西工大计算方法作业集答案

−10
δ << 1 ，故计算过程稳定。
x 2 − 1) = − ln( x + x 2 − 1) 1 （2） arctg ( x + 1) − arctgx = arctg 1 + x( x + 1) x3 x5 − +⋯ 3! 5!
（3） x − sin x = （ 4）
1 − cos x sin x x = = tg 1 + cos x 2 sin x
2 x −7
；
(2) x = (lg x + 7) / 2 ；
(3) x = 3 x + 1 ；
2
4． f ′( x ) = 3 x + 4 x + 1
2
牛顿迭代公式为： x n +1 = x n −
f ( xn ) = ⋯⋯ f ′( x n )
列表计算 n 0 1 2 3 根的近似值为 0.4656。 5. f ′′ x 在 a b 上连续，且 (1) 对于任意 x ∈ [a, b] 有， f ′( x) ≠ 0 f ′′( x) ≠ 0 ； (2) 选取初值 x0 ∈ [a, b] ，使 f ( x0 ) f ′′( x0 ) > 0 ． 6． x n +1 = ϕ ( x n ) =
f ′(2.0) ≈
2. 解：运用梯形公式：
∫e
0
1
x
1 dx ≈ [e 0 + e1 ] = 1.8591409 2
4
误差： R[ f ] = −
1 ξ 1 e (1 − 0) 3 ≤ e = 0.2265235 12 12
1 1
x
1 0 1 运用辛浦生公式： ∫ e dx ≈ [e + 4e 2 + e ] = 1.7188612 0 6 1 ξ 1 误差： R[ f ] = − e ≤ e = 0.00094385 2880 2880
*
1 1 1 × 10 −( n−1) = × 10 −( n−1) ≤ × 10 −3 2a1 2× 2 2
可求得满足上述不等式的最小正整数 n =4， 即至少取四位有效数字， 故满足精度要求可取 6 ≈2.449。
x * ( x > 0 )的相对误差约是 x * 的相对误差的 1/2 倍； * （2） ( x * ) n 的相对误差约是 x 的相对误差的 n 倍。 1 * 1 * 1 * * b sin c *e(a * ) a sin c *e(b* ) a b cos c *e(c * ) * 2 2 2 6． 根据 er ( S ) ≤ + + 1 * * 1 * * 1 * * a b sin c * a b sin c * a b sin c * 2 2 2 * * * e(a ) e(b ) e(c ) = + * + a* b tgc *
5. 答：（1）
2 则有 er ( S ) < er ( a * ) + er (b * ) + er (c * )
*
注意当 0 < c <
*
π
时， tgc * > c * > 0 ，即 (tgc * )
−1
< (c * ) 。
−1
7．设 y0 = 由
1 * * 2 ， y0 = 1.41 ， y0 − y0 ≤ × 10 − 2 = δ 2 * −1 * −1 y1 − y1 = 10 y0 − y0 ≤ 10 δ ，
，
b ≈ 1.4016 y = 2.4864 + 1.4016 ln x
第六章 1. （1）：取 h=0.1，三点公式取 x 0 = 1.9, x1 = 2.0, x 2 = 2.1 ，得
1 [ f (2.1) − f (1.9)] = 22.2288 2 × 0 .1 1 f ′′(2.0) ≈ [ f (1.9) − 2 f (2.0) + f (2.1)] = 29.5932 0 .1 2 （2）：取 h=0.2， 三点公式取 x 0 = 1.8, x1 = 2.0, x 2 = 2.2 ，得 1 f ′(2.0) ≈ [ f (2.2) − f (1.8)] = 22.4142 2 × 0 .2 1 f ′′(2.0) ≈ [ f (1.8) − 2 f (2.0) + f (2.2)] = 29.7043 0 .2 2 注：精确解为 f ′(2.0) = 22.167168, f ′′(2.0) = 29.556224 。
n
xn
x n − x n −1
0 0.4 1 0.4700 2 0.4253 3 0.4541 4 0.4356 5 0.4475 6 0.4399 7 0.4448 8 0.4416 9 0.4436 10 0.4423 11 0.4432 满足要求的近似根为 0.443。 3． (1) x = 10
0.1666×10
－3
有效数字 的位数 四位
2
* x2
0.1051 × 10 −2 或
0.125×10
－2
三位
3
* x3
0.3497 × 10 −3 或
0.5×10
－3
四位
4
* x4
0.1691 × 10 −3 或
0.25×10
－3
四位
5
* 1 * 2
* x5
0.8548 × 10 −6 或
0.1×10
f [ x0 , x1 , ⋯ , x p ] = 1
p = n +1，
1 3 ( x − 13 x 2 + 69 x − 92) 5
*
用反插值法得根的近似值 α =0.7092； 令 max
(ξ ) ( x − x k −1 )( x − x k )( x − x k +1 ) ≤ 10 −3 可求得 h ≤0.2498（或 h ≤0.2289）。 3! 1 3 2 7. (1) H 3 ( x ) = −2 x + 8 x − 9 x + 5 R3 ( x) = f ( 4) (ξ )( x − 1) 2 ( x − 2) 2 ξ ∈ (1, 2) 4! 1 3 2 R3 ( x) = f ( 4) (ξ )( x − 1)( x − 2) 2 ( x − 3) ξ ∈ (1, 3) (2) H 3 ( x ) = 2 x − 9 x + 15 x − 6 4!
4．正规方程组为
I 0 ≈ 5.6308
I = 5.6308e −2.8882t
3.1781 a 14.4 4 3.1781 3.6092 = a ≈ 2.4864 b 12.9607 2 δ 2 = ∑ (Yi − y i ) = 0.009849。
3
几何平均数之间的关系)。 注意当 x > 3 a 时 1． x1=2，x2=1，x3=1/2
2 2 a > ϕ ′( x) = 1 − 3 > 0 . 则可证对任意 x0 > 0 迭代法收敛。 3 3 x
第三章
0 −1 2． A = 0 − 1 1 0 3． L = 2 1 3 − 5
p
∑ ω′
j =0
f (x j )
n +1
(x j )
，并注意
当 p ≤ n 时，对 j = 0,1, ⋯ , p ， f ( x j ) = 0 ，故有
f [ x0 , x1 , ⋯ , x p ] = 0
p≤n
3
而 p = n + 1 时， f ( x n +1 ) = ω ′( x n +1 ) ，故有 4. L3 ( x ) = N 3 ( x ) = 5. 6.
参考答案 第一章
* 1 x1 =1.7； * x2 =1.73；
* x3 =1.732 。
2．
i
1
xi*
* x1
ε ( xi* )
1 × 10 0 2
1 × 10 −5 2 1 × 10 −1 2 1 × 10 − 2 2 1 × 10 −5 2
* 3
ε r ( xi* )
0.1397 × 10 −3 或
第二章
1 2 1− 3
1．绝对误差限 × 10 n
,
对分 8 次 隔根区间
xn
f ( x n ) 的符号
1 2.0 [1.5，2.5] 2 2.25 [2.0，2.5] 3 2.375 [2.25，2.5] 4 2.3125 [2.25，2.375] 5 2.28125 [2.25，2.3125] 6 2.296875 [2.28125，2.3125] 7 2.3046875 [2.296875，2.3125] 8 2.30078125 [2.296875，2.3046875] 满足精度要求的根近似值为 2.30。 2． (1) 隔根区间[0, 0.8]； (2) 等价变形 x = ln(2 − x ) ； 迭代公式 xn = ln( 2 − xn−1) n = 1,2, ⋯。 (3) 收敛性论证：用收敛性定理论证。 (4) 迭代计算：
3. 解：（1）左矩形公式 将 f(x)在 a 处展开，得 f ( x ) = f ( a ) + f ′(ξ )( x − a ), 两边在[a,b]上积分，得
f
( 3)
x k −1 ≤ x ≤ x k +1
第五章 1． 正规方程组为
2．Hale Waihona Puke Baidu
正规方程组为
a ≈ 0.9726
3． 取对数 相应的正规方程组为
30 3 x1 73 x1 ≈ 2.3888 ， x 2 ≈ 0.4456 3 49 = x 2 29 5327 a 271.4 5 5327 7277699 = b 369321.5 ， b ≈ 0.0500 y = 0.9726 + 0.0500 x 2
2
δ 2 = ∑ (Yi − y i ) = 0.02399。
ln I = ln I 0 − at − 3.5 ln I 0 1.9890 7 − 3.5 2.03 = a − 0.1858 ln I 0 = 1.72825 ， a ≈ 2.8882
1
* * y2 − y2 = 10 −1 y1 − y1 ≤ 10 −2 δ
⋮
* * y10 − y10 = 10 −1 y 9 − y 9 ≤ 10 −10 δ
即当 y 0 有初始误差 δ 时， y10 的绝对误差的绝对值将减小 10 8. 变形后的表达式为： （1） ln( x −
−10
倍。而 10
1 1 3 3 1 2 − 3 3 2 1 − 3 3 0 1 2 3 0 ， U = 0 1 − 4 1 0 0 − 24
y1 =14, y2 = −10, y3 = −72 x1 =1, x2 =2, x3 =3 4. 严格对角占优，从而收敛。x1≈-4.00, x2≈3.00, x3≈2.00 5. B 的特征值为：0，0，0，ρ(B)=0<1 (E－B1)-1B2 的特征值为：0，2，2，ρ[(E－B1)-1B2]=2>1. 6. 对称正定，从而收敛。x(5)=(0.4999, 1.0004, -0.4997)T 7.∣a∣>2 第四章 1． 取 x 0 =100、 x1 =121 用线性插值时， 115 ≈10.7143； 取 x 0 =100、 x1 =121、 x 2 =144 用二次插值时， 115 ≈10.7228。 2．选取插值节点为： x 0 =1.4、 x1 =1.5、 x 2 =1.6， f (1.54) ≈1.9447。 3．利用 f [ x 0 , x1 , ⋯ x p ] =
) (
] , [
xn
0.4 0.47013 0.46559 0.46557
x n − x n −1
0.07 0.005 0.00002
1 2 xn + a = 2 2 3 3xn xn 只需讨论 a > 0 的情形. 此时自然取 x0 > 0 . 由迭代公式有 x n +1 > 0 且 xn +1 ≥ 3 a (算术平均数与 2 xn + a
－6
六位
3． （1） er ( x + x + x ) ≤ 0.00050；
* * * （2） er ( x1 x 2 x3 ) ≤ 0.50517； * * （ 3） e r ( x 2 / x4 ) ≤ 0.50002。
4．设 6 有 n 位有效数字，由 6 ≈2.4494……，知 6 的第一位有效数字 a1 =2。 令ε r (x ) =