2015_2016学年第一学期末数值分析考试试题A

中北大学

数值分析课程考试试题

(课程名称须与教学任务书相同)

2015/2016 学年第1 学期

试题类别 A 命题期望值70

拟题日期2015.12.12 拟题教师

课程编号教师编号1120048

基层教学组织负责人

课程结束时间2015.12.4 印刷份数

使用班级2015级研究生

备注：（1）试题要求用B5纸由计算机打印，并将其电子稿于课程结束后上传至考务管理系统内。

（2）试题类别指A卷或B卷。

2015/2016 学年 第 1 学期末考试试题（A 卷）

课程名称 数值分析1

使用班级： 2015级研究生

一、填空题(每空2分，共30分)

1. 设()e ln x

f x y =， 2.310.005, 1.930.005x y =±=±，则用()2.31,1.93u f = 作为

(),f x y 的近似值具有 位有效数字。

2. 用列主元消去法解方程组123123123341

290431

x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=-⎩

，选取的第一个主元素1(1)

,1i a = ；

3. 已知求解某线性方程组的一个迭代公式为(1)()()

123(1)()()

2

23(1)()()3

230.10.210.20.11,1,2,0.20.32

k k k k k k k k k x x x x x x k x x x +++⎧=+-⎪=-++=⎨⎪=--⎩ ，记其迭代矩阵为J G ，则J ∞

=G ，又设该线性方程组的解为*x ，取初始解向量

为()T

(0)

0,0,0=x

，则(1)=x ，(20)*

∞

-≤x x ；

4. 方程e x

x -=的根*

x ≈ (要求至少具有7位有效数字)；

5. 取权函数()2

e x

x ρ-=，在区间(),-∞+∞内，计算

()2f x x =与()f x 的内积

(),f f = ；

（已知：2

e d x

x +∞

--∞

=⎰ 6. 设()()110,014,(1)16f f f -===则[1,0]f -= ，[1,0,1]f -= ；()

f x 的二次Newton 插值多项式为 ；又若(0)3f '=，则()f x 的三次Hermite 插值多项式为 ；

7. 设()f x 在区间[,]a b 上具有连续的二阶导数，取等距节点(),0,1,,k x a kh k n =+= ，

b a

h n

-=

，则近似计算积分()d b a I f x x =⎰的复化Simpson 公式的截断误差

S R = ；该公式具有 次代数精度；

8. 已知求解常微分方程初值问题()()000

,,y f t y t t T

y t y '=≤≤⎧⎪⎨=⎪⎩的一个二步方法的计算公式为

212412

333

n n n n y y y hf +++=

-+ 则它的局部截断误差2n R += ；它是一个 阶方法。 二、(每小题10分，共20分)

1. 用LU 分解法求解线性方程组1234

1234

12341234

243475173249237821

x x x x x x x x x x x x x x x x --++=⎧⎪--++=⎪⎨

+--=-⎪⎪--++=⎩；

2. 用Romberg 方法计算积分2

1

e d x I x -=

⎰

的近似值，要求计算到第一个Romberg 值(3)0T ，并

与准确值0.7468241328124270...进行比较，说明计算的精度。

三、(每小题10分，共40分)

1. 取松弛因子 1.25ω=，写出求解线性方程组12

1232332124553x x x x x x x -=⎧⎪

-++=⎨⎪+=-⎩

的SOR 方法的迭代公

式，并说明其收敛性(不要求进行迭代计算)。

2. 利用函数e x y c =拟合下表所列数据(),i i x y

3. 写出用Newton 迭代法求解非线性方程组222

20.5

44y x x x y ⎧=-+⎨+=⎩

的步骤，并取初值00(,)(1.9,0.3)x y =计算近似解11(,)x y (只进行一次迭代)。

4. 设10⎛⎫

=

⎪⎝⎭

A ，写出用反幂法求A 接近于3.5的特征值及相应的一个特征向量的计算过

程。并取初始特征向量为(0)

0.950.25⎛⎫= ⎪⎝⎭

u

进行2次行比较，说明计算的精度。

四、(本题10分) 写出用标准4级4阶RK 方法求解以下常微分方程初值问题的计算公式，

2

21,021(0)0

xy y x x y ⎧'

=-≤≤⎪+⎨

⎪=⎩ 并取0.2h =计算(0.2)y 的近似值。