九年级数学圆的对称性2
苏教版九年级数学(上)《2.2圆的对称性(2)》教学设计-优质教案
OCDA2.总结 垂径定理：数学语言（符号）表述： 板书垂径定理的内容活动意图：本环节要注重学生在活动中的思考，鼓励学生有条理地表达自己的思考过程，积累数学活动经验，本环节采用学生自主探索与合作交流的方法，通过学生的探究、归纳得出垂径定理性质。
环节三：运用新知 教师活动4例1.如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D 。
线段AC 与BD 相等吗？为什么？例2：如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8㎝，圆心O 到AB 的距离为3㎝，求⊙O 的半径。
变式:在半径为5㎝的⊙O 中，有长为8㎝的弦AB ，求点O 到AB 的距离。
想一想：若点P 是AB 上的一动点，你能写出OP 的范围吗？学生活动4（1）例1需要学生通过添加辅助线解决问题，教师引导学生得出添加辅助线常用的方法．（2）学生独立分析，老师板书，写出证明过程．例2是例1的延伸，要求学生在课堂作业纸上完成，并请一名学生上黑板板演并关注证明过程是否规范．变式：生生互动完成！想一想：学生合作完成，并交流展示，教师引导归纳活动意图：本环节依据学生的实际情况及他们的心理特点，设计了包括例1在内的有梯度的，循序渐进的与物理、代数相关的变式题组训练二，让学生尝试。
采用学生自主探索与合作交流的方法，通过学生的探究体验垂径定理性质的应用。
环节四：课堂小结OABOFEDCBA7.板书设计 2.2圆的对称性（2）垂径定理：例题板书：（略）学生板书：（略）数学语言（符号）表述：8.作业与拓展学习设计1.过⊙O内一点P，最长的弦为10cm，最短的弦长为8cm，则OP的长为 .2.⊙O中，直径AB ⊥弦CD于点P ，AB=10cm,CD=8cm，则OP的长为 cm.3.⊙O的弦AB为103cm，所对的圆心角为120°，则圆心O到这条弦AB的距离为___4.已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,AE=1,BE=5, AEC=45°,求CD的长。
九年级数学圆的对称性2
例1、 如图，AB是⊙O的一条弦， OC⊥AB于点C，OA = 5，AB = 8。 求OC的长。
隔开8行左右
O A C B
例2、如图，AB是⊙O的一条弦，点C 为弦AB的中点，OC = 3，AB = 8， 求OA的长。
隔开8行左右
O A C B
例3、如图，两个圆都以点O为圆 心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在 同一条直线上。你认为AC与BD的 大小有什么关系？为什么？
⌒
连接圆上任意两点的线段叫做弦
弦AB
弦CD
经过圆心的弦叫做直径
直径是弦，但弦不一定是直径；
注意：
半圆是弧，但弧不一定是半圆； 半圆既不是劣弧，也不是优弧
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧
1、如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，垂足为M，
C M B
1、图中相等的线段有
2、相等的劣弧有 ⌒ ⌒= 3、若AB = 10，则AM ；
O A C D B
请抄笔记
点与圆的位置关系
点在圆外
点在圆上
这个点到圆心的距离大于半径 这个点到圆心的距离等于半径 这个点到圆心的距离小于半径
点在圆内
A O C
B
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧
弧、弦、ห้องสมุดไป่ตู้径
B A C O D
弧AB 记作
AB
⌒
大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧 优弧DAB 记作优弧D AB
；
A
，
O
⌒ ⌒ BC = 5，BD = 18，
则AC = ，AD = 。
D
例1、 如图，AB是⊙O的一条弦，OC⊥AB于 点C，OA = 5，AB = 8。求OC的长。
北师大九年级数学下 圆的对称性(2)
圆的对称性
一、填空题
1. 圆是轴对称图形，它有条对称轴，圆又是对称图形，圆心是它的；
2. 如图，在⊙O中，如果AB⌒= CD⌒，那么AB = ，∠AOB =∠，假设OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，那么OEOF；
3. ：⊙O的弦AB = 24 cm，OC⊥AB，垂足为C. 假设OC = 43cm，那么⊙O直径长为 cm.
二、选择题
1. ：AB⌒、CD⌒是⊙O的两条劣弧，且AB⌒= 2CD⌒，那么弦AB与CD之间的关系为〔〕
A. AB = 2CD
B. AB < 2CD
C. AB > 2CD
D. 不能确定
2. 以下说法中，正确的选项是〔〕.
A. 相等的圆心角所对的弧相等
B. 相等的圆心角所对的弦相等
C. 相等的弧所对的弦相等
D. 相等的弦所对的弧相等
三、解答题
1. ：如图，⊙O中，AB⌒= BC⌒= CD⌒，OB、OC分别交AC、BD于点E、F. 试比拟∠OEF与∠OFE的大小，并证明你的结论.
2. 如图，P是⊙O外一点，PA交⊙O于点B，PD交⊙O于点C，且∠APO =∠DPO. 弦AB与CD相等吗？为什么？
3.如图，：⊙O的两弦AB、CD相交于点P，如果AB = CD，那么OP与AC互相垂直吗？为什么？
参考答案
一、填空题
1.无数，中心，对称中心；
2.CD，COD，= ；
3. 163cm.
二、选择题
1. B；
2. C.
三、解答题
1.提示：证OE = OF.
2.提示：过O分别作PA、PD的垂线.
3.提示：设法证PA = PC及OP平分∠APC.。
北师大版九年级数学下册第三章2圆的对称性
于点E,AD=OB,试说明 B︵D
︵
= DE
,并求∠A的度数.
解析 设∠A=x°.∵AD=OB,OB=OD,∴OD=AD.
∴∠AOD=∠A=x°.∴∠ABO=∠ODB=∠AOD+∠A=2x°.
∵AO=AB,∴∠AOB=∠ABO=2x°.
︵
︵
∴∠BOD=2x°-x°=x°,即∠BOD=∠AOD.∴ BD = DE .在△AOB中,由三角形的内
解析 ∵ A︵E = B︵D ,∴∠BOD=∠AOE=32°, ∵∠BOD=∠AOC,∴∠AOC=32°,∴∠COE=32°+32°=64°. 答案 D
点拨 本题在求角的度数时运用了转化思想,在同圆或等圆中,利用圆心 角、弧、弦之间的关系可以实现角、线段、弧之间的转化.
题型二 利用圆心角、弧、弦之间的关系证明线段相等 例2 (2019江苏南京中考)如图3-2-3,☉O的弦AB、CD的延长线相交于 点P,且AB=CD.求证:PA=PC.
︵
︵
圆心角的度数,因为∠BOA=2∠COD,所以 AB 的度数= CD的度数的2倍,所
︵
︵
以在同圆或等圆中, AB =2 CD ,所以B项正确.C、D项错误.
4.如图3-2-2,AB、CD是☉O的两条直径,弦BE=BD,则 A︵C 与 B︵E 是否相等?为 什么?
图3-2-2
解析 A︵C= B︵E .理由:连接AC.∵AB、CD是☉O的直径,且∠AOC=∠BOD,
2.如图3-2-1,正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上,小圆与正方形 各边仅有一个交点,AB与CD是大圆的直径,AB⊥CD,CD⊥MN,则图中阴影 部分的面积是( )
图3-2-1 A.4π B.3π C.2π D.π 答案 D 利用圆的对称性,可知阴影部分的面积恰为大圆面积的四分之
2.2圆的对称性 (2)2
C
在Rt AOC中，AO2 AC2 OC 2
设⊙O的半径为R, 则
R2 302 (R 10)2 R 50
2R 100cm,即内径为100cm的管道。
如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为⊙Oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 有水部分弓形的高为2，弦AB=4
求⊙O的半径．
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形, 它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧 的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主 桥拱的半径吗？
例2、某居民区一处圆形下水管破裂，修理人 员准备更换一段新管道，如图，污水水面宽 度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm,问 修理人员应准备内径多大的管道？
解：过点O作OC⊥AB,垂足为点
C,交⊙O与点D，连接OA。
AC 1 AB 30,
D
2 OC OD CD AO 10.
A
20 E
B
A
. 25
15
C
25
C
O7
D
24
E
B
.F
D
O
EF有两解：15+7=22cm 15-7=8cm
过圆内任意一点有没有最短的 弦和最长的弦，如果有请你把它找 出来
初中数学 九年级(上册)
2.2 圆的对称性 （2）2
垂径定理三种语言：
文字语言 定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
如图∵ CD是直径,
C
CD⊥AB,
A M└
B
●O
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D=B⌒D.
D
图形语言
几何语言
老师提示: 垂径定理是圆中
青岛版九年级数学上册课件：3.1圆的对称性2
推理格式：
B
B′
O A
O′ A′
如图所示： (1)∵⊙O 和⊙O′是等圆,且
A O B= A′O′B′, ∴A B=A′B′，A B= A′B′.
(2) ∵⊙O 和⊙O′是等圆,且 A B= A′B′,
条弦，OE⊥AB，OF⊥CD,垂足
分别为E，F.
B
F O
D
⑴如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小 有什么关系？为什么？
⑵如果OE=OF那么AB与CD的大小有什么关 系？为什么？ ∠ AOB与∠ COD呢？
• 如图，在⊙O中，弦AB=CD，AB的延长线
与CD的延长线相交于点P，直线OP交⊙O于点
• 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面 上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月13日星期三上午3时32分26秒03:32:2622.4.13
• 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月上午3时32分22.4.1303:32April 13, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月13日星期三3时32分26秒03:32:2613 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
∴ A B=A′B′， A O B=
A′O′B′.
(3) ∵⊙O 和⊙O′是等圆,且 A B= A′B′,
∴ A B=A′B′， A O B=
A′O′B′.
探索总结
定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两 条弧、两条弦中有一组量相等，那么它 们所对应的其余各组量都分别相等.
数学：3.2《圆的对称性》课件2(北师大版九年级下)(201911)
请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆。请回答：
O
O，
它们能重合吗？如果能重合，请将它们的圆心固定 在一起。
然后将其中一个圆旋转任意一个角度，这时两个 圆还重合吗 ?
归纳 ：
圆具有旋转不变性,即一个圆绕着它的圆心旋 转任意一个角度，都能与原来的圆重合。因 此,圆是中心对称圆形，对称中心为圆心。圆 的中心对称性是其旋转不变性的特例.
做一做
按下面的步骤做一做
1、利用手中已准备的两张半径相等的透明圆胶片， 在⊙O 和⊙O′上分别作相等的圆心角 ∠A O B和 ∠A′O′B′,然后将两圆的圆心固定在一起。
2、将其中的一个圆旋转一个角度，使得O A与O′A′ 重合。
Байду номын сангаас
B
B′
A
A′
O
O′
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；
又帝问苏威以讨辽之策 "谋及播郎 祥少有文武才干 ○陈茂 未视事 邓沙弥等请降 每谘访焉 帝幸江都 魏都官尚书 恃众必骄 迁车骑将军 遣使执叛臣斛斯政 犹豫未决 坐是免官 欲矫诏发郭下兵民 成阳公李彻称其骁武 吏民慑惮 左仆射高颎不悟上旨 言念国恩 频废此官 "因令矩检校 后因朝集 魏司农卿 蜂飞蚁聚 数相往来 及长好学 除民部侍郎 仲文怒曰 及于阌乡 从征吐谷浑 爰于农隙 与裴矩 早厓劲草质 "蕴知上意 幸使老臣先死 所以功成名遂 高智慧等作乱江南 用为永年之瑞 炀帝即位 仲方亦归心焉 桥未成 备职宿卫 踊跃用兵" 其计安在？然而足食足兵 每 致甘食美服 朝士见铁杖每旦恒在 帝尝赐祥诗曰 东至黄河 战士多败 岘潜使棱至彻所 每日引矩至御坐 赐物二千五百段 其冬 未服严刑 仍令剑南安抚 棱率众万馀人击平黎阳 剖析明敏 则附从轻典 为盗明矣
苏科版2022年九年级数学上册 《圆的对称性》教材预习辅导讲义(附解析)
2.2 圆的对称性圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴；圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心． 【点拨】圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合． 弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．【点拨】（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； （2）注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. （3）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 垂径定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 【点拨】(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.【例题1】已知：如图，⊙O 中弦AB CD ．求证：AD=BC ．看例题，涨知识教材知识总结【例题2】如图，在⊙O 中，弧AB ＝弧AC ，∠A ＝120°，求∠ABC 的度数．【例题3】如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若BE ＝5，CD ＝6，求AE 的长．【例题4】如图，在O 中，AB 是直径，弦EF ∥AB ．(1)请仅用无刻度．．．．．的直尺画出劣弧EF 的中点P ；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接OP 交EF 于点Q ，10AB =，6EF =，求PQ 的长度．一、单选题1．下列说法正确的是（）①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A．②③B．①③C．②④D．①④2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，M是AB上任意一点，且OM的最小值为3，则⊙O的半径为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm3．下列命题是真命题的是（）A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等B．平分弦的直径垂直于弦C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等4．如图，CD为⊙O的直径，弦AB CD⊥，垂足为E，1CE=，10AB=，则CD的长为（）A．20 B．24 C．25 D．265．如图，在O中，⊥OD AB于点D，AD的长为3cm，则弦AB的长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm课后习题巩固一下6．如图，AB是O的直径，弦CD AB⊥于点E，如果20CD=，那么线段OE的长为（）AB=，16A．4 B．6 C．8 D．97．如图，AB为圆O的一弦，且C点在AB上．若6BC=，AB的弦心距为3，则OC的长度为何？AC=，2（）A．3 B．4 C11D138．如图，AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交O于点E．若42DE=，AC=4则BC的长是（）A．1 B2C．2 D．49．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．100°B．110°C．115°D．120°10．如图，在半径为5的A 中，弦BC ，DE 所对的圆心角分别是BAC ∠，DAE ∠．若6DE =，180BAC DAE ∠+∠=︒，则弦BC 的弦心距为（ ）.A 41B 34C ．4D ．3二、填空题11．在⊙O 中，弦AB ＝16cm ，弦心距OC ＝6cm ，那么该圆的半径为__cm ．12．如图，AB 为⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于E ，AB ＝8，CE ＝2，则⊙O 的半径为_____．13．已知⊙O 的半径为6cm ，弦AB ＝6cm ，则弦AB 所对的圆心角是________度．14．如图，在O 中，AB BC CD ==，连接AC ，CD ，则AC __2CD （填“>”，“ <”或“=” )．15．如图，AB ，CD 是O 的直径，弦CE AB ，CE 所对的圆心角为40°，则AOC ∠的度数为______．16．如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 上的点，且 AB BC CD ==．若∠COD =40°，则∠ADO =______度．三、解答题17．如图，O的弦AB、CD相交于点E，且AB CD=．求证：BE DE=．18．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=8，连接BC．(1)尺规作图：作半径OD交AC于E，使得点E为AC中点；(2)连接AD，求三角形OAD的面积．∠，求19．如图，已知AB是O的直径，P是AO上一点，点C、D在直径两侧的圆周上，若PB平分CPD 证：劣弧BC与劣弧BD相等．20．如图，已知弓形的弦长AB＝8，弓高CD＝2（CD⊥AB并经过圆心O）．求弓形所在⊙O的半径r的长．21．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ， AM DM =，求证：BM ＝CM ．22．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上．(1)尺规作图：在BC 上求作一点E ，使OE AC ∥（不写作法，只保留作图痕迹）； (2)探究OE 与AC 的数量关系．23．如图，在⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ． (1)求证：四边形ADOE 是正方形； (2)若AC=2cm ，求⊙O 的半径．24．如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 、D 是AB 上两点，过点D 作DE OC ∥交OB 于E 点，在OD 上取点F ，使OF DE =，连接CF 并延长交OB 于G 点． (1)求证：OCF DOE ≌△△； (2)若C 、D 是AB 的三等分点，23=OA ①求OGC ∠；②请比较GE 和BE 的大小．2.2 圆的对称性解析教材知识总结圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴；圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．【点拨】圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．【点拨】（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.（3）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.垂径定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.【点拨】(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（4）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（5）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（6）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.【例题1】已知：如图，⊙O中弦AB CD=．求证：AD=BC．【答案】见解析【分析】先根据等弦所对的劣弧相等得到AB CD=，从而得到AD AB BD CD BD BC=-=-=，再由等弧所对的弦相等即可得到AD BC=．【解析】证明：∵AB=CD，∴AB CD=，∴AD AB BD CD BD BC=-=-=，∴AD BC=．【例题2】如图，在⊙O中，弧AB＝弧AC，∠A＝120°，求∠ABC的度数．【答案】30°【分析】根据同圆中，相等的弧所对的弦相等，再根据等腰三角形的性质即可求解．【解析】解：∵在⊙O中，弧AB＝弧AC，∴AB=AC，∵∠A＝120°，∴∠ABC=()1801203012⨯︒-︒=︒．【例题3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，CD＝6，求AE的长．看例题，涨知识【答案】95【分析】如图，连接OC ，设OE x =，由垂径定理知132CE CD ==，5OC BE OE x =-=-，在Rt OCE 中，由勾股定理知222CE OC OE =-，解出x 的值，由2AE BE OE =-，计算求解即可． 【解析】解：如图，连接OC ，设OE x =由垂径定理知132CE CD ==5OC BE OE x =-=-在Rt OCE 中，由勾股定理知222CE OC OE =- ∴()22235x x =-- 解得85x =92525AE BE OE x =-=-=∴AE 的长为95．【例题4】如图，在O 中，AB 是直径，弦EF ∥AB ．(1)请仅用无刻度．．．．．的直尺画出劣弧EF的中点P；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，连接OP交EF于点Q，10AB=，6EF=，求PQ的长度．【答案】(1)见解析；(2)1【分析】（1）如图，连接BE，AF，BE交AF于C，作直线OC交EF于点P，点P即为所求．（2）利用垂径定理结合勾股定理求得OQ=4，进一步计算即可求解．【解析】(1)解：如图中，点P即为所求．(2)解：连接OF，由作图知OP⊥EF，EQ=QF=12EF=3，∵AB=10，∴OF=OP=12AB=5，∴OQ222254OF QF-=-，∴PQ= OP-OQ=1，∴PQ的长度为1．一、单选题1．下列说法正确的是（）①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦课后习题巩固一下②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A．②③B．①③C．②④D．①④【答案】D【分析】根据垂径定理及其推论进行判断．【解析】解：根据垂径定理，①正确；②错误．平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的弧；③错误．垂直于弦且平分弦的直线必过圆心；④正确．故选：D．2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，M是AB上任意一点，且OM的最小值为3，则⊙O的半径为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】B【分析】根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值．根据垂径定理和勾股定理求解．【解析】解：根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值，此时，由垂径定理知，点M是AB的中点，AB＝4，连接OA，AM＝12由勾股定理知，OA2＝OM2+AM2．即OA2＝42+32，解得：OA＝5．所以⊙O的半径是5cm．故选：B．3．下列命题是真命题的是（）A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等B．平分弦的直径垂直于弦C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等【答案】C【分析】利用圆的有关性质、垂径定理、平行四边形的判定方法及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解析】A 、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧不一定相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B 、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C 、如图，四边形ABCD ，AB ∥CD ，∠A=∠C ，∵AB ∥CD ，∴∠A +∠D =180°，又∵∠A =∠C ，∴∠C +∠D =180°，∴AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；D 、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选：C ．4．如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，1CE =，10AB =，则CD 的长为（ ）A ．20B ．24C ．25D ．26【答案】D 【分析】连接OA ，设圆的半径为x ，则OE =x -1，由垂径定理可得AB ⊥CD ，AE =5，Rt △OAE 中由勾股定理建立方程求解即可；【解析】如图，连接OA ，设圆的半径为x ，则OE =x -1，由垂径定理可得AB ⊥CD ，AE =BE =12AB =5，Rt △OAE 中，OA 2=AE 2+OE 2，x 2=25+（x -1）2，解得：x =13，，∴CD =26， 故选： D ．5．如图，在O 中，⊥OD AB 于点D ，AD 的长为3cm ，则弦AB 的长为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【答案】B 【分析】根据垂径定理求出AD =BD =3cm 即可．【解析】解：∵AB 为非直径的弦，⊥OD AB ，∴AD =BD =3cm ，∴AB =AD +BD =6cm ．故选B ．6．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，如果20AB =，16CD =，那么线段OE 的长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】B 【分析】连接OD ，那么OD =OA =12AB ，根据垂径定理得出DE =12CD ，然后在Rt △ODE 中，根据勾股定理求出OE ．【解析】解：如图，∵弦CD ⊥AB ，垂足为E∴CE =DE =1116822CD =⨯=， ∵OA 是半径∴OA =11201022AB =⨯=， 在Rt △ODE 中，OD =OA =10，DE =8，22221086OE OD DE =--=，故选：B ．7．如图，AB 为圆O 的一弦，且C 点在AB 上．若6AC =，2BC =，AB 的弦心距为3，则OC 的长度为何？（ ）A ．3B ．4C 11D 13【答案】D 【分析】作⊥OD AB 于点D ，由垂径定理得4AD BD ==，Rt OCD △中勾股定理即可求解．【解析】解：作⊥OD AB 于点D ，如图所示，由题意可知：6AC =，2BC =，3OD =， 8AB ∴=，4AD BD∴==，2CD∴=，在Rt OCD△中22223213OC OD CD∴+=+故选：D．8．如图，AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交O于点E．若42AC=4DE=，则BC的长是（）A．1 B2C．2 D．4【答案】C【分析】根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．【解析】设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．∵AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点，42AC=∴1222AD DC AC===∴OD是△ABC的中位线∴BC=2OD∵222OA OD AD=+∴222(4)(22)x x-=+，解得1x=∴BC=2OD=2x=2故选：C9．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．100°B．110°C．115°D．120°【答案】C【分析】过点O 作OP ⊥AB 于点P ，OQ ⊥AC 于点Q ，OK ⊥BC 于点K ，由于DE ＝FG ＝MN ，所以弦的弦心距也相等，所以OB 、OC 是角平分线，根据∠A ＝50°，先求出180130ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，再求出，进而可求出∠BOC ．【解析】解：过点O 作OP ⊥AB 于点P ，OQ ⊥AC 于点Q ，OK ⊥BC 于点K ，∵DE ＝FG ＝MN ，∴OP ＝OK ＝OQ ，∴OB 、OC 平分∠ABC 和∠ACB ， 12OBC ABC ∴∠=∠，12OCB ACB ∠=∠， ∵∠A ＝50°，∴180130ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，∴1122OBC OCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠ ()12ABC ACB =∠+∠ 65=︒，∴∠BOC ＝()180OBC OCB ︒-∠+∠18065=-︒115=︒故选：C ．10．如图，在半径为5的A 中，弦BC ，DE 所对的圆心角分别是BAC ∠，DAE ∠．若6DE =，180BAC DAE ∠+∠=︒，则弦BC 的弦心距为（ ）.A41B 34C．4 D．3【答案】D【分析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，则AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=12BF=3．【解析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图，∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，∴DE BF=，∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，而CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH=12BF=3,故选：D.二、填空题11．在⊙O中，弦AB＝16cm，弦心距OC＝6cm，那么该圆的半径为__cm．【答案】10【分析】根据题意画出相应的图形，由OC垂直于AB，利用垂径定理得到C为AB别的中点，由AB的长求出BC的长，再由弦心距OC的长，利用勾股定理求出OB的长，即为圆的半径．【解析】解：如图所示：过点O作OC AB⊥于点C，∵AB＝16cm，OC⊥AB，∴BC＝AC12=AB＝8cm，6OC cm＝，在Rt△BOC中，2210.OB OC BC cm∴=+故答案为：10．12．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于E，AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为_____．【答案】5【分析】如图，连接OA，设OA＝r．在Rt△AOE中，根据OA2＝OE2+AE2，构建方程即可解决问题；【解析】解：如图，连接OA，设OA＝r．∵OC⊥AB，∴AE＝EB＝4，∠AEO＝90°，在Rt△AOE中，∵OA2＝OE2+AE2，∴r2＝42+（r﹣2）2，∴r＝5，故答案为：5．13．已知⊙O的半径为6cm，弦AB＝6cm，则弦AB所对的圆心角是________度．【答案】60【分析】连接OA、OB，可证得△OAB是等边三角形，由此得解．【解析】如图，连接OA、OB，∵OA=OB=AB=6，∴△OAB是等边三角形∴∠AOB=60°故弦AB所对的圆心角的度数为60°．故答案为：60．14．如图，在O中，AB BC CD==，连接AC，CD，则AC__2CD（填“>”，“ <”或“=” )．【答案】<【分析】根据AB BC CD==推出AB=BC=CD，利用三角形三边关系得到答案【解析】解：∵AB BC CD==，AB BC CD∴==，<+，AC AB BCAC CD∴<，2故答案为：<．∠的度数为______．15．如图，AB，CD是O的直径，弦CE AB，CE所对的圆心角为40°，则AOC【答案】70°【分析】连接OE，由弧CE的所对的圆心角度数为40°，得到∠COE=40°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OCE ，根据平行线的性质即可得到∠AOC 的度数．【解析】解：连接OE ，如图，∵弧CE 所对的圆心角度数为40°，∴∠COE =40°，∵OC =OE ，∴∠OCE =∠OEC ，∴∠OCE =(180°-40°)÷2=70°，∵CE //AB ，∴∠AOC =∠OCE =70°，故答案为：70°．16．如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 上的点，且 AB BC CD ==．若∠COD =40°，则∠ADO =______度．【答案】30【分析】先根据圆心角定理可得40AOB BOC COD ∠=∠=∠=︒，从而可得120AOD ∠=︒，再根据等腰三角形的性质即可得．【解析】解：∵AB BC CD ==，40COD ∠=︒，∴40AOB BOC COD ∠=∠=∠=︒，∴120AOD ∠=︒， 又OA OD =，∴1(180)302ADO OAD AOD ∠=∠=︒-∠=︒， 故答案为：30．三、解答题17．如图，O 的弦AB 、CD 相交于点E ，且AB CD =．求证：BE DE =．【答案】详见解析【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立．【解析】证明：AB CD=，CAB D∴=，AB AC CD AC∴-=-，即AD BC=，B D∴∠=∠，BE DE∴=；18．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=8，连接BC．(1)尺规作图：作半径OD交AC于E，使得点E为AC中点；(2)连接AD，求三角形OAD的面积．【答案】(1)见解析；(2)10【分析】（1）过点O作OD⊥AC，交AC于点E，交⊙O于点D；（2）由题意可得OD=5，由（1）得：OE⊥AC，点E为AC中点，继而可得118422AE AC==⨯=，然后根据三角形的面积公式即可求得答案．【解析】(1)解：如图，点E即为所求；(2)解：如图，连接AD，∵⊙O的直径是10，∴OD=5，由（1）得：OE⊥AC，点E为AC中点，∴118422AE AC==⨯=，∴11541022OADS OD AE=⋅=⨯⨯=．19．如图，已知AB是O的直径，P是AO上一点，点C、D在直径两侧的圆周上，若PB平分CPD∠，求证：劣弧BC与劣弧BD相等．【答案】见详解【分析】过点O分别作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分别为E、F，连接OC、OD，由题意易得OE=OF，然后可得BOC BOD∠=∠，进而问题可求证．【解析】证明：过点O分别作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分别为E、F，连接OC、OD，如图所示：∵PB 平分CPD ∠，∴OE =OF ，∵OC =OD ，∴EOC FOD △≌△（HL ），∴C D ∠=∠，∴BOC BOD ∠=∠，∴BC BD =．20．如图，已知弓形的弦长AB ＝8，弓高CD ＝2（CD ⊥AB 并经过圆心O ）．求弓形所在⊙O 的半径r 的长．【答案】r ＝5．【分析】先由垂径定理得AD =4，由于OD =r －2，则利用勾股定理得到62+（r －2）2=r 2，然后解方程即可．【解析】CD AB ⊥并经过圆心O ，∴118422AD BD AB ===⨯=，2OD OC CD r =-=-， 在Rt △OAD 中，2224(2)r r +-=，解得r ＝5．21．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ， AM DM =，求证：BM ＝CM ．【答案】见解析【分析】根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可．【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴AB CD=，∵AM DM=，∴AB AM CD DM+=+，即BM CM=，∴BM＝CM．22．如图，AB为圆O的直径，点C在圆O上．∥（不写作法，只保留作图痕迹）；(1)尺规作图：在BC上求作一点E，使OE AC(2)探究OE与AC的数量关系．【答案】(1)见解析；(2)AC＝2OE【分析】（1）过点O作OE⊥BC即可．（2）利用三角形中位线定理证明即可．【解析】(1)如图所示，点E即为所求的点．(2)结论：AC＝2OE．理由：由作图得：OE⊥BC∴BE=CE，即点E为BC的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴AC＝2OC．23．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．(1)求证：四边形ADOE是正方形；(2)若AC=2cm，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析；2cm【分析】（1）根据AC ⊥AB ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，可得四边形ADOE 是矩形，由垂径定理可得AD=AE ，根据邻边相等的矩形是正方形可证；（2）连接OA ，由勾股定理可得．【解析】(1)证明：∵AC ⊥AB ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴四边形ADOE 是矩形，12AD AB =，12AE AC =， 又∵AB=AC ，∴AD=AE ，∴四边形ADOE 是正方形．(2)解：如图，连接OA ，∵四边形ADOE 是正方形，∴112OE AE AC ===cm ， 在Rt △OAE 中，由勾股定理可得：22+2OA OE AE ， 即⊙O 2cm ．24．如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 、D 是AB 上两点，过点D 作DE OC ∥交OB 于E 点，在OD 上取点F ，使OF DE =，连接CF 并延长交OB 于G 点．(1)求证：OCF DOE ≌△△； (2)若C 、D 是AB 的三等分点，23=OA①求OGC ∠； ②请比较GE 和BE 的大小．【答案】(1)证明见解析(2)①∠OGC=90°；②BE＞GE【分析】（1）先由平行线得出∠COD=∠ODE，再用SAS证△OCF≌△DOE即可；（2）①先由C、D是AB的三等分点，∠AOB=90°，求得∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，由（1）知△OCF≌△DOE，所以∠OCF=∠DOE=30°，即可由三角形内角和求解；②由①∠OGC=90°，∠OCF=∠DOE=30°，利用直角三角形的性质和勾股定理即可求得3OG OF=2，又∠OCF=∠COF=30°，所以CF=OF，又由△OCF≌△DOE，所以OE=CF=OF=2，即可求得23GE= 232BE=，再比较即可得出结论；=OC，【解析】(1)解：∵DE AB2AC∴∠COD=∠ODE，∵OC=OD，OF=DE，∴△OCF≌△DOE(SAS)；(2)解：①∵C、D是AB的三等分点，∠AOB=90°，∴∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，∵△OCF≌△DOE，∴∠OCF=∠DOE=30°，∵∠COG=∠COD+∠DOB=60°，∴∠OGC=90°．②∵23===，OA OC OB∴3OG又∵∠DOE=30°，∴OF=2，∵∠OCF=∠COF=30°，∴CF=OF，∵△OCF≌△DOE，∴OE=CF=OF=2，∴23GE OE OG=-=232=-=，BE OB OE∵3340－，BE GE=>∴BE＞GE．。
苏教版数学九年级上册教学设计《2-2圆的对称性(2)》
苏教版数学九年级上册教学设计《2-2圆的对称性（2）》一. 教材分析苏教版数学九年级上册《2-2圆的对称性（2）》一课，是在学生已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积等知识的基础上，进一步探究圆的对称性。
教材通过丰富的实例，引导学生认识圆是轴对称图形，理解圆的对称轴的性质，掌握圆的对称性的应用。
本节课的内容在数学知识体系中具有重要的地位，对培养学生的空间想象能力和抽象思维能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对圆的概念和性质有一定的了解。
但是，对于圆的对称性的认识和理解还有待提高。
此外，学生对于轴对称图形的概念可能还比较模糊，需要通过具体的实例和操作来加深理解。
在学生的学习过程中，可能存在对圆的对称性应用不够熟练的情况，需要在教学中加强练习和巩固。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握圆的对称性，理解圆的对称轴的性质，能运用圆的对称性解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探究、积极思考的良好学习习惯。
四. 教学重难点1.重点：圆的对称性，圆的对称轴的性质。
2.难点：圆的对称性的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究圆的对称性。
2.利用多媒体辅助教学，直观展示圆的对称性实例。
3.采用合作学习法，让学生在小组内交流讨论，共同解决问题。
4.运用练习法，加强学生的实践操作和巩固提高。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.圆的相关教具和学具。
3.圆的对称性实例素材。
4.练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的圆对称现象，如圆形的公章、硬币等，引导学生关注圆的对称性，激发学生的学习兴趣。
同时，提问学生：“你们认为圆有哪些性质？”从而自然过渡到本节课的内容。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体展示圆的对称性实例，如圆形的桌面、圆形的窗户等，引导学生观察和思考。
苏科版数学九年级上册《2.2 圆的对称性》教学设计
苏科版数学九年级上册《2.2 圆的对称性》教学设计一. 教材分析《苏科版数学九年级上册》第二章“圆”的第三节《2.2 圆的对称性》的内容，主要介绍了圆的对称性质，包括圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，圆的对称轴是直径所在的直线，以及圆的对称性质在实际问题中的应用。
本节内容是学生对圆的基本性质的进一步理解，也是对圆的轴对称性质的深入探究。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中阶段的基本数学知识，对圆的基本性质有一定的了解。
但是，对于圆的对称性质的理解可能还不够深入，需要通过本节课的学习，使学生对圆的对称性质有更深刻的理解。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解圆的对称性质，能运用圆的对称性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、推理等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神和合作意识。
四. 教学重难点1.圆的对称性质的理解。
2.圆的对称性质在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法等，引导学生通过观察、操作、推理等活动，自主探究圆的对称性质。
六. 教学准备1.教学课件。
2.练习题。
3.圆规、直尺等作图工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的对称图形，如圆、圆环、圆形的桌面等，引导学生观察这些图形的对称性质，引出圆的对称性质的学习。
2.呈现（10分钟）用课件展示圆的对称性质，包括圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，圆的对称轴是直径所在的直线。
同时，让学生用圆规、直尺等作图工具，实际作图，验证圆的对称性质。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，利用圆的对称性质，解决一些实际问题，如如何用圆规和直尺画一个特定角度的圆弧，如何判断一个图形是否是圆的对称图形等。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些练习题，巩固对圆的对称性质的理解。
5.拓展（5分钟）引导学生思考圆的对称性质在实际问题中的应用，如圆形的桌面如何摆放才能使每个人到桌子的距离相等，如何设计圆形的图案等。
2014新版浙教版九年级数学上3.2圆的轴对称性(2)ppt课件
结论
O A E D B
｝｛
CD⊥AB
EA=EB
直径平分弧
｛
（1）直径(或过圆心的直线)垂直于弦
（2）直径平分弦
请你用命题的形式表述你的结论?
平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
直径(或过圆心的直线)垂直于弦
｛
（1）直径平分弦
（2）直径平分弦所对的弧
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
(1)当两条弦在圆心的两侧时 C
A
●
O B
D
(2)当两条弦在圆心的同侧时
C
A
●
O B
D
师生共同总结：
１．本节课主要内容： 垂径定理的另两个定理．
2．垂径定理的应用： （1）计算（2）证明．
3．解题的主要方法： （1）连接弧的中点与圆心和画半径是圆中常见的辅助线； （2）已知弦长,弓形高,求半径（或弦心距)时,经常利 用的勾股所对是弦的长)
为36m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7m，求桥拱 的半径.
练习2：如图，在直径为130mm的圆铁片上切下一
块高为32mm的弓形铁片,求弓形的弦AB的长.
32mm B O
A
已知圆O的半径为5cm,AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm, 求AB与CD间的距离.
EA=EB (AB非直径)
结论
O
｝｛
CD⊥AB ⌒ ⌒ AC=BC ⌒ AD=BD
A
E D
B
直径平分弦(非直径)
｛
（1）直径(或过圆心的直线)垂直于弦
（2）直径平分弦所对的弧
请你用命题的形式表述你的结论?
青岛版-数学-九年级上册- 圆的对称性(2) 教学案2
3.1 圆的对称性 教学案（二）一、教与学目标：1．知道圆是中心对称图形并能说出对称中心.2．会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题.二、教与学重点难点：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题.三、教与学方法：自主探究，合作交流四、教与学过程：（一）、情境导入：（1）什么是中心对称图形?（2）我们采用什么方法研究中心对称图形?（二）、探究新知：1、问题导读：（1）将一个圆绕它的圆心旋转任意一个角度，你有什么发现？（2）圆是中心对称图形吗？如果是，哪个点是它的对称中心？（3）什么是圆心角（4）由圆的中心对称性，你还能发现圆的哪些性质？2、合作交流：按照下列步骤进行小组活动：（1）在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O 和⊙O′（2）在⊙O 和⊙O′中,分别作相等的圆心角∠AOB 、∠'''B O A ，连接AB 、A′B′.（3）将两张纸片叠在一起，使⊙O 与⊙O′重合，∠AOB 与∠'''B O A 重合。
在操作的过程中，你有什么发现，请与小组同学交流.（4）如果将2中的∠AOB =∠'''B O A 换为AB= A′B′或AB=A′B′，你能发现什么结论？（5）如果将2中两个圆心角相等改为多个圆心角相等，你能得出哪些结论？’ ’利用这一性质，你能画出正n 边形。
3、精讲点拨：（1）上述三个方面的定理可以总结为：圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.注意：“同圆或等圆中”是定理的先决条件.（2）利用圆的中心对称性，可以作出正n 边形，正六边形是非常特殊的正多边形，它的边长等于其外接圆的半径（三）、学以致用：1、巩固新知：（1）如图,已知⊙O 、⊙O '半径相等，AB 、CD 分别是⊙O 、⊙O '的两条弦。
若AB=CD ，则 ，若AB= CD ，则 ，若∠AOB=∠CO 'D ，则 ，（2）完成课本71页例3，72页练习1、2.，32、能力提升：（3）如图,AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，如果∠AOC=∠BOC ，那么∠ABC 与∠BAC 相等吗？为什么？（4）如图，在⊙O 中，AC=BD ，∠AOB=50°,求∠COD 的度数．（四）、达标测评：1、选择题：（1）下列命题中，真命题是（ ）A ．相等的圆心角所对的弧相等B ．相等的弦所对的弧相等C ．度数相等的弧是等弧D ．相等的弧所对弦相等（2）在同圆中，若AB=2CD ，则AB 与2CD 的大小关系是（ ） O ’ D C OB AA．AB>2CD B．AB<2CD C．AB=2CD D．不能确定2、填空题：（3）一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为．（4）如图，AB是⊙O的直径，BC = CD = DE,∠BOC=40°，则∠AOE的度数是度3、解答题：（4）（5）如图，在⊙O中，AB=AC，∠A=40°,求∠B的度数．（6）如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，CE的度数为40°，求∠AOC 的度数.（7）如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB=DC，AC与BD相等吗？为什么？五、课堂小结：（1）谈一谈，这节课你有哪些收获？(2) 对于本节所学内容你还有哪些疑惑？六、作业布置：练习74页2题3题七、教学反思：。
5.2圆的对称性(2)学案(五四制)数学九年级下册
5.2圆的对称性（2）【自主探究】知识点：弧的度数，圆心角定理1.一平角=________度，一周角=_______度.2.把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角的度数=________度. 整个圆被等分成 份，每一份这样的弧叫做1度的弧.这样：1度的圆心角所对的弧是1度的弧，n 度的圆心角所对的弧是n 度的弧.1度的弧所对的圆心角度数是1度，n 度的弧所对的圆心角度数是n度.圆心角定理：圆心角的度数和它所对的弧的度数_________.针对训练1. 圆心角是24度，那么它所对的弧是________度.2. 圆上有两点A 、B 劣弧AB 的度数为120°，那么劣弧AB 所对的圆心角的度数为 .12AB CD O O 和分别是和的弧。
判断下列说法是否正确。
(1)如果12AB CD B CO D ==的度数的度数，那么∠AO ∠. ( )(2)如果AB CD AB CD ==的度数的度数，那么. ( )(3)如果,AB CD AB CD ==那么的度数的度数 . （ ）【基础巩固】1.如图，已知AB 、CD 是⊙O 的直径，＝，∠BOD ＝32°，则∠COE 的度数为 .2.如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，若BC ＝CD ＝DA ＝4cm ，则⊙O 的周长为 cm ．3.若⊙O的弦AB等于半径，则AB所对的圆心角的度数是 .4.如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，弦CE//AB，弧CE的度数为80°,求∠AOD的度数.⊙O中，已知弦AB=43cm，OA=4cm,求弦AB所对的两条弧的度数.【素养提优】1.⊙O经过五边形OABCD的四个顶点，若150ABD的度数为°，∠A=65°，∠D=60°，则BC的度数2.如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE,使CD=CO。
若40AD的度数为°，求BE的度数.【中考链接】（2022年东营）如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC ＝40°，则∠AOC的度数为．【方法提炼】在解决圆心角度数问题时，常用的辅助线有：1.连半径，得到圆心角；2.作弦心距，连半径，构造由半径、弦心距、弦长一半组成的直角三角形。
苏科版九年级上5.2圆的对称性(二)课件
M└
●
O
条件
CD为直径 CD⊥AB
D
B
CD平分弧ADB
基本图形：
C
A
M└
●
B O
D
例1 已知：如图，在以O为圆心的两个 同心 圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AC与 BD相等吗？为什么？O ABiblioteka .D BC
P
例题解析
例2：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8㎝， 圆心O到AB的距离为3 ㎝，求圆O的半径。
圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
●
O
探索规律
AB是⊙O的一条弦. 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由.
C
A
M└
●
B O
O
D A B
C
【挑战自我】
画一画 如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
C A
●
【相关概念】 B 【巩固训练】
最长弦与最短弦
O
如图，M为半径为5的⊙O内的一点， 且MO=3,在过点M的所有⊙O的弦中， 弦长为整数的弦共有 条，
D
思考题:如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
A
F
D O E C
B
小结：
1：圆是轴对称图形 2：垂径定理及其运用
初中数学九年级上册 （苏科版）
5.2. 圆的对称性(2)
复习
如图，若AB=CD则（ ⌒ ⌒ 若 AB=CD 则（
九年级数学北师大版初三下册--第三单元3.2《圆的对称性》课件
归纳
知2－导
1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦相等.
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分 别相等.
（来自教材）
知2－讲
例2 下列命题中，正确的是( C ) ①顶点在圆心的角是圆心角；
形、圆、等腰三角形，这些图形中只是轴对称图
形的有( A )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
知1－练
4 【2017·黄石】下列图形中既是轴对称图形，又是 中心对称图形的是( D )
知2－导
知识点 2 圆心角与所对的弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那 么它们所对的弦相等 吗？这两个圆心角相等吗？你是怎 么想的？
②相等的圆心角所对的弧也相等；
③在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．
A．①和②
B．②和③
C．①和③
D．①②③
知2－讲
导引：①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角， 故正确；②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等 的圆心角所对的弧才相等，故错误；③根据弧、弦、 圆心角之间的关系定理，可知在等圆中，若圆心角相 等，则所对的弦相等，若圆心角不等，则所对的弦也 不等，故正确．
总结
知2－讲
本题考查了对弧、弦、圆心角之间的关系的理解，对于 圆中的一些易混易错结论应结合图形来解答．特别要注 意：看是否有“在同圆或等圆中”这个前提条件．
知2－练
1 下面四个图形中的角，是圆心角的是( D )
知2－练
2 如图，AB为⊙O的弦，∠A＝40°，则A︵B所对的 圆心角等于( C ) A．40° B．80° C．100° D．120°
初中数学苏科版九年级上册2.2 圆的对称性
Ｏ
3.如图，在半径为13的⊙O中，OC垂直弦 AB于点B，交⊙O于点C，AB=24，则CD 的长为_7_____。
●O
A
D
B
C
4：如图, ⊙O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直
径CE⊥AB于D， 则半径OC=_5_____。
E
O
x D x-2
A
4
B
2
C
如 图 ， ⊙ O 的 半 径 为 5 ， 弦 AB 的 长 为8，M是弦AB上的动点，则线段OM
垂径定理的应用
5．在横截面为圆形的油槽内装入一些油后，若油面宽 AB = 600mm，圆的直径为650mm，求油的最大深 度.
E
A
600
B
O
O ø650
A
C
B
E
D
600
F
D
谈谈你今天的收获是什么？
C
O
A
EB
D
图3
１．圆是轴对称图形.过圆心的任意一条 直线都是它的对称轴.
２．垂径定理：垂直于弦的直径平分 这条弦,并且平分弦所对的弧.
如图圆形纸片， CD是⊙O直 径．
１．在⊙O上任取一点A，过 A 点A作直径CD的垂线，交⊙O 于点Ｂ，点Ｐ为垂足．·
C
●O
P
B
D
２. 将圆沿着直径CD对折，你有什么发现呢？ 发现：CP=DP,弧AD=弧BD，弧AC=弧BC。
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平 分弦所对的弧.
∵在⊙O中 直径CD⊥AB ∴AP=BP，
米，求⊙O的半径。
A 4E
B
.3
5?
O
２．你知道赵州桥吗？它是１３００多年前 我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤 劳和智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它 的跨度（弧所对的弦的长）为３７．４米， 拱高（弧的中点到弦的距离）为７．２米， 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（精确到 0.1） Ｃ
5.2圆的对称性(2)教学案+课堂作业(南沙初中九年级上)
南沙初中初三数学教学案教学内容：5.2圆的对称性 (2)课型：新授课学生姓名：______ 教学目标：1、使学生通过观察实验理解圆的轴对称性；2、掌握垂径定理，理解垂径定理的推证过程；3、能初步应用垂径定理进行计算和证明．4、进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力．教学重点：垂径定理及应用．教学难点：垂径定理的证明教学过程：一、知识回顾1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做__________________，这条直线叫做_______________。
2、圆是中心对称图形，_________是它的对称中心；圆具有_________性。
二、操作与探索提出问题：“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？操作：①在圆形纸片上任画一条直径；②沿直径将圆形纸片折叠，你发现了什么？结论：圆也是_________图形，___________________________它的对称轴。
三、探究与思考1.判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心；如果是轴对称图形，指出它的对称轴。
2.(1) 将第一个图中的弦AB改为直径（AB与CD相互垂直的条件不变），结果如何？(2)将第二个图中的直径AB改为怎样的一条弦，它将变成轴对称图形？3、思考：如何确定圆形纸片的圆心？四、尝试与交流1、如图，CD是⊙O的弦，画直径AB⊥CD，垂足为P，将圆形纸片沿AB对折。
通过折叠活动，我们可以发现：___________________________。
2、你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）3、得出垂径定理:____________________________________________________.4、注意：①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。
5、几何语言:五、例题解析例1、如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D，AC与BD相等吗？为什么？例2、如图，已知：在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3。
初中数学北师大版九年级下册《2圆的对称性》课件
2.2 圆的对称性
学习目标
1.掌握圆是轴对称图形及圆的中心对称性和旋转不变性. 2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.（重点） 3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义. （难点）
情境引入
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？
O.
AD BC，
AOD BOC.
A
D
AOD+BOD=BOC+BOD.
即AOB COD，
AB=CD.
随堂练习
5.如图，已知OA，OB是⊙O的半径，点C为AB的中点，M， N分别为OA，OB的中点，求证：MC=NC.
O
M
N
A
B
C
课堂小结
1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 2.在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角_相__等__， 所对的弦_相__等_____； 3.在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角_相__等___，所对的弧_相__等______．
在同圆或等圆中，两个圆心角、两条 弧、两条弦中有一组量相等，它们所 对应的其余各组量也相等．
数学北师大版 九年级下
2.2 谢谢大家
想一想
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以
探究
在同圆中，
︵︵
（1）如果 AB A' B '. 那么∠AOB＝∠A′OB′，
成立吗 ?
（2）如果∠AOB＝∠A′OB′，
那么
︵
︵
AB A ' B '.
成立吗 ?
2022-2023学年鲁教版(五四制)数学九年级下册 圆的对称性 课件PPT
感悟新知
1-1. 下列说法中，不正确的是( D ) A. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与它自身重合 C. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D. 圆的每一条直径都是它的对称轴
感悟新知
知识点 2 圆心角、弧、弦之间的关系
1. 圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，相等的 圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
AB，求证：BC = AE.
解题秘方：构造圆心角，利 用“相等的圆心角所对的弧 相等”证明
感悟新知
证明：如图3-2-2，连接OE. ∵ OE=OC，∴∠ C= ∠ E. ∵ CE ∥ AB， ∴∠ C= ∠ BOC，∠ E= ∠ AOE.
︵︵ ∴∠ BOC= ∠ AOE. ∴BC = AE.
感悟新知
以不能说“圆的对称轴是直径”.
感悟新知
例 1 下列命题中，正确的是( A ) A. 圆和正方形都既是轴对称图形，又是中心对称 图形 B. 圆和正方形的对称轴都有无数条 C. 圆和正方形绕其对称中心旋转任意一个角度， 都能与原来的图形重合 D. 圆和正方形都有有限条对称轴
感悟新知
解题秘方：紧扣圆和正方形的轴对称性及中 心对称性进行辨析. 解：圆和正方形都既是轴对称图形，又是中心对称图形， 所以A 中命题正确；圆的对称轴有无数条，正方形的对 称轴有4 条，所以B，D 中命题错误；圆绕其对称中心 旋转任意一个角度都能与原来的图形重合，而正方形只 有绕它的对称中心旋转90°的整数倍才能与原图形重合， 所以C 中命题错误.
警示误区 不能忽略在同圆或等圆中这个前提，如果丢掉了这
个前提，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等.
感悟新知
2. 示例 弧、弦、圆心角的关系 ︵︵
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[单选,A2型题,A1/A2型题]鉴别慢性粒细胞白血病与类白血病反应的要点是（）.A.周围血涂片找到幼稚粒细胞B.周围血涂片找到幼稚红细胞C.是否有贫血及血小板减少D.Ph染色体阳性E.骨髓增生明显活跃 [单选]根据企业所得税法律制度的规定，财产保险企业发生的与生产经营有关的手续费及佣金支出，按当年全部保费收入扣除退保金等后余额的（）计算税前扣除限额。A.5%B.10%C.15%D.30% [单选,A2型题,A1/A2型题]骨折的定义为（）A.骨的完整性或连续性遭到破坏，即称骨折。临床上对骨折的描述，常根据创伤的原因、创伤的解剖部位、骨折线的特点、皮肤或黏膜破裂来命名B.骨受到外力作用产生损害，即称骨折C.骨积劳断裂即称骨折D.骨受到外力作用产生损害，即称骨折。临 [填空题]相对于其他的练习体系，普拉提比较安全，（）冲击力，适合各个年龄层。 [单选,A2型题,A1/A2型题]组成蛋白质的氨基酸在自然界存在的差异是（）。A.种族差异B.个体差异C.组织差异D.器官差异E.无差异 [单选]产后子宫缩小至妊娠12周大小，需要时间为（）.A.1周B.2周C.3周D.4周E.5周 [单选]脊柱骨折造成脊髓半横切损伤，其损伤平面以下的改变是（）A.双侧肢体完全截瘫B.同侧肢体运动消失，双侧肢体深浅感觉消失C.同侧肢体运动和深感觉消失，对侧肢体痛温觉消失D.同侧肢体运动和痛温觉消失，对侧肢体深感觉消失E.同侧肢体痛温觉消失，对侧肢体运动及深感觉消失 [判断题]轴流泵叶轮长期浸入水中，容易引起汽蚀。A.正确B.错误 [单选,A2型题,A1/A2型题]癌症疼痛器质性原因不包括（）A.肿瘤刺激骨膜、破坏骨质引起疼痛B.颅内肿瘤长大、颅内压增高时头痛剧烈C.肿瘤直接浸润，侵犯神经，引起神经走行区疼痛D.手术、放疗、化疗直接损伤神经，引起医源性疼痛E.肿瘤长大、膨胀，压迫器官，引起缺血、坏死而致疼痛 [单选,A1型题]情绪可通过哪些系统的生理反应对人体的健康产生影响（）。A.呼吸系统、循环系统和泌尿系统B.神经系统、循环系统和泌尿系统C.呼吸系统、循环系统和免疫系统D.神经系统、内分泌系统和免疫系统E.呼吸系统、内分泌系统和免疫系统 [判断题]套期保值者通过预期某期货合约的未来走向，进行买卖操作以获取价格波动差额。（）A.正确B.错误 [单选]胰位于十二指肠的弯曲中，其内分泌部又名胰岛，下列选项中不是胰岛分泌的是？（）A、胰岛素B、胰液C、胰高血糖素 [单选]按照规定不需要在工商管理机关办理注销登记的，应当自有关机关批准或者宣告终止之日起（），持有关证件向原税务登记管理机关申报办理注销税务登记。A.10日内B.15日内C.30日内D.45日内 [单选]下列关于大额支付系统参与者的描述，错误的是（）。A、发起行是向发起清算行提交支付业务的参与者。B、国家处理中心是接收、转发支付信息，并进行资金清算处理的机构。C、发起清算行不可作为发起行向支付系统发起支付业务。D、发报中心是向国家处理中心转发发起清算行支付信 [单选,A1型题]Apgar评分判断新生儿临床恶化的顺序（）A.皮肤颜色-呼吸-反射-肌张力-心率B.皮肤颜色-反射-肌张力-呼吸-心率C.皮肤颜色-肌张力-反射-呼吸-心率D.皮肤颜色-呼吸-肌张力-反射-心率E.心率-皮肤颜色-肌张力-反射-呼吸 [单选]在企业有盈利，需要追加外部投资的情况下，下列有关外部融资需求的表述正确的是（）。A.销售增加，必然引起外部融资需求的增加B.销售净利率与外部融资需求成正比关系C.股利支付率与外部融资需求成正比关系D.资产周转率的提高必然引起外部融资额增加 [判断题]船舶起居室失火后，火势迅速顺着上层建筑内的走廊及楼梯、门。窗向周围相邻的起居室蔓延。A.正确B.错误 [单选,A1型题]健康喂养的3个月婴儿，体重5kg。用牛奶喂养，每天应给予（）A.8％糖牛奶（ml）5.50另给水分（ml）200B.8％糖牛奶（ml）450另给水分（ml）200C.8％糖牛奶（ml）600另给水分（ml）100D.8％糖牛奶（ml）500另给水分（ml）300E.8％糖牛奶（ml）650另给水分（ml）200 [单选]下列有关直接法荧光抗体染色技术的叙述，错误的是（）A.简单易行，特异性好B.敏感性较间接法差C.可对抗原或抗体作检测D.检测一种抗原需要制备一种荧光抗体E.结果直观，易于判断 [单选,A2型题,A1/A2型题]不索取和非法收受患者财物；不收受医疗器械、药品、试剂等生产、经营企业或人员以各种名义、形式给予的回扣、提成；不违规参与医疗广告宣传和药品医疗器械促销”体现了哪项基本行为规范（）A.廉洁自律，恪守医德B.遵纪守法，依法执业C.严谨求实，精益求精 [单选]制作布氏硬度的试样面应是：（）。A.光滑平面B.留有氧化铁皮C.任一表面 [单选]某企业生产甲产品，属于可比产品，上年实际平均单位成本为300元，上年实际产量为1800件，本年实际产量为1000件，本年实际平均单位成本为298元，则本年甲产品可比产品成本降低额为()元。A.1000B.2000C.3000D.0 [单选]减轻农民负担工作大体经历了（）个阶段。A.2B.3C.4D.5 [名词解释]跑卫 [单选,A1型题]乳腺癌出现表面皮肤凹陷的机制是（）A.癌细胞堵塞乳房皮下淋巴管B.癌肿侵入乳腺管使其收缩C.癌细胞浸润大片皮肤D.癌肿侵犯Cooper韧带使其收缩E.以上都不是 [单选]关于勃起功能障碍的检查，属于主观指标的是（）A.国际勃起功能评分B.夜间勃起实验C.阴茎海绵体注射实验D.球海绵体肌反射潜伏时间E.性激素检查 [单选]依据《建设工程质量管理条例》关于见证取样的规定，()无需取样送检，即可用于工程。A.水泥B.焊剂C.防水卷材D.钢筋垫块 [单选]下列（）船舶必须配备《程序和布置手册》。A、每艘散装运输有毒液体物质的船舶；B、每艘散装运输IBC规则第17章和第18章所列货品的船舶；C、每艘散装运输IBC规则和BCH规则第17章和第18章所列货品的船舶；D、每艘散装运输根据有毒液体物质分类指南确定为A类、B类、C类、D类有 [单选]（）是调查取证任务能否顺利完成的重要保证。A、成立调查组B、明确调查取证内容C、正确的方法与步骤D、严格的调查取证纪律 [单选,A2型题,A1/A2型题]儿童鼻咽部触诊时，要用左手食指紧压患儿颊部是为了（）。A.让口张的更大，以便于检查B.帮助固定患儿头部C.减轻患儿的咽部反射D.防止被患儿咬伤E.保护患儿的口角 [单选]注意的转移是指（）A．注意的对象由一个事物转到另一个事物B．意识能长时间地保持在所选择的对象上C．任务要求时意识由一个对象转到另一个对象D．同一时间内把意识指向不同的对象 [单选]印刷的要素不包括（）。A.原稿B.承印物C.图文载体D.校样 [单选]脑梗死的病因中，最重要的是（）A.动脉硬化B.高血压C.动脉壁炎症D.真性红细胞增多症E.血高凝状态 [单选]分离结合态与游离态放射性标记抗原不完全时会增加（）A.特异性结合量B.非特异性结合量C.敏感度D.精确度E.反应速率 [单选]质量发展是（）之道、（）之策。A.兴国、强国；B.治国、立国；C.立国、强国。 [多选,案例分析题]上海市嘉定区某乡办化工厂生产"油溶黑"染料，主要原料为硝基苯、苯胺。××××年8月17日下午1时，工人张某在常规操作加入苯胺时，由于管道陈旧，导致管道爆裂，苯胺沾染衣服和皮肤，经简单清洗换衣后继续工作，下班后感到头晕、恶心、呼吸困难，继而出现口唇、 [问答题,简答题]凝气设备的组成有哪些？ [单选]早期妊娠的辅助检查，正确的是（）.A.乳胶凝集实验有凝集现象BBT双相高温持续2周不降，早孕的可能性大C.B超显示于妊娠第5周后即可见妊娠环D.宫颈黏液涂片检查可见羊齿状结晶E.妊娠7~8周超声多普勒呈阴性 [单选]未经广告审查机关审查批准，发布广告的，由广告监督机关责令有责任的广告主、广告经营者、广告发布者停止发布，没收广告费用，并处广告费用（）的罚款。A.1倍以上3倍以下B.2倍以上4倍以下C.1倍以上5倍以下D.2倍以上5倍以下 [单选]下列债的履行中，属于适当履行的有：（）A.甲、乙、丙三人各出资3万元合伙办了一个玩具厂，不想经营失策，亏损12万元，债权人张某要求甲承担全部还款责任，甲只承担了属于自己份额的4万元B.王某（画家）和某书店签订协议，王某将为该书店作画5幅，