83图的矩阵表示-PPT文档资料

② B=AAT=(bij)的元素 bij=ai1aj1+…+ainajn=k 表示有k个点，都是从i,j引出的有向边的
公共交点。
特别地，bii是第i结点的出度。
对偶地
可讨论ATA的元素的图论意义。
i
j
练习：求AAT，ATA，并由此求每个结点的出度与入度
0 1 0 0
A
0
0
1
1
1 1 0 1
1
• 完全图Kn的邻接矩阵是恰有n个0并全在对角线上的n阶(0,1)方 阵。
• 当有向线图代表关系，关系矩阵就是邻接矩阵。
• 有向线图G=V,E的邻接矩阵是A，则G的逆图G~=V,E~的邻接 矩阵是A的转置矩阵，记为AT。
• 无向简单图的邻接矩阵是对称矩阵：A=AT。
• 有n个结点的赋权图G=V,E,W的邻接矩阵是n阶方阵A=(aij)， 其中当(vi,vj)E，aij=W(vi,vj)；否则,aij=0。
aij 1 0
vi,vj E ((vi,vj) E ) vi,vj E ((vi,vj) E )
例1 左下图的邻接矩阵：
0 1 0 0
A
0
0
1
1
1 1 0 1
1
0
0
0
注① 图的邻接矩阵与n个结点的标定次序有关，对于V中各 元素不同的标定次序，可得出不同的邻接矩阵。不过这些 矩阵可以通过交换行和列而相互得出。具有这样性质的矩 阵称它们置换等价。
A
0
0
1
1
1 1 0 1
1
0
0
0
Leabharlann Baidu
0 0 1 1
A (2)
2
1
0
1
1 1 1 1
0
1
0
0
例 A(2)中的第2行第1列元素等于2，说明从v2到v1长度为2的 路的有两条： v2 v4 v1 ， v2 v3 v1 。
分析: a21(2)= a21a11+a22a21+ a23a31+a24a41=0•0+0•0+1•1+1•1=2 注意从v2到v1长度为2的路中间必经由一个结点vk,即v2 vk v1(1k4)。 一般地, A(m)中从i到j长为m的路径总数是aij(m)条，过i的长为m 的回路共有aii(m)条。
• 有n个结点的多重图的邻接矩阵是n阶方阵A=(aij)，其中aij代表 从vi到vj的边的重数。
邻接矩阵的图论意义
设A为无向简单图G的邻接矩阵，其第i行(列)元素为1的个数等于 结点的度。
邻接矩阵的图论意义
设A为无向简单图G的邻接矩阵，其第i行(列)元素为1的个数等于 结点的度。 设A为有向简单图G的邻接矩阵。 ① A的第i行(列)和等于第i个结点的出(入)度，i=1,…n。
1
0
1
0
0 1 0 0
0
1
1
0
1 0 1 0
2 1 0 1
AAT
0
1
2 1
1 3
0
1
AT
A
1
0
2 0
0 1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
2
③定理1 设简单有向图G=<V,E>的邻接矩阵为A，则矩阵A(k)中 的第i行第j列元素等于G中从vi到vj长度为k的不同路径的数目。
0 1 0 0
0 0 3 7 3
2、可达性矩阵
有向图G中从vi到vj是否有路可达可通过矩阵运算而得到。
v1
v1
0 0 1 0 0
0
0
0
1
0
A 0 0 0 1 0
0
0
1
0
1
0 0 0 1 0
0 0 0
0
0
1
A(2) 0 0 1
0
0
0
0 0 1
1 0
0
1
0 1
2
0
0 1
0 0 1 0 1
0 0 0 2 0
0
0
0
2
0
0
0
2
0
2
A(3) 0 0 0 2 0 A(4) 0 0 2 0 2
0
0
0
0 0 1 1
AT
1
0
1
0
0 1 0 0
0
1
1
0
1 0 1 0
2 1 0 1
AAT
0
1
2 1
1 3
0
1
AT
A
1
0
2 0
0 1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
2
练习：求AAT，ATA，并由此求每个结点的出度与入度
0 1 0 0
A
0
0
1
1
1 1 0 1
1
0
0
0
0 0 1 1
AT
研究vi到vj的可达性和经vi是否存在回路的问题。bij0(ij)表示从 vi到vj可达，否则从vi到vj不可达，分属不同强分图。bij 0(i=j)表 示经vi存在回路，否则表示不存在经vi的回路。
例2 根据有向图和矩阵B5，验证 (a) b52=0，所以v2和v5分属两个强分图。 (b) b11=0，所以没有经过v1的回路。 (c) b53=3，所以从v5到v3长度不超过5的路径有3条。
0
0
2
0
2
0
0
0
4
0
0 0 0 2 0
0 0 2 0 2
0 0 2 0 2
0
0
0
4
0
A(5) 0 0 0 4 0
v1
0
0
4
0
4
0 0 0 4 0
0 0 5 3 3
0
0
3
7
3
B5 A A(2) A(3) A(4) A(5) 0 0 3 7 3
0
0
7
6
7
83图的矩阵表示
精品
第八章 图论
8.1 图的基本概念 8.2 路径和回路 8.3 图的矩阵表示 8.4 二部图 8.5 平面图 8.6 树 8.7 有向树
8.3 图的矩阵表示
1. 邻接矩阵 2. 可达性矩阵 3. 可达性矩阵的应用 4. 关联矩阵
1、邻接矩阵
定义1 设G=<V,E>有向（无向）线图，有n个标定了次序的结 点v1, v2,…vnV，则n阶方阵A=(aij)称为G的邻接矩阵，这里
0 1 0 0
A
0
0
1
1
1 1 0 1
1
0
0
0
v3的出度=1+1+0+1=3，v3的入度=0+1+0+0=1
邻接矩阵的图论意义
设A为无向简单图G的邻接矩阵，其第i行(列)元素为1的个数等于
结点的度。
设A为有向简单图G的邻接矩阵。
① A的第i行(列)和等于第i个结点的出(入)度，i=1,…n。
④ Br=A+A(2)+A(3)+…+A(r)的元素bij表示从vi到vj长度小于等于r的 不同路径总数。
在n个结点的简单有向图中，基本路径长度不超过n-1，基本回路
长度不超过n，故可用
Bn-1=A+A(2)+A(3)+…+A(n-1) (ij时) Bn=A+A(2)+A(3)+…+A(n) (i=j时)
② 有向简单图在标定次序后得到唯一邻接矩阵;
例如，左下图的两个置换等价邻接矩阵：
0 1 0 0
A
0
0
1
1
1 1 0 1
1
0
0
0
v2 v3 v1 v4
v
2
0
1
0
1
v
3
1
0
1
1
v1 1 0 0 0
v4 0 0 1 0
几个特殊图的邻接矩阵
• 零图的邻接矩阵的元素全为0，称为零矩阵。