高等代数课件北大版第九章欧式空间.ppt

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一、正交向量组
定义：
设Ｖ为欧氏空间，非零向量 1,2, ,m V ,
如果它们两两正交，则称之为正交向量组.
注：
① 若 0, 则 是正交向量组.
② 正交向量组必是线性无关向量组.
§9.2 标准正交基
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证：设非零向量 1,2, ,m V 两两正交.
令 k11 k22 kmm 0, ki R,
得 ( ,i)i ( , j) j ( ,k)k
② ( , ) x1 x2 y1 y2 z1z2
③ | | x12 y12 z12
④ , arccos
x1 x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
即在基 i, j,k 下，R3中的与内积有关的度量性质有
n
y11 y2 2 yn n .
(iii) | | x12
§9.2 标准正交基
xn2
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3. 标准正交基的构造 ─施密特(Schmidt)正交化过程
1）
(定理1) n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能 扩充成一组正交基.
证：设1,2, ,m 欧氏空间Ｖ中的正交向量组，
m
m
则 (i , k j j ) k j (i , j ) ki (i ,i ) 0
j 1
j 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由 i 0 知 (i ,i ) 0,
ki 0, i 1,2, , m.
故 1,2 , ,m 线性无关.
§9.2 标准正交基
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③ 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组．
按定理1证明中的方法，作向量
m1 m1 k11 k22 kmm ,
m
即 m1 m1 ( m1,i )i
i 1
§9.2 标准正交基
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ki
( m1,i ) (i ,i )
(5)
则 m1 0 且 (m1,i ) 0, i 1, 2, , m
再设
m1
|
1
m1
| m1 .
所以必有向量 不能被 1,2, ,m 线性表出，
作向量
m1 k11 k22 kmm ( 0)
ki R 待定．
§9.2 标准正交基
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从正交向量组的性质知
(i ,m1 ) ( ,i ) ki (i ,i ), i 1, 2, , m.
于是取
ki
( ,i ) , (i ,i )
简单的表达形式.
§9.2 标准正交基
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2. 标准正交基的定义
n 维欧氏空间中，由 n个向量构成的正交向量组 称为正交基；
由单位向量构成的正交基称为标准正交基.
注：
① 由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准 正交基.
§9.2 标准正交基
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② n维欧氏空间V中的一组基 1, , n 为标准正交基
L(1, 2 , , i ) L(1,2, ,i ), i 1, 2, , n
证： 基本方法─逐个构成出满足要求的 1,2 , ,n .
首先，可取
1
|
1
1
|1
.
§9.2 标准正交基
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一般地，假定已求出 1,2 , ,m 是单位正交的 ，且
L(1, 2 , , i ) L(1,2 , ,i ), i 1, 2, , m (4) 当 m n 时，因为有 m1 L(1, 2 , , m ), 由(4)知 m1不能被 1,2 , ,m线性表出．
可知 1,2 , ,m ,m1 是单位正交向量组．
(i) 设 x11 x2 2 xn n V
由(1) ， ( , i ) xi .
有 ( ,1 )1 ( , 2 ) 2 ( , n ) n (2)
n
(ii) ( , ) x1 y1 x2 y2 xn yn xi yi
(3)
i 1
这里
x11 x2 2
xn
，
可得 (i ,m1 ) 0 ,
i 1,2, ,m, i 1,2, , m.
即 1,2 , ,m ,m1 为正交向量组．
由归纳法假设知，对这 m 1 个向量构成的正交组
可扩充得正交基. 于是定理得证．
§9.2 标准正交基
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2）
(定理2) 对于n 维欧氏空间中任一组基 1, 2 , , n 都可找到一组标准正交基 1,2 , ,n , 使
例如： R3 中 1 (1,1,0), 2 (1,0,1) 线性无关． 但 1,2 不是正交向量组.
(1,2 ) 1 0.
④ n 维欧氏空间中正交向量组所含向量个数 n.
§9.2 标准正交基
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二、标准正交基
1. 几何空间 R3中的情况
在直角坐标系下
i (1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1) 是由单位向量构成的正交向量组，即
第九章 欧氏空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间
§6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的
距离─最小二乘法 §8酉空间介绍 小结与习题
2021/2/9
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§9.2 标准正交基
一、正交向量组 二、标准正交基 三、正交矩阵
§9.2 标准正交基
(i, j) ( j,k) (k,i) 0,
| i || j || k | 1
i, j, k 是 R3 的一组基.
§9.2 标准正交基
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设 x1 i y1 j z1k, x2 i y2 j z2 k R3 ① 从 ( , i) x1, ( , j) y1, ( , k) z1
对 n m 作数学归纳法．
当 n m 0 时, 1,2 , ,m 就是一组正交基了.
§9.2 标准正交基
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假设 n m k 时结论成立，即此时可找到向量
1,2, ,k 使 1,2, ,m , 1, 2, , k
成为一组正交基.
现在来看 n m k 1 ( 1) 的情形. 因为 m n,
(i , j )
1 0
i i
jj，
i, j 1,2, ,n
(1)
③ n维欧氏空间V中的一组基 1, , n 为标准正交基
当且仅当其度量矩阵 A (i , j ) En.
④ n维欧氏空间V中标准正交基的作用:
设 1, , n为V的一组标准正交基，则
§9.2 标准正交基
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