换元积分法与分部积分法

8.2 换元积分法与分部积分法（4时）

【教学目的】熟练掌握换元积分法和分步积分法。 【教学重点】换元积分法和分步积分法。

【教学难点】灵活运用换元积分法和分步积分法。 【教学过程】 一 换元积分法

由复合函数求导法，可以导出换元积分法．

定理8．4(换元积分法) 设g(u )在[]βα,上有定义，)(x u ϕ=在[]b a ,上可导，且

[]b a x x ,,)(∈≤≤βϕα，并记

[].,),())(()(b a x x x g x f ∈'=ϕϕ

(i)若)(u g 在[]βα,上存在原函数)(u G ，则)(x f 在[]b a ,上也存在原函数

C x G x F x F +=))(()(),(ϕ，即

⎰⎰⎰='=du u g dx x x g dx x f )()())(()(ϕϕ

.))(()(C x G C u G +=+ϕ

(ii) 又若[],,,0)(b a x x ∈≠'ϕ则上述命题(i)可逆，即当)(x f 在[]b a ,上存在原函数F(x )时，g(u )在[βα,]上也存在原函数G(u )，且G(u )=C u F +-))((1

ϕ，即

⎰⎰⎰='=dx x f dx x x g du u g )()())(()(ϕϕ．

.))(()(1

C u F C x F +=+=-ϕ 证 （i ） 用复合函数求导法进行验证：

)())(())((x x G x G dx

d

ϕϕϕ''= ).()())((x f x x g ='ϕϕ 所以)(x f 以))((x G ϕ为其原函数，(1)式成立．

( ii ) 在0)(≠'x ϕ的条件下，)(x u ϕ=存在反函数)(1

u x -=ϕ，且

.)

(1)

(1u x x du dx -='=

ϕϕ

于是又能验证（2）式成立：

)

(1)()(1)())((1x x f x x F u F du d ϕϕϕ'⋅='⋅'=-

)

(1

)())((x x x g ϕϕϕ'⋅

'= )())((u g x g ==ϕ． 口

上述换元积分法中的公式(1)与(2)反映了正、逆两种换元方式，习惯上分别称为第一换

元积分法和第二换元积分法(公式(1)与(2)分别称为第一换元公式与第二换元公式)．

下面的例1至例5采用第一换元积分法求解．在使用公式(1)时，也可把它写成如下简便形式：

⎰⎰+=='.))(()())(()())((C x G x d x g dx x x g ϕϕϕϕϕ )1('

例1 求⎰.tan xdx 解 由

,cos )(cos cos sin tan dx x

x dx x x xdx ⎰⎰⎰

'

-== 可令,1

)(,cos u

u g x u ==则得

C u du u xdx +-=-=⎰⎰ln 1

tan

.cos ln C x +-= 例 2 求

).0(22>+⎰a x a dx

解 ⎰⎰⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪

⎭⎫ ⎝⎛=

+2

2211a x a x d a x a dx )(a x u =令 .arctan 1arctan 1

112C a

x a C u a

u du a +=+=+=

⎰

对换元积分法比较熟练后，可以不写出换元变量u ，而直接使用公式)1('.

例 3 求

⎰

-2

2

x

a dx )0(>a

解

⎰

⎰

⎰

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=

-2

2

2

2

111

a x dx a x dx a x

a dx

.arcsin

C a

x

+=

例 4 求

).0(22≠-⎰a a x dx

解

⎰-22a x dx dx a x a x a ⎰⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+--=1121 ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡++---=

⎰⎰a x a x d a x a x d a )()(21 []C a x a x a

++--=ln ln 21

.ln 21C a

x a x a ++-=

例 5 求⎰

.sec xdx

解 [解法一]利用例4的结果可得

⎰⎰⎰

-==x

x d dx x x xdx 22sin 1)

(sin cos cos sec .sin 1sin 1ln 21C x

x

+-+= [解法二]

⎰xdx sec =dx x x x x x ⎰

++tan sec )

tan (sec sec

⎰++=x

x x x d tan sec )

tan (sec

C x x ++=tan sec ln ．

这两种解法所得结果只是形式上的不同，请读者将它们统一起来．

从以上几例看到，使用第一换元积分法的关键在于把被积表达式dx x f )(凑成

()()()dx x x g ϕϕ'的形式，以便选取变换)(x u ϕ=，化为易于积分的()⎰du u g ．最终不要忘

记把新引入的变量()u 还原为起始变量()x ．

第二换元公式(2)从形式上看是公式(1)的逆行，但目的都是为了化为容易求得原函数的形式(最终同样不要忘记变量还原)，以下例6至例9采用第二换元积分法求解． 例6 求

⎰

+3u

u du .

解 为去掉被积函数中的根式，取根次数2与3的最小公倍数6，并令6

x u =,则可把原来的不定积分化为简单有理式的积分：