1-2 随机游动 上传

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随机游动
随机游动模型 基本问题
概率分布、统计特征
针对原点的讨论
经过n步返回原点的概率 经过n步第一次返回原点的概率
n n 2 E ηn E ξi ξ j i 1 j 1
n n
Eξ ξ
i 1 j 1
n
n


E ξ E ξ
i 1 j 1 ji i
j

2 ξ ξ n(n 1)(p q) n E
n m R η (n,m)=E{ηnηm } E ξi ξ j i 1 j 1
若 n<m
n n n m E ξi ξ j E ξi ξ j i 1 j 1 i1 jn1
n(n 1)(p q)2 n n(m n)(p q)2
m n
mP
n
=μ η m
n
E η
2 n
ຫໍສະໝຸດ Baidu
m n

n
n
m2Pm
方
差： Dη (n) E{[ηn μ η ]2 } E{ηn2 ] μ 2 η
n
相关函数： R η (n,m)=E{ηnηm }=？
一维随机游动
x 轴上有一质点，t=0 时位于原点； 在 t=1,2,3,…时，向左或向右移动一个单位距离； 若向右移动的概率为p，向左移动的概率为q=1-p； 3） 求质点位置ηn的均值
n n m nm p 2 q 2 ， m n, (n 1), ..., 1, 0,1, ...(n 1),n n m P η n m m与n同为偶数或同为奇数 2 0 其它
一维随机游动
x 轴上有一质点，t=0 时位于原点； 在 t=1,2,3,…时，向左或向右移动一个单位距离； 若向右移动的概率为p，向左移动的概率为q=1-p； 3） 求质点位置ηn的均值、方差、相关函数
分析：设第k步的单步游动为 ξk，则：ηn

k 1
ξ
n
k
P(ξk=1)=p ; P(ξk=-1)=q，ξk 相互统计独立
E[ξk] = p·1 + q·(-1) = p-q
n 则： E ηn E ξk k 1
k 1
E ξ
n
k
n(p q)
i n; j n;j=n-i Cin p i q j ， P{（ x n)=i， y (n)=j}={ else 0 ，
二维随机游动
质点在平面上做随机游动，t=0 时位于原点； 在 t=1,2,3,…时，向上或向右移动一个单位距离； 若向右移动的概率为p，向上移动的概率为q=1-p； 1)求经过时间 n，质点所处位置为(i,j) 的概率
一维随机游动
x 轴上有一质点，t=0 时位于原点； 在 t=1,2,3,…时，向左或向右移动一个单位距离； 若向右移动的概率为p，向左移动的概率为q=1-p； 3） 求质点位置ηn的方差
分析：设第k步的单步游动为 ξk， η
n

k 1
ξ
i j
n
k
P(ξk=1)=p ; P(ξk=-1)=q，ξk 相互统计独立
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2n 步之后第一次返回原点的概率
已有关系： u 2n
定义母函数

k 1
v
n 0
n
2k
u2n2k
2n
u0 1，V0 0
V(z)
n 0 2n v z 2n
U(z)
2n
u2nz

则：U(z) u2n z 1 v 2k u2n2k z2n
随机游动
随机游动模型 基本问题
概率分布、统计特征
针对原点的讨论
经过n步返回原点的概率
经过n步第一次返回原点的概率 迟早返回原点的概率 第一次返回原点所需的平均时间
一维随机游动
x 轴上有一质点，t=0 时位于原点； 在 t=1,2,3,…时，向左或向右移动一个单位距离； 若向右移动的概率为p，向左移动的概率为q=1-p；
迟早返回原点的概率
第一次返回原点所需的平均时间
随机游动中返回原点的问题
经 2n 步之后第一次返回原点的概率？
解 即求：P(η1≠0, η2≠0,…. η2n-1≠0, η2n=0)=？
设经过第 2n 步 第一次 返回原点的事件为B2n，其概率记为 v2n
n n n 设经2n步后返回原点的概率记为U2n： P η 2n=0 =C2np q
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
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二维随机游动
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0
P
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0
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1
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q
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布朗运动
随机游动模型的相关问题


u2n
对于k=1、2、3，…,n 各个B2k事件是不相容的，并且
P η 2n=0=P{B2n 或B2 ,η 2n-2=0或B 4 ,η2n-4 =0
则：
或B2n-2 ,η2 =0}
u2n v 2n v 2n2u2
u2n
k 1
v 2u2n2
v
n
2k
u2n2k
n 0 n 1 k 1
n
1
m 0
u2m z

2m
k0
基本问题
概率分布、统计特征
针对原点的讨论
经过n步返回原点的概率
经过n步第一次返回原点的概率 迟早返回原点的概率 第一次返回原点所需的平均时间
一维随机游动
x 轴上有一质点，t=0 时位于原点； 在 t=1,2,3,…时，向左或向右移动一个单位距离； 若向右移动的概率为p，向左移动的概率为q=1-p； 1) 试分析该过程是否具有马尔可夫特性？
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二维随机游动(N=15)
q p
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
分析：
在时刻n，质点位置η(n) 是取值离散的随机变量 而此后的位置η(n+1)、η(n+2)… 只与 η(n)=i 有关，
而与质点在 n 时刻前是如何到达 i 的无关
所以该随机过程具有马尔可夫特性
一维随机游动
2 nm(p q)2 n 1 (p q)
2 2 R (n,m) nm(p q) min(m,n) 1 (p q) 任意 n，m： η
一维随机游动
x 轴上有一质点，t=0 时位于原点； 在 t=1,2,3,…时，向左或向右移动一个单位距离； 若向右移动的概率为p，向左移动的概率为q=1-p； ３） 求质点位置ηn的均值、方差、相关函数
x (0)=0， y (0)=0
P{ x (n)=i， y (n)=j}=？
二维随机游动
质点在平面上做随机游动，t=0 时位于原点； 在 t=1,2,3,…时，向上或向右移动一个单位距离； 若向右移动的概率为p，向上移动的概率为q=1-p； 1)求经过时间 n，质点所处位置为(i,j) 的概率
i n; j n;j=n-i Cin pi q j ， P{x =i，y =j}={ else 0 ，
2) 设定一个整数N>0,当i或j等于N时质点停止移动， 求i先于j到达N的概率？
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二维随机游动(N=15)
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i 1 i i
n
一维随机游动
x 轴上有一质点，t=0 时位于原点； 在 t=1,2,3,…时，向左或向右移动一个单位距离； 若向右移动的概率为p，向左移动的概率为q=1-p； 3） 求质点位置ηn的方差
分析：设第k步的单步游动为 ξk， η
n

n n E η E ξi ξ j n(n 1)(p q)2 n i 1 j 1 2 n
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二维随机游动
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14 13 12 11 10 9
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(i,j)
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P
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0
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q
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二维随机游动
质点在平面上做随机游动，t=0 时位于原点； 在 t=1,2,3,…时，向上或向右移动一个单位距离； 若向右移动的概率为p，向上移动的概率为q=1-p； 1)求经过时间 n，质点所处位置为(i,j) 的概率
2) 设定一个整数N>0,当i或j等于N时质点停止移动，
求i先于j到达N的概率？
j P{ x =N， y =j<N}= C N+j pN q j j 0 j P{ x =N， y =j<N}= C N-1+j pN q j j 0 N 1 N 1
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谁是赢家？
解
ηn 的一维分布率：
均
n n m nm m n, (n 1), ..., 1, 0,1, ...(n 1),n n m p 2 q 2 ， P η n m m与n同为偶数或同为奇数 2 0 其它
值： E ηn
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二维随机游动
质点在平面上做随机游动，t=0 时位于原点； 在 t=1,2,3,…时，向上或向右移动一个单位距离； 若向右移动的概率为p，向上移动的概率为q=1-p； 1)求经过时间 n，质点所处位置为(i,j) 的概率
j=n-i; i n; j n Cin p i q n i ， P{ x =i， y =j}={ ， else 0
n E ηn E ξk n(p q) k 1
k 1
ξ
n
k
Dη (n) E{[ηn μ η ]2 } E{ηn2 ] μ η 2 =4npq
n n
一维随机游动
x 轴上有一质点，t=0 时位于原点； 在 t=1,2,3,…时，向左或向右移动一个单位距离； 若向右移动的概率为p，向左移动的概率为q=1-p； 3） 求质点位置ηn的相关函数
解
n n m nm ηn 的一维分布率： P η n m n m p 2 q 2 2
均值： E ηn =n(p q)

方差：
Dη (n) 4npq
相关函数： R η (n,m)=nm(p q)2 min(m,n) 1 (p q)2
x 轴上有一质点，t=0 时位于原点； 在 t=1,2,3,…时，向左或向右移动一个单位距离； 若向右移动的概率为p，向左移动的概率为q=1-p； 2） 求经过时间 n，质点距离原点的距离为 m 的概率
解 设质点在第n步的位置用
ηn表示，一维分布率 P η
n
m
样本空间: {……，-n，-n+1，…－１，０，１…，n-1，n，…… }