √e −√e ．所以要使原式恒成立，只需m ≥23e √e −√e ．故答案为：m ≥23e √e −√e ．【点评】本题考查导数在研究不等式恒成立问题中的应用，不等式恒成立问题，一般是先转化为函数的最值，然后再利用导数研究函数的单调性来处理，能分离参数的一般要分离参数．同时考查学生的逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养．属于较难的题目．三、解答题（6个小题共70分）17．数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =32a n −12a 1，且a 1＝3．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n=2log3a n−1a n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由S n=32a n−12a1①，可得S n+1=32a n+1−12a1②，由②﹣①可得a n+1＝3a n，再由a1＝3可求得a n；（2）根据（1）中求出的a n可得b n＝（2n﹣1）（13）n，再利用错位相减法求出T n．解：（1）由S n=32a n−12a1①，可得S n+1=32a n+1−12a1②，由②﹣①可得a n+1=32a n+1−32a n，即a n+1＝3a n．又a1＝3，所以数列{a n}是首项、公比均为3的等比数列，∴a n＝3n；（2）由（1）知a n＝3n，∵b n=2log3a n−1a n，∴b n=2n−13n，∴T n=13+3×（13）2+5×（13）3+⋯+2n−13n③，13T n＝（13）2+3×（13）3+…+（2n﹣3）（13）n+2n−13n+1④，由③﹣④可得23T n=13+2[（13）2+（13）3+…+（13）n]−2n−13n+1=13+2×(13)2[1−(13)n−1]1−13−2n−1 3n+1=23−2+2n3n+1，∴T n＝1−1+n 3n．【点评】本题主要考查由数列的前n项和与第n项的关系式求通项公式及错位相减法求数列的和，属于基础题．18．港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥．它连通了珠海香港澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹．截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11.3万人次的最高纪录．2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如图．（1）①同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图．估计客流量的平均数．②求客流量的中位数．（2）设这100天中客流量超过5万人次的有n天，从这n天中任取两天，设X为这两天中客流量超过7万人的天数．求X的分布列和期望．【分析】（1）①由频率分布直方图中的数据即可得解；②设中位数为x，根据中位数的性质列出关于x的方程，解之即可得解；（2）先由频率分布直方图中的数据分别求出100天中客流量超过5万人次和超过7万次的天数，确定X的取值为0，1，2，再根据超几何分布逐一计算每个X的取值所对应的概率即可得到分布列，进而可得数学期望．解：（1）①客流量的平均数为（2.5×0.2+3.5×0.25+4.5×0.4+5.5×0.05+6.5×0.05+7.5×0.05）×1＝4.15；②设中位数为x，则0.20+0.25+0.40（x﹣4）＝0.5，解得x＝4.125，故客流量的中位数为4.125．（2）从频率分布直方图可知，客流量超过5万人次的频率为0.05×3×1＝0.15，∴n＝100×0.15＝15，而客流量超过7万人的天数为100×0.05×1＝5天，∴随机变量X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）=C102C50C152=45105=37，P（X＝0）=C101C51C152=50105=1021，P（X＝0）=C100C52C152=10105=221．∴X的分布列为：X012P371021221数学期望E（X）=0×37+1×1021+2×221=23．【点评】本题考查频率分布直方图中的数字特征、超几何分布和离散型随机变量的分布列与期望，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于基础题．19．如图所示，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点．（1）证明：B 1C 1⊥CE ；（2）设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为√26．求线段AM 的长．【分析】（1）证明CC 1⊥B 1C 1，B 1C 1⊥C 1E ，可得B 1C 1⊥平面CC 1E ，即可证明结论；（2）连结D 1E ，过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1，连结AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角．设AM ＝x ，求出EH ，利用余弦定理建立方程，即可求线段AM 的长．【解答】（1）证明：因为侧棱CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1C 1．因为AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点，所以B 1E =√5，B 1C 1=√2，EC 1=√3，从而B 1E 2＝B 1C 12+EC 12，所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E ．又CC 1，C 1E ⊂平面CC 1E ，CC 1∩C 1E ＝C 1，所以B 1C 1⊥平面CC 1E ，又CE ⊂平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE ．（2）解：连结D 1E ，过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1，连结AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角．设AM ＝x ，从而在Rt △AHM 中，有MH =√26x ，AH =√346x ．在Rt △C 1D 1E 中，C 1D 1＝1，ED 1=√2，得EH =√2MH =13x ．在△AEH 中，∠AEH ＝135°，AE ＝1，由AH 2＝AE 2+EH 2﹣2AE •EH cos 135°，得1718x 2＝1+19x 2+√23x ．整理得5x 2﹣2 √2x ﹣6＝0，解得x =√2（负值舍去），所以线段AM 的长为√2．【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了线面角和二面角的求法，考查余弦定理，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题． 20．已知椭圆C 的标准方程是x 26+y 22=1设F 是椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝﹣3上任意一点，过F 做TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ．（1）证明：线段OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）（2）当|TF||PQ|最小时，求点T 的坐标．【分析】（1）设T 的坐标，可得直线TF 的斜率，由题意可得直线PQ 的斜率，进而求出直线PQ 的方程，将直线PQ 与椭圆联立求出两根之和，进而求出PQ 的中点坐标，求出直线OT ，OM 的斜率可得斜率相等可得线段OT 平分线段PQ ；（2）由（1）得|PQ |的长，|TF |的长，求出|TF||PQ|，换元，由均值不等式可得|TF||PQ|最小值，同时求出T 的坐标解：（1）证明：由题意设T （﹣3，m ），椭圆的左焦点F （﹣2，0），所以K FT =m−3+2=−m ，所以k PQ =1m，设直线PQ 的直线方程为：y =1m（x +2），即x ＝my ﹣2，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），设PQ 的中点M ，将直线PQ 与椭圆的方程联立{x =my −2x 26+y 22=1整理可得：（3+m 2）y 2﹣4my ﹣2＝0，y 1+y 2=4m 3+m 2，x 1+x 2＝m （y 1+y 2）﹣4=−123+m 2，所以中点M （−63+m2，2m 3+m 2），因为k OT =m −3=−m 3，k OM =2m3+m 2−63+m 2=−m3，所以k OT ＝k OM ，所以线段OT 平分线段PQ ．（2）由（1）可得：|PQ |=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+m 2⋅√16m 2(3+m 2)2−4⋅−23+m 2=2√6(1+m 2)3+m 2，而|FT |=√m 2+(−3+2)2=√1+m 2，所以|FT||PQ|=22√6√1+m 2=2√6⋅2+(√1+m 2)2√1+m 2，令t =√1+m 2≥1，所以2+t 2t=2t+t ≥2√2，当且仅当t =√2时取等号，即m ＝±1，所以|FT||PQ|≥√22√6=√33，这时T （﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．【点评】本题考查直线与椭圆的综合及换元法的应用和均值不等式的应用，属于中档题． 21．已知函数f （x ）＝cos x +x sin x +e x ﹣ax ．（1）若函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线与x 轴平行，求实数a 的值及函数f （x ）在区间[−π2，π2]上的单调区间；（2）在（1）的条件下，若x 1≠x 2，f （x 1）＝f （x 2），求证：f′(x 1+x 22)＜0．（f '（x ）为f （x ）的导函数）【分析】（1）根据切点处的导数为0，可求出a 的值，然后令导数大于0或小于0，即可求出单调区间；（2）根据（1）的结论，将结论转化为证明x 1+x 2＜0，结合f （x 1）＝f （x 2），进一步转化为f （x ）﹣f （﹣x ）＞0，x ∈(0，π2]成立．构造函数h （x ）＝f （x ）﹣f （﹣x ），利用导数研究单调性容易证明．解：（1）f ′（x ）＝x cos x +e x ﹣a ，k ＝f ′（0）＝e 0﹣a ＝0，∴a ＝1． ∴f ′（x ）＝x cos x +e x ﹣1，当x ∈[−π2，0)，f′(x)＜0，f(x)递减；当x ∈(0，π2]时，f′(x)＞0，f(x)递增．所以函数f （x ）的递增区间为[0，π2]，递减区间为[−π2，0]．（2）由（1）可知，x 1，x 2异号，不妨设−π2≤x 1＜0＜x 2≤π2．则−π4＜x 1+x 22＜π4，因为f （x ）在[−π2，0]上递减，故要证f′(x 1+x 22)＜0，只需证x 1+x 22∈[−π2，0]，即证x 1＜﹣x 2．因为x 1，−x 2∈[−π2，0]，所以只需证f （x 1）＞f （﹣x 2），又x 1≠x 2，f （x 1）＝f （x 2），只需证f （x 2）＞f （﹣x 2），即f （x 2）﹣f （﹣x 2）＞0．不妨令h （x ）＝f （x ）﹣f （﹣x ），x ∈∈[0，π2]．∵h ′（x ）＝f ′（x ）+f ′（﹣x ）＝x cos x +e x ﹣1﹣x cos （﹣x ）+e ﹣x ﹣1 =e x +e −x −2＞2√e x ⋅e −x −2=0．所以h （x ）在[0，π2]递增，∴h （x ）＞h （0）＝0．所以f(x 1+x 22)＜0．【点评】本题考查导数的几何意义及导数在研究函数的单调性、与不等式有关的问题之应用．同时体现了对学生的逻辑推理、数学运算、以及直观想象等数学核心素养的考查．属于较难的题．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3+tcosαy =tsinα（t 为参数，0≤α＜π），在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的单位长度，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 2的极坐标方程为ρ+2cos θ＝0．（1）若α=π4，试判断曲线C 1和C 2的位置关系；（2）若曲线C 1与C 2交于点M ，N 两点，且P （3，0），满足|PM |+|PN |＝5|MN |．求sin α的值．【分析】（1）利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，进一步判定曲线间的位置关系．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．解：（1）当α=π4，所以曲线C 1的参数方程为{x =3+tcosαy =tsinα（t 为参数，0≤α＜π）转换为{x =3+tcos π4y =tsin π4，转换为直角坐标方程为x ﹣y ﹣3＝0．曲线C 2的极坐标方程为ρ+2cos θ＝0．转换为直角坐标方程为x 2+y 2+2x ＝0，转换为（x +1）2+y 2＝1，所以圆心（﹣1，0）到直线的距离d =4√2=2√2＞1，所以曲线C 1和C 2的位置关系为相离．（2）将曲线C 1的参数方程为{x =3+tcosαy =tsinα（t 为参数，0≤α＜π），代入x 2+y 2+2x ＝0，整理得t 2+8t cos θ+15＝0，所以t 1+t 2＝﹣8cos θ，t 1t 2＝15．由于满足|PM |+|PN |＝5|MN |．所以|t 1+t 2|＝5|t 1﹣t 2|，整理得24（﹣8cos θ）2＝100×15．所以cos 2θ=125128，所以sinθ=√616．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣2|+|2x +4|．（Ⅰ）解不等式：f （x ）≥﹣3x +4；（Ⅱ）若函数f （x ）的最小值为a ，且m +n ＝a （m ＞0，n ＞0），求1m +1n 的最小值．【分析】（Ⅰ）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）求出a 的值，根据m +n ＝4以及基本不等式的性质求出代数式的值即可．解：（Ⅰ）f （x ）＝|x ﹣2|+|2x +4|={−3x −2，x ＜−2x +6，−2≤x ≤23x +2，x ＞2可得当x ＜﹣2时，﹣3x ﹣2≥﹣3x +4，即﹣2≥4，所以无解；当﹣2≤x ≤2时，x +6≥﹣3x +4，得x ≥−12，可得−12≤x ≤2；当x ＞2时，3x +2≥﹣3x +4，得x ≥13，可得x ＞2．∴不等式的解集为{x|x ≥−12}．（Ⅱ）根据函数f(x)={−3x −2，x ＜−2x +6，−2≤x ≤23x +2，x ＞2可知当x ＝﹣2时，函数取得最小值f （﹣2）＝4，可知a ＝4，∵m +n ＝4，m ＞0，n ＞0，∴1m +1n =14(m +n)(1m +1n )=14(1+1+n m +m n )≥14(2+2)=1．当且仅当n m =m n ，即m ＝n ＝2时，取“＝”． ∴1m +1n的最小值为1．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。

辽宁省2020届部分重点中学协作体高考模拟数学(理科)试卷(含答案)

2
的面积.
18．（本小题满分 12 分）
已知正三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB AA1 2 ， D 是 BC 的中点．（1）求证： A1B ∥平面 ADC1 ；（2）求锐二面角 D AC1 C 的余弦值．
19．（本小题满分 12 分）某工厂计划建设至少 3 个，至多 5 个相同的生产线车间，以解决本地区公民对特供商品 A 的未来需
要原因之一，就是它的长与宽的比无限接近 2 :1 ，我们称这种满足了 2 :1 的矩形为“优美”矩形。现有
一长方体 ABCD A1B1C1D1 ， AD1 2 6 ， AC 2 5 ， AC1 2 7 ，则此长方体的表面六个矩形中，
“优美”矩形的个数为
.
15．已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 a1 1， 2Sn an1 1 则 Sn =
x
的声音对应的等级为
f
( x)dB
，则有
f
(x)
10
lg
x 11012
，则 90dB 的声音与 50dB 的声音
强度之比为（）
A．10
B．100
C．1000
D．10000
7．函数 y tan 2x 图象的对称中心坐标为（）
A． (2k ,0), k Z
B． (k ,0), k Z
C． ( k ,0), k Z 2
D．（2，+∞）
A． i
B． 1
C．1
3．已知
a
log0.3
2，b
1
23
,c
20.3
，则
a、b、c
的大小关系是（
D． i
）
A． a<b<c
B，a<c<b

【精准解析】辽宁省辽南协作校2020届高三第一次模拟考试数学(理)试题

由 M N 2 可知 2 M ，进而可求得集合 M ，即可求得 M N .
【详解】集合 M 0，x2 ， N 1, 2 ， M N 2 ，
则 2 M ，所以 M 0，2 ，则 M N =0,1, 2 ，
故选：C.
【点睛】本题考查了元素与集合关系，根据交集运算结果得集合，集合并集的简单运算，属
根据 l1 l2 ， l2 l3 ，将三条线段置于正方体中，即可判断各选项.
【详解】空间中三条两两不同的直线 l1 ， l2 ， l3 ，满足 l1 l2 ， l2 l3 ，
位置关系可如下图所示：
-2-
根据图示可知，当 l1 取两个不同位置时，满足 l1 l2 ， l2 l3 ，可排除 ABC 选项，
1 i
故选：A 【点睛】本题主要考查复数的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
-1-
3.设
a,
b
是向量，则“
a
b
”是“
a
b
a
b
”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：由
a
b
无法得到
a
b
a
b
-8-
13.已知函数 f x log9
x2 1 , x 0 ，则 f
10 f 0 ______．
2x1, x 0
【答案】3
【解析】
【分析】
利用分段函数解析式，求得所求表达式的值.
【详解】依题意， f 10 f 0 log9 10 1 2 01 1 2 3 .
故答案为 3 .
【答案】D

辽宁省六校协作体2020年上学期高三数学第一次联考试卷答案

且由频率分布直方图估计，，
又，
所以事件的概率估计为．。。。。。。。6分
（2）由（1）知，任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值分别为，，
故任取一件产品是三等品的概率估计值为，
从而10000件产品估计有一等品、二等品、三等品分别为1900，6500，1600件，
故利润估计为元．
（3）因为在产品质量指标值M的频率分布直方图中，
辽宁省六校协作体2020年上学期高三数学第一次联考试题答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
1-8: A BCC DBDB
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
9：AB；10：BD ；11：BD；12：AC
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13.0.414.－280
cos(2α－ )＝－ cos 2α＋ sin 2α＝－ .。。。。。。。10分
18.解：（1），所以，
所以，检验，此时，，
所以，为偶函数；。。。。。。。4分
（2），令，所以，
设在上有最小值，所以，m<0；。。。。8分
（3），所以，所以，
因为，，所以．
（1）即m≥0，解集为R；
因为
递增，的值域为
（i）当时，在上单调递增，
又，
所以在[1,e]上的值域为 ,
所以
即，
（ii）当时，因为时，递减，时，递增，且，
所以只需
即，所以
（iii）当时，因为在上单调递减，且，
所以不合题意.
综合以上，实数的取值范围是 .。。。。。12
所以函数的单调递减区间为[ ]（k∈Z）．。。。。6分

2020年辽宁省辽南协作体高考数学一模试卷(理科)

高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i是虚数单位，复数z=，下列说法正确的是（）A. z的虚部为-iB. z对应的点在第一象限C. z的实部为-1D. z的共复数为1+i2.若集合A={x|1≤x＜2}，B={x|x＞b}，且A∩B=A．则实数b的范围是（）A. b≥2B. 1＜b≤2C. b≤2D. b＜13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则异面直线A1D与B1D1所成角为（）A.B.C.D.4.下列判断错误的是（）A. “|a|＜|b|”是”|am|＜|bm|”的充分不必要条件B. 若￢（p∨q）为真命题，则p，q均为假命题C. 命题“∀x∈R，ax+b≤0”的否定是“∃x∈R，ax+b＞0“D. 若随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤3）=0.72，则P（ξ≤-1）═0.285.已知cosα=，α∈（-，0），则的值为（）A. -B.C. -D.6.将函数f（x）=sin（2x-）图象上的所有点向左平移t（t＞0）个单位长度，到的函数g（x）是奇函数．则下列结论正确的是（）A. t的最小值是，g（x）的对称中心为是（），k∈ZB. t的最小值为，g（x）的对称轴为x=，k∈ZC. t的最小值为，g（x）的单调增区间为（kπ-，kπ+），k∈ZD. t的最小值为，g（x）的周期为π7.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为42，则判断框中的条件可以是（）A. n≤6？B. n＞6？C. n≤5？D. n＞5？8.设F1，F2是双曲线C：（s＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=4a，且△PF1F2的最小内角的正弦值为，则C的离心率为（）A. 2B. 3C.D.9.函数的图象大致为（）A. B.C. D.10.关于圆周率，数学发展史上出现过许多银有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：第一步，请n 名学生，每个学生随机写下一个都小于1的正实数对（x，y）；第二步，统计两数能与1构成纯角三角形边的数对（x，y）的个数m；第三步，估计π的值．若n=100，m=31，则估计π的值（）A. B. C. D.11.若两个非零向量，满足||=||=||，则向量与的夹角是（）A. B. C. D.12.斜率为且过抛物线C：y2=4x焦点的直线交抛物线C于A、B两点，若，则实数λ为（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知展开式中x2的系数为0，则正实数a的值是______．14.正方体的棱长为1，则该正方体外接球的半径为______．15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为，若6cos A•cos C=1，b=3，则∠ABC=______．16.若直线y=x+1是曲线f（x）=x+（a∈R）的切线，则a的值是______．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（），求数列{b n}的前n项和T n．18.从某校高三年中随机抽取100名学生，对其眼视力情况进行统计（两眼视力不同，取较低者统计），得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在[4.1，4.3）的概率为．（1）求a，b的值；（2）若高校A专业的报考资格为：任何一眼裸眼视力不低于4.9，高校B专业的报考资格为：任何一眼裸眼视力不低于5.0，已知在[4.9，5.1）中有的学生裸眼视力不低于5.0．现用分层抽样的方法从[4.9，5.1）和[5.1，5.3）中抽取4名同学，4人中有资格（仅考虑视力）考B专业的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．19.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，点P（，）满足=0．（1）求椭圆C的方程；（2）直线1经过椭圆C的右焦点与椭圆相交于M，N两点，设O为坐标原点，直线OM，直线l，直线ON的斜分别为k1，k，k2，且k1，k，k2成等比数列，求k1•k2的值．20.已知在四棱P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，F是线段BC的中点．（1）求证：PF⊥FD；（2）若直线PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A-PD-F的余弦值；（3）画出平面PAB与平面PDF的交线l．（不写画法）21.已知函数．（1）若1是函数的一个极值点，求实数a的值；（2）讨论函数的单调性；（3）在（1）的条件下证明：．22.在平面直角坐标系中，直线l过原点且倾斜角为；曲线C1的参数方程（α为参数）；曲线C2的参数方程为（α为参数）．（1）求直线1的极坐标方程，曲线C1和曲线C2的普通方程；（2）若直线1与曲线C1和曲线C2在第一象限的交点分别为M、N，求M、N之间的距离．23.设函数f=|x+1|-|2x-4|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＞t2+2t解集非空，求实数t的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵z==1-i，∴z的虚部为-1；z对应的点的坐标为（1，-1），在第四象限；z的实部为1；z的共复数为1+i．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵A∩B=A，∴A⊆B，∴b＜1．故选：D．根据A∩B=A即可得出A⊆B，从而得出b＜1．考查描述法的定义，交集的定义及运算，子集的定义．3.【答案】C【解析】【分析】由异面直线角的作法得：连接BD，BA1，因为B1D1∥DB，故∠A1DB（或其补角）为异面直线A1D与B1D1所成角，由解三角形得：在△A1DB中，设AD=1，则A1D=，DB=，A1B=即∠A1DB=，得解．本题考查了异面直线角的作法及解三角形，属中档题.【解答】解：连接BD，BA1，因为B1D1∥DB，故∠A1DB（或其补角）为异面直线A1D与B1D1所成角，在△A1DB中，设AD=1，则A1D=，DB=，A1B=即∠A1DB=，故选：C．4.【答案】A【解析】解：A．当m=0时，若“|a|＜|b|”，则”|am|＜|bm|”不成立，即充分性不成立，故A错误，B．若￢（p∨q）为真命题，则p∨q为假命题，则p，q都是假命题，故B正确，C．命题“∀x∈R，ax+b≤0”的否定是“∃x∈R，ax+b＞0“正确，故C正确，D．若随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤3）=0.72=P（ξ＞-1），则P（ξ≤-1）═1-P（ξ＞-1）=1-0.72=0.28，故D正确，故错误的是A，故选：A．A．利用充分条件和必要条件的定义进行判断B．根据复合命题真假关系进行判断C．根据全称命题的否定是特称命题进行判断D．根据正态分布的性质进行判断本题主要考查命题的真假判断，涉及充分条件和必要条件的判断，复合命题真假关系，含有量词的命题的否定以及正态分布，综合性较强，难度不大．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．由已知求得sinα，再由倍角公式求解的值．【解答】解：由cosα=，α∈（-，0），得sinα=，∴==．故选C．6.【答案】D【解析】解：函数f（x）=sin（2x-）图象上的所有点向左平移t（t＞0）个单位长度，得到g（x）=sin（2x+2t-），由于函数g（x）是奇函数．所以：2t-（k∈Z），解得：t=，由于t＞0，所以：当k=0时，t的最小值为，且函数的最小正周期为π．故选：D．首先利用三角函数关系式的恒等变变换，把函数的图象进行平移变换，利用奇函数的性质，求出t的最小值，进一步求出函数的最小正周期．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.【答案】D【解析】解：第一次，s=2，a=4，不满足条件．n=2，第二次，s=2+4=6，a=6，不满足条件．n=3，第三次，s=6+6=12，a=8，不满足条件．n=4，第四次，s=12+8=20，a=10，不满足条件．n=5，第五次，s=20+10=30，a=12，不满足条件．n=6，第六次，s=30+12=42，a=14，满足条件．输出S=42，即n=6满足条件．，n=5不满足条件．则条件应该为n＞5？，故选：D．根据程序框图进行模拟运算即可得到结论．本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件利用模拟运算法是解决本题的关键．8.【答案】C【解析】解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=4a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a，所以|F1F2|=2c，|PF1|=3a，|PF2|=a，△PF1F2的最小内角的正弦值为，其余弦值为，由余弦定理，可得|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2-2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，即a2=4c2+9a2-2×2c×3a×，c2-2ca+2a2=0，即c=a，所以e==．故选：C．利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角的正弦值为，其余弦值为，结合余弦定理，求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的图象的识别，函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，是基础题．判断函数的奇偶性，排除选项B，通过函数的导数，判断函数的单调性，然后判断函数的图象即可．【解答】解：由题意，函数f（x）=e|x|-2|x|-1是偶函数，排除选项B，当x＞0时，函数f（x）=e x-2x-1，可得f′（x）=e x-2，当x∈（0，ln2）时，f′（x）＜0，函数是减函数，当x＞ln2时，f′（x）>0，函数是增函数，排除选项A，D，故选C．10.【答案】B【解析】解：由题意，100对都小于1的正实数对（x，y）满足，其表示图形的面积为1．两个数能与1构成钝角三角形的数对（x，y）满足x2+y2-1＜0，且，x+y＞1，则不等式组表示图形的面积为-．则：．解得．故选：B．两个数能与1构成钝角三角形的数对（x，y）满足x2+y2-1＜0，且，x+y＞1，从而不等式组表示图形的面积为-．由此能估计π的值．本题考查几何概型，古典概型等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．11.【答案】D【解析】解：∵；∴；∴；∴；∴，且；∴=；又；∴与的夹角是：．故选：D．根据即可得出，从而得出，，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出与的夹角．考查向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，以及向量夹角的范围．12.【答案】C【解析】解：抛物线C：y2=4x焦点F（1，0），设A（x1，y1），y1＞0，B（x2，y2）．直线方程为：y=（x-1），联立，化为：y2-3y-4=0，解得y1=4，y2=-1．∵，∴4=-λ×（-1），解得λ=4．故选：C．抛物线C：y2=4x焦点F（1，0），设A（x1，y1），y1＞0，B（x2，y2）．直线方程为：y=（x-1），与抛物线方程联立解出坐标，再根据，利用向量坐标相等得出．本题考查了抛物线的标准方程及其性质、向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】【分析】求出（ax+1）6展开式中含x2项的系数以及x项的系数，然后利用已知条件，列出方程求得a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．【解答】解：中中x2的系数为：，x项的系数为：，展开式中含x2项的系数为0，可得：-+=0，则15a=6，所以a=，故答案为：．14.【答案】【解析】解：正方体的棱长为1，则该正方体外接球的半径：=．故答案为：．利用已知条件，直接求出正方体的外接球的半径即可．本题考查正方体的棱长与外接球的半径的关系，是基本知识的考查．15.【答案】【解析】解：∵△ABC的面积为=ac sin B，b2=ac sin2B，∴由正弦定理可得：sin2B=sin A sin C sin2B，∴可得：sin A sin C=，∵6cos A•cos C=1，可得：cos A cos C=，∴cos∠ABC=cos[π-（A+C）]=-cos（A+C）=sin A sin C-cos A cos C=-=，∵∠ABC∈（0，π），∴∠ABC=．故答案为：．由已知利用三角形的面积公式，正弦定理可求sin A sin C=，又由6cos A•cos C=1，可得cos A cos C=，根据三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式可求cos∠ABC 的值，结合范围∠ABC∈（0，π），即可得解∠ABC=．本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】-1【解析】解：设切点的横坐标为x0，f′（x）=1--==1⇒x0=-⇒-a=，则有：f（x0）=x0+-a ln x0=x0+1⇒ln x0-x0+1=0，令h（x）=ln x-x+1⇒h′（x）=-1=0⇒x=1，则h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，又因为h（1）=0，所以x0=1⇒a=-1；故答案为：-1．设切点的横坐标为x0，求出导函数，利用直线y=x+1与曲线y=f（x）相切，转化求解切点横坐标以及a的值即可．本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程的求法．考查转化思想以及计算能力．17.【答案】解：数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2．当n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，=2n-1（首项符合通项），故：a n=2n-1．（2）由于a n=2n-1，所以：b n=（）=，则：，所以：数列{b n}是以首项为，公比为的等比数列．故：．【解析】（1）首先求出数列的通项公式，（2）利用（1）的通项，进一步求出数列的通项公式，进一步求出数列的和本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）由频率分布直方图的性质得：，解得b=0.5，a=1．（2）在[4.9，5.1）中，共有15人，其中5人不低于5.0，在这15人中，抽取3人，在[5.1，5.3]中共有5人，抽取1人，随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，E（ξ）==2．【解析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出a，b．（2）在[4.9，5.1）中，共有15人，其中5人不低于5.0，在这15人中，抽取3人，在[5.1，5.3]中共有5人，抽取1人，随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．本题考查频率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（1）依题意F1（-c，0），∴=-c2+3=0，即c=∵e==，∴a=2，∴b2=a2-c2=1，∴椭圆C的方程为+y2=1，（2）设直线l的方程为y=k（x-），M（x1，y1），N（x2，y2），由，得（1+4k2）x2+8k2x+4（3k2-1）=0，则x1+x2=，x1x2=，∵k1，k，k2成等比数列，∴k1•k2=k2==，则（x1+x2）=3，即=，解得k2=故k1•k2=．【解析】（1）依题意F1（-c，0），由=-c2+3=0，即c=，根据离心率求出a，即可求出b，可得椭圆方程（2）设直线l的方程为y=k（x-），M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，转化求解即可．本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了椭圆的简单性质，直线的斜率，等比数列的性质，属于中档题．20.【答案】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设|PA|=h，∴P（0，0，h），B（1，0，0），D（0，2，0），C（1，2，0），F（1，1，0），E（，0，0），∴，，∴，则PF⊥FD；（2）解：∵PA⊥底面ABCD，∴PB在底面ABCD的投影为BA，∴∠PBA为PB与平面ABCD所成角，即∠PBA=45°，∴△PBA为等腰直角三角形，则|AP|=|AB|=1，即h=1．∴平面PFD的法向量为，平面APD为yOz平面，∴平面APD的法向量为，设二面角A-PD-F的平面角为θ，可知θ为锐角，∴cosθ=|cos＜＞|=；（3）解：如图，延长DF，AB交于G，连接PG，则PG即为所求直线l．【解析】（1）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设|PA|=h，分别求出P，B，D，C，F，E的坐标，然后证明，则PF⊥FD；（2）由PA⊥底面ABCD，可得PB在底面ABCD的投影为BA，得到∠PBA为PB与平面ABCD所成角，由此求得平面PFD的法向量为，平面APD为yOz平面，可得平面APD的法向量为，由两法向量所成角的余弦值可得而面角A-PD-F的余弦值；（3）延长DF，AB交于G，连接PG，则PG即为所求直线l．本题考查空间中的直线与直线，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．21.【答案】解：（1），（x＞0），，故a=0，（2），方程的判别式，①当a≥时，，，在（0，+∞）递减，②当0＜a＜时，方程的根为，且，故在（0，x1）递减，在（x1，x2）递增，在（x2，+∞）递减，③当a=0时，，在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，④当a＜0时，方程的根为，且，，故在（0，x1）递减，在（x1，+∞）递增；（3）在（1）的条件下，，，令，，（x＞0），故在（0，+∞）递增，又h（）＜0，h（e）＞0，故∃x0∈（，e），使得h（x0）=0，即，在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，故，故．【解析】（1）求出函数的导数，计算，得到关于a的方程，解出即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（3）求出函数的导数，令，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：（1）直线l的极坐标方程为θ=，（ρ∈R）；曲线C1的普通方程为+y2=1；曲线C2的普通方程为（x-3）2+（y-2）2=13．（2）曲线C1的极坐标方程为ρ2=，曲线C2的极坐标方程为：ρ=6cosθ+4sinθ，∴|OM|=6cos+4sin=5，|ON|==，可得|MN|=|ON|-|OM|=5-=．【解析】（1）直线l的极坐标方程为θ=，（ρ∈R）；利用sin2α+cos2α=1可得C1和C2的普通方程；（2）将C1，C2化成极坐标方程后将θ=代入可求得|OM|，|ON|，再相加．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）|x+1|-|2x-4|＞2，等价为或或，可得x∈∅或＜x≤2或2＜x＜3，即为＜x＜3，则原不等式的解集为（，3）；（2）关于x的不等式f（x）＞t2+2t解集非空，可得t2+2t＜f（x）max，由f（x）=|x+1|-|x-2|-|x-2|≤|x+1-x+2|-0=3，当且仅当x=2时取得最大值2，可得t2+2t＜3，解得-3＜t＜1．【解析】（1）运用分类讨论解不等式即可得到所求解集；（2）由题意可得t2+2t＜f（x）max，由绝对值不等式的性质可得f（x）的最大值，解不等式可得所求范围．本题考查不等式的解法和不等式有解的运用，考查运算能力，属于基础题．。

2020年辽宁省重点中学协作校理科数学试题与答案

不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不
A. 2
B.1
C.
4 5
D.
-
3 5
不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不
不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不
题）
8. 已知函数
f (x) = sin(ωx + ϕ)(ω > 0,| ϕ| <
π 2
)
图象相邻两条对称轴之间的距离为
π 2
，将函数
线
y = f (x) 的图象向左平移
π 6
个单位后，得到的图象关于
y
轴对称，那么函数
y
=
f
(x)
的图象（
）
不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不
不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不
7. 设 a = 0.20.3 ，b = log0.30.2 ，c = 0.40.3 ，则（）
不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不
○ 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不
不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不

2019-2020学年辽宁省葫芦岛市六校协作体高三(上)第一次考试数学试卷1 (含答案解析)

2019-2020学年辽宁省葫芦岛市六校协作体高三（上）第一次考试数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 复数Z =3−4i ，则|Z|等于( )A. 3B. 4C. 5D. 6 2. 若等比数列{a n }满足2a 4=a 6−a 5，则公比为 ( )A. 1B. 1或−2C. −1或2D. −1或−2 3. 向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,7)，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A. (−2,−4)B. (2,4)C. (6,10)D. (−6.−10)4. 设复数z =1+i ，则z−z=( )A. −iB. iC. −2iD. 2i 5. 已知a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ 是两两垂直的单位向量，则|a ⃗ −2b ⃗ +3c ⃗ |=( )A. 14B. √14C. 4D. 26. 将函数f (x )=sin (3x +π6)+2的图象上所有点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变，所得函数的单调递减区间为( )A. [−4π27+49kπ,2π27+49kπ](k ∈Z ) B. [2π27+49kπ,8π27+49kπ](k ∈Z ) C. [−π3+kπ,π6+kπ](k ∈Z ) D. [π6+kπ,2π3+kπ](k ∈Z )7. 在△ABC 中，三边长AB =7，BC =5，AC =6，则cos B 的值等于( )A. 1935B. −1435C. −1835D. −19358. 下列函数为奇函数的是( )A. f(x)=x 3+3x 2B. f(x)=2x +2−xC. f(x)=xsinxD. f(x)=ln 3+x3−x9. 若等比数列{a n }的前n 项和S n =a ⋅3n −2，则a 2=( )A. 4B. 12C. 24D. 3610. 已知，则的近似值为( )A. 1.77B. 1.78C. 1.79D. 1.8111. 函数在[− π , π ]上的图象大致为( )A.B.C.D.12. △ABC 中，a =√3,A =π3,4bsinB =csinC ，则cosC =( )A. √32B. −√32C. −√32或√32D. 0二、填空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 复数i 2(1−2i)的实部是________．14. 已知等差数列{a n }满足a 1=2，a 2+a 4=a 6，则公差d =______． 15. 设函数f(x)=2x +lnx ，则f(x)的极________值点为x =________．16. 已知函数f(x)=cosxcos(30∘−x)，则f(20∘)+f(40∘)=__________；f(1∘)+f(2∘)+f(3∘)+⋯+f(59∘)=__________.三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 如图，平行四边形ABCD 中，AB =1，AD =4，CE =13CB.CF =23CD ，∠DAB =60°，求AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．18. 已知等差数列{a n }满足a 2=4，a 6+a 8=18．(I)求数列{a n }的通项公式； (II)求数列{1na n}的前n 项和．19.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c−ba+b =sinAsinB+sinC．(1)求角C；(2)设c=√3，求△ABC周长的最大值．20.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若锐角αα满足：f(α)−f(α−π6)=1，求α．21.已知数列{an}满足递推式a n=2a n−1+1(n≥2)，其中a4=15(1)求a1,a2,a3；(2)求证：数列{a n+1}为等比数列．22.已知函数f(x)=√32sin2x−cos2x+12(1)当x∈[0,π2]时，求函数f(x)的取值范围；(2)将f(x)的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵Z =3−4i ， ∴|Z|=√32+(−4)2=5．故选：C ．直接利用复数模的计算公式求解．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．2.答案：C解析：【分析】本题考查等比数列的公比的求法，由已知条件利用等比数列的通项公式推导出q 2−q −2=0，由此能求出q =−1或q =2.是基础题．【解答】解：∵等比数列{a n }满足2a 4=a 6−a 5， ∴2a 1q 3=a 1q 5−a 1q 4，整理，得：q 2−q −2=0，解得q =−1或q =2．故选C ．3.答案：B解析：【分析】本题考查向量的减法及坐标运算，属于基础题．由向量的减法得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，代入坐标运算可得．【解答】解：向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,7)，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,7)−(2,3)=(2,4)．故选B ．4.答案：A解析：把z =1+i 代入z−z，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．【解答】解：∵z =1+i ，∴z −z =1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i 2=−i ．故选A ．5.答案：B解析：解：∵已知a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ 是两两垂直的单位向量，∴a ⃗ 2=b ⃗ 2=c ⃗ 2=1，且a⃗ ⋅b ⃗ =b ⃗ ⋅c ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ =0， ∴|a ⃗ −2b ⃗ +3c ⃗ |=√(a ⃗ −2b ⃗ +3c ⃗ )2=√1+4+9=√14，故选：B ．由题意可得a ⃗ 2=b ⃗ 2=c ⃗ 2=1，且a ⃗ ⋅b ⃗ =b ⃗ ⋅c ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ =0，再根据|a ⃗ −2b ⃗ +3c ⃗ |=√(a ⃗ −2b ⃗ +3c ⃗ )2，计算求得结果．本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，求向量的模的方法，属于基础题．6.答案：D解析：【分析】本题考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．根据图象的变换规则逐步得出函数解析式，利用正弦函数的单调性即可得解．【解答】解：∵将函数f (x )=sin (3x +π6)+2的图象上所有点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变，得到函数解析式为：，令，解得：，k ∈Z ，可得函数g(x)的单调递减区间是：[π6+kπ,2π3+kπ](k ∈Z ) ，故选D ．7.答案：A解析：由已知利用余弦定理即可计算得解．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．【解答】解：∵△ABC中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，∴由余弦定理可得：cosB=AB2+BC2−AC22AB⋅BC =49+25−362×7×5=1935．故选：A．8.答案：D解析：【分析】本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用奇函数的定义，考查运算能力，属于基础题．写出f(−x)，判断f(x)与f(−x)的关系及定义域即可．【解答】解：对于A，f(x)=x3+3x2，f(−x)=−x3+3x2，f(−x)≠−f(x)，f(x)不为奇函数；对于B，f(x)=2x+2−x，f(−x)=2−x+2x，f(−x)=f(x)，且定义域为R，f(x)为偶函数；对于C，f(x)=xsinx，定义域为R，f(−x)=−xsin(−x)=xsinx=f(x)，f(x)为偶函数；对于D，f(x)=ln3+x3−x，定义域为(−3,3)关于原点对称，f(−x)+f(x)=ln 3+x3−x +ln 3−x 3+x=ln1=0，即有f(−x)=−f(x)，f(x)为奇函数；故选D．9.答案：B解析：解：∵S n=a⋅3n−2，∴a1=S1=a⋅31−2=3a−2，a2=S2−S1=(9a−2)−(3a−2)=6a，a3=S3−S2=(27a−2)−(9a−2)=18a，∵{a n}为等比数列，∴(6a)2=(3a−2)×18a，解得a=2，或a=0(舍)，∴a2=S2−S1=6a=12，故选B．由S n=a⋅3n−2，和{a n}为等比数列，解得a=2，由此能求出a2．本题考查等差数列的前n项和公式的简单应用，数列版块在新课标的背景下要求降低，只强调等差、等比数列通项、前n项和，题干比较新鲜．10.答案：B解析：【分析】本题主要考查了三角恒等变换，考查运算求解能力，属于基础题．运用诱导公式以及两角和的三角函数公式，化简求解即可．【解答】解：，，故选B．11.答案：A解析：【分析】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题．判断函数的奇偶性，利用时的函数值判断选项即可．【解答】解：函数是偶函数，可排除C，并且f(π2)<0 , f(π)=−2+π2eπ>−1，排除B，D，故选：A．12.答案：D解析：解：∵a=√3,A=π3,4bsinB=csinC，∴由正弦定理可得4b2=c2，可得：c=2b，∴由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，可得3=b2+4b2−2b⋅2b⋅12，可得b=1，c=2，∴cosC=a2+b2−c22ab =2×√3×1=0，故选：D．由已知利用正弦定理可求c=2b，进而由余弦定理可求b，c的值，根据余弦定理可求cos C的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．13.答案：−1解析：【分析】本题主要考查了复数的概念，复数的四则运算，考查学生的计算能力，属于基础题．根据题意可得i2(1−2i)=−1+2i，从而即可得到实部．【解答】解：∵i2(1−2i)=−(1−2i)=−1+2i，∴复数i2(1−2i)的实部−1，故答案为−1．14.答案：2解析：解：在等差数列{a n}中，由a1=2，a2+a4=a6，得2a1+4d=a1+5d，即4+4d=2+5d，得d=2．故答案为：2．由已知直接利用等差数列的通项公式求解．本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．15.答案：小2解析：【分析】本题考查导数求函数极值的应用，首先求出导函数，找出变号点，及可求解．【解答】解：∵f(x)=2x +lnx，∴f′(x)=−2x2+1x．令f′(x)=0，则x =2.当0<x <2时f′(x)<0；当x >2时f′(x)>0， ∴ f(x)的极小值点为x =2．故答案为小，2．16.答案：√359√32解析：(1)f(20∘)+f(40∘)=cos(20∘)cos(10∘)+cos(40∘)cos(−10∘)=cos20∘+cos40∘cos10∘=cos(30∘−10∘)+cos(30∘+10∘)cos10∘=2cos30∘cos10∘cos10∘=2cos30∘=√3；(2)由题可以猜测，当α+β=60∘时，有f(α)+f(β)=√3，下面给出证明：f(x)+f(60∘−x)=cosxcos(30∘−x)+cos(60∘−x)cos(x−30∘)=32cosx+√32sinx cos(x−30∘)=√3cos(x−30∘)cos(x−30∘)=√3，令S =f(1∘)+f(2∘)+f(3∘)+⋯+f(59∘)，则S =f(59∘)+f(58∘)+f(57∘)+⋯+f(1∘)，两式相加得：2S =59√3，所以S =59√32，所以S =f(1∘)+f(2∘)+f(3∘)+⋯+f(59∘)=59√32．17.答案：解：∵FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CE ⃗⃗⃗⃗⃗ −CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13×16+23+13×1×4×12=23+23−163=−4．解析：根据向量的基本定理结合向量数量积的公式进行计算即可．本题主要考查向量数量积的计算，根据向量基本定理求出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 和FE⃗⃗⃗⃗⃗ 的表达式是解决本题的关键． 18.答案：解：(I)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 2=4，a 6+a 8=18． ∴{a 1+d =42a 1+12d =18，解得：a 1=3，d =1，故数列{a n }的通项公式为a n =3+(n −1)=2+n ． (II)设数列{1na n}的前n 项和为S n ，1na n=1n(n+2)=12(1n −1n+2)，∴S n =12(11−13+12−14+13−15+⋯+1n−2−1n +1n−1−1n+1+1n −1n+2)， ∴S n =12(11+12−1n+1−1n+2)=12(32−2n+3(n+1)(n+2))，化为S n =34−2n+32(n+1)(n+2)．解析：本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(I)利用等差数列的通项公式列方程组求出首项和公差即可得出；(II)利用“裂项求和”即可得出．19.答案：解：(1)依题意得已知c−ba+b =sinAsinB+sinC．即a2+b2−c2=−ab，∴cosC=a2+b2−c22ab =−12，∵0<C<π∴C=2π3．(2)由于c2=a2+b2−2abcosC，=a2+b2+ab，≥(a+b)2−(a+b2)2，所以34(a+b)2≤3，即：a+b≤2，当a=b=1时，等号成立．所以△ABC的周长的最大值为2+√3．解析：(1)直接利用正弦定理和余弦定理求出结果．(2)利用余弦定理和基本不等式求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，基本不等式的应用．20.答案：解：(1)由图知，A=2，T=4×(π6+π12)=π，∴ω=2πT=2，∴f(x)=2sin(2x+φ)，由f(π6)=2sin(2×π6+φ)=2⇒2×π6+φ=π2+2kπ，∴φ=π6+2kπ(k∈Z)，又|φ|<π2，∴φ=π6，∴f(x)=2sin(2x+π6)；(2)由f(α)−f(α−π6)=1⇒2sin(2α+π6)−2sin[2(α−π6)+π6]=1，得sin2αcosπ6+cos2αsinπ6−sin2αcosπ6+cos2αsinπ6=12，∴cos2α=12>0，又∵α是锐角，∴2α=π3 ,即α=π6．解析：本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查两角和与差的正弦，考查运算能力，属于中档题．(1)由图易知A=2，T=π，从而可求得ω=2；再利用f(π6)=2，|φ|≤π2即可求得φ的值，从而可得函数f(x)的解析式；(2)由(1)知f(x)=2sin(2x+π6)，于是由f(α)−f(α−π6)=1，可求得cos2α=12，α为锐角，从而可求得α的值．21.答案：(1)解：由a n=2a n−1+1(n≥2)，及a4=15，知a4=2a3+1得a3=7，同理得a2=3，a1=1;(2)证明：由a n=2a n−1+1(n≥2)得a n+1=2(a n−1+1)所以，数列{a n+1}是首项为a1+1=2，公比为2的等比数列所以，a n+1=(a1+1)×2n−1，所以，数列{a n}的通项公式为a n=2n−1．解析：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查错位相减法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．(1)由a n=2a n−1+1(n≥2)，a4=15，代入计算，可求a1，a2，a3；(2)由a n=2a n−1+1(n≥2)得a n+1=2(a n−1+1)，即可得到数列{a n+1}是等比数列，从而可求数列{a n}的通项公式．22.答案：解：(1)∵f(x)=√32sin2x−cos2x+12=√32sin2x−12cos2x=sin(2x−π6)，∵x∈[0,π2]时，2x−π6∈[−π6,5π6]，∴sin(2x−π6)∈[−12,1]，∴函数f(x)的取值范围为：[−12,1]；(2)∵g(x)=f(x+π6)=sin[2(x+π6)−π6]=sin(2x+π6)，∴令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，即可解得g(x)的单调递增区间为：[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z．解析：本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，正弦函数的图象和性质，考查了三角函数恒等变换的应用，属于中档题．(1)利用三角函数恒等变换的应用化简可求f(x)=sin(2x−π6)，由x∈[0,π2]，可求2x−π6∈[−π6,5π6]，根据正弦函数的图象和性质可求f(x)的取值范围；(2)根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可求g(x)=f(x+π6)=sin(2x+π6)，令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，即可解得g(x)的单调递增区间．。

辽宁省六校协作体2020届高三上学期期中考试数学(理)试卷(有答案)

辽宁省六校协作体2020届高三上学期期中考试数学（理）试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U R =，集合2{}230{|24}A x x x B x x =-->=<<，，则()U C A B = （） A ．[1,4]- B ．[1,4)-C ．[2,3)D ． (2,3]2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（） A ．“至少有1个白球”和“都是红球” B ．“至少有2个白球”和“至多有1个红球” C ．“恰有1个白球” 和“恰有2个白球” D ．“至多有1个白球”和“都是红球”3. 若22)4sin(2cos -=-παα，则cos sin αα+的值为（）A ．12 B ．12- C． D ．4. 已知分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且＝（）A ．－3B ． 1C ．－1D ．35. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则角A 的值为（） A ．3π B. 6π C. 2πD. 23π6. ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（）A ．1= B ．⊥ C ． 1a b ⋅= D ．()4C a b +⊥B7.若样本1231,1,1,,1n x x x x ++++的平均数是10，方差为2，则对于样本12322,22,22,,22n x x x x ++++，下列结论正确的是（）(),()f x g x 32()()1,f x g x x x -=++(1)(1)f g +则A ．平均数为20，方差为4B ．平均数为11，方差为4C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为8 8.等差数列333log (2),log (3),log (42),x x x +的第四项为( )A ．3B ．4C ．3log 18D ．3log 249.已知()f x 的定义域为(,)-∞+∞，且满足(1)(1)(1)(1)0f x f x f x f x --+-=--+=，若(1)2,f =则20191()i f i ==∑( )A ．2019-B ．0C ．2D ．201910. 如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于（）A ．1)mB ．1)mC ．1)mD ．1)m11. 设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>,已知()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点,有下述四个结论：①()f x 在(0,2)π恰好有3次取到最大值 ②()f x 在(0,2)π恰好有2次取到最小值③()f x 在(0,)10π单调递增④ω的取值范围是1229[,)510其中所有正确结论．．．．．．的编号是（） A ．①③④ B ．②④C ．①④D ．①③12. 已知函数有两个零点，，，则下面说法正确的是（）A ．B ．C ．D ．有极小值点，且二．填空题：本大题共4小题，每小题5分 13. 函数lg 10x y =的值域是_________.14.若向量(1,2),(1,1),a b ==- 则2a b +与a 夹角的正弦值等于________. 15. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是34，连续两天为优良的概率是12，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是_______. 16. 如图，已知ABC ∆中，点D 在边BC 上，AD 为BAC ∠ 的平分线，且1,2AB AD AC ===. 则BDDC的值为_______， ABC ∆的面积为_______________.（本题第一空2分，第二空3分．）三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知函数()22cos cos 213f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.（1）求函数f (x )的最小正周期和对称轴方程；（2）讨论函数f (x )在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性.18.（本小题满分12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sinsin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且b =ABC ∆面积的取值范围．19.（本小题满分12分）辽宁省六校协作体（葫芦岛第一高中、东港二中、凤城一中、北镇高中、瓦房店高中、丹东四中）中的某校理科实验班的100名学生期中考试的语文、数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[100,110），[110,120），[120,130），[130,140），[140,150]．这100名学生语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比如下表所示：（1）估计这100名学生数学成绩的平均数、方差；（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）从数学成绩在[130，150] 的学生中随机选取2人，该2人中数学成绩在[140，150]的人数为X ，求X 的数学期望()E X ．20.（本小题满分12分）已知数列}{n a 、}{n b 满足1,211==b a ，且1111434(2)434n n n n n n a a b n b a b ----=++⎧≥⎨=++⎩（1）令,,n n n n n n c a b d a b =+=-证明：{}n c 是等差数列，{}n d 是等比数列；)（2）求数列}{n a 和{}n b 的通项公式；（3）求数列22{}nn a b -的前n 项和公式n S ．21.（本小题满分12分）已知函数x ax ax x f ln 221)(2+-=有两个极值点1x 、2x ，且2121>⋅x x ．（1）求实数a 的取值范围M ；（2）若]2,221[0+∈∃x ，使不等式2ln 2)1()1()1ln()(20++-->++a a b a x f 对M a ∈∀ 恒成立，求实数b 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是πtan (π)2y x αα=<<，曲线1C 的参数方程是cos sin x a a y a ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程是2sin b ρθ=．（1）写出l 及1C 的极坐标方程；（2）已知12a =，1b =，l 与1C 交于,O M 两点，l 与2C 交于,O N 两点，求22||||||OM OM ON +的最大值．23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设0,0,0a b c >>>，1ab bc ca ++=．（1）求证：111a b c bc ca ab a b c++≥++．（2）求证：a b c ++≥．数学参考答案（理科）一、选择题二、填空题13、 (0,)+∞ 14、10 15、 23 16、1,12三、解答题17. 解：（1），…………（3分）因为，所以最小正周期，…………（5分）令，所以对称轴方程为，.…………（6分）（2）令，得，，…………（8分）设，{|,}36B x k x k k Z ππππ=-+≤≤+∈，易知，…………（10分）所以，当时，在区间上单调递增；在区间上单调递减. …………（12分）18. （1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=．因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A CB +=． ()22cos cos 213f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭1cos 2cos 22sin 226x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭2ω=2Tππω==2=62x k πππ++62k x ππ=+k Z ∈222262k x k πππππ-+≤+≤+36k x k ππππ-+≤≤+k Z ∈,44A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,46AB ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x ,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦由180A B C ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=．因为cos 02B ≠，故1sin 22B =，因此60B ︒=．…………（4分）（2）由正弦定理，2sin sin sin a c b A C B ===，所以2sin ,2sin a A c C == ， ABC ∆的面积11sin 2sin 2sin 22S ac B A C ==⋅⋅sin A C=2sin()3A A π=-213sin )sin cos 22A A A A A A =+=+31cos2sin 242A A -=+)6A π=-…………（8分）因为ABC ∆为锐角三角形，所以022032A C A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，因此62A ππ<<.…………（10分）所以52666A πππ<-<，1sin(2)126A π<-≤S <≤，因此ABC ∆的面积的取值范围是. …………（12分）19. 解：（1）这100名学生语文成绩的平均数是：1050.051150.41250.31350.21450.05123⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…………（2分）这100名学生语文成绩的方差是：22222(105123)0.05(115123)0.4(125123)0.3(135123)0.2(145123)0.0596-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=…………（4分）（2）∵数学成绩在[100，140）之内的人数为14(20.050.40.30.2)1009023⨯+⨯+⨯+⨯=∴数学成绩在[140，150]的人数为1009010-=人，而数学成绩在[130，140）的人数为0.210020⨯=人，…………（6分） X 可取0,1,2，021********(0)87C C P X C ===，11102023040(1)87C C P X C ===，2010202303(2)29C C P X C ===，X 的分布列…………（10分） ∴384032()0128787293E X =⨯+⨯+⨯=．…………（12分）（注：或用超几何分布的期望公式计算：这里X 服从参数为30,10,2N M n ===的超几何分布，因此102()2.303M E X n N =⋅=⨯=） 20.（1）证明：由题设得114()4()8n n n n a b a b --+=++，即112n n n n a b a b --+=++，因此12(2)n n c c n --=≥，又1113c a b =+=，所以数列{}n c 是首项为3，公差为2的等差数列. …………（2分）又由题设得114()2()n n n n a b a b ---=-，即112()n n n n a b a b ---=-，因此11(2)2n n d d n -=≥，又1111d a b =-=，所以数列{}n d 是首项为1，公比为12的等比数列. …………（4分） (2)由（1）知1121,().2n n n c n d -=+=即1211()2n n n n n a b n a b -+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1111(),().2222n n n na nb n =++=+-…………（6分）（3）2211()()(21)().2n n n n n n n n n a b a b a b c d n --=+-==+0221111113()57()(21)()(21)()22222n n n S n n --=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅23111111135()7()(21)()(21)()222222n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅ 2311211111132[()()()](21)()22222211[1()]12232(21)()1212115()(21)()22n nn n nn nS n n n ---=+⨯++++-+⋅⨯-=+⨯-+⋅-=--+⋅两式相减得，所以1110(25)()2n n S n -=-+⋅.…………（12分）21. 解：（1）)0(1212)(2>+-=+-='x xax ax x a ax x f ， ………………（2分）0120)(2=+-⇔='ax ax x f ，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>+>-=∆≠210044021212x x x x a a a ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>>-≠2110204402a a a a ， ………………（4分）解得a 的取值范围)2,1(=M ． ………………（6分）（2）由0122=+-ax ax ，解得aaa a x a a a a x -+=--=2221,，而)(x f 在),0(1x 上递增，在),(21x x 上递减，在),(2+∞x 上递增 ∵21<<a ，∴2211112+<-+=a x ．∴)(x f 在]2,221[+上单调递增， ∴在]2,221[+上，2ln 2)2()(max +-==a f x f ． ………………（7分） ∴“]2,221[0+∈∃x ，使2ln 2)1()1()1ln()(20++-->++a a b a x f 对M a ∈∀恒成立”等价于“不等式2ln 2)1()1()1ln(2ln 22++-->+++-a a b a a 恒成立”，即，不等式012ln )1ln(2>+-+--+b a ba a 对任意的a （21<<a ）恒成立． ………………（8分）令12ln )1ln()(2+-+--+=b a ba a a g ，则0)1(=g ．1221211)(2+---=--+='a aba ba ba a a g ． ①当0≥b 时，0122)(2<+---='a aba ba a g ，)(a g 在)2,1(上递减．0)1()(=<g a g ，不合题意．②当0+-b，即041<<-b 时，则)(a g 在)2,1(上先递减，∵0)1(=g ，∴21<<a 时，0)(>a g 不能恒成立；若1)211(≤+-b ，即41-≤b 时，则)(a g 在)2,1(上单调递增， ∴>)(a g 0)1(=g 恒成立，∴b 的取值范围为]41,(--∞． ………………（12分）22. 解：（1）把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入tan y x α=得tan tan θα=，所以l 极坐标方程是π(,π)2θαρα=∈<<R ． 1C 的普通方程是2220x y ax +-=，其极坐标方程是2cos a ρθ=．…………（5分）（2）1C ：cos ρθ=，2C ：2sin ρθ=，θα=分别代入1C ，2C 得||cos OM α=-，||2sin ON α=．所以22π2||||||2cos 2cos sin 2)14OM OM ON αααα+=-=-+．因为ππ2α<<，当7π8α=时，所以22||||||OM OM ON +1．…………（10分）23. 证明：（1）因为2a b bc ca c +≥=，同理2b c ca ab a +≥，2a c bc ab b +≥，所以111a b c bc ca ab a b c++≥++． …………（5分）（2）由（1）得222a b c ab bc ca ++≥++．因为1ab bc ca ++=，所以2221a b c ++≥．因为2222222()2222a b c a b c ab bc ca a b c ++=+++++=+++．所以2()3a b c ++≥，即a b c ++≥． …………（10分）。

2020年辽宁省葫芦岛市协作校、锦州市高考(理科)数学一模试卷含解析

2020年辽宁省葫芦岛市协作校、锦州市高考（理科）数学一模试卷含解析）一、选择题.1．已知集合A＝{x|x2﹣6x+5≤0}，B＝{x|y=√x−3}，A∩B＝（）A．[1，+∞）B．[1，3]C．（3，5]D．[3，5]2．若复数z满足z（i﹣1）＝2i（i为虚数单位），则z为（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．已知平面向量a→=（2，3），b→=（x，4），若a→⊥(a→−b→)，则x＝（）A．12B．1C．2D．34．数据5，7，7，8，10，11的中位数和标准差分别为（）A．中位数为7，标准差为2B．中位数为7，标准差为4C．中位数为7.5，标准差为4D．中位数为7.5，标准差为25．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α⊥β的一个充分不必要条件是（）A．m⊥α，m⊥βB．m⊂α，n⊂β，m⊥nC．m⊥β，m∥αD．m∥n，m⊥α，n⊥β6．已知a=log20201π，b=(1π)2020，c=20201π，则（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c7．已知等比数列{a n}中，若a5+a7＝8，则a4（a6+2a8）+a3a11的值为（）A．8B．16C．64D．1288．在平面直角坐标系xOy中，已知M（﹣1，2），N（1，0），动点P满足|PM→⋅ON→|＝|PN→|，则动点P的轨迹方程是（）A．y2＝4x B．x2＝4y C．y2＝﹣4x D．x2＝﹣4y9．函数f(x)=(21+e x−1)sinx图象的大致形状是（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）＝2（|cos x|+cos x）•sin x给出下列四个命题：①f（x）的最小正周期为π；②f（x）的图象关于直线x=π4对称；③f（x）在区间[−π4，π4]上单调递增；④f（x）的值域为[﹣2，2]．其中所有正确的编号是（）A．②④B．③④C．①③④D．②③11．圆C：x2+y2﹣10x+16＝0上有且仅有两点到双曲线y2a2−x2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．(54，52)B．(√2，√5)C．(52，5√22)D．(√5，√2+1)12．已知f （x ）是定义在（0+∞）上的增函数，且恒有f [f （x ）﹣lnx ]＝1，若∀x ＞0，f （x ）≤ax ﹣1，则a 的最小值为（）A ．0B ．1eC ．1D ．e二、填空题：共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.13．某校期末考试后，随机抽取200名高三学生某科的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）．据此绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计该校高三学生该门学科成绩的及格率约为（60分以上为及格），这200名学生中成绩在[80，90）中的学生有名．14．若f(x)+2f(1x )=2x +1x对任意非零实数x 恒成立，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为．15．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小一份的量为．16．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，BC ＝4，E 为AD 中点，则三棱锥A 1﹣CDE 外接球的表面积为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sinC−sinA sinB−sinA=b a+c，（1）求角C 的大小；（2）若c ＝3，求a +b 的取值范围．18．某学校开设了射击选修课，规定向A 、B 两个靶进行射击：先向A 靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分，向B 靶连续射击两次，每命中一次得2分，没命中得0分；小明同学经训练可知：向A 靶射击，命中的概率为45，向B 靶射击，命中的概率为34，假设小明同学每次射击的结果相互独立．现对小明同学进行以上三次射击的考核．（Ⅰ）求小明同学恰好命中一次的概率；（Ⅱ）求小明同学获得总分X 的分布列及数学期望E （X ）．19．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝2，AA 1=√3，E 是BC 的中点，F 是A 1E 上一点，且A 1F ＝3FE ．（Ⅰ）证明：AF ⊥平面A 1BC ；（Ⅱ）求二面角B ﹣A 1E ﹣B 1余弦值的大小．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的焦距为2，过点(−1，√22)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆的右焦点为F ，定点P （2，0），过点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，以线段AP 为直径的圆与直线x ＝2的另一个交点为Q ，证明：直线BQ 恒过一定点，并求出该定点的坐标．21．已知函数f （x ）＝x （a ﹣lnx ），g （x ）＝x 2+e ﹣x ．（Ⅰ）讨论f （x ）在（1，+∞）上的单调性；（Ⅱ）设h （x ）＝f （x ）﹣g （x ），若f （x ）的最大值为0，求a 的值； [选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =√3+2cosαy =2+2sinα（α为参数），直线C 2的方程为y =√33x ，以O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；（2）若直线C 1与曲线C 2交于P ，Q 两点，求|OP |•|OQ |的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣m |﹣|2x +2m |（m ＞0）．（Ⅰ）当m ＝1时，求不等式f （x ）≥1的解集；（Ⅱ）若∀x ∈R ，∃t ∈R ，使得f （x ）+|t ﹣1|＜|t +1|，求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x2﹣6x+5≤0}，B＝{x|y=√x−3}，A∩B＝（）A．[1，+∞）B．[1，3]C．（3，5]D．[3，5]【分析】分别求出集合A、B，从而求出A∩B即可．解：∵集合A＝{x|x2﹣6x+5≤0}＝{x|1≤x≤5}，B＝{x|y=√x−3}＝{x|x≥3}，∴A∩B＝[3，5]，故选：D．2．若复数z满足z（i﹣1）＝2i（i为虚数单位），则z为（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z（i﹣1）＝2i，得z=2i−1+i=2i(−1−i)(−1+i)(−1−i)=1−i．故选：B．3．已知平面向量a→=（2，3），b→=（x，4），若a→⊥(a→−b→)，则x＝（）A．12B．1C．2D．3【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积的定义，列方程求出x的值．解：向量a→=(2，3)，b→=(x，4)，若a→⊥(a→−b→)，则a→•（a→−b→）＝0，即a→2−a→•b→=0，所以（22+32）﹣（2x+3×4）＝0，解得x=1 2．故选：A．4．数据5，7，7，8，10，11的中位数和标准差分别为（）A．中位数为7，标准差为2B．中位数为7，标准差为4C．中位数为7.5，标准差为4D．中位数为7.5，标准差为2【分析】分别计算这组数据的中位数、平均数和方差、标准差即可．解：数据5，7，7，8，10，11的中位数是12×（7+8）＝7.5；平均数是x=16×（5+7+7+8+10+11）＝8，方差是s2=16×[（﹣3）2+（﹣1）2+（﹣1）2+02+22+32]＝4，标准差是s＝2．故选：D．5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α⊥β的一个充分不必要条件是（）A．m⊥α，m⊥βB．m⊂α，n⊂β，m⊥nC．m⊥β，m∥αD．m∥n，m⊥α，n⊥β【分析】根据充要性，找出它的充分不必要条件．解：由题意可知，可m⊥β，m∥α以推出α⊥β，若α⊥β则推不出m⊥β，m∥α，故选：C．6．已知a=log20201π，b=(1π)2020，c=20201π，则（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c 【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．解：a=log20201π＜log20201＝0，b=(1π)2020∈（0，1），c=20201π＞1，所以a＜b＜c．故选：D．7．已知等比数列{a n}中，若a5+a7＝8，则a4（a6+2a8）+a3a11的值为（）A．8B．16C．64D．128【分析】根据等比数列{a n}中，等比中项的定义，化简求解本式即可．解：等比数列{a n}中，a4（a6+2a8）+a3a11＝a4a6+2a4a8+a3a11=a52+2a5a7+a72=(a5+a7)2，∵a5+a7＝8，∴a4（a6+2a8）+a3a11＝82＝64．故选：C．8．在平面直角坐标系xOy中，已知M（﹣1，2），N（1，0），动点P满足|PM→⋅ON→|＝|PN→|，则动点P的轨迹方程是（）A．y2＝4x B．x2＝4y C．y2＝﹣4x D．x2＝﹣4y【分析】由轨迹方程的求法得：设动点P（x，y），求出相关的向量利用向量的数量积以及向量的模化简求解，可得动点P的轨迹C的方程．解：（1）设动点P（x，y），M（﹣1，2），N（1，0），则PM→=（﹣x﹣1，2﹣y），PN→=（1﹣x，﹣y），动点P满足|PM→⋅ON→|＝|PN→|，|﹣x﹣1|=√(x−1)2+y2，所以x2+2x+1＝x2﹣2x+1+y2，整理得：y2＝4x，故动点P的轨迹C的方程为：y2＝4x故选：A．9．函数f(x)=(21+e x−1)sinx图象的大致形状是（）A．B．C．D．【分析】由函数的奇偶性可排除BD，由f（1）＜0，可排除A，进而得出正确选项．解：由f(x)=1−e x1+e x⋅sinx，可得f(−x)=1−e−x1+e−x⋅sin(−x)=ex−1e x+1⋅(−sinx)=f(x)，且函数的定义域为R，则函数f （x ）为偶函数，故可排除选项B ，D ；又f(1)=1−e1+e⋅sin1＜0，故可排除A ．故选：C ．10．已知函数f （x ）＝2（|cos x |+cos x ）•sin x 给出下列四个命题： ①f （x ）的最小正周期为π； ②f （x ）的图象关于直线x =π4对称； ③f （x ）在区间[−π4，π4]上单调递增； ④f （x ）的值域为[﹣2，2]．其中所有正确的编号是（） A ．②④B ．③④C ．①③④D ．②③【分析】根据周期，对称轴，单调性的性质进行判断．解：f （π+x ）＝2（|cos （π+x ）|+cos （π+x ））•sin （π+x ）＝﹣2（|cos x |﹣cos x ）•sin x ≠f （x ），则f （x ）的最小正周期不是π，①错，则排除C 选项；f （π2−x ）＝2（|cos （π2−x ）|+cos （π2−x ））•sin （π2−x ）＝2（|sin x |+sin x ）•cos x≠f （x ），f （x ）的图象不关于直线x =π4对称，②错，排除AD 选项f （x ）在区间[−π4，π4]时，f （x ）＝2（|cos x |+cos x ）•sin x ＝4cos x sin x ＝2sin2x ，在[−π4，π4]上单调递增，③对，排除A 选项；故选：B ．11．圆C ：x 2+y 2﹣10x +16＝0上有且仅有两点到双曲线y 2a −x 2b =1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（）A ．(54，52)B ．(√2，√5)C ．(52，5√22)D ．(√5，√2+1)【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，写出双曲线的一条渐近线方程，由题意可得圆心到双曲线渐近线的距离大于且小于4，由此列式求解双曲线离心率的取值范围．解：圆C ：x 2+y 2﹣10y +16＝0可化为x 2+（y ﹣5）2＝9， ∵圆C ：x 2+y 2﹣10y +16＝0上有且仅有两点到双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的距离为1，∴圆心到双曲线渐近线的距离大于2且小于4，由对称性不妨取双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为y =ba x ，即bx ﹣ay ＝0， ∴25a√a 2+b4，即2＜5a c＜4，解得：54＜c a＜52．即双曲线离心率的取值范围是（54，52）．故选：A ．12．已知f （x ）是定义在（0+∞）上的增函数，且恒有f [f （x ）﹣lnx ]＝1，若∀x ＞0，f （x ）≤ax ﹣1，则a 的最小值为（）A ．0B ．1eC ．1D ．e【分析】利用函数的单调性和已知条件求得f （x ）的解析式，同时运用分离常数法求得a 的最小值．解：f （x ）是定义在（0+∞）上的增函数，恒有f [f （x ）﹣lnx ]＝1，所以f （x ）﹣lnx 为定值，设f （x ）﹣lnx ＝t ，则f （t ）＝1，所以f （t ）＝lnt +t ，∴lnt +t ＝1，∴t ＝1．因为∀x＞0，f（x）≤ax﹣1，即lnx+1≤ax﹣1，∴a≥lnx+2 x，令h(x)=lnx+2x，则h′(x)=1x⋅x−(lnx+2)2=−1−lnx2，令h′(x)=0，得x=1 e，令h′(x)＞0，得0＜x＜1 e，令h′(x)＜0，得x＞1 e．∴h(x)在x=1e处取得最大值，h(1e)=ln1e+21e=e，∴a≥e．故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.13．某校期末考试后，随机抽取200名高三学生某科的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）．据此绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计该校高三学生该门学科成绩的及格率约为95%（60分以上为及格），这200名学生中成绩在[80，90）中的学生有40名．【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系即可解答．解：超过60分的频率为1﹣0.005×10＝0.95，则该校高三学生该门学科成绩的及格率约为95%；由频率分布直方图得成绩在[80，90）中的频率为1﹣（0.005+0.025+0.045+0.005）×10＝0.2，所以200名学生中成绩在[80，90）中的学生有200×0.2＝40人．故两空分别填95%，40．14．若f(x)+2f(1x )=2x +1x 对任意非零实数x 恒成立，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为 x +y ﹣2＝0 ．【分析】先令原函数中的x =1x，得到f(1x)+2f(x)=2x+x ，与原式联立解出f （x ），然后再进一步求出切线方程即可．解：∵f(x)+2f(1x )=2x +1x ① ∴f(1x )+2f(x)=2x+x ②联立①②，消去f （1x）得f （x ）=1x．∴f′(x)=−1x 2，∴f （1）＝1，f ′（1）＝﹣1．故切线方程为y ﹣1＝﹣（x ﹣1），即x +y ﹣2＝0．故答案为：x +y ﹣2＝0．15．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小一份的量为53．【分析】由题意设等差数列{a n }的公差是d ＞0，首项是a 1，根据等差数列的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出公差d 和首项a 1，即可得到答案．解：设等差数列{a n }的公差是d ＞0，首项是a 1，由题意得，{5a 1+5×42×d =100(a 3+a 4+a 5)×17=a 1+a 2，则{5a 1+10d =100(3a 1+9d)×17=2a 1+d ，解得{a 1=53d =556，所以a 1=53，所以最小的一份为53，故答案为：53．16．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，BC ＝4，E 为AD 中点，则三棱锥A 1﹣CDE 外接球的表面积为 44π ．【分析】先求出△CDE 的外接圆半径，并确定球心位置，构造两个关于求半径R 的等式，求出R 即可求得结论．解：由题可得：△CDE 为直角三角形，其外接圆圆心是CE 的中点，设为G ，且r ＝CG =12EC =12√DE 2+CD 2=12√22+22=√2；因为AA 1⊥面CDE ，所以过点G 作AA 1的平行线GH ，则球心O 在GH 上，在△AEG 中，AE ＝2，EG =12EC =√2，∠AEC ＝135°；∴AG 2＝AE 2+EG 2﹣2AE •EG •cos135°＝14， ∴R 2＝（2﹣OG ）2+AG 2＝（2﹣OG ）2+14① R 2＝OG 2+CG 2＝OG 2+(√2)2②；联立①②可得：R2＝11；故三棱锥A1﹣CDE外接球的表面积为：4πR2＝44π．故答案为：44π．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinC−sinAsinB−sinA=ba+c，（1）求角C的大小；（2）若c＝3，求a+b的取值范围．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得a2+b2﹣c2＝ab，根据余弦定理可求cos C的值，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）由余弦定理，基本不等式可求a+b≤6，又根据两边之和大于第三边可得a+b＞c＝3，即可求解a+b的取值范围．解：（1）由sinC−sinAsinB−sinA=ba+c，则c−ab−a =ba+c，可得：a2+b2﹣c2＝ab，所以：cosC=a2+b 2−c22ab =ab2ab=12，而C∈（0，π），故C =π3．（2）由a 2+b 2﹣c 2＝ab ，且c ＝3，可得：（a +b ）2﹣2ab ﹣9＝ab ，可得：(a +b)2−9=3ab ≤3(a+b 2)2，可得：（a +b ）2≤36，所以a +b ≤6，又a +b ＞c ＝3，所以a +b 的取值范围是（3，6]．18．某学校开设了射击选修课，规定向A 、B 两个靶进行射击：先向A 靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分，向B 靶连续射击两次，每命中一次得2分，没命中得0分；小明同学经训练可知：向A 靶射击，命中的概率为45，向B 靶射击，命中的概率为34，假设小明同学每次射击的结果相互独立．现对小明同学进行以上三次射击的考核．（Ⅰ）求小明同学恰好命中一次的概率；（Ⅱ）求小明同学获得总分X 的分布列及数学期望E （X ）．【分析】（Ⅰ）记：“小明恰好命中一次”为事件C ，“小明射击A 靶命中”为事件D ，“该射手第一次射击B 靶命中”为事件E ，“该射手第二次射击B 靶命中”为事件F ，利用互斥事件的概率求解即可．（Ⅱ）X ＝0，1，2，3，4，5，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．解：（Ⅰ）记：“小明恰好命中一次”为事件C ，“小明射击A 靶命中”为事件D ，“该射手第一次射击B 靶命中”为事件E ，“该射手第二次射击B 靶命中”为事件F ，由题意可知P(D)=45，P(E)=P(F)=34，由于C =DEF +DEF +DEF ，P(C)=P(DEF +DEF +DEF)=18，（Ⅱ）X ＝0，1，2，3，4，5P(X =0)=15×(14)2=180，P(X =1)=45×(14)2=120，P(X =2)=15×C 21×14×34=340，P(X =3)=45×C 21×14×34=310，P(X =4)=15×(34)2=980，P(X =5)=45×(34)2=920，X 012345P180120340310980920E(X)=0×180+1×120+2×340+3×310+4×980+5×920=195．19．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝2，AA 1=√3，E 是BC 的中点，F 是A 1E 上一点，且A 1F ＝3FE ．（Ⅰ）证明：AF ⊥平面A 1BC ；（Ⅱ）求二面角B ﹣A 1E ﹣B 1余弦值的大小．【分析】（Ⅰ）求出AE ＝1，AA 1⊥AE ，A 1E ⊥AF ，AE ⊥BC ，AA 1⊥BC ，BC ⊥AF ，由此证明AF ⊥平面A 1BC ．（Ⅱ）AE ⊥BC ，以E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角B ﹣A 1E ﹣B 1余弦值．解：（Ⅰ）证明：连结AE ，AF ，在△ABC 中，12×AB ×AC ×sin120°=12×BC ×AE ，即12×2×2×√32=12×√4+4−2×2×2×cos120°×AE ，解得AE ＝1，∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥AE ， Rt △A 1AE 中，AA 1=√3，AE ＝1， ∴A 1E ＝2，∴EF =12，∵AE EF=A 1E AE，∴∠AFE 是直角，∴A 1E ⊥AF ，∵E 是BC 中点，且△ABC 是等腰三角形，∴AE ⊥BC ， ∵AA 1⊥BC ，BC ⊥AF ，BC ∩A 1E ＝E ，∴AF ⊥平面A 1BC ．（Ⅱ）解：∵AE ⊥BC ，如图以E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，BE =AEtan60°=√3，∴B （−√3，0，0），A 1（0，1，√3），E （0，0，0），B 1（−√3，0，√3），EB →=（−√3，0，0），EA 1→=（0，1，√3），EB 1→=（−√3，0，√3），设面BA 1E 的法向量n →=（x ，y ，z ），面B 1A 1E 的法向量m →=（x ，y ，z ），则{n →⋅EB →=−√3x =0n →⋅EA 1→=y +√3z =0，取z ＝1，得n →=（0，−√3，1）， {m →⋅EB 1→=−√3x +√3z =0m →⋅EA 1→=y +√3z =0，取z ＝1，得m →=（1，−√3，1），设二面角B ﹣A 1E ﹣B 1的平面角为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=4⋅5=2√55． ∴二面角B ﹣A 1E ﹣B 1余弦值为2√55．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的焦距为2，过点(−1，√22)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆的右焦点为F ，定点P （2，0），过点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，以线段AP 为直径的圆与直线x ＝2的另一个交点为Q ，证明：直线BQ 恒过一定点，并求出该定点的坐标．【分析】（1）由题知{c =11a2+12b2=1，求出a ，b ，然后求解椭圆C 的方程．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）因为直线l 的斜率不为零，令l 的方程为：x ＝my +1 由{x =my +1x 22+y 2=1，利用韦达定理，结合AQ ⊥PQ ，求出BQ 的方程为：y −y 1=y 2−y 1x 2−2(x −2)，然后求解直线BQ 恒过定点，定点坐标．解：（1）由题知{c =√a 2−b 2=11a2+12b 2=1解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）因为直线l 的斜率不为零，令l 的方程为：x ＝my +1 由{x =my +1x 22+y 2=1得（m 2+2）y 2+2my ﹣1＝0，则y 1+y 2=−2m 2，y 1⋅y 2=−12，因为以AP为直径的圆与直线x＝2的另一个交点为Q，所以AQ⊥PQ，则Q（2，y1）则k BQ=y2−y1x2−2，故BQ的方程为：y−y1=y2−y1x2−2(x−2)，由椭圆的对称性，则定点必在x轴上，所以令y＝0，则x=−y1(x2−2)y2−y1+2=−y1(my2−1)y2−y1+2=−my1y2+y1y2−y1+2，而y1+y2=−2mm2+2，y1⋅y2=−1m2+2，−my1y2=−y1+y22，所以x=−y1+y22+y1y2−y1+2=−12+2=32，故直线BQ恒过定点，且定点为(32，0)．21．已知函数f（x）＝x（a﹣lnx），g（x）＝x2+e﹣x．（Ⅰ）讨论f（x）在（1，+∞）上的单调性；（Ⅱ）设h（x）＝f（x）﹣g（x），若f（x）的最大值为0，求a的值；【分析】（I）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解；（II）先对函数求导，结合导数可分析h（x）的性质，然后结合导数与单调性的关系可求最值，结合题意可求．解：（Ⅰ）因为f'（x）＝a﹣1﹣lnx，所以f'（x）在（0，+∞）上单调递减且f'（e a﹣1）＝0，①若e a﹣1≤1，即a≤1，则当x＞1时，f'（x）＜0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递减；②若e a﹣1＞1，即a＞1，则当1＜x＜e a﹣1时，f'（x）＞0，所以f（x）在（1，e a﹣1）上单调递增；当x＞e a﹣1时，f'（x）＜0，所以f（x）在（e a﹣1，+∞）上单调递减．（Ⅱ）h（x）＝x（a﹣lnx）﹣x2﹣e﹣x，h'（x）＝a﹣1﹣lnx﹣2x+e﹣x是（0，+∞）上的减函数，当x →0时h '（x ）→+∞，x →+∞时h '（x ）→﹣∞，所以存在唯一正实数x 0满足h '（x 0）＝0，即a =1+lnx 0+2x 0−e −x 0（*），当x ∈（0，x 0）时，h '（x ）＞0，h （x ）是（0，x 0）上的增函数；当x ∈（x 0，+∞）时，h '（x ）＜0，h （x ）是（x 0，+∞）上的减函数；所以h(x)max =h(x 0)=ax 0−x 0lnx 0−x 02−e−x 0，将（*）式代入整理得h(x)max =h(x 0)=x 0+x 02−x 0e−x 0−e −x 0=(1+x 0)(x 0−e −x 0)，由题设h （x ）max ＝0而1+x 0＞0，所以x 0−e −x 0=0，即e −x 0=x 0，所以﹣x 0＝lnx 0，所以a =1+lnx 0+2x 0−e −x 0=1−x 0+2x 0−x 0=1．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =√3+2cosαy =2+2sinα（α为参数），直线C 2的方程为y =√33x ，以O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；（2）若直线C 1与曲线C 2交于P ，Q 两点，求|OP |•|OQ |的值．【分析】（1）首先把圆的参数方程转化为普通方程，进一步转化为极坐标方程，再把直线方程转化为极坐标方程．（2）根据（1）所得到的结果，建立方程组求得结果．解：（1）曲线C 1的参数方程为{x =√3+2cosαy =2+2sinα（α为参数），转化为普通方程：(x −√3)2+(y −2)2=4，即x 2+y 2−2√3x −4y +3=0，则C 1的极坐标方程为ρ2−2√3ρcosθ−4ρsinθ+3=0，…∵直线C 2的方程为y =√33x ， ∴直线C 2的极坐标方程θ=π6(ρ∈R)．…（2）设P （ρ1，θ1），Q （ρ2，θ2），将θ=π6(ρ∈R)代入ρ2−2√3ρcosθ−4ρsinθ+3=0，得：ρ2﹣5ρ+3＝0，∴ρ1•ρ2＝3，∴|OP |•|OQ |＝ρ1ρ2＝3．…[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣m |﹣|2x +2m |（m ＞0）．（Ⅰ）当m ＝1时，求不等式f （x ）≥1的解集；（Ⅱ）若∀x ∈R ，∃t ∈R ，使得f （x ）+|t ﹣1|＜|t +1|，求实数m 的取值范围．【分析】（Ⅰ）分段去绝对值解不等数组后在相并可得；（Ⅱ）f （x ）+|t ﹣1|＜|t +1|⇔f （x ）＜|t +1|﹣|t ﹣1|对任意x ∈R 恒成立，对实数t 有解．再利用分段函数的单调性求得f （x ）的最大值，根据绝对值不等式的性质可得|t +1|﹣|t ﹣1|的最大值，然后将问题转化为f （x ）的最大值＜（|t +1|﹣|t ﹣1|）的最大值可得．解：（Ⅰ）当m ＝1时，|x ﹣1|﹣|2x +2|≥1⇔{x ≤−1x +3≥1或{−1＜x ＜1−3x −1≥1或{x ≥1−x −3≥1，解得﹣2≤x ≤−23，所以原不等式的解集为[﹣2，−23]．（Ⅱ）f （x ）+|t ﹣1|＜|t +1|⇔f （x ）＜|t +1|﹣|t ﹣1|对任意x ∈R 恒成立，对实数t 有解．∵f （x ）={x +3m ，x ≤−m −3x −m ，−m ＜x ＜m −x −3m ，x ≥m，根据分段函数的单调性可知：x ＝﹣m 时，f （x ）取得最大值f（﹣m）＝2m，∵||t+1|﹣|t﹣1||≤|（t+1）﹣（t﹣1）|＝2，∴﹣2≤|t+1|﹣|t﹣1|≤2，即|t+1|﹣|t﹣1|的最大值为2．所以问题转化为2m＜2，解得0＜m＜1．。

2019-2020学年辽宁省六校协作体高三(上)期中数学试卷试题及答案(理科)

2019-2020学年辽宁省六校协作体高三（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U R =，集合2{|230}A x x x =-->，{|24}B x x =<<，则()(U A B =ð )A ．[1-，4]B ．[1-，4)C ．[2，3)D ．(2，3]2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．“至少有1个白球”和“都是红球”B ．“至少有1个白球”和“至多有1个红球”C ．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D ．“至多有1个白球”和“都是红球” 3．若cos 2sin()4απα=-，则cos sin αα+的值为( ) A． B ．12-C ．12D4．已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则f （1）g +（1）(= ) A ．3-B ．1-C ．1D ．35．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则角A 的值为( ) A ．3πB ．6πC ．2πD ．23π 6．ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是( ) A ．||1b =B ．a b ⊥C ．1a b =D ．(4)a b BC +⊥7．若样本11x +，21x +，31x +，⋯，1n x +的平均数是10，方差为2，则对于样本122x +，222x +，322x +，⋯，22n x +，下列结论正确的是( )A ．平均数为20，方差为4B ．平均数为11，方差为4C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为88．等差数列3log (2)x ，3log (3)x ，3log (42)x +，⋯的第四项等于( ) A ．3B ．4C ．3log 18D ．3log 249．已知()f x 的定义域为(,)-∞+∞，且满足(1)(1)(1)(1)0f x f x f x f x --+-=--+=，若f （1）2=，则20191()(i f i ==∑ )A ．2019-B ．0C ．2D ．201910．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75︒，30︒，此时气球的高度是60m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．1)mB ．1)m -C ．1)m -D ．1)m -11．设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>，已知()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点 ③()f x 在(0,)10π单调递增④ω的取值范围是12[5，29)10其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④12．已知函数()x f x e ax =-有两个零点1x ，2x ，12x x <，则下面说法正确的是( ) A ．122x x +D ．有极小值点0x ，且1202x x x +<二．填空题：本大题共4小题，每小题5分13．函数10lgx y =的值域是．14．若向量(1,2),(1,1)a b ==-，则2a b +与a 夹角的正弦值等于． 15．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是34，连续两天为优良的概率是12，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是． 16．如图，已知ABC ∆中，点D 在边BC 上，AD 为BAC ∠的平分线，且1,2AB AD AC ===．则BDDC的值为，ABC ∆的面积为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知函数2()2cos cos(2)13f x x x π=-+-．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和对称轴方程；（Ⅱ）讨论函数()f x 在[,]44ππ-上的单调性．18．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且b =，求ABC ∆面积的取值范围．19．辽宁省六校协作体（葫芦岛第一高中、东港二中、凤城一中、北镇高中、瓦房店高中、丹东四中）中的某校理科实验班的100名学生期中考试的语文、数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]．这100名学生语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比如下表所示：（1）估计这100名学生数学成绩的平均数、方差；（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）从数学成绩在[130，150]的学生中随机选取2人，该2人中数学成绩在[140，150]的人数为X ，求X 的数学期望()E X ．20．已知数列{}n a 、{}n b 满足12a =，11b =，且1111434(2)434nn n n n n a a b n b a b ----=++⎧⎨=++⎩…．（1）令n n n c a b =+，n n n d a b =-，证明：{}n c 是等差数列，{}n d 是等比数列；（2）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（3）求数列22{}nn a b -的前n 项和公式n S ．21．已知函数21()22f x ax ax lnx =-+有两个极值点1x 、2x ，且1212x x >．（Ⅰ）求实数a 的取值范围M ；（Ⅱ）若0[1x ∃∈+，2]，使不等式20()(1)(1)(1)22f x ln a b a a ln ++>--++对a M ∀∈恒成立，求实数b 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是tan ()2y x πααπ=<<，曲线1C 的参数方程是cos (sin x a a y a ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程是2sin b ρθ=．（1）写出l 及1C 的极坐标方程；（2）已知12a =，1b =，l 与1C 交于O ，M 两点，l 与2C 交于O ，N 两点，求22||||||OM OM ON +的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设0a >，0b >，0c >，1ab bc ca ++=．（1）求证：111a b c bc ca ab a b c++++…．（2）求证：a b c ++．2019-2020学年辽宁省六校协作体高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U R =，集合2{|230}A x x x =-->，{|24}B x x =<<，则()(U A B =ð )A ．[1-，4]B ．[1-，4)C ．[2，3)D ．(2，3]【解答】解：全集U R =，集合2{|230}{|1A x x x x x =-->=<-或3}x >， {|13}U A x x =-剟ð，又集合{|24}B x x =<<，所以(){|23}(2U A B x x =<=…ð，3]．故选：D ．2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．“至少有1个白球”和“都是红球”B ．“至少有1个白球”和“至多有1个红球”C ．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D ．“至多有1个白球”和“都是红球” 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A 、“至少有1个白球”包括“两个白球”和“一白一红”两种情况，与“都是红球”是对立事件，不符合题意；对于B 、“至少有1个白球”包括“两个白球”和“一白一红”两种情况，“至多有1个红球”包括“两个白球”和“一白一红”两种情况，不是互斥事件，不符合题意；对于C 、“恰有1个白球”即“一白一红”，与“恰有2个白球”是互斥不对立事件，对于D 、“至多有1个白球”包括“两个红球”和“一白一红”两种情况，和“都是红球”不是互斥事件，不符合题意；故选：C ．3．若cos 2sin()4απα=-，则cos sin αα+的值为( ) A． B ．12-C ．12D【解答】解：cos 2cos )sin()4αααπα==+=-， ∴1cos sin 2αα+=，故选：C ．4．已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则f （1）g +（1）(= ) A ．3-B ．1-C ．1D ．3【解答】解：由32()()1f x g x x x -=++，将所有x 替换成x -，得32()()1f x g x x x ---=-++，根据()()f x f x =-，()()g x g x -=-，得32()()1f x g x x x +=-++，再令1x =，计算得，f （1）g +（1）1=．故选：C ．5．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则角A 的值为( ) A ．3πB ．6πC ．2πD ．23π 【解答】解：在ABC ∆中，cos cos sin b C c B a A +=，2sin cos sin cos sin()sin sin B C C B B C A A ∴+=+==，sin 0A ≠，sin 1A ∴=， ∴由于A 为三角形内角，可得2A π=．故选：C ．6．ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是( )A ．||1b =B ．a b ⊥C ．1a b =D ．(4)a b BC +⊥【解答】解：因为已知三角形ABC 的等边三角形，a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，又AC AB BC =+，∴b 的方向应该为BC 的方向．所以12a AB =，b BC =，所以||2b =，12cos1201a b =⨯⨯︒=-，4412cos1204a b =⨯⨯⨯︒=-，24b =，所以240a b b +=，即(4)0a b b +=，即(4)0a b BC +=，所以(4)a b BC +⊥；故选：D ．7．若样本11x +，21x +，31x +，⋯，1n x +的平均数是10，方差为2，则对于样本122x +，222x +，322x +，⋯，22n x +，下列结论正确的是( )A ．平均数为20，方差为4B ．平均数为11，方差为4C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为8【解答】解：样本11x +，21x +，31x +，⋯，1n x +的平均数是10，方差为2，则数据1x ，2x ，3x ，⋯，n x 的平均数是9，方差是2；所以样本122x +，222x +，322x +，⋯，22n x +的平均数是22920+⨯=，方差为2228⨯=．故选：D ．8．等差数列3log (2)x ，3log (3)x ，3log (42)x +，⋯的第四项等于( ) A ．3B ．4C ．3log 18D ．3log 24【解答】解：等差数列3log (2)x ，3log (3)x ，3log (42)x +，⋯， 333log (2)log (42)2log (3)x x x ∴++=，(4)0x x ∴-=，又20x >，4x ∴=，∴等差数列的前三项分别是3log 8，3log 12，3log 18，3333log 12log 82d log =-=， ∴第四项为333318log 2732log log +==．故选：A ．9．已知()f x 的定义域为(,)-∞+∞，且满足(1)(1)(1)(1)0f x f x f x f x --+-=--+=，若f （1）2=，则20191()(i f i ==∑ )A ．2019-B ．0C ．2D ．2019【解答】解：因为(1)(1)0f x f x --+=，所以函数()f x 的对称轴为1x =，又因为(1)(1)0f x f x --+-=，所以(2)()0f x f x -+=，即(2)()f x f x -=-，(4)()f x f x -=，所以函数()f x 的周期为4，因为(1)(1)(1)(1)f x f x f x f x --+-=--+，所以(1)(1)f x f x --=-+，所以函数()f x 关于原点对称，令1x =-，(1)(1)f x f x --=-+，所以(0)0f =，所以(0)f f =（2）f =（4）0=， f （3）(1)f f =-=-（1）2=-，所以f （1）f +（2）f +（3）f +（4）0=，因为201950443=⨯+，所以20191()i f i f ==∑（1）f +（2）f +（3）20(2)0=++-=，故选：B ．10．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75︒，30︒，此时气球的高度是60m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．1)mB ．1)m -C ．1)m -D ．1)m -【解答】解：如图，15DAB ∠=︒， tan 45tan 30tan15tan(4530)21tan 45tan 30︒-︒︒=︒-︒==+︒︒．在Rt ADB ∆中，又60AD =，tan1560(2120DB AD ∴=︒=⨯-=-．在Rt ADC ∆中，60DAC ∠=︒，60AD =，tan 60DC AD ∴=︒=．(1201)()BC DC DB m ∴=-=--=-．∴河流的宽度BC 等于1)m -．故选：B ．11．设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>，已知()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点 ③()f x 在(0,)10π单调递增④ω的取值范围是12[5，29)10其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④【解答】解：当[0x ∈，2]π时，[55x ππω+∈，2]5ππω+， ()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点， 5265πππωπ∴+<…，∴1229510ω<…，故④正确，因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，下面判断③是否正确，当(0,)10x π∈时，[55x ππω+∈，(2)]10ωπ+，若()f x 在(0,)10π单调递增，则(2)102ωππ+<，即3ω<，1229510ω<…，故③正确．故选：D ．12．已知函数()x f x e ax =-有两个零点1x ，2x ，12x x <，则下面说法正确的是( ) A ．122x x +D ．有极小值点0x ，且1202x x x +<【解答】解：212121212()2()2()x x ln a x x lna ln x x ln x x +==+>+，取22e a =，f （2）220e a =-=，22x ∴=，(0)10f =>，101x ∴<<，122x x ∴+>，A 不正确；()x f x e ax =-，()x f x e a ∴'=-，令()0x f x e a '=->，①当0a …时，()0x f x e a '=->在x R ∈上恒成立， ()f x ∴在R 上单调递增．②当0a >时，()0x f x e a '=->，0x e a ∴->，解得x lna >，()f x ∴在(,)lna -∞单调递减，在(,)lna +∞单调递增．函数()x f x e ax =-有两个零点12x x <， ()0f lna ∴<，0a >， 0lna e alna ∴-<，a e ∴>，B 不正确；(0)10f =>，101x ∴<<，121x x >不一定，C 不正确；()f x 在(,)lna -∞单调递减，在(,)lna +∞单调递增， ∴有极小值点0x lna =，且12022x x x lna +<=，D 正确．故选：D ．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分 13．函数10lgx y =的值域是 (0,)+∞ ．【解答】解，依题意，函数10lgx y =的定义域为{|0}x x >，所以10lgx y x ==，值域为(0,)+∞，故答案为：(0,)+∞．14．若向量(1,2),(1,1)a b ==-，则2a b +与a 【解答】解：2(3,3)a b +=，(1,2)a =，设2a b +与a 的夹角为θ，则(2)cos|2|||32a b a a b a θ+===+⨯，且0θπ剟，sin θ∴===． 15．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是34，连续两天为优良的概率是12，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 3．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p ，则由题意可得3142p ⨯=，解得23p =，故答案为：23． 16．如图，已知ABC ∆中，点D 在边BC 上，AD 为BAC ∠的平分线，且1,2AB AD AC ===．则BD DC 的值为 2，ABC ∆的面积为．【解答】解：在ABD ∆中，由正弦定理可得：sin sin AB BDADB BAD=∠∠，在ACD ∆中，由正弦定理可得：sin sin AC CDADC CAD=∠∠， sin sin BAD CAD ∠=∠，sin sin ADB ADC ∠=∠， ∴12BD AB DC AC ==．设BAD α∠=，则11sin 2ABD S α∆=⨯=12sin 2ACD S α∆=⨯=， 112sin 22sin cos 2ABC S ααα∆=⨯⨯⨯=，∴2sin cos αα=，∴解得cos α=4πα=， 1sin sin 212ABC S AB AC BAC α∆∴=∠∠==．故答案为：12，1．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知函数2()2cos cos(2)13f x x x π=-+-．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和对称轴方程；（Ⅱ）讨论函数()f x 在[,]44ππ-上的单调性．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）21()2cos cos(2)1cos 2cos 22sin(2)3326f x x x x x x x ππ=-+-=-+=+⋯分 2ω=，∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==，5⋯分令262x k πππ+=+，k Z ∈，解得：26k x ππ=+，k Z ∈， ∴对称轴方程为：26k x ππ=+，7k Z ∈⋯分（Ⅱ）令222262k x k πππππ-++剟，k Z ∈，解得：36k xk ππππ-++剟，k Z ∈，设[,]44A ππ=-，{|36B x k x k ππππ=-++剟，}k Z ∈，可得：[4A B π=-，]6π，9⋯分 ∴当[,]44x ππ∈-时，()f x 在区间[4π-，]6π上单调递增；在区间[6π，]4π上单调递减14⋯分 18．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC∆为锐角三角形，且b =，求ABC ∆面积的取值范围．【解答】解：（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=．因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A CB +=．由180A BC ++=︒，可得sin cos 22A C B+=，故cos2sin cos 222B B B =．因为cos 02B≠，故1sin22B =，因此60B =︒．（2）ABC∆为锐角三角形，且边b =，60B =︒， ∴由正弦定理2sin sin a cA C===，可得2sin c C =，22sin 2sin()sin 3a A C C C π==-=+， 1sin 2ABC S ac B ∆∴==sin )2sin C C C =+⨯23sin cos 2C C C =+3sin 224C C =)6C π=-，由022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，可得(6C π∈，)2π，可得2(66C ππ-∈，5)6π，1sin(2)(62C π∴-∈，1]，可得)6ABC S C π∆=-， ABC ∴∆面积的取值范围是． 19．辽宁省六校协作体（葫芦岛第一高中、东港二中、凤城一中、北镇高中、瓦房店高中、丹东四中）中的某校理科实验班的100名学生期中考试的语文、数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]．这100名学生语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比如下表所示：（1）估计这100名学生数学成绩的平均数、方差；（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）从数学成绩在[130，150]的学生中随机选取2人，该2人中数学成绩在[140，150]的人数为X ，求X 的数学期望()E X ．【解答】解：（1）这100名学生语文成绩的平均数是： 1050.051150.41250.31350.21450.05123⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．这100名学生语文成绩的方差是：22222(105123)0.05(115123)0.4(125123)0.3(135123)0.2(145123)0.0596-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（2）数学成绩在[100，140)之内的人数为14(20.050.40.30.2)1009023⨯+⨯+⨯+⨯=，∴数学成绩在[140，150]的人数为1009010-=人，而数学成绩在[130，140)的人数为0.210020⨯=人， X 可取0，1，2，02102023038(0)87C C P X C ===， 11102023040(1)87C C P X C ===， 2010202303(2)29C C P X C ===， X 的分布列∴384032()0128787293E X =⨯+⨯+⨯=． 20．已知数列{}n a 、{}n b 满足12a =，11b =，且1111434(2)434nn n n n n a a b n b a b ----=++⎧⎨=++⎩…．（1）令n n n c a b =+，n n n d a b =-，证明：{}n c 是等差数列，{}n d 是等比数列；（2）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（3）求数列22{}nn a b -的前n 项和公式n S ．【解答】解：（1）证明：由12a =，11b =，且1111434(2)434nn n n n n a a b n b a b ----=++⎧⎨=++⎩…，相加得114()4()8n n n n a b a b --+=++，即112n n n n a b a b --+=++，又n n n c a b =+，因此12(2)n n c c n --=…，又1113c a b =+=，所以数列{}n c 是首项为3，公差为2的等差数列；相减可得114()2()n n n n a b a b ---=-，即112()n n n n a b a b ---=-，又n n n d a b =-，因此11(2)2n n d d n -=…，又1111d a b =-=，所以数列{}n d 是首项为1，公比为12的等比数列；（2）由（1）知1121,()2n n n c n d -=+=，即1211()2n n n n n a b n a b -+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1111(),()2222n n n n a n b n =++=+-；（3）2211()()(21)()2n n n n n n n n n a b a b a b c d n --=+-==+，0221111113()57()(21)()(21)()22222n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-++，23111111135()7()(21)()(21)()222222n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-++，两式相减可得11111132()(21)22422n n n S n -=+++⋯+-+111(1)12232(21)1212n n n --=+-+-，化简可得1110(25)()2n n S n -=-+．21．已知函数21()22f x ax ax lnx =-+有两个极值点1x 、2x ，且1212x x >．（Ⅰ）求实数a 的取值范围M ；（Ⅱ）若0[1x ∃∈+，2]，使不等式20()(1)(1)(1)22f x ln a b a a ln ++>--++对a M ∀∈恒成立，求实数b 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）对函数求导可得，2121()2(0)ax ax f x ax a x x x -+'=-+=>，⋯（2分）令()0f x '=可得2210ax ax -+=∴21212044012a a a x x x x ≠⎧⎪=->⎪⎪⎨+>⎪⎪>⎪⎩，即2044020112a a a a ≠⎧⎪->⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩，⋯（4分）解得a 的取值范围(1,2)M =． ⋯（6分）（Ⅱ）由2210ax ax -+=，解得12x x ==而()f x 在1(0,)x 上递增，在1(x ，2)x 上递减，在2(x ，)+∞上递增 12a <<，∴211x =+< ()f x ∴在[1，2]单调递增 ∴在[1+，2]上，()max f x f =（2）22a ln =-+． ⋯（7分）0[1x ∴∃∈+，2]，使不等式20()(1)(1)(1)22f x ln a b a a ln ++>--++对a M ∀∈恒成立，等价于不等式222(1)(1)(1)22a ln ln a b a a ln -+++>--++恒成立即不等式2(1)210ln a ba a b ln +--+-+>对任意的(12)a a <<恒成立．⋯（8分）令g （a ）2(1)21ln a ba a b ln =+--+-+，则g （1）0=．，12(1)2()1ba a b g a a -++'=+，①当0b …时，12(1)2()01ba a b g a a -++'=<+，g （a ）在(1,2)上递减．g （a ）g <（1）0=，不合题意．②当0b <时，12(1)2()1ba a b g a a -++'=+，12a <<若1(112b -+>，即104b -<<时，则g （a ）在(1,2)上先递减， g （1）0=，12a ∴<<时，g （a ）0>不能恒成立；若1(1)12b -+…，即14b -…时，则g （a ）在(1,2)上单调递增， g ∴（a ）g >（1）0=恒成立，b ∴的取值范围为(-∞，1]4-⋯请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是tan ()2y x πααπ=<<，曲线1C 的参数方程是cos (sin x a a y a ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程是2sin b ρθ=．（1）写出l 及1C 的极坐标方程；（2）已知12a =，1b =，l 与1C 交于O ，M 两点，l 与2C 交于O ，N 两点，求22||||||OM OM ON +的最大值．【解答】解：（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入tan y x α=得tan tan θα=， l ∴极坐标方程是(,)2R πθαραπ=∈<<．1C 的普通方程是2220x y ax +-=，其极坐标方程是2cos a ρθ=；（2）1:cos C ρθ=，2:2sin C ρθ=，将θα=分别代入1C ，2C 得||cos OM α=-，||2sin ON α=．222||||||2cos 2cos sin OM OM ON ααα∴+=-sin(2)14πα=-+．2παπ<<，∴当78πα=时，22||||||OM OM ON +1+． [选修4-5：不等式选讲]23．设0a >，0b >，0c >，1ab bc ca ++=．（1）求证：111a b c bc ca ab a b c++++…．（2）求证：a b c ++．【解答】证明：（1）2a b bc ca c+=…，同理2b c ca ab a +…，2a c bc ab b+…，∴111a b c bc ca ab a b c++++…；（2）由（1）得222a b c ab bc ca ++++…． 1ab bc ca ++=，2221a b c ∴++…． 2222222()2222a b c a b c ab bc ca a b c ++=+++++=+++． 2()3a b c ∴++…，即a b c ++．。

2020年辽宁协作体-理数答案

步骤应有作图（到 1 分）、简证（到 3 分）、求解(到 6 分)
19.解：（I）由 n 次重复试验恰好发生 k 次的概率公式可知，在未来的 4 个月
中，至少有 2 个月的月需求量低于 100 万件的概率：
方法一：
p
C42
(
1 2
)2
(1
1)2 2
C43
(
1 2
)3
(1
1 )1 2
C44
(
1 2
)4
cos 2x 3 sin 2x 1 2sin(2x ) 1 ………………………3 分 6
Q
x
0,
2
,
2x 6
6
,
7 6
,
f
(x)的值域为0,3 …………6
分
（II）因为 f ( A) 3 ，所以 2sin( A ) 1 3 ， sin( A ) 1
2
6
6
因为 0 A ，所以 A ． 3
（ II ）方法一：取 AB 的中点 O , A1B1 的中点 O1 , 连结 OO1 和 OC , 易知
OB, OC, OO1 两两垂直，以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系。则有
高三数学理科答案共 6 页 (第 1 页)
A(1, 0, 0), D( 1 , 3 , 0), C(0, 22
20．解：（I）设椭圆的焦距为 2c ，
方法一：利用椭圆定义 2a | PF1 | PF2 | 2 2 , a2 2 ,
所以 b2 a2 c2 1,故 C ： y2 x2 1………………………………………4 分 2
方法二：由已知
1
a2
1 2b2

辽宁省六校协作体2020高三数学上学期开学考试试题理(

辽宁省六校协作体2020届高三数学上学期开学考试试题理（含解析）一：选择题。

1.设集合[]=1,2M ，{}2|230?N x Z x x =∈--<，M N ⋂=则（） A. []1,2 B. ()1,3-C. {}1D. {}1,2【答案】D 【解析】【分析】首先化简集合N 得{}0,1,2N =，结合交集的定义可求结果。

【详解】集合N 可化为{|13}N x Z x =∈-<<={0,1,2}；所以M N ⋂={}1,2。

答案选D 。

【点睛】解决集合的运算类问题的关键在于弄清集合元素的属性含义，弄清集合中元素所具有的形式，以及有哪些元素，在运算时要结合数轴或Venn 图。

2.“22log log a b >”是“11a b<”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用对数函数的单调性即可判断出结论．【详解】22log log a b > ⇒a>b>0 ⇒11a b <，但满足11a b<的如a=-2,b=-1不能得到22log log a b >，故“22log log a b >”是“11a b<”的充分不必要条件. 故选A.【点睛】本题考查了对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.若向量a r ，b r 的夹角为3π，且||2a =r ，1b r ||=，则向量2a b +r r 与向量a r 的夹角为（）A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】A 【解析】()221cos 1,224263a b a a b a a b v v vv v v v v π⋅=⨯⨯=⋅+=+⋅=+=，2a b +==v v a r 与向量2a b +r r 的夹角为θ，()2cos 2a a b a a b θ⋅+∴===⋅+v v v v v v ，6πθ∴=，故选A.4.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为（）A. 410190-B. 5101900-C. 510990-D. 4109900-【答案】B 【解析】根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为110当阿基里斯和乌龟的速度恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为552110011********* (101900110)-⎛⎫- ⎪-⎝⎭+++==- 故选B5.抛物线22y x =的准线方程是（） A. 12x =B. 12x =-C. 18y =D. 18y =-【答案】D 【解析】抛物线22y x =可化为212x y =，焦点在y 轴上，112,,228p p =∴=∴抛物线22y x =的准线方程是18y =-，故选D.6.关于函数2sin 314y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列叙述有误的是( ） A. 其图象关于直线4πx =-对称 B. 其图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 其值域是[－1,3] D. 其图象可由2sin 14y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的13得到【答案】B 【解析】【分析】利用正弦函数的图象与性质，逐个判断各个选项是否正确，从而得出。

2020届辽宁省六校协作体高三上学期期中考试数学(理)试卷(PDF版)

2020届辽宁省六校协作体高三上学期期中考试数学（理）试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集U R =，集合2{}230{|24}A x x x B x x =-->=<<，，则()U C A B = （）A ．[1,4]-B ．[1,4)-C ．[2,3)D ． (2,3]2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（） A ．“至少有1个白球”和“都是红球” B ．“至少有2个白球”和“至多有1个红球” C ．“恰有1个白球” 和“恰有2个白球” D ．“至多有1个白球”和“都是红球”3. 若22)4sin(2cos -=-παα，则cos sin αα+的值为（）A ．12 B ．12- C．．4. 已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1,f x g x x x -=++(1)(1)f g +则＝（）A ．－3B ． 1C ．－1D ．35. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若co s c o s s i n b C c B a A +=，则角A 的值为（）A ．3π B. 6π C. 2πD. 23π6. ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（）A ．1= B ．b a ⊥ C ． 1a b ⋅= D ．()4C a b +⊥B 7.若样本1231,1,1,,1n x x x x ++++的平均数是10，方差为2，则对于样本12322,22,22,,22n x x x x ++++，下列结论正确的是（）A ．平均数为20，方差为4B ．平均数为11，方差为4C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为8 8.等差数列333log (2),log (3),log (42),x x x +的第四项为( )A ．3B ．4C ．3log 18D ．3log 249.已知()f x 的定义域为(,)-∞+∞，且满足(1)(1)(1)(1)0f x f x f x f x --+-=--+=，若(1)2,f =则20191()i f i ==∑( )A ．2019-B ．0C ．2D ．201910. 如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于（）A．1)m B．1)m C．1)m D．1)m 11. 设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>,已知()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点,有下述四个结论：①()f x 在(0,2)π恰好有3次取到最大值②()f x 在(0,2)π恰好有2次取到最小值 ③()f x 在(0,)10π单调递增④ω的取值范围是1229[,)510其中所有正确结论．．．．．．的编号是（） A ．①③④ B ．②④ C ．①④ D ．①③12. 已知函数()xf x e ax =-有两个零点1x ，2x ， 12x x <，则下面说法正确的是（）A ．122x x +D ．有极小值点0x ，且1202x x x +< 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分 13. 函数lg 10xy =的值域是_________.14.若向量(1,2),(1,1),a b ==- 则2a b +与a 夹角的正弦值等于________. 15. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是34，连续两天为优良的概率是12，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是_______. 16. 如图，已知ABC ∆中，点D 在边BC 上，AD 为BAC ∠ 的平分线，且1,23AB AD AC ===. 则BDDC的值为_______， ABC ∆的面积为_______________.（本题第一空2分，第二空3分．）三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知函数()22cos cos 213f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.（1）求函数f (x )的最小正周期和对称轴方程；（2）讨论函数f (x )在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性.18.（本小题满分12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sinsin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且b =，求ABC ∆面积的取值范围．19.（本小题满分12分）辽宁省六校协作体（葫芦岛第一高中、东港二中、凤城一中、北镇高中、瓦房店高中、丹东四中）中的某校理科实验班的100名学生期中考试的语文、数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[100,110），[110,120），[120,130），[130,140），[140,150]．这100名学生语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比如下表所示：（1）估计这100名学生数学成绩的平均数、方差；（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）从数学成绩在[130，150] 的学生中随机选取2人，该2人中数学成绩在[140，150]的人数为X ，求X 的数学期望()E X ．20.（本小题满分12分）已知数列}{n a 、}{n b 满足1,211==b a ，且1111434(2)434n n n n n n a a b n b a b ----=++⎧≥⎨=++⎩（1）令,,n n n n n n c a b da b =+=-证明：{}n c 是等差数列，{}n d 是等比数列；（2）求数列}{n a 和{}n b 的通项公式；)（3）求数列22{}n n a b -的前n 项和公式n S ．21.（本小题满分12分）已知函数x ax ax x f ln 221)(2+-=有两个极值点1x 、2x ，且2121>⋅x x ．（1）求实数a 的取值范围M ；（2）若]2,221[0+∈∃x ，使不等式2ln 2)1()1()1ln()(20++-->++a a b a x f 对M a ∈∀ 恒成立，求实数b 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是πtan (π)2y x αα=<<，曲线1C 的参数方程是cos sin x a a y a ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程是2sin b ρθ=．（1）写出l 及1C 的极坐标方程；（2）已知12a =，1b =，l 与1C 交于,O M 两点，l 与2C 交于,O N 两点，求22||||||OM OM ON +的最大值．23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设0,0,0a b c >>>，1ab bc ca ++=．（1）求证：111a b c bc ca ab a b c++≥++．（2）求证：a b c ++≥数学参考答案（理科）一、选择题二、填空题13、 (0,)+∞ 14、10 15、 23 16、1,12三、解答题17. 解：（1）()22cos cos 213fx x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭1cos 2cos 22sin 226x x x x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，…………（3分）因为2ω=，所以最小正周期2Tππω==，…………（5分）令2=62x k πππ++，所以对称轴方程为62k x ππ=+，k Z ∈.…………（6分）（2）令222262k x k πππππ-+≤+≤+，得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈， …………（8分）设,44A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，{|,}36B x k x k k Z ππππ=-+≤≤+∈，易知,46AB ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，…………（10分）所以，当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. …………（12分）18. （1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=．因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A CB +=．由180A BC ︒++=，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=．因为cos 02B ≠，故1sin 22B =，因此60B ︒=．…………（4分）（2）由正弦定理，2sin sin sin a c b A C B ====，所以2sin ,2sin a A c C == ， ABC ∆的面积11sin 2sin 2sin 22S ac B A C ==⋅⋅sin A C=2sin()3A A π-213sin )sin cos 22A A A A A A =+=31cos 2sin 242A A -=)6A π=+-…………（8分）因为ABC ∆为锐角三角形，所以022032A C A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，因此62A ππ<<.…………（10分）所以52666A πππ<-<，1sin(2)126A π<-≤S <≤，因此ABC ∆的面积的取值范围是. …………（12分）19. 解：（1）这100名学生语文成绩的平均数是：1050.051150.41250.31350.21450.05123⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…………（2分）这100名学生语文成绩的方差是：22222(105123)0.05(115123)0.4(125123)0.3(135123)0.2(145123)0.0596-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=…………（4分）（2）∵数学成绩在[100，140）之内的人数为14(20.050.40.30.2)1009023⨯+⨯+⨯+⨯=∴数学成绩在[140，150]的人数为1009010-=人，而数学成绩在[130，140）的人数为0.210020⨯=人，…………（6分）X 可取0,1,2，021********(0)87C C P X C ===，11102023040(1)87C C P X C ===，2010202303(2)29C C P X C ===，X 的分布列…………（10分） ∴384032()0128787293E X =⨯+⨯+⨯=．…………（12分）（注：或用超几何分布的期望公式计算：这里X 服从参数为30,10,2N M n ===的超几何分布，因此102()2.303M E X n N =⋅=⨯=） 20.（1）证明：由题设得114()4()8n n n n a b a b --+=++，即112n n n n a b a b --+=++，因此12(2)n n c c n --=≥，又1113c a b =+=，所以数列{}n c 是首项为3，公差为2的等差数列. …………（2分）又由题设得114()2()n n n n a b a b ---=-，即112()n n n n a b a b ---=-，因此11(2)2n n d d n -=≥，又1111d a b =-=，所以数列{}n d 是首项为1，公比为12的等比数列. …………（4分） (2)由（1）知1121,().2n n n c n d -=+=即1211()2n n n n n a b n a b -+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1111(),().2222n n n na nb n =++=+-…………（6分）（3）2211()()(21)().2n n n n n n n n n a b a b a b c d n --=+-==+0221111113()57()(21)()(21)()22222n n n S n n --=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅23111111135()7()(21)()(21)()222222n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅2311211111132[()()()](21)()22222211[1()]12232(21)()1212115()(21)()22n nn n nn nS n n n ---=+⨯++++-+⋅⨯-=+⨯-+⋅-=--+⋅两式相减得，所以1110(25)()2n n S n -=-+⋅.…………（12分）21. 解：（1）)0(1212)(2>+-=+-='x xax ax x a ax x f ， ………………（2分） 0120)(2=+-⇔='ax ax x f ，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>+>-=∆≠210044021212x x x x a a a ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>>-≠2110204402a a a a ， ………………（4分）解得a 的取值范围)2,1(=M ． ………………（6分）（2）由0122=+-ax ax ，解得aaa a x a a a a x -+=--=2221,，而)(x f 在),0(1x 上递增，在),(21x x 上递减，在),(2+∞x 上递增 ∵21<<a ，∴2211112+<-+=a x ．∴)(x f 在]2,221[+上单调递增， ∴在]2,221[+上，2ln 2)2()(m ax +-==a f x f ． ………………（7分） ∴“]2,221[0+∈∃x ，使2ln 2)1()1()1ln()(20++-->++a a b a x f 对M a ∈∀恒成立”等价于“不等式2ln 2)1()1()1ln(2ln 22++-->+++-a a b a a 恒成立”，即，不等式012ln )1ln(2>+-+--+b a ba a 对任意的a （21<<a ）恒成立． ………………（8分）令12ln )1ln()(2+-+--+=b a ba a a g ，则0)1(=g ．1221211)(2+---=--+='a aba ba ba a a g ．①当0≥b 时，0122)(2<+---='a aba ba a g ，)(a g 在)2,1(上递减． 0)1()(=<g a g ，不合题意．②当0+-b，即041<<-b 时，则)(a g 在)2,1(上先递减，- 11 - ∵0)1(=g ，∴21<<a 时，0)(>a g 不能恒成立；若1)211(≤+-b ，即41-≤b 时，则)(a g 在)2,1(上单调递增， ∴>)(a g 0)1(=g 恒成立，∴b 的取值范围为]41,(--∞． ………………（12分）22. 解：（1）把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入tan y x α=得tan tan θα=，所以l 极坐标方程是π(,π)2θαρα=∈<<R ． 1C 的普通方程是2220x y ax +-=，其极坐标方程是2cos a ρθ=．…………（5分）（2）1C ：cos ρθ=，2C ：2sin ρθ=，θα=分别代入1C ，2C 得||cos OM α=-，||2sin ON α=．所以22π2||||||2cos 2cos sin sin(2)14OM OM ON αααα+=-=-+．因为ππ2α<<，当7π8α=时，所以22||||||OM OM ON +1．…………（10分） 23. 证明：（1）因为2a b bc ca c +≥=，同理2b c ca ab a +≥，2a c bc ab b+≥，所以111a b c bc ca ab a b c++≥++． …………（5分）（2）由（1）得222a b c ab bc ca ++≥++．因为1ab bc ca ++=，所以2221a b c ++≥．因为2222222()2222a b c a b c ab bc ca a b c ++=+++++=+++．所以2()3a b c ++≥，即a b c ++≥…………（10分）。