2018年全国高考新课标1卷理科数学试题(解析版)

131
AC=AB=2 ,
，
222
15
BC=
22
∴以AC和AB为直径的两个半圆面积之和为
1
2
×π×(
3
2
)
125
22
+×π×2=
π
28
∴以BC为直径的半圆面积与三角形ABC的面积之差为
1
2
×π×(
5
)
2
2-
125
×3×4=π-6；
28
∴两个月牙形（图中阴影部分）的面积之和等于
25
8
π-(
25
8
π-6)=6=ΔABC面积
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品
的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．学.科网
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX;
3
3
M(,-
2
3
),N(3,3),∴|MN|=3
2
12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最
大值为
33
4
A．
B．
23
3
C．
32
4
D．
3
2
解析：选A如图正六边形与正方体每条棱缩成角相等。当正六边形过正方体棱的中点时，面积最大
此时正六边形的边长为
2
，其面积为6×
2
3
×(
4
2
)
2
33
2
=
4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
x-2y-2≤0
13．若x，y满足约束条件x-y+1≥0，则z=3z+2y的最大值为_____________．
y≤0
解析：答案为6
14．记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn=2an+1，则S6=_____________．
ex，x≤0
x，x≤0
lnx，x>0
，g(x)=f(x)+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）
解析：选Cg(x)=0即f(x)=-x-a，即y=f(x)图象与直线y=-x-a有2个交点，结合y=f(x)图象可知-a<1
10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直
解析：a1=-1，n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-1，an=-2
n-1，S6=2a6+1=-64+1=-63
6=2a6+1=-64+1=-63
15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________
种．（用数字填写答案）
解析：合条件的选法有C6
→
解析：选A结合图形，EB(BABABCBA(ACABAC
2242444
7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面
上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为
A．217B．25C．3D．2
解析：选B所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对角线的长
3-C3=16
4
16．已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是_____________．
解析：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）
上的最小值。
∵f′（x）=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos
∴p1=p2
2
x
11．已知双曲线C：
3
- y
2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别
为M、N.若ΔOMN为直角三角形，则|MN|=
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高考真题高三数学
3
2
A．
B．3C．23D．4
解析：选B依题F(2,0),曲线C的渐近线为y=±
3
x,MN的斜率为3，方程为y=3(x-2),联立方程组解得
2
8．设抛物线C：y=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为
2
3
→→
的直线与C交于M，N两点，则FM·FN=
A．5B．6C．7D．8
2
3
解析：选DF(1,0)，MN方程为y=
→=(0,2),FN→=(3,4)
(x+2),代入抛物线方程解得交点M(1,2),N(4,4),则FM
∴F→M·→FN=8
9．已知函数f(x)=
综上，∠OMA=∠OMB.
20．（12分）
某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，
则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作
检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．学科&网
18．（12分）
如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把ΔDFC折起，使点C到达点P的位
置，且PF⊥BF.
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.
又BF平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.
（2）作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点，→HF的方向为y轴正方向，|B→F|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.
由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=3.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.可得PH=
33
,EH=.
22
则H(0,0,0),P(0,0,
f(x1)-f(x2)
x1-x2
<a-2．
解:（1）f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)= -
1
(x1-2)( x2-2)
将y=k(x-1)代入
2
x
2
+ y
2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k
2-2=0所以，x1+x2=
1+x2=
2
4k
, x1x2=
2
2k+1
2k
2-2
.
2
2k+1
则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k =
333
4k-4k-12k+8k+4k
=0
2k2+1
2+1
从而kMA+kMB=0，故MA，MB的倾斜角互补，所以∠OMA∠=OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k(x-1)(k≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
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高考真题高三数学
y1
则x1<2,x2<2，直线MA，MB的斜率之和为kMA+kMB=
x1-2
y2
+
x2-2
.
2kx1x2-3k(x1+x2)+4k
由y1=kx1-k, y2=kx2-k得kMA+kMB=
2p(1-p)
17(1-10p)
令f′(p)=0，得p=0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)>0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)<0.
所以f(p)的最大值点为p0=0.1.
（2）由（1）知，p=0.1.
（i）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X=40+25Y，
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C202p2(1-p)
2p2(1-p)
18.
因此f′(p)= C202[2p(1-p)
2[2p(1-p)
18-18p2(1-p)17]=2 C
202p(1-p)
所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=40+25×180×0.1=490.
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于EX>400，故应该对余下的产品作检验.
21．（12分）
已知函数f(x)=
1
x
- x+alnx．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若f(x)存在两个极值点x1,x2，证明：
RA=
A．{x|-1<x<2}B．{x|-1≤x≤2}C．{x|x<-1}∪{x|x>2}D．{x|x≤-1}∪{x|x≥2}
解析：选BA={x|x<-1或x>2}
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济
收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.