例谈数学解题中的构造法及其应用

＋
：１ Ⅱ＞０， （ ｂ＞ｏ ． ）
（） １
数学 学 习与研 究
２ １ ９ ０１
谚．ｉ ． ｔ 一 ａ … ｘ
≥ ｓ＋
一痢 汹
姆
６ ．构 造 数 列
椤４ ６ 求 （ ＋１ ）＋（ ＋１ 。＋（ ＋１ ＋・・ ＋１ ） ） ・ ＋（ ）。 项 的 系 数． 的展 开 式 中
４
理 解 和 掌握 函数 的思 想 方 法 有 助 于 实 现 数 学 从 常 量 到
变量 的认 识 上 的 飞 跃 ． 多 数 学 命 题 繁 冗 复 杂 ， 寻 入 口 ， 很 难
又
ｔｎ￣ ，ａ ＝Ｙ ｔｎ ａ ｃ ＝ ｔ ，ａ ｙ：。 于 是 有 ，
一 —
若 巧 妙 运 用 函数 思 想 ， 使解 答 别 具 一 格 ， 能 耐人 寻味 ．
规， 另辟 蹊 径 ， 妙 地 解 决 问 题 ， 在 数 学 解 题 『 有 着 广 泛 巧 它 １ ｊ
又
ｎ ， 是 方 程 Ｘ 、Ⅱ 一６ ｘ＋１ ８＝０ 的 两 根 ． ６ ２
解 方 程 ， ＝２， ＝６ ． 得 ， ４
‘
．
．
ｄ ｌ＝２， ＝６ ｎ ４或 Ⅱ １＝６ Ⅱ ４， ＝２ ．
ｔｎ 一 ａ （ 卢）＋ｔｎ（ 一 ）＋ ｔｎ（ — ）＝ｔｎ（ 一 ） ・ ａ 卢 ａ ａ ｔｎ 卢 一’）ａ 一Ｏ） ａ（ ， ｔｎ（ ／． （） １
分析
此 不 等 式 求 解 比 较 困 难 ， 们 可 以 在 不 等 号 两 我
边 构 造 两 个 函数 ， 用 函 数 的性 质 求 解 利
列 ” 产 生 意 想不 到 的效 果 ． 能 从 以上 各 例 不 难 看 出 ， 造 法 是 一 种 极 富 技 巧 性 和 创 构
两一图Ｎ 个加点） 囊握人产 的手， 边 会硷＂ 人次ｔ 点条Ａ１ 善晚 ｏ 数 就ＩＡ 来 接－＼ 握 的＇／ 分数－￣ 萎连／ｆ 别 该， 萼 七／， ． 两／ 表 个， 一 是 该＼ 表 ｘ 蓁 ． 示 次 － 示 ， 手 ｌ 则 ： 参 用
一
（ ） Ⅱ ２ Ｈ ＝ ４ 显然 ｑ ， ａ ＝ ２ ， ｑ ２ １ 若 ： ，， ６ ， ≠ｌ 南 ａ １６ 得 ＝
．
盯
１一 ｑ
ｄ ＝ｎ ｑ ～ ， ． 一 ＝３ ｎ＝６ １ ．２ ２， ．
（） ｎ ＝ ４Ⅱ ＝ 时， ２ 若 ， ６ ， ２ 同理可求 ｑ ÷ ， ＝ ． ＝ Ｈ ６
’
．
【 键词 】 造 ； 学 解题 关 构 数
又
．
Ⅱ ｌⅡ
，Ｊ
： 。２ ｌ＝ １ ８． Ⅱ ２
ｄ ＋ａ ＝６ 】 ， ６，
‘ ． ．
有 时 对 我 们 所 碰 到 的 数学 题 用 常 规 的 思 路 和 方 法 难 以 解 决 ， 么我 们 可 以 根 据 题 目 的 结 构 特 征 ， 过 直 觉 观 察 、 那 通 联 想 及 猜想 等思 维 活 动 ， 已 知 条 件 中 的 元 素 和 关 系 式 构 用 造 一种 新 的数 学 形 式 ， 如方 程 、 函数 、 形 等 ， 找 到 一 条 绕 图 以 过 障碍 的新 途 径 ， 而 使 问题 得 到 解 决 ． 从 这种 以 “ 造 ” 特 构 为 征 的解 题 方 法 称 为 构 造 法 ． 用 构 造 法 解 题 ， 以 打 破 常 应 可
０ １ ２
而 内式 中的 各 角 的 结 构 特 点 ， 问题 是 不 难 解 决 的 ．
由 以上 分 析 可 知 ， 证 原 式 成 立 ， 欲 只需 证 （ ） 成 立 ． １式
证明
‘ ． ．
’ Ｏ一 ． ｔ 卢）＋ （ 一 ）＋（ —Ｏ）＝０， （ Ｔ ／
＋ “的解集 Ａ 且 ＿ （一 ， ） 等 ≠ ４ ０，
Ｌ — — ——— —— 一 一 —：—— ——— —一 一
１＋ｘ ｙ
＋ ３ １ ＋ｚ １＋ｘｙ １七 ｙ １＋ｚ ／ ｚ ｘ ｚ ｘ
４ ．构 造 不 等 式
例 ４ 已知 直 线 ２过 点 Ｐ（ ４） 求 它 在 两 坐 标 轴 正 向 １， ，
截 距 之 和最 小 时 的方 程．
解 设 厂 ）：１ 一１Ｉｇ（ （ ， ）＝ ＋ ｎ， （ ｌ ）＝ｌ 一１ 是 一 条 折 线 ， ）＝ 厂 ｊ ｇ（
，一
＋ ｎ是顶点 为 （ ， ） 开 口向 上 的抛 物 ０ｎ 、 线， 南题意 知 ， 个 像有 两 个交 点 且都 两
在 Ｙ轴 的 左 方 ， 此 不 等 式 ｊ 因 —ｌ ｆ＞
解 （ ＋１ ）＋（ ＋１ ＋（ ） ＋１ ＋… ＋（ ＋１ ） ）
（ ＋ ） １ ＋１ ］ １ ［ 一（ ）
一 一 一
（ ＋１ ） ＋１
—
（ ＋１ ）
含有 项 的 系数 为 ｃ ＝４ ９ ． ４ ５
相 当 多 的数 学 问 题 ， 证 明 不 等 式 ， 试 一 下 “ 造 数 如 尝 构
故原命题得证． 本 题从 结论 的结 构形 式特 征人 手 ， 构造 公 式 ｔｎ ａＡ＋ｔｎ ａ Ｂ＋ ｔｎ ａ Ｃ＝ｔｎ ａ Ａ×ｔｎ ａ Ｂ×ｔｎ 由此 得 到原 题 的 简捷 证 法． 用 此公 ａ Ｃ， 应
分 析 没 已知 直 线 ｆ 两 坐 标 轴 正 向 截距 分 别 为 ｎ， ， 在 ｂ
题 中有 着 重 要 的 作 用 ． 文 从 “ 造 函 数 ” “ 造 方 程 ” 本 构 、构 等 常 见 “ 造 ” 谈 构 造 法 在 数 学 解 题 中 的运 用． 构 例
利 用 韦达 定 理 构 造 一个 以 ｎ ， 为 两 根 的 方 程 ， 后 通 过解 ．“ 然
一
个 一 元 二次 方 程 就 可 以得 解 ． 解 。 ｎ ． １ ＝“ ‘ ｎ ｌ ２ ， ２ １ ２ ， ｑ Ⅱ Ⅱ ＝口 ｌ ｑ
教 育 出版 社 ，９ ６ １９ ．
五 、 不等 式 中的 简 易 逻 辑 思 想 解
设 Ａ＝｛ ＜ 一２或 ＞ｌ ， Ｉ ０｝ Ｂ＝ ｛ Ｉ ＜１一， ｎ或 ＞
１＋ｍ（ ＞０）｝ ｍ ，
，
例 知：一 Ｉ， 一 ＋一 ≤ ５已 ｐ ≤ ２ ｍ ｏ ｌ ｚ
《 饕 ｌ Ｔ【 ＱＩ ｉＵ Ｆ Ｎ Ａ 嚣】 ￣ ！ ｉ ＡＯｉ Ａ ＧＦ ｉ ！ Ｙ
棼童 翅。
●
傩谈数 学绎题 中的梅造法及其应 展
◎钱 鹤 英 （ 苏省 宜兴 市 中等 专 业 学 校 江 ２４ ０ ） １２ ６
【 要 】 构 造 法 ” 为 一 种 重 要 的化 归 手 段 ， 数 学 解 摘 “ 作 在
２ ＝÷ｏ 。 √ ， ） ・ （ ．
分 析 可 以 构 造 等 比数 列 ｛ ， 项 ｎ ｎ ｝首 ＝Ｘ＋１ 公 比 ， ｑ ＋１ 利 用 等 比数 列 的 前 ｎ项 和 公 式 可 以 先 化 简 原 式 ， ＝ ．
然 后 用 二 项 式 定理 求 项 的 系数 ．
粗

例 ３ 已知 关 于 的 不 等 式 ｆ ＋０的 解 集 Ａ≠ 一１ Ｉ＞
且 ＿ （一 。 ０） 求 实 数 ｎ 的 取 值 范 围 ． ４ ｃ， ，
分 析 欲证 结 论 的结 构 为 三数 之 和 等 于 ｉ数 之 积 的形
式 ， 与 我 们 所 熟 悉 的 △Ａ Ｃ中 ， ｎ 这 Ｂ ｔ Ａ＋ｔ Ｂ＋ｔ Ｃ＝ｔｎ ａ ａ ｎ ａ ｎ ａ Ａ× ｔ Ｂ×ｔ Ｃ十分 类 似 ， 而 肩 发 我 们 构 造 表 达 式 ＝ｔ ． ａ ｎ ａ ｎ 因 ａ ｎ ｙ： ａ ， ｔｎ，原 问题 等价 丁 证 明 ｔ ： ａ ３ ，
二 ≤０， 此 得 １≤ 南
即
ｌ （ ）（一） 一ｎ ） ＿ 卢ａ卢ｙ＝ ｔ ｙ ． ；ｔ 一 ｎ …ａ — “ ¨ （
旦
ｔ ｎ ａ
５
即 ｔｎ —Ｊ）＋ｔｎ 卢 一 ）＋ｔｎ —ｄ）＝ｔｎ（ 一卢） ・ ａ（ Ｂ ａ（ ａ（ ａ ｔｎ 卢 一７）ａ （ 一 ） ａ（ ｔｎ ．
（ ＞０） Ｐ是 ｑ 的 必 要 不 充 分 条 件 ， 实 数 ｍ 的 取 值 ｍ ， 求
范 围．
１一 ｍ ≥ 一 ２，
则有 Ａ Ｂ， Ｊ ＋ｍ≤１ ，且 不 等 式 中 的第 一 、 故 １ ０ 二两 个
ｌ０ ／ ． ７ ／
本 题 为 不 等 式 与 简 易 逻 辑 的 综 合 试 题 ， 题 的 命 不 等 式 不 能 同 时取 等 号 ． 解得 ０＜ｍ≤３ 此 即为 “ ， 一Ｐ是 ｑ的 必要 不 充 分 条 件 ” 时 实 数 ｍ 的取 值 范 围． 此 题 是综 合试 题 ， 分 体 现 了 不 等 式 在 高 中数 学 的 学 充 习过 程 中 ， 乎 与 每 个 章 节 的 知 识都 可结 合 考 查 ． 几 总 之 ， 学 思 想 是 对 数 学 知 识 和 方 法 本 质 的 认 识 ， 学 数 数 方 法 是 实 现数 学 思 想 的手 段 和 工 具 ． 学 思 想 方 法 的 教 学 ， 数 是 培 养 有 能力 有 创 造 性 人 才 的 重 要 手 段 ， 加 强 数 学 素 质 是
其 【关 键 是 构 造 （ １ １ “＋ｂ 取 最 小 值 的 不 等 式． ）
解 设直线 ｆ 的方程为 ＋ ＝ ． ｛ １
ｎ ０
分析
此 题 可 以 建 立方 程组 求 解 ， 计 算 量 比 较 大 ． 但 换
巾点 Ｐ（ ， 存 直 线 Ｚ ， １ ４） 上 可得
１
个 方 法 我 们 可 以利 用 等 比数 列 的性 质 得 到 ｎ ， 的 和 与 积 ， ｎ
式， 可得 到具有 三数 之和 等于 ｉ数 之 积特 征 的一 类 问题 的 最优
解 法．
原题化归为求（ ＋ ） ｎ ｂ取最小值时的直线方程 ＋ ：ｌ 车 ，
Ｕ ０
２ ．构 造 方 程 、 方程 组
例 ２ 在 等 比 数列 ｛ 中 ， ． ＝６ ｎ ｎ ＝１ ８ 且 ａ Ⅱ ＋ａ ６， ２， 前 ｎ项 的和 Ｓ ＝１６， ｎ及 公 比 ｑ ２ 求 ．
价 于 方 程 １一 ＝ ＋ｎ有 两 个 不 相 等 的非 正 根 ， 简 为 ＋ 化 ＋ 一１：０， 程 较 大 的 根 二 方
ｄ ＜ —— ．
（ 一 ）＋（ 一．）： 一 （ —Ｏ）， ｄ 卢 ｙ ｙ ／
’ ． ．
ｔ ［ Ｏ 一 ） 卢一 ） ｔｎ ａ （／ ＋（ ］＝ ａ ［一（ ｄ） ｎ ｙ— ．
１
的应 用 ． 文 就 数 学 解 题 中 的几 种 构 造 法 作 简 要 介 绍 ． 本 １ ．构 造 表 达 式 及 公 式
例 １ 已知 ， 。均 为实 数 ， ｘ ＃ 一１ ≠ 一１ ≠ 一１ ， 且 ｙ ， ， ．
综 上所 述 ｎ＝ ， ＝２或÷ ． ６ｑ
３ 构 造 函 数 ．
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造 性 的 解题 方 法 ， 现 了数 学 中 发 现 、 比 、 归 的 思 想 ， 体 类 化 也
渗 透 着 猜 想 、 索 、 殊 化 等 重 要 的 数 学 方 法 ． 用 构 造 法 探 特 运
解 数 学 题 可从 中欣 赏数 学 之 美 ， 受 解 题 乐 趣 ， 重 要 的 是 感 更 可 开 拓 思 维 空 间 ， 迪 智 慧 ， 对 培 养 多 元 化 思 维 和 创 新 精 启 并
神 大 有 裨 益，
【 考文献 】 参
［ ］ 隆士 汤 光宋 ， 中学 数 学 解 题 教 程 ［ ． 汉 ： １郑 斤， 等． Ｍ］ 武
华 中理 工 大 学 出版 社 ，０ ９ ２０ ．
［ ］ 再平 ， ． 学 方 法 与 解 题 研 究 ［ ］ 北 京 ： 等 ２戴 等 数 Ｍ ． 高