运筹学课件 第四节 01型整数规划

消耗 产品 产品1
资源
A
2
产品2 4
产品3 8
资源量 500
B
2
3
4
300
C
1
2
3
100
单件费用 4
5
6
固定费用 100
150
200
单件售价 8
10
12
运筹学教程
解：xj是生产第j种产品的产量。
总收益等于销售减去所生产的产品的总费用。建立数学模型时，无法确
定某种产品是否生产，不能确定相应的固定费用是否发生，用0-1变量解
xj
?
? 1, ??0,
E E
j j
选择Aj 选择 Aj
( x1,...xn )T
?
? ?
(1,1,...,1)T
,
选择（
A1,...
An）T
?
:
? ?
(1,1,...,
0)T
,
选择（
A1,...
An）T
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一、0—1规划数学模型
例：固定费用问题 有三种产品被用于生产三种产品，资源量、产品单件费用、 资源消耗量以及生产产品的固定费用。要求制定一个生产计 划，总收益最大。
3.产品2的加工总时间约束
产品2的开始加工时间 x21, 结束家工时间为 x 24 +a24 ,所以
x 24 +a24 -x21≤d
4.目标函数的建立
由于三件产品的加工时间分别为 x14+a14,x24+a24,x33+a33,全部产品的实际 加工时间为:w=max(x 14+a14,x24+a24,x33+a33)
Minz=W st. W≥x 14+a14, W≥ x24+a24, W≥ x33+a33
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二、0-1型整数规划的解法
求解思路：
检测可行解的目标函数值，根据其目标函数值可以产生一个 过滤条件，对于目标函数数值比它差的变量组合删除，这样 有效减少运算次数，使最优解快速找到。
产品1 a11
机床1 产品2 a21
机床1 产品3
a23
机床2 a32
机床2
a13 机床3
a33 机床3
a14
机床4 a24
机床4
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解 设xij表示产品i在机床j 上开始加工的时间(i=1,2,3;j=1,2,3,4) 1.同一件产品在不同机床上的加工顺序约束 同一件产品在下一台机床上的加工的开始时间不早于在上一台机床上加工 的结束时间,故应有 产品1:x 11+a11≤x12 ; x 13+a13≤x14 产品2:x 21+a21≤x22 ; x 23+a23≤x24 产品3:x 32+a32≤x33 ;
决此问题。
yj
?
???0,1不,生生产产第第j种j种产产品品（（xjx?j
0） ? 0）
分析： 如果生产第j种产品，x j>0.
max Z ? 4x1 ? 5x2 ? 6x3 ? 100 y1 ? 150 y2 ? 200 y3 ?2x1 ? 4x2 ? 8x3 ? 500
约束条件x j<=M
jy j,y j=1;
2.每一台机床对不同产品的加工顺序约束 一台机床在工作中,如果已经开始加工还没有结束,则不能开始加工另一件产 品.对于机床1,先加工1不能加工2. 为了容纳两种相互排斥的约束条件,对于每台机床,分别引入0-1变量:
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yj ? ???10，, 先先加加工工某另种外产产品品（j ? 1,2,3,4） 机床1:x 11+a11≤x21+My1 ; x 21+a21≤x11+M(1-y1) 机床2:x 22+a22≤x32+My2 ; x 32+a32≤x22+M(1-y2) 机床3:x 13+a13≤x33 +My3 ; x 33+a33≤x13+M(1-y3) 机床4:x 14+a14≤x24 +My4 ; x 24+a24≤x14+M(1-y4) 当y1=0,表示机床1先加工产品1,后加工产品2;当y1=1,表示机床1先 加工产品2,后加工产品1.
? 0 , B 采用原加工方式
y1
?
? ?1,
B
不采用原加工方式
多余的约束
? 0 , B 采用新加工方式
y2
?
? ?
1
,
B
不采用新加工方式
st
? .??
0.3 0.2
x1 x1
? ?
0.5 x2 0.4 x2
? ?
150 120
? ?
My 1 My 2
??
y1 ? y2 ? 1
当y 1=1,y2=0; 采用 新工艺,(2)式成立;
变量中有p-q 个1,q个0;凡取值
=0的yi对应的约束条件为原约束
??
st.???
n j?1
aij x j ?
p
bi
?
Myi
(i
?
1,2,...,
条件,凡取值=1的yi对应的约束 条件将自然满足,因而为多余.
p)
? ?
??
yi ? p ? q
i?1
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例 工件排序问题
使用4台机床加工3件产品.各个产品的机床加工顺序以及产品 i在机床j 上的加工时间 aij见表.由于某种原因,产品2的加工总是件不得超过d.现 在要求各件产品在机床上的加工方案 ,使在最段时间内加工完全部产品 .
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第四节 0—1型整数规划
一、0-1变量及其应用
某些特殊问题，只做是非选择，故变量设置简化为 0或1，
1代表选择，0代表不选择。
选取某个特定方案
x
?
? 1,当决策选取方案 ??0,当决策不选取方案
问题含有较多的要素， 每项来自百度文库素有 2种选择，用0 ? 1变量描述。
有限要素E1, E 2,...En , 每项E j有两种选择 Aj , Aj
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p
? p个约束条件 aij xj ? bi (i ? 1,2,..., p) j?1
选择q个约束条件，引入p个0 ? 1变量
yi
?
? 0,选择第i个约束条件(i ? 1,2,..., p) ??1,不选择第i个约束条件(i ? 1,2,..., p)
在约束条件中保证了在P个0-1
约束条件组
化，因此在最优解必然是 yj=0 。
M j为xj的上界, 例如根据第三个约束条件，M1 ? 100,
M2 ? 50, M3 ? 34
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例 含有相互排斥的约束条件的问题
设工序B的每周工时约束条件为0.3x1+0.5x2 ≤150,式(1) 现有一新的加工方式,相应的每周工时约束条件为 0.2x1+0.4x2≤120 ,式(2) 如果工序B只能选择一种,那么(1)和(2)变成相互排斥的约束条件.
??2x1 ? 3x2 ? 4x3 ? 300
如果不生产第 j 种产品，
? ? st.?? ?
x1
?
2x2 ? 3x3 ? x1 ? M1 y1 x2 ? M2 y2
100
? ? ?
x3 ? M3 y3 xj ? 0且为整数
??
yj ? 1或0
x j=0. 约束条件 x j<=M jyj,yj=1 或0 。当 yj=1 不利于目标函数的最大