插值与拟合

0.6 0.
-0.2 -0.4 -0.6 -0.8
-1
0
2
4
6 数据
8
10
12
首先回顾一下三次样条插值函数常用的四种边界条件 1. 固定边界条件：给定端点的斜率（一阶导数） 2. 自由边界条件：给定端点的二阶导数 特别，当给定端点的二阶导数为0时，称为自然边界条件 3. 周期边界条件： S ''( x ) S ''( x ), S '( x ) S '( x ) 0 n 0 n
例：对sin函数进行分段线性一维插值。 实验步骤： 1
• • • • • • •
clear all x=0:12; y=sin(x); xi=0:.2:10; yi=interp1(x,y,xi); plot(x,y,'ro',xi,yi); xlabel(‘数据’);ylabel(‘线性插值');
y
1 25 x 2 1 在[0,1]上的值，其中x=[0,0.25,0.5,0.75,1]，求
clear;clc; x=[0:0.25:1]; y=1./(1+25*x.^2); s=csape(x,y,'complete',[0 -0.074]) fnplt(s,'r') s.coefs
结果显示为： s= form: 'pp' breaks: [0 0.2500 0.5000 0.7500 1] coefs: [4x4 double] pieces: 4 order: 4 dim: 1
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
ans = 37.8353 -19.2149 0 1.0000 -12.5809 9.1616 -2.5133 0.3902 1.1811 -0.2741 -0.2915 0.1379 -0.9218 0.6118 -0.2070 0.0664
3. spline，三次样条插值方法是所有插值方法 中运行耗时最长的，其插值函数及插值函 数的一阶、二阶导数函数都连续，因此它 是最光滑的插值方法，占用内存比cubic方 法小，但当已知数据点不均匀分布时可能 会出现异常结果。 4. cubic三次多项式插值，该方法中插值函数 及其一阶导数都是连续的，因此其插值结 果也比较光滑，运算速度比spline方法稍快， 但占用内存最多。
(3) 周期边界条件
S ' ' ( x0 ) S ' ' ( xn ), S ' ( x0 ) S ' ( xn )
MATLAB中有关插值的命令
一维插值函数：
yi=interp1(x，y，xi，'method')
xi处的插 值结果 插值节点 被插值点 插值方法
‘nearest’ ：最邻近插值 ‘linear’ ：分段线性插值； ‘spline’ ： 三次样条插值； ‘cubic’ ： 立方插值； ‘pchip’:分段三次厄尔米特插 值
注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不 能够超过x的范围。
注意： 1. yi=interp1(x，y，xi)，默认为分段线性插 值 2. yi=interp1(y，xi)，在默认情况下，x变量 选择为1：n，其中n是向量y的长度
Method方法中有以下特点：
1. nearest，最邻近插值方法。这种方法在已知数 据的最邻近点设置插值点，对插值点的数值进 行四舍五入，对超出范围的数据点返回NaN。这 种方法速度最快，占用内存最小，但一般来说 误差最大，插值结果最不光滑。 2. linear，分段线性插值。该方法采用直线将相邻 的数据点相连，对超出范围的数据点返回NaN。 这种方法在速度和误差之间取得了比较好的均 衡，其插值函数具有连续性，但在已知数据点 处的斜率一般都会改变，因此它不是光滑的。
n
I (a0 ,, an ) ( xi )[ ak k ( xi ) f ( xi )]2
i 0 k 0
k 0 m
n
取得极小值.
引进内积记号 ( k , j ) ( xi ) k ( xi ) j ( xi ) ( f , j ) ( xi ) f ( xi ) j ( xi )
i 0

m
i2
( xi )[ s * ( xi ) f ( xi )]2
i 0
m
min ( xi )[ s( xi ) f ( xi )]2 .
s ( x ) i 0
m
* 问题归结为求s * ( x ) ak k ( x ), 即求系数a* , 使得 j
( xi , yi )(0 i 10)
x i2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 506 xi yi 1.3 7.0 12.6 10.0 35.0 52.8 70.7 100.0 117.0 156.0 177.1 749.5
∑
16 14 12 10 8 6 4
S '' ( x1 ) S '' ( x4 ) 0 例：已知y=f(x)的x=[1,2,4,5],y=[1,3,4,2]，边界条件
，求三次样条插值函数S(x)并计算f(3)和f(4.5)的近似值。 解：题目给的是自然边界条件，直接利用命令即可 在命令窗口输入： clear;clc; x=[1 2 4 5];y=[1 3 4 2]; s=csape(x,y,'variation'); coefs=s.coefs value=fnval(s,[3 4.5]) 程序输出结果如下： coefs = -0.1250 0 2.1250 1.0000 -0.1250 -0.3750 1.7500 3.0000 0.3750 -1.1250 -1.2500 4.0000 value = 4.2500 3.1406
+
+
+
+
y=f(x)
x
i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离
拟合与插值的关系 问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面
解决方案：
•若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题；
•若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象 整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。
0.1 0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
3.4 曲线拟合的最小二乘法
已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi,yi) i=1,…n, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所 有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。 y + + +
+ i (x+ i) i,y
m i i 0
线性最小二乘拟合曲线中函数基函数的选取
1. 通过机理经验分析建立数学模型来确定 f(x)； 2. 将数据 (xi,yi) i=1, …n 作图，通过直观判断确定 f(x)： f=a1+a2x + + + + + f=a1+a2x+a3x2 + + + + + f=a1+a2x+a3x2 + + + + +
4. 非扭结边界条件（not-a-knot）：第一个点的三次导数和 第二个点的三次导数一样；最后一个点的三次导数和倒 数第一个点一样
matlab中计算三次样条函数的命令
1、spline函数或pchip函数，二者的用法相同，函数默认非 扭结边界条件为其边界条件。 命令格式为： yi=spline(x,y,xi) 其意义等同于yi=interp1(x，y，xi，‘spline') 其中， pp=spline(x,y)根据数据给出三次样条插值函数的有关信息 pp.coefs给出三次样条插值函数在各分段区间上的多项式
f=a1+a2/x + + +
f=aebx +
+
f=ae-bx + + +
+ +
+ + +
+ +
数据拟合的例子
考虑下表给出的离散点
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 66 yi 1.3 3.5 4.2 5.0 7.0 8.8 10.1 12.5 13.0 15.6 16.1 97.1
a0 ( f , 0 ) a ( f , ) 1 1 a ( f , ) n n
即
G d
此方程称为法方程。
求解线性最小二乘拟合的步骤
(1) 根据已知的离散点{xi , y } ，画出这些 点，观察其分布，选择合适的拟合模型， 即选择用直线，二次曲线，三次曲线等去 拟合； (2) 计算 (k ,l )，从而求出 G ； (3) 计算( y,l ) ，从而求出 d ； G (4) 求解法方程： d ，得到 ，从 而写出 ( x)的具体形式。
i 0 i 0 m m
( 0 , 0 ) ( , ) 1 0 ( , ) n 0
( 0 , 1) (1, 1)

( n , 1)
( 0 , n ) (1, n ) ( n , n )
从输出结果看，三次样条插值函数在[1,2]区间上的表达式为
S ( x) 0.1250 2.1250 x 1.0000 x