实变函数论主要知识点资料

实变函数论主要知识点

第一章 集 合

1、 集合的并、交、差运算；余集和De Morgan 公式；上极限和下极限；

练习： ①证明()()A B C A B

C --=-； ②证明11[][]n E f a E f a n

∞=>=≥+； 2、 对等与基数的定义及性质；

练习： ①证明(0,1)

； ②证明(0,1)[0,1]；

3、 可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合的基数；

练习： ①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；

②证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集； ③Q = ；

④[0,1]中有理数集E 的相关结论；

4、 不可数集合、连续基数的定义及性质；

练习： ①(0,1)= ； ②P = （P 为Cantor 集）；

第二章点集

1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念

度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。

n维欧氏空间: 设V是实数域R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：

（1）g(x,y)=g(y,x)；

（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；

（3）g(kx,y)=kg(x,y)；

（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。

这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。

2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定（求法）；开核，导集，闭包的概念、性质及判定（求法）；

聚点:有点集E，若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点，则称z为E的聚点。

内点:如果存在点P的某个邻域U(P)∈E，则称P为E的内点。

3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造；

4、Cantor集的构造和性质；

5、练习：①P =，P'=，P=；

②

11

1,,,,

2n

'

⎧⎫

⎨⎬

⎩⎭

= ；

第三章测度论

1、外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性）；

2、可测集的定义与性质（可测集类关于可数并，可数交，差，余集，单调集列的极限运算

封闭）；可数可加性（注意条件）；

3、零测度集的例子和性质；

4、可测集的例子和性质；

练习：①mQ=，mP=；

②零测度集的任何子集仍为零测度集；

③有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；

④[0,1]中有理数集E的相关结论；

5、存在不可测集合；

第四章可测函数

1、可测函数的定义，不可测函数的例子；

练习：①第四章习题3；

2、可测函数与简单函数的关系；可测函数与连续函数的关系（鲁津定理）；

3、叶果洛夫定理及其逆定理；

练习：①第四章习题7；

4、依测度收敛的定义、简单的证明；

5、具体函数列依测度收敛的验证；

6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子；

第五章 积 分 论

1、非负简单函数L 积分的定义；

练习： ①Direchlet 函数在1上的L 积分

2、可测函数L 积分的定义（积分确定；可积）；基本性质（§5.4 定理1和定理2诸条）；

3、Lebesgue 控制收敛定理的内容和简单应用；

4、L 积分的绝对连续性和可数可加性（了解）；

5、Riemann 可积的充要条件；

练习： ①[0,1]上的Direchlet 函数不是R-可积的；

6、Lebesgue 可积的充要条件：若f 是可测集合E 上的有界函数，则f 在E 上L-可积⇔f 在E 上可测；

练习： ①[0,1]上的Direchlet 函数是L-可积的；

②设3,()10,x x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为无理数为有理数

，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。

例1、求由曲线θ=γθ=γ2cos ,sin 22所围图形公共部分的面积 解：两曲线的交点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛π65,22,6,22 ()⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡θθ+θθ=⎰⎰ππ

π

60462d 2cos 21d sin 2212S =θθ-⎰π

d )2cos 1(6

0+⎰ππ

θθ4

6

d 2cos 2

1362sin 212sin 214

660--π=θ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡θ-θ=ππ

π

例2.边长为a 和b(a>b)的矩形薄片斜置欲液体中,薄片长边a 与液面平行位于深为h 处,而

薄片与液面成α角,已知液体的密度为ρ,求薄片所受的压力

解:取x 为积分变量,变化区间为[h,h+bsin α]从中取[x,x+dx]知道面积元素α

sin dx a dS = 压力元素αρsin dx xa

dP =,则 )sin 21(sin 1sin sin sin αραραραα

b h ab xdx a dx xa P b h h b h h +===⎰⎰++