初二数学竞赛讲座 二次根式的运算解答提示

初二数学竞赛讲座 二次根式的运算解答提示

式子a (a ≥0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础． (1)c b a c b c a )(±=± (c ≥0)； (2)ab b a =⋅ (0,0≥≥b a )； (3)

b

a

b

a =

(0,0>≥b a )； (4)22)(a a =(≥a 0)．

同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念．

二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等． 例题求解 【例1】 已知2542

4

52

22+-----=

x

x x x y ，则22y x += ． (重庆市竞赛题) 思路点拨 因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手．

注： 二次根式有如下重要性质：

(1)0≥a ，说明了a 与a 、n a 2一样都是非负数；

(2) a a =2

)( (≥a 0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化；

(3) a a =2

)(，揭示了与绝对值的内在一致性．

著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题．

提示：22222

2

054

20,262045x x x y x y x x

⎧-≥⎪⎪-→-==→+=⎨-⎪≥⎪-⎩ 【例2】 化简2

2

)1(111++

+

n n ，所得的结果为（ ）(武汉市选拔赛试题)

A ．1111++

+

n n B ．1111++-n n C ．1111+-+n n D ．1

1

11+--n n 思路点拔 待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．提示：原式

111

n n n +=-+ （C ）

【例3】计算：

（1）

)

23)(36(23346++++； （2；

（3）

49

4747491

7

55715

33513

31++

+++++

+ ；

（4．

思路点拨 若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、

配方等

方法寻

找它们

的联系

，以此

为解题

的突破

口．（

1

）

原

式

=

=

=+

（2）原式=

(55==--=

（3

=

1

2=

=

= 原式11113

(

()

2217747

=

+++=-=

（4=

==【例4】 (1)化简324324-++； (北京市竞赛题) (2)计算223810++ (“希望杯”邀请赛试题)

(3) 计算1

2

1

2-

-

+

-

+a

a

a

a．(湖北省孝感市“英才杯”竞赛题)

思路点拨（1）把4+23万与4—23分别化成一个平方数化简，

原式11=此外，由于4+23

与4—23是互为有理化因式，因此原式平方后是一个正整数，我们还可以运用这一特点求解；原

式

3423

=-

21612

==-=

(2)

原式==

242(2)4 =+==

(3)通过配方可以简化一重根号，本题的关键是就

a的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题．

原式

=

2

11

2

a

a

⎧≤≤

⎪

=+=⎨

>

⎪⎩

1，即12时

，即时

【例5】已知5

2

1

3

3

2

4

1

2-

-

-

=

-

-

-

-

+c

c

b

a

b

a，求c

b

a+

+

的值．(山东省竞赛题)

思路点拨

已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，

一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．原式可化为：

22222

1

1]

221

2][(3)23

39]

2

a c c

-+--+=----+

即222

1

1)2)]3)0

2

+

+=，10

=，得2

a=20

=，得6

b=；

30

=，得12

c=。故261220

a b c

++=++=。

学历训练

1．如果2

2

3

3

2+

-

+

-

=x

x

y，那么4x y

-=

．

2

．已知3

=

xy

，那么

y

x

y

x

y

x+的值为

．(

成都市中考题)

提示：原式(

x y

x y

x y x y

⎧⎪

==+=⎨

-

⎪⎩

、均为正

、均为负

3

．计算2001

)1

3

(2

)1

3

(2

)1

3

(1999

2000

2001+

+

-

+

-

+= ．(天津市选拔赛试题)

原式1999219992

1)1)1)13]20011)11)3]20012001

=-+-+=--+=