热力学统计物理(第四版汪志诚)答案及习题解答

p1

T
T2
T1 .
（3）
将式（2）积分得到式（3）首先意味着，经准静态等容过程后，系统在初态
和终态的压强差和温度差满足式（3）。 但是应当强调，只要初态 V , T1 和终 态 V , T2 是平衡态，两态间的压强差和温度差就满足式（3）。 这是因为，平
衡状态的状态参量给定后，状态函数就具有确定值，与系统到达该状态的历 史无关。 本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。 在加热 过程中，铜块各处的温度可以不等，铜块与热源可以存在温差等等，但是只 要铜块的初态和终态是平衡态，两态的压强和温度差就满足式（3）。
dp .

（4）
选择图示的积分路线，从 (T0, p0) 积分到 T, p0 ，再积分到（T, p ），相应地体
积由V0 最终变到V ，有 即
ln V =ln T ln p ,
V0 T0
p0
pV p0V0 C （常量），
T
T0
或
p V C. T
（5）
式（5）就是由所给
1, T
将所给数据代入，可得
p2

p1

4.85 105 7.8 107
10

622
pn .
因此，将铜块由 0 C 加热到10 C ，要使铜块体积保持不变，压强要增强 622 pn （b）1.2 题式（4）可改写为
V V1
T2
T1 T
p2

p1 .
（4）
将所给数据代入，有
T

1 求得的物态方程。
p
确定常量
C
需要进一步的
实验数据。
2
1.3 在 0 C 和 1 pn 下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为 4.85 105 K1和T 7.8 107 pn 1 . 和T 可近似看作常量，今使铜块加热至10 C 。 问：
（a）压强要增加多少 pn 才能使铜块的体积维持不变？（b）若压强增加 100 pn ，铜块的体积改变多少？
第一章 热力学的基本规律
1.1 试求理想气体的体胀系数 ,压强系数 和等温压缩系数 。 解：已知理想气体的物态方程为
pV nRT,
（1）
由此易得

1 V
V T
p

nR pV
1 T
,


1 p p T
V

nR pV
1 T
,
T

1 V

1 T
,T

1 p
，试求物态方程。
解：以T, p 为自变量，物质的物态方程为
V V T, p,
其全微分为
全式除以V ，有
dV


V T
p
dT



V p
T
dp.
（1）
dV V
1 V
V T
p
dT
1 V
V

p
T
dp.
根据体胀系数 和等温压缩系数T 的定义，可将上式改写为
1
dV V
dT T dp.
上式是以T, p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有
lnV dT T dp.
若

1 T
,
T
Baidu Nhomakorabea

1 p
，式（3）可表为
（2） （3）
lnV



1 T
dT

1 p
（4）
如果取 p0 0 ，即有
V T, p V T0, 0 1 T T0 T p.
（5）
1.5 描述金属丝的几何参量是长度 L ，力学参量是张力 J，物态方程是
f J, L,T 0
实验通常在 1 pn 下进行，其体积变化可以忽略。 线胀系数定义为
4
解：由物态方程
f J, L, T 0
（1）
知偏导数间存在以下关系：
L T
J

T J
L

J L T

1.
（2）
所以，有

J T
L



L T
V

p
T



1 V



nRT p2


1. p
（2） （3） （4）
1.2 证明任何一种具有两个独立参量T, p 的物质，其物态方程可由实验测 得的体胀系数 及等温压缩系数 ，根据下述积分求得：
lnV = αdT κT dp
如果
a）根据 1.2 题式（2），有
dV V
dT
T dp.
（1）
上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差 dV ，温度差 dT 和压强差 dp 之
间的关系。如果系统的体积不变， dp 与 dT 的关系为
dp dT.
T
（2）
在 和T 可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得
p2

等温杨氏模量定义为


1 L

L T
J
Y

L A
J L T
其中 A 是金属丝的截面积，一般来说， 和Y 是 T 的函数，对 J 仅有微弱
的依赖关系，如果温度变化范围不大，可以看作常量，假设金属丝两端固定。
试证明，当温度由1 降至2 时，其张力的增加为
J YA T2 T1
有
ln V V0
T
T0 T
p
p0 ,
（2）
或
V T , p V T0, p0 e . T T0 T p p0
（3）
考虑到 和T 的数值很小，将指数函数展开，准确到 和T 的线性项，有
V T, p V T0, p0 1 T T0 T p p0 .
V (T, p) V0 T0, 0 1 T T0 T p.
解: 以T, p 为状态参量，物质的物态方程为
V V T, p.
根据习题 1.2 式（2），有
dV V
dT
T dp.
（1）
将上式沿习题 1.2 图所示的路线求线积分，在 和T 可以看作常量的情形下，
3
V 4.85105 10 7.8107 100 V1
4.07 104.
因此，将铜块由 0 C 加热至10 C ，压强由1pn 增加100 pn ，铜块体积将增加原体 积的 4.07104 倍。
1.4 简单固体和液体的体胀系数 和等温压缩系数T 数值都很小，在一 定温度范围内可以把 和T 看作常量. 试证明简单固体和液体的物态方程可 近似为