2019年中考数学第一阶段复习考点过关练习：圆的综合题
2019年苏州中考数学《第六讲：圆的综合题》专题复习含答案.doc
2019年苏州中考数学专题辅导第六讲圆的综合专题选讲一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；图1五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧A以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
江西省2019届中考数学总复习第1部分基础过关第六单元圆课时24与圆有关的计算作业
课时24 与圆有关的计算(时间：40分钟 分值：45分)评分标准：选择填空每题3分．基础过关1．已知一条圆弧的度数为60°，弧长为10π，则此圆弧的半径为( ) A ．15 B ．30 C ．30D ．15π2．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么称此扇形为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为( )A ．πB ．1C ．23π D ．23．如图1，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠OCA ＝50°，AB ＝4，则BC ︵的长为( )图1A ．103πB ．109πC ．πD ．π4．(2017重庆)如图2，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，分别以A ，C 为圆心，AD ，CB 为半径画弧，交AB 于点E ，交CD 于点F ，则图中阴影部分的面积是( )图2A ．4－2πB ．8－π2C ．8－2πD ．8－4π5．(2017河池)圆锥的底面半径长为5，将其侧面展开后得到一个半圆，则该半圆的半径长是__________．6．如图3，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1.以点O 为圆心，2为半径画弧交图中网格线于点A ，B ，则弧AB 的长是__________．图37．如图4，AB为半圆的直径，且AB＝4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为__________．(结果保留π)图48．(6分)如图5所示是某公园设置的一休闲区．∠AOB＝90°，弧AB的半径OA＝6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，求图中休闲区(阴影部分)的面积．图59．(9分)已知：如图6，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD．图6(1)求证：∠DAC＝∠DBA；(2)求证：P是线段AF的中点；(3)连接CD，若CD＝3，BD＝4，求⊙O的半径和DE的长．拓展提升1．(9分)如图7，以边长为8的正方形纸片ABCD 的边AB 为直径作⊙O ，交对角线AC 于点E .图7(1)线段AE ＝__________；(2)如图8，以点A 为顶点作∠DAM ＝30°，交CD 于点M ，沿AM 将四边形ABCM 剪掉，使Rt △ADM 绕点A 逆时针旋转(如图9)，设旋转角为α(0°＜α＜150°)，旋转过程中AD 与⊙O 交于点F .图8 图9 备用图①当α＝30°时，请求出线段AF 的长；②当α＝60°时，求出线段AF 的长；判断此时DM 与⊙O 的位置关系，并说明理由．课时24 与圆有关的计算基础过关 1.B 2.D 3.B 4.C 5.10 6.π3 7.2π8．解：如图1，连接OD ，图1∵OA ＝6米，C 是OA 的中点， ∴OC ＝12OA ＝3(米)．∵∠AOB ＝90°，CD ∥OB ，∴CD ⊥OA . 在Rt △OCD 中，∵OD ＝6，OC ＝3， ∴CD ＝OD 2－OC 2＝3 3(米)． ∵sin ∠DOC ＝CD OD ＝32，∴∠DOC ＝60°. ∴S 阴影部分＝S 扇形OAD －S △DOC ＝60π×62360－12×3×3 3＝6π－9 32(平方米)．即休闲区的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－9 32平方米．9．(1)证明：∵BD 平分∠CBA ，∴∠CBD ＝∠DBA . ∵∠DAC 与∠CBD 都是弧CD 所对的圆周角， ∴∠DAC ＝∠CBD .∴∠DAC ＝∠DBA .(2)证明：如图2，∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90°. ∵DE ⊥AB 于E ，∴∠DEB ＝90°.∴∠1＋∠3＝∠5＋∠3＝90°.∴∠1＝∠5＝∠2. ∴PD ＝PA .又∠4＋∠2＝∠1＋∠3＝90°， ∴∠3＝∠4.∴PD ＝PF .∴PA ＝PF ，即P 是线段AF 的中点． (3)解：如图2，连接CD ，∵∠CBD ＝∠DBA ，图2∵CD ︵＝AD ︵.∴CD ＝AD ＝3.∵∠ADB ＝90°，∴AB ＝AD 2＋BD 2＝5. ∴⊙O 的半径为2.5. ∵S △ABD ＝12DE ×AB ＝12AD ×BD ，∴5DE ＝3×4.∴DE ＝2.4. 即DE 的长为2.4.拓展提升 1.解：(1)4 2；【提示】如图3，连接BE ，∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴∠BAC ＝45°.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°.图3∴△AEB 是等腰直角三角形．又AB ＝8，∴AE ＝AB ·cos 45°＝4 2. (2)①如图4，连接OA ，OF ，由题意得∠NAD ＝30°，∠DAM ＝30°，图4故可得∠OAM ＝30°.则∠OAF ＝60°. 又OA ＝OF ，∴△OAF 是等边三角形． ∵OA ＝4，∴AF ＝OA ＝4.②如图5，连接B ′F ，并作OG ⊥DM 于点G ，此时∠NAD ＝60°，图5∵AB ′＝8，∠DAM ＝30°，∴AF ＝AB ′·cos∠DAM ＝8×32＝4 3. ∵OG ⊥DM ，∠ADM ＝90°，∴OG ∥AD . ∴∠MOG ＝∠DAM ＝30°.∵AD ＝8，∴AM ＝8cos ∠DAM ＝16 33.∴OM ＝AM －OA ＝16 33－4.∴OG ＝OM ·cos∠MOG ＝⎝⎛⎭⎪⎫16 33－4×32＝8－2 3>4.∴DM 与⊙O 的位置关系是相离．。
2019年初中数学学业水平考试中考数学专题训练及解析3.圆的综合题
圆的综合题类型一 与全等结合1. 如图,⊙O 的直径AB ＝4,C 为⊙O 上一点,AC ＝2.过点C 作⊙O 的切线DC ,P 点为优弧CBA ︵上一动点(不与A 、C 重合). (1)求∠APC 与∠ACD 的度数；(2)当点P 移动到劣弧CB ︵的中点时,求证：四边形OBPC 是菱形； (3)当PC 为⊙O 的直径时,求证：△APC 与△ABC 全等.第1题图(1)解：∵AC ＝2,OA ＝OB ＝OC ＝12AB ＝2,∴AC ＝OA ＝OC , ∴△ACO 为等边三角形,∴∠AOC ＝∠ACO ＝∠OAC ＝60°,∴∠APC ＝12∠AOC ＝30°, 又∵DC 与⊙O 相切于点C , ∴OC ⊥DC , ∴∠DCO ＝90°,∴∠ACD ＝∠DCO －∠ACO ＝90°－60°＝30°；第1题解图(2)证明：如解图,连接PB ,OP ,∵AB 为直径,∠AOC ＝60°, ∴∠COB ＝120°,当点P 移动到CB ︵的中点时,∠COP ＝∠POB ＝60°, ∴△COP 和△BOP 都为等边三角形, ∴OC ＝CP ＝OB ＝PB , ∴四边形OBPC 为菱形； (3)证明：∵CP 与AB 都为⊙O 的直径,∴∠CAP ＝∠ACB ＝90°, 在Rt △ABC 与Rt △CP A 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CP AC ＝AC , ∴Rt △ABC ≌Rt △CP A (HL).2. 如图,AB 为⊙O 的直径,CA 、CD 分别切⊙O 于点A 、D ,CO 的延长线交⊙O 于点M ,连接BD 、DM . (1)求证：AC ＝DC ； (2)求证：BD ∥CM ；(3)若sin B ＝45,求cos ∠BDM 的值.第2题图(1)证明：如解图,连接OD ,∵CA 、CD 分别与⊙O 相切于点A 、D , ∴OA ⊥AC ,OD ⊥CD , 在Rt △OAC 和Rt △ODC 中,⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OD OC ＝OC , ∴Rt △OAC ≌Rt △ODC (HL), ∴AC ＝DC ；(2)证明：由(1)知, △OAC ≌△ODC ,∴∠AOC ＝∠DOC , ∴∠AOD ＝2∠AOC , ∵∠AOD ＝2∠OBD , ∴∠AOC ＝∠OBD , ∴BD ∥CM ； (3)解：∵BD ∥CM ,∴∠BDM ＝∠M ,∠DOC ＝∠ODB ,∠AOC ＝∠B , ∵OD ＝OB ＝OM ,∴∠ODM ＝∠OMD ,∠ODB ＝∠B ＝∠DOC , ∵∠DOC ＝2∠DMO , ∴∠DOC ＝2∠BDM , ∴∠B ＝2∠BDM ,如解图,作OE 平分∠AOC ,交AC 于点E ,作EF ⊥OC 于点F ,第2题解图∴EF ＝AE ,在Rt △EAO 和Rt △EFO 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧OE ＝OE AE ＝EF, ∴Rt △EAO ≌Rt △EFO (HL), ∴OA ＝OF ,∠AOE ＝12∠AOC , ∴点F 在⊙O 上,又∵∠AOC ＝∠B ＝2∠BDM , ∴∠AOE ＝∠BDM , 设AE ＝EF ＝y , ∵sin B ＝45,∴在Rt △AOC 中,sin ∠AOC ＝AC OC ＝45,∴设AC ＝4x ,OC ＝5x ,则OA ＝3x , 在Rt △EFC 中,EC 2＝EF 2＋CF 2, ∵EC ＝4x －y ,CF ＝5x －3x ＝2x , ∴(4x －y )2＝y 2＋(2x )2, 解得y ＝32x ,∴在Rt △OAE 中,OE ＝OA 2＋AE 2 ＝（3x ）2＋（32x ）2＝352x ,∴cos ∠BDM ＝cos ∠AOE ＝OA OE ＝3x 352x＝255.3. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AC 为直径,AB ︵＝BD ︵,BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E .(1)求证：∠1＝∠BCE ； (2)求证：BE 是⊙O 的切线； (3)若EC ＝1,CD ＝3,求cos ∠DBA .第3题图(1)证明：如解图,过点B 作BF ⊥AC 于点F ,∵AB ︵＝BD ︵, ∴AB ＝BD在△ABF 与△DBE 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF ＝∠BDE ∠AFB ＝∠DEB AB ＝DB, ∴△ABF ≌△DBE (AAS), ∴BF ＝BE , ∵BE ⊥DC ,BF ⊥AC , ∴∠1＝∠BCE ； (2)证明：如解图,连接OB ,∵AC 是⊙O 的直径,∴∠ABC ＝90°,即∠1＋∠BAC ＝90°, ∵∠BCE ＋∠EBC ＝90°,且∠1＝∠BCE , ∴∠BAC ＝∠EBC , ∵OA ＝OB ,∴∠BAC ＝∠OBA , ∴∠EBC ＝∠OBA ,∴∠EBC ＋∠CBO ＝∠OBA ＋∠CBO ＝90°, ∴∠EBO ＝90°, 又∵OB 为⊙O 的半径, ∴BE 是⊙O 的切线；第3题解图(3)解：在△EBC 与△FBC 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠BEC ＝∠CFB ，∠ECB ＝∠FCB ，BC ＝BC ，∴△EBC ≌△FBC (AAS), ∴CE ＝CF ＝1.由(1)可知：AF ＝DE ＝1＋3＝4, ∴AC ＝CF ＋AF ＝1＋4＝5,∴cos ∠DBA ＝cos ∠DCA ＝CD CA ＝35. 类型二 与相似结合4. 如图,△ABC 内接于⊙O ,AB ＝AC ,∠BAC ＝36°,过点A 作AD ∥BC ,与∠ABC 的平分线交于点D ,BD 与AC 交于点E ,与⊙O 交于点F . (1)求∠DAF 的度数； (2)求证：AE 2＝EF ·ED ； (3)求证：AD 是⊙O 的切线.第4题图(1)解：∵AB ＝AC ,∠BAC ＝36°,∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－36°)＝72°, ∴∠AFB ＝∠ACB ＝72°, ∵BD 平分∠ABC , ∴∠DBC ＝36°, ∵AD ∥BC ,∴∠D＝∠DBC＝36°,∴∠DAF＝∠AFB－∠D＝72°－36°＝36°；(2)证明：∵∠EAF＝∠FBC＝∠D,∠AEF＝∠AED,∴△EAF∽△EDA,∴AEDE＝EFEA,∴AE2＝EF·ED；(3)证明：如解图,过点A作BC的垂线,G为垂足,∵AB＝AC,∴AG垂直平分BC,∴AG过圆心O,∵AD∥BC ,∴AD⊥AG ,∴AD是⊙O的切线.第4题解图5. 如图,AB 为半圆的直径,O 为圆心,OC ⊥AB ,D 为BC ︵的中点,连接DA 、DB 、DC ,过点C 作DC 的垂线交DA 于点E ,DA 交OC 于点F . (1)求证：∠CED ＝45°； (2)求证：AE ＝BD ； (3)求AOOF 的值.第5题图(1)证明：∵∠CDA ＝12∠COA ＝12×90°＝45°,又∵CE ⊥DC ,∴∠DCE ＝90°, ∴∠CED ＝180°－90°－45°＝45°； (2)解：如解图,连接AC ,∵D 为BC ︵的中点,∴∠BAD ＝∠CAD ＝12×45°＝22.5°, 而∠CED ＝∠CAE ＋∠ACE ＝45°, ∴∠CAE ＝∠ACE ＝22.5°,∴AE ＝CE ,∵∠ECD ＝90°,∠CED ＝45°, ∴CE ＝CD , 又∵CD ︵＝BD ︵, ∴CD ＝BD ,∴AE ＝CE ＝CD ＝BD , ∴AE ＝BD ；第5题解图(3)解：设BD ＝CD ＝x ,∴AE ＝CE ＝x ,由勾股定理得,DE ＝2x ,则AD ＝x ＋2x , 又∵AB 是直径,则∠ADB ＝90°, ∴△AOF ∽△ADB ,∴AO OF ＝AD DB ＝x ＋2xx ＝1＋ 2.6. 如图,AB 为⊙O 的直径,P 点为半径OA 上异于点O 和点A 的一个点,过P 点作与直径AB 垂直的弦CD ,连接AD ,作BE ⊥AB ,OE //AD 交BE于E 点,连接AE 、DE ,AE 交CD 于点F . (1)求证：DE 为⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为3,sin ∠ADP ＝13,求AD ； (3)请猜想PF 与FD 的数量关系,并加以证明.第6题图(1)证明：如解图,连接OD ,∵OA ＝OD , ∴∠OAD ＝∠ODA , ∵OE ∥AD ,∴∠OAD ＝∠BOE ,∠DOE ＝∠ODA , ∴∠BOE ＝∠DOE , 在△BOE 和△DOE 中, ⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OD ∠BOE ＝∠DOE OE ＝OE,∴△BOE ≌△DOE (SAS), ∴∠ODE ＝∠OBE , ∵BE ⊥AB , ∴∠OBE ＝90°, ∴∠ODE ＝90°, ∵OD 为⊙O 的半径, ∴DE 为⊙O 的切线； (2)解：如解图,连接BD ,∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ADB ＝90°, ∴∠ABD ＋∠BAD ＝90°, ∵AB ⊥CD ,∴∠ADP ＋∠BAD ＝90°, ∴∠ABD ＝∠ADP ,∴sin ∠ABD ＝AD AB ＝sin ∠ADP ＝13, ∵⊙O 的半径为3,∴AB =6,∴AD ＝13AB ＝2；第6题解图(3)解：猜想PF ＝FD ,证明：∵CD ⊥AB ,BE ⊥AB , ∴CD ∥BE , ∴△APF ∽△ABE , ∴PF BE ＝AP AB , ∴PF ＝AP ·BEAB , 在△APD 和△OBE 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠APD ＝∠OBE ∠P AD ＝∠BOE , ∴△APD ∽△OBE ,∴PD BE ＝AP OB , ∴PD ＝AP ·BEOB , ∵AB ＝2OB , ∴PF ＝12PD , ∴PF ＝FD .7. 如图①,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 是⊙O 的直径,OD ∥AC ,OD 交⊙O 于点E ,且∠CBD ＝∠COD . (1)求证：BD 是⊙O 的切线；(2)若点E 为线段OD 的中点,求证：四边形OACE 是菱形. (3)如图②,作CF ⊥AB 于点F ,连接AD 交CF 于点G ,求FGFC 的值.第7题图(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径,∴∠BCA ＝90°,∴∠ABC＋∠BAC＝90°,∵OD∥AC,∴∠ACO＝∠COD.∵OA＝OC,∴∠BAC＝∠ACO,又∵∠COD＝∠CBD,∴∠CBD＝∠BAC,∴∠ABC＋∠CBD＝90°,∴∠ABD＝90°,即OB⊥BD,又∵OB是⊙O的半径,∴BD是⊙O的切线；(2)证明：如解图,连接CE、BE,∵OE＝ED,∠OBD＝90°,∴BE＝OE＝ED,∴△OBE为等边三角形,∴∠BOE＝60°,又∵AC∥OD,∴∠OAC＝60°,又∵OA＝OC,∴△OAC为等边三角形,∴AC＝OA＝OE,∴AC∥OE且AC＝OE,∴四边形OACE是平行四边形,而OA＝OE, ∴四边形OACE是菱形；第7题解图(3)解：∵CF⊥AB,∴∠AFC＝∠OBD＝90°,而AC∥OD,∴∠CAF＝∠DOB,∴Rt△AFC∽Rt△OBD,∴FCBD＝AFOB,即FC＝BD·AFOB,又∵FG∥BD,∴△AFG∽△ABD,∴FGBD＝AFAB,即FG＝BD·AFAB,∴FCFG＝ABOB＝2,∴FGFC＝12.8. 如图,AB是⊙O的直径,点E为线段OB上一点(不与O、B重合),作EC⊥OB交⊙O于点C,作直径CD过点C的切线交DB的延长线于点P,作AF⊥PC于点F,连接CB.(1)求证：AC平分∠F AB；(2)求证：BC2＝CE·CP；(3)当AB＝43且CFCP＝34时,求劣弧BD︵的长度.第8题图(1)证明：∵PF切⊙O于点C,CD是⊙O的直径,∴CD⊥PF,又∵AF⊥PC,∴AF∥CD,∴∠OCA＝∠CAF,∵OA＝OC,∴∠OAC＝∠OCA,∴∠CAF＝∠OAC,∴AC平分∠F AB；(2)证明：∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB＝90°,∵∠DCP＝90°,∴∠ACB＝∠DCP＝90°,又∵∠BAC＝∠D,∴△ACB∽△DCP,∴∠EBC＝∠P,∵CE⊥AB,∴∠BEC＝90°,∵CD是⊙O的直径,∴∠DBC＝90°,∴∠CBP ＝90°,∴∠BEC ＝∠CBP ,∴△CBE ∽△CPB ,∴BC PC ＝CE CB ,∴BC 2＝CE ·CP ；(3)解：∵AC 平分∠F AB ,CF ⊥AF ,CE ⊥AB ,∴CF ＝CE ,∵CF CP ＝34,∴CE CP ＝34,设CE ＝3k ,则CP ＝4k ,∴BC 2＝3k ·4k ＝12k 2,∴BC ＝23k ,在Rt △BEC 中,∵sin ∠EBC ＝CE BC ＝3k 23k ＝32,∴∠EBC ＝60°,∴△OBC 是等边三角形,∴∠DOB ＝120°,∴BD ︵＝120π·23180＝43π3.类型三 与全等相似结合9. 如图,四边形ABCD 内接于圆O ,∠BAD ＝90°,AC 为直径,过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点E ,过AC 的三等分点F (靠近点C )作CE 的平行线交AB 于点G ,连接CG .(1)求证：AB ＝CD ；(2)求证：CD 2＝BE ·BC ；(3)当CG ＝3,BE ＝92,求CD 的长.第9题图(1)证明：∵AC 为直径,∴∠ABC ＝∠ADC ＝90°, ∴∠ABC ＝∠BAD ＝90°,∴BC∥AD,∴∠BCA＝∠CAD,又∵AC＝CA,∴△ABC≌△CDA(AAS),∴AB＝CD；(2)证明：∵AE为⊙O的切线且O为圆心,∴OA⊥AE,即CA⊥AE,∴∠EAB＋∠BAC＝90°,而∠BAC＋∠BCA＝90°,∴∠EAB＝∠BCA,而∠EBA＝∠ABC,∴△EBA∽△ABC,∴EBAB＝BABC,∴AB2＝BE·BC, 由(1)知AB＝CD,∴CD 2＝BE ·BC ；(3)解：由(2)知CD 2＝BE ·BC ,即CD 2＝92BC ①,∵FG ∥BC 且点F 为AC 的三等分点,∴G 为AB 的三等分点,即CD ＝AB ＝3BG ,在Rt △CBG 中,CG 2＝BG 2＋BC 2,即3＝(13CD )2＋BC 2②,将①代入②,消去CD 得,BC 2＋12BC －3＝0,即2BC 2＋BC －6＝0,解得BC ＝32或BC ＝－2(舍)③,将③代入①得,CD ＝332.10.如图,AB 为⊙O 的直径,C 为圆外一点,AC 交⊙O 于点D ,BC 2＝CD ·CA ,ED ︵＝BD ︵,BE 交AC 于点F .(1)求证：BC 为⊙O 的切线；(2)判断△BCF 的形状并说明理由；(3)已知BC ＝15,CD ＝9,∠BAC ＝36°,求BD ︵的长度(结果保留π).第10题图(1)证明：∵BC 2＝CD ·CA ,∴BC CA ＝CD BC ,∵∠C ＝∠C ,∴△CBD ∽△CAB ,∴∠CBD ＝∠BAC ,又∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ADB ＝90°,即∠BAC ＋∠ABD ＝90°,∴∠ABD ＋∠CBD ＝90°,即AB ⊥BC ,又∵AB 为⊙O 的直径,∴BC 为⊙O 的切线；(2)解：△BCF 为等腰三角形.证明如下：∵ED ︵＝BD ︵,∴∠DAE ＝∠BAC ,又∵△CBD ∽△CAB ,∴∠BAC ＝∠CBD ,∴∠CBD ＝∠DAE ,∵∠DAE ＝∠DBF ,∴∠DBF ＝∠CBD ,∵∠BDF ＝90°,∴∠BDC ＝∠BDF ＝90°,∵BD ＝BD ,∴△BDF ≌△BDC ,∴BF ＝BC ,∴△BCF 为等腰三角形；(3)解：由(1)知,BC 为⊙O 的切线,∴∠ABC ＝90°∵BC 2＝CD ·CA ,∴AC ＝BC 2CD ＝1529＝25,由勾股定理得AB ＝AC 2－BC 2＝252－152＝20,∴⊙O 的半径为r ＝AB 2＝10,∵∠BAC ＝36°,∴BD ︵所对圆心角为72°.则BD ︵＝72×π×10180＝4π.。
2019-2020学年度人教版中考数学《圆》专题练习综合题(含答案解析)
2019-2020学年度人教版中考数学专题练习：圆的综合题（含答案）类型一与全等结合1. 如图，的直径AB=49 C为00上一点，AC=2. ii点C作。
0 的切线仇；P点为优弧皿上一动点（不与/!、C重合）.⑴求AAPC与ZACD的度数：77?（2）当点P移动到劣弧“的中点时，求证：四边形血玄是菱形；⑶当为。
0的直径时，求证：HAPC与HABC全等.第1题图1仃）解：9：AC=2, OA=OB=OC=2AB=2,:.AC=OA=OC,：.f\ACO为等边三角形,A /LAOC= AACO= ZG4C=60° ,1:.ZAPC=2ZAOC=30° ,又•・•兀与00相切于点C,:.OCIDC,:.ZDco=gy ,:.ZACD= ZDCO- ZAC0=9Q° -60° =30°；第1题解图(2)证明：如解图，连接啟OP、•・•初为直径，Z/f6T=60° ,・・・ZM=120° ,当点p移动到的中点时，zcop="OB=6y ,:.A COP和△奶都为等边三角形，：.OC=CP=OB=PB,・・・四边形。
沪C为菱形：(3)证明:-CP与初都为的直径，:■ ZCAP= ZACff=90° ,在RtAABC与Rt△伽中，[AB=CP\lAC=AC/9・・・Rt△血dRt△伽(HL)・2. 如图，初为O0的直径，CA. Q分别切(30于点久D、C0的延长线交O0于点"，连接BD、DM.(1) 求证：AC=DC；(2) 求证：BD〃CM；4(3) 若 sin/?=5,求cosZBDM的值.第2题图(1) 证明：如解图，连接弘・・・以、〃分别与©0相切于点久D,•••OLLMG 0DVCD.在RtACMC和Rt△宓中,[OA=OD\IOC=OC/,・・・Rt△必dRt△宓(HL),:.AC=DC；(2) 证明：由(1)知，'OAg'ODC,:•乙AOC=ZDOC、:・ZA0D=2ZAg•:乙A0D=2 乙OBD,:.ZAOC=ZOBD,:.BD//CMx⑶解：V BD// CM.:・ZBDM=ZM,乙DOC=乙ODB, ZAOC=ZB,・.・ 0D= 08= av9:.ZODH= ZOHD,乙ODB=ZB=ZDOC、•:乙D0C=2 乙DHO,:.乙D0C=2乙BD\h:.ZB=2ZBDM,如解图，作处平分ZAOC,交AC于点E,作EFVOC于点F,第2题解图:・EF=AE,在Rt△励〃和Rt△胡9中,・・・Rt△削处RtZ\£7U(HL),:・OA=OF, ZA0E=2ZAg・・・点尸在00上，又 I AA0C= ZB=2ZBDH,:.ZA0E= ZBDX设AE= EF= y,4Vsin^=5,AC 4・••在Rt^AOC中，sinZAOC=OC=59・••设AC= 4X90C=5X,贝ij 04=3/I)在 X'EFC 中，EG=E2g•/ EC= 4x — y, CF= 5x — 3JF = 2X 9/. (4才一y)2=/+ (2x)2,3解得尸2上・••在 Rt^OAE 中，OE=JO^+AEZI (3x) 2+ (?x) 2 也=J 2 = 2 x 、3xOA 3疋2y/5--- --------- x -------- :• cos Z BDM= cos ZAOE= 0E= 2 = 5 .3. 如图，G)0是△初C 的外接圆，M 为直径，血=劭，BELDC交 兀的延长线于点E(1) 求证：ZUZBCE ；(2) 求证：处是00的切线；(3) 若 EC=\,仞=3,求 cosZDBA.第3题图(1) 证明：如解图，过点、B作BF丄AC于点、F,••尬_劭•= P:.AB=BD在莎与△磁中，]ZBAF=ZBDE\0FB=ZDEB、I AB=DB /,•••△初阳△宓(AAS),:・BF=BE,BEX. DC. BFLAC,:・Z\ = ZBCE；⑵证明：如解图，连接血•・・M是00的直径，・•■ ZABC=90° ,即Z1 + Z刃=90° ,•: ZBCE+ ZEBC=9",且乙 \ = ZBCE,:・ZBAC=ZEBC,•・・ OA= OB,:・ZBAC=ZOBA,:.乙EBC=ZOBA,:■ ZEBC+ 乙CBO= ZOBA+ 乙CB0=9Q° ,:■ ZEBO=90° ,又・・・加为00的半径，・••他是00的切线；第3题解图(3) 解：在△磁与△磁中，(ZBEC= ZCFB,]、ZECB= ZFCB,I BC= BC, /:・CE=CF=\.由(1)可知：M=%=l+3=4,/. AC= CF+AF= 1+4 = 5,CD 3cos Z DBA=cos 乙DCA= 01=5.类型二与相似结合4. 如图，内接于AB=AC, ZZ24r=36° ,过点虫作AD//BC,与ZABC的平分线交于点〃，BD与AC交于点、E,与00交于点E(1) 求Z刃尸的度数：(2) 求证：A£=EF • E压(3) 求证：/〃是©0的切线.第4题图仃)解：•:AB=AC,ZBAC=36° ,1ZABC=ZACB=2 (180°一36° )=72° ,:.ZAFB= ZACB=12° ,・・•劭平分ZABC,:■乙DBC=3M ,•: AD〃BC、:.乙D=乙DBC=36° ,:.乙DAF= ZAFB-乙XTT一36° =36° :(2) 证明：•:乙EAF=ZFBC=ZD, ZAEF= ZAED,:•、EAFs 'EDA、AE EF・・.辰可:・A£=EF・ ED；(3) 证明：如解图，过点力作％的垂线，G为垂足,9：AB=AC,・•・祐垂直平分处过圆心0,•: ADIIBC ,:.ADVAG ,・・M 〃是00的切线.第4题解图7JT5. 如图，力〃为半圆的直径，0为圆心，OCVAB. D为的中点，连接刃、DB、DC.过点C作ZT的垂线交场于点伐DA交0C于点、F.(1) 求证：ZCED=45° :(2) 求证：AE=BD,AO⑶求亦的值.第5题图1 1(1) 证明：V Z6ZZ4=2ZCZ24=2X9O° =45° ,又•: CEIDC, :■ ZDCE=90° ,:.ZCED=18O° -90° -45° =45°；(2) 解：如解图，连接力0,77T・・•〃为的中点，1:.ZBAD=ZCAD=2X45° =22.5° ,而ZCED= ZCAE+ ZACE= 45° ,:.ZCAE=ZACE=22.5° ,:・AE=CE,•: ZECD=90° , ZCED=A5° ,・・・CE= CD,乂・■・◎=劭，：・CD=BD,:・AE=CE=CD=BD,:・AE=BA第5题解图(3) 解：设BD=CD=x,:・AE=CE=x,由勾股定理得，DE=5X、则AD=x~\~匝x, 又・・・初是直径，则ZADB=90。
(陕西专用)2019版中考数学一练通第一部分基础考点巩固第六章圆6.3与圆有关的计算试题
与圆有关的计算
陕西8年中考练
命题点1扇形弧长的计算
1.如图，PA 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ，如果∠APB=60°，⊙O 的半径是3，那么劣弧AB 的长为（ ）
A.2
B.π
C.2π
D.4π 拓展变式
1.如图，用一个半径为6 cm 的定滑轮带动重物上升，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，绳索端点G 向下移动了3π cm ，则滑轮上的点F 旋转了（ ）
A.60°
B.90°
C.120°
D.45° 命题点2扇形面积的计算（8年1考）
命题解读：题型为选择题或填空题，分值为3分，主要考查扇形面积的计算。
2.（2018·陕西模拟）如图，⊙O 的一条直径AB 与弦CD 相交于点E ，若AC=2，AE=3，CE=1，则图中阴影部分的面积为（ ）
3.如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC 绕点A 逆时针旋转40°得到△ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积为（ ）
4.（2012·陕西中考）在平面内，将长度为4的线段AB绕它的中点M，按逆时针方向旋转30°，则线段AB扫过的面积为。
参考答案。
2019广东中考数学专题训练3.圆的综合题
圆的综合题类型一与全等结合1.如图，。
的直径AB= 4, C为。
上一点，AC=2.过点C作。
O 的切线DC, P点为优弧CBA上一动点(不与A、C重合).(1)求/ APC与/ ACD的度数；(2)当点P移动到劣弧CB的中点时，求证：四边形OBPC是菱形；⑶当PC为。
的直径时，求证：z\APC与4ABC全等.第1题图(1)解：.. AC = 2, OA=OB=OC=2AB=2,・•.AC=OA=OC,・•.△ACO为等边三角形,「. / AOC= / ACO= / OAC= 60 ,，一 1 , ― 一・•./APC = y AOC=30 ,又・•・DC与。
O相切于点C,/.OCXDC,「./ DCO=90 ,・•./ACD=/ DCO-Z ACO=90 -60 =30 ;第1题解图(2)证明：如解图，连接PB, OP,. AB 为直径，/ AOC=60 ,・•./COB=120 ,当点P移动到CB的中点时，/ COP=/POB=60°,・•. △ COP和△ BOP都为等边三角形，・•.OC=CP=OB=PB,・•・四边形OBPC为菱形；(3)证明：: CP与AB都为。
O的直径,・•./CAP=/ACB= 90 ,在RtAABC 与RtACPA 中，AB=CPAC = AC「•RtAABC^RtACPA(HL).2.如图，AB为。
的直径，CA、CD分别切。
于点A、D, CO的延长线交。
O于点M,连接BD、DM.(1)求证：AC=DC;(2)求证：BD//CM;4(3)若sinB=",求cos/ BDM 的值.第2题图(1)证明：如解图，连接OD,••・CA、CD分别与。
相切于点A、D,/.OAXAC, ODXCD,在Rtz\OAC 和RtAODC 中,OA=ODOC=OC S-・•• RtA OAC^RtAODC(HL),・•.AC=DC;(2)证明：由(1)知，AOAC^AODC,・•./AOC=/ DOC,・•./AOD=2/AOC,•. /AOD=2/OBD,AOC=/ OBD,「.BD//CM;(3)解：BD// CM,・•./BDM=/M, /DOC=/ODB, /AOC=/B,・.OD = OB=OM,・•./ODM = /OMD, / ODB=/B=/DOC,・・•/ DOC=2/DMO,「./ DOC=2/BDM,「./ B=2/ BDM,如解图，作OE平分/ AOC,交AC于点E,作EFLOC于点F,第2题解图・•.EF = AE,在RtA EAO 和RtA EFO 中,OE=OEAE=EF「•RtA EAO二RtA EFO(HL),八八/八 1 / —・•.OA=OF, /AOE = 22AOC,・・•点F在OO上,又•「/ AOC=/ B = 2/BDM,・•./AOE=/ BDM,设AE= EF = y,4. sinB=二, 5AC 4.・在Rt"OC中，s i n/AOC=V=4,・•・设AC= 4x, OC=5x,则OA=3x,在RtA EFC 中，EC2 = EF2 + CF2,「EC = 4x — y, CF = 5x—3x=2x,(4x-y)2 = y2+ (2x)2,__ 3解得y=2x,・•・在Rt^OAE 中，OE = ?OA2+AE2(3x) 2+ (OA 3x 2 5・・cos/ BDM = cos/ AOE=;^z=c「= OE 35 5-2-x3.如图，。
2019年中考数学全国部分地区有关圆的综合题真题汇编(含答案解析)
有关圆的综合题1．（2019浙江温州22题）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG是平行四边形；（2）当BE＝4，CD＝38AB时，求⊙O的直径长．2.（2019浙江绍兴21题）在屏幕上有如下内容：如图，△ABC内接于圆O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的延长线于点D.张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答0（1）在屏幕内容中添加条件∠D=30°，求AD的长，请你解答.（2）以下是小明，小聪的对话：小明：我加的条件是BD=1，就可以求出AD的长.小聪：你这样太简单了，我加的条件是∠A=30°，连结OC，就可以证明△ACB与△DCO全等.参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线、添字母），并解答.3.（2019浙江宁波26题）如图1， O 经过等边△ABC 的顶点A ，C （圆心O 在△ABC 内），分别与AB ，CB 的延长线交于点D ，E ，连结DE ，BF ⊥EC 交AE 于点F.（1）求证：BD=BE. （2）当AF ：EF=3:2，AC=6时，求AE 的长。
（3）设 EFAF =x,tan ∠DAE=y. ①求y 关于x 的函数表达式；②如图2，连结OF,OB ，若△AEC 的面积是△OFB 面积的10倍，求y 的值4.（2019浙江金华21题）如图，在OABC，以O为图心，OA为半径的圆与C相切于点B，与OC相交于点D．（1）求的度数。
（2）如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F。
若EF=AB，求∠OCE的度数．5. （2019浙江湖州23题）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A(-3，0)，B(0，3).(1)如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；(2)如图2，已知直线l2: y＝3x-3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的2为半径画圆.一个动点，以Q为圆心，2①当点Q与点C重合时，求证: 直线l1与⊙Q相切；②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点, 连结QM，QN. 问:是否存在这样的点Q，使得△QMN 是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.图1 图26.（2019浙江杭州23题）如图,已知锐角三角形ABC 内接于☉O,OD ⊥BC 于点D,连接OA.(1)若∠BAC=60°,①求证:OD=12OA; ②当OA=1时,求△ABC 面积的最大值;(2)点E 在线段OA 上,OE=OD.连接DE,设∠ABC=m ∠OED,∠ACB=n ∠OED(m,n 是正数).若∠ABC<∠ACB,求证:m-n+2=0.7．（2019四川宜宾23题）如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A、C两点，BC＝1，AD为⊙O的弦，连结BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连结DO并延长交⊙O于点E，连结BE 交⊙O于点M．（1）求证：直线BD是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径OD的长；（3）求线段BM的长．8．（2019四川雅安23题）如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC 于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．9．（2019四川遂宁24题）如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝，BC＝6．（1）求证：∠COD＝∠BAC；（2）求⊙O的半径OC；（3）求证：CF是⊙O的切线．10．（2019四川内江27题）AB与⊙O相切于点A，直线l与⊙O相离，OB⊥l于点B，且OB ＝5，OB与⊙O交于点P，AP的延长线交直线l于点C．（1）求证：AB＝BC；（2）若⊙O的半径为3，求线段AP的长；（3）若在⊙O上存在点G，使△GBC是以BC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．11．（2019四川泸州24题）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，点C在⊙O 上，且PC2＝PB•PA．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）已知PC＝20，PB＝10，点D是的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF的长．12．（2019四川广元23题）如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P 作⊙O的切线PC，切点是C，过点C作弦CD⊥AB于E，连接CO，CB．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tan B＝，求P A的长；（3）试探究线段AB，OE，OP之间的数量关系，并说明理由．13．（2019四川达州22题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作直线DF∥BC．（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝6，AE＝，CE＝，求BD的长．14．（2019四川巴中25题）如图，在菱形ABCD中，连结BD、AC交于点O，过点O作OH⊥BC于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．①求证：DC是⊙O的切线．②若AC＝4MC且AC＝8，求图中阴影部分的面积．③在②的条件下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM的值最小，并求出最小值．参考答案第1题答案.第2题答案.第3题答案. （1）证明：∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60 .∵∠DEB=∠BAC=60 ,∠D=∠C=60∴∠DEB=∠D.∴BD=BE（2）解：如图，过点A 作AG ⊥EC 于点G.∵△ABC 为等边三角形，AC=6，∴BG=21 BC= 21AC=3. ∴在Rt △ABG 中，AG=BG=3 . ∵BF ⊥EC ，∴BF ∥AG.∵AF:EF=3:2,∴BE= BG=2.∴EG=BE+BG=3+2=5.∴在Rt △AEG 中，AE=.（3）解：①如图，过点E 作EH ⊥AD 于点H.∵∠EBD=∠ABC=60°,∴在Rt △BEH 中， BE EH =sin60 = 23. ∴∴∵BG=xBE.∴AB=BC=2BG-2xBE.∴AH-AB+BH=2xBE+ 21BE=(2x+ 21)BE. ∴在Rt △AHE 中,tan EAH =143+=x y ②如图，过点O 作OM ⊥EC 于点M.设BE=a.∵∴CG=BG=xBE=x.∴EC=CG+BG+BE=a+2ax.∴AM=21EC= 21a+ax. ∴BM=EM-BE=ax- 21a ∵BF ∥AG ， ∴△EBF ∽△EGA.∴∵AG= 3BG= 3ax ∴BF=x+11 AG= x ax +13 ∴△OFB 的面积=∴△AEC 的面积=∵△AEC 的面积是△OFB 的面积10倍 ∴∴ 解得∴ 93=y 或73 第4题答案. （1）如图，连结OB ，设⊙O 半径为r ，∵BC 与⊙O 相切于点B ，∴OB ⊥BC ，又∵四边形OABC 为平行四边形，∴OA ∥BC ，AB=OC ，∴∠AOB=90°，又∵OA=OB=r ，∴AB= 2r ，∴△AOB ，△OBC 均为等腰直角三角形，∴∠BOC=45°，∴弧CD 度数为45°.（2）作OH ⊥EF ，连结OE ，由（1）知EF=AB= 2r ，∴△OEF 为等腰直角三角形，∴OH=21 EF= 22r ， 在Rt △OHC 中，∴sin ∠OCE=21222==r r OC OH ， ∴∠OCE=30°.第5题答案.【解答】(1)如图1，连结BP ，过点P 作PH ⊥OB 于点H ，图3则BH ＝OH .∵AO ＝BO ＝3， ∴∠ABO ＝45°，BH ＝12OB ＝2，∵⊙P 与直线l 1相切于点B ，∴BP ⊥AB ，∴∠PBH ＝90°-∠ABO ＝45°.∴PB ＝2BH ＝322， 从而⊙P 的直径长为3 2. (2)证明：如图4过点C 作CE ⊥AB 于点E ，图4将y ＝0代入y ＝3x -3，得x ＝1，∴点C 的坐标为(1，0).∴AC ＝4，∵∠CAE ＝45°，∴CE ＝22AC ＝2 2. ∵点Q 与点C 重合，又⊙Q 的半径为22，∴直线l 1与⊙Q 相切.②解：假设存在这样的点Q ，使得△QMN 是等腰直角三角形，∵直线l 1经过点A (-3，0)，B (0，3)，∴l 的函数解析式为y ＝x ＋3.记直线l 2与l 1的交点为F ，情况一：如图5，当点Q在线段CF上时，由题意，得∠MNQ＝45°.如图，延长NQ交x轴于点G，图5∵∠BAO＝45°，∴∠NGA＝180°-45°-45°＝90°，即NG⊥x轴，∴点Q与N有相同的横坐标，设Q(m，3m-3)，则N(m，m+3)，∴QN＝m＋3-(3m-3).∵⊙Q的半径为22，∴m＋3-（3m-3）＝22，解得m＝3-2，∴3m-3＝6-22，∴Q的坐标为(3-2，6-22).情况二：当点Q在线段CF的延长线上时，同理可得m＝3＋2，Q的坐标为(3＋2，6＋32).∴存在这样的点Q1(3-2，6-32)和Q2(3＋2，6＋32)，使得△QMN是等腰直角三角形.第6题答案. 解析(1)①证明:连接OB,OC.因为OB=OC,OD⊥BC,所以∠BOD=∠BOC=×2∠BAC=60°,所以∠OBD=30°,所以OD=OB=OA.②作AF⊥BC,垂足为点F,所以AF≤AD≤AO+OD=,等号当点A,O,D在同一直线上时取到.由①知,BC=2BD=,所以△ABC的面积=BC·AF≤××=,即△ABC面积的最大值是.(2)证明:设∠OED=∠ODE=α,∠COD=∠BOD=β.因为△ABC是锐角三角形,所以∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,即(m+n)α+β=180°.(*)又因为∠ABC<∠ACB,所以∠EOD=∠AOC+∠DOC=2mα+β.因为∠OED+∠ODE+∠EOD=180°,所以2(m+1)α+β=180°.(**)由(*) (**),得m+n=2(m+1),即m-n+2=0.第7题答案.【解答】（1）证明：∵OA＝OD，∠A＝∠B＝30°，∴∠A＝∠ADO＝30°，∴∠DOB＝∠A+∠ADO＝60°，∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝90°，∵OD是半径，∴BD是⊙O的切线；（2）∵∠ODB＝90°，∠DBC＝30°，∴OD＝OB，∵OC＝OD，∴BC＝OC＝1，∴⊙O的半径OD的长为1；（3）∵OD＝1，∴DE＝2，BD＝，∴BE＝＝，∵BD是⊙O的切线，BE是⊙O的割线，∴BD2＝BM•BE，∴BM＝＝＝．第8题答案.【解答】（1）证明：连接OC，AC，∵OE∥AC，∴∠1＝∠ACB，∵AB是⊙O的直径，∴∠1＝∠ACB＝90°，∴OD⊥BC，由垂径定理得OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∴∠DBE＝∠DCE，又∵OC＝OB，∴∠OBE＝∠OCE，即∠DBO＝∠OCD，∵DB为⊙O的切线，OB是半径，∴∠DBO＝90°，∴∠OCD＝∠DBO＝90°，即OC⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴∠3＝60°，又OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠COF＝60°，在Rt△COF中，tan∠COF＝，∴CF＝4．第9题答案. 解：（1）∵AG是⊙O的切线，AD是⊙O的直径，∴∠GAF＝90°，∵AG∥BC，∴AE⊥BC，∴CE＝BE，∴∠BAC＝2∠EAC，∵∠COE＝2∠CAE，∴∠COD＝∠BAC；（2）∵∠COD＝∠BAC，∴cos∠BAC＝cos∠COE＝＝，∴设OE＝x，OC＝3x，∵BC＝6，∴CE＝3，∵CE⊥AD，∴OE2+CE2＝OC2，∴x2+32＝9x2，∴x＝（负值舍去），∴OC＝3x＝，∴⊙O的半径OC为；（3）∵DF＝2OD，∴OF＝3OD＝3OC，∴，∵∠COE＝∠FOC，∴△COE∽△FOE，∴∠OCF＝∠DEC＝90°，∴CF是⊙O的切线．第10题答案.（1）证明：如图1，连接OA，∵AB与⊙O相切，∴∠OAB＝90°，∴∠OAP+∠BAC＝90°，∵OB⊥l ，∴∠BCA+∠BPC＝90°，∵OA＝OP ，∴∠OAP＝∠OPA＝∠BPC，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC；（2）解：如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接PD，则∠APD＝90°，∵OB＝5，OP＝3 ，∴PB＝2，∴BC＝AB＝＝4，在Rt△PBC中，PC＝＝2，∵∠DAP＝∠CPB，∠APD＝∠PBC＝90°，∴△DAP∽△PBC，∴＝，即＝，解得，AP＝；（3）解：如图2，作BC的垂直平分线MN，作OE⊥MN于E，则OE＝BC＝AB＝×，由题意得，⊙O于MN有交点，∴OE≤r，即×≤r ，解得，r≥，∵直线l与⊙O相离，∴r＜5，则使△GBC是以BC为底边的等腰三角形，⊙O的半径r的取值范围为：≤r＜5．第11题答案.第12题答案.（1）证明：连接OD，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO＝90°，即∠PCD+∠OCD＝90°，∵OA⊥CD ，∴CE＝DE∴PC＝PD∴∠PDC＝∠PCD∵OC＝OD∴∠ODC＝∠OCD，∴∠PDC+∠ODC＝∠PCD+∠OCD＝90°，∴PD是⊙O的切线．（2）如图2，连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴tan B＝＝设AC＝m，BC＝2m，则由勾股定理得：m2+（2m）2＝102，解得：m＝，AC＝2，BC＝4，∵CE×AB＝AC×BC，即10CE＝2×4，∴CE＝4，BE＝8，AE＝2在Rt△OCE中，OE＝OA﹣AE＝3，OC＝5，∴CE＝＝＝4，∵∴OP×OE＝OC×OC，即3OP＝5×5，∴OP＝，P A＝OP﹣OA＝﹣5＝．（3）AB2＝4OE•OP如图2，∵PC切⊙O于C，∴∠OCP＝∠OEC＝90°，∴△OCE∽△OPC∴，即OC2＝OE•OP∵OC＝AB∴，即AB2＝4OE•OP．第13题答案. （1）DF与⊙O相切，理由：连接OD，∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠BAD＝∠CAD ，∴＝，∴OD⊥BC，∵DF∥BC ，∴OD⊥DF，∴DF与⊙O相切；（2）∵∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠C，∴△ABD∽△AEC，∴，∴＝，∴BD＝．第14题答案. ①过点O作OG⊥CD，垂足为G，在菱形ABCD中，AC是对角线，则AC平分∠BCD，∵OH⊥BC，OG⊥CD，∴OH＝OG，∴OH、OG都为圆的半径，即DC是⊙O的切线；②∵AC＝4MC且AC＝8，∴OC＝2MC＝4，MC＝OM＝2，∴OH＝2，在直角三角形OHC中，HO＝CO，∴∠OCH＝30°，∠COH＝60°，∴HC＝，S阴影＝S△OCH﹣S扇形OHM＝CH•OH﹣OH2＝2﹣；③作M关于BD的对称点N，连接HN交BD于点P，∵PM＝NP，∴PH+PM＝PH+PN＝HN，此时PH+PM最小，∵ON＝OM＝OH，∠MOH＝60°，∴∠MNH＝30°，∴∠MNH＝∠HCM，∴HN＝HC＝2，即：PH+PM的最小值为2，在Rt△NPO中，OP＝ON tan30°＝，在Rt△COD中，OD＝OC tan30°＝，则PD＝OP+OD＝2．。
2019届中考数学章节复习测试：圆(含解析)
A.1
B.4
C.7
D.1 或 7
答案：D
提示：分圆心在两弦之间和圆心在两弦的同侧两种情况,故答案有两个.
3.三角形的外心是三条（ ）的交点.
A.高
B.垂直平分线
C .角平分线
D.中线
答案：B
提示：三角形的外心是三角形的外接圆的圆心,是三角形三条边的垂直平分线的交点.
4.已知等腰△ABC 的腰 AB=4 厘米，若以 A 为圆心，2 厘米为半径的圆与 BC 相切，则∠B90°
D.120°
答案：D
提示：由题意得,等腰三角形底边上的高为 2 cm,腰长为 4 cm,由直角三角形的性质可得到顶角为 120°.
5.如图 9-13，PA 切⊙O 于 A，PB 切⊙O 于 B，∠APB=90°，OP=4，则⊙O 的半径长为
图 9-13
A.2
B.4
答案：D
A.2∶3
B.3∶4
C.4∶9
D.39∶56
答案：B
提示：由勾股定理可得母线长为 5 cm,再分别利用公式可得结果.
二、填空题
7.若⊙O 的半径为 8，点 P 在⊙O 内部，则线段 PO 的长度范围是________________.
答案：0≤P O<8
提示：点 P 在圆的内部,有 0≤PO<8.
8.△ABC 中，AB=AC=10 厘米，BC=12 厘米，若要剪一张圆形纸片盖住这个三角形，则这个圆形纸片的最小半径是
图 9-14
答案： 3 πR2 2
提示：阴影部分都是扇形,并且半径都是 R,所以可以把五个扇形的面积相加,而五个扇形的圆心角的度数和就是 这个五边形的内角和,再利用扇形的面积公式可得. 12.粮仓的顶部是一个圆锥形，其底面周长为 32 米，母线长为 7 米，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，需用 _______ _________平方米的油毡.（不计接头） 答案：112 提示：由周长可计算出半径,然后再利用圆锥侧面积公式计算出结果. 三、解答题 13.如图 9-15，一个残破的圆轮，为了再制作一个同样大小的圆轮，请用圆规、直尺作出它的圆心和半径.
安徽省2019年中考数学总复习第一轮中考考点系统复习第六单元圆单元测试六圆
，优选试题圆单元测试 ( 六))分钟 ( 时间： 100 满分： 150 分 )一、选择题 ( 本大题共 10 小题、每题 4 分、满分 40 分题号 123456789105°＝ 10×选项D BC B A CC BA C( D )C ． 60°1．如图、△ DABC 是⊙ O 的度数为的内接三角形、∠． 67.5 ° A ． 35°AOB ＝ 135 °、则∠ACB ° 55B ．( A ) 4 、 OP ＝ 3、则点 P 与⊙ O 的地点关系是 2．已知⊙B 在圆内．点 P 在圆上 ．不可以确立C ．点 P 在圆外O 的半径是 A ．点D(D)P的长为8、 OC＝ 5、则．A． 1ODAB3．如图、是⊙B． 2O的弦、半径COC⊥ AB 于点． 2.5D、且DAB＝ 3( B ) 1 为半径的圆、必与4．在平面直角坐标系中、以点轴订交D．轴相切A． x 轴相切B．y角形的边长为5．假如正三角形的内切圆半径为3O(1、－ 2) 为圆心、C(B)1y ．x 轴订交、那么这个正三3C．． 3 D.2B．2A︵A、B 重合 ) 、则cosC 的值为( B )AB＝ 6、点C 是优弧AB 上一点 ( 不与6．如图、在半径为 5 的⊙ O中、弦3433A.B. C. D.55327．一个圆锥的高为 3 cm 、侧面睁开图是一个半圆、则圆锥的侧面积是( A )2222cm3 π cm D． 9π．π A． 6 cm B． 9πcm C63．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧瓶盖后放倒、水平搁置在桌面上．水杯的底面以下图、已知水杯 8( A )、则杯底有水部分的面积是内径( 图中小圆的直径是8 cm 、水的最大深度是2 cm1616 π－ 83)cm3)cmA．( π－ 4B．(3348223)cm(3)cm22D．π－ 24． C(π－339．如图、等腰△ ABC的三边分别与⊙ O相切于点 D、 E、 F、且 DE∥ BC、 AB＝ 5、 AD＝ 3、则 DE 的长为(C)A．2B．2.3C．2.4D．2.5试题习题，尽在百度．，优选试题是、点 6) 、⊙ O的半径为点 A(6、0) 、 B(0、( D )2(O 为坐标原点的一条切线)P 中、直线10．如图、在平面直角坐标系PQ、 Q为切点、则切线长PQ的最小值为直线xOyAB 经过AB上的一动点、过点P作⊙O143A.7B． 3C．2D.22 、∴3、故当OP取最小值时、P Q最小．又∵ OP≥ 2、在 Rt △ OPQ中、 PQ＝＝ OP－ OQ、∵ OQ2OQ提示：连结、OP14.PQ≤ )20 分 ( 二、填空题本大题共 4 小题、每题 5 分、满分6cm.cm、则这个扇形的半径为11 ．一个扇形的圆心角为60°、它所对的弧长为2π1、 0) 12．如图、将一个正六边形放在平面直角坐标系中、中心与坐标原点重合、若点的坐、则点 B( －A 的坐标为31 (－、－) ．标为22AB作⊙ O 的切线交＝ 20 °、过点 C 上一点、∠ AB 是⊙ O的直径、 C、D 是⊙ OCDB如图、13．(2013 ·安徽考纲样卷 ) 50 °．的延伸线于点 E、则∠ E＝、与半圆交于点QCD中点、BP如图、在正方形ABCD中、以 AB 为直径作半圆、点 P 是 14．(2016 ·安ADQ＝ 2∠ CBP；④ cosCDQ＝给出以下结论：徽十校联考)34PQ 请 (.此中正确的选项是①③∠＝；③∠DQ.与半圆O 相切；②53BQ)确结论的序号填在横线上．将正①DQ连结与△ QOD全等即可； OD、 OQ、证明△ AOD提示：①连结的长度即可求解；、、借助三角函数和勾股定理求出 PQBQ②连结 AQ 相等即可求解； ( 补角 ) ③借助①②的有关结论、联合三角形外角的性质和同角的余角 DQH的三边长度即可确立有关的三角函数．、求出三角形 Q 作 QH⊥ CD于点 H④过点)分 8 分、满分 16 小题、每题三、 ( 本大题共 2 的长．°、求弦的夹角为与、弦＝中、直径 15 ．在⊙OAB10 cmACAB30AC试题习题，尽在百度．，优选试题BC.解：连结∵AB 为直径、∴△ABC为直角三角形．又∵∠A＝30°、 3＝ 3(cm) ．∴ AC＝AB· cos302︵︵、⊥ ACB是 AC上一点、 OB16 ．如图、一条赛道的急转弯处是一段圆弧在圆的圆心、AC＝ 10 m 、 1 m 、求这段弯路的半径．D、 BD＝垂足为AC、点O是这段弧所1 、＝ r － 15 m、设 OA＝ r 、则 OD＝解：∵ OB⊥ AC、∴ AD＝ AC 2222222、－ 1) ＝ rRt 在△ AOD中、∵A D＋ OD＝ OA、即 5＋ (r13.＝13 、即 OA解得 r ＝ 13 m.答：这段弯路的半径是)分、满分 16 分本大题共四、(2 小题、每题8CE. E、连结 10、以 AC 为直径画⊙ O 交 BC于点 D、交 AB于点、 17．如图、在△ABC中、 AB＝ AC＝ 13BC＝； (1) 求证： BD＝ CD的长．(2)求CEAD.(1)证明：连结解： CD. ＝＝ AC、∴ BD90ADC＝°、∴ AD⊥ BC、∵ AB∵ AC为直径、∴∠ 12212.＝13 －、∴ BC＝55AD＝ 13(2) 在 Rt △ ADC中、∵ AC＝、 CD＝ 212012× 1011.＝CE＝＝ 90 °、∴ CE· AB＝ AD· BC、∴ AC∵为直径、∴∠ AEC131322E.于点 AB 是弦、 CD⊥如图、 18．(2016 ·利辛中疃模拟 )AB 是⊙ O的直径、 CD 求证：△ ACE∽△CBE； (1) 2的函数分析式．y 对于 x 、恳求出、＜OE＝ x(0x ＜ 4)CE＝ y、设＝若 (2)AB8.°＋∠CBA＝°、∴∠＝的直径、∴∠证明：∵AB解：(1)为⊙ OACB90CAB90试题习题，尽在百度．，优选试题＝∠ ACE.90 ° . ∴∠ CBAAEC＝∠ BEC＝ 90° . ∴∠ CAB＋∠ ACE＝∵ CD⊥ AB、∴∠CBE. ∽△∴△ACEOC.(2) 连结2＝ 16 －x ＝ x 、 OC＝ 4、依据勾股定理得 CE、中、∵ AB＝ 8、∴ OC＝ 4. 在 Rt △OCEOEx22＋16(0<x<4)．∵ CE＝ y、∴ y＝－)10 分、满分20 分五、 ( 本大题共 2 小题、每题的延AB作⊙ O的切线、交B、、 C 是⊙ O上的三个点、四边形OABC是平行四边形、过点C19 ． (2015 ·天津 ) 已知 AD.长线于点的大小；、求∠ ADC(1) 如图 1︵、求∠ FAB的大小． E、与 AB交于点 F、连结 AF 交于点 (2)如图2、经过点 O作 CD的平行线、与 AB解：(1)∵CD是⊙O的切线、＝ 90°、∴∠ OCD ∵四边形OABC是平行四边形、∥ AD、∴ OC. 90 °ADC＝ 180 °－ 90°＝∴∠ OB.(2) 连结 OC、由圆的性质知OA＝ OB＝ OABC 是平行四边形、∵四边形AB.OB＝∴ OC＝ AB.∴ OA ＝ .°∴△OAB是等边三角形．∴∠AOB＝60AB.⊥ ADC＝ 90 °、∴ OF∵ OF∥CD、∠︵︵、由垂径定理、得AF＝ BF11.∠BOF＝∠ AOB＝ 15° FAB∴∠＝42BC为中心、将三角板顺时针旋转90°、使MN．小明将自己的一块三角板上、而后以点C20 ＝5 cm、求三角板旋转过程中扫过的暗影部分的面积．边落在ABC的AC边放在直线MN上、若三角板的∠ ABC＝ 30°、 AC︵C D.D、连结解：设 AA′与 AB的交点为是等边三角形．60°又∵ AC＝DC、∴△ ADCABC∵∠ ACB＝90°、∠＝ 30 °∴∠ BAC＝ 25602＝π、×∴ S＝π 5CAD 扇形636025111 3、＝3×5×5＝＝SS×ABC△△ BCD42227590 2S＝π×(53)＝π.CBB′扇形3604试题习题，尽在百度．，优选试题275257525252＋ 3π＝π cm. ∴ S＝π＋ 3＋暗影124446)( 此题满分 12分六、 AC、交⊥ AC 的弦、 AC为⊙ OAD均分∠ BAC、交⊙ O于点 D、DE21．(2016·合肥蜀山二模 ) 如图、 AB为⊙ O的直径、 E.的延伸线于点的切线； DE是⊙ O(1) 求证：直线的长．、求 DE(2) 若 AE＝ 8. ⊙ O的半径为 5OD.(1) 解：证明：连结OAD＝∠ ODA.∵ OA＝ OD、∴∠CAD＝∠ OAD.∵ AD 均分∠BAC、∴∠CAD＝∠ODA.∴ AC∥OD.∴∠. 90° AC、∴∠DEC＝ 90° . ∴∠ ODE＝∵ DE⊥的切线．又∵点D 在⊙O上、∴直线DE是⊙ OBD.连结(2).° AB是⊙ O 的直径、∴∠ADB＝ 90∵DAB.∽△又∠CAD＝∠ OAD、∴△ EADADAE25. 4＝AE· AB＝ 8× 10＝ 80∴、 AD＝＝、∴AD ABAD224.＝－ 64－ AE＝在Rt △EAD80中、 DE＝AD)12 分七、( 此题满分COcm、高．清水澡堂的王老板要为锅炉烟筒的顶端增设一个圆锥形的防水帽、方案以下图、底面直径AB＝24 22 写王老板拿来一块足够大的铁皮、想请正在上九年级的同学吴军把图形给画出来．那么吴军该如何画呢？( ＝ 5 cm. )．出计算过程、并简述画法1AB＝12 cm 、OA 解：计算：由题意可知、＝222＝13(cm)． AC＝ 12 ＋ 5∴ 13 cm.∴睁开后扇形的半径为.24π∵底面圆的周长为π×24 、∴睁开后扇形的弧长为13 π× n332.≈24 π、∴n设睁开后扇形的圆心角为n°、依据弧长公式有：＝180 33213 cm的圆、而后用量角器画一个°的圆心角、即可获得所需扇形．画法：先用圆规画一个半径为)14 分此题满分八、( 为直径的半AB边上、以DB°、线、∠中、BE 是它的角均分C＝ 90D 在ABC)23． (2016 ·宿州灵璧县一模如图、△ F. BC 经过点 E、交于点 O圆是⊙ O求证： (1)AC 的切线；试题习题，尽在百度．，优选试题∥AB；若∠ A＝ 30°、连结EF、求证： EF(2)＝2、求图中暗影部分的面积．(3) 在 (2) 的条件下、若 AEOE.解： (1) 证明：连结 BEO＝∠ EBO.、∴∠∵ OB＝ OE EBO＝∠ CBE.∵ BE 均分∠ CBO、∴∠ BEO＝∠CBE.∴ EO∥ BC.∴∠ . 90 ° 90°、∴∠ AEO＝∠ C＝＝∵∠ C 是⊙ O的切线．∴ AC . °°、∴∠ABC＝ 6030(2) 证明：∵∠ A＝ .°∴∠ OBE＝∠ FBE＝ 30.°＝90°－∠ FBE＝60∴∠ BEC°、CEF＝∠ FBE＝30∵∠ .°＝30° 30∴∠ BEF＝∠ BEC－∠ CEF＝ 60°－∴∠ BEF＝∠ OBE.∴ EF∥AB.OF.(3) 连结 OBFE 是菱形．、 OB＝ OE、∴四边形、∵ EF∥ ABBF∥ OE S＝∴ S S∴S＝EOF.暗影扇32.EOF. △△ EFB＝＝ 30 °、∴ rOE＝ 2AEOr 设圆的半径为、在 Rt △中、 AE＝、∠ A3322×（） 60π 32π∴ S＝ S＝＝.EOF 暗影扇3609 试题习题，尽在百度．。
2019中考第一阶段复习考点过关练习：圆附参考答案
2019中考第一阶段复习考点过关练习：圆一、选择题1、下列说法正确的是( )A．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心C．过弦的中点的直径垂直于弦D．平分弦所对的两条弧的直径平分弦2、如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝140°，则∠D的度数是（）A．20° B．30° C．40° D．70°3、如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为，则图中阴影部分的面积为（）A. B. C. D.4、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面3个结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC，其中正确结论的个数是（ ）A．3 B．2 C．1 D．05、如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=4，以C点为圆心，2为半径作⊙C，则AB的中点O与⊙C的位置关系是（）A．点O在⊙C外 B．点O在⊙C上 C．点O在⊙C内 D．不能确定6、如图，PA，PB分别切⊙O于A，B两点．如果∠PAB＝60°，PA＝2，那么AB的长为( )A．1 B．2 C．3 D．47、如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠B＋∠AOC=230°，则∠B的度数为（）A．130° B． 115° C．100° D．90°8、阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（ ）A．（60°，4） B．（45°，4） C．（60°，2） D．（50°，2）9、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2.将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，则点B转过的路径长为( )A. B. C.π D．Π10、圆锥底面圆的半径为3cm，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm二、填空题11、如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点M，AM＝18，BM＝8，则CD的长为．12、如图，点O为优弧所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D在AB延长线上，BD=BC，则∠D=13、如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点，若点M的坐标是（﹣4，﹣2），则弦MN的长为 ．14、如图，A，B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线．如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB的度数等于时，AC才能成为⊙O的切线．15、如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝________.16、如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．则∠APN=17、如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则的长为．18、如图，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，且点C是的中点，若扇形的半径为2，则图中阴影部分的面积等于 ．19、如图，已知正方形的边长为2 cm，以对角的两个顶点为圆心，2 cm长为半径画弧，则所得到的两条弧长度之和为__cm.(结果保留π)三、简答题20、如图，在平面直角坐标系中，以M（0，2）圆心，4为半径的⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，连结BM并延长交⊙M于点P，连结PC交x轴于点E．（1）求∠DMP的度数；（2）求△BPE的面积．21、如图,在△ABC中,BA=BC,以AB为直径作半圆⊙O,交AC于点D,连接DB,过点D作DE⊥BC垂足为点E.（1）求证：DE为⊙O的切线（2）求证DB²=AB·BE22、如图,点D为⊙O上的一点,点C在直径BA的延长线上,并且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作O的切线,交CD的延长线于点E,若BC=12,tan∠CDA=，求BE的长．23、．如图，线段AB与⊙O相切于点C，连接OA，OB，OB交⊙O于点D，已知OA＝OB＝6，AB＝6.(1)求⊙O的半径；(2)求图中阴影部分的面积．24、如图，AB=16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B重合），将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP．（1）求证：AP=BQ；（2）当BQ=4时，求扇形COQ的面积及的长（结果保留π）；（3）若△APO的外心在扇形COD的内部，请直接写出OC的取值范围．25、已知：如图，点E是正方形ABCD中AD边上的一动点，连结BE，作∠BEG=∠BEA交CD于G，再以B为圆心作，连结BG．（1）求证：EG与相切．（2）求∠EBG的度数．四、综合题26、如图，已知点A（6，0），点B（0，6），经过AB的直线l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为t秒．（1）用含t的代数式表示点P的坐标；（2）过O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥x轴于D，问：t为何值时，以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时⊙P与直线CD的位置关系．参考答案一、选择题1、D2、A3、B4、A解：如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OD，∴∠ODC=90°，又∵∠A=30°，∴∠ABD=60°，∴△OBD是等边三角形，∴∠DOB=∠ABD=60°，AB=2OB=2OD=2BD．∴∠C=∠BDC=30°，∴BD=BC，②成立；∴AB=2BC，③成立；∴∠A=∠C，∴DA=DC，①成立；综上所述，①②③均成立，5、B6、B7、A8、A【考点】MM：正多边形和圆；D3：坐标确定位置．【分析】设正六边形的中心为D，连接AD，判断出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OD=OA，∠AOD=60°，再求出OC，然后根据“极坐标”的定义写出即可．【解答】解：如图，设正六边形的中心为D，连接AD，∵∠ADO=360°÷6=60°，OD=AD，∴△AOD是等边三角形，∴OD=OA=2，∠AOD=60°，∴OC=2OD=2×2=4，∴正六边形的顶点C的极坐标应记为（60°，4）．故选：A．9、B 10、B二、填空题11、2412、13、3．解：分别过点M、N作x轴的垂线，过点A作AB⊥MN，连接AN 设⊙A的半径为r．则AN=OA=r，AB=2，∵AB⊥MN，∴BM=BN，∴BN=4﹣r；则在Rt△ABN中，根据勾股定理，得AB2+BN2=AN2，即：22+（4﹣r）2=r2，解得r=2.5，则N到y轴的距离为1，又∵点N在第三象限，∴N的坐标为（﹣1，﹣2）；∴MN=3；故答案为：14、60°15、 120°16、17、18、2π﹣4解：两扇形的面积和为：=2π，过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N，则四边形EMCN是矩形，∵点C是的中点，∴EC平分∠AEB，∴CM=CN，∴矩形EMCN是正方形，∵∠MCG+∠FCN=90°，∠NCH+∠FCN=90°，∴∠MCG=∠NCH，在△CMG与△CNH中，，∴△CMG≌△CNH（ASA），∴中间空白区域面积相当于对角线是2的正方形面积，∴空白区域的面积为：×2×2=2，∴图中阴影部分的面积=两个扇形面积和﹣2个空白区域面积的和=2π﹣4．故答案为：．19、2π三、简答题20、解：（1）∵M（0，2），∴OM=2，在Rt△OBM中，∵MB=4，OM=2，∴OM=BM，∴∠OBM=30°，∴∠BOM=60°，∴∠DMP=∠BMO=60°；（2）连结PA，如图，∵PB为直径，∴∠BPP=90°，在Rt△PBA中，∵∠ABP=30°，PB=8，∴PA=PB=4，AB=PA=4，∵OM⊥AB，∴=，∴∠APC=∠BOC=30°，在Rt△PAE中，∵∠APE=30°，PA=4，∴AE=PA=∴BE=AB﹣AE=4﹣=，∴△BPE的面积=×4×=．21、证明：（1）连接OD.∵AB是直径∴∠ADB=90°∴BD⊥AC∵BA=BC∴CD=AD（三线合一）∴OD是△ABC的中位线∴OD∥BC∵∠DEB=90°∴∠ODE=90°即OD⊥DE故可得DE为⊙O的切线（2）∵∠BED=∠BDC =90°，∠EBD=∠DBC∴△BED∽△BDC∴=，又∵AB=BC，∴=，故DB²=AB·BE．22、（1）证明：连OD，OE，如图，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，又∵∠CDA=∠CBD，而∠CBD=∠1，∴∠1=∠CDA，∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵EB为⊙O的切线，∴ED=EB，OE⊥DB，∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，∴∠ABD=∠OEB，∴∠CDA=∠OEB．而tan∠CDA=，∴tan∠OEB==，∵Rt△CDO∽Rt△CBE，（1）证明：连OD，OE，如图，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，又∵∠CDA=∠CBD，而∠CBD=∠1，∴∠1=∠CDA，∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，∴CD是⊙O的切线；∴，∴CD=×12=8，在Rt△CBE中，设BE=x，∴（x+8）2=x2+122，解得x=5．即BE的长为5．23、解：(1)连接OC，则OC⊥AB.∵OA＝OB，∴AC＝BC＝AB＝×6＝3.在Rt△AOC中，OC＝＝3，∴⊙O的半径为3.(2)∵OC＝OB，∴∠B＝30°，∠COD＝60°.∴S扇形OCD＝＝π.∴S阴影＝S Rt△OBC－S扇形OCD＝OC·CB－π＝－.24、（1）证明：连接OQ，如图所示．∵AP、BQ是⊙O的切线，∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，∴∠APO=∠BQO=90°．在Rt△APO和Rt△BQO中，，∴Rt△APO≌Rt△BQO（HL），∴AP=BQ．（2）解：∵Rt△APO≌Rt△BQO，∴∠AOP=∠BOQ，∴P、O、Q三点共线．∵在Rt△BOQ中，cosB===，∴∠B=30°，∠BOQ=60°，∴OQ=OB=4，∴S扇形COQ==π．∵∠COD=90°，∴∠QOD=90°+60°=150°，∴优弧的长==π．（3）解：设点M为Rt△APO的外心，则M为OA的中点，∵OA=8，∴OM=4，∴当△APO的外心在扇形COD的内部时，OM＜OC，∴OC的取值范围为4＜OC＜8．25、【考点】切线的判定；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】（1）过点B作BF⊥EG，垂足为F，先证得△ABE≌△FBE，得出BF=BA，根据切线的判定即可证得结论；（2）由△ABE≌△FBE得出∠FBE=∠ABE=∠ABF，然后根据切线长定理得出GF=GC，进而证得∠FBG=∠CBG=∠FBC，从而得出∴∠EBG=∠FBE+∠FBG=（∠ABF+∠FBC）=∠ABC=45°．【解答】（1）证明：过点B作BF⊥EG，垂足为F，∴∠BFE=90°∵四边形ABCD是正方形∴∠A=90°，∴∠BFE=∠A，在△ABE和△FBE中∴△ABE≌△FBE（AAS），∴BF=BA，∵BA为的半径，∴BF为的半径，∴EG与相切；（2）解：由（1）可得△ABE≌△FBE，∴∠FBE=∠ABE=∠ABF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠C=∠ABC=90°，∴CD是⊙O切线，由（1）可得EG与相切，∴GF=GC，∵BF⊥EG，BC⊥CD，∴∠FBG=∠CBG=∠FBC，∴∠EBG=∠FBE+∠FBG=（∠ABF+∠FBC）=∠ABC=45°．四、综合题26、解：（1）如图1，作PF⊥y轴于F，∵点A（6，0），点B（0，6），∴∠BAO=30°，在直角三角形PFB′中，PB′=t，∠B′PF=30°，则B′F=，PF=t，又∵BB′=t，∴OF=OB﹣BB′﹣B′F=6﹣t﹣=6﹣t，则P点的坐标为（，6﹣t）；（2）如图2，此题应分为两种情况：①当⊙P和OC第一次相切时，设直线B′P与OC的交点是M，根据题意，知∠BOC=∠BAO=30°，则B′M=OB′=3﹣则PM=3﹣，根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得3﹣=1，t=，此时⊙P与直线CD显然相离；②当⊙P和OC第二次相切时，则有t﹣3=1，t=，此时⊙P与直线CD显然相交，综上所述：当t=或时⊙P和OC相切，t=时⊙P和直线CD相离，当t=时⊙P和直线CD相交．。
2019年中考数学知识点过关培优训练：圆的综合题(PDF版,附答案)
sin∠BAD＝ ＝ ，即 ＝ ，
解得，BD＝4，
由勾股定理得，AD＝
＝
＝3；
（3）解：FB2＝FD•FA， 理由如下：如图 2，∵∠ABF＝90°，BD⊥AF， ∴由射影定理得，FB2＝FD•FA．
3．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝4，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，点 P 是
（0，2 ）．
（1）如图 1，在点 P1（1，1），P2（0，3），P3（0，﹣2）这三个点中，Rt（OA，P，OA′） 是 P1 和 P3 ； （2）如图 2，⊙ D 的圆 心为 D（1，1），半径为 1，在直线 y＝ x+b 上存在点 P，满足
Rt（⊙D，P，⊙D′），求 b 的取值范围；
（3）⊙T 的 半径为 ，圆心（t， t），若⊙T 上存在点 P，满足 Rt（△ABC，P，△
AB 的延长线上一点，且∠PDB＝ ∠A，连接 DE、OE．
（1）求证：PD 是⊙O 的切线；
（2）填空：①当∠P 的度数 30° 为时，四边形 OBDE 是菱形；
②当∠BAC＝45°时，△CDE 的面积为
．
解：（1）如图，连接 OD
∵OB＝OD，∠PDB＝ ∠A
∴∠ODB＝∠ABD＝90°﹣ ∠A＝90°﹣∠PDB ∴∠ODB+∠PDB＝90° ∴∠ODP＝90° 又∵OD 是⊙O 的半径
∴
∴
∵a2+b2＝（4﹣ ）2
解得 a＝（
）b，b2＝4﹣2
S△CDE＝
＝
＝ b2＝
4．对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和图形 G 上任意一点 M，给出如下定义：图形 G 关于
原点 O 的中心对称图形为 G′，点 M 在 G′上的对应点为 M′，若∠MPM′＝90°，则称点
2019安徽中考数学专题训练—— 圆的综合题
圆的综合题1.如图，在△ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，交CD 于点F ，且CE ＝CF . (1)求证：直线CA 是⊙O 的切线； (2)若BD ＝43DC ，求CFDF的值．第1题图（1）证明：∵CE ＝CF ， ∴∠CEF ＝∠CFE ， ∵∠AFD ＝∠CFE ， ∴∠CEF ＝∠AFD . ∵BC 是⊙O 的直径，∴DC ⊥AB ，即∠ADC ＝90°， ∴∠DAF ＋∠AFD ＝90°. ∵AE 平分∠BAC ， ∴∠DAF ＝∠EAC ， ∴∠EAC ＋∠AEC ＝90°， ∴∠ACB ＝90°，即AC ⊥BC ， ∵OC 是⊙O 的半径， ∴直线CA 是⊙O 的切线；(2)解：如解图，过点F 作FG ⊥AC 于点G ，第1题解图∵∠B ＋∠BCD ＝90°，∠BCD ＋∠ACD ＝90°， ∴∠ACD ＝∠B .∵AE 平分∠BAC ，∴FG ＝DF ，∵BD ＝43DC ，∴BC ＝22CD BD ＝53CD ，∴在Rt △BCD 中，sin B ＝BC CD ＝35，在Rt △CFG 中，sin ∠FCG ＝FC FG＝sin B ＝35，∴CF DF ＝FC FG ＝35.2. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，OD ∥BC 交⊙O 于点D ，交AC 于点E ，连接AD ，BD ，CD . (1)求证：AD ＝CD ；(2)若AB ＝10，cos ∠ABC ＝35，求tan ∠DBC 的值．第2题图（1）证明：∵AB 为⊙O 直径，∴∠ACB ＝90°. 又∵OD ∥BC ，∴∠AEO ＝∠ACB ＝90°， ∴OD ⊥AC ， ∴AD ＝CD ；（2）解：∵AB ＝10， ∴OA ＝OD ＝12AB ＝5，∵OD ∥BC ， ∴∠AOE ＝∠ABC . 在Rt △AEO 中，OE ＝OA ·cos ∠AOE ＝OA ·cos ∠ABC ＝5×35＝3，∴DE ＝OD －OE ＝5－3＝2.由勾股定理得，AE ＝22OE AO ＝52－32＝4，在Rt △AED 中，tan ∠DAE ＝AE DE ＝24＝12.又∵∠DBC ＝∠DAE ， ∴tan ∠DBC ＝12.3. 如图，点A ，B ，C 在 ⊙O 上，连接P A ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，∠ACB ＝60°. (1)求∠P 的度数；(2)若⊙O 的半径长为4 cm ，求图中阴影部分的面积．第3题图解：(1)如解图，连接OA ，OB ，第3题解图∵P A ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点， ∴∠P AO ＝90°，∠PBO ＝90°， ∴∠AOB ＋∠P ＝180°， ∵∠AOB ＝2∠ACB ＝120°， ∴∠P ＝60°； (2)如解图，连接OP ，∵P A ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点， ∴∠APO ＝12∠APB ＝30°.在Rt △APO 中，tan 30°＝APOA， 则AP ＝︒30tan OA， ∵OA ＝4 cm ， ∴AP ＝4 3 cm .∴阴影部分的面积为2×(12×4×43－3604602⨯⨯π)＝(163－163π) cm 2.4.如图所示,AB为⊙0的直径,PD切⊙0于点C,与BA的延长线交于点D,DE⊥PO交PO延长线于点E,连接PB,∠EDB=∠EPB.(1)求证:PB是⊙O的切线;(2)若PB=6,DB=8,求⊙O的半径.第4题图（1）证明：∵DE⊥PE，∴∠E=90°，∴∠DOE+∠EDO=90°，∵∠EDB+∠EPB,∠DOE=∠POB，∴∠EPB+∠POB=90°，∴∠OBP=90°，∴OB⊥PB，∵OB为⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为x，则OD=8-x，由（1）得∠PBD=90°，∴在Rt△PBD中，PD=22BDPB =10，∵PD 为⊙O 的切线，∴OC ⊥PD ，∴S △POD =21PD ×OC =21OD ×PB ，即10x =6（8-x ）， 解得x =3， ∴⊙O 的半径为3.5. 如图，P 为⊙O 外一点，P A 、PB 为⊙O 的切线，A 和B 为切点，AC 为直径，连接BC ，PO ． (1)求证：BC ∥PO ；(2)若AP ＝8，BC ＝7.2，求PO 的长．第5题图(1)证明：如解图，连接AB 交OP 于点M ，连接BO ，第5题解图∵P A ，PB 是⊙O 的切线， ∴P A ＝PB ， ∵OA ＝OB ， ∴PO 垂直平分AB ， ∴∠AMO ＝90°， ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠CBA ＝90°， ∴∠CBA ＝∠AMO ， ∴BC ∥OP ；(2)解：由(1)知PO 垂直平分AB ， ∴AB ⊥OP ，AM ＝BM ， ∵OA ＝OC ，∴OM 为△ABC 的中位线， ∴OM ＝12BC ＝3.6，∵∠P AO ＝∠PMA ＝90°，∠APO ＝∠MP A ， ∴△P AO ∽△PMA ， ∴PA PO PM PA =，即6.38-PO ＝8PO， 解得PO ＝10.6.如图,AD 是⊙O 的切线,切点为A ,AB 是⊙O 的弦.过点B 作BC //AD ,交⊙O 于点C ,连接AC ,过点C 作CD//AB ,交AD 于点D .连接AO 并延长交BC 于点M ,交过点C 的直线于点P ,且∠BCP =∠ACD . （1）判断直线PC 与⊙O 的位置关系,并说明理由; （2）若AB =9, BC =6.求PC 的长.第6题图解：（1）直线PC 与⊙O 相切，理由如下： 如解图，连接CO 并延长交⊙O 于点E ，连接EB ，第6题解图∵CE是⊙O的直径，∴∠EBC=90°，∴∠E+∠BCO=90°，∵CD∥AB，∴∠ACD=∠BAC，∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD，∴∠E=∠BCP，∴∠BCP+∠BCO=90°，即∠PCO=90°，∴OC⊥PC，∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；（2）∵AD是⊙O的切线，∴OA⊥AD，∵BC∥AD，∴AM⊥BC，∴BM=CM=21BC=3，AC=AB=9，在Rt△AMC中，由勾股定理得22CMACAM-==62, 设OC=r，则OM=62-r，在Rt△OMC中，由勾股定理得222OCCMOM=+，即()222326rr=+-，解得8227=r，即8227=OC，∴OM =62-8227=8221， ∵OC ⊥PC ，∴∠MCP +∠MCO =90°， 又∵AM ⊥BC ，∴∠MOC +∠MCO =90°， ∴∠MOC =∠MCP ， ∵∠OMC =∠CMP ， ∴△OMC ∽△CMP ，∴CMOM PC OC =，即382218227=PC ， 解得727=PC ， ∴PC 的长为727.7.如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D ，E ，点F 在AC 的延长线上，且∠CBF =21∠CAB . （1）求证：直线BF 是⊙O 的切线； （2）若AB =5，BC =25，求cos ∠CBF .第7题图 （1）证明：如解图，连接AE ，第7题解图∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵AB=AC，∴∠BAE=21∠CAB，又∵∠CBF=21∠CAB，∴∠BAE=∠CBF，∴∠EAB+∠ABE=90°，∴∠CBF+∠ABC=90°，即∠ABF=90°，∴AB⊥BF，又∵AB为⊙O的直径，∴直线BF为⊙O的切线；（2）由（1）得∠BAE=∠CBF，∠AEB=90°，∴cos∠CBF=cos∠BAE=ABAE，在Rt△ABE中，AB=5，BE=5，∴AE=22BEAB =25，∴cos∠CBF=552.8.如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.(1)求证：PO平分∠APC；(2)连接BD，若∠C＝30°，求∠DBP的大小．第8题图(1)证明：如解图，连接OB .第8题解图∵P A 、PB 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP .∵OA ＝OB ，∴PO 平分∠APC ；(2)解：∵OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，∴∠CAP ＝∠OBP ＝90°，∵∠C ＝30°，∴∠APC ＝90°－∠C ＝90°－30°＝60°.∵PO 平分∠APC ，∴∠OPC ＝12∠APC ＝12×60°＝30°， ∴∠POB ＝90°－∠OPC ＝90°－30°＝60°，又∵OD ＝OB ，∴△OBD 是等边三角形，∴∠OBD ＝60°，∴∠DBP ＝90°－∠OBD ＝90°－60°＝30°.9.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，E 是AC 的中点，OE 交CD 于点F .(1)若∠BCD ＝36°，BC ＝10，求BD ︵的长；(2)判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(3)求证：2CE 2＝AB ·EF.第9题图（1）解：如解图，连接OD ，第9题解图∵∠BCD ＝36°，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝2×36°＝72°，∵BC 是⊙O 的直径，BC ＝10，∴OB ＝5，∴l BD ︵＝180572⨯π＝2π； (2)解：DE 是⊙O 的切线；理由如下：∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝180°－∠BDC ＝90°，又∵点E 是线段AC 中点，∴DE ＝12AC ＝EC ， 在△DOE 与△COE 中，⎪⎩⎪⎨⎧===CE DE OE OE OC OD ，∴△DOE ≌△COE (SSS )．∵∠ACB ＝90°，∴∠ODE ＝∠OCE ＝90°，∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线；(3)证明：由(2)知，△DOE ≌△COE ，∴OE 是线段CD 的垂直平分线，∴点F 是线段CD 中点，∵点E 是线段AC 中点，则EF ＝12AD ， ∵∠BAC ＝∠CAD ，∠ADC ＝∠ACB ，∴△ACD ∽△ABC ， 则ACAD AB AC ，即AC 2＝AB ·AD ， 而AC ＝2CE ，AD ＝2EF ，∴(2CE )2＝AB ·2EF ，即4CE 2＝AB ·2EF ，∴2CE 2＝AB ·EF .10.如图，点A ，B ，C ，D 是直径为AB 的⊙O 上的四个点，CD ＝BC ，AC 与BD 交于点E .(1)求证：DC 2＝CE ·AC ；(2)若AE ＝2EC ，求AOAD 的值； (3)在(2)的条件下，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点H ，若S △ACH ＝9 3 ，求EC 的长．第10题图(1)证明：∵CD ＝BC ，∴CD ︵＝BC ︵，∴∠BDC ＝∠DAC ，∵∠DCE ＝∠ACD ，∴△CDE ∽△CAD ， ∴CDCE CA CD =， ∴DC 2＝CE ·AC ；(2)解：如解图，连接OE ，设CE ＝x ，第10题解图∵AE ＝2CE ，∴AE ＝2x ，∴AC ＝AE ＋CE ＝3x ，由(1)知，CD 2＝x ·3x ＝3x 2，∴CD ＝3x ，∵CD ＝BC ，∴BC ＝3x .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，在Rt △ABC 中，根据勾股定理得，AB ＝22BC AC +＝23x ，∴OA ＝OB ＝12AB ＝3x ， ∴OB ＝OC ＝BC ，∴△BOC 是等边三角形，∵CD ︵＝BC ︵，∴OC ⊥BE ，∴OE ＝12OB ＝32x ， ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°＝∠OEB ，∴OE ∥AD ，∵OA ＝OB ，∴AD ＝2OE ＝3x ，∴OA AD ＝xx 33＝1； (3)解：由(2)知，△BOC 是等边三角形，∴∠BOC ＝60°，∵CH 是⊙O 的切线，∴∠OCH ＝90°，∴∠CHO ＝30°，∴OH ＝2OC ，∵OH ＝OB ＋BH ＝OC ＋BH ，∴OB ＝BH ，∴OA ＝OB ＝BH ，∴S △ACH ＝3S △BOC ＝93，∴S △BOC ＝33，∵S△BOC＝34OB2＝34×(3x)2＝33，解得x＝－2(舍去)或x＝2，∴EC的长为2.11.如图①，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线;(2)若AB＝10，AC＝6，求BD的长；(3)如图②，若F是OA的中点，FG⊥OA交直线DE于点G，若FG＝19 4，tan∠BAD＝34，求⊙O的半径．图①图②第11题图（1）证明：如解图①，连接OD，第11题解图①∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠DAE，∴∠ODA＝∠DAE，∴OD∥AE，∴∠ODE＋∠AED＝180°，∵∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(2)解：如解图①，连接BC，交OD于点N，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∵OD∥AE，O是AB的中点，∴ON∥AC，且ON＝12 AC，∴∠ONB＝90°，且ON＝3，OB=5，则BN＝4，ND＝2，∴BD＝42＋22＝25；（3）解：如解图②，设FG与AD交于点H，过点G作GM⊥HD，交HD 于点M，H第11题解图②根据题意，设AB ＝5x ，AD ＝4x ，则AF ＝54x ， FH ＝AF ·tan ∠BAD ＝54x ·34＝1516x ， AH ＝BADAF ∠cos ＝5445x ＝2516x ， HD ＝AD －AH ＝4x －2516x ＝3916x ， 由（1）可知，∠HDG ＋∠ODA ＝90°，在Rt △HF A 中，∠F AH ＋∠FHA ＝90°，∵∠OAD ＝∠ODA ，∠FHA ＝∠DHG ，∴∠DHG ＝∠HDG ，∴GH ＝GD ，∴MH ＝MD ，∴HM ＝12HD ＝12×3916x ＝3932x ， ∵∠F AH ＋∠AHF ＝90°，∠MHG ＋∠HGM ＝90°， ∴∠F AH ＝∠HGM ，在Rt △HGM 中，HG ＝HGMHM ∠sin ＝533239x ＝6532x ， ∵FH ＋GH ＝194， ∴1516x ＋6532x ＝194， 解得x ＝85， ∴⊙O 的半径为5825⨯=4.。
2019年中考数学专题复习--圆带答案
2019年中考数学专题复习--圆（带答案）（1，0），N（0，2），T（，）关于⊙O的反演点M′，N′，T′的坐标；（2）如图2，已知点A（1，4），B（3，0），以AB为直径的⊙G与y轴交于点C，D（点C位于点D下方），E为CD的中点．①若点O，E关于⊙G的反演点分别为O′，E′，求∠E′O′G的大小；②若点P在⊙G上，且∠BAP=∠OBC，设直线AP与x轴的交点为Q，点Q关于⊙G的反演点为Q′，请直接写出线段GQ′的长度．24.已知，如图，A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，P是BC上任意一点，过点P作⊙O的切线，交AB于点M，交AC于点N，设AO=d，BO=r．求证：△AMN的周长是一个定值，并求出这个定值．25.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，过A、B、D三点的圆交CB的延长线于点E．（1）求证：AE=CE．（2）若EF与过A、B、D三点的圆相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD=CF=2cm，求过A、B、D三点的圆的直径．四、综合题26.如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连结DE，已知∠B=30°，⊙O的半径为12，弧DE的长度为4π．（1）求证：DE∥BC；（2）若AF=CE，求线段BC的长度．27.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB 为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F．（1）求证：AE=BF；（2）连接GB，EF，求证：GB∥EF；（3）若AE=1，EB=2，求DG的长．28.如图，已知扇形的圆心角为120°，面积为300π．（1）求扇形的弧长；（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为多少？答案解析部分一、单选题1.【答案】A2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】D9.【答案】D10.【答案】D11.【答案】D12.【答案】A13.【答案】B14.【答案】B15.【答案】A16.【答案】B17.【答案】C二、填空题18.【答案】2419.【答案】9020.【答案】8π21.【答案】422.【答案】三、解答题23.【答案】解：（1）∵ONON′=1，ON=2，∴ON′=，∴反演点N′坐标（0，），∵OMOM′=1，OM=1，∴OM′=1反演点M′坐标（1，0）∵，∴，∵T′在第一象限的角平分线上，∴反演点T′坐标（1，1）（2）①由题意：AB=2，r=，∵E（0，2），G（2，2），EG=2，E′GEG=5，∴，∵OGO′G=5，OG=2，∴O′G=，∵E′（﹣，2），O′（，），∴O′E′=，∴E′G2=E′O′2+O′G2，∴∠E′O′G=90°②如图：∵∠BAP1=∠OBC，∠CAP1+∠CBP1=∠CAB+∠BAP1+∠CBP1= 180°，∠OBC+∠CBP1+∠P1BQ1=180°，∠CAB=45°，∴∠P1BQ1=45°，∵∠AP1B=∠BP1Q1=90°，&ther e4;△PBQ1是等腰直角三角形，由△AP1B∽△BOC得到：=3，∵AB=2，∴BP1=，BQ1=2，Q1（5，0），∵Q1′GGQ1=5，∴Q1′G=，∵∠P2AB=∠BAP1，∴P1，P2关于直线AB对称，∵P1（4，1），易知：P2（，﹣），∴直线AP2：Y=﹣7X+11，∴Q2（,0），由：Q2′GQ2G=5得到：Q2′G=．24.【答案】解：∵AB，AC分别与⊙O相切，∴OB⊥AB，∵AO=d，BO=r，∴AB==，∵MN切圆O于点P，∴MP=MB，NP=NC，∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+PM+PN+AN=AM+BM+AN+PN=AB+AC=2AB=2，∴△AMN的周长是一个定值，这个定值为2．25.【答案】解:（1）证明：连接DE，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90°，∴AE是过A、B、D三点的圆的直径，∴∠ADE=90°，∴DE⊥AC，又∵D是AC的中点，∴DE是AC的垂直平分线，∴AE=CE．（2）解：∵CD=CF=2cm，∴AF=AC+CF=6cm，∵EF与过A、B、D三点的圆相切于点E，∴∠AEF=90°=∠ADE，又∵∠DAE=∠FAE，∴△ADE∽△AEF，∴=，即=，∴AE=2cm．四、综合题26.【答案】（1）解：证明：连接OD、OE，∵AD是⊙O的切线，∴OD⊥AB，∴∠ODA=90°，又∵弧DE的长度为4π，∴，∴n=60，∴△ODE是等边三角形，∴∠ODE=60°，∴∠EDA=30°，∴∠B=∠EDA，∴DE∥BC．（2）解：连接FD，∵DE∥BC，∴∠DEF=∠C=90°，∴FD是⊙0的直径，由（1）得：∠EFD=∠EOD=30°，FD=24，∴EF=，又∵∠EDA=30°，DE=12，∴AE=，又∵AF=CE，∴AE=CF，∴CA=AE+EF+CF=，又∵，∴BC=60．27.【答案】（1）证明：连接BD，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，∴∠A=∠C=45°，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，∴AD=DC=BD=AC，∠CBD=∠C=45°，∴∠A=∠FBD，∵DF⊥DG，∴∠FDG=90°，∴∠FDB+∠BDG=90°，∵∠EDA+∠BDG=90°，∴∠EDA=∠FDB，在△AED和△BFD中，，∴△AED≌△BFD（ASA），∴AE=BF；（2）证明：连接EF，BG，∵△AED≌△BFD，∴DE=DF，∵∠EDF=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°，∵∠G=∠A=45°，∴∠G=∠DEF，∴GB∥EF；（3）解：∵AE=BF，AE=1，∴BF=1，在Rt△EBF中，∠EBF=90°，∴根据勾股定理得：EF2=EB2+BF2，∵EB=2，BF=1，∴EF==，∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF=90°，∴cos∠DEF=，∵EF=，∴DE==，∵∠G=∠A，∠GEB=∠AED，∴△GEB∽△AED，∴=，即GEED=AEEB，∴GE=2，即GE=，则GD=GE+ED=．28.【答案】（1）解：设扇形的半径为R，根据题意，得∴R2=900，∵R＞0，∴R=30．∴扇形的弧长=．（2）解：设圆锥的底面半径为r，根据题意，得2πr=20π，∴r=10．h==20．答：这个圆锥的高是20．文wwW。
广东省深圳市2019年中考数学压轴题之圆综合练习题(word版 无答案)
圆综合深圳中考中，圆一般考 1-2 道题，其中必考一道圆的综合题，这个题的位置往往在 22 题或者 23 题出现，从近几年深圳中考命题方向去看，以后的考察应该都会在 22 题出现，也就是作为几何综合题出现。
圆的几何综合题往往有三问：包含几何证明，几何计算和综合性问题。
具体的题型有：1、圆切线的证明；2、圆中有关的计算问题；3、与圆相关的实际问题；4、与圆有关的综合性问题（难点：定值问题）模块一中考真题1、（2014 深圳）如图，在平面直角坐标系中，⊙M过原点O，与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，3），点C为劣弧AO的中点，连接AC并延长到D，使DC=4CA，连接BD．（1）求⊙ M 的半径；（2）证明：BD 为⊙ M 的切线；（3）在直线MC 上找一点P，使|DP﹣AP|最大．2、（2015 深圳）如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB 和量角器的直径DE 在一条直线上，AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s 的速度向右移动．（1）当B 与O 重合的时候，求三角板运动的时间；（2）如图2，当AC 与半圆相切时，求AD；（3）如图3，当AB 和DE 重合时，求证：CF2=CG•CE．3、（2016 深圳）如图，已知⊙O 的半径为2，AB 为直径，CD 为弦．AB 与CD 交于点M，将沿CD 翻折后，点A 与圆心O 重合，延长OA 至P，使AP=OA，连接PC （1）求CD 的长；（2）求证：PC 是⊙O 的切线；（3）点G 为的中点，在PC 延长线上有一动点Q，连接QG 交AB 于点E．交于点F（F 与B、C 不重合）．问G E•GF 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．4、（2017 深圳）如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点H，点M 是上任意一点，AH=2，CH=4．（1）求⊙O 的半径r 的长度；（2）求sin∠CMD；（3）直线BM 交直线CD 于点E，直线MH 交⊙O 于点N，连接BN 交CE 于点F，求HE•HF的值．模块二圆中证明和计算专题训练5、如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）求证：BC=AB；（3）点M 是的中点，CM 交AB 于点N，若AB=4，求MN•MC的值．6、如图，AB 是⊙O 的直径，∠B=∠CAD．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若点E 是的中点，连接AE 交BC 于点F，当BD=5，CD=4 时，求AF 的值．7、如图，在△OAB 中，OA=OB，C 为AB 中点，以O 为圆心，OC 长为半径作圆，AO 与⊙O 交于点E，直线OB 与⊙O 交于点F 和D，连接EF、CF 与OA 交于点G．（1）求证：直线AB 是⊙O 的切线；（2）求证：OD•EG=OG•EF；（3）若AB=8，BD=2，求⊙O 的半径．8、已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，点 O 在AB 上，以 O 为圆心，OA 长为半径的圆与 AC、AB 分别交于点 D、E，且∠CBD=∠A．（Ⅰ）求证：BD 与⊙O 相切；（Ⅱ）若 AD：AO=8：5，BC=2，求 BD 的长．9、如图，在平面直角坐标系中，圆 D 与y 轴相切于点 C(0,4)，与x 轴相交于 A、B 两点，且 AB=6.（1）则D点的坐标是（，），圆的半径为；（2）s in ∠ACB= ；经过C、A、B 三点的抛物线的解析式：；（3）设抛物线的顶点为 F,证明：直线 FA 与圆D 相切；（4）在x 轴下方的抛物线上，是否存在一点 N，使∆CBN 面积最大，最大值是多少，并求出N 点坐标.10、如图所示, Rt∆ABC 中，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=2，⊙O是△ABC 的外接圆，D 是C B延长线上一点，且 BD=1，连接 DA，点 P 是射线 DA 上的动点。
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圆的综合题
1. （2018·菏泽）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，过点A作AD ∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F．
（1）求∠DAF的度数；
（2）求证：AE2=EF•ED；
（3）求证：AD是⊙O的切线．
2. （2018·盐城）如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点，连接AC、BC.将△ABC沿AB翻折后得到△ABD.
（1）试说明点D在⊙O上；
（2）在线段AD的延长线上取一点E，使AB2=AC·AE.求证：BE为⊙O的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BC=2，AC=4，求线段EF的长.
3. （2018·淄博）如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE ＜BD）的长是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个实数根．
（1）求证：PA•BD=PB•AE；
（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．
4. （2018·聊城）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为2.5，BE=4，求BC，AD的长．
5. （2018·潍坊）如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C.
（1）求证：AE与⊙O相切于点A；
（2）若AE∥BC，BC=2，AC=2，求AD的长.
6. （2018·日照）如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一点，直线l过点A；P是⊙O上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD延长线交直线l于点F，点A是的中点．
(1)求证：直线l是⊙O的切线；
(2)若PA=6，求PB的长．
７.（2018•莱芜）（2018·莱芜）如图，已知A、B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）E为的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，
若tan∠AFE=，BE=BG，EG=3，求⊙O的半径．
８. （2018•烟台）如图，已知D，E分别为△ABC的边AB，BC上两点，点A，C，E在⊙D上，点B，D在⊙E上．F为上一点，连接FE并延长交AC的延长线于点N，交AB于点M．
（1）若∠EBD为α，请将∠CAD用含α的代数式表示；
（2）若EM=MB，请说明当∠CAD为多少度时，直线EF为⊙D的切线；
（3）在（2）的条件下，若AD=，求的值．
９. （2018•内江）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交斜边AC于点D，过圆心O作OE∥AC，交BC于点E，连接DE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）求证：2DE2=CD•OE；
（3）若tanC=，DE=，求AD的长．
１０.(2018•济宁)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；
11. （2018•威海）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求点D的坐标；
（3）点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R．求点P的坐标；
12. （2018·滨州）如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P(x，y)的动圆经过点A(1，2)且与x轴相切于点B．
(1)当x=2时，求⊙P的半径；
(2)求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；
(3)请类比圆的定义(圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合)，给(2)中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到__________的距离等于到_____________的距离的所有点的集合．
(4)当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上(2)中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D(m，n)在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．。