43 协方差和相关系数精品PPT课件

4
12
45
XY
1 12 0.968 1 4 12 45
2) E( X ) 0, E( XY ) 0
XY 0
XY
0.968
:有96.8%的线性相似度，即在[0,1]之间，
y=x2与某条直线y=ax+b的图像差别不大。
XY 0 :根本就没有线性相关性，但有其他相关性。
三. 矩
XY
COV ( X ,Y ) 1 D( X )D(Y ) 2
例6 1) X ~ U (0,1),Y X 2 ,求 XY
2）X ~ U (1,1),Y X 2 ,求 XY
解1)
E( X ) 1 , E(Y ) 1 , E( XY ) 1 , D( X ) 1 , D(Y ) 4
2
3
解 DX 3, DY 1,
D(V ) 16D( X ) 9D(Y ) 24Cov( X ,Y ) 33, D(W ) 4D( X ) 16D(Y ) 16Cov( X ,Y ) 44,
Cov(V ,W ) Cov(4X 3Y 1,2X 4Y ) 8D( X ) 16Cov( X ,Y ) 6Cov(Y , X ) 12D(Y ) 22.
)
1 0
x 0
x
2dy
dx
2 3
D(X )
1 0
x 0
x2
2dy
dx
4 9
1 18
x=y D 1
E(Y
)
1 0
x 0
y
2dy
dx
1 3
D(Y )
1 x
0 0
y2
2dy
dx
1 9
1 18
E(XY )
1 0
x 0
xy
2dy dx
1 4
Cov( X ,Y ) E( XY ) E( X )E(Y ) 1 36
二.相关系数(*)
1. 定义 若随机变量 X，Y的方差和协方差均存在,
且DX>0,DY>0，则
XY
Cov( X ,Y ) DX DY
无量纲 的量
称为X与Y的相关系数.
注1：若记 X * X E(X )
DX
称为X 的标准化，易知EX*=0，DX*=1.且
XY Cov( X *,Y *) E( X *Y *).
性质2“X与Y 独立”
“X与Y不相关”,反之未必成立.
例２ 设(X, Y)在D={(x, y)：x2+y21}上服从均匀分 布，求证：X与Y 不相关，但不是相互独立的。
性质3 X与Y为随机变量,则下列结果等价 (1) X,Y不相关; (2) Cov(X,Y)=0; (3)E( XY)=EX EY; (4) D(X+Y)=DX+DY.
注2 XY 0
X , Y 不相关
Cov( X ,Y ) 0
E( XY ) E( X )E(Y )
D(X Y ) D(X ) D(Y )
X ,Y 相互独立
X , Y 不相关
注3 若 ( X ,Y ) ~ N ( 1, 12, 2, 22, ),
则X ,Y 相互独立
X ,Y 不相关
2. 相关系数的性质
Cov(X ,Y ) E (X EX )(Y EY )
若 ( X ,Y ) 为离散型，
C ov(X ,Y )
[xi E( X )][ y j E(Y )]pij
i1 j1
若 ( X ,Y ) 为连续型，
C ov(X ,Y) [x E(X )][y E(Y )] f (x, y)dxdy
定理 在以上假设条件下，有
(1) | |1； XY
(2) |XY|=1存在常数a, b 使P{Y= aX+b}=1； (3) X与Y不相关 XY=0;
例4 1.设(X,Y)服从区域D:0<x<1,0<y<x上的 均匀分布,求X与Y的相关系数
解
f
(x,
y)
2 0
(x, y) D others
E(X
X，Y 独立 E{(X-EX)(Y-EY)}=0
数 E (X EX )(Y EY )
反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系
定义 称 E (X EX )(Y EY )
为X,Y的协方差.记为
Cov(X ,Y ) E (X EX )(Y EY )
证明
Cov(X, Y)=E(XY)-EX•EY.
E( XY ) —— X ,Y 的 二阶原点矩
E(X EX )(Y EY ) — X ,Y 的二阶混合中心矩
X ,Y 的协方差
E
(X
EX )(Y EY D( X ) D(Y )
)
XY
—— X ,Y 的相关系数
例5 设 ( X ,Y ) ~ N ( 1,4; 1,4; 0.5 ),
Z = X + Y , 求 XZ 解 E( X ) E(Y ) 1, D( X ) D(Y ) 4,
§4.3 协方差和相关系数
问题 对于二维随机变量(X ,Y ):
已知联合分布
边缘分布
对二维随机变量,除每个随机变量各自 的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系. 问题: 用一个怎样的数去反映这种联系.
一.协方差定义与性质
若X, Y 独立,则根据数学期望的性质，有 E(XY)=EX EY
E{(X-EX)(Y-EY)}=E(XY)-EX EY=0
E(X k )
—— X 的 k 阶原点矩
E(| X |k )
—— X 的 k 阶绝对原点矩
E((X E( X ))k ) —— X 的 k 阶中心矩
E((X E( X ))2 ) D( X )—— X 的 方差
E( X kY l ) —— X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩
E (X EX )k (Y EY )l —— X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩
协方差性质
性质1 (1) Cov(X, Y)=Cov(Y, X); (2) Cov(X,X)=D(X); Cov(X,c)=0;
(3) Cov(aX, bY)=abCov(X, Y), 其中a, b为 常数；
(4) Cov(X+Y,Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y, Z);
D(C1X C2Y ) C12DX C22DY 2C1C2Cov( X ,Y )
XY 1/ 2, cov( X ,Y ) 2
cov(X , Z ) cov(X , X ) cov(X ,Y ) 6
D(Z) D(X Y)
D(X ) D(Y ) 2cov(X ,Y ) 12
XZ 3 / 12