5.1.2 垂线—垂线的定义与性质

导引：观察图形不难看出，(1)(3)属于过直线外一点画 已知直线的垂线，(2)属于过直线上一点画已知
直线的垂线，所以按照“一靠、二过、三画”
的方法画图即可． 解：画出的直线m，n，p如上页图.
知2－讲
总 结
过已知点画已知直线的垂线，实际上就是过已知 点画一条直线，使所画直线与已知直线相交所成的角 是90°.
3
如图，CD⊥EF，∠1＝∠2，则AB⊥EF.请说明理由
(补全解题过程)．
解：因为CD⊥EF， 所以∠1＝________(垂直的定义)． 因为∠2＝∠1，所以∠2＝________， 所以AB________EF(垂直的定义)．
知1－练
4
如图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，∠AOC＝27°，则 ∠BOD的度数是( )
线的垂线 D．过直线外一点与直线上一点画的一条直线与该 直线垂直
知3－讲
知识点
3
垂线的基本事实
关于垂线的基本事实： (1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直．
(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段
最短，简单说成：垂线段最短．(过直线外一点画已
知直线的垂线，连接这点与垂足之间的线段，叫这点 到已知直线的垂线段)
知3－讲
导引：要尽可能节省材料，也就是让管道的总长度尽可能
短．方案一中CE，DF是垂线段，而方案二中PC，
A．117°
C．153°
B．127°
D．163°
知2－讲
知识点
2
垂线的画法
1.试一试： 经过直线AB外一点P，按图所示的两种方法，
画出垂直于直线AB的直线.这样的垂线能画多少条呢？
如图,你能经过直线AB上一点P，画出垂直于直线AB 的直线吗？这样的垂线能画多少条呢？
知2－讲
2.垂线的画法 经过一点(已知直线上或直线外)，画已知直线的垂线， 步骤如下： (1)靠线：让直角三角尺的一条直角边与已知直线重合； (2)过点：沿直线移动，使直角
90°；要让∠EOF＝90°，需说明∠EOF＝
∠AOC或∠EOF＝∠BOC都可，这样就把问题 转化为说明∠AOE＝∠COF(已知)了．
知1－讲
解：射线OE，OF互相垂直．理由如下： 因为CO⊥AB，所以∠AOC＝90°. 又因为∠AOE＝∠COF，
所以∠AOE＋∠COE＝∠COF＋∠COE，
即∠AOC＝∠EOF＝90°. 所以OE与OF互相垂直(垂直定义)．
知1－讲
总 结
判断两直线(线段、射线所在直线)互相垂直，主要
依据是垂直定义，只要说明两条相交直线所构成的四
个角中有一个角是直角即可．
知1－讲
例2 如图，直线AB，CD相交于点O，过O点画射线OE，
OF，使OE⊥CD，OD平分∠BOF. 如果∠BOE＝
50°，求∠AOC，∠EOF和∠AOF的度数． 导引：根据∠AOC与∠BOD是对顶角， 且∠BOD与∠BOE互余，即可 求出∠AOC的度数；根据OD平 分∠BOF，∠EOF＝∠BOE＋2∠BOD即可求出 ∠EOF的度数；根据∠AOF与∠BOF互补可求得
第 5章
相交线与平行线
5.1
相交线
第 2 课时
垂线——垂线
的定义与性质
1
课堂讲解
垂直的定义 垂线的画法
垂线的基本事实
2
课时流程
逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升
知1－讲
知识点
1
垂直的定义
1.定义：当两条直线AB和CD所构成的四个角中有一个 为直角时，其他三个角也都成为直角，此时，直线 AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”，其中一条直
三角尺的另一条直角边经过
已知点； (3)画线：沿直角边画线，则这
条直线就是经过这个点的已
知直线的垂线．如图.
知2－讲
例3 如图，M是三角形ABC中BC边上的任意一点，请 你按照下列要求画图： (1)过M点画直线AB的垂线m；
(2)过M点画直线BC的垂线n；
(3)过M点画直线AC的垂线p.
知2－讲
知1－讲
总 结
来自百度文库1.本题解题思路可概括为“顺藤摸瓜”，即由已知条 件 OE⊥CD入手，根据对顶角、邻补角、角平分线 的有关知识，逐步深入求得各角的度数． 2.已知两条直线垂直或已知一条直线的垂线时，能直 接得到90°的角，因此利用这个条件，并与角平分 线、余角、补角、邻补角、对顶角等知识相结合，
可求出图中其他未知各角的度数．
知1－练
1
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是___
时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫
做另一条直线的________，它们的交点叫做______．
2 垂直定义的应用格式：如图，
(1)因为∠AOC＝90°，所以______． (2)因为AB⊥CD，所以∠AOC＝_____°.
知1－练
∠AOF的度数．
知1－讲
解：因为OE⊥CD，所以∠DOE＝90°(垂直定义)．
因为∠BOE＝50°，
所以∠AOC＝∠BOD＝∠DOE－∠BOE＝ 90°－50°＝40°. 因为OD平分∠BOF， 所以∠BOF＝2∠BOD＝80°.
所以∠EOF＝∠BOF＋∠BOE＝80°＋50°＝130°，
∠AOF＝∠AOB－∠BOF＝180°－80°＝100°.
知3－讲
例4
如图所示，AB是一条河流，要铺设管道将河水引 到C、D两个用水点，现有两种铺设管道的方案： 方案一：分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别 为点 E，F，沿CE，DF铺设管道； 方案二：连接CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管 道．这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？ 为什么？(忽略河流的宽度)
线叫做另一条直线的垂线，它们
的交点 O叫做垂足．如图.
知1－讲
2.推理格式： 因为∠AOC＝90°(已知)， 所以AB⊥CD(垂直定义)．
反过来：因为AB⊥CD(已知)，
所以∠AOC＝90°(垂直定义)．
知1－讲
例1 如图，CO⊥AB于点O，∠AOE＝∠COF，则射 线OE，OF是什么位置关系？请说明理由． 导引： 要判断OE，OF是什么位置关 系，其实质是说明OE，OF是 否垂直，即要看∠EOF是否为
知2－练
1 下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法 正确的是( )
知2－练
2 下列说法正确的是(
)
A．在同一平面内，过直线外一点向该直线画垂线， 垂足一定在该直线上 B．在同一平面内，过线段或射线外一点向该线段 或射线画垂线，垂足一定在该线段或射线上
C．过线段或射线外一点不一定能画出该线段或射