914768-数字图像处理-数字图像处理第二章(第五讲)离散余弦变换、KL变换

X’1=X1-μ1
X’2=X2-μ2
所以新坐标原点（X’1，X’2）位于原始散点各自的均值位置。
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2.5 K-L变换
前两个主成分关系图示： (a)从两个遥感影像波段X1 和 X2采集到的数据的散 点图 ，X1 和 X2 的均值为µ1 和 µ2。 (b)平移坐标轴创建新的坐标系统。 新 坐标系统的亮度值可以由关系式：X1 = X1–µ1 和 X2 = X2–µ2 得到。(c) 新坐标系统X 沿着坐标原点 (µ1，µ2) 旋转，使得PC1 投影到分布点的半长 轴上，且 PC1 方差最大，PC2 垂直PC1。PC 即为这个二维数据空间的主成分。 第一主成分通常解释总方差的90%以上，第二主成分通常解释方差的2%—10%。
第二章 常用的数学变换
2.4 离散余弦变换（DCT）
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数字图像处理
第二章 常用的数学变换
2.1 引言 2.2 空域变换 2.3 频率域变换 2.4 离散余弦变换 2.5 KL变换 2.6 其他正交变换
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第二章 常用的数学变换
2.5 K-L变换
K-L变换，也称为Hotelling变换、特征向量变换 (Eigenvector-Based Transform)、主成分分析（PCA Principle Component Analysis）等。
KL变换方法是应用最广泛的一种特征提取方法之一，它是一种 利用图像的统计性质的变换。在信号处理、模式识别、数字图 像处理等领域已经得到了广泛的应用。其基本思想是提取出空 间原始数据中的主要特征，减少数据冗余，使得数据在一个低 维的特征空间被处理，同时保持原始数据的绝大部分的信息， 从而解决数据空间维数过高的瓶颈问题。常用在数据压缩、特 征提取等方面。
2.25 2.25
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1.9 1.1 1.1 1.1
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百度文库
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第二章 常用的数学变换
2.5 K-L变换 1.9 1.1
0
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X 0.57
0.82
0
0
0
0
0
0
2.28 4.1 5.23 5.7 3.89 2.75 1.58 2.84 3.64 3.96 2.7 1.91
第二章 常用的数学变换
2.5 K-L变换
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第二章 常用的数学变换
2.5 K-L变换
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第二章 常用的数学变换
2.5 K-L变换
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第二章 常用的数学变换
2.5 K-L变换
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2.5 K-L变换
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2.5 K-L变换
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第二章 常用的数学变换
2.5 K-L变换
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第二章 常用的数学变换
2.5 K-L变换
MN u 0 v 0
2M
2N
式中：x, u=0, 1, 2, …, M－1；y, v=0, 1, 2, …, N－1
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第二章 常用的数学变换
2.4 离散余弦变换（DCT）
若M=N；
1
C(u ) C(v )
2
u,v 0
1 其它
类似一维矩阵形式的DCT，可以写出二维DCT的矩阵形式如下：
f(x ,y ) F行[f(x ,y )] F(x ,v )
转置
F(x ,v )T F列[F(x ,v )T ] F(u,v )T
转置
F(u,v )
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第二章 常用的数学变换
2.4 离散余弦变换（DCT）
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第二章 常用的数学变换
2.4 离散余弦变换（DCT）
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2.4 离散余弦变换（DCT）
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2.4 离散余弦变换（DCT）
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2.4 离散余弦变换（DCT）
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第二章 常用的数学变换
2.4 离散余弦变换（DCT）
将一维离散余弦变换扩展到二维离散余弦变换，设f(x, y)为M×N
其变换结果的能量将主要 集中在左上角的位置，即 低频部分
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第二章 常用的数学变换
2.4 离散余弦变换（DCT）
Lena原图矩阵
Lena DCT系数矩阵
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2.4 离散余弦变换（DCT）
“Z”（“之”）形编码排序
DC系数
AC系数开始
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数字图像处理
（Digital Image Processing）
山东科技大学 江涛 教授
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数字图像处理
第二章 常用的数学变换 2.1 引言 2.2 空域变换 2.3 频率域变换 2.4 离散余弦变换 2.5 主成分变换 2.6 其他正交变换
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0.5 0.271
0.5 0.653
0.5 0.653
0.5 0.271
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2.4 离散余弦变换（DCT）
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第二章 常用的数学变换
2.4 离散余弦变换（DCT）
通常根据可分离性，二维DCT可用两次一维DCT来完成，其算法流程 与DFT类似，即：
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第二章 常用的数学变换
2.5 K-L变换
Y
0.82 0.57
0.57 2 0.82 2
4 3
5 4
5 5
3 4
2 3
2.78
0.5
4.99 0.18
6.38 0.43
6.95 1.25
4.74 1.57
3.35 1.32
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0.82 0.57 2.78 4.99 6.38 6.95 4.74 3.35
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第二章 常用的数学变换
2.5 K-L变换
图中水平轴和垂直轴表示数 据集的自然坐标轴。标号为 1和2的旋转坐标轴是应用这 个数据集的主变量分析产生 的结果。从图可以看出数据 集投影到1号轴上抓住了数 据的主要特征，即具有双峰 (即在它的结构上有两个聚 类)的特点。
双变量(二维)数据集
的数字图像矩阵，则 ：
F(u,v )
2
M 1 N 1
C(u)C(v )
f(x ,y )cos (2x
1)u
cos (2y
1)v
MN
x 0 y 0
2M
2N
二维DCT逆变换定义如下：
f(x,y )
2 M 1 N 1 C(u )C(v )F(u,v )cos (2x 1)u cos (2y 1)v
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2.4 离散余弦变换（DCT）
正变换矩阵为：
1
2
2
cos
N
2N
c
os
(
N 1)
2N
1
2
cos 3
2N
cos 3(N 1)
2N
1
2
cos (2N 1)
2N
cos
(2N
1)(N 2N
1)
N=4时
0.5 0.653 0.5 0.271
0.5 0.271 0.5 0.653
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第二章 常用的数学变换
2.5 K-L变换
如下图，多光谱特征空间中初始的坐标轴（X1和X2）对于分析这 两波段的遥感数据或许不是最佳的。
用主成分分析的目的就是平移和旋转初始坐标轴，使X1和X2轴上 的原始亮度值重新投影到一组新的坐标轴X’1和X’2上。
例如，将原始数据点从X1和X3平移到X’1和X’2坐标系，最好的 方法也许是此采用如下简单的关系：
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2.5 K-L变换
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2.5 K-L变换
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2.5 K-L变换
K-L变换计算实例 可有协方差矩阵：
Cx
1 6
6 i1
( xi
mx )(xi
mx )T
1 M
2.25 2.25