5.1.2 垂线—垂线的定义与性质
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5.1.2 垂线(一)
练习一、
E E
E 注意:画线段(或射线)的 垂线时,有时要将线段延 长(或将射线反向延长) 后再画垂线.
练习二、
1、如图，分别过A、B、C 作BC、AC、AB的垂线。 A
解：如图、AD⊥BC于D、 BE⊥AC于E、CF⊥AB于F
F C D
B E
2、如图，过P分别作OA、 OB的垂线。 O 解：如图、PM⊥OA于M、 PN⊥OB于N
新人教版-七年级（下）数学-第五章
5 .1.2 垂线（1）
观察与思考
垂直是相交的 一种特殊情况
一、垂直的概念
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角 垂直 ，其中一条 直角 时，这两条直线互相_____ 是______ 垂足 。 直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫______
C
o
记做：
A
o
D
B
垂足为O
变式练习1
如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB， ∠1=125°,求∠COE的度数.
C A E O 1 D
B
例2 如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于 O，OB平分∠ DOF，∠DOE=50°,求∠AOC、 ∠ EOF、 ∠ COF的度数. E
解:
∵ AB⊥OE （已知） ∴ ∠EOB=90°(垂直的定义) B A O ∵ ∠DOE= 50°（已知） C F ∴ ∠DOB=40°(互余的定义) ∴ ∠AOC= ∠DOB=40°（对顶角相等） 又∵OB平分∠DOF ∴ ∠BOF= ∠DOB=40°（角平分线定义） ∴ ∠EOF= ∠EOB+ ∠BOF=90°+40°=130° ∴ ∠COF=∠COD－∠DOF=180°－80°=100° (邻补角定义)
5.1.2_垂线(2)--
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角 中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂 直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它 a 们的交点叫垂足。 α b 2.垂直的表示： O 用“⊥”和直线字母表示垂直
例如、如图，a、b互相垂直, 垂足为O， 则记为： a⊥b或b⊥a,
若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O.
C
E
B
∵ DE⊥BC于E(已知） A D ∴ DE＜CD（垂线段最短）
∴ AB＞AC＞CD＞DE
例4、如图,量出（1）村庄A与货场B的距离, （2）货场B到铁道的距离。
30 m 20 m
A
25m
8m 答:……。 B
C
0m
10 m
例5、如图， 1)画出线段BC的中点M，连结AM； 2)比较点B与点C到直线AM的距离。
C
想一想：
已知：如图AD＜AE ＜AC＜AB能说AD的 长是A到BC的距离吗？
A
答：不能。
B D EC
例3、如图：AC⊥BC于C,CD⊥AB于D,DE⊥BC 于E,试比较四条线段AB 、AC、DC和 DE的大小。
解： ∵ AC⊥BC于C(已知） ∴ AC＜AB（垂线段最短） 又∵ CD⊥AD于D(已知） ∴ CD＜AC（垂线段最短）
C
N
拓展应用1
如图：在铁路旁边有一张庄，现在要建一火 车站，为了使张庄人乘火车最方便（即距离最近） ，请你在铁路上选一点来建火车站，并说明理由。
张庄
垂线段最短
拓展应用2
问题1：长方体的顶点A处有一 只蚂蚁想爬到点C处，请你帮 它画出爬行的最佳路线。并说 明理由。 F问题2：若A处的蚂蚁想爬到棱 BC上，你认为它的最佳路线是 什么？ E 问题3：若蚂蚁在点M处，想爬 到棱BC上，请你设计一条最佳 路线。
5.1.2 垂线
5.1.2
垂线
温故知新
探索新知
小试牛刀
小结反思
课后演练
温故知新
问题1：如右图，直线AB，CD 相交于点O， （1）∠AOC的对顶角是哪个角？这 两个角的关系怎样？ ∠BOD，相等 （2）∠AOC的邻补角有几个？是哪 几个角？ 2个，∠AOD，∠BOC
A C O B C
D
问题2：如右图，直线AB，CD相交于点O， A 当∠AOC＝90°时，∠BOD，∠AOD，∠BOC等 于多少度？为什么？
注意：画线段（或射线）的垂线时，有时要将线段延长 （或将射线反向延长）后再画垂线.
E
小结反思
同学们，一堂课就要结束了，下面我们互相分享一 下各自的学习成果吧！ 1.垂线的定义: 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时， 这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线， 它们的交点叫做垂足. 2.垂线的画法: 一、放；二、靠；三、移；四、画. 3.垂线的性质: （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线 垂直；（2）垂线段最短. 4.垂线段的定义: 由直线外一点向直线引垂线，这点与 垂足间的线段叫做垂线段. 5.点到直线的距离： 从直线外一点到这条直线的垂线段 的长度，叫做点到直线的距离.
A. B. C. D. 3.如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则点C到直 线AB的距离是（ B ） A．线段CA的长 B．线段CD的长 C．线段AD的长 D．线段AB的长
4.如图，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之 72 度. 比为1：5，那么∠COA＝ ______ 5.如图，已知直线AB，CD都经过O点，OE 为射线，若∠1＝35°, ∠2＝55°，则OE 与AB的位置关系是 垂直 . 6.如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB， 35° ∠1=125°，则∠COE的度数______. 7.画一条线段或射线的垂线，就是画它们所 在直线的垂线，如图，请你过点P画出射线 AB或线段AB的垂线. E E
垂线
温故知新
探索新知
小试牛刀
小结反思
课后演练
温故知新
问题1：如右图，直线AB，CD 相交于点O， （1）∠AOC的对顶角是哪个角？这 两个角的关系怎样？ ∠BOD，相等 （2）∠AOC的邻补角有几个？是哪 几个角？ 2个，∠AOD，∠BOC
A C O B C
D
问题2：如右图，直线AB，CD相交于点O， A 当∠AOC＝90°时，∠BOD，∠AOD，∠BOC等 于多少度？为什么？
注意：画线段（或射线）的垂线时，有时要将线段延长 （或将射线反向延长）后再画垂线.
E
小结反思
同学们，一堂课就要结束了，下面我们互相分享一 下各自的学习成果吧！ 1.垂线的定义: 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时， 这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线， 它们的交点叫做垂足. 2.垂线的画法: 一、放；二、靠；三、移；四、画. 3.垂线的性质: （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线 垂直；（2）垂线段最短. 4.垂线段的定义: 由直线外一点向直线引垂线，这点与 垂足间的线段叫做垂线段. 5.点到直线的距离： 从直线外一点到这条直线的垂线段 的长度，叫做点到直线的距离.
A. B. C. D. 3.如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则点C到直 线AB的距离是（ B ） A．线段CA的长 B．线段CD的长 C．线段AD的长 D．线段AB的长
4.如图，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之 72 度. 比为1：5，那么∠COA＝ ______ 5.如图，已知直线AB，CD都经过O点，OE 为射线，若∠1＝35°, ∠2＝55°，则OE 与AB的位置关系是 垂直 . 6.如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB， 35° ∠1=125°，则∠COE的度数______. 7.画一条线段或射线的垂线，就是画它们所 在直线的垂线，如图，请你过点P画出射线 AB或线段AB的垂线. E E
5.1.2_垂线(第2课时)
一条直线的垂线有无数条。
例3：下列说法（1）一条直线只有一条垂线； （2）两条直线相交就是垂直；
（3）线段和射线也有垂线。
（3） 其中正确的有___________________________ 一条直线的垂线有无数条。 垂直是相交的的一种特殊情况 画一条线段或者射线的垂线，就是画它 们所在直线的垂线。
2．选择题 过点 P 向线段 AB所在直线引垂线，正确的是（ C ）. A B C D
填空题
1.若直线m、n相交于点O， m⊥n 。 ∠1＝90°，则__________
看谁做得快
m
1
O
n
2.若直线AB、CD相交于点O， 且AB⊥CD，那么∠BOD＝____ 90。 ° 3.如图，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA的度数之比为1:5， 那么∠COA＝_____, 72° ∠BOC的补角为______ 162 度。
过点p画出线段AB的垂线 P P P
M
A BA B A
----------B
过一点做已知线段的垂线，垂足可能在 线段上、线段的延长线上。
过点p画出射线AB的垂线
P
M A B
课堂练习 选择题： 1、 两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判 定两条直线垂直的是 （ ） C （A） 有两个角相等 （C） 有三个角相等 （ B）有两对角相等 （ D）有四对邻补角
E
N
B
D O A
(C)144°
(D) 54°
B
E
C
1、 落 2、 靠 3、 移 4、 画
o
过直线外一点有且只有一条 直线与已知直线垂直。
1、 落 2、 靠 3、 移 4、 画
o
过直线上一点有且只有一条 直线与已知直线垂直。
5.1.2-垂线(第1课时)
（C） 2 （D） 1
看谁做得快
m
1.若直线m、n相交于点O， m⊥n 。 ∠1＝90°，则__________ 2.若直线AB、CD相交于点O， 且AB⊥CD，那么∠BOD＝____ 90。 ° 3.如图，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA的度数之比为1:5， 那么∠COA＝_____, 72° ∠BOC的补角为______ 162 度。
D
A. 两点之间线段最短 B. 点到直线的距离 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短
举一反三 3.如图5-1-27，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站， 为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建 火车站，应建在（ A ）
A. A点
B. B点
C. C点
D. D点
课堂练习 1.过点 P 向线段 AB 所在直线引垂线，正确的是（ C）. A B C D
2.垂直的表示：
用“⊥”和直线字母表示垂直
例如、如图，a、b互相垂 直, 垂足为O，则记为： a⊥b或b⊥a, 若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O.
a
α
b
O
M F
E
O E
N
A
O
B
记作： MN⊥EF , 垂足为O.
或者MN⊥EF于o
记作： AB⊥OE垂足为O.
或者AB⊥OE于O
3.垂直的书写形式： D A 如图，当直线AB与CD 相交于O点，∠AOD=90° 时，AB⊥CD，垂足为O。 O 书写形式： C ∵∠AOD=90°（已知） B ∴AB⊥CD（垂直的定义） 反之，若直线AB与CD垂直，垂足为 O，那么，∠AOD=90°。 书写形式： ∵ AB⊥CD （已知） ∴ ∠AOD=90° （垂直的定义） 应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
看谁做得快
m
1.若直线m、n相交于点O， m⊥n 。 ∠1＝90°，则__________ 2.若直线AB、CD相交于点O， 且AB⊥CD，那么∠BOD＝____ 90。 ° 3.如图，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA的度数之比为1:5， 那么∠COA＝_____, 72° ∠BOC的补角为______ 162 度。
D
A. 两点之间线段最短 B. 点到直线的距离 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短
举一反三 3.如图5-1-27，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站， 为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建 火车站，应建在（ A ）
A. A点
B. B点
C. C点
D. D点
课堂练习 1.过点 P 向线段 AB 所在直线引垂线，正确的是（ C）. A B C D
2.垂直的表示：
用“⊥”和直线字母表示垂直
例如、如图，a、b互相垂 直, 垂足为O，则记为： a⊥b或b⊥a, 若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O.
a
α
b
O
M F
E
O E
N
A
O
B
记作： MN⊥EF , 垂足为O.
或者MN⊥EF于o
记作： AB⊥OE垂足为O.
或者AB⊥OE于O
3.垂直的书写形式： D A 如图，当直线AB与CD 相交于O点，∠AOD=90° 时，AB⊥CD，垂足为O。 O 书写形式： C ∵∠AOD=90°（已知） B ∴AB⊥CD（垂直的定义） 反之，若直线AB与CD垂直，垂足为 O，那么，∠AOD=90°。 书写形式： ∵ AB⊥CD （已知） ∴ ∠AOD=90° （垂直的定义） 应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
人教初中数学七下 5.1.2 垂线(第1课时)课件 【经典初中数学课件】
②性质：∵ AB⊥CD （已知） ∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90° )
合作探究 达成目标
例1：如图，直线AB,CD相交于点O，OE⊥CD于 O, ∠AOE：∠COE=1:3，求∠BOD的度数。
解：∵OE⊥CD ∴ ∠COE=90°
E
A
D
又∵∠AOE：∠COE=1:3
请 风景4：二元一次方程组的
思 考
解
x=1
x= 2
x=6
y=6 y=5
…
y=1
方程x+y=7的解集
x=6 x=7 y=1 y=3
…
x= 5 y= -1
方程2x-y=11的解集
x=1
x= 2
y=6
y=5
…
方程x+y=7的解集
x=6 x= 7 x= 5
y=1
y= 3
…
y= -1
方程2x-y=11的解集
求a的值. a=7
2. 已知
x=2 y=b
是方程2x+3y=13的一个解，
求b的值. b=3
水天 一色
3. 你能写出以
x 1 为解的二元一次方程．
y3
你还能写出两个以 x 1 为解得二元一次
方程组吗？
y3
4、二元一次方程 x2y 8 的正整数解．
破茧成蝶
1、已知方2程xa3 3y 4 是二元一次方程， a的求值？
创设情景 明确目标
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当b的位置变化时,a、b所 b 成的角α也会发生变化. b
b
bb
当α =90°时,a与b垂直.
α ）α
5.1.2垂线ppt课件
THANKS
感谢观看
详细描述
首先，确定给定的点和平行线。然后，选择一个与该平面垂直的平面，并将给 定点包含在该平面内。最后，过该点作与该平面垂直的直线，即为所求的垂线 。
过一点作已知直线的垂面
总结词
通过给定的点，使用三维几何的知识，可以作出已知直线的垂面。
详细描述
首先，确定给定的点和已知直线。然后，选择一个与该直线垂直的平面，并将给 定点包含在该平面内。最后，过该点作与该平面垂直的平面，即为所求的垂面。
总结词
通过给定的点，使用直角三角形的性质，可以作出已知直线 的垂线。
详细描述
首先，将给定的点和已知直线连接，形成一个直线段。然后 ，以该点为顶点，直角三角形的直角边与已知直线重合，构 造一个直角三角形。最后，沿着直角三角形的斜边进行延长 ，即可得到过该点的垂线。
过一点作已知平面的垂线
总结词
通过给定的点，使用空间几何的性质，可以作出已知平面的垂线。
机械制造应用
在机械制造中，垂线是确 定机器部件位置和方向的 重要依据。
数学应用
在数学中，垂线是解决几 何问题的重要工具，如求 点到直线的距离、确定直 线的位置等。
02
垂线的判定
直线与直线垂直的判定
判定定理
空间中的垂直关系
两条直线所成的角为直角，则这两条 直线垂直。
如果两条直线所成的角为直角，则它 们垂直。
这个平面垂直。
平面与平面垂直的判定
判定定理
如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面 垂直，那么这两个平面垂直。
推论
如果一个平面内的无数条直线都与另一个平面垂 直，那么这两个平面垂直。
空间中的垂直关系
如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面 垂直，那么这两个平面垂直。
数学人教版《垂线》_ppt1
5
（2）几何语言： 因为 AB ⊥CD， 所以 ∠AOC = 90°（垂线的定义）
反之，因为 ∠AOC = 90°，
所以 AB⊥CD（垂线的定义）
应用垂直的定义： ∠AOD =∠DOB =∠BOC = 90°
6
小试身手1. 如图所示，直线 AB ⊥ CD 于点 O ，直线 EF经过 点 O ，若∠1 = 26°，则∠2 的度
学习垂线的画法探究垂线的性质，
或者AB⊥CD于点O 当两条直线相交所成的四个角中有一个角为 90°时，这两条直线互相垂直， 其中一条直线叫做另一条直线的垂线
在相交线的模型中，固定木条 a ，转动木条 b．当b 的位置发生变化时，
“⊥”读作“垂直于” ①两条直线相交，交点叫做垂足；
垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角是 90°时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线， 他们的交点叫做垂足 如图所示，若 AB ⊥ CD 于点 O ，则∠AOD = _____； 并会利用所 学知识进行简单的推理. 垂线性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 1．学习垂线的定义，学会用几何的语言表示
17
16
所以 ∠AOC = 90°（垂线的定义）
A B （2）几何语言： 因为 AB ⊥CD，
如图所示，直线 AB ⊥ CD 于点 O ，直线 EF经过点 O ，若∠1 = 26°，则∠2 的度数是（ ） 在相交线的模型中，固定木条 a ，转动木条 b．当b 的位置发生变化时， ⑥若l1⊥l2，则l1是 l2的垂线，l2不是 l1的垂线. 在相交线的模型中，固定木条 a ，转动木条 b．当b 的位置发生变化时， 下列说法正确的有（ ）
③在同一平面内，一条直线有且只有一条垂线；
（2）几何语言： 因为 AB ⊥CD， 所以 ∠AOC = 90°（垂线的定义）
反之，因为 ∠AOC = 90°，
所以 AB⊥CD（垂线的定义）
应用垂直的定义： ∠AOD =∠DOB =∠BOC = 90°
6
小试身手1. 如图所示，直线 AB ⊥ CD 于点 O ，直线 EF经过 点 O ，若∠1 = 26°，则∠2 的度
学习垂线的画法探究垂线的性质，
或者AB⊥CD于点O 当两条直线相交所成的四个角中有一个角为 90°时，这两条直线互相垂直， 其中一条直线叫做另一条直线的垂线
在相交线的模型中，固定木条 a ，转动木条 b．当b 的位置发生变化时，
“⊥”读作“垂直于” ①两条直线相交，交点叫做垂足；
垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角是 90°时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线， 他们的交点叫做垂足 如图所示，若 AB ⊥ CD 于点 O ，则∠AOD = _____； 并会利用所 学知识进行简单的推理. 垂线性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 1．学习垂线的定义，学会用几何的语言表示
17
16
所以 ∠AOC = 90°（垂线的定义）
A B （2）几何语言： 因为 AB ⊥CD，
如图所示，直线 AB ⊥ CD 于点 O ，直线 EF经过点 O ，若∠1 = 26°，则∠2 的度数是（ ） 在相交线的模型中，固定木条 a ，转动木条 b．当b 的位置发生变化时， ⑥若l1⊥l2，则l1是 l2的垂线，l2不是 l1的垂线. 在相交线的模型中，固定木条 a ，转动木条 b．当b 的位置发生变化时， 下列说法正确的有（ ）
③在同一平面内，一条直线有且只有一条垂线；
【数学课件】5.1.2《垂线》ppt课件
3 4 5 6 7 8 9 10
折一折
根据图示能折出互相垂直的直线，您不妨试 试看！
结论
垂直的表示
图中，直线AB与直线CD垂直, 记作：AB⊥CD；
n A O
C
B m D
ห้องสมุดไป่ตู้
直线 m 与直线 n 垂直,
记作：m⊥n ； 互相垂直的两条直线的交点叫做垂足. 注意：“⊥”是“垂直”的记号， 而“
” 是图形中“垂直(直角)” 的标记.
A．36° B．54° C．64°
)
D．72°
【解析】选B.因为OC⊥OD，所以 ∠COD=90°，又因为∠AOB=180°， 所以∠DOB=∠AOB－∠COD－ ∠COA=180°－90°－36°=54°.
3.如图所示，直线AB⊥CD，垂足为O，射线OP在∠AOD的内
部，且∠POA=4∠POD，则∠COP︰∠BOP的值为（ C A B ）
∠BOP=∠BOD+∠POD=90°+18°=108°.
所以∠COP︰∠BOP=162°︰108°= 3︰2.
4.点P是直线l外一点，点A，B，C是直线l上的三点，且 PA=10，PB=8，PC=6，那么点P到直线l的距离为（ A.6 C.大于6的数 B.8 D.不大于6的数 ）
【解析】选D.根据“垂线段最短”，垂线段的长度一定小
角时，其他三个角也都成为直角，此时，直线AB,CD互
相垂直.
做一做 （1）你能用三角尺在白纸上画两条互相垂直的直线吗？ （2）你能用量角器在白纸上画两条互相垂直的直线吗？ （3）如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的 直线吗？
用三角尺作两条互相垂直的直线
0 1 2
0
1
七年级数学下册5.1.2垂线教案(新版)新人教版
一、预习导学（甲）（乙）这是两幅草坪的图案。
在绿色的草坪上，画着两条交叉的道路。
你觉得甲图、乙图那幅更漂亮、更匀称。
这是什么原因？演示自制教具，这两条相交线有没有特殊位置？什么情况下它们的位置特殊？图甲是两条直线相交的一种特殊情况，它在生活、生产实际中应用比较广，你有没有见过？例如：书本相邻的两条边、窗户框相邻的两边、红十字等，因此今天我们就来研究这种特殊情况二、新课探究（一）垂线的定义直线a不动，当直线b转到什么位置时，两条直线互相垂直？转动木条b时，它和不动的木条a互相垂直的位置有几个？当a、b相交有一个角是直角时，其他三个角呢？垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
建筑工人在砌墙时，常用铅垂线来检查所砌的墙面是否和地面（水平面）垂直。
（二）符号表示“⊥”读作“垂直于”如AB⊥CD垂足为O，含义：直线AB与直线CD垂直，垂足是O你能说出由什么条件能知道AB与CD互相垂直吗？∵∠BOC=90º(已知)∴AB⊥CD (垂直的定义)其它三个角中的一个角等于90º,能不能得到AB⊥CD 呢?反过来,如果AB⊥CD,那么可得到什么结论?(填空)∵AB⊥CD于O (已知)∴________________(垂直的定义)（三）垂线的画法（1）已知直线l，有多少条直线与已知直线l垂直？（2）点与直线的位置关系有几种？如图2中，过点A画直线BD的垂线B ·A DAD 图1 B在学生画出垂线的基础上，教师总结出用三角板画垂线的基本方法强调用两条直角边“一贴”：贴住已知直线，“一靠”：靠住已知点再画线并引导学生思考：这样画出的为何是已知直线的垂线?（四）发现垂线的性质在学生熟练地画出各条垂线之后，1、过A点作BD的垂线有没有？2、过A点作BD的垂线有几条？在此基础上，又引导学生概括出：垂线的第一个性质公理：过一点有且只有一条直线与注：①“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指（五）垂线的第二个性质1、量跳远的成绩时有人想多量点，都采取了什么手段？为什麽？2、用刻度尺量一量下列垂线段OP与线段PA、PB、PC的大小PA B O C（1）什么是垂线段？直线外一点与直线上各点连结的所有的线段中，垂线段最短六、点到直线的距离要把水渠的水引到水池C，为了节省人力物力财力，请你十分钟小测1、下列说法是否正确：两条直线相交，有一条角是直角，则两条直线互相垂直。
5.1.2垂线
5.1.2垂线备课教师：张剑楠课型：新授课授课时间：2.27课时第2课时总课时：第2课学习目标1．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；2．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；3．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理．重点1．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；2．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.难点掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理．教学过程问题、预设时间评价活动活动1观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？活动2出示学习目标活动3知识点一：垂直、垂线、垂足的概念取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b，a、b所成的夹角α .学生观看图像，利用课本找到答案教师出示学习目标教师做示范，学生观察教师拨动木架，转动木条的同时观察其夹角的变化.教师提出问题。
学生思考回答。
学生齐读通过动手操作与观察，学生构建相交线的几何模型，转动木条时，两根木条之间的夹角不断变合作探究：探究1(1) 当∠α分别为35°、90°时，其余的角分别是多少？(2) 当∠α为90°的位置关系有几个？此时，木条a和木条b所在的直线有什么样的位置关系？定义总结两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另外一条直线的垂线.记法：AB⊥CD，垂足为O.符号语言：因为∠AOC = 90°，所以AB⊥CD.知识点二：垂线的画法及基本事实探究2(1) 画已知直线l的垂线能画几条?(2) 过直线l上的一点A画l的垂线，这样的垂线能画几条(3) 过直线l外的一点B画l的垂线，这样的垂线能画几条(1) 如图，已知直线l，画l的垂线.学生抢答并说明变形依据，明确算理教师关注学生的参与情况学生先观察木条位置关系，经过独立思考和小组讨论，选派代表解答问题(2)，预设：当∠α为90°的位置关系只有一个；学生在教师的引导下共同总结此时两根木条的位置关系——a与b垂直，记作a⊥b.学生独立思考后，学习垂线的画法(把直尺放在直线l的位置，再把直角三角尺的一条直角边靠在直尺上，最后沿着直角三角尺的另一条边画出直线)，作图后回答问题化，两条相交线形成的角也在不断变化；通过观察发现特殊的位置关系，引出垂直的概念学生独立思考解答问题(1)；学生先独立思考，然后请学生代表回答，教师引导学生说出判断的理由，并给予恰当评析，帮助他们形成正确认知在教师的引导下学习垂线的画法追问1 问题：这样画l的垂线可以画几条？预设：无数条.(2) 如图，已知直线l和l上的一点A，过点A 画l的垂线.追问2 问题：这样画l的垂线可以画几条？预设：一条.(3) 如图，已知直线l和l外的一点M，过点M 画l的垂线.活动4在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请转化成数学问题并找出最短的位置.预设1：运用直尺测量发现，线段PO的长度最短.预设2：这样的线段PO只有一条.活动5能说出本节课的收获。
5.1.2+垂线
A4．A．3 A．2 A．1 ．O．．．．
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线 段最短或说成垂线段最短
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点 到直线的距离。
A．
1、如图，点A处是一座小屋，
BC是一条公路，一人在O处。
（1）此人到小屋去，怎样走最近？ 为什么？
．
O
（2）此人要到公路去，怎样走最
Ｐ．
m
A
4、如图，P为ABC的 平分线上一点
B
P
C
（1）、分别画出点P到边BA、BC的垂线段；
（2）、分别量出点P到边BA、BC的距离。
5 文峰学校第六届运动会上，701班一名运动员第五跳打破 了年级记录。如图A、B为这一跳的脚印落点，起跳线为CD。 请画图说明如何测量他的成绩。
C
┓
F
A
• •
EB
西 斯 ]自 由 之 人 轨 迹 Trajectory゜ 太 委 屈 grievance |放 生 ∮ Melody假 友 谊 Hum0ro 执 着 Paranoid 暗 里 着 迷 Dreamland 伏 特 加 ▌Finlandia 旧 情 歌 -
TRISTE Mr evsr 旧 梦 review- ▍ Forever° 优 雅 Charming·冷 色 Cheeks^^ 邪 恶 太 阳 KING ˋElven Palma
一、复习回顾
1、什么叫两直线互相垂直？
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时， 就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条 直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
∵∠AOC=90°（已知）， ∴AB⊥CD（垂直的定义）．
半 生 毁 released so darling。 Dream Lohas 河 生 映 画 Tired ╰ ReallyＳ mile.过 期 ℡ Fall in love with 爱 上 黑 暗 lucifer Love you like I 〆 魄 悲 Triste ︶ ￣ uglyづ 灬 Manjusaka丶 凄 美 Chip. 筹 码 。 卑微 暗恋 Inferior |▍ 简 爱 ╮Simple Ｓ Ｗ 。Ｌ ｅ ｅ 控 魂 者 * Monee 深 巷 - depths° 温 眸°sunshine Lonely丶 baby miss you Past tense 恋 战 W hiteInte End of the play. 多 愁 善 感 mature Frances|[法 兰
5.1.2垂线课件
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活动二：探究垂线的画法
工具：直尺、三角板 如图，已知直线 l,作l的垂线.
A
问题1：这样画l的垂线 可以画几条？
无数条
O
1、靠 2、移 3、画线
l
如图，已知直线 l和l上的一点A ,作l的垂线.
问题2：这样画l的垂 线可以画几条？
B
1条
则所画直线AB是过 点A的直线l的垂线.
O
B
D
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2.垂直的数学表达形式
C
∵∠AOD=90°（已知）
∴AB⊥CD （垂直的定义） A o
B
D
反之：∵AB⊥CD （已知） ∴∠AOD=90°（垂直的定义）
判断两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角.
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A
l
如图，已知直线 l 和l外的一点B ,作l的垂线.
请同学们画一下
B
问题2：这样画l的垂 线可以画几条？
A
1条
则所画直线BA是过 点B的直线l的垂线.
l
从中，你得到了什么结论？说说看！
垂直性质： 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
平面内 有 只有
结论成立的前提条件 存在性 唯一性
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3.如图，三条直线AB，CD和EF相交于点O，∠AOE=40°, ∠BOD=50°，则图中互相垂直的两条直线是_E_F__和__C_D_.
【解析】因为∠AOE和∠BOF是对顶角，所以 ∠BOF=∠AOE =40°,又∠BOD=50°，所以 ∠DOF=∠BOD+∠BOF=90°，所以EF⊥CD.
有多少种引法？在方格纸上画出来，如何挖渠能使 渠道最短，为什么？
活动二：探究垂线的画法
工具：直尺、三角板 如图，已知直线 l,作l的垂线.
A
问题1：这样画l的垂线 可以画几条？
无数条
O
1、靠 2、移 3、画线
l
如图，已知直线 l和l上的一点A ,作l的垂线.
问题2：这样画l的垂 线可以画几条？
B
1条
则所画直线AB是过 点A的直线l的垂线.
O
B
D
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2.垂直的数学表达形式
C
∵∠AOD=90°（已知）
∴AB⊥CD （垂直的定义） A o
B
D
反之：∵AB⊥CD （已知） ∴∠AOD=90°（垂直的定义）
判断两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角.
版权所有 盗版必究
A
l
如图，已知直线 l 和l外的一点B ,作l的垂线.
请同学们画一下
B
问题2：这样画l的垂 线可以画几条？
A
1条
则所画直线BA是过 点B的直线l的垂线.
l
从中，你得到了什么结论？说说看！
垂直性质： 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
平面内 有 只有
结论成立的前提条件 存在性 唯一性
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3.如图，三条直线AB，CD和EF相交于点O，∠AOE=40°, ∠BOD=50°，则图中互相垂直的两条直线是_E_F__和__C_D_.
【解析】因为∠AOE和∠BOF是对顶角，所以 ∠BOF=∠AOE =40°,又∠BOD=50°，所以 ∠DOF=∠BOD+∠BOF=90°，所以EF⊥CD.
有多少种引法？在方格纸上画出来，如何挖渠能使 渠道最短，为什么？
5.1.2 垂线
l D
线段AD的长度叫做点A到直线l的距离.
新课讲解
试一试 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如
何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
垂线段最短 m
随堂即练
1.如图，下列说法正确的是
A.线段AB叫做点B到直线AC的距离 B.线段AB的长度叫作点A到直线AC的距离 C.线段BD的长度叫作点D到直线BC的距离 D.线段BD的长度叫作点B到直线AC的距离
新课讲解
2 垂线的画法及基本事实
问题 (1)画已知直线l的垂线能画几条? (2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能 画几条?
(3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能
画几条?
.
B
.
A
l
新课讲解
如图，已知直线 l,作l的垂线.
A
l
O
1.放 2.靠 3.画
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 Cm
新课讲解
1 垂线的概念
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,当b的 位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.
b
b
b
b
b
α
）
a
α
新课讲解
问题 如图,当∠AOC＝90°时，∠BOD、∠AOD、
∠BOC的度数是多少？为什么？
C
A
O
D
B
由对顶角和邻补角的性质知，当 ∠ AOC＝ 90°时， ∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°.
A D
C
（D ）
B
随堂即练
2.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能 判定两条直线垂直的是 A. 有两个角相等 B. 有两对角相等 C. 有三个角相等 D. 有四对邻补角 ( C )
5.1.2垂线
当α=90°时,a与b互相垂直.
D A B
O C
两条直线互相垂直,其中的一条直线叫 做另一条直线的垂线,它们的交点叫做 垂足.
如图中,记作“AB⊥CD”,垂足为O.
垂直是相交的一种特殊情形,
在日常生活中,我们经常可以看到互相垂直的直线
如图
探究
经过直线AB外一点P,在同一平面内按图所示的两种方 法,画出垂直于直线AB的直线.这样的垂线能画多少条?
C
O
D
B
F
5.下列说法中正确的是(
)
A.在同一平面内,过直线l上一点作l的垂 线不只一条. B.直线l的垂线有无数条.
C.如果两条线段相交,那么这两条线段不 可能互相垂直. D.过直线l上一点A和直线l外一点B可画 一条直线与直线l垂直.
6.到一个已知点P的距离等于2cm的直 线有( ) A.无数条. B.2条. C.3条 D.1条 7.在铁路旁边有一村庄,现要建一火车 站,为了使村庄人乘车最方便(即距离 铁路最近),请你在铁路上选一点来建 火车站,并说明理由.
想一想
两条直线相交有几个交点?
例如, 直线AB与直线CD相交,交点为O. 可 以说成“直线AB、CD相交于点O”。
D A O B
C
两条直线相交所构成的四 个角有可能都相等吗？如 果都相等，那么每个角等 于多少度呢？
观察
b
α a
如图中,固定木条a,转动木条 b.当b的位置变化时,a,b所成 的角也发生变化.
请你解决8页上的思考.
1.垂线的性质: (1)过一点有 且____________与已知直 线垂直; (2)直线外一点与 直线上各点连接的所有线 段中,_______最短.
2.如图,已知∠ACB=90°,即是 AC___BC. 若BC=8cm,AC=6cm,AB=10cm,那么点B 到AC的距离是_____,点A到BC的距离 是____.A,B两点间的距离是______. A
D A B
O C
两条直线互相垂直,其中的一条直线叫 做另一条直线的垂线,它们的交点叫做 垂足.
如图中,记作“AB⊥CD”,垂足为O.
垂直是相交的一种特殊情形,
在日常生活中,我们经常可以看到互相垂直的直线
如图
探究
经过直线AB外一点P,在同一平面内按图所示的两种方 法,画出垂直于直线AB的直线.这样的垂线能画多少条?
C
O
D
B
F
5.下列说法中正确的是(
)
A.在同一平面内,过直线l上一点作l的垂 线不只一条. B.直线l的垂线有无数条.
C.如果两条线段相交,那么这两条线段不 可能互相垂直. D.过直线l上一点A和直线l外一点B可画 一条直线与直线l垂直.
6.到一个已知点P的距离等于2cm的直 线有( ) A.无数条. B.2条. C.3条 D.1条 7.在铁路旁边有一村庄,现要建一火车 站,为了使村庄人乘车最方便(即距离 铁路最近),请你在铁路上选一点来建 火车站,并说明理由.
想一想
两条直线相交有几个交点?
例如, 直线AB与直线CD相交,交点为O. 可 以说成“直线AB、CD相交于点O”。
D A O B
C
两条直线相交所构成的四 个角有可能都相等吗？如 果都相等，那么每个角等 于多少度呢？
观察
b
α a
如图中,固定木条a,转动木条 b.当b的位置变化时,a,b所成 的角也发生变化.
请你解决8页上的思考.
1.垂线的性质: (1)过一点有 且____________与已知直 线垂直; (2)直线外一点与 直线上各点连接的所有线 段中,_______最短.
2.如图,已知∠ACB=90°,即是 AC___BC. 若BC=8cm,AC=6cm,AB=10cm,那么点B 到AC的距离是_____,点A到BC的距离 是____.A,B两点间的距离是______. A
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知3－讲
导引：要尽可能节省材料，也就是让管道的总长度尽可能
短．方案一中CE，DF是垂线段，而方案二中PC，
知1－讲
总 结
1.本题解题思路可概括为“顺藤摸瓜”，即由已知条 件 OE⊥CD入手，根据对顶角、邻补角、角平分线 的有关知识，逐步深入求得各角的度数． 2.已知两条直线垂直或已知一条直线的垂线时，能直 接得到90°的角，因此利用这个条件，并与角平分 线、余角、补角、邻补角、对顶角等知识相结合，
可求出图中其他未知各角的度数．
A．117°
C．153°
B．127°
D.试一试： 经过直线AB外一点P，按图所示的两种方法，
画出垂直于直线AB的直线.这样的垂线能画多少条呢？
如图,你能经过直线AB上一点P，画出垂直于直线AB 的直线吗？这样的垂线能画多少条呢？
知2－讲
2.垂线的画法 经过一点(已知直线上或直线外)，画已知直线的垂线， 步骤如下： (1)靠线：让直角三角尺的一条直角边与已知直线重合； (2)过点：沿直线移动，使直角
90°；要让∠EOF＝90°，需说明∠EOF＝
∠AOC或∠EOF＝∠BOC都可，这样就把问题 转化为说明∠AOE＝∠COF(已知)了．
知1－讲
解：射线OE，OF互相垂直．理由如下： 因为CO⊥AB，所以∠AOC＝90°. 又因为∠AOE＝∠COF，
所以∠AOE＋∠COE＝∠COF＋∠COE，
即∠AOC＝∠EOF＝90°. 所以OE与OF互相垂直(垂直定义)．
知2－练
1 下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法 正确的是( )
知2－练
2 下列说法正确的是(
)
A．在同一平面内，过直线外一点向该直线画垂线， 垂足一定在该直线上 B．在同一平面内，过线段或射线外一点向该线段 或射线画垂线，垂足一定在该线段或射线上
C．过线段或射线外一点不一定能画出该线段或射
线的垂线 D．过直线外一点与直线上一点画的一条直线与该 直线垂直
知3－讲
知识点
3
垂线的基本事实
关于垂线的基本事实： (1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直．
(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段
最短，简单说成：垂线段最短．(过直线外一点画已
知直线的垂线，连接这点与垂足之间的线段，叫这点 到已知直线的垂线段)
知1－讲
总 结
判断两直线(线段、射线所在直线)互相垂直，主要
依据是垂直定义，只要说明两条相交直线所构成的四
个角中有一个角是直角即可．
知1－讲
例2 如图，直线AB，CD相交于点O，过O点画射线OE，
OF，使OE⊥CD，OD平分∠BOF. 如果∠BOE＝
50°，求∠AOC，∠EOF和∠AOF的度数． 导引：根据∠AOC与∠BOD是对顶角， 且∠BOD与∠BOE互余，即可 求出∠AOC的度数；根据OD平 分∠BOF，∠EOF＝∠BOE＋2∠BOD即可求出 ∠EOF的度数；根据∠AOF与∠BOF互补可求得
知3－讲
例4
如图所示，AB是一条河流，要铺设管道将河水引 到C、D两个用水点，现有两种铺设管道的方案： 方案一：分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别 为点 E，F，沿CE，DF铺设管道； 方案二：连接CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管 道．这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？ 为什么？(忽略河流的宽度)
导引：观察图形不难看出，(1)(3)属于过直线外一点画 已知直线的垂线，(2)属于过直线上一点画已知
直线的垂线，所以按照“一靠、二过、三画”
的方法画图即可． 解：画出的直线m，n，p如上页图.
知2－讲
总 结
过已知点画已知直线的垂线，实际上就是过已知 点画一条直线，使所画直线与已知直线相交所成的角 是90°.
3
如图，CD⊥EF，∠1＝∠2，则AB⊥EF.请说明理由
(补全解题过程)．
解：因为CD⊥EF， 所以∠1＝________(垂直的定义)． 因为∠2＝∠1，所以∠2＝________， 所以AB________EF(垂直的定义)．
知1－练
4
如图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，∠AOC＝27°，则 ∠BOD的度数是( )
线叫做另一条直线的垂线，它们
的交点 O叫做垂足．如图.
知1－讲
2.推理格式： 因为∠AOC＝90°(已知)， 所以AB⊥CD(垂直定义)．
反过来：因为AB⊥CD(已知)，
所以∠AOC＝90°(垂直定义)．
知1－讲
例1 如图，CO⊥AB于点O，∠AOE＝∠COF，则射 线OE，OF是什么位置关系？请说明理由． 导引： 要判断OE，OF是什么位置关 系，其实质是说明OE，OF是 否垂直，即要看∠EOF是否为
知1－练
1
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是___
时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫
做另一条直线的________，它们的交点叫做______．
2 垂直定义的应用格式：如图，
(1)因为∠AOC＝90°，所以______． (2)因为AB⊥CD，所以∠AOC＝_____°.
知1－练
第 5章
相交线与平行线
5.1
相交线
第 2 课时
垂线——垂线
的定义与性质
1
课堂讲解
垂直的定义 垂线的画法
垂线的基本事实
2
课时流程
逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升
知1－讲
知识点
1
垂直的定义
1.定义：当两条直线AB和CD所构成的四个角中有一个 为直角时，其他三个角也都成为直角，此时，直线 AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”，其中一条直
三角尺的另一条直角边经过
已知点； (3)画线：沿直角边画线，则这
条直线就是经过这个点的已
知直线的垂线．如图.
知2－讲
例3 如图，M是三角形ABC中BC边上的任意一点，请 你按照下列要求画图： (1)过M点画直线AB的垂线m；
(2)过M点画直线BC的垂线n；
(3)过M点画直线AC的垂线p.
知2－讲
∠AOF的度数．
知1－讲
解：因为OE⊥CD，所以∠DOE＝90°(垂直定义)．
因为∠BOE＝50°，
所以∠AOC＝∠BOD＝∠DOE－∠BOE＝ 90°－50°＝40°. 因为OD平分∠BOF， 所以∠BOF＝2∠BOD＝80°.
所以∠EOF＝∠BOF＋∠BOE＝80°＋50°＝130°，
∠AOF＝∠AOB－∠BOF＝180°－80°＝100°.