牛顿-莱布尼茨公式的推广形式
牛顿—莱布尼茨公式
姓名：崔丛艳
班级：2012级数学与应用数学(1)班
学号：201240431006
对“牛顿——莱布尼茨公式”的认识大家可以看到这个题目叫牛顿——莱布尼茨公式，数学上、或者物理上、或者是化学上，凡是有人名的公式应该说都是非常重要的。
1666年10月，牛顿在它的第一篇微积分论文《流数简论》中解决了如何根据物体的速度求解物体的位移这一问题，并讨论了如何根据这种运算求解曲线围成的面积，首次提出了微积分基本定理；1677年，莱布尼茨在一篇手稿中明确陈述了微积分基本定理。
所以称之为“牛顿——莱布尼茨公式”。
牛顿——莱布尼茨公式的定义是：如果函数在区间上连续，并且存在原函数，即F（x）=f(x),x∈[a,b],则f在上可积，且
此公式可叙述为：定积分的值等于其原函数在上、下限处值的差。
牛顿——莱布尼茨公式，也就是微积分学的基本公式，因为它是是联系微分学与积分学的桥梁，它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，使得从此微积分成为一门真正的学科；它也是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。
牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。
它不仅为定积分计算提供了一个有效而简便的方法，大大简化了定积分的计算过程，为定积分的计算找到了一条捷径，而且在理论上把定积分与被积函数的原函数或者不定积分联系了起来。
促进了其他数学分支的发展，该公式在微分方程，傅里叶变换，概率论，复变函数等数学分支中都有体现。
而且它在物理学上也有广泛的应用，计算运动物体的路程，计算变力沿直线所做的功以及物体之间的万有引力。
所以它是整个积分学最重要的公式。
牛顿莱布尼茨公式与积分中值定理
牛顿莱布尼茨公式与积分中值定理牛顿-莱布尼茨公式与积分中值定理牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理是微积分中两个重要且基本的定理，它们为我们理解和应用积分提供了重要的工具。
本文将先介绍牛顿-莱布尼茨公式的概念和推导过程，接着详细阐述积分中值定理及其应用。
牛顿-莱布尼茨公式，也被称为基本定理，是微积分中极为重要的定理之一。
它是针对定积分和不定积分之间的关系提出的，表达了定积分和不定积分之间的联系。
其公式可表示为：∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)其中，f(x)是定义在区间[a,b]上的连续函数，F(x)是其在[a,b]上的一个原函数。
牛顿-莱布尼茨公式的意义在于，它将定积分与不定积分联系了起来，通过求函数的原函数可以得到函数的不定积分，而定积分则可以通过对不定积分在[a,b]上的两个端点求差得到。
牛顿-莱布尼茨公式的推导过程并不复杂，我们可以通过牛顿-莱布尼茨公式的符号表达式进行推导。
以∫[a,b]f(x)dx为例，我们可以通过对其求导得到：d/dx ∫[a,b]f(x)dx = d/dx (F(b) - F(a))根据导数的定义和求导法则，上式可以展开为：f(x) = dF(x)/dx其中，f(x)表示函数f(x)的导数，dF(x)/dx表示函数F(x)对x的导数。
从上式可以看出，函数f(x)等于函数F(x)对x的导数，即f(x)是F(x)的导函数。
这就是牛顿-莱布尼茨公式的基本思想。
接下来，我们将介绍积分中值定理。
积分中值定理，也被称为微积分的基本定理之一，是由罗尔定理推导而来的。
积分中值定理的基本思想是将一个函数在某个区间上的平均值与其在该区间上的某一点处的函数值相等。
其表达式形式如下：f(c) = 1/(b-a) ∫[a,b]f(x)dx其中，f(x)是定义在区间[a,b]上的连续函数，c是[a,b]上的某一点，∫[a,b]f(x)dx表示f(x)在[a,b]上的定积分。
积分中值定理是通过对函数在[a,b]上进行积分平均值的计算，得到函数在某一点c处的函数值。
推广的牛顿莱布尼茨公式
推广的牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式是微积分中的重要公式，它能够将导数与积分联系起来，为我们解决许多数学问题提供了便利。
在本文中，我们将介绍牛顿莱布尼茨公式的推广及其应用。
让我们回顾一下牛顿莱布尼茨公式的原始形式。
牛顿莱布尼茨公式指出，如果函数F(x)在区间[a, b]上可导，并且它的导函数f(x)在[a, b]上连续，则有：∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)这个公式简洁而又实用，但它的适用范围有限。
在实际应用中，我们常常遇到更加复杂的情况，需要对不连续或不可导的函数进行积分。
这时，我们就需要推广牛顿莱布尼茨公式，以满足更广泛的需求。
我们可以考虑对不连续函数进行积分。
对于一个不连续函数，我们可以将其分解为多个连续函数的和或差。
然后，我们可以分别对每个连续函数应用牛顿莱布尼茨公式，再将结果相加或相减，即可得到整个函数的积分。
我们可以考虑对不可导函数进行积分。
对于一个不可导函数，我们可以通过拆分区间，将其拆分为多个可导函数的和或差。
然后，我们可以分别对每个可导函数应用牛顿莱布尼茨公式，再将结果相加或相减，即可得到整个函数的积分。
除了对不连续和不可导函数的积分，牛顿莱布尼茨公式还可以应用于一些特殊的函数。
例如，对于周期函数，我们可以通过将其分解为多个周期函数的和或差，并分别对每个周期函数应用牛顿莱布尼茨公式，再将结果相加或相减，来求解其积分。
牛顿莱布尼茨公式还可以应用于多重积分。
对于一个多元函数，我们可以先对其中的一个变量进行积分，然后对剩余的变量进行积分。
通过多次应用牛顿莱布尼茨公式，我们可以逐步求解多重积分。
牛顿莱布尼茨公式的推广不仅提供了解决更复杂数学问题的方法，还在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在物理学中，我们常常需要对速度、加速度等物理量进行求解，而这些物理量通常是通过对位移进行积分得到的。
牛顿莱布尼茨公式的推广为我们提供了解决这类问题的工具。
牛顿莱布尼茨公式是微积分中的重要公式，其推广形式能够解决更广泛的数学问题。
牛顿莱布尼茨公式算面积
牛顿莱布尼茨公式算面积牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula），也称为牛顿-莱布尼茨定理，是微积分的基本定理之一。
该公式表述了定积分和原函数之间的关系，提供了一种通过求导和积分相互转换的方法。
牛顿-莱布尼茨公式的表述如下：设f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是其在该区间上的一个原函数，则：∫a^b f(x) dx = F(b) - F(a)其中，∫a^b f(x) dx表示f(x)在[a,b]上的定积分，F(x)表示f(x)的一个原函数。
这个公式的直接意义可以理解为：如果我们知道了一个函数的一个原函数，那么我们就可以通过计算其在两个点的值之差，求出它在这两个点之间的定积分。
牛顿-莱布尼茨公式的应用非常广泛，其中一个典型的例子就是用它求解曲线的面积。
以y = f(x)为例，我们可以通过对该曲线上两个点（a, f(a)）和（b, f(b)）之间的面积进行积分来计算曲线的面积。
具体来说，我们首先需要求出曲线的一个原函数F(x)，然后使用牛顿-莱布尼茨公式来计算该曲线在[a,b]区间内的面积：S = ∫a^b y dx= ∫a^b f(x) dx= F(b) - F(a)其中S表示曲线在[a,b]区间内的面积，y表示曲线在x轴上的投影长度。
需要注意的是，当函数y = f(x)在[a,b]区间内有负值时，我们需要计算的面积实际上是曲线上方与x轴之间的面积，而非曲线下方与x轴之间的面积。
此时，我们需要对f(x)取绝对值，然后再进行计算。
值得一提的是，牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到多维积分上。
具体来说，在三维空间中，如果我们知道了一个函数f(x,y,z)的一个原函数F(x,y,z)，那么我们就可以通过计算其在一个三维区域内的值之差，求出该函数在该区域内的三重积分值。
这个公式的应用非常广泛，例如在物理学和工程学中经常用于计算物体的体积、质心、惯性矩等等。
总之，牛顿-莱布尼茨公式是微积分的基本工具之一，它在解决各种数学和物理问题中都起到了非常重要的作用。
牛顿-莱布尼茨公式
• 牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula），通常也 被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函 数或者不定积分之间的联系。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增 量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了 这一公式，[2] 1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了 这一公式。[1] 因为二者最早发现了这一公式，于是命名 为牛顿-莱布尼茨公式。
原函数存在定理
• 原函数是指已知函数f(x)是一个定义在某区间的函 数，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的 任一点都 举例dF(x)=f(x)dx。 则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。
原函数的定义
• 已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存 在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有 • 若F'(x)=f(x)，dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函 数F(x)为函数f(x)的原函数。 • 例：sinx是cosx的原函数。
公式应用
• 牛顿-莱布尼茨公式简化了定积分的计算，利用该公式可 以计算曲线的弧长，平面曲线围成的面积以及空间曲面围 成的立体体积，这在实际问题中有广泛的应用，例如计算 坝体的填筑方量。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式在物理学上也有广泛的应用，计算运 动物体的路程，计算变力沿直线所做的功以及物体之间的 万有引力。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式促进了其他数学分支的发展，该公式 在微分方程，傅里叶变换，概率论，复变函数等数学分支 中都有体现。
不等式证明
• 积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式,当 积分区间相同时,先合并同一积分区间上的不同积分,根据 被积函数所满足的条件,灵灵活运用积分中值定理,以达到 证明不等式成立的目的。 • 在证明定积分不等式时, 常常考虑运用积分中值定理, 以便 去掉积分符号, 如果被积函数是两个函数之积时, 可考虑用 积分第一或者第二中值定理。对于某些不等式的证明, 运 用原积分中值定理只能得到“≥”的结论, 或者不等式根本 不能得到证明。而运用改进了的积分中值定理之后, 则可 以得到“>”的结论, 或者成功的算中, 如果 含有定积分式, 常常可以运用 定积分的相关知识, 比如积分 中值定理等, 把积分
牛顿布莱尼公式推导
1牛顿布莱尼茨公式牛顿-莱布尼兹公式,又称为微积分基本定理,其内容是：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且从a到b的定积分（积分号下限为a上限为b）：∫f(x)dx=F(b)-F(a)其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.2牛顿布莱尼茨公式证明过程证明：设：F(x)在区间(a,b)上可导,将区间n等分,分点依次是x1,x2,…xi…x(n-1),记a=x0,b=xn,每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n,则F(x)在区间[x(i-1),xi]上的变化为F(xi)-F(x(i-1))(i=1,2,3…)当Δx很小时,F(x1)-F(x0)=F’(x1)*ΔxF(x2)-F(x1)=F’(x2)*Δx……F(xn)-F(x(n-1))=F’(xn)*Δx所以,F(b)-F(a)=F’(x1)*Δx+ F’(x2)*Δx+…+ F’(xn)*Δx当n→+∞时,∫(a,b)F’(x)dx=F(b)-F(a)3牛顿布莱尼茨公式意义牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。
它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。
牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。
它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。
牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。
牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。
牛顿莱布尼茨公式求导
牛顿莱布尼茨公式求导牛顿-莱布尼茨公式（Fundamental Theorem of Calculus）是微积分中十分重要的定理，它可用于求导和不定积分之间的关系。
公式的完整形式如下：设函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，且在 (a, b) 内可导。
令 F(x) 为函数 f(x) 在区间 [a, x] 上的不定积分，则有：∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)牛顿-莱布尼茨公式提供了一种通过不定积分的计算来求解定积分的方法。
在该公式中，F(x) 是 f(x) 的原函数，即 F'(x) =f(x)。
换句话说，F(x) 的导数等于函数 f(x)。
通过计算函数 f(x) 的原函数F(x)，我们可以使用牛顿-莱布尼茨公式来求函数f(x) 在给定区间 [a, b] 上的定积分。
公式要求函数在闭区间 [a, b] 上连续，这是为了保证函数 f(x)在该区间上有定义。
同时，函数 f(x) 在开区间 (a, b) 内可导，则可以保证在区间内的每个点上都存在导数，从而满足原函数的存在性。
牛顿-莱布尼茨公式的应用十分广泛，许多微积分的问题都可以通过该公式解决。
例如，可以利用该公式计算函数在给定区间上的平均值、最大值和最小值，以及计算弧长、面积和体积等。
此外，该公式还可以用于解决微分方程和偏微分方程等数学问题。
下面以一个具体的例子来解释牛顿-莱布尼茨公式的应用。
考虑函数 f(x) = x²，在区间 [1, 2] 上求定积分∫[1, 2] x² dx。
我们可以首先求 f(x) 的原函数 F(x)，由于 F(x) 的导函数为 f(x)，所以 F(x) = (1/3)x³。
然后，将 F(2) 和 F(1) 代入计算公式：F(2) -F(1) = (1/3)(2³) - (1/3)(1³) = 8/3 - 1/3 = 7/3，即定积分的结果为7/3。
牛顿奈布尼兹公式
牛顿奈布尼兹公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的一个重要公式，它将导数和积分联系在一起，为计算复杂函数的导数提供了一种便捷的方法。
这个公式是由牛顿和莱布尼茨分别独立发现的，被认为是微积分的基石之一。
牛顿-莱布尼茨公式可以用以下形式表达：∫(a到b) f(x) dx = F(b) - F(a)其中，f(x)是函数f的原函数，F(x)是f(x)的一个不定积分。
公式的右边表示函数在区间[a, b]上的定积分，也可以理解为函数在a和b 处的原函数值之差。
牛顿-莱布尼茨公式的证明相对复杂，需要借助于一些数学分析的工具和概念。
简单来说，这个公式的核心思想是将函数的变化率和积分联系在一起。
导数可以理解为函数在某一点的瞬时变化率，积分则表示函数在一段区间上的累积变化量。
牛顿-莱布尼茨公式通过将这两个概念联系在一起，使得我们可以通过积分来计算导数。
利用牛顿-莱布尼茨公式，我们可以更方便地计算一些复杂函数的导数。
以一个简单的例子来说明，假设我们要计算函数f(x) = x^2的导数。
根据牛顿-莱布尼茨公式，我们可以先找到函数f(x)的一个原函数F(x)，然后计算F(x)在某一点的导数即可。
对于f(x) = x^2来说，F(x) = (1/3)x^3就是它的一个原函数。
那么根据牛顿-莱布尼茨公式，f(x)的导数就是F(x)的导数，即f'(x) = d/dx((1/3)x^3) = x^2。
牛顿-莱布尼茨公式在实际应用中有着广泛的用途。
它不仅仅用于计算导数，还可以用于计算一些其他与导数相关的量，比如曲线的斜率、函数的平均值等。
通过将函数的积分和导数联系在一起，牛顿-莱布尼茨公式为我们提供了一种更加便捷和直观的方法来处理微积分问题。
总结一下，牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的重要工具，它将导数和积分联系在一起，为我们提供了一种更加便捷和直观的方法来计算函数的导数。
这个公式的应用范围广泛，可以用于解决各种微积分相关的问题。
牛顿-莱布尼茨公式
05
牛顿-莱布尼茨公式的扩展
变上限的牛顿-莱布尼茨公式
总结词
变上限的牛顿-莱布尼茨公式是针对积分上限变化的情况进行扩展的公式。
详细描述
当积分的上限是一个变量时，传统的牛顿-莱布尼茨公式不再适用。为了解决这 个问题，变上限的牛顿-莱布尼茨公式被引入，它允许积分上限在一定范围内变 化，从而更准确地计算定积分。
感谢观看
THANKS
04
牛顿-莱布尼茨公式的证明
利用不定积分证明
总结词
通过不定积分和原函数的概念，证明牛 顿-莱布尼茨公式。
VS
详细描述
首先，根据不定积分的定义，我们知道对 一个函数进行不定积分可以得到其原函数 。然后，利用不定积分的基本性质，我们 可以将一个定积分转化为不定积分的形式 。最后，通过计算不定积分的结果，得到 定积分的值，从而证明了牛顿-莱布尼茨 公式。
要点一
总结词
通过微积分基本定理，证明牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
详细描述
微积分基本定理指出，如果一个函数在闭区间上可积，那 么其定积分等于其在该区间上所有分割点的函数值的积分 和的极限。利用这个定理，我们可以将定积分转化为求和 的形式，其中每个项表示函数在某个分割点的函数值。通 过计算这些项的和的极限，可以得到定积分的值，从而证 明了牛顿-莱布尼茨公式。
原函数是指一个函数，其导数等于给定的函数。例如，对于函数f(x)=x^2，其原 函数为F(x)=x^3/3。
牛顿-莱布尼茨公式的重要性
牛顿-莱布尼茨公式是微积分学 中的基本定理之一，它为计算定
积分提供了一种简便的方法。
通过使用牛顿-莱布尼茨公式， 我们可以将复杂的定积分问题转 化为求原函数的问题，从而简化
《牛顿莱布尼茨公式》课件
牛顿莱布尼茨公式定义为一个函数在一个区间上的定积分等于该函数在区间端点上的值之差与一个关于该函数在 区间内所有点的平均值的权重的积分之和。公式表示为：∫(a,b) f(x) dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的原函数。
牛顿莱布尼茨公式的历史背景
总结词
牛顿莱布尼茨公式是微积分发展史上的重要里程碑，为解决定积分问题提供了有 效的方法计算系统的传递函数。通过使用牛顿
-莱布尼茨公式，我们可以找到传递函数的原函数，从而更好地理解系
统的动态行为。
02
流体动力学
在流体动力学中，我们经常需要计算流体在管道或容器中的压力和速度
分布。通过使用牛顿-莱布尼茨公式，我们可以找到这些量作为位置的
函数的定积分。
03
热力学
在热力学中，我们经常需要计算系统的热量和熵等量。通过使用牛顿-
莱布尼茨公式，我们可以找到这些量作为温度的函数的定积分。
05
牛顿莱布尼茨公式的扩展与
深化
广义的牛顿莱布尼茨公式
广义的牛顿莱布尼茨公式是指将积分上限和下限扩展到任意 实数，甚至扩展到复数域的情况。这使得积分运算的范围更 加广泛，能够处理更复杂的数学问题。
的函数的定积分。
解决力学问题
在解决与力、运动和牛顿第二定 律相关的问题时，牛顿-莱布尼 茨公式可以帮助我们找到物体的
位移、速度和加速度。
电磁学中的应用
在电磁学中，我们经常需要计算 电场和磁场的能量密度。通过使 用牛顿-莱布尼茨公式，我们可 以找到这些量作为空间位置的函
数的定积分。
在工程领域的应用
01
详细描述
牛顿和莱布尼茨分别独立地发现了这个公式，并为其证明做出了贡献。在此之前 ，计算定积分需要使用复杂的几何方法或数值近似法，而牛顿莱布尼茨公式提供 了一种简便且精确的计算方法，极大地推动了微积分学的发展。
微积分基本定理—牛顿莱布尼茨公式
而原函数是与导函数互逆的一个概念，本质上属于
微分学，形式上看，与定积分没有关系。 Newton 和 Leibniz 却发现了这两个概念之间的内在联系：
函数在一个区间上的定积分等于它的原函数在该区间上的增量。 从此微分学与积分学形成一门完整学科——微积分学。
（2）为 定积分的计算提供了一个有效方法. 如果被积函数连续且其原函数易于求得，则只需 先求出原函数，再将上限和下限代入原函数后相减：
定理2 如果函数 f (x)在[a,b]上连续, 函数 F ( x)是 f ( x)
的一个原函数，则
∫b f ( x) dx = F (b) − F (a). a
（上式称为牛顿—莱布尼茨公式，也叫微积分基本公式）
证 因F ( x)与 Φ ( x) = ∫ x f (t )dt 都是 f ( x) 的原函数， a
证 设 F (t ) 是 f (t ) 的原函数，由 N-L 公式，得
∫ϕ(x)
ψ (x)
f
(t ) dt
=
[
F
(t
)]ψϕ
(x) ( x)
=
F
ϕ
( x)
−
F
ψ
( x)
，
于是，
∫ ϕ(x)
ψ ( x)
f
(t)
dt
′
=
F′ ϕ
( x)ϕ′(
x)
−
F′
ψ
(
x)ψ
′(x)
= f ϕ ( x)ϕ′( x) − f ψ ( x)ψ ′( x).
y
y = f (t)
定义了以 x 为自变量的一个
函数，记为Φ ( x), 即
Φ(x)
§9.2 牛顿-莱布尼兹公式 110303
未必存在原函数： 上可积的函数 概念辨析2. 概念辨析2. 在[a, b]上可积的函数 f(x) 未必存在原函数：
上不存在原函数. 上不存在原函数 f 在[-1, 1]上可积 但 f 在[-1, 1]上不存在原函数 上可积; 上可积
下节将证明：有有限间断点的函数可积 下节将证明：
此式由定积分的几何意 义得到， 义得到，事实上定积分 确有此性质！ 确有此性质！
y
y = x|1-x|
O
1
2
x
第九章第2节
5
例3. 利用定积分求极限
解: 注意到
其和式为
J = lim∑ 1 ⋅ 1 , n→ ∞ i n i=1 1+ n
上的积分和， 在[0, 1]上的积分和，其中取: 上的积分和 其中取:
i i
i i i i −1
i
i −1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
∫
a
f ( x)dx = F(b) − F(a).
第九章第2节
2
定理（牛顿莱布尼兹公式） 定理（牛顿莱布尼兹公式） 若函数 f 在 [a, b] 上连续 且 上连续, 上可积， 存在原函数 F, 即 F’(x) = f ( x), x ∈[a, b]. 则 f 在 [a, b] 上可积， 且
故
∑ f (ξ )∆x −[F(b) − F(a)] = ∑ f (ξ )∆x − ∑[F( x ) − F( x )] (∃η ∈( x , x ), s.t .) = ∑ f (ξ )∆x − ∑F ′(η )∆x (拉氏中值定理 拉氏中值定理) 拉氏中值定理 = ∑[ f (ξ ) − f (η )]∆x ≤ ε ⋅ ∑∆x = ε . b−a b
牛顿—莱布尼兹公式的推广文献综述
(1)
1一元函数牛顿—莱布尼兹公式的推广
定理2[2]若函数 在闭区间 上可积，且存在函数 使得
（1） 上连续，
（2） 内可导，且 ，则有 。
事实上，还能进一步放宽牛顿—莱布尼兹公式成立的条件。
定理3[2]数 闭区间上可积，若存在函数 满足条件
2.1二重积分的牛顿—莱布尼兹公式
定理5[5]设 在矩阵区域 上连续， 为 的一个原函数，则
。
2.2曲线积分的牛顿—莱布尼兹公式
定理6[5]设 为单连通区域， 上具有连续的一阶偏导数， 为 上的一个原函数， 、 为 内的任意两点，则对连接 与 的任意一条光滑曲线 上的积分
。
积分与微分其实是同一个量的整体形式与局部形式，积分是微分的积累，微分是积分的分解，积分与微分是整体与局部的关系，这是积分与微分的最基本的关系。虽然从牛顿—莱布尼兹公式的表面看，该公式反的是一元函数积分与微分之间的基本关系，但事实上整个微积分上都是微分与积分的关系。总而言之，牛顿—莱布尼兹公式是整个微积分的基本定理，是微积分理论的基础。
[5]李信明.牛顿—莱布尼兹公式的推广[J].潍坊学院学报, 2001, (1) 2 : 23-24.
[6]张若峰.牛顿—莱布尼兹公式在平面曲线积分和空间曲线积分中的应用[J].河西学院学报, 2004, (20): 2 8-9.
[7]汤泽莹,周敏,邓小妮.对牛顿—莱布尼兹公式的一点认识[J].数学理论与应用, 1999, (19) 4: 46-48
科研技能训练河北科技师范学院20152016第一学期2015年12数学与信息科技学院科研技能训练一教师设立的方向及其任务二文献检索及综述科研技能训练牛顿莱布尼兹公式的推广牛顿莱布尼兹公式是微积分学中一个极其重要的基本公式它揭示了函数的定积分与原函数或不定积分之间的内在联系因此人们也常将其称为微积分基本公式
牛顿莱布尼茨公式求高阶导数
牛顿莱布尼茨公式求高阶导数
牛顿莱布尼茨公式，也叫“莱布尼茨多项式的微分法”，它允许从比较小的函数中求取较高级导数。
在微积分中，它是一种替代求导法，用于推导函数的高阶导数。
牛顿莱布尼茨公式的主要思想是以递推的方式计算联合函数和它的若干个变量的某一高阶导数，它建立在牛顿差分代数和牛顿插值理论之上。
该公式可从指定函数求出这个函数联合$f(x_1,x_1,\dots,x_n)$的某一高阶偏导数$f^{(k)}_{x_1,x_2,\dots,x_n}$，其中$k\geq 1$。
通过牛顿莱布尼茨公式，只需计算一次函数的低阶导数，就可以轻松计算出一次函数各阶偏导数，从而大大降低程序的计算复杂度。
牛顿莱布尼茨公式的具体形式如下：
$$f^{(k)}_{x_1,x_2,\dots,x_n}=\sum_{s=0}^k\binom{k}{s}\frac{\partial^s f}{\partial
x^p_1\dots\partial x^q_n}$$
其中，$n$是求导的坐标点数目，$k$是导数次数，$p_1,\dots,p_n$和$q_1,\dots,q_n$分别表示各坐标点的次数。
牛顿莱布尼茨公式的另一个优点是它可以计算出从未定义的函数，并在函数的任意点的任意次导数上收敛，这就是牛顿莱布尼茨公式最便捷的地方：它可以用于椭圆、抛物线等形状都如此复杂的函数中，但却无需知道这些函数的详细形式，因此牛顿莱布尼茨公式在计算多变量函数的高阶导数时非常方便。
总而言之，牛顿莱布尼茨公式是一种计算函数的高阶导数的方法，它可以用穷举法计算任意复杂函数的任意阶导数，计算简单快速，易于实现，并且可用于函数未定义的地方。
因此，它是一个具有重要应用价值的计算高阶导数的方法。
maple 牛顿-莱布尼茨公式
《探寻maple 牛顿-莱布尼茨公式》一、引言maple 牛顿-莱布尼茨公式，作为微积分中的经典公式，是描述求导和积分的关系的重要定理。
它由两位伟大的数学家牛顿和莱布尼茨分别独立发现，并且在实际应用和理论探讨中发挥着重要作用。
本文将从浅入深地探讨maple 牛顿-莱布尼茨公式，希望能为读者深入理解这一数学定理的内涵和应用。
二、maple 牛顿-莱布尼茨公式的基本概念1. maples 的概念在微积分中，maple 是代表一个函数的导数。
它描述了函数在某一点的瞬时变化率，是微积分中非常重要的概念之一。
2. 牛顿-莱布尼茨公式的表达maple 牛顿-莱布尼茨公式由以下表达式所描述：∫(a, b) f(x)dx = F(b) - F(a)其中，∫代表积分，f(x)是函数，F(x)是f(x)的不定积分函数，a和b是积分的上下限。
三、maple 牛顿-莱布尼茨公式的探讨1. 证明方法maple 牛顿-莱布尼茨公式的证明可以通过利用极限的性质，结合微分学和积分学的知识进行推导。
基于导数和积分的定义，可以清晰地展示maple 牛顿-莱布尼茨公式的成立过程。
2. 函数的连续性和可导性maple 牛顿-莱布尼茨公式适用于连续函数和可导函数。
在进行积分操作时，对函数连续性和可导性的要求是必不可少的。
3. 应用场景maple 牛顿-莱布尼茨公式在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用。
在物理学中，可以利用maple 牛顿-莱布尼茨公式求解曲线下的面积和质心等问题。
四、个人理解和观点作为一名数学爱好者，我深刻理解maple 牛顿-莱布尼茨公式的重要性和美妙之处。
它不仅揭示了导数和积分之间的奇妙关系，还为我们解决实际问题提供了强大的工具。
maple 牛顿-莱布尼茨公式的深入理解不仅有助于提高数学水平，还能拓展思维，对于培养逻辑思维和解决实际问题具有重要意义。
五、总结本文从maple 牛顿-莱布尼茨公式的基本概念出发，深入探讨了其证明方法、适用条件和应用场景，同时结合个人观点和理解进行了阐述。
N—L公式的推广与应用
N—L公式的推广与应用作者：刘旭堂来源：《东方教育》2017年第16期摘要：众所周知，關注微积分学的人都了解，微积分是自然科学史上最著名的科学成果之一，是千百年来人类创造性思维的结晶。
微积分的创立，不仅解决了当时的一些重要的科学问题，而且由此产生了诸如微分方程、无穷级数、微分几何、变分法、复变函数等一些重要的数学分支。
关键词：牛顿-莱布尼茨公式；推广；应用牛顿-莱布尼茨公式是微积分学中一个极其重要的基本公式。
利用它可将定积分的计算问题转化为原函数的计算问题，但由于该公式的条件比较强，影响了它的应用与推广。
一、牛顿—莱布尼茨公式的含义及思想方法1.含义牛顿：（1642-1727）英国著名科学家、物理学家、数学家。
他1671年写了一本书《流数法和无穷级数》，它在这本书里明确指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，这样就在某种意义上说否定了先前自己认为的变量是无穷小元素的统一静止集合。
在这一文献中，他把连续变量叫做流动量，把这些流动量组合成的导数叫做流数。
牛顿在这一流数术法则中所提出的中心问题是：已知连续不静止的路径，求给定时刻的速度；已知运动的速度试求给定时间内经过的路程。
莱布尼茨：（1646一一1716）是德国著名科学家、数学家。
1684年，他发表题目为《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》的一本书，这是世界上公认的最早的微积分文献。
就是这样一篇说理也似乎有点含糊不清的文章，却在历史上产生了划时代的意义。
现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨选用开创的。
2.思想方法极限的思想方法，是微积分学的根本方法。
牛顿—莱布尼茨公式作为微积分的重要公式，它集中体现了极限的思想方法，这个公式的证明方法常见的有两种：一种方法是莱布尼茨的方法，即先引人积分上限函数，然后证明出积分上限函数的导数为被积函数本身，再根据一个函数的任意两个原函数之差为某一常数，这一性质推出牛顿—莱布尼茨公式。
【牛顿-莱布尼茨公式的n维推广】外微分公式、斯托克斯公式、广义斯托克斯公式
【⽜顿-莱布尼茨公式的n维推⼴】外微分公式、斯托克斯公式、⼴义斯托克斯公式⽬录0、前⾔&引⼦0.1、本⽂要求的预备知识本⽂要求读者已修习书⽬《⾼等数学（下）》，了解「梯度」、「散度」、「旋度」的定义，了解全微分公式，熟悉「第⼀/⼆类曲线/⾯积分」，了解「⽜顿-莱布尼茨公式」、「格林公式」、「⾼斯公式」、「斯托克斯公式」。
本⽂旨在于让读者理解到「⽜顿-莱布尼茨公式」、「格林公式」、「⾼斯公式」、「斯托克斯公式」可以被统⼀为「⼴义斯托克斯公式」。
0.2、⽜顿-莱布尼茨公式我们在⾼数中讲过⽜顿-莱布尼茨公式\[\int_{a}^b{f^\prime\left( x \right) \mathrm{d}x}=f\left( b \right) -f\left( a \right) \tag{0.1} \]或者记为\[\int_{\left[ a,b \right]}{ \mathrm{d}f}=f\left( b \right) -f\left( a \right) \tag{0.2} \]0.3、格林公式在讲⼆重积分时，引⼊了格林公式\[\iint_D{\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y}=\oint_{l}{P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y}\tag{0.3} \]其中曲线 \(l\) 是平⾯区域 \(D\) 的边界曲线，我们⽤符号 \(l=\partial D\) 来表⽰ \(D\) 的边界曲线，并⽤⾏列式化简表达式\[\iint_D{\left| \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}\\ P& Q\\ \end{matrix}\right|\mathrm{d}x\mathrm{d}y}=\oint_{\partial D}{P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y} \tag{0.4} \]表达式右端可以看作向量的内积 \(\left\{P,Q\right\}\cdot \left\{\mathrm{d}x,\mathrm{d}y\right\}\) ，因此，令 \(\boldsymbol{F}=\left\{ P,Q \right\} ,\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\left\{ \mathrm{d}x,\mathrm{d}y \right\}\) ，格林公式可以进⼀步写为\[\iint_D{\left| \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}\\ P& Q\\ \end{matrix}\right|\mathrm{d}x\mathrm{d}y}=\oint_{\partial D}{\boldsymbol{F} \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}} \tag{0.5} \]还记得⾼数讲得旋度公式 \(\nabla \times \boldsymbol{F}=\left| \begin{matrix} \boldsymbol{\hat{x}}& \boldsymbol{\hat{y}}&\boldsymbol{\hat{z}}\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\ P& Q& R\\\end{matrix} \right|\) 吗？是不是感觉和这⾥很像？因为这⾥的 \(\boldsymbol{F}\) 没有 \(z\) 分量，所以这⾥有 \(\nabla \times \boldsymbol{F}=\left| \begin{matrix}\boldsymbol{\hat{x}}& \boldsymbol{\hat{y}}& \boldsymbol{\hat{z}}\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& 0\\ P& Q&0\\\end{matrix} \right| = \boldsymbol{\hat{z}}\left| \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}\\ P& Q\\ \end{matrix} \right|\)。
牛顿—莱布尼兹公式的推广-计划书.
（1） 在 上连续；
（2） 内除有有限个点外 恒成立，则有
。
进一步，巩子坤在文献[4]牛顿—莱布尼兹公式的再推广中再一次弱化了牛顿-莱布尼兹公式的条件。
定理4[4]函数 在闭区间 上可积，若存在函数 满足条件
（1）
（2）在 内除点集；
外，均有 则
。
五、参考文献（不少于10篇）
[1]华东师范大学数学系.数学分析上、下册[M].北京:高等教育出版社, 2003.
[2]陈启娴.牛顿—莱布尼兹公式应用范围的推广[J].西华大学学报, 2005, (24): 78-80.
[3]汤泽莹,周敏,邓小妮.对牛顿—莱布尼兹公式的一点认[J].数学理论与应用, 1999, (19): 46-48.
国内外研究现状、水平与发展趋势：
牛顿-莱布尼兹公式是微积分学的一个极其重要的基本公式。它的应用相当广泛。为了便于对照原定理讨论牛顿-莱布尼兹公式应用范围的推广,现将 ， ，则 在 上可积，且
（1）
在（1）式定理中，函数 在闭区间 上连续是牛顿-莱布尼兹公式成立的一个重要条件。然而， 在闭区间 上连续只是定积分存在的充分而非必要条件。那么，当定积分存在而函数 并不在闭区间 上连续时，牛顿-莱布尼兹公式又是否成立呢？
事实上，我们可以对公式的条件进行弱化，从而对其应用范围进行推广。陈启娴在牛顿—莱布尼兹公式应用范围的推广中得出了下面的结论，并给出了证明。
定理2[2]函数 在 闭区间上可积，若存在函数 使得
（1） 在 上连续；
（2） 在 内可导，且 ，则有
。
事实上还能进一步放宽牛顿—莱布尼兹成立的条件。文献[2]中对牛顿—莱布尼兹公式进行了进一步的推广。