雅可比行列式

§11.2 .函数行列式

教学目的 掌握函数行列式．

教学要求

(1)．掌握函数行列式

的映射（或变换）就是12,,,,,,)n n x y y y f A ∈⊂,)n f ，设它们对每个自变量都存在偏导数121

212n n n

n n n

f x f x x x f f f x x x ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 称为函数组12(,,)n f f f 在点12,(,)n x x x 的雅可比行列式，也称为函数行列式，表为

121212,12,(,,

)(,,

) (,)(,)

n n n n f f f D f f f x x x D x x x ∂∂或.

例：求下列函数组（变换）的函数行列式：

1.极坐标变换

2.柱面坐标变换

.

(,)(,)(,)

∂∂∂

s t x y s t

证明：由复合函数的微分法则，有

由行列式的乘法，有

(,)(,)(,)(,)u

u x x x y u v x y s t v

v y y x y s t x y s t

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂. 若一元函数()y f x =在点0x 某邻域具有连续的导数()f x '，且0()0f x '≠.由连续函数的保号性，在点0x 某邻域0,()()f x f x ''∆与保持同一符号，因而在∆函数()y f x =严格单调，它

.三、函数行列式的几何性质

一元函数()y f x =是1R 到1R 的映射.取定一点0x ，它的象是00()y f x =.当自变量x 在点0x 有改变量x ∆，相应y 在0y 有改变量y ∆.线段y ∆的长y ∆与线段x ∆的长x ∆之比y

x 称

为映射f 在0x 到0x x +的平均伸缩系数，若当0x →时平均伸缩系数y

x 存在极限，即 0000()()lim lim '(x x y f x x f x f x x

→→+-==是映射 f 在点0x 的伸缩系数.

)G ∈，(