高中数学选修1-1双曲线

2.课本 P 62 习题 2.3 A 组第 5 题 r 如图,圆 O 的半径为定长 ,A 是 圆 O 外一定点,P 是圆上任意一点, 线段 AP 的垂直平分线 l 和直线 OP 相交于点 Q,当点 P 在圆 O 上运动时, 点 Q 的轨迹是什么?为什么?
x y 1( x 3) 9 16
2 2 2 2 2 2 2 2
c2 a 2 b2
x2 a2
b 2 1(a 0, b 0)
y2
此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准 方程
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
M
y
M F2 x
F1
O

x
O
F1
x y 2 1 2 a b
2
2
y x 1 2 2 a b
2
2
2
2
双曲线的几何性质
x y 0 2 2 x y a b 由 2 - 2 >0得 或 x y a b 0 a b 表示的平面区域内
x2 y2 2 1 2 1, 得x 2 a 2 a b x a或x a yR
双曲线 1、范围
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
PF1 PF2 6 ,求动点 P 的轨迹方程.
变式2答案
变式训练 2:已知两定点 F1 (5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足
PF1 PF2 6 ,求动点 P 的轨迹方程. 解： ∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴ 由双曲线的定义可知， 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支), ∵焦点为 F1 (5,0), F2 (5,0)
双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤： 1. 建系.
y
M
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2.设点． 设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式
F1
O
F2
x
|MF1| - |MF2|=±2a
即
4.化简
( x c) y ( x c) y 2a
焦点
F（±c，0）
F（±c，0）
F（0，±c）
a.b.c的关 系
F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
例1 已 知 两 定 点 F1 (5,0) , F2 (5,0) , 动 点 P 满 足
PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5)
3.a=4,过点(1,
4 10 3
)
x y 例2:如果方程 1 表示双曲 2 m m 1 线，求m的取值范围.
2
2
解: 由(2 m)(m 1) 0 得m 2或m 1 ∴ m 的取值范围为 (, 2) (1, )
思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆 炸点的轨迹是什么?
答: 爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.
思考 2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的 时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定 爆炸点的准确位置 . 而现实生活中为了安全，我们最 关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸 点的准确位置呢?
2 2 2 2
( x c) y ( x c) y 2a
2 2 2 2
( x c)
2
y
2
2a
2
( x c) y
2
2

2
cx a 2 a ( x c) 2 y 2
(c a ) x a y a (c a )
(a 0，b 0)
问题
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
看 x , y 前的系数，哪一个为正， 则在哪一个轴上
2
2
2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区 别与联系?
双曲线与椭圆之间的区别与联系 椭
定义
圆
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
方程
2 2 x2 y 2 x y 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b 2 2 y 2 x2 y x 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b
双曲线图象 拉链画双曲线
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
用 y=－x 代入上式，得 x 680 5 ，∵|PB|>|PA|, x 680 5, y 680 5, 即P(680 5,680 5), 故PO 680 10 答:巨响发生在接报中心的西偏北 450 距中心 680 10m 处.
课堂练习(巩固及提高): 1. 已知在 △ ABC 中 , B(5,0) , C (5,0) , 点 A 运动时满足 3 sin B sin C sin A ,求点 A 的轨迹方程. 5 2 2
答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处 测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方 程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的 准确位置.这是双曲线的一个重要应用.
思考 3: 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测 点的报告： 正西、 正北两个观测点同时听到了一声巨响， 正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各 观测点到该中心的距离都是 1020m. 试确定该巨响发生 的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/s,相关各点 均在同一平面上)
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
说明 思考： （1）2a<2c ； （2）2a >0 ；
F1 o F2 M
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？ (1)两条射线 （2）若2a>2c,则轨迹是什么？ (2)不表示任何轨迹 （3）若2a=0,则轨迹是什么？ (3)线段F1F2的垂直平分线

x2 y2 1 ( x 3) 9 16
1
2.已知点 A(0, 7) , B(0, 7) , C (12, 2) ,以点 C 为焦点作过 A、 B 两点的椭圆,求满足条件的椭圆的另一焦点 F 的轨迹方程.
x y 1( y ≤ 1) 48
2
2
课堂练习(巩固及提高): 1. 已知在 △ ABC 中 , B(5,0) , C (5,0) , 点 A 运动时满足 3 sin B sin C sin A ,求点 A 的轨迹方程. 5
3 sin B sin C sin A , 5 3 3 由 正 弦 定 理 得 AC AB BC 10 6 10 5 5
解: 在△ABC中,|BC|=10，
故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支
又因c=5，a=3，则b=4
x y 则顶点A的轨迹方程为 1 ( x 3) 9 16
x y ∴可设双曲线方程为: 2 2 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 －3 =16.
x2 y2 1 ( x ≥ 3) . 所以点 P 的轨迹方程为 9 16
2 2
练习
写出适合下列条件的双曲线的标准方程 1.a=4,b=3,焦点在x轴上;
分析:依题意画出图形(如图)
直觉巨响点的位置情况.
只要能把巨响点满足的两个曲线 方程求出来 . 那么解方程组就可以确 定巨响点的位置.
P
yC

A
o
B
x
要求曲线的方程 , 恰当的建立坐 标系是一个关键.
解：如图，以接报中心为原点 O，正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系. 设 A、B、C 分别是西、东、北观测点， 则 A(－1020,0） ，B(1020,0） ，C(0,1020）. 设 P（x,y）为巨响点， 由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|, 故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y =－x，
解： ∵ F1F2 10 >6,
PF1 PF2 6
∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1 (5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设所求方程为: 2 2 1 (a>0,b>0). a b ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5. x2 y2 1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16
练习第1题详细答案
几何画板演示第2题的轨迹
本课小结
学习小结: 本节课主要是进一步了解双曲线的定义 及其标准方程 , 并运用双曲线的定义及其标 准方程解决问题, 体会双曲线在实际生活中 的一个重要应用. 其实全球定位系统就是根 据例 2 这个原理来定位的. 运用定义及现成的模型思考 , 这是一个 相当不错的思考方向 . 即把不熟悉的问题往 熟悉的方向转化,定义模型是最原始,也是最 容易想到的地方.
变式训练 1:已知两定点 F1 (5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足
PF1 PF2 10 ,求动点 P 的轨迹方程.
解： ∵ F1F2 10 ,
PF1 PF2 10