六年级下册数学思维提升—易错难点训练及答案

， 丙的工作效
率：
，
（天）。
答：完成工作需要 天。
【解析】【分析】 以甲、乙、丙各工作一天为一个周期，即 3 天一个周期。容易知道，第
一种情况下一定不是完整周期内完成，但是在本题中，有两种可能，第一种可能是完整周
期
天，第二种可能是完整周期
天。如果是第一种可能，
有
，得
。然而此时甲、乙、丙的效率和
为
， 经过 4 个周期后完成
10．一份文件，如果甲抄 10 小时，乙抄 10 小时可以抄完；如果甲抄 8 小时，乙抄 13 小 时也可以抄完．现在甲先抄 2 小时，剩下的甲、乙合作，还需要几小时才能完成？
【答案】 解：乙的工作效率：
= =，
甲的工作效率：
，
还需要的时间：
（小时）。
答：还需要 小时才能完成。
【解析】【分析】 甲、乙合作的效率为 ；将甲抄 8 小时，乙抄 13 小时，转化为甲乙和 抄 8 小时，乙单独抄 5 小时。用工作效率和乘 8 求出 8 小时完成的工作量，用 1 减去 8 小 时完成的工作量即可求出乙 5 小时的工作量，用这个工作量除以 5 即可求出乙的工作效 率，进而求出甲的工作效率。用 1 减去甲 2 小时的工作量求出剩下的工作量，用剩下的工 作量除以两人的工作效率和即可求出还需要的时间。
【解析】【分析】 因为最后 A 桶的酒精含量高于 B 桶，所以一开始 A 桶盛的是酒精溶 液，B 桶中是水。设一开始 A 桶中有液体 x，B 桶中有 y，然后分别表示出两次操作后溶液 的量，并根据两种液体体积相等得到一个等式，再求出两桶溶液的容量比。然后运用列表 的方法确定 A 桶中酒精的含量即可。
7．有 ， 两个桶，分别盛着水和某含量的酒精溶液．先把 桶液体倒入 桶，使 桶中
的液体翻番；再将 桶液体倒入 桶，使 桶中的液体翻番．此时， ， 两桶的液体体
积相等，并且 桶的酒精含量比 桶的酒精含量高 ．问：最后 桶中的酒精含量是多
少？
【答案】 解：因为最后 桶的酒精含量高于 桶，所以一开始 桶盛的是酒精溶液．设一
开始 桶中有液体 ， 桶中有 ．第一次从 桶倒入 桶后， 桶有 ， 桶剩
；第二次从 桶倒入 桶， 桶有
， 桶剩
．由
，得
．
再设开始 桶中有纯酒精 ，则有水
．将酒精稀释过程列成表（如图）：由题意
知，
，解得
．
初始状态 第一次 桶倒入 桶
桶 纯酒精：水
．所以最后 桶中的酒精含量是
桶 纯酒精：水
第二次 桶倒入 桶
完成总工程量 “1” “1” “1”
可得
， 所以
，
。因为甲单
独做需 率为
天，所以工作效率为 ， 于是乙的工作效率为 。
， 丙的工作效
于是，一个周期内他们完成的工程量为
。则
需
个完整周期，剩下
的工程量；正好甲、乙各一天
完成．所以第二种可能是符合题意的。这样用总工作量除以三人的工作效率和即可求出合 作完成的时间。
， 还剩
下
， 而甲每天完成
， 所以剩下的 不可能由甲 1 天
完成，即所得到的结果与假设不符，所以假设不成立。 第二种可能：
完整周期 不完整周期
第一 种 情 n 个周期 况
甲 1 天，乙 1 天
第二 种 情 n 个周期 况
乙 1 天，丙 1 天，甲 天
第三 种 情 n 个周期 况
丙 1 天，甲 1 天，乙 天
9．甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数
天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用 天；若按丙、甲、
乙的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用 天．已知甲单独完成这件工作需 天．问：甲、乙、丙一起做这件工作，完成工作要用多少天？
【答案】 解：甲的工作效率：1÷10.75= ， 乙的工作效率：
（1）图中 A→C（________，________），B→C（________，________），C→________ （+1，﹣2）； （2）若这只甲虫从 A 处去甲虫 P 处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣ 2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出 P 的位置； （3）若这只甲虫的行走路线为 A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程． （4）若图中另有两个格点 M、N，且 M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），则 N→A 应记为什么？ 【答案】（1）+3；+4；+2；0；D （2）解：P 点位置如图 1 所示；
100x+400× =60 300x=60 x=0.2
答：A 种酒精溶液的浓度是 20%。 【解析】【分析】用混合后酒精的重量减去原来溶液中酒精的重量求出新加入的溶液中酒
精的重量。设 A 种酒精溶液的浓度为 x，则 B 种为 ， 等量关系：A 溶液中酒精的重量+B 溶液中酒精的重量=新加入酒精的重量，根据等量关系列出方程，解方程求出 A 中溶液酒 精的浓度即可。
源自文库
（3）解：如图 2，
根据已知条件可知： A→B 表示为：（1，4），B→C 记为（2，0）C→D 记为（1，﹣2）； 则该甲虫走过的路线长为：1+4+2+1+2=10
（4）解：由 M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2）， 所以，5﹣a﹣（3﹣a）=2，b﹣2﹣（b﹣4）=2， 所以，点 A 向右走 2 个格点，向上走 2 个格点到点 N， 所以，N→A 应记为（﹣2，﹣2） 【解析】【解答】解：（1）图中 A→C（+3，+4），B→C（+2，0），C→D（+1，﹣2）； 故答案为：（+3，+4），（+2，0），D； 【分析】（1）根据向上向右走均为正，向下向左走均为负确定数据即可； （2）根据所给的路线确定点的位置即可； （3）根据表示的路线确定长度相加可得结果； （4）观察点的变化情况，根据（1）即可确定点走了格数，从而确定结论.
（2）列式计算青少年宫与商场之间的距离．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：由题意可得：300－(－200)=500 或︱－200－300︱=500. 答：青少年宫与商场之间的距离是 500 m 【解析】【分析】（1）根据题意画出学校为原点的数轴，在数轴上表示出四家公共场所的 位置；（2）根据题意青少年宫与商场之间的距离是 300－(－200)，再根据减去一个数等于 加上这个数的相反数，求出青少年宫与商场之间的距离.
4．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神 秘 数”．如：4＝22-02 ， 12＝42-22 ， 20＝62-42 ， 因此 4，12，20 这三个数都是神秘 数． （1）28 和 2012 这两个数是神秘数吗?为什么? （2）设两个连续偶数为 2k+2 和 2k(其中 k 取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数 是 4 的倍数吗?为什么? （3）两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗?为什么? 【答案】（1）解：找规律：4=4×1＝22-02 ， 12＝4×3＝42-22 ， 20＝4×5＝62-42 ， 28=4×7 ＝82-62 ， …，2012=4×503＝5042-5022 ， 所以 28 和 2012 都是神秘数 （2）解：(2k+2) 2-(2 k) 2＝4(2k +1)，因此由这两个连续偶数构造的神秘数是 4 的倍数 （3）解：由(2)知，神秘数可以表示成 4(2k+1)，因为 2 k +1 是奇数，因此神秘数是 4 的倍 数，但一定不是 8 的倍数．另一方面，设两个连续奇数为 2 n +1 和 2 n -1，则(2 n +1) 2-(2n1) 2=8n，即两个连续奇数的平方差是 8 的倍数．因此，两个连续奇数的平方差不是神秘 数． 【解析】【分析】（1）根据规律得到 28=4×7＝82-62 ， 2012=4×503＝5042-5022 ， 得到 28 和 2012 这两个数是神秘数； （2）由(2k+2) 2-(2k) 2＝(2k+2+2k)（2k+2-2k）=4(2k +1)，因此由这两个连续偶数构造的神秘 数是 4 的倍数； （3）神秘数可以表示成 4(2k+1)，因为 2k +1 是奇数，因此神秘数是 4 的倍数，但一定不 是 8 的倍数；两个连续奇数的平方差是 8 的倍数，因此这两个连续奇数的平方差不是神秘
2．如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第 1 个至第 4 个台阶上依次标着 -5，-2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等.
（1）求前 4 个台阶上数的和是多少？ （2）求第 5 个台阶上的数 是多少？ （3）应用 求从下到上前 31 个台阶上数的和． 发现 试用含 k（k 为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数． 【答案】（1）解：由题意得前 4 个台阶上数的和是-5-2+1+9=3
6．已知 x、y 为有理数，现规定一种新运算“※ ”，满足 x※ y=xy+1． （1）求 3※ 4 的值； （2）求（2※ 4）※ （﹣3）的值； （3）探索 a※ （b﹣c）与（a※ c）的关系，并用等式表示它们． 【答案】（1）解：3※ 4=3×4+1=13 （2）解：（2※ 4）※ （﹣3）=（2×4+1）※ （﹣3）=9※ （﹣3）=9×（﹣3）+1=﹣26 （3）解：∵ a※ （b﹣c）=a•（b﹣c）+1=ab﹣ac+1=ab+1﹣ac﹣1+1， a※ c=ac+1． ∴ a※ （b﹣c）=a※ b﹣a※ c+1 【解析】【分析】根据新运算的规律，求出计算式的值，求出探索的式子之间的关系.
数．
5．如果
，那么我们规定
.例如：因为
，所以
.
（1）根据上述规定，填空：
________，
________，
________.
（2）若记
，
，
.求证：
.
【答案】（1）3；0；-2 （2）解：依题意则 ∵
∴ 【解析】【解答】解：（1）（3,27）=3,（4,1）=0，（2,0.25）=-2， 故答案为：3；0；-2【分析】根据新定义的算法计算出根指数即可；由新定义的算法，得 到同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；证明出结论.
3．在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所．已知青少年 宫在学校东 300m 处. 商场在学校西 200m 处，医院在学校东 500m 处．若将马路近似地看 做一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用 1 个单位长度表示 100m．
（1）在数轴上表示出四家公共场所的位置．
8．瓶中装有浓度为 的酒精溶液
克，现在又分别倒入 克和 克的 、 两
种酒精溶液，瓶中的浓度变成了 ．已知 种酒精溶液浓度是 种酒精溶液浓度的
倍，那么 种酒精溶液的浓度是百分之几？
【答案】 解：新倒入的纯酒精重量：
（1000+100+400）×14%-1000×15%
=210-150 =60（克）
设 A 种酒精溶液的浓度为 x，则 B 种为 。
六年级下册数学思维提升—易错难点训练及答案
一、培优题易错题
1．如图，一只甲虫在 5×5 的方格（每小格边长为 1）上沿着网格线运动．它从 A 处出发去 看望 B、C、D 处的其它甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如果从 A 到 B 记为：A→B（+1，+4），从 B 到 A 记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方 向，第二个数表示上下方向．
（2）解：由题意得-2+1+9+x=3， 解得：x=-5， 则第 5 个台阶上的数 x 是-5
（3）解：应用：由题意知台阶上的数字是每 4 个一循环， ∵ 31÷4=7…3， ∴ 7×3+1-2-5=15， 即从下到上前 31 个台阶上数的和为 15； 发现：数“1”所在的台阶数为 4k-1 【解析】【分析】（1）由台阶上的数求出台阶上数的和即可；（2）根据题意和（1）的 值，求出第 5 个台阶上的数 x 的值；（3）根据题意知台阶上的数字是每 4 个一循环，得到 从下到上前 31 个台阶上数的和，得到数“1”所在的台阶数为 4k-1.