914768-数字图像处理-数字图像处理第二章(第五讲)离散余弦变换、KL变换
-02离散余弦变换
数字电视信号的压缩
压缩编码的几种常用方法----变换编码： 压缩编码的几种常用方法----变换编码： ----变换编码 （3）空间频率系数按 一定规律分布。 低频空间频率系数 很大，能量主要集中在 直流和低频空间频率的 系数上，高频空间频率 系数很小。
数字电视信号的压缩
压缩编码的几种常用方法----变换编码： 压缩编码的几种常用方法----变换编码： ----变换编码 4.离散余弦变换编码的例子 ：
1 , u, v = 0 C (u ), C (v ) = 2 1, u , v = 1,2,...., N − 1
数字电视信号的压缩
压缩编码的几种常用方法----变换编码： 压缩编码的几种常用方法----变换编码： ----变换编码 2.二维离散余弦变换 可以看出，DCT和 IDCT的变换是可分离的， 即二维变换可以分解成串联的两次一维变换。
Tm TH
m=3,n=0 m=4,n=0
m=7,n=0
图像的空间频率与行频的关系:
TH Tm = m
f m = mf H
数字电视信号的压缩
压缩编码的几种常用方法----变换编码： 压缩编码的几种常用方法----变换编码： ----变换编码 空间频率和场频
Tn Tv
m=0,n=3
m=0,n=4
图像的空间频率与场频的关系:
数字电视信号的压缩
压缩编码的几种常用方法----变换编码： 压缩编码的几种常用方法----变换编码： ----变换编码
量化表(Quantization Tables)
每个F[u,v]分别除以一个常数Q(u,v)。 Q(u,v)组成的矩阵称为量化表。 每个F[u,v]分别除以一个常数Q(u,v)。由Q(u,v)组成的矩阵称为量化表 F[u,v]分别除以一个常数Q(u,v) 组成的矩阵称为量化表 16 12 14 14 18 24 49 72 11 12 13 17 22 35 64 92 10 14 16 22 37 55 78 95 16 19 24 29 56 64 24 26 40 51 40 58 57 87 51 60 69 80 103 61 55 56 62 77
数字信号处理——离散余弦变换
n 0 N 1
很容易证明：
V k ) W k / 2S (k ) or S k ) W2Nk / 2V (k )，0 k N 1 （ （ 2N
k / 2 N 1 nk V k ) 2 W2 N x(n)W2 N ， （ n 0
0 k N 1
12
N 1
N 1
能量积聚特性 正交变换保存了信号的能量，或 N 维空间中的 矢量 x 的长度。所有正交变换都是矢量 x在 N 维空间中的旋转。大多数正交变换取向将能量 的大部分转移到相对较少的变换系数分量上。 例7.5.1 已知离散时间正弦信号
x(n) cos(2 k0 n / N ), 0 n N 1
1 + 2N
2 N 1 k N N
S k )W2 nk （ N
1 nk （ S k )W2 N + 2 N k 0
N 1
S N m)W2 ( 2 N m ) n （2 N
m 1 * S（k )W2kn N k 1
9
1 1 S ) （0 2N 2N
1 nk （ S k )W2 N + 2 N k 1
7.6
小结
• 主要介绍DFT及它的性质与应用,另外,通过对序 列的谱做取样导出了IDFT。 • 对离散时间信号谱做频域取样是相当重要的。 DFT具有特殊意义。已经证明, DFT在频域可唯 一表示有限时宽序列。 • 对DFT, 存在有效算法使得在频域用数字计算方 法处理信号远快于在时域所进行的处理。 • 特别适宜DFT的处理方法包括线性滤波和频谱 分析。 • DCT。
N
用DFT表示一个N点序列x(n)，其形式是复指数的 线性组合，所以即使x(n)是实数，DFT系数也通常是 复数。
第二章正交变换、K-L变换与离散余弦变换.
Chapter 2 Orthogonal Transform, K・LTransform and Discrete Cosine Transform本章主要内容•信号矢量空间的概念•正交分解和正交变换•K丄分解•DCT变换1信号矢量空间的概念1.1空间的基本概念•从数学的观点看，“集合”等效于空间。
比如，实数集合构成一维实数空间，记为复数集合构成维复数空间，记为C】。
• 一般我们研究的是带有一矩规律的“空间”，最常见的是“线性空间” o粗略的说，线性空间指这样一种集合，其中任意两元素的线性组合得到集合内的另一元索。
•把集合中的元素和信号Z间建立对应关系，我们就町以把线性空间理解为信号欠星空间。
1.2常见的线性空间• N维实数空间RN和N维复数空间CN•连续时间信号空间厶，定义在复数或实数域上，时间变量为实数：无穷维空间•离散时间信号空间定义在复数或实数域上，自变量为整数：无穷维空间或有限维空间1.3 范数（norm ）•范数是矢量长度的度量，与信号的能量特性 和关 •线性空间中元素X 的范数以符号llxll 表示，满 足以下公理（1） 半 lE 定性：||x|| > 0 , |x||= 0 iff x=0（2） 正齐性：||ox||=I ^IH |（3） 三角不等式：||x +y||<||x||+H1.4 RN 和CN 的范数•空间元素* =（“宀，…宀）的卩（"为实数） 阶范数定义为：•常用范数为一阶，二阶和无穷阶范数，其中 在两维或三维实数空间中，二阶范数就是欠 量的长度，称为欧式（Euclidean ）范数或欧式 矩。
maxI < p < 001.5厶和/的范数J |“)|Ssup|x(r)|,1 < /? < ocp —> QO1・6信号空间1、2和oo阶范数的物理意义•信号作用的强度WI,=血)随■ 814=丘卜")1 M- Y®•信号的能量1 / 78卜冷匚卜⑴S 2［艺卜(/1n=Y•信号的幅度卜IL = sup{ |x(/)|}1.7赋范线性空间•定义了范数的线性空间称为赋范线性空间。
离散余弦变换
可逆性
DCT是可逆的，意味着经过变换和压缩后的图像可以通过 反变换和反压缩完全恢复到原始状态，不会产生任何失真 或损失。
广泛的应用
由于DCT的高效性和可逆性，它在图像处理、视频压缩、 信号处理等领域得到了广泛的应用，为各种实际应用提供 领域， 因为它能够有效地去除信号中的冗余信息，减小数据量，提 高存储和传输效率。
离散余弦变换的历史与发展
离散余弦变换的起源可以追溯到1974年，由Ahmed和 Rao提出。起初，它被用于信号处理领域，后来逐渐扩展 到图像和视频处理领域。
随着数字信号处理技术的发展，DCT在图像和视频压缩标 准中得到了广泛应用。JPEG和MPEG等国际标准中采用了 DCT技术，使得图像和视频数据的压缩成为可能。
图像增强
离散余弦变换可以用于图像增强， 通过对图像的频率域进行分析和 操作，改善图像的清晰度和对比 度。
图像去噪
离散余弦变换在图像去噪方面具 有较好的效果，通过去除噪声干 扰，提高图像质量。
在信号处理领域的应用前景
音频处理
离散余弦变换可以用于音频信号的处理，如音频 压缩、音频去噪等。
雷达信号处理
雷达信号处理中，离散余弦变换可以用于信号的 频域分析、目标检测和跟踪等。
理想的压缩效果。
对动态范围 有限制
虽然DCT算法相对简单，但对于大规模的高分辨率图 像，其计算复杂度和时间成本仍然较高，需要更高效 的算法和硬件支持。
06 离散余弦变换的前景与展 望
在图像处理领域的应用前景
图像压缩
离散余弦变换在图像压缩领域具 有广泛应用，通过减少图像数据 的冗余信息，实现高效的图像存 储和传输。
最新第五讲图像变换2离散余弦变换精品课件
0.271
f
(3)
(3—80)
若定义 [ A]为变换矩阵， [ F (u为)]变换系数矩阵， [ f ( x, y)]
为时域数据矩阵，则一维离散(lísàn)余弦变换的矩阵定义 式可写成如下形式
[F(u)] [ A] [ f (x)]
(3—81)
12
第十二页，共47页。
同理，可得到(dédào)反变换展开式
2N
它的基向量(xiàngliàng)是
1, N
2 N
cos (2x 1)u
2N
(3—86)
15
第十五页，共47页。
在高等数学中，切比雪夫多项式的定义(dìngyì)为
1 T0 ( p) N
Tu (z x )
2 N
cosu arccos(z x )
(3—87)
16
第十六页，共47页。
0.271
0.500 [ A] 0.500
0.500 0.500
0.500 0.271 0.500 0.653 0.635 0.271 0.271 0.653
0.500 0.271 0.500 0.653
0.500 0.500 0.500 0.500
0.500 0.653 0.500 0.271
二维离散余弦反变换(biànhuàn)由下式表示
f (x, y) 1 F (0,0) 2 N1 F (0, v) cos (2 y 1)v
N
N v1
2N
2 N1 F (u,0) cos (2x 1)u
N u1
2N
2 N1 N1 F (u, v) cos (2x 1)u cos (2 y 1)v
假设对某幅N×N的图像f(x,y)，在某个传输(chuán shū)通道上传 输(chuán shū)了M次，因会受到各种因素的随机干扰，接收到是 一个图像集合
数字图像处理图像变换
图 图像表示
像 变 换
像素的二维阵列（矩阵） 看成一组正交基合成
傅立叶变换（Fourier Transform) 属于 第二种表示, 把图像看成一组正弦、余弦谐 波合成。
3.1.1 概述
第 为什么要在频率域研究图像增强
三 章
可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。
一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得
图
{f(0),f(1),f(2), ... , f(N–1)}来表示
像 变
{f(x0), f(x0+x) , f(x0+2x), … ,f(x0+(N–1) x)}
换 的等间隔的采样值序列。
3.2.3 离散傅立叶变换
第 三 章
函数f(x0+xx)的离散傅立叶变换对有： 正变换
图 像
Fu
3.2.1 连续傅立叶变换
第 三 章
图
像
v
变
换
u
b) 在斜方向上有正弦波 形状浓淡变化的场合
3.2.1 连续傅立叶变换
第 二维连续傅立叶变换：
三
如果f(x,y)连续可积，并且F(u,v)可积，则
章 存在以下傅立叶变换对，其中u,v为频率变量：图Βιβλιοθήκη 像 变Ffx,
y
F(u,
v)
变 相位：
换
(u,v) = tan-1 (I(u,v) / R(u,v))
模平方（能量谱）：
P(u,v) = |F(u,v)|2 = R2(u,v) + I2(u,v)
3.2.2 卷积
第 这一节研究两个傅立叶变换之间的关系，它构成了
DCT离散余弦变换
DCT 离散余弦变换离散余弦变换(DCT)是N.Ahmed等人在1974年提出的正交变换方法。
它常被认为是对语音和图像信号进行变换的最佳方法。
为了工程上实现的需要，国内外许多学者花费了很大精力去寻找或改进离散余弦变换的快速算法。
由于近年来数字信号处理芯片(DSP)的发展，加上专用集成电路设计上的优势，这就牢固地确立离散余弦变换(DCT)在目前图像编码中的重要地位，成为H.261、JPEG、MPEG等国际上公用的编码标准的重要环节。
在视频压缩中，最常用的变换方法是DCT,DCT被认为是性能接近K-L变换的准最佳变换，变换编码的主要特点有:(1)在变换域里视频图像要比空间域里简单。
(2)视频图像的相关性明显下降，信号的能量主要集中在少数几个变换系数上，采用量化和熵编码可有效地压缩其数据。
(3)具有较强的抗干扰能力，传输过程中的误码对图像质量的影响远小于预测编码。
通常,对高质量的图像，DMCP要求信道误码率，而变换编码仅要求信道误码率。
DCT等变换有快速算法，能实现实时视频压缩。
针对目前采用的帧内编码加运动补偿的视频压缩方法的不足,我们在Westwater等人提出三维视频编码的基础上,将三维变换的结构应用于视频图像压缩,进一步实现了新的视频图像序列的编码方法。
在基于DCT变换的图像压缩编码方法中,对DCT系数必须做量化处理。
量化过程是一个多对一的映射,例如对一个8×8块的64个DCT变换系数分别除以量化步长后取整。
由于大多数DCT变换系数量化后变为零,因而达到压缩的目的。
由于在量化过程中用到除法,因此通常需要进行浮点运算。
但是,可进行浮点运算的数字信号处理器(DSP)芯片结构比定点DSP芯片复杂,价格一般也比定点DSP芯片高很多。
所以数字图像处理系统中通常采用定点DSP芯片来完成图像压缩运算,这种方法已经成为数字图像处理技术的的一个趋势。
可用于数字图像处理的比较好的定点DSP芯片有德州仪器公司新一代高性能定点DSP芯片TMS320C6200系列。
离散余弦变换
离散余弦变换编辑本段基本介绍最常用的一种离散余弦变换的类型是下面给出的第二种类型，通常我们所说的离散余弦变换指的就是这种。
它的逆，也就是下面给出的第三种类型，通常相应的被称为"反离散余弦变换"，"逆离散余弦变换"或者"idct"。
存有两个有关的转换，一个就是线性正弦转换(dstfordiscretesinetransform),它相等于一个长度大概就是它两倍的实奇函数的线性傅里叶转换；另一个就是改良的线性余弦转换(mdctformodifieddiscretecosinetransform),它相等于对交错的数据展开线性余弦转换。
编辑本段主要应用线性余弦转换，尤其就是它的第二种类型，经常被信号处理和图像处理采用，用作对信号和图像(包含静止图像和运动图像)展开有损数据压缩。
这就是由于线性余弦转换具备很强的"能量分散"特性:大多数的自然信号(包含声音和图像)的能量都分散在线性余弦转换后的低频部分，而且当信号具备吻合马尔科夫过程(markovprocesses)的统计数据特性时，线性余弦转换的回去相关性吻合于k-l转换(karhunen-loève转换--它具备最优的回去相关性)的性能。
例如，在静止图像编码标准jpeg中，在运动图像编码标准mjpeg和mpeg的各个标准中都使用了离散余弦变换。
在这些标准制中都使用了二维的第二种类型离散余弦变换，并将结果进行量化之后进行熵编码。
这时对应第二种类型离散余弦变换中的n通常是8，并用该公式对每个8x8块的每行进行变换，然后每列进行变换。
得到的是一个8x8的变换系数矩阵。
其中(0,0)位置的元素就是直流分量，矩阵中的其他元素根据其位置表示不同频率的交流分类。
一个相似的转换,改良的线性余弦转换被用在高级音频编码(aacforadvancedaudiocoding)，vorbis和mp3音频放大当中。
数字图像处理数字图像处理第二章(第五讲)离散余弦变换、KL变换
国家级精品资源共享课
第二章 常用的数学变换
2.4 离散余弦变换（DCT）
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第二章 常用的数学变换
2.4 离散余弦变换（DCT）
通常根据可分离性，二维DCT可用两次一维DCT来完成，其算法流程 与DFT类似，即：
f(x ,y ) F行[f(x ,y )] F(x ,v )
转置
X 0.57
0.82
0
0
0
0
0
0
2.28 4.1 5.23 5.7 3.89 2.75 1.58 2.84 3.64 3.96 2.7 1.91
第二章 常用的数学变换
2.5 K-L变换
2020/8/21
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2.5 K-L变换
2020/8/21
2020/8/21
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2.5 K-L变换
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第二章 常用的数学变换
2.5 K-L变换
N
2N
c
os
Байду номын сангаас
(
N 1)
2N
1
2
cos 3
2N
cos 3(N 1)
2N
1
2
cos (2N 1)
2N
cos
(2N
1)(N 2N
1)
N=4时
0.5 0.653 0.5 0.271
数字图像处理数字图像处理第二章(第二讲)空域变换、频率域变换
➢ 从影像到地图的几何校正方法 亮度采样
确定像元亮度值。然而，输入像元值和输出像元坐标 之间没有直接的一一对应关系。校正后的输出影像像元需 要填入一定的亮度值，但该像元栅格并非刚好落在规则行 列坐标上，因此必须采用某种方法来确定校正后输出像元 的亮度值 (BV ) 这一过程称为亮度采样。
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➢ 从影像到地图的几何校正方法 基于坐标转换的空间插值
从影像到地图的校正采用最小二乘法对地面控制点数据 拟合多项式方程，而不需要知道确切的几何误差源。根据 不同的影像畸变，地面控制点数量以及地形投影差，可能 需要建立更高次的多项式对数据进行几何校正。 这里的次 即多项式的最高次幂。
➢ 从影像到地图的几何校正方法
Байду номын сангаас
空间插值方法
这种方法填充从非平面 化影像拟合到具有标准 地图投影影像的输出图 像的矩阵。
x ' a0 a1x a2y y ' b0 b1x b2y
x' 382 .2366 （0.034187 ）x (0.005481 ) y y' 130162 (0.005576 )x (0.0349150 ) y
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➢ 从影像到地图的几何校正方法
计算逆向映射函数的均方根误差
通过6个坐标转换系数模拟原始影像畸变，可以采用从输出到输 入(逆向)映射方法，将原始影像中的(x， y )像元值转换(重定位)到 输出影像栅格(x， y)中。 但是，在利用这些系数创建校正的输出影 像之前，重要的是要确定，由原始 GCP 数据采用最小二乘回归得到 的这6个系数对输入影像中的几何畸变的校正精度。 最常用的方法 是计算每个地面控制点的 均方根误差。
离散余弦变换
离散余弦变换在数字信号处理领域中，除了应用前面介绍的DFT和DWT之外，还有很多种离散正交变换被广泛采用，其中离散余弦变换（DCT）日益受到重视，特别是在数字图像处理技术中，DCT显示许多优点。
通常，以DCT[x(n)]表示对离散时间序列x(n)取一维离散余弦变换，为书写简短借助符号C(k)表示DCT[x(n)]，它的定义如下：C(0)=Nx(n) N−1n=0C(k)=2Nx(n)N−1n=0cos[(2n+1)kn2N]逆变换IDCT[C(k)]=x(n)定义如下：x(n)=N 0+2Ncos[(2n+1)kn2N]N−1k=1以上各式中序号N=0,1,2,3,………N-1共N个；K=0,1,2,3,……….N-1也为N个。
从定义表达式容易看出，DCT与DNT的计算有着密切联系，将余弦函数改写为负指数函数取实部的形式可导出如下关系：C k=2Nx n Re[e−j(2n+1)kπ] N−1n=0=2Re[x n e−j(2n+1)kπ2NN−1n=0]如果把x(n)做如下的时域延拓，以x e(n)表示x e n=x n (n=1,2,3,………N−1) 0 (n=N,N+1,………2N−1)则DCT定义表达式可改写为C0=1Nx e2N−1n=0(n)C k=2x e2N−1n=0(n)cos[(2n+1)kπ]=2NRe[x e2N−1n=0n e−j2n+1kπ]=2NRe[e−j kπx e2N−1n=0n e−j2knπ] =2NRe[e−j kπX e(k)]式中X e k为x e(n)的2N点DFT。
可见为求得DCT正变换，可以先求序列x e(n)的2N点DFT（也即FFT），然后在求得C(k).在做DCT变换时也可现在变换域把C(k)做如下延拓，C e k=C k (k=1,2,3,………N−1)0 (k=N,N+1,………2N−1)可导出IDCT的里一种形式x(n)=(-N −2N)C e0+2Re[e j kπ2N C e(k)e j2knπ2N]2N−1k=0这表明为求得IDCT,可先求[e−j kπC e k]的IDFT,然后在计算x(n)在数字图像信号处理的许多实际问题中经常用二维离散余弦变换，其表达式为C（k1,k2）=2Nx(n1,n2)cos[2n1+1k1π2N]N−1n2=0N−1n1=0·cos[2n2+1k2π2N]上式中的k1,k2都不等于零，若其中k1或k2等于零，则二维DCT 如下，C（0,0）=1Nx(n1,n2)N−1n2=0N−1n1=0C（0,k2）=2Nx(n1,n2)N−1n2=0N−1n1=0cos[2n2+1k2π2N]C（k1,0）=2Nx(n1,n2)N−1n2=0N−1n1=0cos[2n1+1k1π2N]相应的IDCT为x(n1,n2)=1N C(0,0)+2NC(0,k2)N−1k2=0cos[2n2+1k2π2N]+2 NC(k1,0)N−1k1=0cos[2n1+1k1π2N]+2NC(k1,k2)N−1n2=0N−1n1=0cos[2n1+1k1π2N]cos[2n2+1k2π2N]。
数字图像处理教案
主要内容：
傅立叶变换
频域变换的一般表达式
离散余弦变换
KL变换
离散沃尔什哈达玛变换
小波变换简介
重点、难点及对学生要求（包括掌握、熟悉、了解、自学）
一、重点内容
1.傅立叶变换、傅立叶变换的性质
2.离散余弦变换
3.频域变换的一般表达式
二、难点内容
1.KL变换
2.离散沃尔什哈达玛变换
3.小波变换简介
备注
思考题：课本习题
授课内容：图像增强与复原技术
授课方式：多媒体+板书
授课学时：1学时
教学目的：
1.了解图像增强与复原概述、掌握图像灰度变换的方法
2.掌握直方图修正的方法
3.了解图像平滑的目的和方法
4.掌握图像锐化的目的和锐化的方法
5.理解伪彩色增强的目的和方法
6.了解图像退化与复原
7.了解图像的几何校正
主要内容：
1.图像增强与复原概述、灰度变换、直方图修正
2.图像平滑
3.图像锐化、伪彩色增强
4．图像退化与复原、图像的几何校正
重点、难点及对学生要求（包括掌握、熟悉、了解、自学）
一、重点内容
1.直方图修正
2.图像平滑
3.图像锐化
二、难点内容
1.图像退化与复原
2.图像的几何校正
备注
思考题：课本习题
授课内容：图像的几何变换
3.掌握灰度形态学
主要内容：
数学形态学概述、二值形态学
灰度形态学
重点、难点及对学生要求（包括掌握、熟悉、了解、自学）
一、重点内容
1.图像的二值形态学
2.图像的灰度形态学
二、难点内容
1.图像的二值形态学
《离散余弦变换》PPT课件
4.2.3 离散余弦变换的矩阵表示
2020/11/2
4.2.3 离散余弦变换的矩阵表示
• 结果分析：
•
离散余弦变换具有信息强度集中的特点。图像进
行DCT变换后，在频域中矩阵左上角低频的幅值大而右下
角高频幅值小，经过量化处理后产生大量的零值系数，
在编码时可以压缩数据，因此DCT被广泛用于视频编码图
第4章 图像变换
4.1 傅里叶变换 4.2 离散余弦变换 4.3 K-L变换 4.4 小波变换
2020/11/2
4.1.2 离散傅里叶变换
4. 数字图像傅里叶变换的频谱分布和统计特性
1)数字图像傅里叶变换的频谱分布
数字图像的二维离散傅里叶变换所得结果的频率成
分如图4.10所示，左上角为直流成分，变换结果的四个角的
图4.10 二维傅里叶变换的频谱分布
2020/11/2
4.1.2 离散傅里叶变换
2020/11/2
图4.11 频率位移示例
4.1.2 离散傅里叶变换
图4.11为二维离散傅里叶变换的频率位移特性。围绕坐 标中心的是低频，向外是高频，频谱由中心向周边放射，而 且各行各列的谱对中心点是共轭对称的，利用这个特性，在 数据存储和传输时，仅存储和传输它们中的一部分，进行逆 变换恢复原图像前，按照对称性补充另一部分数据，就可达 到数据压缩的目的。
阵。 • (0,0)位置的元素就是直流分量，矩阵中的其他元素根据其位置，表示不同频率的交流
分量。
4.2.1 一维离散余弦变换
2020/11/2
4.2.1 一维离散余弦变换
• 式中 F(u) 是第u个余弦变换系数，u是广义频率变量
， u 1,2,...N 1 f (x) ；
离散余弦变换的原理
离散余弦变换的原理离散余弦变换（Discrete Cosine Transform，DCT）是一种将时域信号转换到频域的数学变换方法，常被应用于信号处理和数据压缩领域。
与离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）相比，DCT更适用于处理实数信号，并且对于信号能量集中在低频区域的情况下，DCT的能量压缩效果更好。
DCT的原理基于两个基本假设：信号在空域和频域中均为偶函数，以及实数信号的实部和虚部部分的频谱是共轭对称的。
根据这两个假设，DCT可以将一个连续的实值信号分解为一组基函数的加权和，这些基函数是余弦函数的变形。
离散余弦变换的一维公式为：X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n\cos\left(\frac{\pi}{N}(n+\frac{1}{2})k\right),\ \ k=0,1,...,N-1其中，x_n 表示原始信号的离散样本，X_k 是变换后的频域系数。
为了方便，可以将一维DCT推广到多维DCT。
二维DCT的公式为：X_{k_1,k_2} = \sum_{n_1=0}^{N_1-1}\sum_{n_2=0}^{N_2-1} x_{n_1,n_2} \cos\left(\frac{\pi}{N_1}(n_1+\frac{1}{2})k_1\right)\cos\left(\frac{\pi}{N_2}(n_2+\frac{1}{2})k_2\right),\ \ k_1=0,1,...,N_1-1,\k_2=0,1,...,N_2-1其中，x_{n_1,n_2} 表示原始二维信号的离散样本，X_{k_1,k_2} 是变换后的频域系数。
DCT的主要特性是能够将高能量的信号集中在变换结果的低频系数上，而将较低能量的信号放置在高频系数上。
这个性质使得DCT非常适合在信号压缩领域中的应用。
DCT的逆变换（Inverse Discrete Cosine Transform，IDCT）可以将频域信号重新转换为时域信号。
数字图像处理综述
数字图像处理综述离散余弦变换图像变换在数字图像处理与分析中起着很重要的作⽤，是⼀种常见的有效分析⼿段。
离散余弦变换是与傅⾥叶变换相关的⼀种变换，它类似于离散傅⾥叶变换,但是只使⽤实数。
余弦变换是简化傅⾥叶变换的重要⽅法。
1 离散余弦变换定义离散余弦变换（DCT）是可分离的变换，其变换核为余弦函数，是从⼀种特殊形式的傅⾥叶变换转化过来的。
离散余弦变换本质上仍然是离散傅⽴叶变换，⼆者在频域本质上是相同的。
由于离散余弦变换是⼀种实数变换，其变换矩阵的基向量很好地描述了⼈类视觉的相关性，接近于最佳变换。
1.1⼀维DCT变换⼀维DCT变换公式如下：其中N是⼀维数据的元素总数，c(u)系数使得DCT变换矩阵成为正交矩阵，正交特性在⼆维DCT变换中更能体现其优势。
1.2⼆维DCT变换与⼀维的有限长离散⾮周期信号存在傅⾥叶变换⼀样，图像作为⼀个⼆维离散信号同样存在着⼆维离散变换。
将⼀副N*N的图像f(x,y)沿⽔平⽅向对折镜像，再沿垂直⽅向对折镜像，可成为2N*2N的偶函数图像，那么它的⼆维正、反余弦变换有下⾯两式定义：正变换：反变换：2 DCT算法步骤⼆维离散余弦变化快速算法主要有两种⾏-列分解法(RCM)及⾮⾏-列分解法(NRCM)。
⾏列分解⽅法是将N*N数据按⾏和列⽅向进⾏n个⼀维离散余弦变换计算,产⽣中间矩阵，然后对中间矩阵再按列和⾏的⽅向进⾏n个⼀维离散余弦变换计算，最后得到⼆维离散余弦变换结果。
⾮⾏列分解⽅法即直接分解法。
典型的直接分解算法是2D⽮量基DCT算法。
2D⽮量基算法通常为1D DCT⼆维扩展采⽤⽮量基算法成本会减⾄⾏列分解法的75%。
2D⽮量基DCT算法主要有基于B.G.Lee算法和基于Hou算法。
3 结构框图对于⼆维离散余弦变化⾏-列分解法框图如图3-1所⽰。
图3-1 ⼆维离散余弦变化⾏-列分解法框图4 应⽤环境DCT在图像处理中有很⼴泛的应⽤，并成为⼀些静态图像和视频压缩国际标准的基本处理模块，因⽽采⽤DCT变换可以很⽅便地应⽤于压缩域图像和视频中,同时在图像数字⽔印和图像放⼤处理等领域也有涉及，但同时也有⼀些不⾜之处。
离散余弦变换的定义
离散余弦变换的定义
离散余弦变换（Discrete Cosine Transform，简称DCT）是一种常用的数字信号处理技术，它通过将信号从频域转换到时域，以达到提取信号特征、减少信号噪声、减少信号传输量等目的。
DCT最初由Aharonov和Brenner（1967）提出，但是它广泛应用于图像压缩，直到1980年才被广泛接受。
1987年，戈德曼发明了快速余弦变换（Fast Cosine Transform，FCT），该变换能够有效地减少计算时间，使得DCT更容易被应用于实际工程中。
DCT的基本原理是将一个信号从时域转换到频域，以提取信号的特征。
它采用一组正交函数（orthogonal functions）作为基函数，用它们来表示信号，并通过变换将信号从时域转换到频域。
DCT还可以用来压缩信号，因为它可以将信号分解成不同频率分量，然后将那些高频分量的幅度降低，这样就可以减少信号的传输量。
它还可以用来抑制信号噪声，因为它可以将噪声分解到低频分量，然后将这些低频分量的幅度降低，从而抑制噪声。
DCT的应用非常广泛，它被广泛应用于数字图像处理、
音频处理和视频处理等领域。
此外，它还被用于信号压缩、抗噪声处理、图像去噪、图像质量评价等。
总之，离散余弦变换是一种非常有用的数字信号处理技术，它可以将信号从时域转换到频域，提取信号特征，减少信号噪声，减少信号传输量，以及用于信号压缩和抗噪声处理等。
它在数字图像处理、音频处理、视频处理和信号处理等领域都有着广泛的应用。
《离散余弦变换》课件
离散余弦变换的分类
• DCT有多种变换方式，如DCT-I、DCT-II、DCT-III和DCT-IV等。 • 具体分类可以根据变换公式的形式进行区分。
换
DCT-II变换是最常用的一种变换方式，其变换公式为： X _k = sq rt(2/N ) * C_k * ∑ (n= 0)^ (N -1) x_n * co s((π /N ) * (n + 0.5) * k) 这个公式将信号从时域转换到频域，为我们提供了表达信号频谱的一种方式。
DCT的应用
离散余弦变换被广泛应用于数字信号处理、音频、图像、视频等数据压缩领域。 一些著名的应用包括JPEG、MP3和MPEG等，它们都使用DCT来压缩数据并恢复原始信号。
总结
• 离散余弦变换是一种基于余弦函数的变换方法，常用于信号处理、数 据压缩等领域。
• DCT有多种变换方式，其中DCT-II是最常用的。 • DCT被广泛应用于数字信号处理、音频、图像、视频等数据压缩领域。
《离散余弦变换》PPT课件
欢迎来到《离散余弦变换》PPT课件！本课件将介绍离散余弦变换的定义、分 类以及广泛应用的领域。准备好开始这个有趣的旅程了吗？
什么是离散余弦变换？
离散余弦变换（DCT）是一种基于余弦函数的变换方法，常用于信号处理、数 据压缩等领域。它能将信号从时域转换到频域，帮助我们更好地理解和处理 信号。
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第二章 常用的数学变换
2.4 离散余弦变换（DCT）
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15
数字图像处理
第二章 常用的数学变换
2.1 引言 2.2 空域变换 2.3 频率域变换 2.4 离散余弦变换 2.5 KL变换 2.6 其他正交变换
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16
第二章 常用的数学变换
2.5 K-L变换
K-L变换，也称为Hotelling变换、特征向量变换 (Eigenvector-Based Transform)、主成分分析（PCA Principle Component Analysis）等。
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第二章 常用的数学变换
2.5 K-L变换
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第二章 常用的数学变换
2.5 K-L变换
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第二章 常用的数学变换
2.5 K-L变换
K-L变换计算实例 可有协方差矩阵：
Cx
1 6
6 i1
( xi
mx )(xi
mx )T
1 M
2.25 2.25
KL变换方法是应用最广泛的一种特征提取方法之一，它是一种 利用图像的统计性质的变换。在信号处理、模式识别、数字图 像处理等领域已经得到了广泛的应用。其基本思想是提取出空 间原始数据中的主要特征，减少数据冗余，使得数据在一个低 维的特征空间被处理，同时保持原始数据的绝大部分的信息， 从而解决数据空间维数过高的瓶颈问题。常用在数据压缩、特 征提取等方面。
其变换结果的能量将主要 集中在左上角的位置，即 低频部分
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第二章 常用的数学变换
2.4 离散余弦变换（DCT）
Lena原图矩阵
Lena DCT系数矩阵
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第二章 常用的数学变换
2.4 离散余弦变换（DCT）
“Z”（“之”）形编码排序
DC系数
AC系数开始
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X 0.57
0.82
0
0
0
0
0
0
2.28 4.1 5.23 5.7 3.89 2.75 1.58 2.84 3.64 3.96 2.7 1.91
第二章 常用的数学变换
2.5 K-L变换
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第二章 常用的数学变换
2.5 K-L变换
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第二章 常用的数学变换
2.5 K-L变换
第二章 常用的数学变换
2.5 K-L变换
Y
0.82 0.57
0.57 2 0.82 2
4 3
5 4
5 5
3 4
2 3
2.78
0.5
4.99 0.18
6.38 0.43
6.95 1.25
4.74 1.57
3.35 1.32
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0.82 0.57 2.78 4.99 6.38 6.95 4.74 3.35
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2.4 离散余弦变换（DCT）
正变换矩阵为：
1
2
2
cos
N
2N
c
os
(
N 1)
2N
1
2
cos 3
2N
cos 3(N 1)
2N
1
2
cos (2N 1)
2N
cos
(2N
1)(N 2N
1)
N=4时
0.5 0.653 0.5 0.271
0.5 0.271 0.5 0.653
f(x ,y ) F行[f(x ,y )] F(x ,v )
转置
F(x ,v )T F列[F(x ,v )T ] F(u,v )T
转置
F(u,v )
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第二章 常用的数学变换
2.4 离散余弦变换（DCT）
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第二章 常用的数学变换
2.4 离散余弦变换（DCT）
X’1=X1-μ1
X’2=X2-μ2
所以新坐标原点（X’1，X’2）位于原始散点各自的均值位置。
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2.5 K-L变换
前两个主成分关系图示： (a)从两个遥感影像波段X1 和 X2采集到的数据的散 点图 ，X1 和 X2 的均值为µ1 和 µ2。 (b)平移坐标轴创建新的坐标系统。 新 坐标系统的亮度值可以由关系式：X1 = X1–µ1 和 X2 = X2–µ2 得到。(c) 新坐标系统X 沿着坐标原点 (µ1，µ2) 旋转，使得PC1 投影到分布点的半长 轴上，且 PC1 方差最大，PC2 垂直PC1。PC 即为这个二维数据空间的主成分。 第一主成分通常解释总方差的90%以上，第二主成分通常解释方差的2%—10%。
2.25 2.25
0.25 0.25
1.9 1.1 1.1 1.1
0.25
0.25
2.25 2.25
2.25 2.25
0.25 0.25
0.25
0.25
2.25 0.75
0.75
0.25
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2.5 K-L变换 1.9 1.1
0
1.1 1.1
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第二章 常用的数学变换
2.5 K-L变换
图中水平轴和垂直轴表示数 据集的自然坐标轴。标号为 1和2的旋转坐标轴是应用这 个数据集的主变量分析产生 的结果。从图可以看出数据 集投影到1号轴上抓住了数 据的主要特征，即具有双峰 (即在它的结构上有两个聚 类)的特点。
双变量(二维)数据集
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的数字图像矩阵，则 ：
F(u,v )
2
M 1 N 1
C(u)C(v )
f(x ,y )cos (2x
1)u
cos (2y
1)v
MN
x 0 y 0
2M
2N
二维DCT逆变换定义如下：
f(x,y )
2 M 1 N 1 C(u )C(v )F(u,v )cos (2x 1)u cos (2y 1)v
0.5 0.271
0.5 0.653
0.5 0.653
0.5 0.271
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第二章 常用的数学变换
2.4 离散余弦变换（DCT）
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第二章 常用的数学变换
2.4 离散余弦变换（DCT）
通常根据可分离性，二维DCT可用两次一维DCT来完成，其算法流程 与DFT类似，即：
MN u 0 v 0
2M
2N
式中：x, u=0, 1, 2, …, M－1；y, v=0, 1, 2, …, N－1
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2.4 离散余弦变换（DCT）
若M=N；
1
C(u ) C(v )
2
u,v 0
1 其它
类似一维矩阵形式的DCT，可以写出二维DCT的矩阵形式如下：
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数字图像处理
（Digital Image Processing）
山东科技大学 江涛 教授
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数字图像处理
第二章 常用的数学变换 2.1 引言 2.2 空域变换 2.3 频率域变换 2.4 离散余弦变换 2.5 主成分变换 2.6 其他正交变换
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2.4 离散余弦变换（DCT）
国家级精品资源共享课பைடு நூலகம்
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2.4 离散余弦变换（DCT）
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第二章 常用的数学变换
2.4 离散余弦变换（DCT）
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第二章 常用的数学变换
2.4 离散余弦变换（DCT）
将一维离散余弦变换扩展到二维离散余弦变换，设f(x, y)为M×N
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2.5 K-L变换
如下图，多光谱特征空间中初始的坐标轴（X1和X2）对于分析这 两波段的遥感数据或许不是最佳的。
用主成分分析的目的就是平移和旋转初始坐标轴，使X1和X2轴上 的原始亮度值重新投影到一组新的坐标轴X’1和X’2上。
例如，将原始数据点从X1和X3平移到X’1和X’2坐标系，最好的 方法也许是此采用如下简单的关系：
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第二章 常用的数学变换
2.5 K-L变换
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2.5 K-L变换
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2.5 K-L变换
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2.5 K-L变换
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2.5 K-L变换