2013年考研数学真题及参考答案(数学二)

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2013年考研数学二试题及答案

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1、设cos x 1 x sin (x) ，(x) ，当x 0 时，(x)（）2（A）比x高阶的无穷小（B）比x低阶的无穷小（C）与x同阶但不等价的无穷小（D）与x是等价无穷小【答案】（C）【考点】同阶无穷小【难易度】★★【详解】cos x 1 x sin ( x) ，12 cos x 1 x212x sin ( x) x ，即21 sin (x) x2当x 0 时，(x) 0 ，sin (x) (x)1(x) x，即(x)与x同阶但不等价的无穷小，故选（C）.22、已知y f (x)由方程cos( xy) ln y x 1确定，则（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2【答案】（A）2lim n[ f ( ) 1]nn（）【考点】导数的概念；隐函数的导数【难易度】★★【详解】当x 0 时，y 1.2f ( n) 1 f x f x f2 (2 ) 1 (2 ) (0)lim n[ f ( ) 1] lim lim 2lim 2f (0)1 2n n n x 0 x x 0 xn方程cos( xy) ln y x 1两边同时对x求导，得1sin( xy)( y xy ) y 1 0y将x 0 ，y 1代入计算，得y (0) f (0) 11所以，2lim n[ f ( ) 1] 2nn，选（A）.3、设sin x [0, )f ( x) ，2 [ ,2 ]xF (x) f (t)dt ，则（）（A）x为F (x)的跳跃间断点（B）x为F (x)的可去间断点（C）F ( x) 在x处连续不可导（D）F ( x) 在x处可导【答案】（C）【考点】初等函数的连续性；导数的概念【难易度】★★【详解】 F ( 0) sin tdt 2 sin tdt sin tdt 2 ，F(0) 2，0 02F ( 0) F ( 0) ，F (x) 在x处连续.Fxf ( t)dt f (t)dt0 0( ) lim 0xx，Fxf (t)dt f (t )dt0 0( ) lim 2xx，F ( ) F ( )，故F ( x)在x 处不可导. 选（C）.4、设函数 f (x)11( x 1)11xln x1 x ex e，若反常积分1f ( x)dx收敛，则（）（A） 2 （B） 2 （C） 2 0 （D）0 2 【答案】（D）【考点】无穷限的反常积分【难易度】★★★【详解】ef ( x)dx f ( x)dx f (x)dx1 1 e由1 f ( x)dx收敛可知，e1f ( x)dx与 f (x)dx均收敛.e1e ef ( x)dx dx11 1 ，x 1是瑕点，因为e11(x1) 1收敛，所以 1 1 2dx(x 1)21 1f ( x)dx dx (ln x)1e e x xln e，要使其收敛，则0所以，0 2 ，选 D.y5、设( )z f xyx ，其中函数 f 可微，则x z zy x y（）（A）2yf (xy) （B）2yf (xy ) （C）【答案】（A）2xf (xy) （D）2xf (xy )【考点】多元函数的偏导数【难易度】★★【详解】2z y y2 f ( xy) f ( xy)x x x，z 1y xf (xy ) yf (xy )2x z z x y y 1[ f (xy) f ( xy)] [ f ( xy) yf ( xy)]2y x y y x x x1 1f ( xy) yf ( xy) f ( xy) yf ( xy) 2yf ( xy)x x，故选（A）.6、设D 是圆域k2 2D (x, y) x y 1 位于第k 象限的部分，记I ( y x)dxdy (k 1,2,3, 4) ，则（）kDk（A）I1 0 （B）I2 0 （C）I3 0 （D）I4 0 【答案】（B）【考点】二重积分的性质；二重积分的计算【难易度】★★【详解】根据对称性可知，I1 I3 0 .I y x dxdy （y x 0），2 ( ) 0 I y x dxdy （y x 0 ）4 ( ) 0D2 D4因此，选 B.7、设A、B、C均为n 阶矩阵，若AB=C，且 B 可逆，则（）（A）矩阵C的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵C的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价3（C）矩阵C的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵C的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价【答案】（B）【考点】等价向量组【难易度】★★【详解】将矩阵 A 、C 按列分块， A ( , , n) ，C ( 1, , n)1b b11 1n由于AB C ，故( , , ) ( , , )1 n 1 nb bn1 nn即1b11 1 b n1 n, , n b1n 1 b nn n即C的列向量组可由 A 的列向量组线性表示.由于 B 可逆，故 1A CB ，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，故选（B）.1 a 12 0 08、矩阵 a b a 0 b 0 相似的充分必要条件是（）与1 a 1 0 0 0（A）a 0,b 2（B）a 0,b 为任意常数（C）a 2,b 0（D）a 2,b 为任意常数【答案】（B）【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件【难易度】★★【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值.2 0 0 1 a 1由0 0A a b a 的特征值也是2，b ，0.b 的特征值为2，b ，0 可知，矩阵0 0 0 1 a 11 a 1 1 a 1因此， 2 22E A a 2 b a 0 2 b a 2a 4a 0 a01 a 1 0 2a 041 0 1将a 0代入可知，矩阵 A b 的特征值为2，b ，0.0 01 0 1此时，两矩阵相似，与 b 的取值无关，故选（B）.二、填空题：9～14小题, 每小题4分, 共24分. 请将答案写在答题．纸．．指定位置上.9、1ln(1 x)lim(2 ) xx 0x. 1【答案】 2e【考点】两个重要极限【难易度】★★【详解】11 ln(1 x ) 1 ln(1 x) 1 ln(1 x) 1 ln(1 x )ln(1 x) ln(1 x) 1 (1 ) (1 ) lim (1 ) x x x x x x x x lim(2 ) lim[1 (1 ) ] lim e ex 0x 0 x 0 x 0x x其中，111 ln(1 x) x ln(1 x) 1 x x 1 lim (1 ) lim lim lim2x x x 2 x 2 (1 ) 20 0 0 0x x x x x x 1故原式=e210、设函数xtf (x) 1 e dt ，则y f (x) 的反函数1x f y 在y 0处的导数1( )1( )dxdyy 0.1 【答案】11 e【考点】反函数的求导法则；积分上限的函数及其导数【难易度】★★【详解】由题意可知， f ( 1) 05dy dx 1 dx dx 1xf (x) 1 edx dy e x dy dy e1 1y 0 x 1 1 .11、设封闭曲线L 的极坐标方程方程为r cos3 ( ) ，则L 所围平面图形的面积6 6是.【答案】12【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积【难易度】★★【详解】面积1 1 cos6 1 sin 662 26 6 6S r ( )d cos 3 d d ( )2 0 0 2 2 6 126 012、曲线x arctan t,y ln 1 t 2 上对应于t 1点处的法线方程为.【答案】ln 2 0y x4【考点】由参数方程所确定的函数的导数【难易度】★★★1 12 2 dy dy / dt 1 tdx dx / dt112 2(1 t ) 2t12tt ，故dydx t 1【详解】由题意可知， 1曲线对应于t 1点处的法线斜率为1k 1.1当t 1时，x ，y ln 2 .4法线方程为ln 2 ( )y x ，即y x ln 2 0 .4 413、已知3x 2 xy e xe ，1x 2xy e xe ，22xy xe 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 33个解，则该方程满足条件y，0 0x y 0 1的解为y .x【答案】3x x 2 xy e e xe6【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程【难易度】★★【详解】3x x xy y e e ，y2 y3 e 是对应齐次微分方程的解.1 2由分析知，* 2xy xe 是非齐次微分方程的特解.故原方程的通解为3x x x 2xy C1(e e ) C2e xe ，C1,C2 为任意常数.由y0 0，x y 可得C1 1，C2 0 .0 1x通解为3x x 2xy e e xe .14、设A (a )是3 阶非零矩阵， A 为A的行列式，A ij 为a ij 的代数余子式，若ija A 0(i , j 1,2,3) ，则A .ij ij【答案】-1【考点】伴随矩阵【难易度】★★★【详解】* T * Ta A 0 A a A A AA AA A Eij ij ij ij等式两边取行列式得2 3A A A 0或A1T当A 0时，0 0AA A （与已知矛盾）所以A 1.三、解答题：15～23 小题, 共94 分. 请将解答写在答题．纸．．指定位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10 分）当x 0 时，1 cos x cos 2x cos3 x与ax n 为等价无穷小，求n 和a的值.【考点】等价无穷小；洛必达法则【难易度】★★★【详解】cos6x cos4 x cos2x 111 cosx cos2x cos3x 4lim limn nax axx 0 x 03 cos 6x cos4 x cos 2x 6sin 6x4sin 4x 2sin 2x lim limn n 1x 0 4ax x 0 4 a nx7lim x 0 36cos6 x 16cos 4x 4cos 2xn4an (n 1)x2故n 2 0，即n 2时，上式极限存在.当n 2时，由题意得1 cos x cos 2x cos3 x 36cos 6x 16cos 4x 4cos 2x 36 16 4lim lim 1nx 0 ax x 0 a a8 8a 7n 2,a 716、（本题满分10 分）1设D是由曲线y x3 ，直线x a (a 0) 及x 轴所围成的平面图形，V x ，V y 分别是D绕x 轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若V 10V ，求a的值.y x【考点】旋转体的体积【难易度】★★【详解】根据题意，a1 5 5a 3 323 3 3 V ( x ) dx x a x0 5 5a1 7 76 6 aV 2 x x dx x a .3 3 3y7 7因V 10V ，故y x7 56 33 3a 10 a a 7 7 .7 517、（本题满分10 分）设平面区域D由直线x 3y ，y 3x ，x y 8围成，求 2x dxdyD【考点】利用直角坐标计算二重积分【难易度】★★【详解】根据题意y 3x x 2x y 8 y 6，1 6y x x3y 2x y 8故D2 3x 6 8 x2 2 2x dxdy dx x dy dx x dyx x0 23 32 62 8 1 32 4164 3 4x ( x x ) 1283 3 3 3 30 2818、（本题满分10 分）设奇函数 f (x) 在[ 1,1]上具有二阶导数，且 f (1) 1，证明：（Ⅰ）存在(0,1) ，使得 f ( ) 1；（Ⅱ）存在( 1,1)，使得 f ( ) f ( ) 1.【考点】罗尔定理【难易度】★★★【详解】（Ⅰ）由于 f (x) 在[ 1,1]上为奇函数，故 f (0) 0令 F (x) f (x) x ，则F (x) 在[0,1] 上连续，在( 0,1)上可导，且F (1) f (1) 1 ，0 F (0) f (0) 0 0. 由罗尔定理，存在(0,1) ，使得 F ( ) 0 ，即 f ( ) 1.x x x x （Ⅱ）考虑 f (x) f (x) 1 e ( f(x) f (x)) e (e f (x)) ex x[e f (x) e ] 0x x令g( x) e f ( x) e ，由于f ( x) 是奇函数，所以 f ( x)是偶函数，由（Ⅰ）的结论可知，f ( ) f ( ) 1，g( ) g( ) 0 . 由罗尔定理可知，存在( 1,1)，使得g ( ) 0 ，即 f ( ) f ( ) 1.19、（本题满分10 分）求曲线 3 3 1( 0, 0)x xy y x y 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.【考点】拉格朗日乘数法【难易度】★★★【详解】设M ( x, y) 为曲线上一点，该点到坐标原点的距离为 2 2d x y构造拉格朗日函数 2 2 ( 3 3 1)F x y x xy y由2F 2x (3x y) 0x2F 2y (3y x) 0y3 3F x xy y 1 0得xy119点(1,1)到原点的距离为 2 2d 1 1 2 ，然后考虑边界点，即(1,0) ，(0,1) ，它们到原点的距离都是 1. 因此，曲线上点到坐标原点的最长距离为 2 ，最短距离为 1.20 、（本题满分11 分）设函数 f (x) ln x 1 x（Ⅰ）求 f (x) 的最小值；（Ⅱ）设数列x 满足n1ln x n 1，证明lim x n 存在，并求此极限.x nn 1【考点】函数的极值；单调有界准则【难易度】★★★【详解】（Ⅰ）由题意， f ( x) ln x 1x，x 0 f (x)1 1 x 12 2x x x令 f (x) 0，得唯一驻点x 1当0 x 1时， f (x) 0 ；当x 1时， f (x) 0 .所以x 1是 f (x) 的极小值点，即最小值点，最小值为 f (1) 1.（Ⅱ）由（Ⅰ）知1ln x n 1xn，又由已知1ln x n 1，可知xn 11 1x xn n1，即x n 1 x n故数列x单调递增.n又由1ln x n 1，故ln x n 1 0 x n e，所以数列x n 有上界.xn 1所以limn x 存在，设为 A. n在1ln x n 1两边取极限得xn 11ln A 1A在1ln x n 1两边取极限得xn1ln A 1A10所以1ln A 1 A 1即lim x n 1 .An21、（本题满分11 分）设曲线L 的方程为 1 2 1 ln (1 )y x x x e 满足4 2（Ⅰ）求L 的弧长；（Ⅱ）设D是由曲线L ，直线x 1，x e及x 轴所围平面图形，求D的形心的横坐标. 【考点】定积分的几何应用—平面曲线的弧长；定积分的物理应用—形心【难易度】★★★【详解】（Ⅰ）设弧长为S，由弧长的计算公式，得1 1 1 1 1 1 e ee e2 2 2 2S 1 ( y ) dx 1 ( x ) dx 1 ( x ) dx ( x ) dx1 1 1 12 2x 2 2x 2 2xe2e 1 1 1 1 1 e2( x )dx ( x ln x)1 2 2x 4 2 41（Ⅱ）由形心的计算公式，得x DD1 1 1 1exdxdy 1dx x ln x xdy x x2 x dx2( ln )4 214 20 01 1 1 12 edxdy 1 dx x ln x dy x2 x dx( ln )4 24 210 01 1 1 1 14 2 2e (e e )16 16 4 2 24 23(e 2e 3)1 1 1 4( 3 7)e.3e12 12 2 22、（本题满分11 分）设1 aA ，1 0B0 11 b，当a,b 为何值时，存在矩阵C使得AC CA B ，并求所有矩阵C.【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件【难易度】★★★【详解】由题意可知矩阵C为2 阶矩阵，故可设C x x1 2x x3 4. 由AC CA B 可得11x ax2 31 a x x x x 0 1 0 11 2 1 21 0 x x x x 1 b 1 b3 4 3 4 整理后可得方程组ax a ax1 2 4x x x1 3 411①x ax b2 3由于矩阵C存在，故方程组①有解. 对①的增广矩阵进行初等行变换：0 1 a 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1a 1 0 a 1 0 1 a 0 0 0 1 a 0 01 0 1 1 1 0 1 a 0 a 1 0 0 0 0 a 1 0 1 a 0 b 0 0 0 0 b 0 0 0 0 b 方程组有解，故 a 1 0 ，b 0，即a 1，b 0 .1 0 1 1 1当a 1，b 0时，增广矩阵变为0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0x3, x4 为自由变量，令x3 1, x4 0，代入相应齐次方程组，得x2 1, x1 1 令x3 0, x4 1，代入相应齐次方程组，得x2 0, x1 1故 1 (1, 1,1,0) T T， 2 (1,0,0,1)T ，令x3 0, x4 0，得特解(1,0,0,0)T方程组的通解为x k1 1 k2 2 (k1 k2 1, k1,k1 ,k2) （k1,k2 为任意常数）所以C k k 1 k1 2 1k k1 2.23、（本题满分11 分）a 1b 1设二次型 2f (x , x ,x ) 2(a x a x a x ) (b x b x b x ) ，记1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 a2，b2 a3b3（Ⅰ）证明二次型 f 对应的矩阵为 2 T T ；（Ⅱ）若, 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2 22y y1 2【考点】二次型的矩阵表示；用正交变换化二次型为标准形；矩阵的秩12【难易度】★★★【详解】（Ⅰ）证明：2f (x ,x , x ) 2(a x a x a x ) (b x b x b x )1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3a xb x1 1 1 1 2( x , x , x ) a (a , a , a ) x (x , x , x ) b (b ,b ,b ) x1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2a xb x3 3 3 3x1T T T (x , x , x )(2 ) x x Ax1 2 3 2 ，其中A 2T Tx3所以二次型 f 对应的矩阵为2 T T .T T （Ⅱ）由于, 正交，故T T T因, 均为单位向量，故 1，即1. 同理 1T T T T T TA 2 A (2 ) 2 2由于0 ，故A有特征值 12 .T TA (2 ) ，由于0 ，故A有特征值 2 1T T T T T T又因为r( A) r (2 ) r(2 ) r( ) r( ) r( ) 1 1 2 3 ，所以A 0，故 30 .三阶矩阵A的特征值为2，1，0. 因此，f 在正交变换下的标准形为 2 22y y .1 213。

2024考研数二真题及答案

2 0 2 4 年考研数学 ( 二 ) 真题及答案一、选择题：(1- 10小题，每小题5分，共50分。

下列每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)的第一类间断点的个数为 ( )1. A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】C已知, 则A.2eB.C.【答案】B3.已知A.f(x) 为奇函数，g(x) 为奇函数B.f(x) 为奇函数，g(x) 为偶函数 c.f(x) 为偶函数，g(x) 为偶函数 D.f(x) 为偶函数，g(x) 为奇函数【答案】D2.口【答案】C4.已知数列{a,}(a,≠0),若{a,}发散，则( )A.B.C.D.发散发散【答案】D5. A.B.C.D. 已知函数则在点(0,0)处( ).连续，f(x.y) 可微连续，f(x.y) 不可微不连续，f(x.y) 可微不连续，f(x.y) 不可微6.设f(x,y) 是连续函数，则(A)(D)(C)【答案】A7.设非负函数f(x) 在[0,+0]上连续，给定以下三个命题：( 1 ) 若收敛，则(2)若存在p>1, 使极限存在，则收敛；( 3 ) 若收敛，则存在p>h使极限存在；其中正确的个数是( )(A)0 (B)r (C)2 (D)3【答案】B8.8.设A为三阶矩阵，则矩阵A为 ( )【答案】C9 . 设A*为四阶矩阵，A* 为A的伴随矩阵，若A(A-A*)=0, 且A≠A*,则r(A)的可能取值为( )A.0 或 1B.1 或 3C.2 或 3D.1 或 2【答案】D1 0 . 设A,B 均为2阶矩阵，且AB=BA, 则“A有两个不相等的特征值”是“B可对角化”的()A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B二、填空题：11-16小题，每小题5分，共30分请将答案写在答题纸指定位置上。

11. 曲线y²=x 在点(0,0)处的曲率圆方程为【答案】 (x-1/2)平方+y 平方=1/412 . 函数f(x,y)=2x³-9x²-6y²+12x+24y 的极值点是【答案】(1,1)13.微积方程满足y(1)=0 的解为【答案】y-arctan(x+y)+ 元/4=014. 已知函数f(x)=x²(e×-1), 则f(5)(x)=【答案】|3ie15.某物体以速度v(t)=t+ksinπt做线运动，若它从t=0 到t=3 的时间段内平均速度是 , 则k=【答案】3π/216 .设向,若a₁,a₂,a₃ 线性相关，且其中任意两个向量均为线性无关，则ab=【答案】-4三、解答题：(17-22小题，共70分。

考研数学二真题答案解析

1..【分析】本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】方法一： x x y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e +，于是]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(x xx x e y x x +⋅++⋅='+，从而π=x dy=.)(dx dx y ππ-='方法二：两边取对数，)sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得x x x x y ysin 1cos )sin 1ln(1+++='，于是]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(x xx x x y x +⋅++⋅+='，故π=x dy=.)(dx dx y ππ-='【评注】幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式.2..【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】因为a=,1)1(lim )(lim23=+=+∞→+∞→x x x x x f x x[]23)1(lim)(lim 2323=-+=-=+∞→+∞→xxx ax x f b x x ，于是所求斜渐近线方程为.23+=x y 【评注】如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。

这里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当∞→x 时，极限x x f a x )(lim∞→=不存在，则应进一步讨论+∞→x 或-∞→x 的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线，本题定义域为x>0，所以只考虑+∞→x 的情形.3..【分析】作三角代换求积分即可. 【详解】令t x sin =，则=.4)arctan(cos cos 1cos 20202πππ=-=+-⎰t tt d【评注】本题为广义积分，但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等.4...【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式：⎰+⎰⎰=-])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P ，再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】原方程等价为x y x y ln 2=+'，于是通解为⎰⎰+⋅=+⎰⋅⎰=-]ln [1]ln [2222C xdx x x C dx ex ey dxx dxx=2191ln 31x C x x x +-，由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.91ln 31x x x y -=【评注】本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也可如下求解：原方程可化为x x xy y x ln 222=+'，即x x y x ln ][22='，两边积分得Cx x x xdx x y x +-==⎰332291ln 31ln ，再代入初始条件即可得所求解为.91ln 31x x x y -=5…【分析】题设相当于已知1)()(lim0=→x x x αβ，由此确定k 即可.【详解】由题设，200cos arcsin 1lim )()(limkx xx x x x x x -+=→→αβ=)cos arcsin 1(cos 1arcsin lim20x x x kx x x x x ++-+→=k 21143cos 1arcsin lim 20==-+→k x x x x x ，得.43=k 【评注】无穷小量比较问题是历年考查较多的部分，本质上，这类问题均转化为极限的计算.6…【分析】将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可. 【详解】由题设，有=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα，于是有.221941321111=⨯=⋅=A B【评注】本题相当于矩阵B 的列向量组可由矩阵A 的列向量组线性表示，关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示。

考研数学二历年真题及答案

考研数学二历年真题及答案考研数学二历年真题及答案考研数学二是考研数学科目中的一部分，对于数学专业考研的学生来说，数学二的备考是非常重要的一部分。

在备考过程中，熟悉历年真题并掌握解题技巧是非常关键的。

本文将对考研数学二历年真题及答案进行介绍和分析，希望对考生们的备考有所帮助。

一、选择题部分选择题是考研数学二的第一部分，也是最容易上手的一部分。

在选择题中，考生需要根据题目给出的条件和要求，从给定的选项中选择正确的答案。

选择题的解题思路主要是根据题目的条件和要求，运用基本的数学知识和解题技巧进行分析和计算。

在备考过程中，考生可以通过做大量的历年真题来提高自己的解题能力和速度。

二、填空题部分填空题是考研数学二的第二部分，与选择题相比，填空题的难度稍微有所增加。

在填空题中，考生需要根据题目给出的条件和要求，填写正确的答案。

填空题的解题思路主要是根据题目的条件和要求，利用数学公式和定理进行推导和计算。

在备考过程中，考生可以通过做大量的历年真题来提高自己的解题能力和速度。

三、解答题部分解答题是考研数学二的第三部分，也是最难的一部分。

在解答题中，考生需要根据题目给出的条件和要求，进行详细的分析和推导，并给出完整的解答。

解答题的解题思路主要是根据题目的条件和要求，利用数学公式和定理进行推导和计算，并给出详细的解答过程和结论。

在备考过程中，考生可以通过做大量的历年真题来提高自己的解题能力和速度。

四、历年真题及答案以下是考研数学二历年真题及答案的一部分，供考生参考：1. 2008年考研数学二真题题目：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明存在ξ∈(a,b)，使得f'(\xi)=\frac{f(\xi)}{(\xi-a)(\xi-b)}答案：根据题目条件，可以使用拉格朗日中值定理进行证明。

2. 2010年考研数学二真题题目：计算二重积分\iint_D(x^2+y^2)dxdy，其中D为由x^2+y^2=1和x^2+y^2=4所围成的闭区域。

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案解析

2013考研数学二真题ঞㄨḜ解析ZZZ ZHQGXHGX FRP一、选择题1.设cos x -1=x sin ()x α，其中｜()x α｜<2π，则当x →0时，()x α是（）而()0lim 0x F x πππ−−→′==−∫∫，()()()0lim 2xx f t dt f t dtF x ππππ++→−′==−∫∫，()()(),F F F x ππ−+′′≠∴∵在x π=处不可导。

故()F x 在x π=处连续但不可导。

4.设函数f (x )=1,1,(1)11,.ln(1)x e x x e x xαα⎧<<⎪−−⎪⎨⎪≥⎪+⎩若反常积分∫∞+1f (x )d x 收敛，则（）解：[]21320,0,()0,(()0),D I I I y x d y x σ===+−>+−>∫∫∵[]44()0,(()0),D I y x d y x σ=+−<+−<∫∫∵所以选（B ）。

7.设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则(A)矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价(B)矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价(C)矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价(D)矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价答案：（B ）解：1212(,,,)(,,,),(1)n n i i A A i n βββγγγβγ==≤≤⋯⋯，即C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示。

⎪⎪⎩⎭10.设函数(),xf x −=∫则y =f (x )的反函数)(1y f x −=在0=y 处的导数______|0==y dydx解：=0y 即=-1x，=0y dy dx dx dy。

故32xxx y e exe =−+−。

14.设A=()ij a 是3阶非零矩阵，｜A ｜为A 的行列式，Aij 为ij a 的代数余子式，若0(,1,2,3)ij ij a A i j +==,则｜A ｜=______________答案：-1解：2*3*=-,=(-1)=-=0=-1T ij ij A a A A A A A A A =−⇒⇒或。

2024考研数二真题及答案

2 0 2 4 年考研数学 ( 二 ) 真题及答案一、选择题：(1- 10小题，每小题5分，共50分。

2013年考研数学二真题及答案解析

方法二：
Q 第二象限中 y > 0 ， x < 0 ，始终 y > x
即 y−x>0
∴ I 2 >0 ∴ 选（B）.
（）
(7) 设 A， B， C 均为 n 阶矩阵，若 AB = C ，且 B 可逆，则 (A) 矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量等价 (B) 矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量等价 (C) 矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量等价 (D) 矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量等价【答案】(B) 【解析】将 A, C 按列分块， A = (α1 ,..., α n ), C = (γ 1 ,..., γ n ) 由于 AB = C ，故
2 n
) （A）
（D）-2
【解析】因为 x = 0时，y = 1 即 f (0) = 1 .
2 Q lim n f ( ) − 1 = lim 2⋅ n →∞ n n →∞
又Q cos( xy ) + ln y − x = 1
2 f ( ) − f (0) n = 2 f '(0) = 2 y ' x = 0 2 −0 n
（6）设 Dk 是圆域 D = ( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1 在第 k 象限的部分，记 I k =
{
}
∫∫ ( y − x)dxdy ,
Dk
(k = 1, 2,3, 4) 则
(A)
（ (B) I 2 > 0 (C) I 3 > 0 (D) I 4 > 0
）
I1 > 0
【答案】（B）【解析】方法一：
∫
e
1
（5）设 z =

2013年考研数学真题及参考答案(数学二)

π
2
, 则当 x → 0 时, α ( x ) 是
【】 .
(A) 比 x 高阶的无穷小 (C) 与 x 同阶但不等价的无穷小【答案】答案】C.
(B) 比 x 低阶的无穷小 (D) 与 x 等价的无穷小
【考点】考点】计算极限的方法:常用的等价无穷小.
【解析】解析】 x sin α ( x) = cos x − 1 ~ −
(D) I 4 > 0
【解析】解析】在第 II 象限除原点外被积函数 y − x > 0 ,因此 I 2 > 0 . 【评注】评注】在第 IV 象限除原点外被积函数 y − x < 0 ,因此 I 4 < 0 ; 在第 I 象限和第 III 象限,根据轮换对称性得
I1 = I 3 = 0 .
(7)设 A, B, C 均为 n 阶矩阵,若 AB = C ,且 B 可逆,则 (A) 矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 (C) 矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价【答案】答案】B. 【考点】考点】向量组的线性表示方法. 【解析】解析】将矩阵 A 和 C 按列分块,设 A = (α1 , α 2 ,⋯ , α n ) , B = (bij ) , C = (γ 1 , γ 2 ,⋯ , γ n ) . ①由 AB = C 组线性表示; 【】 . (B) 矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 (D) 矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价
π
6
≤θ ≤
π
6
),则 L 所围平面图形的面积为
．
【答案】答案】
π
12
.
【考点】考点】计算极坐标曲线所围图形的面积.

考研数学二-209_真题(含答案与解析)-交互

考研数学二-209(总分79, 做题时间90分钟)一、填空题1.SSS_FILL分值: 4答案:2.SSS_FILL分值: 1答案:-sinx3.SSS_FILL分值: 1答案:4.SSS_FILL分值: 1答案:y+x=tan(x+C)5.SSS_FILL分值: 4答案:6.SSS_FILL分值: 1答案:2π二、选择题1.A，B是n阶矩阵，且A～B，则• A. A，B的特征矩阵相同．• B. A，B的特征方程相同．• C. A，B相似于同一个对角阵．• D. 存在n阶方阵Q，使得Q T AQ=B．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:B[解析] 相似矩阵有相同的特征值．2.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C3.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:B4.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:D5.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:D6.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:C7.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:D8.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:D三、解答题1.SSS_TEXT_QUSTI分值: 1答案:2.设D是xOy平面上有界闭区域，函数u(x，y)在D上定义，在D的内部成立u"xx +u"yy+cu=0，其中c＜0为常数，证明：(1)u在D上的正最大值(负最小值)不能在D的内部取得．(2)若u在D上连续，且在D的边界上u=0，则在D上u≡0．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5答案:[证明] (1)若u(x，y)在D上正最大值在D内部某点(x0，y)取得，则(x，y)为u(x，y)的极大值点，又u"xx (x，y)+u"yy(x，y)=-cu(x，y)＞0，则u"xx (x，y)和u"yy(x，y)中至少有一个大于零，不妨设u"xx(x，y)＞0，由于二元函数u(x，y)在(x0，y)取极大值，则一元函数u(x，y)在x应取极大值，这与u"xx (x，y)＞0矛盾．(2)由于u(x，y)在有界闭区域D上连续，则u(x，y)在D上有最大值和最小值，若u(x，y)在D上不恒为零．不妨设u(x，y)在D内部的点(x0，y)处函数值大于零，即u(x0，y)＞0，则u(x，y)在D上最大值为正，且一定在D内部取到，这已与(1)矛盾．故在D上u(x，y)≡0．3.设函数u=(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式，确定a，b的值，使等式在变换SSS_TEXT_QUSTI分值: 9答案:由复合函数的链导法则得所以因而解得[解析] 利用复合函数的链导法则变形原等式即可．[评注] 此题主要考查复合函数链导法则的熟练运用，是对运算能力的考核.4.SSS_TEXT_QUSTI分值: 1答案:5.SSS_TEXT_QUSTI分值: 1答案:6.SSS_TEXT_QUSTI分值: 10答案:7.SSS_TEXT_QUSTI分值: 10答案:8.SSS_TEXT_QUSTI分值: 1答案:9.SSS_TEXT_QUSTI分值: 12答案:1。

2013年考研数学二真题及答案

由于 1 cos x cos 2 x cos 3x 与 ax 是等价无穷小，所以 a 7, n 2 ．
n
16．（本题满分 10 分）设 D 是由曲线 y
3
直线 x a (a 0) 及 x 轴所转成的平面图形，V x ,V y 分别是 D 绕 x 轴和 y 轴旋转 x，
一周所形成的立体的体积，若 10Vx V y ，求 a 的值．【详解】由微元法可知
Vx y dx
2 0
a
a 0
3 x dx a 3 ； 5
4
2 3
Байду номын сангаас
5
V y 2 xf ( x)dx 2
0
a
a 0
6 x dx a 3 ； 7
4 3
7
由条件 10Vx V y ，知 a 7 7 ． 17．（本题满分 10 分）设平面区域 D 是由曲线 x 3 y, y 3x, x y 8 所围成，求【详解】

． 12 x arctan t 12．曲线上对应于 t 1 处的法线方程为． 2 y ln 1 t t 2 1 【详解】当 t 1 时， x , y ln 2 ， y ' |t 1 1 t |t 1 1 ，所以法线方程为 1 4 2 1 t2 1 1 y ln 2 1( x ) ，也就是 y x ln 2 0 ． 2 4 2 4
1 2 1 x o( x 2 ) ， cos 2 x 1 (2 x) 2 o( x 2 ) 1 2 x 2 o( x 2 ) ， 2 2
1 9 cos 3x 1 (3x) 2 o( x 2 ) 1 x 2 o( x 2 ) ， 2 2 1 2 9 2 2 2 2 2 2 2 所以 1 cos x cos 2 x cos 3x 1 (1 x o( x ))(1 2 x o( x ))(1 x o( x )) 7 x o( x ) ， 2 2

[考研类试卷]考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编33.doc

[考研类试卷]考研数学⼆（⾼等数学）历年真题试卷汇编33.doc[考研类试卷]考研数学⼆（⾼等数学）历年真题试卷汇编33⼀、解答题解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤。

0 函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1且满⾜等式f'(x)+f(x)－∫0x f(t)dt=0。

1 求导数f'(x)；2 证明：当x≥0时，成⽴不等式e－x≤f(x)≤1成⽴。

3 利⽤代换y=u／cosx将⽅程y"cosx－2y'sinx+3ysinx=e x化简，并求出原⽅程的通解。

4 设y=y(x)是⼀向上凸的连续曲线，其上任意⼀点(x，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线⽅程为y=x+1，求该曲线的⽅程，并求函数y=y(x)的极值。

5 某湖泊的⽔量为V，每年排⼊湖泊内含污染物A的污⽔量为V／6，流⼊湖泊内不含A的⽔量为V／6，流出湖泊的⽔量为V／3，已知1999年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指标。

为了治理污染，从2000年初起，限定排⼊湖泊中含A 污⽔的浓度不超过m0／V。

问⾄多需要经过多少年，湖泊中污染物A的含量降⾄m0以内。

(注：设湖⽔中A的浓度是均匀的)6 设函数f(x)，g(x)满⾜f'(x)=g(x)，g'(x)=2e x－f(x)，且f(0)=0，g(0)=2，求∫0π[]dx。

7 设L是⼀条平⾯曲线，其上任意⼀点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(1／2，0)。

(Ⅰ)试求曲线L的⽅程；(Ⅱ)求L位于第⼀象限部分的⼀条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形⾯积最⼩。

7 设函数y=y(x)在(－∞，+∞)内具有⼆阶导数，且y'≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。

8 试将x=x(y)所满⾜的微分⽅程+(y+sinx)(dx／dy)3=0变换为y=y(x)满⾜的微分⽅程；9 求变换后的微分⽅程满⾜初始条件y(0)=0，y'(0)=2／3的解。

考研数学二13年真题

2013年考研数学二真题及答案一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．设2)(),(sin 1cos παα<=-x x x x ，当0→x 时，()x α （）（A ）比x 高阶的无穷小（B ）比x 低阶的无穷小（C ）与x 同阶但不等价无穷小（D ）与x 等价无穷小2．已知()x f y =是由方程()1ln cos =+-x y xy 确定，则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→12lim n f n n （）（A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2 ３．设⎩⎨⎧∈∈=]2,[,2),0[,sin )(πππx x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(则（）（Ａ）π=x 为)(x F 的跳跃间断点．（Ｂ）π=x 为)(x F 的可去间断点．（Ｃ）)(x F 在π=x 连续但不可导．（Ｄ）)(x F 在π=x 可导．４．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-=+-e x xx e x x x f ,ln 11,)1(1)(11αα，且反常积分()dx x f ⎰∞+收敛，则（）（A ）2-<α （B ）2>a （C ）02<<-a （D ）20<<α ５．设函数()xy f xyz =，其中f 可微，则=∂∂+∂∂y z x z y x （）（A ）)('2xy yf （B ）)('2xy yf -（C ）)(2xy f x （D ）)(2xy f x-6．设k D 是圆域{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记⎰⎰-=kD k dxdy x y I )(，则（）（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 7．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价．（B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价．（C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价．（D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价．8．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是（A ）2,0==b a （B ）0=a ，b 为任意常数（C ）0,2==b a （D ）2=a ，b 为任意常数二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9． =⎪⎭⎫⎝⎛+-→xx x x 1)1ln(2lim ． 10．设函数dt e x f x t ⎰--=11)(，则)(x f y =的反函数)(1y f x -=在0=y 处的导数==0|y dydx． 11．设封闭曲线L 的极坐标方程为⎪⎭⎫⎝⎛≤≤-=663cos πθπθr t 为参数，则L 所围成的平面图形的面积为．12．曲线上⎪⎩⎪⎨⎧+==21ln arctan ty tx 对应于1=t 处的法线方程为． 13．已知x x x x x xe y xe e y xe e y 2322231,,-=-=-=是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足1)0(',0)0(==y y 方程的解为．14．设()ij a A =是三阶非零矩阵，A 为其行列式，ij A 为元素ij a 的代数余子式，且满足)3,2,1,(0==+j i a A ij ij ，则A = ．三、解答题15．（本题满分10分）当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1-与n ax 是等价无穷小，求常数n a ,．设D 是由曲线3x y =，直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x 轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V =10，求a 的值．,3,3=+==yxxyyx所围成，求⎰⎰Ddxdyx2．设平面区域D是由曲线8设奇函数)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，且1)1(=f ，证明：（1）存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ；（2）存在)1,1(-∈η，使得1)()(='+''ηηf f ．求曲线)0,0(133≥≥=+-y x y xy x 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离．20．（本题满分11）设函数xx x f 1ln )(+= ⑴求)(x f 的最小值； ⑵设数列{}n x 满足11ln 1<++n n x x ，证明极限n n x ∞→lim 存在，并求此极限．设曲线L 的方程为)1(ln 21412e x x x y ≤≤-=．（1）求L 的弧长．（2）设D 是由曲线L ，直线e x x ==,1及x 轴所围成的平面图形，求D 的形心的横坐标．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b B a A 110,011，问当b a ,为何值时，存在矩阵C ，使得B CA AC =-，并求出所有矩阵C ．设二次型23322112332211321)()(2),,(x b x b x b x a x a x a x x x f +++++=．记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,b b b a a a βα．（1）证明二次型f 对应的矩阵为 T T ββαα+2；（2）若βα,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为22212y y +．一.选择1.【详解】显然当0→x 时)(~21~)(sin ,21~)(sin 1cos 2x x x x x x x ααα--=-，故应该选（C ）． 2. 【分析】本题考查的隐函数的求导法则信函数在一点导数的定义．【详解】将0=x 代入方程得1)0(==f y ，在方程两边求导，得01')')(sin(=+-+-yy xy y xy ，代入1,0==y x ，知1)0(')0('==f y ． 2)0('22)0()2(lim 212lim ==-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→∞→f nf n f n f n n n ，故应该选（A ）． 3. 【详解】只要注意π=x 是函数)(x f 的跳跃间断点，则应该是⎰=xdt t f x F 0)()(连续点，但不可导．应选（Ｃ）． 4.【详解】⎰⎰⎰∞++-∞++-=e edx xx x dx dx x f 1111ln 1)1()(αα，其中⎰⎰---=-10111)1(e etdt x dxαα当且仅当11<-α时才收敛；而第二个反常积分xx dx xx x eαξαααln lim 11|ln 1ln 111+∞→∞+-∞++-=-=⎰，当且仅当0>a 才收敛．从而仅当20<<α时，反常积分()dx x f ⎰∞+才收敛，故应选（Ｄ）． 5. 【详解】)('2)(')(1)(')(22xy yf xy yf xy f xxy f x y xy f x y y x y z x z y x =++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∂∂+∂∂．应该选（A ）．6. 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知()ππππππθθθθθθθθ22122110222)1(|cos sin 31)sin (sin 31)cos (sin )(k k kk k k D k d dr r d dxdy x y I k ---+-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰所以ππ32,32,04231-====I I I I ，应该选（B ）．7. 【详解】把矩阵A ，C 列分块如下：()()n n C A γγγααα,,,,,,,2121 ==，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知),,2,1(2211n i b b b n in i i i =+++=αααγ，得到矩阵C 的列向量组可用矩阵A 的列向量组线性表示．同时由于B 可逆，即1-=CB A ，同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示，所以矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价．应该选（B ）．8. 【详解】注意矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 是对角矩阵，所以矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．)22)2((111122a b b aa baa A E -++--=---------=-λλλλλλλ从而可知b a b 2222=-，即0=a ，b 为任意常数，故选择（B ）．二.填空 9.【详解】21)(21(lim)1ln(lim 101022202)1ln(1lim )1ln(2lim e ee x x x x x x x o x x x xx x xx xx x x ===⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+--+-→→→→．10. 【详解】由反函数的求导法则可知11011|1|--==-==e dxdy dy dx x y11. 【详解】12cos 313cos 2121202662662πθθθπππππ====⎰⎰⎰--dt t d d r A 所以．答案为12π． 12. 【详解】当1=t 时，2ln 21,4==y x π，1|111|'1221=++===t t t t t y ，所以法线方程为)4(12ln 21π--=-x y ，也就是042ln 21=--+πx y ． 13. 【详解】显然x e y y 331=-和x e y y =-32是对应的二阶常系数线性齐次微分方程两个线性无关的解，由解的结构定理，该方程的通解为x x x xe e C e C y 2231-+=，其中21,C C 为任意常数．把初始条件代入可得1,121-==C C ，所以答案为x x x xe e e y 23--=14. 【详解】由条件)3,2,1,(0==+j i a A ij ij 可知0*=+TA A ，其中*A 为A的伴随矩阵，从而可知A AA A T-===-13**，所以A 可能为1-或0．但由结论⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,)(*n A r n A r n A r n A r 可知，0*=+T A A 可知*)()(A r A r =,伴随矩阵的秩只能为3，所以.1-=A三.解答题15. 【分析】主要是考查0→x 时常见函数的马克劳林展开式．【详解】当→x 时，)(211cos 22x o x x +-=，)(21)()2(2112cos 2222x o x x o x x +-=+-=，)(291)()3(2113cos 2222x o x x o x x +-=+-=，所以)(7))(291))((21))((211(13cos 2cos cos 122222222x o x x o x x o x x o x x x x +=+-+-+--=-，由于x x x 3cos 2cos cos 1-与n ax 是等价无穷小，所以2,7==n a ．16. 【详解】由微元法可知πππ35320253a dx x dx y V a ax ===⎰⎰；πππ37340762)(2a dx x dx x xf V a ay ===⎰⎰；由条件y x V V =10，知77=a ．17. 【详解】341683622332222221=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-xx xx D D Ddy dx x dy dx x dxdy x dxdy x dxdy x ． 18. 【详解】证明：（1）由于)(x f 为奇函数，则0)0(=f ，由于)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存在)1,0(∈ξ，使得101)0()1()('=--=f f f ξ．（2）由于)(x f 为奇函数，则)('x f 为偶函数，由（1）可知存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ，且()1'=-ξf ，令)1)('()(-=x f e x x ϕ，由条件显然可知)(x ϕ在[]1,1-上可导，且0)()(==-ξϕξϕ，由罗尔定理可知，存在)1,1(),(-⊂-∈ξξη，使得(),0'=ηϕ即1)()(='+''ηηf f ．19. 【分析】考查的二元函数的条件极值的拉格朗日乘子法．【详解】构造函数)1(),(3322-+-++=y xy x y x y x L λ令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=-+=∂∂=-+=∂∂10)3(20)3(23322y xy x x y y y L y x x x L λλ，得唯一驻点1,1==y x ，即)1,1(1M ．考虑边界上的点，)0,1(),1,0(32M M ；距离函数22),(y x y x f +=在三点的取值分别为1)0,1(,1)1,0(,2)1,1(===f f f ，所以最长距离为2，最短距离为1．20. 【详解】（1）22111)('xx x x x f -=-=，令0)('=x f ，得唯驻点1=x ，当)1,0(∈x 时，0)('<x f ，函数单调递减；当),1(∞∈x 时，0)('>x f ，函数单调递增．所以函数在1=x 处取得最小值1)1(=f ．（2）证明：由于11ln 1<++n n x x ，但11ln ≥+n n x x ，所以nn x x 111<+，故数列{}n x 单调递增．又由于11ln ln 1<+≤+n n n x x x ，得到e x n <<0，数列{}n x 有界．由单调有界收敛定理可知极限n n x ∞→lim 存在．令a x n n =∞→lim ，则11ln 1ln lim1≤+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→a a x x n n n ，由（1）的结论可知1lim ==∞→a x n n ．21. 【详解】（1）曲线的弧微分为dx xx dx x x dx y dx )1(211411'12+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=，所以弧长为41)1(2121+=+==⎰⎰e dx x x ds s e ．（2）设形心坐标为()y x ,，则)7(4)32(31271632324324ln 214101ln 21410122---=---===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--e e e e e e dy dx dy xdx dxdy xdxdyx x x x x eD D． 22. 【详解】显然由B CA AC =-可知，如果C 存在，则必须是2阶的方阵．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321x xx x C ，则B CA AC =-变形为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++-+-b ax x x x x ax x ax ax x 1103243142132，即得到线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=++-=+-bax x x x x ax x ax ax x 324314213211，要使C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=b a ab a a a ab A 00010000001011101010********0010|，所以，当0,1=-=b a 时，线性方程组有解，即存在矩阵C ，使得B CA AC =-．此时，()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→00000000000011011101|b A ，所以方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100101110001214321C C x x x x x ，也就是满足B CA AC =-的矩阵C 为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=211211C C C C C C ，其中21,C C 为任意常数． 23. 【详解】证明：（1）()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++++=321321321321321321321321321321321321321321233221123322113212,,,,2,,,,,,,,,,2)()(2),,(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x b b b b b b x x x x x x a a a a a a x x x x b x b x b x a x a x a x x x f TT TTββααββαα所以二次型f 对应的矩阵为 T T ββαα+2．证明（2）设=A T T ββαα+2，由于0,1==αβαT则()ααββαααββααα2222=+=+=T T T A ，所以α为矩阵对应特征值21=λ的特征向量；()ββββααβββααβ=+=+=222T T T A ，所以β为矩阵对应特征值12=λ的特征向量；而矩阵A 的秩2)()2()2()(=+≤+=T T T T r r r A r ββααββαα，所以03=λ也是矩阵的一个特征值．故f 在正交变换下的标准形为 22212y y +．考研数学二13年真题21 / 21。

2013年考研数学真题及参考答案(数学一)

求所有矩阵 C . （21）（本题满分 11 分）
a1 设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2( a1 x1 a2 x2 a3 x3 ) (b1 x1 b2 x2 b3 x3 ) ，记 a2 ， a 3
2
b1 b2 b 3
x arctan x 【详解】由于 c lim lim x 0 x 0 xk lim
所以 k 3 ， c ⑵ 应选（Ａ）.
1
1 1 x2 kx k 1
x2 1 lim k 3 . x 0 kx k 1 x 0 kx
1 ．故应选（Ｄ）. 3
【分析】考查偏导数的几何应用.先求出曲面在点 (0,1, 1) 的法向量,然后利用平面点法式方程写出切平面方程. 【详解】法向量 n {2 x y sin xy 1, x sin xy z , y}
⑻ 设随机变量 X t ( n) ，Y F (1, n) ，给定 (0 0.5) ，常数 c 满足 P X c ，则P Y c

2
（
）
（A）（B） 1 （C） 2 （D） 1 2 二、填空题：9～14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．． ⑼ 设函数 y f ( x) 由方程 y x e ⑽ 已知 y1 e
(1 x 2
Di
y2 )dxdy . 2
2
1 2 1 y 0 x2 y 2 1 ，所以被积函数在 2 2 1 1 D1 : x 2 y 2 1 内，恒有 f ( x, y ) 0 ；且 x 2 y 2 1 时，有 f ( x, y ) 0 2 2

2024考研数二真题及答案

2 0 2 4 年考研数学 ( 二 ) 真题及答案一、选择题：(1- 10小题，每小题5分，共50分。