解析几何难题——教师版,附解答

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高中数学解析几何大题(附有答案及详解)

47．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，其短轴为2．（1）求椭圆E 的方程；（2）设椭圆E 的右焦点为F ，过点()2,0G 作斜率不为0的直线交椭圆E 于M ，N 两点，设直线FM 和FN 的斜率为1k ，2k ，试判断12k k +是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．48．如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>⎛ ⎝⎭，P 为椭圆上的一动点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设圆224:5O x y +=，过点P 作圆O 的两条切线1l ，2l ，两切线的斜率分别为1k ，2k . ①求12k k 的值；①若1l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，与圆O 切于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，且满足OPA OQB S S =△△，求1l 的方程.49．已知椭圆E ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分別为12,F F ，离心率为e =左焦点1F 作直线1l 交椭圆E 于A ，B 两点，2ABF 的周长为8. （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线2l ：y =kx +m (km <0)与圆O ：221x y +=相切，且与椭圆E 交于M ，N 两点，22MF NF +是否存在最小值？若存在，求出22MF NF +的最小值和此时直线2l 的方程.50．已知动点M 与两个定点()0,0O ，()3,0A 的距离的比为12，动点M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的轨迹方程，并说明其形状；（2）过直线3x =上的动点()()3,0P p p ≠分别作C 的两条切线PQ 、PR （Q 、R 为切点），N 为弦QR 的中点，直线l ：346x y +=分别与x 轴、y 轴交于点E 、F ，求NEF 的面积S的取值范围.51．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：20x y ++=和圆O ：221x y +=，P 是直线l 上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）若PA PB ⊥，求点P 的坐标；（2）求线段PA 长的最小值；（3）设线段AB 的中点为Q ，是否存在点T ，使得线段TQ 长为定值？若存在，求出点T ；若不存在，请说明理由.52．已知以1C 为圆心的圆221:1C x y +=.（1）若圆222:(1)(1)4C x y -+-=与圆1C 交于,M N 两点，求||MN 的值；（2）若直线:l y x m =+和圆1C 交于,P Q 两点，若132PC PQ ⋅=，求m 的值. 53．已知圆()22:21M x y +-=，点P 是直线:20l x y +=上的一动点，过点P 作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ．（1）当切线P A P 的坐标；（2）若PAM △的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）求线段AB 长度的最小值．54．已知圆22:2O x y +=，直线:2l y kx =-．（1）若直线l 与圆O 交于不同的两点,A B ，当90AOB ∠=︒时，求实数k 的值；（2）若1,k P =是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC 、PD ，切点为C 、D ，试探究：直CD 是否过定点．若存在，请求出定点的坐标；否则，说明理由．55．在平面直角坐标系xOy中，(A，B ，C 是满足π3ACB ∠=的一个动点．（1）求ABC 垂心H 的轨迹方程；（2）记ABC 垂心H 的轨迹为Γ，若直线l ：y kx m =+（0km ≠）与Γ交于D ，E 两点，与椭圆T ：2221x y +=交于P ，Q 两点，且||2||DE PQ =，求证：||k > 56．平面上一动点C的坐标为),sin θθ.（1）求点C 轨迹E 的方程；（2）过点()11,0F -的直线l 与曲线E 相交于不同的两点,M N ，线段MN 的中垂线与直线l 相交于点P ，与直线2x =-相交于点Q .当MN PQ =时，求直线l 的方程.答案及解析47．（1）2212x y +=；（2）是定值，该定值为0．【分析】（1）依题意求得,a b ，进而可得椭圆E 的方程；（2）设直线MN 的方程为()()20y k x k =-≠，与椭圆E 方程联立，利用韦达定理和斜率公式即可求得12k k +的值. 【详解】（1）由题意可知：22b =，1b =，椭圆的离心率c e a ==a =①椭圆E 的标准方程：2212x y +=；（2）设直线MN 的方程为()()20y k x k =-≠．22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得：()2222128820k x k x k +-+-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122812k x x k +=+，21228212k x x k -=+，()()()1212121212121212222211111k x k x y y x x k k k x x x x x x x x ⎡⎤--+-+=+=+=-⎢⎥-----++⎢⎥⎣⎦222222228242122208282111212k k k k k k k k k k ⎡⎤-⎢⎥⎛⎫-+=-=-=⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥-+⎢⎥++⎣⎦． ①120k k +=为定值．【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是：得出()12121212221x x k k k x x x x ⎡⎤+-+=-⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦.48．（1）2214x y +=；（2）①14- ；①yy =+【分析】（1）根据已知条件结合222c a b =-列关于,a b 的方程，解方程即可求解；（2）①设()00,P x y ，切线:l 00()y y k x x -=-，利用圆心到切线的距离列方程，整理为关于k 的二次方程，计算两根之积结合点P 在椭圆上即可求12k k ；①由OPA OQB S S =△△可得PA BQ =，可转化为A B P Q x x x x +=+，设1l ：y kx m =+，与椭圆联立可得P Q x x +，再求出A x 、B x ，即可求出k 的值，进而可得出m 的值，以及1l 的方程. 【详解】（1）因为22222234c a b e a a -===，所以2a b =，因为点⎛ ⎝⎭在椭圆上，所以221314a b +=即2213144b b +=，解得：1b =，2a =，所以椭圆方程为：2214x y +=；（2）①设()00,P x y ，切线:l 00()y y k x x -=-即000kx y y kx -+-= 圆心()0,0O到切线的距离d r ==整理可得：2220000442055x k x y k y ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭，所以2020122200441451544455x y k k x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===---，①因为OPA OQB S S =△△所以PA BQ =，所以A P Q B x x x x -=-，所以A B P Q x x x x +=+，设切线为1:l y kx m =+，由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得：()222418440k x kmx m +++-= 所以2841P Q kmx x k -+=+，令0y =可得B mx k=-，设(),A A A x kx m +，则1A OA A kx m k x k +==-，所以21A km x k -=+，所以228411P Q km m kmx x k k k --+==-+++，整理可得：()()()2222814121k k k k +=++，所以221k =，解得：k =，因为圆心()0,0O 到1:l y kx m =+距离d ，所以mm =，因为0B mx k=->，所以当k =m =k =时，m =；所以所求1l的方程为y =或y = 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中解决定值、定点的方法（1）从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无关；（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以有效的简化运算.49．（1）2214x y +=；（2）最小值为2，0x =或0x +-=.【分析】(1)由椭圆定义结合已知求出a ，半焦距c 即可得解；(2)由直线2l 与圆O 相切得221m k =+，联立直线2l 与椭圆E 的方程消去y ，借助韦达定理表示出22MF NF +，利用函数思想方法即可作答. 【详解】（1）依题意，结合椭圆定义知2ABF 的周长为4a ，则有4a =8，即a =2，又椭圆的离心率为c e a =c =2221b a c =-=，所以椭圆E 的方程为2214x y +=；（2）因直线2l ：y =kx +m (km <0)与圆O ：221x y +=1=，即221m k =+，设()()()112212,,,,2,2M x y N x y x x ≤≤，而点M 在椭圆E 上，则221114x y +=，即221114x y =-，又2F ，21|2|MF x =-=12x -，同理222NF x =，于是得)22124MF NF x x +=+，由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：()222148440k x kmx m +++-=，显然Δ0>，则122814km x x k +=-+，又km <0，且221m k =+，因此得1228||14km x x k +=+令2411t k =+≥，则12x x +=113t =，即t =3时等号成立，于是得22MF NF +存在最小值，且)221242MF NF x x +=+≥，22MF NF +的最小值为2，由2221413m k k ⎧=+⎨+=⎩，且km <0，解得k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 所以所求直线2l的方程为y x =y x =0x =或0x +=.【点睛】关键点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 50．（1）()2214x y ++=，曲线C 是以1,0为圆心，半径为2的圆；（2）5542⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【分析】（1）设出动点M 坐标，代入距离比关系式，化简方程可得；（2）先求切点弦方程，再根据切点弦过定点及弦中点性质得出N 点轨迹，然后求出动点N 到定直线EF 的距离最值，最后求出面积最值.切点弦方程的求法可用以下两种方法.法一：由两切点即为两圆公共点，利用两圆相交弦方程（两圆方程作差）求出切点弦方程；法二：先分别求过Q 、R 两点的切线方程，再代入点P 坐标，得到Q 、R 两点都适合的同一直线方程，即切点弦方程. 【详解】解：（1）设(),M x y ，由12MO MA =12=. 化简得22230x y x ++-=，即()2214x y ++=. 故曲线C 是以1,0为圆心，半径为2的圆.（2）法一(由两圆相交弦方程求切点弦方程)：由题意知,PQ 、PR 与圆相切，Q 、R 为切点，则DQ PQ ⊥，DR PR ⊥，则D 、R 、P 、Q 四点共圆，Q 、R 在以DP 为直径的圆上(如图).设()1,0D -，又()()3,0P p p ≠，则DP 的中点为1,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，DP .以线段DP 为直径的圆的方程为()22212p x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得22230x y x py +---=①(也可用圆的直径式方程()()()()1300x x y y p +-+--=化简得. ) 又Q 、R 在C ：22230x y x ++-=①上，由两圆方程作差即①-①得：40x py +=. 所以，切点弦QR 所在直线的方程为40x py +=. 法二(求Q 、R 均满足的同一直线方程即切点弦方程)：设()1,0D -，()11,Q x y ，()22,R x y .由DQ PQ ⊥，可得Q 处的切线上任一点(,)T x y 满足0QT DQ ⋅=(如图)，即切线PQ 方程为()()()()1111100x x x y y y -++--=.整理得()221111110x x y y x y x ++---=.又22111230x y x ++-=，整理得()111130x x y y x +++-=.同理，可得R 处的切线PR 方程为()222130x x y y x +++-=. 又()3,P p 既在切线PQ 上，又在切线PR 上，所以()()11122231303130x py x x py x ⎧+++-=⎪⎨+++-=⎪⎩，整理得11224040x py x py +=⎧⎨+=⎩. 显然，()11,Q x y ，()22,R x y 的坐标都满足直线40x py +=的方程. 而两点确定一条直线，所以切点弦QR 所在直线的方程为40x py +=. 则QR 恒过坐标原点()0,0O .由()2240,14x py x y +=⎧⎪⎨++=⎪⎩消去x 并整理得()22168480p y py +--=. 设()11,Q x y ，()22,R x y ，则122816py y p +=+.点N 纵坐标1224216N y y py p +==+. 因为0p ≠，显然0N y ≠，所以点N 与点()1,0D -，()0,0O 均不重合.(或者由对称性可知，QR 的中点N 点在x 轴上当且仅当点P 在x 轴上，因为0p ≠，点P 不在x 轴上，则点N 也不在x 轴上，所以点N 与D 、O 均不重合.) 因为N 为弦QR 的中点，且()1,0D -为圆心，由圆的性质，可得DN QR ⊥，即DN ON ⊥(如图).所以点N 在以OD 为直径的圆上，圆心为1,02G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径12r =.因为直线346x y +=分别与x 轴、y 轴交于点E 、F ，所以()2,0E ，30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，52EF =.又圆心1,02G ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线3460x y +-=的距离32d ==. 设NEF 的边EF 上的高为h ，则点N 到直线346x y +=的距离h 的最小值为31122d r -=-=；点N 到直线346x y +=的距离h 的最大值为31222d r +=+=(如图).则S 的最小值min 1551224S =⨯⨯=，最大值max 1552222S =⨯⨯=.因此，NEF 的面积S 的取值范围是5542⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【点睛】设00(,)P x y 是圆锥曲线外一点，过点P 作曲线的两条切线，切点为A 、B 两点，则 A 、B 两点所在的直线方程为切点弦方程.常见圆锥曲线的切点弦方程有以下结论：圆222()()x a y b r -+-=的切点弦方程：200()()()()x a x a y b y b r --+--=，圆220x y Dx Ey F ++++=的切点弦方程： 0000022x x y yx x y y D E F ++++++= 椭圆22221x y a b+=的切点弦方程：00221x x y y a b +=；双曲线22221x y a b-=的切点弦方程：00221x x y y a b -=；抛物线22y px =的切点弦方程为：00()y y p x x =+.特别地，当00(,)P x y 为圆锥曲线上一点时，可看作两切线重合，两切点A 、B 重合，以上切点弦方程即曲线在P 处的切线方程.51．（1）()1,1P --；（2）1；（3）存在点11,44T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，使得线段TQ 长为定值.理由见解析.【分析】（1）依题意可得四边形PAOB 为正方形，设(),2P x x --，利用平面直角坐标系上两点的距离公式得到方程，计算可得；（2）由221PA PO =-可知当线段PO 长最小时，线段PA 长最小，利用点到线的距离公式求出PO 的最小值，即可得解；（3）设()00,2P x x --，求出以OP 为直径的圆的方程，即可求出公共弦AB 所在直线方程，从而求出动点Q 的轨迹方程，即可得解；【详解】解：（1）若PA PB ⊥，则四边形PAOB 为正方形，则P①P 在直线20x y ++=上，设(),2P x x --，则OP =，解得1x =-，故()1,1P --.（2）由221PA PO =-可知当线段PO 长最小时，线段PA 长最小. 线段PO 长最小值即点O 到直线l的距离，故min PO ==所以min 1PA =.（3）设()00,2P x x --，则以OP 为直径的圆的方程为()2222000022224x x x x x y +----⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得()220020x x x x y y -+++=，与221x y +=联立，可得AB 所在直线方程为()0021x x x y -+=，联立()002221,1,x x x y x y ⎧-+=⎨+=⎩得()222000002443024x x x x x x x ++----=， ①Q 的坐标为002200002,244244x x x x x x --++++⎛⎫⎪⎝⎭，可得Q 点轨迹为22111448x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心11,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径R =.其中原点()0,0为极限点（也可以去掉）.故存在点11,44T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，使得线段TQ 长为定值.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、方程思想、数形结合方法、转化方法，考查运算求解能力和应用意识．52．（1；（2）m = 【分析】（1）由两个圆相交，可将两个圆的方程相减求得直线MN 的方程.利用圆心到直线的距离，结合垂径定理即可求得||MN 的值.（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，利用向量的坐标运算表示出1,PC PQ .将直线方程与圆的方程联立，化简后由>0∆求得m 的取值范围，并表示出12x x +，12x x ，进而由直线方程表示出12y y .根据平面向量数量积的坐标运算，代入化简计算即可求得m 的值. 【详解】（1）直线MN 的方程为2222(1)(1)410x y x y -+----+=，即2 2 10x y ++=；故圆1C 的圆心到2210x y ++=的距离d =故||MN == （2）设()()1122,,,P x y Q x y ，则()()1112121,,,PC x y PQ x x y y =--=--，由22,1,y x m x y =+⎧⎨+=⎩化简可得222210x mx m ++-=，故()222481840,m m m ∆=--=->解得m < 12x x m +=-，2121,2m x x -=所以()()()212121212y y x m x m x x m x x m =++=+++，又()()2211121211212113,,2PC PQ x y x x y y x x y y x y ⋅=--⋅--=--++=，又22111x y +=故121212x x y y +=-，故()21212122x x m x x m +++=-，将12x x m +=-，2121,2m x x -=代入可得222112m m m --+=-，解得m =又因为m <所以2m =± 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系及公共弦长度的求法，直线与圆位置关系的综合应用，由韦达定理求参数的值，平面向量数量积的运算，综合性强，计算量大，属于难题.53．（1）()0,0P 或84,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）圆过定点()0,2，42,55⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）当25b =时，AB 有最小【分析】（1）设()2,P b b -，由MP b ，得出结果；（2）因为A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径，所以圆N 的方程为()()222242224b b b x b y +-+⎛⎫++-=⎪⎝⎭，化简为()()222220x y b x y y -+++-=，由方程恒成立可知2222020x y x y y -+=⎧⎨+-=⎩，即可求得动圆所过的定点；（3）由圆M 和圆N 方程作差可得直线AB 方程，设点()0,2M 到直线AB 的距离d ，则AB =.【详解】（1）由题可知，圆M 的半径1r =，设()2,P b b -，因为P A 是圆M 的一条切线，所以90MAP ∠=︒，所以2MP ==，解得0b =或45b =，所以点P 的坐标为()0,0P 或84,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）设()2,P b b -，因为90MAP ∠=︒，所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径，其方程为()()222242224b b b x b y +-+⎛⎫++-=⎪⎝⎭，即()()222220x y b x y y -+++-=，由2222020x y x y y -+=⎧⎨+-=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩或4525x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以圆过定点()0,2，42,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）因为圆N 方程为()()222242224b b b x b y +-+⎛⎫++-=⎪⎝⎭，即()222220x y bx b y b ++-++=①又圆22:430M x y y +-+=①①-①得圆M 方程与圆N 相交弦AB 所在直线方程为 ()22230bx b y b --+-=．点()0,2M 到直线AB的距离d =所以相交弦长AB == 所以当25b =时，AB【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考查定点问题和距离的最值问题，难度较难. 54．（1）k =（2）直线CD 过定点(1,1)- 【分析】（1）由已知结合垂径定理求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k ；（2）解法1：设切点11(,)C x y ，22(,)D x y ，动点00(,)P x y ，求出两条切线方程，计算出直线CD 的方程，从而得到定点坐标；解法2：由题意可知，O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP为直径的圆上，求出公共弦所在直线方程，再由直线系方程求得定点坐标. 【详解】（1）2AOB π∠=，∴点O 到l 的距离2d r =，k = （2）解法1：设切点11(,)C x y ，22(,)D x y ，动点00(,)P x y ，则圆在点C 处的切线方程为 1111()()0y y y x x x -+-=，所以221111x x y y x y +=+，即112x x y y +=同理，圆在点D 处的切线方程为222x x y y += 又点00(,)P x y 是两条切线的交点， 10102x x y y ∴+=，20202x x y y +=，所以点()11,C x y ，()22,D x y 的坐标都适合方程002x x y y +=，上述方程表示一条直线，而过C 、D 两点的直线是唯一的，所以直线CD 的方程为：002x x y y +=. 设(,2)P t t -，则直线CD 的方程为(2)2tx t y +-=，即()(22)0x y t y +-+=， ∴0220x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，故直线CD 过定点(1,1)-.解法2：由题意可知：O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上，设(,2)P t t -，则此圆的方程为：()(2)0x x t y y t -+-+=，即：22(2)0x tx y t y -+--=，又C 、D 在圆22:2O x y +=上，两圆方程相减得():220CD l tx t y +--=，即()(22)0x y t y +-+=， ∴0220x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，故直线CD 过定点(1,1)-. 【点睛】本题考查了直线与圆的相交问题，由弦长求直线斜率，只需结合弦长公式计算圆心到直线的距离，然后求得结果，在求直线恒过定点坐标时，一定要先表示出直线方程，然后在求解. 55．（1）22(1)4x y ++=（2y ≠-）；（2）证明见解析．【分析】（1）由题可求出顶点C 的轨迹方程，再利用相关点法可求垂心H 的轨迹方程；（2）利用弦长公式可求||DE ，再利用韦达定理法求||PQ ，由||2||DE PQ =得出2221m k ≥+，然后结合判别式大于零即可证. 【详解】设ABC 的外心为1O ，半径为R ，则有22sin ABR ACB==∠，所以1πcos 13OO R ==即1(0,1)O ，设(,)C x y ，()00,H x y ，有1O C R =，即有22(1)4x y +-=（0y ≠），由CH AB ⊥，则有0x x =，由AH BC ⊥，则有(00(0AH BC x x y y ⋅=+=，所以有(220(3(1)12x x x y y y yy y---=-===-，则有()220014x y ++=（02y ≠-），所以ABC 垂心H 的轨迹方程为22(1)4x y ++=（2y ≠-）；（2）记点(0,1)-到直线l 的距离为d ，则有d =所以||DE==，设()11,P x y，()22,Q x y，联立2221y kx mx y=+⎧⎨+=⎩，有()2222210k x kmx m+++-=，所以()224220k m∆=+->，||PQ==由||2||DE PQ=，可得()()()()()2222222222222418141(1)8412222k m k km mk k kk k++++-=-≤-+++++，所以()22222248(1)212m mk kk++≤+++，即有()()()22222224181(1)22k k mmk k+++≤+++，所以()()()22222222418122(1)22k k mm mk k+++--≥-++，即22222222222221(1)101222k k m k mm mk k k k⎛⎫-=-⇒-≥⇒≥+⎪+++⎝⎭又0∆>，可得2212km<+，所以222112kk+<+，解得22k>，故||k>56．（1）2212xy+=；（2）10x y±-=.【分析】（1）利用22sin cos1θθ+=求得点C的轨迹E的方程.（2）设直线l的方程为1x my=-，联立直线l的方程和曲线E的方程，化简写出根与系数关系，求得MN、PQ,由1PQMN=求得m的值，从而求得直线l的方程.【详解】（1）设(),C x y ，则,sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即cos sin yθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以2212x y +=，所以E 的方程为2212x y +=.（2）由题意知，直线l 的斜率不为0，设直线:1l x my =-，()()()1122,,,,,p p M x y N x y P x y .联立2221,1x y x my ⎧+=⎨=-⎩，消去x ，得()22+2210m y my --=，此时()281m ∆=+0>，且12222m y y m +=+，12212y y m =-+又由弦长公式得MN =整理得2212m MN m ++. 又122+=22p y y m y m =+，所以2212p p x my m -=-=+，所以222222p m PQ x m ++=+，所以1PQMN =，所以21m =，即1m =±.综上，当1m =±，即直线l 的斜率为±1时，MN PQ =，此时直线l 为10x y ±-=. 【点睛】求解直线和圆锥曲线相交所得弦长，往往采用设而不求，整体代入的方法来求解.。

解析几何(二)含答案

解析几何（二）
1．双曲线的左右顶点分别为，曲线上的一点关于轴的对称点为，若直线的斜率为，直线的斜率为，则当取到最小值时，双曲线离心率为（）
A． B．2C．3D．6
2．已知直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（）
A． B．
C． D．
3．已知抛物线C：的焦点为F，过点F且倾斜角的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，若的面积，则线段AB的中点M到y轴的距离是（）
【详解】设，由，得，
因为，则由余弦定理可得
，
解得，
则，即 ①，
又经过点，
所以 ②
联立①②，解得，则
所以的虚轴长为
故选:C
7．D
【分析】抛物线的准线为，焦点为，当，，三点共线时，到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和最小，从而的最小值为．
【详解】解：如图所示，
17．已知，分别是双曲线C：的左右焦点，双曲线C的右支上一点Q满足，O为坐标原点，直线与该双曲线的左支交于P点，且，则双曲线C的渐近线方程为______．
18．已知椭圆的离心率为，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上且在以为直径的圆上．线段与轴交于点，，则椭圆的长轴长为_____．
(1)证明：直线的斜率为定值；
(2)在中，记，，求最大值.
22．平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆 .设点为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点 .
(1)求的值；
(2)求面积的最大值.
23．平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆 .设点为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点 .

立体几何难题解析附有答案详解

立体几何难题解析（附有答案详解）一、解答题1．如图1，直角梯形ABCD 中，//,90AB CD ABC ∠=︒,42==AB CD ，2=BC ．//AE BC 交CD 于点E ，点G ,H 分别在线段DA ,DE 上，且//GH AE ．将图1中的AED ∆沿AE 翻折，使平面ADE ⊥平面ABCE （如图2所示），连结BD 、CD ，AC 、BE ．HEGDCBA图1图2ABCG EHD（Ⅰ）求证：平面⊥DAC 平面DEB ；（Ⅱ）当三棱锥GHE B -的体积最大时，求直线BG 与平面BCD 所成角的正弦值．2．如图，在直三棱柱111ABC A B C －中，点D E 、分别在边11BC B C 、上，1CD B E AC ==，60ACD ∠︒＝．求证：（1）BE 平面1AC D ；（2）平面1ADC ⊥平面11BCC B ．3．如图，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，DC 90∠A = ，AE ⊥平面CD AB ，F//CD E ，1C CD F D 12B ==AE =E =A =．（1）求证：C //E 平面F AB ；（2）在直线C B 上是否存在点M ，使二面角D E -M -A 的大小为6π？若存在，求出C M 的长；若不存在，说明理由．4．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠= ，1AD DC ==，2AB =，E 、F 分别为PD 、PB 的中点．（1）求证：平面PCB ⊥平面PAC ；（2）若平面CEF 与底面ABCD 所成的锐二面角为4π，求PA 的长．5．如图，两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入棱长为2的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，将满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”．（1）若正子体的六个顶点分别是正方体各面的中心，求该八面体的表面积．（2）此正子体的表面积S 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出表面积的取值范围．6．如图1，已知四边形ABCD 满足//AD BC ，12BA AD DC BC a ====，E 是BC 的中点，将BAE 沿着AE 翻折成1B AE △，形成四棱锥1B AECD -，F 为1B D 的中点，M 为AE 的中点，如图2所示.（1）求证：面1B DM ⊥面1B AE ；（2）当平面1B AE 与平面1B DC 所成角的余弦值为5时，求1B D 的长度；（3）当面1B AE ⊥面AECD 时，求平面1ADB 与平面1ECB 所成角的正弦值.7．在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，E 为11B C 的中点．过AE 的截面与棱1BB ，11A C 分别交于点F ，G．（1）若F 为1BB 的中点，求三棱柱被截面AGEF 分成上下两部分的体积比12V V ；（2）若四棱雉1A AGEF -求截面AGEF 与底面ABC 所成二面角的正弦值；（3）设截面AFEG 的面积为0S ，AEG ∆面积为1S ，AEF 面积为2S ，当点F 在棱1BB 上变动时，求2012S S S的取值范围．8．如图，在四棱锥B ACDE -中，平面ABC ⊥平面ACDE ，ABC 是等边三角形，在直角梯形ACDE 中，//AE CD ，AE AC ⊥，1AE =，2AC CD ==，P 是棱BD 的中点．（1）求证：EP ⊥平面BCD ；（2）设点M 在线段AC 上，若平面PEM 与平面EAB求MP 的长．9．如图，ABCD是块矩形硬纸板，其中2AB AD ==E 为DC 中点，将它沿AE 折成直二面角D AE B --.（1）求证：AD ⊥平面BDE ；（2）如果()0AH HB λλ=> ，求二面角H AD E --的余弦值.10．如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为CD 中点，分别将△PAD,△PBC 沿PA,PB 所在直线折叠，使点C 与点D 重合于点O，如图2．在三棱锥P-OAB 中，E 为PB 中点．(Ⅰ)求证：PO⊥AB;(II）求直线BP 与平面POA 所成角的正弦值；(Ⅲ）求二面角P-AO-E 的大小．11．如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA⊥平面Q 在PB 上，且满足PQ∶QB=1∶3，求直线CQ 与平面PAC 所成角的正弦值．12．已知四棱锥中平面，点在棱上，且，底面为直角梯形，分别是的中点．（1）求证：//平面；（2）求截面与底面所成二面角的大小．13．如图，已知四边形ABCD由Rt ABC∆拼接而成，其中∆和Rt BCDBAC BCD∠=∠=︒，3090∆沿着BC折起.=，BC=ABC∠=︒，AB ACDBC（1）若AD=，求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（2）当四面体ABCD的表面积的最大时，求二面角A BC D--的余弦值.14．如图，ABCD与ADEF是两个边长为1的正方形，它们所在的平面互相垂直．（1）求异面直线AE 与BD 所成角的大小；（2）在线段BD 上取点M ，在线段AE 上取点N ，且BMx BD=，EN y EA =，试用x ，y 来表示线段MN 的长度；（3）在（2）的条件下，求MN 长度的最小值，并判断当MN 最短时，MN 是否是异面直线AE 与BD 的公垂线段?15．（本题满分14分）如图所示，正方形ABCD 所在的平面与等腰ABE ∆所在的平面互相垂直，其中顶120BAE ∠= ，4AE AB ==，F 为线段AE 的中点．（1）若H 是线段BD 上的中点，求证：//FH 平面CDE ；（2）若H 是线段BD 上的一个动点，设直线FH 与平面ABCD 所成角的大小为θ，求tan θ的最大值．16．如图所示，正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1，E F 、分别是棱AA CC ''、的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB DD ''、交于M N 、，设[]01BM x x =∈，，，求:(1)求EF 与面A B BA ''所成的角的大小；(2)求四棱锥C MENF '-的体积()V h x =，并讨论它的单调性；(3)若点P 是正方体棱上一点，试证:满足'2PA PC +=成立的点的个数为6.17．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，D 为AB 的中点，1D 为11A B 的中点，平面111A B C ⊥平面11ABB A ，异面直线1BC 与1AB 互相垂直.（1）求证：平面1//A DC 平面11BD C ；（2）若1CC 与平面11ABB A 的距离为x ，116AC AB ==，三棱锥1AACD -的体积为y ，试写出y 关于x 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当1CC 与平面11ABB A 的距离为多少时，三棱锥1A ACD -的体积取得最大值？并求出最大值.18．如图,四棱锥P ABCD -的底面为菱形且∠ABC=120°,PA ⊥底面ABCD,AB=1,PA E 为PC 的中点.(1)求直线DE 与平面PAC 所成角的大小；(2)求二面角E-AD-C 平面角的正切值；(3)在线段PC 上是否存在一点M ,使PC ⊥平面MBD 成立.如果存在,求出MC 的长；如果不存在,请说明理由参考答案1．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）BG 与平面BCD所成角的正弦值为6．【解析】（Ⅰ）由已知CD AB //，︒=∠90ABC ，42==AB CD 及BC AE //交CD 于点E ．得到四边形ABCE 是边长为2的正方形．BE AC ⊥，AE DE ⊥．再据平面ADE ABCE ⊥平面，平面ADE ABCE AE ⋂=平面，得到DE ABCE ⊥平面，DE AC ⊥，AC DBE ⊥平面，得证．（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE ABCE ⊥平面，EC AE ⊥，以E 为原点，ED EC EA ,,的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．)0,0,2(A ，)0,2,2(B ，(0,2,0)C ，)2,0,0(D 设x EH =，则x DH GH -==2（20<<x ）由CE AB //，得到DAE AB 面⊥，从而2)]2(21[3131⨯-=⋅=∆-x x AB S V GHE GHE B ]1)1([31)2(3122+--=+-=x x x ，根据1=x 时，三棱锥GHE B -体积最大，此时，H 为ED 中点．G 也是AD 的中点，求得)1,0,1(G ，)1,2,1(--=BG ．设),,(z y x n =是面BCD 的法向量．由⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⋅=⋅=-=-⋅=⋅022)2,2,0(),,(02)0,0,2(),,(z y z y x DC n x z y x BC n ，令1=y ，得)1,1,0(=n ，设BG 与面BCD 所成角为θ，由||sin ||||BG n BG n θ⋅=即得．试题解析：（Ⅰ）∵CD AB //，︒=∠90ABC ，42==AB CD 又BC AE //交CD 于点E ．∴四边形ABCE 是边长为2的正方形∴BE AC ⊥，AE DE ⊥．又∵平面ADE ABCE ⊥平面平面ADE ABCE AE = 平面∴DE ABCE⊥平面∵AC ABCE ⊂平面，∴DE AC ⊥又E BE DE = ∴AC DBE ⊥平面∵AC DAC ⊂平面∴平面DAC DEB⊥平面（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE ABCE ⊥平面，ECAE ⊥以E 为原点，ED EC EA ,,的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．则)0,0,2(A ，)0,2,2(B ，(0,2,0)C ，)2,0,0(D 设x EH =，则x DH GH -==2（20<<x ）∵CE AB //，∴DAE AB 面⊥∴2)]2(21[3131⨯-=⋅=∆-x x AB S V GHE GHE B ]1)1([31)2(3122+--=+-=x x x ∵20<<x ，∴1=x 时，三棱锥GHE B -体积最大，此时，H 为ED 中点．∵AE GH //，∴G 也是AD 的中点，∴)1,0,1(G ，)1,2,1(--=BG ．设),,(z y x n =是面BCD 的法向量．则(,,)(2,0,0)20(,,)(0,2,2)220n BC x y z x n DC x y z y z ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=-=⎪⎩ 令1=y ，得)1,1,0(=n 设BG 与面BCD 所成角为θ则||sin 6||||BG n BG n θ⋅===∴BG 与平面BCD所成角的正弦值为6．2．（1）见详解；（2）见详解.【分析】（1）通过1BE C D 来证明BE 平面1AC D ；（2）通过AD ⊥平面11BCC B 来证明平面1ADC ⊥平面11BCC B .【详解】证明：（1）由三棱柱111ABC A B C －是直三棱柱，得11BC B C .因为点D E 、分别在边11BC B C 、上，1CD B E =，所以1BD C E =，1BD C E .所以四边形1BDC E 是平行四形，所以1BE C D 因为1C D ⊂平面1AC D ，BE ⊄平面1AC D 所以BE 平面1AC D .(2)由三棱柱111ABC A B C －是直三棱柱,得1CC ⊥平面ABC ，因为AD ⊂平面ABC ,所以1AD CC ⊥，在ACD ∆中,由12CD AC =，60ACD ∠︒＝，得32AD AC ==，所以222AD CD AC +=，所以90ADC ∠︒＝,即：AD BC ⊥，因为BC ⊂平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，1BC CC C = ，所以AD ⊥平面11BCC B ，因为AD ⊂平面1ADC ，所以平面1ADC ⊥平面11BCC B .3．（1）详见解析（2）C 3M =【解析】（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理进行论证，即从平几出发，寻找线线平行：根据题意先将图形补全，再利用平行四边形得线线平行（2）研究二面角，一般方法为利用空间向量：先建立坐标系，利用坐标求二面角两个平面的法向量，因为AE ⊥平面D AM ，所以AE 为平面D AM 的一个法向量，而平面D EM 的一个法向量，则需联立方程组解出，再利用向量数量积求两法向量的夹角的余弦值，最后根据二面角与法向量夹角相等或互补关系，列等量关系确定点M ，同时根据向量的模求出C M 的长.解：（1）如图，作FG//EA ，G//F A E ，连接G E 交F A 于H ，连接BH ，G B ，F//CD E 且F CD E =，∴G//CD A ，即点G 在平面CD AB 内．由AE ⊥平面CD AB ，知G AE ⊥A ，∴四边形FG AE 为正方形，四边形CD G A 为平行四边形，∴H 为G E 的中点，B 为CG 的中点，∴//C BH E ．BH ⊂平面F AB ，C E ⊄平面F AB ，∴C //E 平面F AB ．（4分）（2）法一：如图，以A 为原点，G A 为x 轴，D A 为y 轴，AE 为z 轴，建立空间直角坐标系xyz A -．则()0,0,0A ，()0,0,1E ，()D 0,2,0，设()01,,0y M ，∴()D 0,2,1E =- ，()0D 1,2,0y M =-，设平面D EM 的一个法向量为(),,n x y z = ，则()0D 20D 20n y z n x y y ⎧⋅E =-=⎪⎨⋅M =+-=⎪⎩，令1y =，得2z =，02x y =-，∴()02,1,2n y =-．（10分）又 AE ⊥平面D AM ，∴()0,0,1AE =为平面D AM 的一个法向量，∴cos ,cos62n πAE ==，解得023y =±，∴在直线C B 上存在点M ，且33C 2233⎛M =-±= ⎝⎭．方法二：作D S A⊥M ，则SA ，由等面积法，得D 3M =，∴C 3M =．【分析】（1）本题首先可根据题意求出AC 、BC 的长度，然后根据222AC BC AB +=得出BC AC ⊥，再然后根据PA ⊥底面ABCD 得出PA BC ⊥，即可得出BC ⊥平面PAC ，最后根据BC ⊂平面PCB 即可证得平面PCB ⊥平面PAC ；（2）本题首先可结合图像构造空间直角坐标系，然后设PA a =，写出平面ABCD的法向量1n u r 以及平面CEF 的法向量2n u u r，最后根据平面CEF 与底面ABCD 所成的锐二面角为4π即可求出PA 的长.【详解】（1）因为1AD DC ==，2AB =，90CDA BAD ∠=∠=，所以AC BC ==因为222AC BC AB +=，所以BC AC ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，因为AC PA A ⋂=，所以BC ⊥平面PAC ，因为BC ⊂平面PCB ，所以平面PCB ⊥平面PAC .（2）如图，以A 为坐标原点，分别以AD 、AB 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设(0)PA a a =>，则()0,2,0B =，()1,1,0C ，()1,0,0D ，()0,0,P a ，因为E 、F 分别为PD 、PB 的中点，所以1,0,22a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,1,2a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,1,22a CE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，1,0,2a CF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，易知平面ABCD 的一个法向量1(0,0,1)n =，设平面CEF 的法向量为2(,,)n x y z =，则220,0,CE n CF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即10,220,2az x y az x ⎧--+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，不妨取4z =，则2x a =，y a =，即2(2,,4)a a n=，因为平面CEF 与底面ABCD 所成的锐二面角为4π，所以121212cos,nnn nnn⋅=⋅解得a=，即PA【点睛】利用空间向量解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将相关向量用坐标表示，通过向量运算判断或证明空间元素的位置关系及探究空间角、空间距离问题．建立空间直角坐标系的三种方法：（1）以几何体中共顶点且互相垂直的三条棱所在的直线作为坐标轴建系；（2）利用线面垂直关系找到三条互相垂直的直线建系；（3）利用面面垂直关系找到三条互相垂直的直线建系．5．（1）．【分析】（1）根据题意，正子体的所有棱都是正方体相邻两个面中心的连线，则正子体每个面都是正三角形，进而求出表面积；（2）设平面ABCD截正方体所得截面为A B C D''''，设(01)AA x x'=≤≤，进而算出ADE的面积，从而算出正子体的表面积即可判断.【详解】（1）依题意，正子体任一棱都是正方体相邻两个面中心的连线，所以正子体所有棱的长均相等.因为AB=所以242ABES=⨯，故该八面体的表面积8=．（2）正子体的表面积S不是定值．如图1，设平面ABCD截正方体所得截面为A B C D''''，且A B C D''''的中心为O，过点O作OG A B''⊥，垂足为G．设(01)AA x x '=≤≤，则1AG x =-，222222(1)1123AE DE AO OE x x x ==+=-++=-+，()2222(2)224AD x x x x =-+=-+.设AD 的中点为H ，如图2，则()22212122AD AH x x ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，()22221222EH AE AH x x =-=-+，所以()()()2222211122422442ADE S AD EH x x x x ⎡⎤⎡⎤=⋅=-+-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()2221322242x x x x =-+-+．因为01x ≤≤，所以2120x x -≤-≤，则()()2223132222442x x x x ≤-+-+≤，ADE S ≤≤ S ≤≤，所以此正子体的表面积S 的取值范围为．6．（1）证明见解析；（2）5a ；（3）45.【分析】(1)要证面1B DM ⊥面1B AE ，只需证AE ⊥面1B DM 即可；(2)根据已知条件可知，1MB D ∠即为面1B AE 与面1B DC 所成角的平面角，进而可得1B D 的长度；(3)建立适当的空间直角坐标系进行求解即可.【详解】(1)证明：因为12BA AD DC BC a ====，E 是BC 的中点，所以AD CE a ==，又因为//AD BC ，所以四边形AECD 为菱形，所以ABE △为正三角形，又因为M 为AE 的中点，所以1B M AE ⊥，DM AE ⊥，又因为1B M DM M ⋂=，所以AE ⊥面1B DM ，又因为AE ⊆面1B AE ，所以面1B DM ⊥面1B AE ，(2)由(1)知：DM AE ⊥，1B M AE ⊥，又因为//AE CD ，所以1B M CD ⊥，CD DM ⊥，所以CD ⊥面1B DM ，所以面1B DC ⊥面1B DM ，又因为面1B DM ⊥面1B AE ，所以1MB D ∠即为面1B AE 与面1B DC所成角的平面角，即1cos 5MB D ∠=，在1MB D △中，1B M =，DM =，由余弦定理得：22211111cos 25B M B D DM MB D B M B D +-∠=⋅，解得：15B D =.(3)因为面1B AE ⊥面AECD ，1B M AE ⊥，所以1B M ⊥面AECD ，所以以M 为坐标原点，以向量ME，MD ，1MB 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，由题可得：,0,02aA ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，0,,02D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，,0,02aE ⎛⎫⎪⎝⎭，,,02C a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则有：1,0,22a B A ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，10,,22B D ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,22a B E ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，133,22B C a a a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1ADB 与平面1ECB 的法向量分别为()1111,,x n y z =，()2222,,n x y z = ，由111100n B A n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11110220a x z y z ⎧--=⎪⎪=，令11z =，则1x =11y =，所以()1n =，由212100n B E n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得222220220ax z ax y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令21z =，则1x =21y =-，所以)21,1n =-，设平面1ADB 与平面1ECB 所成角的平面角为θ，则：12123cos 5n n n n θ⋅==⋅ 所以4sin 5θ=.7．（1）121323V V =；（2）45；（3）94,2⎡⎤⎢⎣⎦．【分析】（1）连结EF ，并延长分别交1CC ，CB 于点M ，N ，连结AM 交11A C 于点G ，连结AN ，GE ，利用比例关系确定G 为11A C 靠近1C 的三等分点，然后先求出棱柱的体积，连结1A E ，1A F ，由11111A EFB G AA E F AA E V V V V ---=++和21V V V =-进行求解，即可得到答案；（2）求出点G 到平面1A AE 的距离，得到点G 为11A C 靠近1C 的四等分点，通过面面垂直的性质定理可得1AGA ∠即为截面AGEF 与底面ABC 所成的二面角，在三角形中利用边角关系求解即可；（3）设1GC m =，则[0m ∈，1]，先求出12S S 的关系以及取值范围，然后将2012S S S 转化为1S ，2S 表示，求解取值范围即可．【详解】解：（1）连接EF ，并延长分别交1CC ，CB 延长线于点M ，N ，连接AM 交11A C 于点G ，连接AN ，GE ．易得11113GC MC C E AC MC CN ===．故G 为11A C 靠近1C 的三等分点．11MC =，123GC =．下面求三棱柱被截面分成两部分的体积比．三棱柱111ABC A B C -的体积2224V =⨯=连接1A E ，1A F ．由1//BB 平面1A AE 知，1F AA E V -为定值．11121323F AA E V -=⨯⨯=．11111A EFB G AA E F AA E V V V V ---=++1111211232323=⨯⨯⨯⨯⨯+=21V V V =-=121323V V =．（2）由111A AGEF G AA E F AA E V V V ---=+及1F AA E V -=1G AA E V -=又1113G AA E AA E V S h -=⨯⨯△，所以34h =．即点G 到1A E 的距离为34，G 为11A C 靠近1C 的四等分点．因为平面111//A B C 平面ABC ，所以截面AGEF 与平面ABC 所成角即为截面AGEF 与平面111A B C 所成角，在1GC E △中，112GC =，11C E =，故1EG GC ⊥．又因为平面11ACC A ⊥平面111A B C ，且平面11ACC A 平面11111A B C AC =，所以EG ⊥平面11ACC A ．则1AGA ∠即为截面AGEF 与底面ABC 所成的二面角．在1Rt AGA △中，132A G =，12AA =，52AG =．故114sin 5AA A GA AG ∠==．因此，截面AGEF 与平面ABC 所成二面角的正弦值为45．（3）设1GC m =，则[]0,1m ∈，2MG mGA m=-．设MGE 的面积为S ，所以12S m S m=-．又因为21S S S =+，所以1222S mS -=．且1221,122S m S -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦．令12S t S =则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故()21201212122212S S SS S S S S S S S +==++．令12S t S =则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()12g t t t =++在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()min 14g t g ==，()max 1922g t g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()94,2g t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以20121221924,2S S S S S S S ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦8．（1）证明见解析；（2）2M P =.【分析】（1）取BC 的中点Q ，连接PQ 、AQ ，由线面垂直判定定理可证AQ ⊥面BCD ，即可得证；（2）以Q 为原点建立坐标系，利用向量法建立关系可求出.【详解】（1）证明：如图，取BC 的中点Q ，连接PQ 、AQ ，因为ABC 是等边三角形，所以AQ BC ⊥，又平面ABC ⊥平面ACDE ，AE AC ⊥，平面ABC 平面ACDE =AC ，所以AE ⊥面ABC ，又AQ ⊂面ABC ，所以AE AQ ⊥，又//AE CD ，所以CD AQ ⊥，又CD BC C ⋂=，所以AQ ⊥面BCD ，因为2BP PD =，又P 是棱BD 的中点，所以112PQ DC ==，//PQ DC ，又//AE CD ，1AE =，所以//AE PQ ，AE PQ =，即四边形AEPQ 是一个平行四边形，所以//EP AQ ，所以EP ⊥平面BCD ；（2）由（1）得PQ ⊥平面ABC ，所以以点Q 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0Q ，)A ，()0,1,0B ，)E ，()0,0,1P ，设平面EAB 的法向量为()111,,m x y z =，由()111+00m AB y m m AE z ⎧⋅==⎪⇒=⎨⋅==⎪⎩，因为点M 在线段AC上，设其坐标为),0M t -，其中01t ≤≤，所以(),,1EM t =--，()EP = 设平面PEM 的法向量为()222,,n x y z =，由()222200,1,0n EM ty z n t n EP ⎧⋅=--=⎪⇒=-⎨⋅==⎪⎩，由题意，设平面PEM 与平面EAB 所成的锐二面角为θ，则1cos 2m n t m n θ⋅=⇒=-⋅或12t =，因为01t ≤≤，所以1,02M ⎫-⎪⎪⎝⎭，所以M P =.【点睛】向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取.1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线;建立右手直角坐标系,让尽量多的点落在坐标轴上。

解析几何专题(含答案)

解析几何与极坐标和参数方程专题1. 已知命题 p ：方程x 22m+y 29−m=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，命题 q ：双曲线 y 25−x 2m=1 的离心率e ∈(√62,√2)，若命题 p ，q 中有且只有一个为真命题，求实数 m 的取值范围.2. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为 {x =√3cosα,y =sinα,（α 为参数），以坐标原点为极点，以 x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρsin (θ+π4)=2√2．（1）写出 C 1 的普通方程和 C 2 的直角坐标方程；（2）设点 P 在 C 1 上，点 Q 在 C 2 上，求 ∣PQ ∣ 的最小值及此时 P 的直角坐标．3. 在直角坐标系 xOy 中，直线 C 1:x =−2，圆 C 2:(x −1)2+(y −2)2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求 C 1，C 2 的极坐标方程；（2）若直线 C 3 的极坐标方程为 θ=π4(ρ∈R )，设 C 2 与 C 3 的交点为 M ，N ，求 △C 2MN 的面积．4. 已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 x =−1，直线 l 与抛物线相交于不同的 A ，B 两点．（1）求抛物线的标准方程；（2）如果直线 l 过抛物线的焦点，求 OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值；（3）如果 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，直线 l 是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．5. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)与直线x−√2y+4=0相切．（1）求该抛物线的方程；（2）在x轴正半轴上，是否存在某个确定的点M，过该点的动直线l与抛物线C交于A，B两点，使得1∣AM∣2+1∣BM∣2为定值．如果存在，求出点M坐标；如果不存在，请说明理由．6. 在平面直角坐标系xOy中，动点A的坐标为(2−3sinα,3cosα−2)，其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos(θ−π4)=a．（1）判断动点A的轨迹的形状；（2）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．7. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为 √63．且过点 (3,−1)．（1）求椭圆 C 的方徎；（2）动点 P 在直线 l ：x =−2√2 上，过 P 作直线交椭圆 C 于 M ，N 两点，使得 PM =PN ，再过 P 作直线 lʹ⊥MN ，直线 lʹ 是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．8. 在平面直角坐标系 xOy 中，C 1:{x =t,y =k (t −1)（t 为参数）．以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 2:ρ2+10ρcosθ−6ρsinθ+33=0．（1）求 C 1 的普通方程及 C 2 的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若 P ，Q 分别为 C 1，C 2 上的动点，且 ∣PQ ∣ 的最小值为 2，求 k 的值．9. 设 F 1，F 2 分别是椭圆 C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左，右焦点，M 是 C 上一点且 MF 2 与 x 轴垂直．直线 MF 1 与 C 的另一个交点为 N ．（1）若直线 MN 的斜率为 34，求 C 的离心率；（2）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且 ∣MN∣=5∣∣F 1N∣∣，求 a ，b ．10. 已知抛物线 E:x 2=2py (p >0)，直线 y =kx +2 与 E 交于 A ，B 两点，且 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，其中 O 为原点．（1）求抛物线 E 的方程；（2）点 C 坐标为 (0,−2)，记直线 CA ，CB 的斜率分别为 k 1，k 2，证明：k 12+k 22−2k 2 为定值．11. 已知椭圆的一个顶点为A(0,−1)，焦点在x轴上．若右焦点到直线x−y+2√2=0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点M，N．当∣AM∣=∣AN∣时，求m的取值范围．12. 双曲线C与椭圆x28+y24=1有相同的焦点，直线y=√3x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．13. 已知不过第二象限的直线 l:ax −y −4=0 与圆 x 2+(y −1)2=5 相切．（1）求直线 l 的方程；（2）若直线 l 1 过点 (3,−1) 且与直线 l 平行，直线 l 2 与直线 l 1 关于直线 y =1 对称，求直线 l 2 的方程．14. 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程 {x =1+cosφ,y =sinφ（φ 为参数）．以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆 C 的极坐标方程；（2）直线 l 的极坐标方程是 ρ(sinθ+√3cosθ)=3√3，射线 OM ：θ=π3 与圆 C 的交点为 O ，P ，与直线 l 的交点为 Q ，求线段 PQ 的长．15. 双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0,−5)，F2(0,5)，点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求椭圆的方程和双曲线方程．16. 在抛物线y=4x2上有一点P，若点P到直线y=4x−5的距离最短，求该点P坐标和最短距离．17. 已知函数y=a2−x+1（a>0，且a≠1）的图象恒过定点A，点A在直线mx+ny=1(mn>0)上，求1m +1n的最小值．18. 已知直线l:y=x+m与抛物线y2=8x交于A，B两点，（1）若∣AB∣=10，求m的值；（2）若OA⊥OB，求m的值．19. 若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦点到同侧长轴端点的距离为√2−1，求椭圆的方程．20. 讨论直线l:y=kx+1与双曲线C:x2−y2=1的公共点的个数．21. 已知p：方程x2+2mx+(m+2)=0有两个不等的正根；q：方程x2m+3−y22m−1=1表示焦点在y轴上的双曲线．（1）若q为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．22. 已知双曲线的焦点在x轴上，∣F1F2∣=2√3，渐近线方程为√2x±y=0，问：过点B(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于M，N两点，并且点B为线段MN的中点?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．23. 已知点 P (2,0) 及圆 C ：x 2+y 2−6x +4y +4=0．（1）设过 P 的直线 l 1 与圆 C 交于 M ，N 两点，当 ∣MN∣=4 时，求以 MN 为直径的圆 Q 的方程；（2）设直线 ax −y +1=0 与圆 C 交于 A ，B 两点，是否存在实数 a ，使得过点 P (2,0) 的直线 l 2 垂直平分弦 AB ?若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由．24. 在直角坐标系 xOy 中，已知直线 l:{x =1+√22ty =2+√22t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C:ρ2(1+sin 2θ)=2．（1）写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）设点 M 的直角坐标为 (1,2)，直线 l 与曲线 C 的交点为 A ，B ，求 ∣MA ∣⋅∣MB ∣ 的值．25. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，离心率为√32，两焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于M，N两点，且△F2MN的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆C于A，B两点，求弦长∣AB∣的最大值．26. 已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n=qS n−1+1，其中q>0，n>1，n∈N∗．（1）若2a2，a3，a2+2成等差数列，求{a n}的通项公式；（2）设双曲线x2−y2a n2=1的离心率为e n，且e2=3，求e12+e22+⋯+e n2．27. 已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ−4sinθ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 {x =1+tcosα,y =−1+tsinα（t 为参数）．（1）判断直线 l 与曲线 C 的位置关系，并说明理由；（2）若直线 l 和曲线 C 相交于 A ，B 两点，且 ∣AB ∣=3√2，求直线 l 的斜率．28. 已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率 e =√63，坐标原点到直线 l:y =bx +2 的距离为 √2．（1）求椭圆的方程；（2）若直线 y =kx +2(k ≠0) 与椭圆相交于 C ，D 两点，是否存在实数 k ，使得以 CD 为直径的圆过点 E (−1,0)?若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由．29. 在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点P(−3,0)，其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2−2ρcosθ−3=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（2）设M(x,y)为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．30. 椭圆与双曲线有许多优美的对称性质．对于椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)有如下命题：AB是椭圆x2 a2+y2b2=1(a>b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则k OM⋅k AB=−b2a2为定值．那么对于双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)则有命题：AB是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则k OM⋅k AB=定值．（在横线上填上正确的结论）并证明你的结论．31. （1）求中心在原点，焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点P(3,−2√6)的椭圆方程；（2）求e=√6，并且过点(3,0)的椭圆的标准方程．332. 已知抛物线y2=4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点，求点M的轨迹方程．33. 已知点A(0,−2)，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为2√33，O为坐标原点．（1）求E的方程；（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．34. P为椭圆x225+y29=1上一点，F1，F2为左右焦点，若∠F1PF2=60∘．（1）求△F1PF2的面积；（2）求P点的坐标．35. 已知双曲线 C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的渐近线方程为：y =±√3x ，右顶点为 (1,0)．（1）求双曲线 C 的方程；（2）已知直线 y =x +m 与双曲线 C 交于不同的两点 A ，B ，且线段 AB 的中点为 M (x 0,y 0)．当 x 0≠0 时，求 y0x 0的值．36. 已知双曲线 x 216−y 24=1 的两焦点为 F 1，F 2．（1）若点 M 在双曲线上，且 MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求 M 点到 x 轴的距离；（2）若双曲线 C 与已知双曲线有相同焦点，且过点 (3√2,2)，求双曲线 C 的方程．37. 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且∣PF1∣=43，∣PF2∣=143，PF1⊥PF2．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线L过圆x2+y2+4x−2y=0的圆心M交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线L的方程．38. 已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y−29=0相切．（1）求圆的方程；（2）设直线ax−y+5=0(a>0)与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（3）在(Ⅱ)的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P(−2,4)，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．39. 已知直线 C 1:{x =1+tcosα,y =tsinα(t 为参数)，圆 C 2:{x =cosθ,y =sinθ(θ 为参数)．（1）当 α=π3 时，求 C 1 与 C 2 的交点坐标；（2）过坐标原点 O 作 C 1 的垂线，垂足为 A ，P 为 OA 的中点，当 α 变化时，求点 P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．40. 已知圆 C 和 y 轴相切，圆心在直线 x −3y =0 上，且被直线 y =x 截得的弦长为 2√7，求圆 C 的方程．41. 如图，直线 l:y =x +b 与抛物线 C:x 2=4y 相切于点 A ．（1）求实数 b 的值；（2）求以 A 点为圆心，且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程．42. 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 (x +6)2+y 2=25．（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 C 的极坐标方程；（2）直线 l 的参数方程是 {x =tcosα,y =tsinα,（t 为参数），直线 l 与圆 C 交于 A ，B 两点，∣AB∣=√10，求 l 的斜率．43. 已知双曲线与椭圆x29+y225=1有公共焦点F1，F2，它们的离心率之和为245．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P是双曲线与椭圆的一个交点，求cos∠F1PF2．44. 抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(32,√6)，求抛物线与双曲线方程．45. 已知曲线 C 上任一点 P 到点 F (1,0) 的距离比它到直线 l ：x =−2 的距离少 1．（1）求曲线 C 的方程；（2）过点 Q (1,2) 作两条倾斜角互补的直线与曲线 C 分别交于点 A ，B ，试问：直线 AB 的斜率是否为定值，请说明理由．46. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 {x =2cosφ,y =2sinφ（φ 为参数），直线 l 过点 (0,2) 且倾斜角为 π3．（1）求圆 C 的普通方程及直线 l 的参数方程；（2）设直线 l 与圆 C 交于 A ，B 两点，求弦 ∣AB ∣ 的长．47. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个长轴顶点为A(2,0)，离心率为√22，直线y=k(x−1)与椭圆C交于不同的两点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）当△AMN的面积为√103时，求k的值．48. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，A点在椭圆上，离心率是√22，AF2与x轴垂直，且∣AF2∣=√2．（1）求椭圆的方程；（2）若点A在第一象限，过点A作直线l，与椭圆交于另一点B，求△AOB面积的最大值．49. 已知点 (1,√22) 在椭圆 C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 上，椭圆离心率为 √22．（1）求椭圆 C 的方程；（2）过椭圆 C 右焦点 F 的直线 l 与椭圆交于两点 A ，B ，在 x 轴上是否存在点 M ，使得 MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值?若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．答案1. 若命题 p ：方程 x 22m +y 29−m =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆为真命题；则 9−m >2m >0，解得 0<m <3，则命题 p 为假命题时，m ≤0 或 m ≥3，若命题 q ：双曲线 y 25−x 2m =1 的离心率 e ∈(√62,√2) 为真命题；则 √5+m 5∈(√62,√2)，即5+m 5∈(32,2)，即 52<m <5，则命题 q 为假命题时，m ≤52 或 m ≥5，因为命题 p ，q 中有且只有一个为真命题，当 p 真 q 假时，0<m ≤52，当 p 假 q 真时，3≤m <5，综上所述，实数 m 的取值范围是：0<m ≤52 或 3≤m <5．2. （1） C 1:{x =√3cosα,y =sinα（α 为参数）的直角坐标方程是：x 23+y 2=1，C 2 的直角坐标方程：ρsin (θ+π4)=2√2，整理得，√22ρsinθ+√22ρcosθ=2√2，x +y =4．（2）设 x +y =4 的平行线为 l 1:x +y +c =0，当 l 1:x +y +c =0 且 c <0 和 C 1 相切时 ∣PQ ∣ 距离最小，联立直线和椭圆方程得 x 23+(x +c )2−1=0，整理得4x 23+2cx +c 2−1=0，需要满足 Δ=−4c 23+163=0，求得 c =±2，当直线为 l 1:x +y −2=0 时，满足题意，来自QQ 群339444963 此时 ∣PQ ∣=√2，此时直线 l 1 和椭圆交点即是 P 点坐标 (32,12)．3. （1） C 1:ρcosθ=−2，C 2:ρ2−2ρcosθ−4ρsinθ+4=0．（2） C 3:y =x ，圆 C 2 的圆心 C 2 到 y =x 的距离 d =√2=√22， ∴∣MN∣=2⋅√12−(√22)2=√2，∴S △C 2MN =12⋅∣MN∣⋅d =12⋅√2⋅√22=12．4. （1）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 x =−1，所以 p 2=1，p =2．所以抛物线的标准方程为 y 2=4x ．（2）设 l:my =x −1，与 y 2=4x 联立，得 y 2−4my −4=0，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，所以 y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+m (y 1+y 2)+1=−3.（3）假设直线 l 过定点，设 l:my =x +n ，{my =x +n,y 2=4x, 得 y 2−4my +4n =0，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，所以 y 1+y 2=4m ，y 1y 2=4n ．由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4=(m 2+1)y 1y 2−mn (y 1+y 2)+n 2=n 2+4n,解得 n =−2，所以 l:my =x −2 过定点 (2,0)． 5. （1）联立方程有，{x −√2y +4=0,y 2=2px,有 y 2−2√2py +8p =0，由于直线与抛物线相切，得 Δ=8p 2−32p =0，所以 p =4，所以 y 2=8x ．（2）假设存在满足条件的点 M (m,0)(m >0)，直线 l:x =ty +m ，有 {x =ty +m,y 2=8x, y 2−8ty −8m =0，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，有 Δ>0，y 1+y 2=8t ，y 1y 2=−8m ，∣AM ∣2=(x 1−m )2+y 12=(t 2+1)y 12，∣BM ∣2=(x 2−m )2+y 22=(t 2+1)y 22，1∣AM∣2+1∣BM∣2=1(t 2+1)y 12+1(t 2+1)y 22=1(t 2+1)(y 12+y 22y 12y 22)=1(t 2+1)(4t 2+m4m 2),当 m =4，满足 Δ>0 时，1∣AM∣2+1∣BM∣2 为定值，所以 M (4,0)．6. （1）设动点 A 的直角坐标为 (x,y )，则 {x =2−3sinα,y =3cosα−2,所以动点 A 的轨迹方程为 (x −2)2+(y +2)2=9，其轨迹是半径为 3 的圆．（2）直线 C 的极坐标方程 ρcos (θ−π4)=a 化为直角坐标方程是 √2x +√2y =2a ，由 ∣∣2√2−2√2−2a ∣∣2=3，得 a =3 或 a =−3．7. （1）因为椭圆 C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为 √63．且过点 (3,−1)，所以 {9a 2+1b 2=1,c 2a 2=a 2−b 2a 2=(√63)2,解得 a 2=12，b 2=4，所以椭圆 C 的方程为x 212+y 24=1．（2）因为直线 l 的方程为 x =−2√2，设 P(−2√2,y 0)，y 0∈(−2√33,2√33)，当 y 0≠0 时，设 M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，由题意知 x 1≠x 2，联立 {x 1212+y 124=1,x 2212+y 224=1,所以 x 12−x 2212+y 12−y 224=0，所以y 1−y 2x 1−x 2=13⋅x 1+x 2y 1+y 2，又因为 PM =PN ，所以 P 为线段 MN 的中点，所以直线 MN 的斜率为 −13⋅−2√2y 0=2√23y 0，又 lʹ⊥MN ，所以 lʹ 的方程为 y −y 0=02√2+2√2)，即 y =02√2+4√23)，所以 lʹ 恒过定点 (−4√23,0)．当 y 0=0 时，直线 MN 为 x =−2√2，此时 lʹ 为 x 轴，也过点 (−4√23,0)，综上，lʹ 恒过定点 (−4√23,0)．8. （1）由 {x =t,y =k (t −1),可得其普通方程为 y =k (x −1)，它表示过定点 (1,0)，斜率为 k 的直线．由 ρ2+10ρcosθ−6ρsinθ+33=0 可得其直角坐标方程为 x 2+y 2+10x −6y +33=0，整理得 (x +5)2+(y −3)2=1，它表示圆心为 (−5,3)，半径为 1 的圆．（2）因为圆心 (−5,3) 到直线 y =k (x −1) 的距离 d =√1+k 2=√1+k 2，故 ∣PQ ∣ 的最小值为 √1+k 2−1，故√1+k 21=2，得 3k 2+4k =0，解得 k =0 或 k =−43．9. （1）根据 c =√a 2−b 2 及题设知 M (c,b 2a )，F 2(−c,0)，由斜率公式并化简整理易得 2b 2=3ac ．将 b 2=a 2−c 2 代入 2b 2=3ac ，解得 ca =12 或 ca =−2（舍去）．故 C 的离心率为 12．（2）由题意，得原点 O 为 F 1F 2 的中点，MF 2∥y 轴，所以直线 MF 1 与 y 轴的交点 D (0,2) 是线段 MF 1 的中点，故 b 2a =4，即b 2=4a. ⋯⋯① 由 ∣MN∣=5∣∣F 1N∣∣ 得 ∣DF 1∣=2∣∣F 1N∣∣．设 N (x 1,y 1)，由题意知 y 1<0，则 {2(−c −x 1)=c,−2y 1=2, 即 {x 1=−32c,y 1=−1.代入 C 的方程，得 9c 24a 2+1b 2=1. ⋯⋯② 将 ① 及c =√a 2−b 2 代入 ② 得 9(a 2−4a )4a 2+14a =1．解得 a =7，b 2=4a =28，故 a =7，b =2√7．10. （1）将 y =kx +2 代入 x 2=2py ，得 x 2−2pkx −4p =0．其中 Δ>0，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 x 1+x 2=2pk ，x 1x 2=−4p ．所以 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+x 122p ⋅x 222p =−4p +4．由已知，−4p +4=2，解得 p =12，所以抛物线 E 的方程为 x 2=y ．（2）由（1）知，x 1+x 2=k ，x 1x 2=−2． k 1=y 1+2x 1=x 12+2x 1=x 12−x 1x 2x 1=x 1−x 2，同理 k 2=x 2−x 1，k =y 1−y2x 1−x 2=x 12−x 22x 1−x 2=x 1+x 2，所以 k 12+k 22−2k 2=−8x 1x 2=16.11. （1）依题意可设椭圆方程为 x 2a 2+y 2=1，则右焦点 F(√a 2−1,0)，由题设∣∣√a 2−1+2√2∣∣√2=3，解得 a 2=3，故所求椭圆的方程为 x 23+y 2=1．（2）设 P 为弦 MN 的中点，由 {y =kx +m,x 23+y 2=1,得 (3k 2+1)x 2+6mkx +3(m 2−1)=0，由于直线与椭圆有两个交点，所以 Δ>0，即 m 2<3k 2+1, ⋯⋯① 所以 x P =x M +x N2=−3mk 3k 2+1，从而 y P =kx P +m =m3k 2+1，所以 k AP =y P +1x P=−m+3k 2+13mk，又 ∣AM∣=∣AN∣，所以 AP ⊥MN ，则 −m+3k 2+13mk=−1k ，即 2m =3k 2+1, ⋯⋯②把 ② 代入 ① 得 2m >m 2 解得 0<m <2，由 ② 得 k 2=2m−13>0，解得 m >12．故所求 m 的取值范围是 (12,2)．12. 设双曲线方程为x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，由椭圆x 28+y 24=1，求得两焦点为 (−2,0)，(2,0)，所以对于双曲线 C ：c =2．又 y =√3x 为双曲线 C 的一条渐近线，所以 ba =√3，解得 a =1，b =√3．所以双曲线 C 的方程为 x 2−y 23=1．13. （1）因为直线 l 与圆 x 2+(y −1)2=5 √1+a 2=√5，因为直线 l 不过第二象限，所以 a =2，所以直线 l 的方程为 2x −y −4=0．（2）因为直线 l 1 过点 (3,−1) 且与直线 l 平行，所以设直线 l 1 的方程为 2x −y +b =0，因为直线 l 1 过点 (3,−1)，所以 b =−7，则直线 l 1 的方程为 2x −y −7=0，因为直线 l 2 与 l 1 关于 y =1 对称，所以直线 l 2 的斜率为 −2，且过点 (4,1)，所以直线 l 2 的方程为 y −1=−2(x −4)，即化简得 2x +y −9=0． 14. （1）圆 C 的参数方程 {x =1+cosφ,y =sinφ（φ 为参数）．消去参数可得：(x −1)2+y 2=1．把 x =ρcosθ，y =ρsinθ 代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．（2）如图所示，由直线 l 的极坐标方程是 ρ(sinθ+√3cosθ)=3√3，射线 OM ：θ=π3．可得普通方程：直线 l ：y +√3x =3√3，射线 OM ：y =√3x ．联立 {y +√3x =3√3,y =√3x,解得 {x =32,y =3√32,即 Q (32,3√32)．联立 {y =√3x,(x −1)2+y 2=1,解得 {x =0,y =0 或 {x =12,y =√32. 所以 P (12,√32)．来自QQ 群339444963所以 ∣PQ∣∣=√(12−32)2+(√32−3√32)2=2．15. 由共同的焦点 F 1(0,−5)，F 2(0,5)，可设椭圆方程为y 2a2+x 2a 2−25=1，双曲线方程为 y 2b 2−x 225−b 2=1，点 P (3,4) 在椭圆上，16a 2+9a 2−25=1，解得 a 2=40，双曲线的过点 P (3,4) 的渐近线为 y =43x ，故b 225−b 2=169，解得 b 2=16．所以椭圆方程为：y 240+x 215=1；双曲线方程为：y 216−x 29=1．16. 设点 P (t,4t 2)，点 P 到直线 y =4x −5 的距离为 d ，则 d =2√17=4(t−12)2+4√17．当 t =12时，d 取得最小值，此时 P (12,1) 为所求的点，最短距离为 4√1717． 17. 当 x =2 时 y =2，所以过定点 A (2,2)，因为 A 在直线上，所以 2m +2n =1，且 mn >0，所以 1m +1n =(1m +1n )(2m +2n )=2+2+2m n+2n m≥4+2√4=8，即 1m +1n 的最小值为 8．18. （1）设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)． {y =x +m,y 2=8x⇒x 2+(2m −8)x +m 2=0⇒{Δ=(2m −8)2−4m 2>0,x 1+x 2=8−2m,x 1x 2=m 2.∣AB ∣=√2∣x 1−x 2∣=√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=10,m =716，因为 m <2，所以 m =716．（2）因为 OA ⊥OB ，所以 x 1x 2+y 1y 2=0，x 1x 2+(x 1+m )(x 2+m )=0，2x 1x 2+m (x 1+x 2)+m 2=0． 2m 2+m (8−2m )+m 2=0，m 2+8m =0，m =0 或 m =−8，经检验 m =−8．19. 因为椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点，所以 b =c ，a =√2b ，又焦点到同侧长轴端点距离为 √2−1，即 a −c =√2−1，即 a −b =√2−1，解得 a =√2，b =c =1，所以当焦点在 x 轴时，椭圆的方程为：x 22+y 2=1；当焦点在 y 轴时，椭圆的方程为y 22+x 2=1．20. 由方程组 {y =kx +1,x 2−y 2=1 消去 y ，得 (1−k 2)x 2−2kx −2=0，当 1−k 2=0，即 k =±1 时，有一个交点．当 1−k 2≠0，即 k ≠±1 时，Δ=(−2k )2+4×2(1−k 2)=8−4k 2．由 Δ>0，即 8−4k 2>0，得 −√2<k <√2，此时有两个交点．由 Δ=0，即 8−4k 2=0，得 k =±√2，此时有一个交点．由 Δ<0，即 8−4k 2<0，得 k <−√2 或 k >√2，此时没有交点．综上知，当 k ∈(−√2,−1)∪(−1,1)∪(1,√2) 时，直线 l 与曲线 C 有两个交点；当 k =±√2 时，直线 l 与曲线 C 切于一点；当 k =±1 时，直线 l 与曲线 C 交于一点；当 k ∈(−∞,−√2)∪(√2,+∞) 时，直线 l 与曲线 C 没有交点．21. （1）由已知方程 x 2m+3−y 22m−1=1 表示焦点在 y 轴上的双曲线，则 {m +3<0,1−2m >0,得 {m <−3,m <12,得 m <−3，即 q ：m <−3．（2）若方程 x 2+2mx +(m +2)=0 有两个不等的正根，则 {Δ=4m 2−4(m +2)>0,−2m >0,m +2>0,解得 −2<m <−1，即 p ：−2<m <−1．因 p 或 q 为真，所以 p ，q 至少有一个为真．又 p 且 q 为假，所以 p ，q 至少有一个为假．因此，p ，q 两命题应一真一假，当 p 为真，q 为假时，{−2<m <−1,m ≥−3,解得 −2<m <−1；当 p 为假，q 为真时，{m ≤−2或m ≥−1,m <−3,解得 m <−3．综上，−2<m <−1 或 m <−3． 22. 根据题意，c =√3，ba =√2，所以 a =1，b =√2．所以双曲线的方程是：x 2−y 22=1．过点 B (1,1) 的直线方程为 y =k (x −1)+1 或 x =1．①当 k 存在时，联立方程可得 (2−k 2)x 2+(2k 2−2k )x −k 2+2k −3=0．当直线与双曲线相交于两个不同点，可得 Δ=(2k 2−2k )2−4(2−k 2)(−k 2+2k −3)>0，k <32，又方程的两个不同的根是两交点 M ，N 的横坐标，所以 x 1+x 2=2(k−k 2)2−k 2．又因为 B (1,1) 是线段 MN 的中点，所以2(k−k 2)2−k 2=2，解得 k =2．所以 k =2，使 2−k 2≠0 但使 Δ<0．因此当 k =2 时，方程 (2−k 2)x 2+(2k 2−2k )x −k 2+2k −3=0 无实数解，故过点 B (1,1) 与双曲线交于两点 M ，N 且 B 为线段 MN 中点的直线不存在． ②当 x =1 时，直线经过点 B 但不满足条件．综上所述，符合条件的直线 l 不存在．23. （1）由于圆 C ：x 2+y 2−6x +4y +4=0 的圆心 C (3,−2)，半径为 3，∣CP∣=√5，而弦心距 d =√5，所以 d =∣CP∣=√5，所以 P 为 MN 的中点，所以所求圆的圆心坐标为 (2,0)，半径为 12∣MN∣=2，故以 MN 为直径的圆 Q 的方程为 (x −2)2+y 2=4；（2）把直线 ax −y +1=0 即 y =ax +1 代入圆 C 的方程，消去 y ，整理得 (a 2+1)x 2+6(a −1)x +9=0．由于直线 ax −y +1=0 交圆 C 于 A ，B 两点，故 Δ=36(a −1)2−36(a 2+1)>0，即 −2a >0，解得 a <0．则实数 a 的取值范围是 (−∞,0)．设符合条件的实数 a 存在，由于 l 2 垂直平分弦 AB ，故圆心 C (3,−2) 必在 l 2 上．所以 l 2 的斜率 k PC =−2，所以 k AB =a =12，由于 12∉(−∞,0)，故不存在实数 a ，使得过点 P (2,0) 的直线 l 2 垂直平分弦 AB ．24. （1）直线 l:{x =1+√22ty =2+√22t(t 为参数)，消去参数 t 可得普通方程 l:x −y +1=0．曲线 C:ρ2(1+sin 2θ)=2，可得 ρ2+(ρsinθ)2=2，可得直角坐标方程：x 2+y 2+y 2=2，即 C:x 22+y 2=1．（2）把 l:{x =1+√22t y =2+√22t 代入 x 22+y 2=1 中，整理得 3t 2+10√2t +14=0，设 A ，B 对应的参数分别为 t 1，t 2，所以 t 1⋅t 2=143，点 M 在直线上由 t 的几何意义可知，∣MA ∣∣MB ∣=∣t 1⋅t 2∣=143．25. （1）由题得：ca =√32，4a =8，所以 a =2，c =√3．又 b 2=a 2−c 2，所以 b =1，即椭圆 C 的方程为 x 24+y 2=1．（2）由题意知，∣m∣≥1．当 m =1 时，切线 l 的方程 x =1，点 A ，B 的坐标分别为 (1,√32)，(1,−√32)，此时 ∣AB∣=√3；当 m =−1 时，同理可得 ∣AB∣=√3．当 ∣m∣>1 时，设切线 l 的方程为 y =k (x −m )(k ≠0)，由 l 与圆 x 2+y 2=1√k 2+1=1，即 m 2k 2=k 2+1．得 k 2=1m 2−1．由 {y =k (x −m ),x 24+y 2=1得 (1+4k 2)x 2−8k 2mx +4k 2m 2−4=0．设 A ，B 两点的坐标分别为 (x 1,y 1)，(x 2,y 2)，则 Δ=64k 4m 2−4(1+4k 2)(4k 2m 2−4)=48k 2>0，x 1+x 2=8k 2m1+4k 2，x 1x 2=4k 2m 2−41+4k 2．所以∣AB∣=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√(1+k 2)[64k 4m 2(1+4k 2)2−4(4k 2m 2−4)1+4k 2]=4√3∣m∣m 2+3.因为 ∣m∣≥1，所以 ∣AB∣=4√3∣m∣m 2+3=4√3∣m∣+3∣m∣≤2，且当 m =±√3 时，∣AB∣=2，由于当 m =±1 时，∣AB∣=√3，所以 ∣AB∣ 的最大值为 2．26. （1）当n≥2时，S n+1=qS n+1, ⋯⋯①S n=qS n−1+1, ⋯⋯②①−②得a n+1=q⋅a n，即从第二项开始，数列{a n}为等比数列，公比为q，当n=2时，S2=qS1+1，即a1+a2=qa1+1，可得a2=a1q，所以数列{a n}是以1为首项，q为公比的等比数列，所以a2=a1q=q，a3=a1q2=q2，因为2a2，a3，a2+2成等差数列，所以2a3=2a2+a2+2，即2q2=2q+q+2，解得q=2，所以数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以a n=2n−1；（2）由（1）可得数列{a n}是以1为首项，q为公比的等比数列，所以a n=q n−1>0，根据题意，e n2=1+a n2，因为e2=3，所以1+a22=9，解得a2=2√2，所以q=a2a1=2√2，所以a n=(2√2)n−1，所以e n2=1+a n2=1+8n−1，所以e12+e22+⋯+e n2=n+(1+8+82+⋯+8n−1)=n+8n−17．27. （1）因为曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ−4sinθ，所以ρ2=2ρcosθ−4ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x−4y，即(x−1)2+(y+2)2=5，因为直线l过点(1,−1)，且该点到圆心的距离为√(1−1)2+(−1+2)2<√5，所以直线l与曲线C相交．（2）当直线l的斜率不存在时，直线l过圆心，∣AB∣=2√5≠3√2，因此直线l必有斜率，设其方程为y+1=k(x−1)，即kx−y−k−1=0，圆心到直线l的距离d=√k2+1=√(√5)2−(3√22)2，解得k=±1，所以直线l的斜率为±1．28. （1）直线l:y=bx+2，坐标原点到直线l的距离为√2，√b2+1=√2，所以 b =1，因为椭圆的离心率 e =√63，所以a 2−1a 2=(√63)2，所以 a 2=3，所以所求椭圆的方程是x 23+y 2=1．（2）直线 y =kx +2 代入椭圆方程，消去 y 可得：(1+3k 2)x 2+12kx +9=0，所以 Δ=36k 2−36>0，所以 k >1 或 k <−1，设 C (x 1,y 1)，D (x 2,y 2)，则有 x 1+x 2=−12k 1+3k2，x 1x 2=91+3k 2，因为 EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+1,y 2)，且以 CD 为直径的圆过点 E ，所以 EC ⊥ED ，所以 (x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=0，所以 (1+k 2)x 1x 2+(2k +1)(x 1+x 2)+5=0，所以 (1+k 2)×91+3k 2+(2k +1)×(−12k1+3k 2)+5=0，解得 k =76>1，所以当 k =76 时，以 CD 为直径的圆过定点 E ．29. （1）将曲线 C 的极坐标方程 ρ2−2ρcosθ−3=0 化为直角坐标方程为 x 2+y 2−2x −3=0，直线 l 的参数方程为 {x =−3+tcosα,y =tsinα（t 为参数），将参数方程代入 x 2+y 2−2x −3=0，整理得 t 2−8tcosα+12=0，因为直线 l 与曲线 C 有公共点，所以 Δ=64cos 2α−48≥0，所以 cosα≥√32 或 cosα≤−√32，因为 α∈[0,π)，所以 α 的取值范围是 [0,π6]∪[5π6,π)．（2）曲线 C 的方程 x 2+y 2−2x −3=0 可化为 (x −1)2+y 2=4，其参数方程为 {x =1+2cosθ,y =2sinθ（θ 为参数），因为 M (x,y ) 为曲线上任意一点，所以 x +y =1+2cosθ+2sinθ=1+2√2sin (θ+π4)，所以 x +y 的取值范围是 [1−2√2,1+2√2]． 30. b 2a 2证明：设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，M (x 0,y 0)，则有 {x 0=x 1+x 22,y 0=y 1+y 22.x 12a 2−y 12b 2=1，x 22a 2−y 22b 2=1，两式相减得 x 12−x 22a 2=y 12−y 22b 2，即(x 1−x 2)(x 1+x 2)a 2=(y 1−y 2)(y 1+y 2)b 2，(y 1−y 2)(y 1+y 2)(x 1−x 2)(x 1+x 2)=b 2a 2 即 k OM ⋅k AB =b 2a 2．31. （1）设椭圆的方程为 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)．因为椭圆的焦距等于 4，且经过点 P(3,−2√6)， {2c =2√a 2−b 2=4,32a2+(−2√6)2b2=1,解得 {a 2=36,b 2=32.所以所求的椭圆方程为 x 236+y 232=1．（2） ①当椭圆的焦点在 x 轴上时，因为 a =3，e =c a=√63，所以 c =√6，可得 b 2=a 2−c 2=3．此时椭圆的标准方程为 x 29+y 23=1；②当椭圆的焦点在 y 轴上时，因为 b =3，e =ca =√63，所以√a 2−b 2a=√63，解得 a 2=27．此时椭圆的标准方程为y 227+x 29=1．综上所述，所求椭圆的标准方程为 x 29+y 23=1 或 y 227+x 29=1．32. 设 M (x,y )，P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，易求 y 2=4x 的焦点 F 的坐标为 (1,0)，因为 M 是 FQ 的中点，所以 {x =1+x22,y =y 22⇒{x 2=2x −1,y 2=2y, 又 Q 是 OP 的中点，所以 {x 2=x12,y 2=y 12⇒{x 1=2x 2=4x −2,y 1=2y 2=4y,因为 P 在抛物线 y 2=4x 上，所以 (4y )2=4(4x −2)，所以 M 点的轨迹方程为 y 2=x −12．33. （1）设 F (c,0)，由条件知 2c=2√33，得 c =√3．又 ca=√32，所以 a =2，b 2=a 2−c 2=1，故 E 的方程为 x 24+y 2=1．（2）依题意当 l ⊥x 轴不合题意，故设直线 l ：y =kx −2，设 P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，将 y =kx −2 代入x 24+y 2=1，得 (1+4k 2)x 2−16kx +12=0，当 Δ=16(4k 2−3)>0，即 k 2>34时，x 1,2=8k±2√4k 2−31+4k 2．从而 ∣PQ∣∣=√k 2+1∣∣x 1−x 2∣=4√k 2+1⋅√4k 2−31+4k 2，又点 O 到直线 PQ 的距离 d =√k 2+1，所以 △OPQ 的面积 S △OPQ =12d∣∣PQ∣∣=4√4k 2−31+4k 2，设 √4k 2−3=t ，则 t >0，S △OPQ =4t t 2+4=4t+4t≤1，当且仅当 t =2，k =±√72等号成立，且满足 Δ>0，所以当 △OPQ 的面积最大时，l 的方程为：y =√72x −2 或 y =−√72x −2．34. （1）因为 a =5，b =3，所以 c =4，设 ∣PF 1∣=t 1，∣PF 2∣=t 2，则 t 1+t 2=10， ⋯⋯①t 12+t 22−2t 1t 2⋅cos60∘=82， ⋯⋯②由 ①2−② 得 t 1t 2=12，所以 S △F 1PF 2=12t 1t 2⋅sin60∘=12×12×√32=3√3．（2）设 P (x,y )，由 S △F 1PF 2=12⋅2c ⋅∣y ∣=4⋅∣y ∣ 得 4∣y ∣=3√3，所以 ∣y ∣=3√34⇒y =±3√34, 将 y =±3√34代入椭圆方程解得 x =±5√134，所以 P (5√134,3√34) 或 P (5√134,−3√34) 或 P (−5√134,3√34) 或 P (−5√134,−3√34)． 35. （1）双曲线 C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的渐近线方程为：y =±ba x ，则由题意得，ba =√3，a =1，解得b =√3，则双曲线的方程为：x 2−y 23=1；（2）联立直线方程和双曲线方程，得到， {y =x +m,x 2−y 23=1,消去 y ，得 2x 2−2mx −m 2−3=0，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则判别式 Δ=4m 2+8(m 2+3)>0，x 1+x 2=m ，中点 M 的 x 0=m 2，y 0=x 0+m =32m ，则有 y0x 0=3．来自QQ 群33944496336. （1）如图所示，不妨设 M 在双曲线的右支上，M 点到 x 轴的距离为 ℎ， MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则 MF 1⊥MF 2，设 ∣MF 1∣=m ，∣MF 2∣=n ，由双曲线定义知，m −n =2a =8, ⋯⋯① 又 m 2+n 2=(2c )2=80, ⋯⋯② 由 ①② 得 m ⋅n =8， ∴12mn =12∣F 1F 2∣⋅ℎ， ∴ℎ=2√55．来自QQ 群339444963（2）设所求双曲线 C 的方程为 x 216−λ−y 24+λ=1(−4<λ<16)，由于双曲线 C 过点 (3√2,2)，所以 1816−λ−44+λ=1，解得 λ=4 或 λ=−14（舍去）． ∴ 所求双曲线 C 的方程为 x 212−y 28=1．37. （1） ∵ 点 P 在椭圆 C 上， ∴2a =∣PF 1∣+∣PF 2∣=6，a =3．在 Rt △PF 1F 2 中，2c =∣F 1F 2∣=√∣PF 2∣2+∣PF 1∣2=√(143)2+(43)2=2√533；故椭圆的半焦距 c =√533，从而 b 2=a 2−c 2=289，∴ 椭圆 C 的方程为 x 29+y 2289=1．（2）已知圆的方程为 (x +2)2+(y −1)2=5，∴ 圆心 M 的坐标为 (−2,1)．设 A ，B 的坐标分别为 (x 1,y 1)，(x 2,y 2)．由题意 x 1≠x 2 且 x 129+y 12289=1, ⋯⋯①x 229+y 22289=1. ⋯⋯②由②−①得(x1−x2)(x1+x2)9+(y1−y2)(y1+y2)289=0. ⋯⋯③又A，B关于点M对称，∴x1+x2=−4，y1+y2=2，代入③得y1−y2x1−x2=5681，即直线L的斜率为5681，∴直线L的方程为y−1=5681(x+2)，即56x−81y+193=0．故所求的直线方程为56x−81y+193=0．来自QQ群33944496338. （1）设圆心为M(m,0)(m∈Z)．由于圆与直线4x+3y−29=0相切，且半径为5，所以∣4m−29∣5=5，即∣4m−29∣=25．因为m为整数，故m=1．故所求圆的方程为(x−1)2+y2=25．（2）把直线ax−y+5=0，即y=ax+5，代入圆的方程，消去y，整理，得(a2+1)x2+2(5a−1)x+1=0，由于直线ax−y+5=0交圆于A，B两点，故Δ=4(5a−1)2−4(a2+1)>0，即12a2−5a>0，由于a>0，解得a>512，所以实数a的取值范围是(512,+∞)．（3）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为−1a ，l的方程为y=−1a(x+2)+4，即x+ay+2−4a=0，由于l垂直平分弦AB，故圆心M(1,0)必在l上，所以1+0+2−4a=0，解得a=34．由于34∈(512,+∞)，故存在实数a=34．使得过点P(−2,4)的直线l垂直平分弦AB．来自QQ群339444963 39. （1）当α=π3时，C1的普通方程为y=√3(x−1),C2的普通方程为x2+y2=1.联立方程组{x2+y2=1, y=√3(x−1),解得C1与C2的交点为(1,0) 和 (12,−√32).（2） C 1 的普通方程为xsinα−ycosα−sinα=0,A 点坐标为 (sin 2α,−cosαsinα)，故当 α 变化时，P 点轨迹的参数方程为{x =12sin 2α,y =−12sinαcosα,(α为参数). P 点轨迹的普通方程为(x −14)2+y 2=116.故 P 点轨迹是圆心为 (14,0)，半径为 14 的圆． 40. 设圆心为 (3t,t )，半径为 r =∣3t∣，则圆心到直线 y =x 的距离 d =√2=∣∣√2t ∣∣，由勾股定理及垂径定理得：(2√72)2=r 2−d 2，即 9t 2−2t 2=7，解得：t =±1，所以圆心坐标为 (3,1)，半径为 3；或圆心坐标为 (−3,−1)，半径为 3，则圆 C 的方程为 (x −3)2+(y −1)2=9 或 (x +3)2+(y +1)2=9． 41. （1）由 {y =x +b,x 2=4y得 x 2−4x −4b =0, ⋯⋯①因为直线 l 与抛物线 C 相切，所以 Δ=(−4)2−4×(−4b )=0，解得 b =−1．（2）由（1）知 b =−1，故方程 ① 即为 x 2−4x +4=0，解得 x =2，代入 x 2=4y ，得 y =1．故点 A (2,1)，因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切，所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y =−1 的距离，即 r =∣1−(−1)∣=2，所以圆 A 的方程为 (x −2)2+(y −1)2=4．42. （1）由 {x =ρcosθ,y =ρsinθ, 可得，(ρcosθ+6)2+ρ2sin 2θ=25，整理得 ρ2+12ρcosθ+11=0 即为所求．（2）令直线 l 的斜率为 k ，可得直线的直角坐标方程为 kx −y =0．圆的半径为 r =5，圆心到直线的距离 d =√k 2+1，又因为 ∣AB∣=√10，所以可得∣AB∣24+d 2=r 2，即 52+36k 2k 2+1=25，解得 k =±√153． 43. （1）椭圆 x 29+y 225=1 的焦点为 (0,±4)，离心率为 e =45．因为双曲线与椭圆的离心率之和为 245，所以双曲线的离心率为 2，所以 ca =2．因为双曲线与椭圆 x 29+y 225=1 有公共焦点 F 1，F 2，所以 c =4，所以 a =2，b =√12，所以双曲线的方程是 y 24−x 212=1．（2）由题意，∣PF 1∣+∣PF 2∣=10，∣PF 1∣−∣PF 2∣=4，所以 ∣PF 1∣=7，∣PF 2∣=3，因为 ∣F 1F 2∣=8，所以 cos∠F 1PF 2=72+32−822⋅7⋅3=−17．44. 由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，所以 p =2c ．设抛物线方程为 y 2=4c ⋅x ，因为抛物线过点 (32,√6)，所以 6=4c ⋅32，所以 c =1，故抛物线方程为 y 2=4x ．又双曲线 x 2a2−y 2b 2=1 过点 (32,√6)，所以94a2−6b 2=1．又 a 2+b 2=c 2=1，所以94a2−61−a 2=1．所以 a 2=14 或 a 2=9（舍）．所以 b 2=34，故双曲线方程为 4x 2−4y 23=1．45. （1）因为 P 到点 F (1,0) 的距离比它到直线 l ：x =−2 的距离少 1，所以 P 到点 F (1,0) 的距离与它到直线 l ：x =−1 的距离相等，所以由抛物线定义可知点 P 的轨迹是以 F 为焦点、以直线 l ：x =−1 为准线的抛物线，设抛物线方程为 y 2=2px (p >0) ，所以 P =2，所以曲线 C 的方程为 y 2=4x ．（2）直线 AB 的斜率为定值 −1，理由如下：设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 y 12=4x 1，y 22=4x 2，因为直线 AQ ，BQ 倾斜角互补，所以 k AQ +k BQ =0，即 y 1−2x 1−1+y 2−2x 2−1=0，4y1+2+4y 2+2=0，所以 y 1+y 2=−4，所以 k AB =y 1−y 2x 1−x 2=4y1+y 2=−1．46. （1）圆 C 的参数方程为 {x =2cosφ,y =2sinφ（φ 为参数），消去参数可得：圆 C 的普通方程为 x 2+y 2=4．由题意可得：直线 l 的参数方程为 {x =12t,y =2+√32t （t 为参数）．（2）依题意，直线 l 的直角坐标方程为 √3x −y +2=0，圆心 C 到直线 l 的距离 d =22=1，所以 ∣AB ∣=2√r 2−d 2=2√3．47. （1）因为椭圆一个顶点为 A (2,0)，离心率为 √22，所以 {a =2,ca =√22,a 2=b 2+c 2,所以 b =√2，所以椭圆 C 的方程为 x 24+y 22=1．（2）直线 y =k (x −1) 与椭圆 C 联立 {y =k (x −1),x 24+y 22=1, 消元可得 (1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−4=0，设 M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，则 x 1+x 2=4k 21+2k 2，x 1x 2=2k 2−41+2k 2，所以 ∣MN∣=√1+k 2×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√(1+k 2)(4+6k 2)1+2k 2，因为 A (2,0) 到直线 y =k (x −1) 的距离为 d =√1+k 2，所以 △AMN 的面积 S =12∣MN∣d =∣k∣√4+6k 21+2k 2，因为 △AMN 的面积为 √103，所以∣k∣√4+6k 21+2k 2=√103，所以 k =±1． 48. （1）由题意 ca =√22，b 2a=√2，a 2=b 2+c 2，解得 a =2√2，b =c =2，则椭圆的方程为：x 28+y 24=1．（2）要使 △AOB 面积最大，则 B 到 OA 所在直线距离最远．设与 OA 平行的直线方程为 y =√22x +b ．由 {y =√22x +b,x 28+y 24=1, 消去 y 并化简得 x 2+√2bx +b 2−4=0．由 Δ=0 得 b =±2√2，不妨取 b >0，所以与直线 OA 平行，且与椭圆相切的直线方程为：y =√22x +2√2，则 B 到直线 OA 的距离等于 O 到直线：y =√22x +2√2 的距离 d ，d =4√33，又 ∣OA ∣=√6，△AOB 面积的最大值 S =12×√6×4√33=2√2．49. （1）因为点 (1,√22) 在椭圆 C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 上，椭圆离心率为 √22，所以 { 1a 2+12b 2=1,c a =√22,a 2=b 2+c 2, 解得 a =√2，b =1，所以椭圆 C 的方程为x 22+y 2=1．来自QQ 群339444963（2）假设存在点 M (x 0,0)，使得 MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，设直线 l 的方程为 x =my +1，联立 {x 22+y 2=1,x =my +1得 (m 2+2)y 2+2my −1=0，y 1+y 2=−2m m 2+2，y 1y 2=−1m 2+2，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−x 0,y 1)=(my 1+1−x 0,y 1)，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−x 0,y 2)=(my 2+1−x 0,y 2)，所以MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 1+1−x 0)(my 2+1−x 0)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+m (1−x 0)(y 1+y 2)+(1−x 0)2=−(m 2+1)m 2+2+−2m 2(1−x 0)m 2+2+(1−x 0)2=m 2(x 02−2)+2(1−x 0)2−1m 2+2,。

解析几何高中数学试题解析版

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若椭圆x2+y2a =1(a>0)的离心率为√ 22，则a的值为( )A. 2B. 12C. 2或√ 22D. 2或12【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的性质的应用及分类讨论的思想，属于基础题．考虑a>1和0<a<1两种情况，根据离心率的公式计算得到答案．【解答】解：当a>1时，离心率为√ a−1√ a =√ 22，解得a=2；当0<a<1时，离心率为√ 1−a=√ 22，解得a=12．综上所述：a=2或a=12．故选：D2.把一个圆心角为120°的扇形卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥底面圆的半径与这个圆锥的高之比是( )A. 1∶4B. √ 2∶2C. √ 2∶√ 3D. √ 2∶4【答案】D【解析】【分析】本题考查圆锥的计算，理解圆锥的展开图中扇形的弧长等于圆锥的底面周长是关键．设母线为l，半径为r，利用圆锥的展开图中扇形的弧长等于圆锥的底面周长得到半径与母线的关系，再根据勾股地理得到高，从而可以得出结果．【解答】解：设圆锥的母线为l，底面半径为r，高为ℎ则扇形的弧长为120180π×l=23πl，由圆锥的展开图中扇形的弧长等于圆锥的底面周长，得2πr=23πl，则r=13l，再由勾股定理得ℎ=√ l2−r2=2√ 23l，故r ℎ=13l 2√ 23l =√ 24，故选D ．3.已知原点到直线l 的距离为1，圆(x −2)2+(y −√ 5)2=4与直线l 相切，则满足条件的直线l 有 ( ) A. 1条 B. 2条C. 3条D. 4条【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查点到直线的距离，圆与圆位置关系，先求出两圆的圆心和半径，判断两个圆的位置关系，从而确定公切线的直线条数．【解答】解：∵(x −2)2+(y −√ 5 )2=4， ∴圆心坐标(2,√ 5)，半径为2， ∵以坐标原点为圆心，以1为半径， ∴圆方程x 2+y 2=1， ∴两圆圆心距√ 5+22=3， ∴两圆相外切，∴两圆有三条公切线，(两条外公切线，一条内公切线)．故选C ．4.已知PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,−3)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,3)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,6,λ)，若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ=( ) A. 9 B. −9C. −3D. 3【答案】B 【解析】【分析】由共面向量定理得PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而(7,6,λ)=x(2,1,−3)+y(−1,2,3)，由此能求出λ的值．本题考查实数值的求法，考查共面向量定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解答】解：∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,−3)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,3)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,6,λ)， P ，A ，B ，C 四点共面，∴存在一对实数x ，y ，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =x PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(7,6,λ)=x(2,1,−3)+y(−1,2,3)，∴{7=2x−y6=x+2yλ=−3x+3y，解得λ=−9．故选：B．5.已知点A为圆(x+3)2+(y−2)2=1上的动点，点B的坐标为(1,1)，P为x轴上一动点，则|AP|+|BP|的最小值是( )A. 3B. 4C. 5D.6【答案】B【解析】【分析】本题考查到圆上点的距离的最值及点关于线的对称点的求法，属于拔高题．根据三角形三边关系以及两点间距离公式求解即可．【解答】解：设圆心M(−3,2)，半径为1，B关于x轴的对称点B1(1,−1)，连接MB1交x轴于N点，则N即是P，因为这时|NB|=|NB1|，|NB|+|MN|=|MB1|，当P在x轴的其它位置F时，|FB|=|FB1|，借助图形可得|FB|+|FM|>|MB1|(三角形的两边和大于第三边)，所以|AP|+|BP|的最小值是为|MB1|−1=√ 42+32−1=5−1=4，此时A为线段MB1与圆的交点．故选B.6.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点，若AB的中点坐标为(1,−1)，则E的方程为( )A. x245+y236=1 B. x236+y227=1 C. x227+y218=1 D. x218+y29=1【答案】D【解析】【分析】本题考查求椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入椭圆的方程，两式相减，根据线段AB的中点坐标为(1,−1)，进而可得a，b的关系，根据右焦点为F(3,0)，求出a，b的值，即可得出椭圆的方程．【解答】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，代入椭圆方程得{x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b2=1，相减得x 12−x 22a 2+y 12−y 22b2=0， ∴x 1+x 2a 2+y 1−y 2x 1−x 2⋅y 1+y 2b2=0，∵x 1+x 2=2，y 1+y 2=−2，k AB =y 1−y2x 1−x 2=−1−01−3=12，∴2a 2+12×−2b2=0，化为a 2=2b 2，又c =3=√ a 2−b 2，解得a 2=18，b 2=9． ∴椭圆E 的方程为x 218+y 29=1．故选D ．7.已知圆C:x 2+y 2=1，直线l:x +y +2=0，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点 ( ) A. (−12,−12)B. (−1,−1)C. (−12,12)D. (12,−12)【答案】A 【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆方程的综合应用，属于中档题．根据题意，设P 的坐标为(t,−2−t)，由圆的切线性质可得PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，则有点A 、B 在以PC 为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆C 的方程联立可得直线AB 的方程，将其变形分析可得答案．【解答】解：根据题意，P 为直线l ：x +y +2=0上的动点，设P 的坐标为(t,−2−t)，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，则点A 、B 在以PC 为直径的圆上，又由C(0,0)，P(t,−2−t)，则以PC 为直径的圆的方程为x(x −t)+y(y +2+t)=0，变形可得：x 2+y 2−tx +(t +2)y =0，则有{x 2+y 2=1x 2+y 2−tx +(t +2)y =0，联立可得：1−tx +(t +2)y =0，变形可得：1+2y −t(x −y)=0，即直线AB 的方程为1+2y −t(x −y)=0，则有{1+2y =0x −y =0，解可得{x =−12y =−12，故直线AB 过定点(−12,−12)，故选：A ．8.已知F 1，F 2是椭圆与x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，过左焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，且满足|AF 1|=2|BF 1|，|AB|=|BF 2|，则该椭圆的离心率是( ) A. 12B. √ 33C. √ 32D. √ 53【答案】B 【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，属于中档题．利用已知条件，画出图形，通过三角形的边长关系，结合余弦定理，求解椭圆的离心率即可．【解答】解：作出图形，如下：由题意可得：|F 1B|+|BF 2|=2a ，|AB|=|BF 2|，可得|AF 1|=a ，|AF 2|=a ，|AB|=|BF 2|=32a ，|F 1F 2|=2c ，在△ABF 2中，由余弦定理得cos∠BAF 2=94a 2+a 2−94a 22×32a×a=13，在△AF 1F 2中，由余弦定理得cos∠BAF 2=a 2+a 2−4c 22×a×a =1−2(c a)2，所以13=1−2(ca )2，即e =c a =√ 33．故选：B ．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。

解析几何大题及答案

解析几何大题及答案解析几何是数学中的一个重要分支，研究的是空间图形的性质和变换。

在高中数学中，解析几何是一个关键的考点，也是学生容易遇到的难点之一。

本文将解析几何中的几个大题进行解析，并给出详细的答案。

一、平面直角坐标系与向量1. 设平面上一直线的方程为3x-y+4=0，求该直线的斜率及与坐标轴的交点坐标。

答案：首先将直线的方程转化为斜截式的形式，即y=3x+4。

由此可得该直线的斜率为3。

与x轴的交点坐标可通过令y=0，解得x=-4/3；与y轴的交点坐标可通过令x=0，解得y=4。

因此，该直线与x轴的交点坐标为(-4/3,0)，与y轴的交点坐标为(0,4)。

2. 已知平面内的向量a=(4,3)，求向量2a的模和方向角。

答案：向量2a=(2*4,2*3)=(8,6)。

模可以通过向量的标准模公式计算：|2a|=√((8)^2+(6)^2)=√100=10。

方向角可以通过向量的方向角公式计算：tanθ=y/x=6/8=3/4，所以θ=arctan(3/4)。

因此，向量2a的模为10，方向角为arctan(3/4)。

二、直线的方程与位置关系1. 设直线L1过点A(1,3)且与直线L2:2x+3y-7=0相交于点B，求线段AB的中点坐标。

答案：首先求直线L1的方程，由过点A(1,3)，设斜率为k，则直线L1的方程为y-3=k(x-1)。

将直线L2的方程与直线L1的方程联立，可求出点B的坐标。

解方程组得到B的坐标为(-1,3)。

线段AB的中点坐标可以通过两点坐标的平均值计算：((1+(-1))/2,(3+3)/2)=(0,3)。

因此，线段AB的中点坐标为(0,3)。

2. 设直线L1:x+2y-3=0与直线L2:2x-y-1=0相交于点A，直线L1与直线L3:2x+3y-4=0平行，求直线L3的方程。

答案：由直线L1与直线L2的方程可解得直线L1与直线L2的交点A的坐标为(1,1)。

由直线L1与直线L3平行可得其斜率相等，即2=3k，解得k=2/3。

(完整版)解析几何练习题及答案

解析几何一、选择题1．已知两点A (－3，)，B (，－1)，则直线AB 的斜率是( )33A. B ．－33C.　D ．－3333解析：斜率k ＝＝－，故选D.－1－33－(－3)33答案：D 2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意．②a ≠0，x ＝0时，y ＝2＋a .y ＝0时，x ＝，a ＋2a 则＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D.a ＋2a 答案：D 3．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( )A ．4B ．21313C.　D ．5132671020解析：把3x ＋y －3＝0转化为6x ＋2y －6＝0，由两直线平行知m ＝2，则d ＝＝.|1－(－6)|62＋2271020故选D.答案：D4．(2014皖南八校联考)直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －1＝0　B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －5＝0　D ．x ＋2y －5＝0解析：由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.故选C.答案：C5．若直线l ：y ＝kx －与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角3的取值范围是( )A.　B ．[π6，π3)(π6，π2)C.　D ．(π3，π2)[π3，π2]解析：由题意，可作直线2x ＋3y －6＝0的图象，如图所示，则直线与x 轴、y 轴交点分别为A (3,0)，B (0,2)，又直线l 过定点(0，－)，由题知直线l 与线段AB 相交(交点不含3端点)，从图中可以看出，直线l 的倾斜角的取值范围为.故选B.(π6，π2)答案：B 6．(2014泰安一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( )A ．x －2y ＋4＝0　B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y ＋3＝0　D ．x －2y ＋5＝0解析：直线2x ＋y －5＝0的斜率为k ＝－2，∴所求直线的斜率为k ′＝，12∴方程为y －3＝(x －2)，即x －2y ＋4＝0.12答案：A二、填空题7．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为____________．解析：由题意知截距均不为零．设直线方程为＋＝1，x a yb 由Error!解得Error!或Error!.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.答案：x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝08．(2014湘潭质检)若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m的值为________．解析：∵过点A ，B 的直线平行于直线2x ＋y ＋2＝0，∴k AB ＝＝－2，解得m ＝－8.4－mm ＋2答案：－89．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：由直线PQ 的倾斜角为钝角，可知其斜率k <0，即<0，化简得<0，∴－2<a <1.2a －(1＋a )3－(1－a )a －1a ＋2答案：(－2,1)10．已知k ∈R ，则直线kx ＋(1－k )y ＋3＝0经过的定点坐标是________．解析：令k ＝0，得y ＋3＝0，令k ＝1，得x ＋3＝0.解方程组Error!得Error!所以定点坐标为(－3，－3)．答案：(－3，－3)三、解答题11．已知两直线l 1：x ＋y sinα－1＝0和l 2：2x sinα＋y ＋1＝0，试求α的值，使(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解：(1)法一　当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sin α≠0时，k 1＝－，k 2＝－2sin α.1sin α要使l 1∥l 2，需－＝－2sin α，1sin α即sin α＝±，∴α＝k π±，k ∈Z .22π4故当α＝k π±，k ∈Z 时，l 1∥l 2.π4法二　由l 1∥l 2，得Error!∴sin α＝±，22∴α＝k π±，k ∈Z .π4故当α＝k π±，k ∈Z 时，l 1∥l 2.π4(2)∵l 1⊥l 2，∴2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0.∴α＝k π，k ∈Z .故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.12．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.(1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)假设l 1与l 2不相交，则l 1∥l 2即k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k ＋2＝0，这与21k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)法一　由方程组Error!解得交点P 的坐标为，(2k 2－k 1，k 2＋k 1k 2－k 1)而2x 2＋y 2＝22＋2(2k 2－k 1)(k 2＋k 1k 2－k 1)＝8＋k 2＋k 21＋2k 1k 2k 2＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 2＋4k 21＋k 2＋4＝1.即P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．即l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．法二　交点P 的坐标(x ，y )满足Error!故知x ≠0.从而Error!代入k 1k 2＋2＝0，得·＋2＝0，y －1x y ＋1x 整理后，得2x 2＋y 2＝1.所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．第八篇　第2节一、选择题1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：由题意，设圆心(0，t )，则＝1，得t ＝2，12＋(t －2)2所以圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1，故选A.答案：A 2．(2014郑州模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：设P (x ，y )，则由题意可得2＝，(x －2)2＋y 2(x －8)2＋y 2化简整理得x 2＋y 2＝16，故选B.答案：B3．(2012年高考陕西卷)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能解析：x 2＋y 2－4x ＝0是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，而点P (3,0)到圆心的距离为d ＝＝1<2，(3－2)2＋(0－0)2点P (3,0)恒在圆内，过点P (3,0)不管怎么样画直线，都与圆相交．故选A.答案：A4．(2012年高考辽宁卷)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0　B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0　D ．x －y ＋3＝0解析：由题知圆心在直线上，因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选项C 符合，故选C.答案：C 5．(2013年高考广东卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －＝0B ．x ＋y ＋1＝02C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋＝02解析：与直线y ＝x ＋1垂直的直线方程可设为x ＋y ＋b ＝0，由x ＋y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，可得＝1，故b ＝±.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形|b |12＋122分析知b ＝－，则直线方程为x ＋y －＝0.故选A.22答案：A 6．(2012年高考福建卷)直线x ＋y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦3AB 的长度等于( )A ．2B ．253C.　D ．13解析：因为圆心到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝＝1，半径r ＝2，3|0＋3×0－2|12＋(3)2所以弦长|AB |＝2＝2.22－123故选B.答案：B二、填空题7．(2013年高考浙江卷)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________．解析：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r ＝5.又直线方程为2x －y ＋3＝0，∴圆心到直线的距离为d ＝＝，|2×3－4＋3|4＋15∴弦长为2×＝2＝4.25－5205答案：458．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．解析：因为圆C 的圆心(1,1)到直线l 的距离为d ＝＝2，|1－1＋4|12＋(－1)22又圆半径r ＝.2所以圆C 上各点到直线l 的距离的最小值为d －r ＝.2答案：29．已知圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，半径为1且与直线4x －3y ＝0相切，则圆C的标准方程是________．解析：∵圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，∴设圆心C (m,3m )．又圆C 的半径为1，且与4x －3y ＝0相切，∴＝1，|4m －9m |5∴m ＝±1，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1.答案：(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝110．圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l ：x ＋y －3＝0对称的圆的方程为________．解析：已知圆的圆心为(2,3)，半径为1.则对称圆的圆心与(2,3)关于直线l 对称，由数形结合得，对称圆的圆心为(0,1)，半径为1，故方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝1三、解答题11．已知圆C ：x 2＋(y －2)2＝5，直线l ：mx －y ＋1＝0.(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点；(2)若圆C 与直线相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．(1)证明：法一　直线方程与圆的方程联立，消去y 得(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，∵Δ＝4m 2＋16(m 2＋1)＝20m 2＋16>0，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．法二　直线l ：mx －y ＋1恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C ：x 2＋(y －2)2＝5内部，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．(2)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，由方程(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，得x 1＋x 2＝，2mm 2＋1∴x ＝.mm 2＋1当x ＝0时m ＝0，点M (0,1)，当x ≠0时，由mx －y ＋1＝0，得m ＝，y －1x 代入x ＝，得x＝，mm 2＋1[(y －1x )2＋1]y －1x 化简得x 2＋2＝.(y －32)14经验证(0,1)也符合，∴弦AB 的中点M 的轨迹方程为x 2＋2＝.(y －32)1412．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝2时，求直线l 的方程．2解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有＝2.解得a ＝－.|4＋2a |a 2＋134(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得Error!解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.第八篇　第3节一、选择题1．设P 是椭圆＋＝1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )x 225y 216A ．4 B ．5C ．8D ．10解析：由方程知a ＝5，根据椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.故选D.答案：D 2．(2014唐山二模)P 为椭圆＋＝1上一点，F 1，F 2为该椭圆的两个焦点，若x 24y 23∠F 1PF 2＝60°，则·等于( )PF1→ PF 2→ A ．3　B ．3C ．2　D ．23解析：由椭圆方程知a ＝2，b ＝，c ＝1，3∴Error!∴|PF 1||PF 2|＝4.∴·＝||||cos 60°＝4×＝2.PF 1→ PF 2→ PF 1→ PF 2→ 12答案：D3．(2012年高考江西卷)椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦x 2a 2y 2b 2点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.　B ．1455C.　D ．－2125解析：本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用．由椭圆的性质可知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，又|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，故(a －c )(a ＋c )＝(2c )2，可得e ＝＝.故应选B.ca 55答案：B4．(2013年高考辽宁卷)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的x 2a 2y 2b 2直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝，则C 的离心率45为( )A.　B ．3557C.　D ．4567解析：|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB ||BF |cos ∠ABF ＝100＋64－2×10×8×＝36，45则|AF |＝6，∠AFB ＝90°，半焦距c ＝|FO |＝|AB |12＝5，设椭圆右焦点F 2，连结AF 2，由对称性知|AF 2|＝|FB |＝8，2a ＝|AF 2|＋|AF |＝6＋8＝14，即a ＝7，则e ＝＝.c a 57故选B.答案：B5．已知椭圆E ：＋＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与x 2m y 24l ：y ＝kx ＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是( )A ．kx ＋y ＋k ＝0B ．kx －y －1＝0C ．kx ＋y －k ＝0D ．kx ＋y －2＝0解析：取k ＝1时，l ：y ＝x ＋1.选项A 中直线：y ＝－x －1与l 关于x 轴对称，截得弦长相等．选项B 中直线：y ＝x －1与l 关于原点对称，所截弦长相等．选项C 中直线：y ＝－x ＋1与l 关于y 轴对称，截得弦长相等．排除选项A 、B 、C ，故选D.答案：D6．(2014山东省实验中学第二次诊断)已知椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为x 2a 2y 2b 2F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P ，使＝，则该椭圆的离心率的asin ∠PF 1F 2csin ∠PF 2F 1取值范围为( )A ．(0，－1)　B ．2(22，1)C.D ．(－1,1)(0，22)2解析：由题意知点P 不在x 轴上，在△PF 1F 2中，由正弦定理得＝，|PF 2|sin ∠PF 1F 2|PF 1|sin ∠PF 2F 1所以由＝a sin ∠PF 1F 2c sin ∠PF 2F 1可得＝，a|PF 2|c|PF 1|即＝＝e ，|PF 1||PF 2|ca 所以|PF 1|＝e |PF 2|.由椭圆定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以e |PF 2|＋|PF 2|＝2a ，解得|PF 2|＝.2ae ＋1由于a －c <|PF 2|<a ＋c ，所以有a －c <<a ＋c ，2ae ＋1即1－e <<1＋e ，2e ＋1也就是Error!解得－1<e .2又0<e <1，∴－1<e <1.故选D.2答案：D 二、填空题7．设F 1、F 2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中x 225y 216点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点距离为________．解析：∵|OM |＝3，∴|PF 2|＝6，又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝4.答案：48．椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线x 2a 2y 2b 2与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．解析：不妨设|F 1F 2|＝1，∵直线MF 2的倾斜角为120°，∴∠MF 2F 1＝60°.∴|MF 2|＝2，|MF 1|＝，2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝2＋，332c ＝|F 1F 2|＝1.∴e ＝＝2－.ca 3答案：2－39．(2014西安模拟)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方35y 225x 29程为________________．解析：由题意可设椭圆方程为＋＝1(m <9)，y 225－m x 29－m 代入点(，－)，35得＋＝1，525－m 39－m 解得m ＝5或m ＝21(舍去)，∴椭圆的标准方程为＋＝1.y 220x 24答案：＋＝1y 220x 2410．已知F 1，F 2是椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且x 2a 2y 2b 2⊥.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.PF1→ PF 2→ 解析：由题意得Error!∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，即4a 2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，∴|PF 1||PF 2|＝2b 2，∴S △PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝b 2＝9，12∴b ＝3.答案：3三、解答题11．(2012年高考广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：＋＝1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解：(1)由椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上，可得Error!∴Error!故椭圆C 1的方程为＋y 2＝1.x 22(2)由题意分析，直线l 斜率存在且不为0，设其方程为y ＝kx ＋b ，由直线l 与抛物线C 2相切得Error!消y 得k 2x 2＋(2bk －4)x ＋b 2＝0，Δ1＝(2bk －4)2－4k 2b 2＝0，化简得kb ＝1.①由直线l 与椭圆C 1相切得Error!消y 得(2k 2＋1)x 2＋4bkx ＋2b 2－2＝0，Δ2＝(4bk )2－4(2k 2＋1)(2b 2－2)＝0，化简得2k 2＝b 2－1.②①②联立得Error!解得b 4－b 2－2＝0，∴b 2＝2或b 2＝－1(舍去)，∴b ＝时，k ＝，b ＝－时，k ＝－.222222即直线l 的方程为y ＝x ＋或y ＝－x －.22222212．(2014海淀三模)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一x 2a 2y 2b 2内角为60°的菱形的四个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx 交椭圆C 于A ，B 两点，在直线l ：x ＋y －3＝0上存在点P ，使得△PAB 为等边三角形，求k 的值．解：(1)因为椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的x 2a 2y 2b 2菱形的四个顶点．所以a ＝，b ＝1，3椭圆C 的方程为＋y 2＝1.x 23(2)设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (0,3)，又因为|AB |＝2，|PO |＝3，3所以∠PAO ＝60°，所以△PAB 是等边三角形，所以直线AB 的方程为y ＝0，当直线AB 的斜率存在且不为0时，则直线AB 的方程为y ＝kx ，所以Error!化简得(3k 2＋1)x 2＝3，所以|x 1|＝，33k 2＋1则|AO |＝＝.1＋k 233k 2＋13k 2＋33k 2＋1设AB 的垂直平分线为y ＝－x ，1k 它与直线l ：x ＋y －3＝0的交点记为P (x 0，y 0)，所以Error!解得Error!则|PO |＝，9k 2＋9(k －1)2因为△PAB 为等边三角形，所以应有|PO |＝|AO |，3代入得＝，9k 2＋9(k －1)233k 2＋33k 2＋1解得k ＝0(舍去)，k ＝－1.综上，k ＝0或k ＝－1.第八篇　第4节一、选择题1．设P 是双曲线－＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若x 216y 220|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17　D ．以上答案均不对解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2>1，∴|PF 2|＝17.故选B.答案：B2．(2013年高考湖北卷)已知0<θ<，则双曲线C 1：－＝1与C 2：－π4x 2sin2θy 2cos2θy 2cos2θ＝1的( )x 2sin2θA ．实轴长相等　B ．虚轴长相等C ．离心率相等　D ．焦距相等解析：双曲线C 1的半焦距c 1＝＝1，双曲线C 2的半焦距c 2＝sin2θ＋cos2θ＝1，故选D.cos2θ＋sin2θ答案：D3．(2012年高考湖南卷)已知双曲线C ：－＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近x 2a 2y 2b 2线上，则C 的方程为( )A.－＝1　B ．－＝1x 220y 25x 25y 220C.－＝1　D ．－＝1x 280y 220x 220y 280解析：由焦距为10，知2c ＝10，c ＝5.将P (2,1)代入y ＝x 得a ＝2b .ba a 2＋b 2＝c 2,5b 2＝25，b 2＝5，a 2＝4b 2＝20，所以方程为－＝1.故选A.x 220y 25答案：A 4．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2等于( )A.　B ．1435C.　D ．3445解析：∵c 2＝2＋2＝4，∴c ＝2,2c ＝|F 1F 2|＝4，由题可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，2|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝2，|PF 1|＝4，22由余弦定理可知cos ∠F 1PF 2＝＝.故选C.(42)2＋(22)2－422×42×2234答案：C5．设椭圆C 1的离心率为，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆513C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.－＝1　B ．－＝1x 242y 232x 2132y 252C.－＝1　D ．－＝1x 232y 242x 2132y 2122解析：在椭圆C 1中，因为e ＝，2a ＝26，513即a ＝13，所以椭圆的焦距2c ＝10，则椭圆两焦点为(－5,0)，(5,0)，根据题意，可知曲线C 2为双曲线，根据双曲线的定义可知，双曲线C 2中的2a 2＝8，焦距与椭圆的焦距相同，即2c 2＝10，可知b 2＝3，所以双曲线的标准方程为－＝1.故选A.x 242y 232答案：A6．(2014福州八中模拟)若双曲线－＝1渐近线上的一个动点P 总在平面区域x 29y 216(x －m )2＋y 2≥16内，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．[－5,5]　D ．(－∞，－5]∪[5，＋∞)解析：因为双曲线－＝1渐近线4x ±3y ＝0上的一个动点P 总在平面区域(x －m )x 29y 2162＋y 2≥16内，即直线与圆相离或相切，所以d ＝≥4，解得m ≥5或m ≤－5，故实数|4m |5m 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．选D.答案：D 二、填空题7．(2013年高考辽宁卷)已知F 为双曲线C ：－＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的x 29y 216点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题知，双曲线中a ＝3，b ＝4，c ＝5，则|PQ |＝16，又因为|PF |－|PA |＝6，|QF |－|QA |＝6，所以|PF |＋|QF |－|PQ |＝12，|PF |＋|QF |＝28，则△PQF 的周长为44.答案：448．已知双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到较近焦点x 2a 2y 2b 2的距离为1，则双曲线C 的方程为________．解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c －a ＝1，又e ＝＝2，两式联立得a ＝1，c ＝2，ca ∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，∴方程为x 2－＝1.y 23答案：x 2－＝1y 239．(2014合肥市第三次质检)已知点P 是双曲线－＝1(a >0，b >0)和圆x 2a 2y 2b 2x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则该双曲线的离心率为________．解析：依题意得，线段F 1F 2是圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一条直径，故∠F 1PF 2＝90°，∠PF 1F 2＝30°，设|PF 2|＝m ，则有|F 1F 2|＝2m ，|PF 1|＝m ，3该双曲线的离心率等于＝＝＋1.|F 1F 2|||PF 1|－|PF 2||2m3m －m 3答案：＋1310．(2013年高考湖南卷)设F 1，F 2是双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若x 2a 2y 2b 2在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：设点P 在双曲线右支上，由题意，在Rt △F 1PF 2中，|F 1F 2|＝2c ，∠PF 1F 2＝30°，得|PF 2|＝c ，|PF 1|＝c ，3根据双曲线的定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ，(－1)c ＝2a ，3e ＝＝＝＋1.c a 23－13答案：＋13三、解答题11．已知双曲线x 2－＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，y 22且点P 是线段AB 的中点？解：法一　设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k .由Error!得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0(2－k 2≠0)．①∴x 0＝＝.x 1＋x 22k (1－k )2－k 2由题意，得＝1，k (1－k )2－k 2解得k ＝2.当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．法二　设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若直线l 的斜率不存在，即x 1＝x 2不符合题意，所以由题得x －＝1，x －＝1，21y 2122y 22两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－＝0，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2即2－＝0，y 1－y 2x 1－x 2即直线l 斜率k ＝2，得直线l 方程y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，联立Error!得2x 2－4x ＋3＝0，Δ＝16－24＝－8<0，即直线y ＝2x －1与双曲线无交点，即所求直线不合题意，所以过点P (1,1)的直线l 不存在．12．(2014南京质检)中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.13(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解：(1)由已知c ＝，13设椭圆长、短半轴长分别为a 、b ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，则Error!解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2.∴椭圆方程为＋＝1，x 249y 236双曲线方程为－＝1.x 29y 24(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝2，13∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝＝.102＋42－(213)22×10×445第八篇　第5节一、选择题1．(2014银川模拟)抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为( )A. B ．(1,0)(12，0)C.　D ．(0，18)(0，14)解析：抛物线y ＝2x 2，即其标准方程为x 2＝y ，它的焦点坐标是.故选C.12(0，18)答案：C2．抛物线的焦点为椭圆＋＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为( )x 24y 29A ．x 2＝－4y B ．y 2＝－4x55C ．x 2＝－4yD ．y 2＝－4x1313解析：由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝＝，a 2－b 25∴抛物线焦点坐标为(0，－)，5∴抛物线方程为x 2＝－4y .故选A.5答案：A3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( )A ．相离　B ．相交C ．相切　D ．不确定解析：如图所示，设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线为l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝(|AA 1|＋|BB 1|)12＝(|AF |＋|BF |)＝|AB |，故圆与抛物线准线相切．故选C.1212答案：C4．(2014洛阳高三统一考试)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为( )A.　B ．5383C.　D ．10103解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中x 1>0，x 2>0，过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，则由Error!解得x 1＝3，x 2＝，13故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于＋1＝.故选B.x 1＋x 2283答案：B5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.　B ．134C.　D ．5474解析：∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋＝3，12∴x A ＋x B ＝.52∴线段AB 的中点到y 轴的距离为＝.xA ＋xB 254故选C.答案：C6．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)　D ．[2，＋∞)解析：∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.故选C.答案：C 二、填空题7．动直线l 的倾斜角为60°，且与抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．解析：设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，3联立Error!消去y ，得x 2＝2p (x ＋b )，3即x 2－2px －2pb ＝0，3∴x 1＋x 2＝2p ＝3，3∴p ＝，则抛物线的方程为x 2＝y .323答案：x 2＝y38．以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8.所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.答案：x 2＋(y －4)2＝649．(2012年高考北京卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：∵抛物线y 2＝4x ，∴焦点F 的坐标为(1,0)．又∵直线l 倾斜角为60°，∴直线斜率为，3∴直线方程为y ＝(x －1)．3联立方程Error!解得Error!或Error!由已知得A 的坐标为(3,2)，3∴S △OAF ＝|OF |·|y A |＝×1×2＝.121233答案：310．已知点P 是抛物线y 2＝2x上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A ，则(72，4)|PA |＋|PM |的最小值是________．解析：设点M 在抛物线的准线上的射影为M ′.由已知可得抛物线的准线方程为x ＝－，焦点F 坐标为.12(12，0)求|PA |＋|PM |的最小值，可先求|PA |＋|PM ′|的最小值．由抛物线的定义可知，|PM ′|＝|PF |，所以|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PM ′|，当点A 、P 、F 在一条直线上时，|PA |＋|PF |有最小值|AF |＝5，所以|PA |＋|PM ′|≥5，又因为|PM ′|＝|PM |＋，12所以|PA |＋|PM |≥5－＝.1292答案：92三、解答题11．若抛物线y ＝2x 2上的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线l ：y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－，求实数m 的值．12解：法一　如图所示，连接AB ，∵A 、B 两点关于直线l 对称，∴AB ⊥l ，且AB 中点M (x 0，y 0)在直线l 上．可设l AB ：y ＝－x ＋n ，由Error!得2x 2＋x －n ＝0，∴x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝－.12n2由x 1x 2＝－，得n ＝1.12又x 0＝＝－，x 1＋x 2214y 0＝－x 0＋n ＝＋1＝，1454即点M 为，(－14，54)由点M 在直线l 上，得＝－＋m ，5414∴m ＝.32法二　∵A 、B 两点在抛物线y ＝2x 2上．∴Error!∴y 1－y 2＝2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)．设AB 中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2x 0，k AB ＝＝4x 0.y 1－y 2x 1－x 2又AB ⊥l ，∴k AB ＝－1，从而x 0＝－.14又点M 在l 上，∴y 0＝x 0＋m ＝m －，14即M ，(－14，m －14)∴AB 的方程是y －＝－，(m －14)(x ＋14)即y ＝－x ＋m －，代入y ＝2x 2，12得2x 2＋x －＝0，∴x 1x 2＝－＝－，∴m ＝.(m －12)m －122123212．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，2B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．OC → OA → OB→ 解：(1)直线AB 的方程是y ＝2，与y 2＝2px 联立，2(x －p2)从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，5p4所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－2，y 2＝4，22从而A (1，－2)，B (4,4)．22设＝(x 3，y 3)＝(1，－2)＋λ(4,4)OC→ 22＝(4λ＋1,4λ－2)，22即C (4λ＋1,4λ－2)，22所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，2即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.。

解析几何大题带答案

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文科高考数学重难点04 解析几何(解析版)

重难点04 解析几何【命题趋势】解析几何一直是高考数学中的计算量代名词，在高考中所占的比例一直是2+1+1模式.即两道选择，一道填空，一道解答题.高考中选择部分，一道圆锥曲线相关的简单概念以及简单性质，另外一道是圆锥曲线的性质会与直线、圆等结合考查一道综合题目，一般难度诶中等.填空题目也是综合题目，难度中等.大题部分一般是以椭圆抛物线性质为主，加之直线与圆的相关性子相结合，常见题型为定值、定点、对应变量的取值范围问题、面积问题等.双曲线一般不出现在解答题中，一般出现在小题中.即复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主.本专题主要通过对高考中解析几何的知识点的统计，整理了高考中常见的解析几何的题型进行详细的分析与总结，通过本专题的学习，能够掌握高考中解析几何出题的脉略，从而能够对于高考中这一重难点有一个比较详细的认知，对于解析几何的题目的做法能够有一定的理解与应用.【满分技巧】定值问题：采用逆推方法，先计算出结果.即一般会求直线过定点，或者是其他曲线过定点.对于此类题目一般采用特殊点求出两组直线，或者是曲线然后求出两组直线或者是曲线的交点即是所要求的的定点.算出结果以后，再去写出一般情况下的步骤.定值问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.先求结果一般会也是采用满足条件的特殊点进行带入求值（最好是原点或是（1，0）此类的点）.所得答案即是要求的定值.然后再利用答案，写出一般情况下的过程即可.注：过程中比较复杂的解答过程可以不求，因为已经知道答案，直接往答案上凑即可.关于取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.对于答案的求解，一般利用边界点进行求解，答案即是在边界点范围内.知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写.一般情况下的步骤对于复杂的计算可以不算.方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：a c（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；a c e（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.【考查题型】选择，填空，解答题【限时检测】（建议用时：45分钟）一、单选题一、单选题1．（2020·贵州贵阳一中高三月考（文））已知圆C ：(x +3)2+(y +4)2=4上一动点B ，则点B 到直线l :3x +4y +5=0的距离的最小值为（）A ．6B ．4C ．2D．【答案】C【分析】因为圆心到直线的距离，Cl 4d ==所以最小值为，422-=故选：C ．2．（2020·河南开封市·高三一模（文））已知双曲线的离心率与椭圆221(0)x y m m -=>的离心率互为倒数，则该双曲线的渐近线方程为（）2213x y m m +=A ．B ．C ．D．y =y x =y x =y =【答案】B【分析】双曲线的离心率为221(0)x y m m -=>e =在椭圆中，由于，则，所以焦点在轴上2213x y m m +=0m >30m m >>y 所以椭圆的离心率为2213x y m m +=e =解得：1=2m =所以双曲线的渐近线方程为：2212x y -=y x =±故选：B3．（2020·四川成都市·高三一模（文））已知平行于轴的一条直线与双曲线x 相交于，两点，，（为坐标原()222210,0x y a b a b -=>>P Q 4PQ a=π3PQO ∠=O点），则该双曲线的离心率为（）．A BC D【答案】D【分析】如图，由题可知，是等边三角形，POQ △，，4PQ a =()2,P a ∴将点P 代入双曲线可得，可得，22224121a a a b -=224b a =离心率.∴c e a ===故选：D.4．（2020·河南周口市·高三月考（文））已知直线：与圆：l 340x y m -+=C 有公共点，则实数的取值范围为（）226430x y x y +-+-=m A ．B ．C ．D ．()3,37[]37,3-[]3,4[]4,4-【答案】B 【分析】因为圆的标准方程为，C ()()223216x y -++=所以，半径，()3,2C -4r =所以点到直线C :340l x y m -+=根据题意可知，解得.1745m+≤373m -≤≤故选：B5．（2020·全国福建省漳州市教师进修学校高三三模（文））已知直线:210l kx y k --+=与椭圆交于A 、B 两点，与圆交于C 、D22122:1(0)x y C a b a b +=>>222:(2)(1)1C x y -+-=两点.若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（）[2,1]k ∈--AC DB =1CA ．B ．C ．D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭⎛ ⎝⎫⎪⎪⎭【答案】C【分析】直线，即为，可得直线恒过定点，:210l kx y k --+=(2)10k x y -+-=(2,1)圆的圆心为，半径为1，且，为直径的端点，222:(2)(1)1C x y -+-=(2,1)C D 由，可得的中点为，AC DB =AB (2,1)设，，，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 则，，2211221x y a b +=2222221x y a b +=两式相减可得，1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=由．，124x x +=122y y +=可得，由，即有，2122122y y b k x x a -==--21k -- (2)2112b a……则椭圆的离心率．(0c e a ==故选：C6．（2020·全国高三其他模拟（文））已知，为的两个顶点，点()1,0A ()3,0B ABC :C在抛物线上，且到焦点的距离为13，则的面积为（）24x y =ABC :A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】A【分析】解:因为点在抛物线上,设，C 24x y =()00,C x y 抛物线的准线方程为，24x y =1y =-根据抛物线的性质,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.由，得，0113y +=012y =所以.()01131121222ABC S AB y =⨯⋅=⨯-⨯=△故选:A7．（2020·四川成都市·高三一模（文））已知抛物线的焦点为，过的直线24x y =F F l 与抛物线相交于，两点，．若，则（）．A B 70,2P ⎛-⎫ ⎪⎝⎭PB AB ⊥AF =A ．B ．C ．D ．322523【答案】D【分析】由题意可知，，设，，()0,1F 211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭则，，2227,42x PB x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 222,14x BF x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 因为，且，，三点共线，则由可得，PB AB ⊥A B F 0AB PB ⋅= 0BF PB ⋅=所以，即，222222710424x x x ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭422226560x x+-=解得或（舍），所以.222x =2228x =-2x =设直线的方程为，与抛物线方程联立，AB 1y kx =+得，消去得，则，所以.214y kx x y =+⎧⎨=⎩y 2440x kx --=124x x =-1x =±则.21124x y ==所以.12213y F pA =+==+故选：D.8．（2020·四川高三一模（文））已知直线与双曲线：y kx =C ()222210,0x y a b a b -=>>相交于不同的两点，，为双曲线的左焦点，且满足，（A B F C 3AF BF=OA b=为坐标原点），则双曲线的离心率为（）O C AB C ．2D【答案】B【分析】设是右焦点，则，，即，F 'BF AF '=3AF BF=3AF AF '=又，∴，，而，∴22AF AF AF a''-==AF a'=3AF a=,OA b OF c'==，OA AF '⊥由得，AOF AOF π'∠+∠=cos cos 0AOFAOF '∠+∠=∴，整理得．222902b c a b bc c +-+===ce a 故选：B ．9．（2020·河南新乡市·高三一模（文））已知双曲线的左、()2222:10,0x y C a b a b -=>>右焦点分别为、，过原点的右支于点，若1F 2F O C A ，则双曲线的离心率为（）1223F AF π∠=AB 1C D【答案】D 【分析】推导出，可计算出，利用余弦定理求得112F OA F AF :::1F A =2AF =，进而可得出该双曲线的离心率为，即可得解.1212F F e AF AF =-【详解】题可知，，，123F OA π∠=121AF O F AF ∠=∠ 112F OA F AF ∠=∠112F OA F AF ∴:△△，所以，可得.11112F O F AF A F F =1F A =在中，由余弦定理可得，12F AF :22212121222cos3F F AF AF AF AF π=+-⋅即，解得.2220AF c +=2AF=双曲线的离心率为.1212F F e AF AF ===-故选：D.【点睛】10．（2020·全国高三专题练习（文））已知圆，则在轴和轴上22:(2)2C x y ++=x y 的截距相等且与圆相切的直线有几条（）C A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C【分析】若直线不过原点，其斜率为，设其方程为，1-y x m =-+则，解得或，d 0m =4-当时，直线过原点；0m =若过原点，把代入，()0,0()2200242++=>即原点在圆外，所以过原点有2条切线，综上，一共有3条，故选：C ．二、解答题11．（2020·四川成都市·高三一模（文））已知椭圆的离心率()2222:10x y C a b a b +=>>，且直线与圆相切．1x ya b +=222x y +=（1）求椭圆的方程；C（2）设直线与椭圆相交于不同的两点﹐，为线段的中点，为坐标原l C A B M AB O 点，射线与椭圆相交于点，且，求的面积．OM C P OP OM=ABO :【答案】（1）；（2．22163x y +=【分析】（1，∴（为半焦距）．c a=c∵直线与圆．1x ya b +=222x y +==又∵，∴，．222c b a +=26a =23b =∴椭圆的方程为．C 22163x y +=（2）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，l 设直线的方程为．l (x nn =<<∵，∴．OP OM==225n =∴．ABOS ==△（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线，l ():0l y kx m m =+≠，．()11,A x y ()22,B x y 由，消去，得．22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()222214260k x kmx m +++-=∴，即．()()()2222221682138630k m k m k m ∆=-+-=-+>22630k m -+>∴，．122421kmx x k +=-+21222621m x x k -=+∴线段的中点．AB 222,2121kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭当时，∵，∴．0k =OP OM==215m =∴．ABOS =△当时，射线所在的直线方程为．0k ≠OM 12y x k =-由，消去，得，．2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y 2221221P k x k =+22321Py k =+∴M POMy OPy ===∴．经检验满足成立．22521m k =+0∆>设点到直线的距离为，则．O ld d =∴212ABOS x =-===△综上，．ABO :12．（2020·云南高三其他模拟（文））已知椭圆的左右焦点分2222:1(0)x y C a b a b +=>>别为，离心率为，椭圆上的点到点的距离之和等于4.12,F F 12C 31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭12,F F （1）求椭圆的标准方程；C（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，满足()2,1P l C A B 若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.2PA PB PM ⋅= l 【答案】（1）；（2）存在直线满足条件，其方程为.22143x y +=l 12y x =【分析】解：（1）由题意得，所以.2221224c a a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩21a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故椭圆的标准方程为.C 22143x y +=（2）若存在满足条件的直线，则直线的斜率存在，设其方程为.l l (2)1y k x =-+代入椭圆的方程得.C 222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=设，两点的坐标分别为，，A B ()11,x y ()22,x y 所以.所以，222[8(21)]4(34)(16168)32(63)0k k k k k k ∆=---+--=+>12k >-且，.1228(21)34k k x x k -+=+21221616834k k x x k --=+因为，即，2PA PB PM ⋅= 12125(2)(2)(1)(1)4x x y y --+--=所以.2212(2)(2)(1)54x x k PM --+==即.[]2121252()4(1)4x x x x k -+++=所以，222222161688(21)44524(1)3434344k k k k k k k k k ⎡⎤---+-⋅++==⎢⎥+++⎣⎦解得.12k =±又因为，所以.12k >-12k =所以存在直线满足条件，其方程为.l 12y x =13．（2020·广西北海市·高三一模（文））已知抛物线的准线为2:2(0)C x py p =>，焦点为F .1y =-（1）求抛物线C 的方程；（2）设过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且抛物线在A ，B 两点处的切线分别交x 轴于P ，Q 两点，求的最小值.||||AP BQ ⋅【答案】（1）；（2）2.24x y =【分析】（1）因为抛物线的准线为，12py =-=-解得，2p =所以抛物线的方程为.24x y =（2）由已知可判断直线l 的斜率存在，设斜率为k ，由（1）得，则直线l 的方程为.(0,1)F 1y kx =+设，，211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭由消去y ，得，214y kx x y =+⎧⎨=⎩2440x kx --=所以，.124x x k +=124x x =-因为抛物线C 也是函数的图象，且，214y x =12y x '=所以直线PA 的方程为.()2111142x y x x x -=-令，解得，所以，0y =112x x =11,02P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭从而||AP =同理得||BQ =所以，||||AP BQ ⋅==，=，==当时，取得最小值2.0k =||||AP BQ ⋅14．（2020·广东东莞市·高三其他模拟（文））在平面直角坐标系中，已知两定点xOy，，动点满足.()2,2A -()0,2B P PAPB=（1）求动点的轨迹的方程；P C （2）轨迹上有两点，，它们关于直线：对称，且满足C E F l 40kx y +-=，求的面积.4OE OF ⋅=OEF ∆【答案】（1）动点的轨迹是圆，其方程为（2）P ()()22228x y -+-=【分析】（1）设动点的坐标为，则.P (),xyPAPB==整理得，故动点的轨迹是圆，且方程为.()()22228x y -+-=P ()()22228x y -+-=（2）由（1）知动点的轨迹是圆心为，半径的圆，圆上两点，关P ()2,2C R =E F 于直线对称，由垂径定理可得圆心在直线：上，代入并求得l ()2,2l 40kx y +-=1k =，故直线的方程为.l 40x y +-=易知垂直于直线，且.OC l OC R=设的中点为，则EF M ()()OE OF OM ME OM MF⋅=+⋅+()()OM ME OM ME=+⋅- ，又，.224OM ME =-= 22222OM OC CM R CM =+=+ 222ME R CM =-∴，，∴，.224CM = CM =ME==2FE ME == 易知，故到的距离等于，∴OC FE :O FE CM 12OEF S ∆=⨯=15．（2020·全国高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆xOy 的长轴长为6，且经过点，为左顶点，为下顶点，椭22221(0)x y a b a b +=>>3(2Q A B 圆上的点在第一象限，交轴于点，交轴于点.P PA y C PB x D （1）求椭圆的标准方程（2）若，求线段的长20OB OC +=PA （3）试问：四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由ABCD 【答案】（1）；（2；（3）是定值，6.22194x y +=【分析】（1）解：由题意得，解得.26a =3a =把点的坐标代入椭圆C 的方程，得Q 22221x y a b +=229314ab +=由于，解得3a =2b =所以所求的椭圆的标准方程为.22194x y +=（2）解：因为，则得，即，20OB OC += 1(0,1)2OC OB =-=(0,1)C 又因为，所以直线的方程为.(3,0)A -AP 1(3)3y x =+由解得(舍去)或，即得221(3)3194y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩30x y =-⎧⎨=⎩27152415x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2724,1515P ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以||AP ==即线段AP （3）由题意知，直线的斜率存在，可设直线.PB 2:23PB y kx k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭令，得，0y =2,0D k ⎛⎫⎪⎝⎭由得，解得(舍去)或222194y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()2249360k x kx +-=0x =23649kx k =+所以，即2218849k y k -=+22236188,4949k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭于是直线的方程为，即AP 22218849(3)36314k k y x k k -+=⨯+++2(32)(3)3(32)k y x k -=++令，得，即，0x =2(32)32k y k -=+2(32)0,32k C k -⎛⎫ ⎪+⎝⎭所以四边形的面积等于ABDC 1||||2AD BC ⨯⨯122(32)13212326232232k k k k k k k -+⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅⋅= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭即四边形的面积为定值.ABDC 16．（2020·江西南昌市·南昌二中高三其他模拟（文））已知抛物线的()220y px p =->焦点为，轴上方的点在抛物线上，且，直线与抛物线交于，F x ()2,M m -52MF =l A 两点（点，与不重合），设直线，的斜率分别为，.B A B M MA MB 1k 2k （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当时，求证：直线恒过定点并求出该定点的坐标.122k k +=-l 【答案】（Ⅰ）；22y x =-（Ⅱ）见解析.（Ⅰ）由抛物线的定义可以，5(2)22p MF =--=,抛物线的方程为.1p ∴=22y x =-（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点的坐标为M (2,2)-当直线斜率不存在时，此时重合，舍去. l ,A B 当直线斜率存在时，设直线的方程为l l y kx b=+设，将直线与抛物线联立得：()()1122,,,A x y B x y l 2222(22)02y kx bk x kb x b y x=+⎧+++=⎨=-⎩212122222,kb b x x x x k k --+==①又，12121222222y y k k x x --+=+=-++即，()()()()()()1221122222222kx b x kx b x x x +-+++-+=-++，()()()()12121212121222248248kx x k x x b x x x x b x x x x ++++-++-=--+-，()1212(2+2)(2+2)40k x x k b x x b ++++=将①代入得，222(1)0b b k b ---+=即(1)(22)0b b k +--=得或1b =-22b k =+当时，直线为，此时直线恒过;1b =-l 1y kx =-(0,1)-当时，直线为，此时直线恒过（舍去）22b k =+l 22(2)2y kx k k x =++=++(2,2)-所以直线恒过定点.l (0,1)-。

2021届高考二轮复习数学专题精品试卷专题十解析几何教师版(含答案)

位置关系
外离
外切
公共点个数
，则相交
内切
内含
，，的关系公切线条数 3．圆锥曲线及其性质（1）椭圆的标准方程及几何性质
标准方程
图形
焦点坐标
顶点坐标
焦点在轴上
焦点在轴上
，
，
，
，
，
,
，
长轴
短轴
焦距
范围
长轴
，是长半轴的长
短轴
，是短半轴的长
焦距
，是半焦距
，
，
离心率（2）双曲线的标准方程及几何性质
设斜率为
的直线与圆锥曲线相交于
两点，
，
，
一、选择题．
1．已知直线
和
互相平行，则实数等于（）
A．或 3 B． C． D．1 或【答案】A
【解析】∵两条直线
和
互相平行，
∴
，解得
或
．
若
，则
与
平行，满足题意；
若
，则
与
平行，满足题意，
故选 A．
【点评】本题主要考查了直线平行的条件，属于基础题．
2．直线
如果两条直线，的斜率存在，设为，，则有
；
当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为时，
．
（3）两条直线的交点的求法
直线：
，：
，
则与的交点坐标就是方程组（4）三种距离公式
的解．
①
，
两点之间的距离：
．
②点
到直线：
的距离：
．
③平行线
与
（5）圆的定义及方程

高考数学压轴专题人教版备战高考《平面解析几何》难题汇编及解析

数学高考《平面解析几何》试题含答案一、选择题1．如图，设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是（） A ．12B ．23C ．13D ．14【答案】C 【解析】如图，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为△ABC 的中位线，于是△OFM ∽△AFB ，且OF OM 1FAAB2==，即c c a -=12可得e=c a =13．故答案为13．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.2．已知直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，直线l 经过2:2(0)C y px p =>的焦点，M 为C 上的一个动点，若点N 的坐标为()4,0，则MN 的最小值为（） A ．3B 3C ．2D ．22【答案】A 【解析】【分析】联立直线与抛物线方程利用弦长公式列方程，结合直线过抛物线的焦点，解方程可得2p =，再利用两点的距离公式，结合二次函数配方法即可得结果.【详解】由22224(42)02y x bx b p x b y px=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 121222,24b p b x x x x +=-=-，因为直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，125x =-，所以()22222512424b p b ⎡⎤-⎛⎫=+-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（1）又直线l 经过C 的焦点，则,22b pb p -=∴=- （2）由（1）（2）解得2p =，故抛物线方程为24y x =.设()20000,,4M x y y x ∴=.则()()()2222200000||444212MN x y x x x =-+=-+=-+，故当02x =时，min ||MN = 故选：A. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了弦长公式以及配方法的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.3．抛物线y 2＝8x 的焦点为F ,设A ,B 是抛物线上的两个动点, AF BF +=, 则∠AFB 的最大值为（） A ．3π B ．34π C ．56π D ．23π 【答案】D 【解析】【分析】设|AF |＝m ,|BF |＝n ,再利用基本不等式求解mn 的取值范围,再利用余弦定理求解即可. 【详解】设|AF |＝m ,|BF |＝n ,∵AF BF +=,AB ≥∴213mn AB ≤, 在△AFB 中,由余弦定理得22222()2cos 22m n ABm n mn AB AFB mnmn+-+--∠==212213222AB mnmn mn mn mn --=≥=-∴∠AFB 的最大值为23π. 故选：D 【点睛】本题主要考查了抛物线的焦半径运用,同时也考查了解三角形与基本不等式的混合运用,属于中等题型.4．已知点(,)P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，,A B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（） A ．2 BC．D ．4【答案】A 【解析】圆22:20C x y y ++=即22(y 1)1x ++=,表示以C (0,-1)为圆心，以1为半径的圆。

高中数学一对一辅导：平面解析几何难题大全及答案

直线 x＝3 上，则顶点 C 的轨迹方程是________．
【解析】 (1)依题意|F1F2|＝6，|PF2|－|PF1|＝2，因为|PF1|∶|PF2|＝3∶4，所以
1 |PF1|＝6，|PF2|＝8，所以等腰三角形 PF1F2 的面积 S＝2×8×
62－822＝
8 5.
(2)如图，△ABC 与内切圆的切点分别为 G，E，F.
高中数学一对一辅导：平面解析几何难题大全及答案关于高中数学一对一辅导平面解析几何从 3 个方面进行详细讲解，通过 4 个经典习题详细介绍平面解析几何选择题答题技巧并以视频重点介绍。
一、平面解析几何知识
1．双曲线的定义条件
平面内的动点 M 与平面内的两个定点 F1，F2
||MF1|－|MF2||＝2a 2a<|F1F2|
还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
2、双曲线的标准方程 y2 x2
(2017·东北三校联合模拟)与椭圆 C：＋＝1 共焦点且过点(1， 3)的双曲 16 12
线的标准方程为( )
y2 A．x2－＝1
3
x2 B．y2－＝1
1 2
y2 x2 C. 2 － 2 ＝1
y2 D. －x2＝1
类型
解读
求方程
由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定 2a， 2b 或 2c 的值，从而求出 a2，b2 的值，写出双曲线方程
解焦点三角形
利用双曲线上点 M 与两焦点的距离的差||MF1|－|MF2||＝2a(其中 2a<|F1F2|)与正弦定理、余弦定理，解决焦点三角形问题
[注意] 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，

备战2021高考专题18 解析几何综合(教师版含解析)

专题18 解析几何综合1．(2020届湖南省怀化市高三第一次模拟)若抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，O 是坐标原点，M 为抛物线上的一点，向量FM 与x 轴正方向的夹角为60°，且OFM △的面积为3. (1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 的准线与x 轴交于点A ，点N 在抛物线C 上，求当||||NA NF 取得最大值时，直线AN 的方程. 【答案】(1) 24y x =；(2) 1y x =+或1y x =--【解析】(1))设M 的坐标为(),M x y ，(如图)因为向量FM 与x 轴正方向的夹角为60°,,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以22p MF x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据抛物线定义得：2p MF x =+，即222p p x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解得：32p x =即2MF p =，则211sin 2sin122232034OMFp SOF MF OFM p p ︒==⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯= 解得：2p =即抛物线C 的方程为：24y x =；(2) 设N 的坐标为(),N a b ，()1,0A -，则()()22221,1NA a b NFa b =++=-+，因为点N 在抛物线C ：24y x =上，即有：24b a =，所以()()222211461NA a b a a a a =++=++=++，()222121NF a b a a =-+=++，因此22226161212|1|||a a a a NA NF a a a a ++++=++=++ 24441112121222a a aa a ++++≤++=+=+= 当且仅当1a a=即1a =时等号成立，此时()1,2N ±，()1,0A -，所以直线AN 的方程为： 1y x =+或1y x =--2．(2020届陕西省汉中市高三质检)如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的长轴长为4，点A 、B 、C 为椭圆上的三个点，A 为椭圆的右端点，BC 过中心O ，且2BC AB =，3ABC S ∆=．(1)求椭圆的标准方程；(2)设P 、Q 是椭圆上位于直线AC 同侧的两个动点(异于A 、C )，且满足PBC QBA ∠=∠，试讨论直线BP 与直线BQ 斜率之间的关系，并求证直线PQ 的斜率为定值.【答案】(1)22143x y +=；(2)详见解析.【解析】(1)利用题中条件先得出a 的值，然后利用条件2BC AB =，3ABC S ∆=结合椭圆的对称性得到点B 的坐标，然后将点B 的坐标代入椭圆方程求出b 的值，从而确定椭圆的方程；(2)将条件PBC ∠=QBA ∠得到直线BP 与BQ 的斜率直线的关系(互为相反数)，然后设直线BP 的方程为()312y k x -=-，将此直线的方程与椭圆方程联立，求出点P 的坐标，注意到直线BP 与BQ 的斜率之间的关系得到点Q 的坐标，最后再用斜率公式证明直线PQ 的斜率为定值. (1)2BC AB =，1322OAB ABC S S ∆∆∴==，又AOB ∆是等腰三角形，所以31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，把B 点代入椭圆方程22214x y b+=，求得23b =，所以椭圆方程为22143x y +=；(2)由题易得直线BP 、BQ 斜率均存在，又PBC QBA ∠=∠，所以BP BQ k k =-，设直线()3:12BP y k x -=-代入椭圆方程22143x y +=，化简得()2223348412302kx k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，其一解为1，另一解为22412334P k k x k --=+，可求221263342P k k y k --=++，用k -代入得22412334Q k k x k +-=+，221263342Q k k y k -+=++， 12P Q PQ P Qy y k x x -∴==-为定值. 3．(2020届四川省泸州市高三二诊)抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点P 在C 上，若PF ⊥x 轴，且△POF (O为坐标原点)的面积为1. (1)求抛物线C 的方程；(2)若C 上的两动点A ，B (A ，B 在x 轴异侧)满足32⋅=OA OB ，且|F A |+|FB |＝|AB |+2，求|AB |的值. 【答案】(1)24y x =.(2)480 【解析】(1)由题知P 点的横坐标为2p ，代入抛物线方程得，y 2＝2p 2p⨯，解得y ＝p 或﹣p ，所以P (2p ，﹣p )或(2p ，p )，△POF 面积为122pp ⨯⨯=1，解得p ＝2，所以抛物线C 方程为y 2＝4x ，S △OFP 21224p pp =⨯⨯=. (2)设直线AB 方程为x ＝my +n ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)联立抛物线方程得y 2﹣2my ﹣2n ＝0，y 1+y 2＝2m ，y 1y 2＝﹣2n ，|AB |==① 因为|F A |+|FB |＝|AB |+2，所以x 1+1+x 2+1＝|AB |+2，即x 1+x 2＝|AB |， my 1+n +my 2+n ＝|AB |，m (y 1+y 2)+2n ＝|AB |，2m 2+2n ＝|AB |②由①②得2m 2+2n =m 2＝n 2﹣2n ，因为OA •OB =32，所以x 1x 2+y 1y 2＝32，所以221244y y +y 1y 2＝32，(y 1y 2)2+16y 1y 2﹣16×32＝0，(﹣2n )2+16(﹣2n )﹣16×32＝0，n 2﹣8n ﹣128＝0，解得n ＝﹣8(舍)或16，所以|AB |＝2m 2+2n ＝2(n 2﹣2n )+2n ＝2n 2﹣2n ＝480.4．(2020届陕西省咸阳市高三第二次模拟)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且其离心率为12，过坐标原点O 作两条互相垂直的射线与椭圆C 分别相交于M ，N 两点. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在圆心在原点的定圆与直线MN 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22143x y +=(2)存在；定圆22127x y +=【解析】(1)椭圆C 经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴221914a b +=，又∵12c a =，解之得24a =，23b =.所以椭圆C 的方程为22143x y +=；(2)当直线MN 的斜率不存在时，由对称性，设()00,M x x ，()00,N x x -.∵M ，N 在椭圆C 上，∴2200143x x +=，∴20127x =.∴O 到直线MN的距离为07d x ==，所以22127x y +=. 当直线MN 的斜率存在时，设MN 的方程为y kx m =+，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223484120k x kmx m +++-=.设()11,M x y ，()22,N x y ，则122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+. ∵OM ON ⊥，∴12120x x y y +=，∴()()()()221212121210x x kx m kx m k x x km x x m +++=++++=.∴()22222224128103434m k m k m k k-+⋅-+=++，即()227121m k =+. ∴O 到直线MN的距离为7d ===，故存在定圆22127x y +=与直线MN 总相切. 5．(2020届山西省太原市高三模拟)椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，过2F 的直线1l 交E 于,A B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线2l ，又知点(2,0)H ，直线BH 记为3l ，2l 与3l 交于点C ．设22AF F B λ→→=，已知当2λ=时，1||AB BF =． (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)求证：无论λ如何变化，点C 的横坐标是定值，并求出这个定值．【答案】(Ⅰ)22132x y+=；(Ⅱ)定值为3【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为22221x ya b+=，其中221b a=-，由已知，当2λ=时，不妨设2||BF m=，则2||2AF m=，又1||AB BF=，所以13BF m=，由椭圆的定义得24a m=，从而12||||2AF AF m==，此时点A在y轴上，不妨设(0,)A b，从而由已知条件222AF F B=可得(10,0)2(1,)B Bb x y--=-，解得3,22B Bbx y==，故3(,)22bB，代入椭圆方程，解得23a=，所以2212b a=-=，故所求椭圆方程为22132x y+=.(Ⅱ)设直线AB的方程为1x my=+，1122(,),(,)A x yB x y，将1x my=+代入椭圆22236x y+=中，得222(1)36my y++=，即()2223440m y my++-=，12122244,2323my y y ym m--+==++，所以1212y ymy y+=，由已知，(2,0)H，直线BH的斜率222112221211BHy y yk yy yx myy====+---，所以直线BH的方程为1(2)y y x=-，而直线2l的方程为1y y=，代入1(2)y y x=-，解得3x=，故点C的横坐标是定值3.6．(2020届江西省九江市高三第二次模拟)过点(1,0)A 的动直线l 与y 轴交于点(0,)T t ，过点T 且垂直于l 的直线l '与直线2y t =相交于点M . (1)求M 的轨迹方程；(2)设M 位于第一象限，以AM 为直径的圆O '与y 轴相交于点N ，且30NMA ∠=︒，求AM 的值. 【答案】(1)24y x =(2)4 【解析】(1)∵(1,0)A ，(0,)T t ，当0t =时，M 的坐标为(0,0)当0t ≠时，010l t k t -==--，∴11l l k k t '=-=，∴l '的方程为1y x t t=+ 由2y t =得2x t =，()2,2M t t 验证当0t =时，也满足()2,2M t t∴M 的坐标满足方程24y x =，即M 的轨迹方程为24y x =(2)作1O O y '⊥轴于1O ，1MM y ⊥轴于1M ，则()1112O O MM OA '=+ 又A 为抛物线24y x =的焦点，∴112O O MA '=，故圆O '与y 轴相切于点N ∵30NMA ∠=︒，∵60NO A '∠=︒，∴3AM k =AM 的方程为3(1)y x =-联立23(1)4y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消去y 整理得231030x x -+=，解得3x =或13x =(舍)，即03x =∵A 为抛物线24y x =的焦点，∴014AM x =+=7．(2020届湖南省衡阳市高三一模)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，左右焦点分别为1F 、2F ，A 为椭圆上一点，1AF 与y 轴交于点B ，2||AB F B =，||4OB =. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线1:1l x my =+与椭圆C 相交于M 、N 两点，过M 作与y 轴垂直的直线2l ，点K 坐标为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，试问直线NK 与直线2l 交点的横坐标是否为定值，请说明理由.【答案】(1)2212x y +=(2)横坐标为定值2，详见解析【解析】(1)连接2AF ，由题意得21||AB F B F B ==，所以BO 为12F AF 的中位线，又因为12BO F F ⊥，所以212AF F F ⊥，且222||b AF OB a ===又2c e a ==，222a b c =+，得22a =，21b =，故所求椭圆方程为2212x y +=.(2)设()11,M x y ，()22,N x y 由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my ++-= ∴12122221,22m y y y y m m --+==++ 直线NK 的方程：223322y y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，令1y y =，则有()121221222222313123222222m y x y my y y y y m x y y y ⎛⎫⎛⎫---+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=+==22222222m my m m y -++++==∴NK 与2l 交点的横坐标为定值2.8．(2020届湖南省常德市高三模拟)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1(1,0)F -为其左焦点，31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)若A B 、是椭圆C 上不同的两点，以AB 为直径的圆过原点O ，求||AB 的最大值.【答案】(1)22143x y +=；【解析】(1)设椭圆的右焦点为2(1,0)F ，根据椭圆的定义：1224PF PF a +==， 2a ∴=又1c =，b ∴=∴椭圆C 的方程为22143x y+=. (2)当直线AB 的斜率不存在时，由对称性可知45AOx BOx ∠=∠=︒，不妨设()00,A x y ，则2200143x y +=，0x =||AB =当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2224384120k x kmx m +++-=，由()()2222644434120k m k m ∆=-+->，得22430k m +->，()*由韦达定理得122843km x x k -+=+，212241243m x x k -=+，因为以AB 为直径的圆过原点O ，所以0OA OB ⋅=，即()()2222121212122712121034m k x x y y k x x km x x m k--+=++++==+，即2212127k m +=，满足()*式.设AB 的中点是()00,P x y ，则12024234x x km x k+-==+，022433434km my k m k k -=+=++，||2||AB OP ====，()()221691212kk +++≤=221691212k k +=+时等号成立，即2k=±，<||AB . 9．(2020届湖北省宜昌市高三调研)已知抛物线2:8C x y =和直线:2l y kx =+，直线l 恒过圆P 的圆心，且圆P 上的点到直线l 的最大距离为2. (1)求圆P 的方程；(2)直线l 与抛物线C 和圆P 都相交，且四个交点自左向右顺次记为A 、B 、C 、D ．如果16CD AB =，求直线l 的方程.【答案】(1)22(2)4x y +-= (2)3480x y -+= 【解析】(1)直线2y kx =+过定点()0,2，∵圆心()0,2P . 因为圆P 上的点到直线的最大距离为2，所以2r ，所以圆P 的方程为22(2)4x y +-=. (2)由28x y =知()0,2P 为抛物线焦点由图和16CD AB =，知0k >.()222884402x yy k y y kx ⎧=⇒-++=⎨=+⎩，设()11,A x y ，()22,D x y ，则21284y y k +=+，124y y .由拋物线的定义得22CD DP y =-=，12AB AP y =-= 所以211616CD AB y y =⇒=，所以112y =，28y =，从而有218482k +=+ 所以293164k k =⇒=.所以直线l 的方程为3480x y -+=. 10．(2020届湖北省高三模拟)已知椭圆：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)过点E 21)，其左、右顶点分别为A ，B ，左、右焦点为F 1，F 2，其中F 1(2-，0)． (1)求椭圆C 的方程：(2)设M (x 0，y 0)为椭圆C 上异于A ，B 两点的任意一点，MN ⊥AB 于点N ，直线l ：x 0x +2y 0y ﹣4＝0，设过点A 与x 轴垂直的直线与直线l 交于点P ，证明：直线BP 经过线段MN 的中点．【答案】(1)22142x y +=；(2)证明详见解析．【解析】(1)由题意知，2a ＝|EF 1|+|EF 2|22(22)1(22)1=++-+=4，则a ＝2，c =b =故椭圆的方程为22142x y +=，(2)由(1)知A (﹣2,0)，B (2,0)，过点A 且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝﹣2，结合方程x 0x +2y 0y ﹣4＝0，得点P (﹣2,002x y +)，直线PB 的斜率为020002224x y x k y +-+==---，直线PB 的方程为()00224x y x y +=--，因为MN ⊥AB 于点N ，所以N (x 0,0)，线段MN 的中点坐标(002yx ，)，令x ＝x 0，得()20000024244x x y x y y +-=--=，因为220024x y +=，所以220000042442x y y y y y -===，即直线BP 经过线段MN 的中点．11．(2020届河南省郑州市高三第二次质量预测)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为，离心率为2． (1)求椭圆C 的标准方程； (2)直线l 平行于直线by x a=，且与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，若AOB ∠为钝角，求直线l 在x 轴上的截距m 的取值范围．【答案】(1)22182x y +=；(2)(-⋃【解析】(1)由题意可得2b =，所以b =c e a ==a = 所以椭圆C 的标准方程为22182x y +=．(2)由于直线l 平行于直线b y x a =，即12y x =，设直线l 在y 轴上的截距为n ，所以l 的方程为1(0)2y x n n =+≠．联立221,2182y x n x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222240x nx n ++-=，因为直线l 与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，所以()22(2)4240n n ∆=-->，解得22n -<<．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122x x n +=-，21224x x n =-．因为AOB ∠为钝角等价于0OA OB ⋅<，且0n ≠，所以121212121122OA OB x x y y x x x n x n ⎛⎫⎛⎫⋅=+=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()22212125524(2)04242n nx x x x n n n n =+++=-+-+<，即22n <，且0n ≠，所以直线l 在y 轴上的截距n的取值范围：(⋃．因为直线l 在x 轴上的截距2m n =-，所以m的取值范围是：(-⋃．12．(2020届广西柳州市高三第一次模拟)已知圆E ： 221924x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭经过椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点12,F F ，且与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且1,,F E A 三点共线，直线l 交椭圆C 于M ， N 两点，且MN OA λ=(0λ≠).(1)求椭圆C的方程；(2)当三角形AMN的面积取得最大值时，求直线l的方程.【答案】(1)22142x y+=；(2)262024x y-+±=．【解析】(1)如图，圆经过椭圆的左、右焦点，，所以，解得,因为1F，E，三点共线，所以为圆E的直径，所以,因为，所以.所以,由，得．所以椭圆的方程为. (2)由(1)得，点的坐标为，因为,所以直线的斜率为，设直线l的方程为,联立，得,设，由，得．因为所以, 又点到直线l 的距离为，.当且仅当，即时，等号成立,所以直线l 的方程为或.13．(2020届广东省湛江市模拟)已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的左右焦点，椭圆与y 轴正半轴交于点B ，直线1BF 32F 到直线1BF 3． (1)求椭圆C 的方程；(2)P 为椭圆C 上任意一点，过1F ，2F 分别作直线1l ，2l ，且1l 与2l 相交于x 轴上方一点M ，当123F MF π∠=时，求P ，M 两点间距离的最大值．【答案】(1)2214x y +=432【解析】(1)由题意，可知1(,0)F c -，2(,0)F c ，(0,)B b ．∴33b c =①． ∵直线1BF 的方程为1x yc b+=-，即0bx cy bc -+=． ∴由题意有23bca=②．又222a b c =+③．由①②③得2a =，1b =，3c =∴椭圆C 的方程为2214x y +=．(2)由(1)可知：1(F，2F ．设()00,P x y ，(,)M x y 且0y >．则当1l ，2l 都不垂直于x轴时，1MF k =，2MF k =．∵123F MF π∠=，∴123MF x MF x π∠-∠=．∴1221tan31MF MF MF MF k k k k π-=⋅+．化简，得22(1)4(0)x y x y +-≠>=．当1l 或2l 垂直于x轴时，得(M ，也满足上式． ∴M 点的轨迹方程为22(1)4(0)x y y =+->．∴当P 与圆心(0,1)距离最大时，P ，M 两点间距离取得最大值．==又∵011y -≤≤，∴03<≤． ∴P ，M 2． 14．(2020届广东省东莞市高三模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:11N x y -+=，圆心()1,0N ，点E 在直线1x =-上，点P 满足//PE ON ，NP NE EP EN ⋅=⋅，点P 的轨迹为曲线M ． (1)求曲线M 的方程．(2)过点N 的直线l 分别交M 于点A 、B ，交圆N 于点C 、D (自上而下)，若AC 、CD 、DB 成等差数列，求直线l 的方程．【答案】(1)24y x =；(2)1)y x =-．【解析】(1)设(),P x y ，由//PE ON ，得()1,E y -，则(1,)NP x y =-，(2,)NE y =-，(1,0)EP x =+，(2,)EN y =-，由NP NE EP EN ⋅=⋅，得()()()()1,2,1,02,x y y x y --=⋅+-⋅，即22222x y x -++=+，化简得：24y x =，所以点P 的轨迹曲线M 的方程为：24y x =； (2)由AC 、CD 、DB 成等差数列，得24AC DB CD +==，所以弦长6AB AC CD DB =++=， ①当斜率不存在时，直线l 的方程为：1x =，交点()1,2A ，()1,2B -，此时46AB =≠，不符合题意；②当斜率存在时，设直线l 的方程为：()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 得：()2222240k x k x k -++=，∴12242x x k+=+，121=x x ，显然()21610k ∆=+>恒成立，由抛物线的定义可知，1226AB x x =++=，∴2446k+=，解得：k =l 的方程为1)y x =-． 15．(2020届甘肃省兰州市高三诊断)已知点F 为椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的一个焦点，点A 为椭圆的右顶点，点B 为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F 距离的最大值为3，最小值为1. (1)求椭圆的标准方程；(2)若M 、N 在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM ∥直线BN ，直线AN 、BM 的斜率分别为k 1和k 2，求证：k 1•k 2＝e 2﹣1(e 为椭圆的离心率).【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析【解析】 (1)由题意可知，31a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，∴b 2＝a 2﹣c 2＝3，∴椭圆的标准方程为：22143x y +=；(2)由(1)可知，A (2，0)，B (0，，设直线AM 的斜率为k ，则直线BN 的斜率也为k ，故直线AM 的方程为y ＝k (x ﹣2)，直线BN 的方程为y ＝kx由()2234122x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得：(3+4k 2)x 2﹣16k 2x +16k 2﹣12＝0， ∴221612234M k x k -=+，∴228634Mk x k -=+，21234M k y k -=+， ∴22286123434k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，，由223412x y y kx ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得：()22340k x +-=，∴234N x k=+，2234N y k -=+，∴N ⎝⎭，∴2143k k -==)()2222221243348624334kk k k k k k --++==--+， ∴k 1k2243k-=•)()224334243k k -+=--，又∵12c e a ==， ∴k 1•k 2＝e 2﹣1.16．(2020届安徽省皖南八校高三第三次联考)已知点1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点，椭圆上一点P 满足1PF x ⊥轴，215PF PF =，12F F =(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，当1ABF 的内切圆面积最大时，求直线l 的方程.【答案】(1)2213x y +=；(2)y x =-y x =-+.【解析】(1)因为1PF x ⊥轴，所以122PF F π∠=，则2221122PF F F PF +=，由215PF PF =，12FF =2PF =1PF =122F F c==由椭圆的定义知2a== a ∴=2221b a c =-=， ∴椭圆C 的标准方程为2213x y +=. (2)要使1AF B △的内切圆的面积最大，需且仅需其1AF B△的内切圆的半径r 最大. 因为()1F ，)2F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，易知，直线l 的斜率不为0，设直线:lx ty =+2213x ty x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得()22310t y ++-=，故12y y +=，12213y y t =-+；所以11212121212AF BF F A F F BSS SF F y y=+=-===，又()1111114222AF B S AF F BAB r a r r=++⋅=⋅⋅=⋅=，故23t=+，即，12r ==≤；=，即1t =±时等号成立，此时内切圆半径取最大值为12， ∴直线l 的方程为y x =-y x =-17．(2020届安徽省合肥市高三第二次质检)已知圆22(4)(4)25x y -+-=经过抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点F ，且与抛物线E 的准线l 相切. (1)求抛物线E 的标准方程；(2)设经过点F 的直线m 交抛物线E 于,A B 两点，点B 关于x 轴的对称点为点C ，若ACF 的面积为6，求直线m 的方程.【答案】(1)y 2＝4x ．(2)2x ±3y ﹣2＝0．【解析】(1)由已知可得：圆心(4，4)到焦点F 的距离与到准线l 的距离相等，即点(4，4)在抛物线E 上， ∴16＝8p ，解得p ＝2．∴抛物线E 的标准方程为y 2＝4x ．(2)由已知可得，直线m 斜率存在，否则点C 与点A 重合．设直线m 的斜率为k (k ≠0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x ﹣1)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得k 2x 2﹣2(k 2+2)x +k 2＝0．∴12242x x k +=+，x 1x 2＝1．由对称性可知，C (x 2，﹣y 2)，∴|AF |＝x 1+1，|CF |＝x 2+1．设直线m (AB )的倾斜角为α，则tanα＝k ， ∴()222222222211sin cos tan k sin AFC sin sin sin cos sin cos tan k αααπααααααα∠=-=====+++， ∴()()()121212214112121AFC k S x x sin x x x x k k α⎡⎤=++=+++⋅=⎣⎦+．由已知可得46k =，解得23k =±． ∴直线m 的方程为()213y x =±-，即2x ±3y ﹣2＝0．。

解析几何_存在性问题(含答案)

解析几何——存在性问题1、已知椭圆1:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3e =，过1C 的左焦点1F 的直线:20l x y -+=被圆2222:(3)(3)(0)C x y r r -+-=>截得的弦长为.（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设1C 的右焦点为2F ，在圆2C 上是否存在点P ，满足2122a PF PF b=,若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.[解]：（1）因为直线l 的方程为:20l x y -+=，令0y =，得2x =-，即1(2,0)F -…1分 ∴2c =，又∵c e a == 26a = ， 2222b a c =-=∴ 椭圆1C 的方程为221:162x y C +=.…４分（2）存在点P ，满足2122a PF PF b=∵ 圆心2(3,3)C 到直线:20l x y -+=的距离为d ==，又直线:20l x y -+=被圆222:66310C x y x y m +--++=截得的弦长为∴由垂径定理得2r ===，故圆2C 的方程为222:(3)(3)4C x y -+-=.…………８分设圆2C 上存在点(,)P x y ，满足2122a PF PF b=即123PF PF =，且12,FF 的坐标为12(2,0),(2,0)F F -，= 整理得2259()24x y -+=，它表示圆心在5(,0)2C ，半径是32的圆。

∴2CC ==………………１２分故有2332222CC -<<+，即圆C 与圆2C 相交，有两个公共点。

∴圆2C 上存在两个不同点P ，满足2122a PF PF b =.………１４分2、平面直角坐标系xOy 中，椭圆∑：12222=+by a x （0>>b a ）的离心率为36，焦点为1F 、2F ，直线l ：02=-+y x 经过焦点2F ，并与∑相交于A 、B 两点．⑴求∑的方程；⑵在∑上是否存在C 、D 两点，满足AB CD //，D F C F 11=？若存在，求直线CD 的方程；若不存在，说明理由．[解]：依题意)0 , 2(2F ，2=c ……2分，由36==a c e 得6=a ……3分 222=-=c a b ，椭圆∑的方程为12622=+y x ……4分 ⑵（方法一）若存在满足条件的直线CD ，∵AB CD //，∴1-==AB CD k k ，设直线CD 的方程为m x y +-=……5分由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+m x y y x 12622……6分，得06)(322=-+-+m x x ……7分 0)63(6422=-+-m mx x ，01296)63(44)6(222>-=-⨯⨯--=∆m m m （*）设) , (11y x C ，) , (22y x D ，则2321mx x =+，463221-=m x x ……9分由已知D F C F 11=，若线段CD 的中点为E ，则CD E F ⊥1，111=-=CDE F k k ………10分 )0 , 2(1-F ，)2, 2(2121y y x x E ++即)4 , 43(mm E ，由124341=+=m mk E F ，解得4-=m ……13分4-=m 时，09612962<-=-m ，与（*）矛盾，∴不存在满足条件的直线CD ……14分（方法二）假设存在) , (11y x C ， ) , (22y x D ，线段CD 的中点为) , (00y x E ，则2y y ,2210210y x x x +=+=，12121-=--x x y y ……5分由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12612622222121y x y x 两式相减得：0))((21))((6121212121=+-++-y y y y x x x x ……7分，代入、化简得：03100=-y x 由已知D F C F 11=，则CD E F ⊥1，111=-=CD E F k k ……9分由12001=+=x y k E F 得，200+=x y ，由①②解得1,300-=-=y x ，即)1,3(--E ……11分直线CD 的方程为：)4(+-=x y ，联立⎪⎩⎪⎨⎧--==+412622x y y x 得 0422442=++x x ……13分 ∵0964244242<-=⨯⨯-=∆，方程（组）无解，∴不存在满足条件的直线CD ……14分3、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点),1,5()3,1(N M 、- 若点C 满足),()1(R t ON t OM t OC ∈-+= 点C 的轨迹与抛物线：x y 42=交于A 、B 两点．(1)求证：⊥；(2)在x 轴上是否存在一点),0,(m P 使得过点P 直线交抛物线于D 、E 两点，并以该弦DE 为直径的圆都过原点, 若存在，请求出m 的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由)()1(R t t t ∈-+=知点C 的轨迹是M 、N 两点所在的直线，故点C 的轨迹方程是)1(4)3(13-⋅--=+x y , 即4-=x y 由⎩⎨⎧=-=xy x y 442016124)4(22=+-⇒=-⇒x x x x 1621=∴x x , 1221=+x x 1616)(4)4)(4(212121-=++-=--=∴x x x x x x yy 02121=+∴y y x x , 故.OB OA ⊥………..6分(2)法一：存在点),0,4(P 满足条件。

解答题针对训练：解析几何(原卷版+解析版)

专题五解答题针对训练之解析几何1．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （0，﹣3），右焦点为F ，且|OA |＝|OF |，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC →=OF →，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．2．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k （k ＞0）的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．3．已知曲线C：y=x22，D为直线y=−12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点．（2）若以E（0，52）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．4．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的方程；（2）过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，则△F1AB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．5．已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M（1，m ）（m ＞0）．（1）证明：k ＜−12；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →+FA →+FB →=0→，证明：2|FP →|＝|FA →|+|FB →|．6．已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2＝1（a ＞1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG →•GB →=8．P 为直线x ＝6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点．7．双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|．（1）求C的离心率；（2）若B在第一象限，证明：∠BF A＝2∠BAF．8．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=12，点A（b，0），点B、F分别为椭圆的上顶点和左焦点，且|BF|⋅|BA|=2√6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于G，H两点（G在M，H之间）设直线l的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m的取值范围？如果不存在，请说明理由．9．设D 是圆O ：x 2+y 2＝16上的任意一点，m 是过点D 且与x 轴垂直的直线，E 是直线m 与x 轴的交点，点Q 在直线m 上，且满足2|EQ |=√3|ED |．当点D 在圆O 上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程．（2）已知点P （2，3），过F （2，0）的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，交直线x ＝8于点M ．判定直线P A ，PM ，PB 的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由．10．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0），圆E ：（x ﹣3）2+y 2＝1．（Ⅰ）F 是抛物线C 的焦点，A 是抛物线C 上的定点，AF →=（0，2），求抛物线C 的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，过点F 的直线l 与圆E 相切，设直线l 交抛物线C 于P ，Q 两点，则在x 轴上是否存在点M 使∠PMO ＝∠QMO （O 为坐标原点）？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．11．设椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若椭圆E的离心率为√22，△ABF2的周长为4√6．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线．12．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)离心率e=√32，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l过椭圆C的右焦点，并与椭圆相交于E，F两点，截得的弦长为52，求直线l的方程；（Ⅲ）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线P A，QA分别与y轴交于M，N两点．试问：以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．13．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√32，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的上顶点，点F为椭圆的左焦点，且△F AB的面积是1+√32．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线x＝my+1与椭圆C交于P、Q两点，点P关于x轴的对称点为P1（P1与Q不重合），则直线P1Q与x轴交于点H，若点H为定值，则求出点H坐标；否则，请说明理由．14．已知O为坐标原点，点F1，F2为椭圆M：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点，点E（a，b）在抛物线N：x2=4√33y上，直线EF2与椭圆M的一个交点为F，且EF的中点恰为F2．（1）求椭圆M的标准方程；（2）过抛物线N上一点P与抛物线N相切的直线l与椭圆M相交于A、B两点，设AB中点为C，直线OP与直线OC的斜率分别是k1，k2，证明：k1k2为定值．15．已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)经过点M （﹣2，1），且右焦点F(√3，0)．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）过N （1，0）的直线AB 交椭圆Γ于A ，B 两点，记t =MA →⋅MB →，若t 的最大值和最小值分别为t 1，t 2，求t 1+t 2的值．16．已知抛物线D ：x 2＝4y ，过x 轴上一点E （不同于原点）的直线l 与抛物线D 交于两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），与y 轴交于C 点．（1）若EA →=λ1EC →，EB →=λ2EC →，求乘积λ1•λ2的值；（2）若E （4，0），过A ，B 分别作抛物线D 的切线，两切线交于点M ，证明：点M 在定直线上，求出此定直线方程．17．在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Q：（x﹣2）2+y2＝1外切，且圆P与直线x＝﹣1相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）设过定点S（﹣2，0）的动直线l与曲线C交于A，B两点，试问：在曲线C 上是否存在点M（与A，B两点相异），当直线MA，MB的斜率存在时，直线MA，MB的斜率之和为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．18．椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右顶点为A，右焦点为F，上、下顶点分别是B，C，|AB|=√7，直线CF交线段AB于点D，且|BD|＝2|DA|．（1）求E的标准方程；（2）是否存在直线l，使得l交E于M，N两点，且F恰是△BMN的垂心？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由．专题五解答题题型归纳之解析几何题型归纳一、中点弦、轨迹方程考点1.中点弦——点差法1．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （1，0），离心率为√22．直线l 过点F且不平行于坐标轴，l 与C 有两交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；【分析】（Ⅰ）由题可知，c ＝1，e =ca =√22，再结合a 2＝b 2+c 2，解出a 和b 的值即可得解；（Ⅱ）设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1）（k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线l 的方程和椭圆的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，写出两根之和与系数的关系；由于M 为线段AB 的中点，利用中点坐标公式可用k 表示点M 的坐标，利用k OM =y Mx M可求出直线OM 的斜率，进而得解；【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，c ＝1，e =c a =√22， ∵a 2＝b 2+c 2，∴a =√2，b =1，∴椭圆的方程为x 22+y 2=1．（Ⅱ）设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1）（k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y =k(x −1)x 22+y 2=1，消去y 得，（2k 2+1）x 2﹣4k 2x +2k 2﹣2＝0，则x 1+x 2=4k22k 2+1，∵M 为线段AB 的中点，∴x M =x 1+x 22=2k 22k 2+1，y M =k(x M −1)=−k 2k 2+1，∴k OM =yM x M=−12k ，∴k OM ⋅k l =−12k ×k =−12为定值．2．已知中心在原点，一焦点为F （0，√50）的椭圆被直线l ：y ＝3x ﹣2截得的弦的中点横坐标为12．（1）求此椭圆的方程；（2）过定点M （0，9）的直线与椭圆有交点，求直线的斜率k 的取值范围．【分析】（1）设椭圆为x 2b 2+y 2a 2=1，由已知条件推导出a 2＝b 2+50，6b 2a 2+9b 2=12，由此能求出椭圆．（2）设过定点M （0，9）的直线为l ，若斜率k 不存在，直线l 方程为x ＝0，与椭圆交点是椭圆的上顶点（0，5√3）和下顶点（0，﹣5√3）；若斜率k 存在，直线l 的方程为：y ＝kx +9，k ≠0，代入椭圆方程，由△≥0，能求出直线的斜率k 的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆中心在原点，一焦点为F （0，√50），∴设椭圆为x 2b 2+y 2a 2=1，（a ＞b ＞0），a 2＝b 2+c 2＝b 2+50，① 把y ＝3x ﹣2代入椭圆方程，得 a 2x 2+b 2（3x ﹣2）2＝a 2b 2，（a 2+9b 2）x 2﹣12b 2x +4b 2﹣a 2b 2＝0，∵椭圆被直线l ：y ＝3x ﹣2截得的弦的中点横坐标为12，∴6b 2a 2+9b 2=12，整理，得a 2＝3b 2，②由①②解得：a 2＝75，b 2＝25，∴椭圆为：x 225+y 275=1．（2）设过定点M （0，9）的直线为l ，①若斜率k 不存在，直线l 方程为x ＝0，与椭圆交点是椭圆的上顶点（0，5√3）和下顶点（0，﹣5√3）；②若斜率k ＝0，直线l 方程为y ＝9，与椭圆无交点； ③若斜率k 存在且不为0时，直线l 的方程为：y ＝kx +9，k ≠0 联立{y =kx +9x 225+y 275=1，得（3+k 2）x 2+18kx +6＝0，△＝（18k ）2﹣24（3+k 2）≥0，解得k ≥√65或k ≤−√65．综上所述：直线的斜率k 的取值范围k ≥√65或k ≤−√65或k 不存在．考点2.轨迹方程——定义法、相关点法3．已知O 为坐标原点，圆M ：x 2+y 2﹣2x ﹣15＝0，定点F （﹣1，0），点N 是圆M 上一动点，线段NF 的垂直平分线交圆M 的半径MN 于点Q ，点Q 的轨迹为C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程；【分析】（Ⅰ）推导出动点Q 的轨迹为以M 、F 为焦点、长轴长为4的椭圆，由此能求出曲线C 的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意知|MQ |+|FQ |＝|MN |＝4，又|MF |＝2＜4，∴由椭圆定义知动点Q 的轨迹为以M 、F 为焦点、长轴长为4的椭圆，故2a ＝4，2c ＝2，∴曲线C 的方程是x 24+y 23=1．4．从抛物线y 2＝36x 上任意一点P 向x 轴作垂线段，垂足为Q ，点M 是线段PQ 上的一点，且满足PM →=2MQ →．（1）求点M 的轨迹C 的方程；【分析】（1）设M （x ，y ），P （x 0，y 0），则点Q 的坐标为（x 0，0）．利用向量关系，推出{x 0=x ，y 0=3y ．，代入已知条件即可得到点M 的轨迹C 的方程．【解答】解：（1）设M （x ，y ），P （x 0，y 0），则点Q 的坐标为（x 0，0）．因为PM →=2MQ →，所以（x ﹣x 0，y ﹣y 0）＝2（x 0﹣x ，﹣y ），（2分）即{x 0=x ，y 0=3y ．，（3分）因为点P 在抛物线y 2＝36x 上，所以y 02=36x 0，即（3y ）2＝36x ．所以点M 的轨迹C 的方程为y 2＝4x ．（5分）题型归纳二、弦长、面积考点1.弦长问题1．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P （√3，12）在椭圆E 上．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |•|MB |＝|MC |•|MD | 【解答】（Ⅰ）解：如图，由题意可得{a =2ba 2=b 2+c 23a 2+14b 2=1，解得a 2＝4，b 2＝1， ∴椭圆E 的方程为x 24+y 2=1；（Ⅱ）证明：设AB 所在直线方程为y =12x +m ，联立{y =12x +mx 24+y 2=1，得x 2+2mx +2m 2﹣2＝0．∴△＝4m 2﹣4（2m 2﹣2）＝8﹣4m 2＞0，即−√2＜m ＜√2．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0），则x 1+x 2=−2m ，x 1x 2=2m 2−2， |AB |=√1+14|x 1−x 2|=√54√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√54√4m 2−4(2m 2−2)=√10−5m 2．∴x 0＝﹣m ，y 0=12x 0+m =m2，即M （−m ，m2），则OM 所在直线方程为y =−12x ，联立{y =−12x x 24+y 2=1，得{x =−√2y =√22或{x =√2y =−√22． ∴C （−√2，√22），D （√2，−√22）．则|MC |•|MD |=(2√2)⋅(2√2)=√(54m 2+52−52√2m)⋅(54m 2+52+52√2m)=√(52−54m 2)2=52−54m 2．而|MA |•|MB |=(12|AB|)2=14（10﹣5m 2）=52−5m 24．∴|MA |•|MB |＝|MC |•|MD |． 2．已知椭圆E ：x 2t +y 23=1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k ＞0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ．（Ⅰ）当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积；（Ⅱ）当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）方法一、t ＝4时，椭圆E 的方程为x 24+y 23=1，A （﹣2，0），直线AM 的方程为y ＝k （x +2），代入椭圆方程，整理可得（3+4k 2）x 2+16k 2x +16k 2﹣12＝0，解得x ＝﹣2或x =−8k 2−63+4k 2，则|AM |=√1+k 2•|2−8k 2−63+4k 2|=√1+k 2•123+4k 2，由AN ⊥AM ，可得|AN |=√1+(−1k )2•123+4⋅(−1k)2=√1+k 2•123|k|+4|k|，由|AM |＝|AN |，k ＞0，可得√1+k 2•123+4k 2=√1+k 2•123k+4k，整理可得（k ﹣1）（4k 2+k +4）＝0，由4k 2+k +4＝0无实根，可得k ＝1，即有△AMN 的面积为12|AM |2=12（√1+1•123+4）2=14449；方法二、由|AM |＝|AN |，可得M ，N 关于x 轴对称，由MA ⊥NA ．可得直线AM 的斜率为1，直线AM 的方程为y ＝x +2，代入椭圆方程x 24+y 23=1，可得7x 2+16x +4＝0，解得x ＝﹣2或−27，M （−27，127），N （−27，−127），则△AMN 的面积为12×247×（−27+2）=14449；（Ⅱ）直线AM 的方程为y ＝k （x +√t ），代入椭圆方程，可得（3+tk 2）x 2+2t √t k 2x +t 2k 2﹣3t ＝0，解得x =−√t 或x =−t √tk 2−3√t 3+tk 2，即有|AM |=√1+k 2•|t √tk 2−3√t 3+tk 2−√t |=√1+k 2•6√t3+tk 2，|AN |═√1+1k2•6√t3+tk2=√1+k 2•6√t 3k+t k，由2|AM |＝|AN |，可得2√1+k 2•6√t3+tk 2=√1+k 2•6√t3k+t k，整理得t =6k 2−3k k 3−2，由椭圆的焦点在x 轴上，则t ＞3，即有6k 2−3k k 3−2＞3，即有(k 2+1)(k−2)k 3−2＜0，可得√23＜k ＜2，即k 的取值范围是（√23，2）．考点2.面积问题3．已知点A （0，﹣2），椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，F 是椭圆的右焦点，直线AF 的斜率为2√33，O 为坐标原点．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）设F （c ，0），由条件知2c=2√33，得c =√3，又ca=√32，所以a ＝2，b 2＝a 2﹣c 2＝1，故E 的方程x 24+y 2=1．…．（5分）（Ⅱ）依题意当l ⊥x 轴不合题意，故设直线l ：y ＝kx ﹣2，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）将y ＝kx ﹣2代入x 24+y 2=1，得（1+4k 2）x 2﹣16kx +12＝0，当△＝16（4k 2﹣3）＞0，即k 2＞34时，x 1，2=8k±2√4k 2−31+4k 2从而|PQ|=√k 2+1|x 1−x 2|=4√k 2+1⋅√4k 2−31+4k 2又点O 到直线PQ 的距离d =√k 2+1，所以△OPQ 的面积S △OPQ =12d|PQ|=4√4k 2−31+4k 2，设√4k 2−3=t ，则t ＞0，S △OPQ =4tt 2+4=4t+4t≤1，当且仅当t ＝2，k ＝±√72等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为：y =√72x ﹣2或y =−√72x ﹣2．…（12分）4．设圆x 2+y 2+2x ﹣15＝0的圆心为A ，直线l 过点B （1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．（Ⅰ）证明|EA |+|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x 2+y 2+2x ﹣15＝0即为（x +1）2+y 2＝16，可得圆心A （﹣1，0），半径r ＝4，由BE ∥AC ，可得∠C ＝∠EBD ，由AC ＝AD ，可得∠D ＝∠C ，即为∠D ＝∠EBD ，即有EB ＝ED ，则|EA |+|EB |＝|EA |+|ED |＝|AD |＝4＞|AB |，故E 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆，且有2a ＝4，即a ＝2，c ＝1，b =√a 2−c 2=√3，则点E 的轨迹方程为x 24+y 23=1（y ≠0）；（Ⅱ）椭圆C 1：x 24+y 23=1，设直线l ：x ＝my +1，由PQ ⊥l ，设PQ ：y ＝﹣m （x ﹣1），由{x =my +13x 2+4y 2=12可得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），可得y 1+y 2=−6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4，则|MN |=√1+m 2•|y 1﹣y 2|=√1+m 2•√36m 2(3m 2+4)2+363m 2+4 =√1+m 2•√36(4m 2+4)3m 2+4=12•1+m 23m 2+4，A 到PQ 的距离为d =√1+m 2=√1+m 2，|PQ |＝2√r 2−d 2=2√16−4m 21+m 2=4√3m 2+4√1+m 2，则四边形MPNQ 面积为S =12|PQ |•|MN |=12•4√3m 2+4√1+m 2•12•1+m 23m 2+4＝24•√1+m 2√3m 2+4=24√13+11+m 2，当m ＝0时，S 取得最小值12，又11+m 2＞0，可得S ＜24•√33=8√3，即有四边形MPNQ 面积的取值范围是[12，8√3）．题型归纳三、定值、定点、定直线考点1.定值问题1．设椭圆C ：x 22+y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为（2，0）．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB ．【解答】解：（1）c =√2−1=1， ∴F （1，0）， ∵l 与x 轴垂直， ∴x ＝1，由{x =1x 22+y 2=1，解得{x =1y =√22或{x =1y =−√22，∴A （1.√22），或（1，−√22）， ∴直线AM 的方程为y =−√22x +√2，y =√22x −√2，证明：（2）当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°，当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，∴∠OMA ＝∠OMB ，当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k （x ﹣1），k ≠0， A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＜√2，x 2＜√2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ，k MB 之和为k MA +k MB =y 1x 1−2+y 2x 2−2，由y 1＝kx 1﹣k ，y 2＝kx 2﹣k 得k MA +k MB =2kx 1x 2−3k(x 1+x 2)+4k (x 1−2)(x 2−2)，将y ＝k （x ﹣1）代入x 22+y 2＝1可得（2k 2+1）x 2﹣4k 2x +2k 2﹣2＝0，∴x 1+x 2=4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1， ∴2kx 1x 2﹣3k （x 1+x 2）+4k =12k 2+1（4k 3﹣4k ﹣12k 3+8k 3+4k ）＝0 从而k MA +k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补， ∴∠OMA ＝∠OMB ，综上∠OMA ＝∠OMB ． 2．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左顶点为M ，上顶点为N ，直线2x +y −6√3=0与直线MN 垂直，垂足为B 点，且点N 是线段MB 的中点．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，若直线l ：y ＝kx +m 与椭圆C 交于E ，F 两点，点G 在椭圆C 上，且四边形OEGF 为平行四边形，求证：四边形OEGF 的面积S 为定值．【解答】解：（1）由题意知，椭圆C 的左顶点M （﹣a ，0），上顶点N （0，b ），直线MN 的斜率k =b a=12，得a ＝2b ，因为点N 是线段MB 的中点，∴点B 的坐标是B （a ，2b ），由点B 在直线2x +y −6√3=0上，∴2a +2b =3√2，且a ＝2b ，解得b =√3，a =2√3， ∴椭圆C 的方程为x 212+y 23=1．（2）证明：设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），G （x 0，y 0），将y ＝kx +m 代入x 212+y 23=1，消去y 并整理得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣12＝0，则x 1+x 2=−8m1+4k 2，x 1⋅x 2=4m 2−121+4k 2， ∴y 1+y 2＝k （x 1+x 2）+2m =2m1+4k 2， ∵四边形OEGF 为平行四边形， ∴OG →=OE →+OF →=（x 1+x 2，y 1+y 2），得G(−8km1+4k 2，2m1+4k 2)，将G 点坐标代入椭圆C 方程得m 2=34(1+4k 2)，点O 到直线EF 的距离为d =√1+k 2，EF =√1+k 2|x 1−x 2|，∴平行四边形OEGF 的面积为S ＝d •|EF |＝|m ||x 1﹣x 2|=|m|√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =4|m|√3−m 2+12k 21+4k 2=4|m|√3m 21+4k 2=4√3m 21+4k 2=3√3．故平行四边形OEGF 的面积S 为定值3√3．考点2.定点问题3．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），点M （2√63，﹣1）在椭圆上，椭圆C 的离心率为12．（1）求椭圆的方程；（2）设点A 为椭圆长轴的左端点，P ，Q 为椭圆上异于椭圆C 长轴端点的两点，记直线AP ，AQ 斜率分别为k 1，k 2，若k 1k 2=−14，请判断直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．【解答】解：（1）由已知可得：{83a 2+1b 2=1c a =12a 2=b 2+c 2，解得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24+y 23=1；（2）因为A （﹣2，0），设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），当直线的斜率存在时，设直线PQ 的方程为：y ＝kx +m ，联立方程组{y =kx +m x 24+y 23=1，消去y 可得：（3+4k 2）x 2x 2+8mkx +4m 2﹣12＝0，所以x1+x2=−8mk3+4k2，x1x2=4m2−123+4k2，因为k1k2=−14，所以k1k2=y1x1+2⋅y2x2+2=(kx1+m)(kx2+m)(x1+2)(x2+2)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2 x1x2+2(x1+x2)+4=−14所以4m 2k2−12k2−8k2m2+3m2+4m2k24m2−12−16mk+12+16k2=−14，所以m2﹣mk﹣2k2＝0，所以（m﹣2k）（m+k）＝0，所以m＝2k或m＝﹣k，当m＝2k时，PQ：y＝k（x+2），此时直线过定点（﹣2，0）不符合题意，当m＝﹣k时，PQ：y＝k（x﹣1），此时过定点（1，0），当直线的斜率不存在时，PQ的方程为：x＝1，所以P，Q的坐标为（1，32），（1，−32），所以k AP⋅k AQ=321−(−2)⋅−321−(−2)=−14，满足要求，综上可知：直线PQ过定点（1，0）．4．已知点F1（−√2，0），圆F2：（x−√2）2+y2＝16，点M是圆上一动点，MF1的垂直平分线与MF2交于点N．（1）求点N的轨迹方程；（2）设点N的轨迹为曲线E，过点P（0，1）且斜率不为0的直线l与E交于A，B 两点，点B关于y轴的对称点为B′，证明直线AB′过定点，并求△P AB′面积的最大值．【解答】解：（1）由已知得：|NF1|＝|NM|，∴|NF1|+|NF2|＝|MN|+|NF2|＝|4，又|F1F2|＝2√2，∴点N的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长等于4的椭圆，∴2a ＝4，2c ＝2√2，即a ＝2，c =√2， ∴b 2＝a 2﹣c 2＝4﹣2＝2， ∴点N 的轨迹方程是x 24+y 22=1．证明：（2）设直线AB ：y ＝kx +1，（k ≠0），设A ，B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则B ′（﹣x 2，y 2），联立直线AB 与椭圆得{x 2+2y 2=4y =kx +1，得（1+2k 2）x 2+4kx ﹣2＝0，显然△＝8（1+4k 2）＞0， ∴x 1+x 2=−4k 1+2k 2，x 1x 2=−21+2k 2 ∴k AB ′=y 1−y2x 1+x 2，∴直线AB ′：y ﹣y 1=y 1−y2x 1+x 2（x ﹣x 1），∴令x ＝0，得y =x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2=x 1(kx 2+1)+x 2(kx 1+1)x 1+x 2=2kx 1x 2x 1+x 2+1＝2，∴直线AB ′过定点Q （0，2）， ∴△P AB ′的面积S =12|x 1+x 2|=2|k|1+2k 2=21|k|+2|k|≤√22，当且仅当k ＝±√22时，等号成立． ∴△P AB ′的面积的最大值是√22．5．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的两焦点在x 轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点S(0，−13)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q ，使得以AB 为直径的圆恒过点Q ？若存在求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，得b ＝c ，又斜边长为2，即2c ＝2，解得c ＝1，故a =√2c =√2，所以椭圆方程为x 22+y 2=1．（Ⅱ）当l 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程为x 2+(y +13)2=169；当l 为y 轴时，以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2＝1，由{x 2+(y +13)2=169x 2+y 2=1⇒{x =0y =1，故若存在定点Q ，则Q 的坐标只可能为Q （0，1）．下证明Q （0，1）为所求：若直线l 斜率不存在，上述已经证明．设直线l ：y =kx −13，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由{y =kx −13x 2+2y 2−2=0⇒(9+18k 2)x 2−12kx −16=0，△=144k 2+64(9+18k 2)＞0，x 1+x 2=12k18k 2+9，x 1x 2=−1618k 2+9， QA →=(x 1，y 1−1)，QB →=(x 2，y 2−1)，QA →⋅QB →=x 1x 2+(y 1−1)(y 2−1)=(1+k 2)x 1x 2−4k3(x 1+x 2)+169=(1+k 2)−169+18k 2−4k 3⋅12k9+18k 2+169=0，∴QA →⊥QB →，即以AB 为直径的圆恒过点Q （0，1）．6．已知直线l 1是抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的准线，直线l 2：3x ﹣4y ﹣6＝0，且l 2与抛物线C 没有公共点，动点P 在抛物线C 上，点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值等于2．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）点M 在直线l 1上运动，过点M 做抛物线C 的两条切线，切点分别为P 1，P 2，在平面内是否存在定点N ，使得MN ⊥P 1P 2恒成立？若存在，请求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）作P A ，PB 分别垂直l 1和l 2，垂足为A ，B ，抛物线C 的焦点为F(0，p2)，由抛物线定义知|P A |＝|PF |，所以d 1+d 2＝|P A |+|PB |＝|PF |+|PB |，显见d 1+d 2的最小值即为点F 到直线l 2的距离，故d =|−2p−6|5=2⇒p =2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线l 1的方程为y ＝﹣1，当点M 在特殊位置（0，﹣1）时，显见两个切点P 1，P 2关于y 轴对称，故要使得MN ⊥P 1P 2，点N 必须在y 轴上．故设M （m ，﹣1），N （0，n ），P 1(x 1，14x 12)，P 2(x 2，14x 22)，抛物线C 的方程为y =14x 2，求导得y ′=12x ，所以切线MP 1的斜率k 1=12x 1，直线MP 1的方程为y −14x 12=12x 1(x −x 1)，又点M 在直线MP 1上，所以−1−14x 12=12x 1(m −x 1)，整理得x 12−2mx 1−4=0，同理可得x 22−2mx 2−4=0，故x 1和x 2是一元二次方程x 2﹣2mx ﹣4＝0的根，由韦达定理得{x 1+x 2=2m x 1x 2=−4，P 1P 2→⋅MN →=(x 2−x 1，14x 22−14x 12)⋅(−m ，n +1)=14(x 2−x 1)[﹣4m +（n +1）（x 2+x 1）]=14(x 2−x 1)[−4m +2m(n +1)]=12m(x 2−x 1)(n −1)，可见n ＝1时，P 1P 2→⋅MN →=0恒成立，所以存在定点N （0，1），使得MN ⊥P 1P 2恒成立．考点3.定直线问题7．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过点M(√2，1)，且左焦点为F 1(−√2，0) （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点P （4，1）的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|AP →|•|QB →|=|AQ →|•|PB →|，证明：点Q 总在某定直线上．【解答】解：（Ⅰ）由题意得{c 2=22a 2+1b 2=1c 2=a 2−b 2，解得a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆C的方程为x 24+y 22=1．（Ⅱ）设点Q 、A 、B 的坐标分别为（x ，y ），（x 1，y 1），（x 2，y 2）．由题设知|AP →|，|PB →|，|AQ →|，|QB →|均不为零，记λ=|AP →||PB →|=|AQ →||QB →|，则λ＞0且λ≠1又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而AP →=−λPB →，AQ →=λQB →于是4=x 1−λx 21−λ，1=y 1−λy 21−λ，x =x 1+λx 21+λ，y =y 1+λy 21+λ从而x 12−λ2x 221−λ2=4x①，y 12−λ2y 221−λ2=y②，又点A 、B 在椭圆C 上，即x 12+2y 12＝4 ③，x 22+2y 22＝4 ④， ①+②×2并结合③、④得4x +2y ＝4，即点Q （x ，y ）总在定直线2x +y ﹣2＝0上．8．已知抛物线C 1：x 2＝2py （p ＞0）和圆C 2：（x +1）2+y 2＝2，倾斜角为45°的直线l 1过C 1的焦点且与C 2相切．（1）求p 的值；（2）点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，C 1在A 点处的切线l 2交y 轴于点B ，设MN →=MA →+MB →，求证：点N 在定直线上，并求该定直线的方程．【解答】解：（1）依题意设直线l 1的方程为y =x +p2，由已知得：圆C 2：（x +1）2+y 2＝2的圆心C 2（﹣1，0），半径r =√2，因为直线l 1与圆C 2相切，所以圆心到直线l 1：y =x+p2的距离d=|−1+p 2|√12+(−1)2=√2，即|−1+p2|√2=√2，解得p ＝6或p ＝﹣2（舍去）．所以p ＝6；（2）解法一：依题意设M （m ，﹣3），由（1）知抛物线C 1方程为x 2＝12y ，所以y =x 212，所以y ′=x6，设A(x 1，y 1)，则以A 为切点的切线l 2的斜率为k =x 16，所以切线l 2的方程为y =16x 1(x −x 1)+y 1．令x ＝0，y =−16x 12+y 1=−16×12y 1+y 1=−y 1，即l 2交y 轴于B 点坐标为(0，−y 1)，所以MA →=(x 1−m ，y 1+3)，（9分）MB →=(−m ，−y 1+3)， ∴MN →=MA →+MB →=（x 1﹣2m ，6），∴ON →=OM →+MN →=(x 1−m ，3)．设N 点坐标为（x ，y ），则y ＝3，所以点N 在定直线y ＝3上．解法二：设M （m ，﹣3），由（1）知抛物线C 1方程为x 2＝12y ，① 设A(x 1，y 1)，以A 为切点的切线l 2的方程为y =k(x −x 1)+y 1②，联立①②得：x 2=12[k(x −x 1)+112x 12]，因为△=144k 2−48kx 1+4x 12=0，所以k =x 16，所以切线l 2的方程为y =16x 1(x −x 1)+y 1．令x ＝0，得切线l 2交y 轴的B 点坐标为(0，−y 1)，所以MA →=(x 1−m ，y 1+3)，MB →=(−m ，−y 1+3)， ∴MN →=MA →+MB →=（x 1﹣2m ，6），∴ON →=OM →+MN →=(x 1−m ，3)，设N 点坐标为（x ，y ），则y ＝3，所以点N 在定直线y ＝3上．题型归纳四、探索性问题考点1.是否存在定值1．如图，椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率是√22，点P （0，1）在短轴CD 上，且PC →•PD →=−1（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A 、B 两点．是否存在常数λ，使得OA →•OB →+λPA →•PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，可得C （0，﹣b ），D （0，b ），又∵P （0，1），且PC →•PD →=−1， ∴{1−b 2=−1c a=√22a 2−b 2=c 2，解得a ＝2，b =√2，∴椭圆E 的方程为：x 24+y 22=1；（Ⅱ）结论：存在常数λ＝1，使得OA →•OB →+λPA →•PB →为定值﹣3．理由如下：对直线AB 斜率的存在性进行讨论：①当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx +1， A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{x 24+y 22=1y =kx +1，消去y 并整理得：（1+2k 2）x 2+4kx ﹣2＝0， ∵△＝（4k ）2+8（1+2k 2）＞0， ∴x 1+x 2=−4k1+2k 2，x 1x 2=−21+2k 2，从而OA →•OB →+λPA →•PB →=x 1x 2+y 1y 2+λ[x 1x 2+（y 1﹣1）（y 2﹣1）] ＝（1+λ）（1+k 2）x 1x 2+k （x 1+x 2）+1 =(−2λ−4)k 2+(−2λ−1)1+2k 2=−λ−11+2k 2−λ﹣2．∴当λ＝1时，−λ−11+2k 2−λ﹣2＝﹣3，此时OA →•OB →+λPA →•PB →=−3为定值；②当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时OA →•OB →+λPA →•PB →=OC →⋅OD →+PC →⋅PD →=−2﹣1＝﹣3；故存在常数λ＝1，使得OA →•OB →+λPA →•PB →为定值﹣3．2．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)短轴长为2，F 是C 的左焦点，A ，B 是C 上关于x轴对称的两点，△ABF 周长的最大值为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）斜率为k 且不经过原点O 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，若直线OM ，ON 的斜率分别为k 1，k 2，且k 2＝k 1k 2，求直线l 的斜率，并判断|OM |2+|ON |2的值是否为定值？若为定值，试求出此定值；否则，说明理由．【分析】（1）设AB 与x 轴的交点为H ，右交点为F 2．由题意可得|AF 1|+|AH |≤|AF 1|+|AF 2|＝2a ，进而可得△ABF 周长取最大值4a ＝8，解得a ，b ，进而可得椭圆C 的标准方程．（2）设直线l 的方程为y ＝kx +m （m ≠0），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立直线l 与椭圆的方程，可得关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，在化简k 2＝k 1k 2，解得k ，再计算|OM |2+|ON |2，即可得答案．【解答】解：（1）设AB 与x 轴的交点为H ，右交点为F 2．由题意|AH |≤|AF 2|，则|AF 1|+|AH |≤|AF 1|+|AF 2|＝2a ，当AB 过右焦点F 2时，△ABF 周长取最大值4a ＝8，∴a ＝2，且b ＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．（2）设直线l 的方程为y ＝kx +m （m ≠0），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由{x 24+y 2=1y =kx +m，得（1+4k 2）x 2+8kmx +4（m 2﹣1）＝0，∴x 1+x 2=−8km 1+4k2，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k2，由题知k 2=k 1k 2=y 1y 2x 1x 2=(kx 1+m)(kx 2+m)x 1x 2=k 2+km(x 1+x 2)+m 2x 1x 2， ∴km(x 1+x 2)+m 2=0，∴−8k 2m 21+4k 2+m 2=0，∵m 2＝0（舍去）或k 2=14，此时(x 1+x 2)2=(−8km 1+4k2)2=4m 2，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k2=2(m 2−1)，则|OM|2+|ON|2=x 12+y 12+x 22+y 22=x 12+1−x 124+x 22+1−x 224=34(x 12+x 22)+2=34[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+2=34[4m 2−4(m 2−1)]+2=5，故直线l 的斜率为k =±12，|OM |2+|ON |2＝5．考点2.是否存在定点3．已知椭圆C ：9x 2+y 2＝m 2（m ＞0），直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（m3，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【解答】解：（1）设直线l：y＝kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），将y＝kx+b代入9x2+y2＝m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2＝0，则判别式△＝4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，则x1+x2=−2kb9+k2，则x M=x1+x22=−kb9+k2，y M＝kx M+b=9b9+k2，于是直线OM的斜率k OM=y Mx M =−9k，即k OM•k＝﹣9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（m3，m），∴由判别式△＝4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞9b2﹣9m2，∵b＝m−k3m，∴k2m2＞9（m−k3m）2﹣9m2，即k2＞k2﹣6k，即6k＞0，则k＞0，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM 的方程为y =−9kx ，设P 的横坐标为x P ，由{y =−9k x9x 2+y 2=m 2得x P 2=k 2m 29k 2+81，即x P =3√9+k 2将点（m3，m ）的坐标代入l 的方程得b =m(3−k)3，即l 的方程为y ＝kx +m(3−k)3，将y =−9k x ，代入y ＝kx +m(3−k)3，得kx +m(3−k)3=−9k x 解得x M =k(k−3)m 3(9+k 2)，四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M ，于是3√9+k2=2×k(k−3)m 3(9+k 2)，解得k 1＝4−√7或k 2＝4+√7， ∵k i ＞0，k i ≠3，i ＝1，2，∴当l 的斜率为4−√7或4+√7时，四边形OAPB 能为平行四边形．4．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√22，焦距为2c ，直线bx ﹣y +√2a ＝0过椭圆的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线bx ﹣y +2c ＝0与y 轴交于点P ，A ，B 是椭圆C 上的两个动点，∠APB 的平分线在y 轴上，|P A |≠|PB |．试判断直线AB 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【分析】（Ⅰ）因为直线bx ﹣y +√2a ＝0过椭圆的左焦点，故令y ＝0，得x =−√2ab=−c ，又因为离心率为√22，从而求出b ＝2，又因为a 2＝b 2+c 2，求出a 的值，从而求出椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）先求出点P 的坐标，设直线AB 的方程为y ＝kx +m ，联立方程组，利用根与系数的关系，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），得到k 1+k 2=8k(m−1)m 2−4，又因为∠APB 的平分线在y轴上，所以k 1+k 2＝0，从而求出m 的值，得到直线AB 的方程为y ＝kx +1过定点坐标．【解答】解：（Ⅰ）因为直线bx ﹣y +√2a ＝0过椭圆的左焦点，故令y ＝0，得x =−√2ab=−c ，∴ca=√2b =√22，解得b ＝2，又∵a 2＝b 2+c 2＝b 2+12a 2，解得a ＝2√2， ∴椭圆C 的标准方程为：x 28+y 24=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得c =√22a ＝2，∴直线bx ﹣y +2c ＝0的方程为2x ﹣y +4＝0，令x ＝0得，y ＝4，即P （0，4），设直线AB 的方程为y ＝kx +m ，联立方程组{y =kx +mx 28+y 24=1，消去y 得，（2k 2+1）x 2+4kmx +2m 2﹣8＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∴x 1+x 2=−4km 2k 2+1，x 1x 2=2m 2−82k 2+1，则直线P A 的斜率k 1=y 1−4x 1=k +m−4x 1，则直线PB 的斜率k 2=y 2−4x 2=k +m−4x 2，所有k 1+k 2＝2k +(m−4)(x 1+x 2)x 1x 2=2k +(m−4)(−4km)2m 2−8=8k(m−1)m 2−4，∵∠APB 的平分线在y 轴上，∴k 1+k 2＝0，即8k(m−1)m 2−4=0，又|P A |≠|PB |，∴k ≠0，∴m ＝1，∴直线AB 的方程为y ＝kx +1，过定点（0，1）．考点3.是否存在圆5．已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，M （﹣2，y 0）是C 上一点，且|MF |＝2．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，分别过点A ，B 两点作抛物线C 的切线l 1，l 2，两条切线相交于点P ，点P 关于直线AB 的对称点Q ，判断四边形P AQB 是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F （0，p2），准线方程为y =−p2，M （﹣2，y 0）是C 上一点，且|MF |＝2，可得4＝2py 0，y 0+p2=2，解得p ＝2，即抛物线的方程为x 2＝4y ；（Ⅱ）由F （0，1），设l AB ：y ＝kx +1，代入x 2＝4y 中，得x 2﹣4kx ﹣4＝0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2＝4k ，x 1•x 2＝﹣4．所以|AB|=√1+k2•|x1﹣x2|=√1+k2•√16k2+16=4（k2+1）．因为C：x2＝4y，即y=x 24，所以y′=12x．所以直线l1的斜率为k1=12x1，直线l2的斜率为k2=12x2．因为k1k2=x1x24=−1，所以P A⊥PB，即△P AB为直角三角形．点P关于直线AB的对称点Q，即有QA⊥QB，即四点Q，A，B，P共圆．四边形P AQB存在外接圆，所以外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是直径．因为|AB|＝4（k2+1），所以当k＝0时线段AB最短，最短长度为4，此时圆的半径最小，且为2，面积最小，最小面积为4π．6．已知平面内一个动点M到定点F（3，0）的距离和它到定直线l：x＝6的距离之比是常数√22．（Ⅰ）求动点M的轨迹T的方程；（Ⅱ）若直线l：x+y﹣3＝0与轨迹T交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线与T交于C，D两点，试问A，B，C，D是否在同一个圆上？若是，求出该圆的方程；若不是，说明理由．【分析】（Ⅰ）设M的坐标，由题意得出等式，化简得M的轨迹方程；（Ⅱ）由题意求出A，B的坐标，进而求出AB的中垂线方程，与椭圆联立求出C，D的坐标，进而求出CD的中点E的坐标，求出EA，EB，CD之间的关系，进而求出A，B，C，D是在同一个圆上，且圆心，半径都可以求出．【解答】解：（Ⅰ）设动点M （x ，y ），由题意知：√(x−3)2+y 2|x−6|=√22，整理得：x 218+y 29=1，所以动点M 的轨迹T 的方程为：x 218+y 29=1；（Ⅱ）将直线与椭圆联立：{x +y −3=0x 218+y 29=1，解得：A （0，3），B （4，﹣1），所以AB 的中点N （2，1），k CD ＝1，∴AB 的中垂线CD 的方程为：x ﹣y ﹣1＝0，设C （x ，y ），D （x '，y '），联立直线CD 与椭圆的方程整理：3x 2﹣4x ﹣16＝0，x +x '=43，xx '=−163，∴CD =√1+12√(x +x ′)2−4xx′=√2⋅√(43)2−4⋅(−163)=4√263，设CD 的中点为E ，则|DE |＝|CE |=12|CD|，又x E =x+x′2=23，y E ＝x E ﹣1=−13，所以E （23，−13），∴|EA |=√(23)2+(−13−3)2=2√263=12|CD|=|EB|，所以A ，B ，C ，D 是在同一个圆上，且以E 为圆心，以2√263为半径的圆上，此时圆的方程：（x −23）2+（y +13）2=1049．考点4.是否存在直线7．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）过点P （m ，2），且P 到抛物线焦点的距离为2，直线l 过点Q （2，﹣2），且与抛物线相交于A ，B 两点．（1）求抛物线的方程；（2）若点Q 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程；（3）过点M （﹣1，0）作直线MA 、MB 分别交抛物线于C ，D 两点，请问C ，D ，Q 三点能否共线？若能，求出直线l 的斜率k ；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）抛物线y 2＝2px （p ＞0）过点P （m ，2），可得2pm ＝4，即pm ＝2， P 到抛物线焦点的距离为2，可得√(m −p2)2+4=2，即m =p2，解得p ＝2，m ＝1，则抛物线方程为y 2＝4x ；（2）直线l 过点Q （2，﹣2），可设直线l 的方程为y +2＝k （x ﹣2），即y ＝kx ﹣2k ﹣2，代入y 2＝4x ，消去x ，可得ky 2﹣4y ﹣8k ﹣8＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1+y 2=4k，由点Q （2，﹣2）恰为线段AB 的中点，可得4k=−4，即k ＝﹣1，满足△＞0，可得直线l 的方程为y ＝﹣x ；（3）设（y 124，y 1），B （y 224，y 2），C （y 324，y 3），D （y 424，y 4），设直线l 的方程为y +2＝k （x ﹣2），即y ＝kx ﹣2k ﹣2，代入y 2＝4x ，消去x ，可得ky 2﹣4y ﹣8k ﹣8＝0，y 1+y 2=4k，y 1y 2=−8k+8k，由M ，A ，C 三点共线可得y1y 124+1=y 3−y 1y 324−y 124=4y3+y 1，化为y 1y 3＝4，即y 3=4y 1，同理可得y 4=4y 2，假设C ，D ，Q 三点共线，可得y 3+2y 324−2=y 4−y 3y 424−y 324即y 3y 4+2（y 3+y 4）+8＝0，可得2y 1y 2+y 1+y 2y 1y 2+1＝0，即k−4k−4+1−2k−2+1＝0，解得k =−23，所以当直线l 的斜率为−23，C ，D ，Q 三点共线．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的焦距为2，且过点(1，√22)．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M ，N 两点，问是否存在直线l ，使得F 为△BMN 的垂心，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【分析】（1）由题意知焦距和过的点的坐标及a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程；（2）由（1）可得B ，F 的坐标假设存在这样的直线满足体积设直线方程，求出两根之和及两根之积，由垂心可得垂直关系，即数量积为0求出直线l 的方程．【解答】解：（1）由题意知：2c ＝2，1a 2+12b 2=1，a 2＝b 2+c 2，解得：a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆的方程为：x 22+y 2＝1；（2）假设存在这样的直线l ，使得F 为△BMN 的垂心，由（1）得B （0，1），F （1，0），∴k BF ＝﹣1，由题意可得l ⊥BF ，NF ⊥BM ，设直线l 的方程为：y ＝x +m ，M （x ，y ），N （x '，y '），联立直线与椭圆的方程整理得：3x 2+4mx +2m 2﹣2＝0，∴△＝16m 2﹣4×3×（2m 2﹣2）＞0，可得m 2＜3，即−√3＜m ＜√3，且x +x '=−4m 3，xx '=2m 2−23，yy '＝xx '+m （x +x '）+m 2∵FN →⋅BM →=（x '﹣1，y '）（x ，y ﹣1）＝xx '﹣x +yy '﹣y '＝xx '+yy '﹣x ﹣（x '+m ）＝2xx '+（m ﹣1）（x +x '）+m 2﹣m ＝2•2m 2−23−（m ﹣1）⋅4m 3+m 2﹣m =3m 2+m−43，因为NF ⊥BM ，所以NF →⋅BM →=0，所以3m 2+m ﹣4＝0，解得：m ＝1或m =−43，当m ＝1过了B 点，所以舍去所以存在直线l：y＝x−43符合F为△BMN的垂心．。

解析几何难题——教师版,附解答

解析几何【例01】点的坐标分别是，，直线相交于点M ，且它们的斜率之积为． (1)求点M 轨迹的方程.(2)若过点的直线与(1)中的轨迹交于不同的两点、(在、之间)，试求与面积之比的取值范围(为坐标原点)．解(1)设点的坐标为，∵)，这就是动点M 的轨迹方程． (2)方法一由题意知直线的斜率存在，设的方程为() ① 将①代入，得，由，解得．设，，则 ②令，则，即，即，且由②得，即．且且．解得且，且．∴△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是．方法二由题意知直线的斜率存在，设的方程为 ①将①代入，整理，得，由，解得． ,A B (0,1)-(0,1),AM BM 12-C ()2,0D l CEF E D F ODE ∆ODF ∆O M (,)x y 12AM BM k k ⋅=-0x ≠l l ()2y k x =-12k ≠±1222=+y x 0)28(8)12(2222=-+⋅-+k x k x k 0∆>2102k <<()11,E x y ()22,F x y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+.1228,12822212221k k x x k k x x OBE OBF SS λ∆∆=||||BE BF λ=BE BF λ=⋅()1222x x λ-=-0 1.λ<<12212121224(2)(2),2122)(2)2()4.21x x k x x x x x x k -⎧-+-=⎪⎪+⎨⎪-⋅-=-++=⎪+⎩（()()()22222412,2122.21x k x k λλ-⎧+-=⎪⎪+⎨⎪-=⎪+⎩22222141,(1)8(1)2k k λλλλ+∴==-++即2102k <<214k ≠24110(1)22λλ∴<-<+2411(1)24λλ-≠+33λ-<<+13λ≠01λ<<1223<<-∴λ13λ≠113,133⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭l l 2x sy =+(2)s ≠±1222=+y x 22(2)420s y sy +++=0∆>22s >设，，则② 令，且 .将代入②，得∴．即． ∵且，∴且．即且．解得且．，且．故△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是．【例02】在△ABC 中，A 点的坐标为(3，0)，BC 边长为2，且BC 在y 轴上的区间[-3，3]上滑动．(1)求△ABC 外心的轨迹方程．(2)设直线l ∶y =3x +b 与(1)的轨迹交于E 、F 两点，原点到直线l 的距离为d ，求的最大值并求出此时b 的值．解 (1)设B 点的坐标为(0，)，则C 点坐标为(0，+2)(-3≤≤1)，则BC 边的垂直平分线为y =+1 ① ②由①②消去，得．∵，∴．故所求的△ABC 外心的轨迹方程为：．(2)将代入得．由及，得．所以方程①在区间，2有两个实根．设，则方程③在，2上有两个不等实根的充要条件是：得∵∴ 又原点到直线l 的距离为，∴∵，∴．∴当，即时，．()11,E x y ()22,F x y 1221224,22.2s y y s y y s ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩11221212OBE OBF OB y S y S y OB y λ∆∆⋅===⋅01λ<<12y y λ=()2222241,22.2s y s y s λλ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩()222182s s λλ+=+()2222161s λλλ+=--22s >24s ≠()2221261λλλ+>--()2221461λλλ+≠--2610λλ-+<13λ≠33λ-<<+13λ≠01λ<<1223<<-∴λ13λ≠113,133⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭dEF ||0y 0y 0y 0y )23(3200-=+x y y y 0y 862-=x y 130≤≤-y 2120≤+=≤-y y )22(862≤≤--=y x y b x y +=3862-=x y 08)1(6922=++-+b x b x 862-=x y 22≤≤-y 234≤≤x 34[]8)1(69)(22++-+=b x b x x f 34[]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--≤≥++-+=≥++-+=>+--=∆⋅⋅⋅⋅⋅⋅．，，，292)1(634082)1(629)2(0834)1(6)34(9)34(0)8(94)]1(6[222222b b b f b b f b b 34-≤≤-b 7232984)]1(32[||2221--=+--=-⋅b b b x x 721032||1||212--=-+=⋅b x x k EF 10||b d =71)711(73202732072320||222++-=--=--=b b b b b d EF 34-≤≤-b 41131-≤≤-b 411-=b 4-=b 35||max =d EF【例03】已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．(1)求椭圆的方程．(2)设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点．当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值．解(I )由题意得所求的椭圆方程为，(II )不妨设则抛物线在点P 处的切线斜率为，直线MN 的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN 与椭圆有两个不同的交点，所以有，设线段MN 的中点的横坐标是，则，设线段PA 的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1．【例04】已知抛物线：上一点到其焦点的距离为． (1)求与的值．(2)设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点．若是的切线，求的最小值．解(Ⅰ)由抛物线方程得其准线方程：，根据抛物线定义点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得抛物线方程为：，将代入抛物线方程，解得(Ⅱ)由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为.1C 22221(0)y x a b a b+=>>(1,0)A 1C 11C P 2C 2()y x h h =+∈R 2C P 1C ,M N AP MN h 212,,121b a b b a=⎧=⎧⎪∴⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩2214y x +=21122(,),(,),(,),M x y N x y P t t h +2C 2x ty t ='=22y tx t h =-+1C 2224(2)40x tx t h +-+-=()22222414()()40t x t t h x t h +--+--=1C 4221162(2)40t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦3x 21232()22(1)x x t t h x t +-==+4x 412t x +=34x x =2(1)10t h t +++=22(1)40,1h h ∆=+-≥∴≥3h ≤-3h ≤-220,40h h +<-<4221162(2)40t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦1h ≥1h =2(1)10t h t +++=1t =-1,1h t ==-4221162(2)40t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦h C 22(0)x py p =>(,4)A m 174p m C P (0)t t >P C Q x M Q PQ C N MN C t 2py -=)4,(m A 41724=+p 21=p ∴y x =2)4,(m A 2±=m ),(2t t P PQ k则，当则. 联立方程，整理得：即：，解得或，而，直线斜率为，联立方程整理得：，即：，解得：，或，而抛物线在点N 处切线斜率：MN 是抛物线的切线，，整理得，解得(舍去)，或，【例05】已知双曲线．(1)求双曲线的方程．(2)设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．(Ⅰ)由题意，得，解得，所求双曲线的方程为. )(:2t x k t y l PQ -=-,,02k kt t x y +-==)0,(2kktt M +-⎩⎨⎧=-=-y x t x k t y 22)(0)(2=-+-t k t kx x 0)]()[(=---t k x t x ,t x =t k x -=))(,(2t k t k Q --∴QP QN ⊥∴NQ k1-)]([1)(:2t k x k t k y l NQ---=--∴⎪⎩⎪⎨⎧=---=--y x t k x kt k y 22)]([1)(0)()(1122=----+t k t k kx k x 0]1)()[(2=+---+t k k t k x kx 0)](][1)([=--+-+t k x t k k kx kt k k x 1)(+--=t k x -=)]1)([,1)((22kt k k k t k k N +-+--∴)1()1(1)(]1)([2222222--+-=+--+--+-=∴k t k kt k kkt t k t k k k t k k K NMkt k k y k kt k k x 2)(21)(---='=+--=切k t k k k t k kt k 2)(2)1()1(2222---=--+-∴02122=-++t tk k 0)21(422≥--=∆t t 32-≤t 32≥t 32min =∴t 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>3x =C l 22:2O x y +=0000(,)(0)P x y x y ≠l C ,A B AOB ∠23a c c a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1,a c ==2222b c a =-=C 2212y x -=(Ⅱ)点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得. 由及得， ∵切线与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且，∴，且，设A 、B 两点的坐标分别为，则， ∵，且，.∴ 的大小为.【解法2】(Ⅰ)同解法1.(Ⅱ)点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由及得 ① ②∵切线与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且，∴，设A 、B 两点的坐标分别为，则，∴，∴ 的大小为. (∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零).()()0000,0P x y x y ≠222x y +=()00,P x y ()0000x y y x x y -=--002x x y y +=2200122y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩22002x y +=()222000344820x x x x x --+-=l 2002x <<20340x -≠()()22200016434820x x x ∆=--->()()1122,,,x y x y 20012122200482,3434x x x x x x x x -+==--cos OA OB AOB OA OB⋅∠=⋅()()121212010220122OA OB x x y y x x x x x x y ⋅=+=+--()212012012201422x x x x x x x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦-()222200002222000082828143423434x x x x x x x x ⎡⎤--⎢⎥=+-+----⎢⎥⎣⎦22002200828203434x x x x --==-=--AOB ∠90︒()()0000,0P x y x y ≠222x y +=()00,P x y ()0000x y y x x y -=--002x x y y +=2200122y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩22002x y +=()22200344820x x x x x --+-=()222000348820xy y x x ---+=l 2002x <<20340x -≠()()1122,,,x y x y 2200121222008228,3434x x x x y y x x --==--12120OA OB x x y y ⋅=+=AOB ∠90︒22002x y +=000x y ≠220002,02x y <<<<20340x -≠【例06】椭圆E : (a 、b >0)过M (2) ，N，1)两点，O 为坐标原点.(1)求椭圆E 的方程．(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，并且若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由.解:(1)因为椭圆E : (a ，b >0)过M (2) ，N ，1)两点，所以解得所以椭圆E 的方程为 (2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且，设该圆的切线方程为解方程组得，即，则△=，即，要使，需使，即，所以，所以又，所以，所以，即或，因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为，，，所求的圆为，此时圆的切线都满足或，而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足，综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且.因为， 22221x y a b+=OA OB ⊥22221x y a b +=2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩22118114a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2284a b ⎧=⎨=⎩22184x y +=OA OB ⊥y kx m =+22184x y y kx m+==+⎧⎪⎨⎪⎩222()8x kx m ++=222(12)4280k x kmx m +++-=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>22840k m -+>12221224122812km x x k m x x k⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m ky y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++OA OB⊥12120x x y y +=2222228801212m m k k k--+=++223880m k --=223808mk -=≥22840k m -+>22238m m ⎧>⎨≥⎩283m ≥m ≥m ≤y kx m =+r =222228381318m m r m k===-++3r =2283x y +=y kx m =+m ≥m ≤x =22184x y +=(OA OB ⊥2283x y +=OA OB ⊥12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以，， ①当时因为所以，所以，所以当且仅当时取”=”.②当时， ③ 当AB 的斜率不存在时，两个交点为或，所以此时综上， |AB |: 【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题，主要考查了椭圆的标准方程的确定，直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法，能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.【例07】设，在平面直角坐标系中，已知向量，向量，，动点的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程，并说明该方程所表示曲线的形状． (2)已知，证明:存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A ， B ，且(O 为坐标原点)，并求出该圆的方程． (3)已知，设直线与圆C :(1<R <2)相切于A 1，且与轨迹E 只有一个公共点B 1，当R 为何值时，|A 1B 1|取得最大值?并求最大值.解(1)因为，，，所以，即.当m =0时，方程表示两直线，方程为；22222212121222224288(84)()()4()41212(12)km m k m x x x x x x k k k --+-=+-=--⨯=+++||AB =====0k ≠||AB =221448k k ++≥221101844k k<≤++2232321[1]1213344k k<+≤++46||233AB <≤22k =±0k =||AB =±(||AB =||AB ≤≤||AB ∈m R ∈(,1)a mx y =+(,1)b x y =-a b ⊥(,)M x y 41=m OA OB ⊥41=m l 222x y R +=l a b ⊥(,1)a mx y =+(,1)b x y =-2210a b mx y ⋅=+-=221mx y +=1±=y当时，方程表示的是圆当且时，方程表示的是椭圆；当时，方程表示的是双曲线.(2).当时，轨迹E 的方程为，设圆心在原点的圆的一条切线为，解方程组得，即，要使切线与轨迹E 恒有两个交点A ，B ，则使△=，即，即，且，要使，需使，即，所以，即且，即恒成立. 所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为，，所求的圆为. 当切线的斜率不存在时，切线为，与交于点或也满足.综上，存在圆心在原点的圆使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点且. (3)当时，轨迹E 的方程为，设直线的方程为，因为直线与圆C :(1<R <2)相切于A 1，由(2)知，即 ①，因为与轨迹E 只有一个公共点B 1，由(2)知得，即有唯一解则△=，即， ②1m =0>m 1≠m 0<m 41=m 2214x y +=y kx t =+2214y kx t x y ++==⎧⎪⎨⎪⎩224()4x kx t ++=222(14)8440k x ktx t +++-=2222226416(14)(1)16(41)0k t k t k t -+-=-+>22410k t -+>2241t k <+12221228144414kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩22222222212121212222(44)84()()()141414k t k t t k y y kx t kx t k x x kt x x t t k k k--=++=+++=-+=+++OA OB ⊥12120x x y y +=222222224445440141414t t k t k k k k ----+==+++225440t k --=22544t k =+2241t k <+2244205k k +<+y kx t =+r =222224(1)45115k t r k k +===++2245x y +=552±=x 2214x y +=)552,552(±)552,552(±-OA OB ⊥2245x y +=OA OB ⊥41=m 2214x y +=l y kx t =+l 222x y R +=R =222(1)t R k =+l 2214y kx t x y ++==⎧⎪⎨⎪⎩224()4x kx t ++=222(14)8440k x ktx t +++-=2222226416(14)(1)16(41)0k t k t k t -+-=-+=22410k t -+=由①②得，此时A ，B 重合为B 1(x 1，y 1)点，由中，所以，， B 1(x 1，y 1)点在椭圆上，所以，所以，在直角三角形OA 1B 1中，因为当且仅当时取等号，所以，时|A 1B 1|取得最大值，最大值为1.【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系，以及直线与椭圆的位置关系，可以通过解方程组法研究有没有交点问题，有几个交点的问题.【例08】如图所示，已知圆是椭圆的内接△的内切圆，其中为椭圆的左顶点. (1)求圆的半径.(2)过点作圆的两条切线交椭圆于两点，证明：直线与圆相切．(1)解设，过圆心作于，由，即 (1)而点在椭圆上，由(1)、 (2)式得，解得或(舍去) (2) 证明设过点与圆相切的直线方程为: (3) 则(4) 解得将(3)代入得，则异于零的解为 2222223414R t R R k R ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪⎩-12221228144414kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩21x x =222122441616143t R x k R --==+22211214143R y x R -=-=22211124||5OB x y R=+=-2222211112244||||||55()A B OB OA R R R R =-=--=-+2244R R+≥(1,2)R =211||541A B ≤-=(1,2)R =:G 222(2)x y r -+=22116x y +=ABC A G r (0,1)M G E F ，EF G B 02,r y +（）G GD AB ⊥D BC GD HBAD AH =06y r =+0y =B 02,r y +（）2220(2)12411616r r r y +--=-==2158120r r +-=23r =65r =-M(0,1)224(2)9x y -+=1y kx -=23=2323650k k ++=12k k ==22116x y +=22(161)320k x kx ++=232161k x k =-+设，，则则直线的斜率为：于是直线的方程为: 即则圆心到直线的距离故结论成立.【例09】已知椭圆()的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于点A ，B 两点，且.(1)求椭圆的离心率. (2)直线AB 的斜率.(3)设点C 与点A 关于坐标原点对称，直线上有一点H (m ，n )()在的外接圆上，求的值.(1)得从而得，离心率 (2)由(1)知，，所以椭圆的方程可以写为设直线AB 的方程为即由已知设则它们的坐标满足方程组消去y 整理，得依题意，而，有题设知，点B 为线段AE 的中点，所以联立三式，解得，将结果代入韦达定理中解得. (3)由(2)知，，当时，得A 由已知得111(,1)F x k x +222(,1)E x k x +121222123232,161161k k x x k k =-=-++FE 221112*********EF k x k x k k k x x k k -+===--FE 2112211323231()1614161k k y x k k +-=+++3743y x =-(2,0)FE 3722339116d -==+12222=+by a x 0>>b a )0)(0,(),0,(21>-c c F c F )0,(2c a E ||2||,//2121B F A F B F A F =B F 20≠m C AF 1∆mn||||,//2121B F A F B F A F =21||||||||1212==A F B F EF EF 2122=+-c cacc a 223c a =33==a c e 22222c c a b =-=222632c y x =+)(2ca x k y -=)3(c x k y -=),(),(2211y x B y x A ⎩⎨⎧=+-=222632)3(cy x c x k y 062718)32(222222=-+-+c c k cx k x k 3333,0)31(4822<<->-=∆k k c 222221222132627,3218k c c k x x k k x x +-=+=+2123x c x =+222222213229,3229kc c k x k c c k x ++=+-=32±=k 23,021cx x ==32-=k )2,0(c )2,0(c C -线段的垂直平分线l 的方程为直线l 与x 轴的交点是的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为直线的方程为，于是点满足方程组由，解得，故，当时，同理可得.【例10】已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，右准线方程为2x =.(1)求椭圆的标准方程.(2)过点的直线与该椭圆交于两点，且的方程.解(I )由已知得，解得∴ ∴ 所求椭圆的方程为. (II )由(I )得、①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，由得设、，∴ ，与已知相矛盾. ②若直线的斜率存在，设直线直线的斜率为，则直线的方程为，设、，联立，消元得∴，∴ ，又∵∴∴ 1AF ),2(2222c x c y +-=-)0,2(c C AF 1∆222)2()2(cc y c x +=+-B F 2)(2c x y -=),(n m H ⎪⎩⎪⎨⎧-==+-)(249)2(222c m n c n c m 0≠m 222,35c n c m ==522=m n 32=k 522=m n 2221(0)x y a b a b+=>>12F F 、e =1F l M N 、2223F M F N +=l 2222⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩c a a c2,1==a c 221-=b a c 2212+=x y 1(1,0)-F 2(1,0)F l l 1=-x 22112=-⎧⎪⎨+=⎪⎩x x y 2=±y (1,)2-M (1,2--N 22(2,(2,)(4,0)422+=-+--=-=F M F N l l k l (1)=+y k x 11(,)M x y 22(,)N x y 22(1)12=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y k x x y 2222(12)4220+++-=k x k x k 22121222422,1212--+==++k k x x x x k k 121222(2)12+=++=+ky y k x x k 211222(1,),(1,)=-=-F M x y F N x y 221212(2,)+=+-+F M F N x x y y 22(+===F M F N x化简得解得 ∴ ∴ 所求直线的方程为 .【例11】在平面直角坐标系xOy 中，点P 到点F (3，0)的距离的4倍与它到直线x =2的距离的3倍之和记为d ，当P 点运动时，d 恒等于点P 的横坐标与18之和. (1)求点P 的轨迹C .(2)设过点F 的直线l 与轨迹C 相交于M ，N 两点，求线段MN 长度的最大值.解(Ⅰ)设点P 的坐标为(x ，y )，则3︳x -2︳由题设当x >2时，由①得化简得当时由①得化简得故点P 的轨迹C 是椭圆在直线x =2的右侧部分与抛物线在直线x =2的左侧部分(包括它与直线x =2的交点)所组成的曲线，参见图1(Ⅱ)如图2所示，易知直线x =2与，的交点都是A (2，)，B (2，)，直线AF ，BF 的斜率分别为=，=. 当点P 在上时，由②知. ④当点P 在上时，由③知 ⑤ 若直线l 的斜率k 存在，则直线l 的方程为(i )当k ≤，或k ≥，即k ≤-2 时，直线I 与轨迹C 的两个交点M (，)，N (，)都在C 上，此时由④知∣MF ∣= 6 -∣NF ∣= 6 -从而∣MN ∣= ∣MF ∣+ ∣NF ∣= (6 -)+ (6 - )=12 - ( +) 424023170--=k k 2217140或(舍去)==-k k 1=±k l 11或=+=--y x y x 224(3)d x y =--+221(3)6,2x y x -+=-22 1.3627x y +=2x ≤22(3)3,x y x ++=+212y x =221:13627x y C +=22:12C y x =1C 2C 2626-AF k 26-BF k 261C 162PF x =-2C 3PF x =+(3)y k x =-AF k BF k 61x 1y 2x 2y 1121x 122x 121x 122x 121x 2x由得则，是这个方程的两根，所以+=*∣MN ∣=12 - (+)=12 - 因为当当且仅当时，等号成立.(2)当L 与轨迹C 的两个交点分别在上，不妨设点在上，点上，则④⑤知，设直线AF 与椭圆的另一交点为E 所以.而点A ，E 都在上，且有(1)知若直线的斜率不存在，则==3，此时综上所述，线段MN 长度的最大值为.22(3)13627y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩2222(34)24361080k x k x k +-+-=1x 1y 1x 2x 222434k k +121x 2x 221234k k +226,6,24,k k ≤≥≥或k 2时22212121001212.134114k MN k k =-=-=++k =±,AE AN k k k k <<-<1122(,),(,)M x y N x y 12,C C M 1C 2C 1216,32MF x NF x =-=+1C 00012(,),, 2.x y x x x <<则1021166,33222MF x x EF NF x AF =-<-==+<+=MN MF NF EF AF AE =+<+=1C 26,AE k =-100100,1111AE MN =<所以ι1x 2x 12110012()9211MN x x =-+=<10011【例12】已知直线经过椭圆的左顶点A 和上顶点D ，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点.(1)求椭圆的方程.(2)求线段MN 的长度的最小值.(3)当线段MN 的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由.解方法一(I )由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为故椭圆的方程为 (Ⅱ)直线AS 的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而由得0设则得，从而即又由得故又当且仅当，即时等号成立时，线段的长度取最小值 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知，当取最小值时，此时的方程为要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上.设直线由解得或220x y -+=2222:1(0)x y C a b a b+=>>C B S C x ,AS BS 10:3l x =,M N C C T TSB ∆15T C (2,0),A -(0,1),2,1D a b ∴==C 2214x y +=k 0k >AS (2)y k x =+1016(,)33k M 22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩2222(14)16164k x k x k +++-=11(,),S x y 212164(2),14k x k --=+2122814k x k -=+12414ky k =+222284(,),1414k k S k k -++(2,0)B 1(2)4103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩10313x y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩101(,)33N k ∴-161||33k MN k=+16116180,||233333k k k MN k k >∴=+≥⋅=16133k k =14k =14k ∴=MN 83MN 14k =BS 644220,(,),||555x y s BS +-=∴=C T TSB ∆15T BS 24T BS BS 24l ':10l x y ++=|2|2,42t +=32t =-52t =-【例13】给定椭圆，称圆心在原点的圆是椭圆Ｃ的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为，其短轴上的一个端点到Ｆ(1)求椭圆Ｃ的方程和其“准圆”方程.(2)点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过点P 作直线，使得与椭圆C 都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点M 、N .①当P 为“准圆”与轴正半轴的交点时，求的方程. ②求证|MN |为定值.解：(I )因为，所以 ……………2分所以椭圆的方程为，准圆的方程为 . ……………4分 (II )(1)因为准圆与轴正半轴的交点为P (0，2)， ……………5分设过点P (0，2)，且与椭圆有一个公共点的直线为，所以，消去y ，得到， ……………6分因为椭圆与只有一个公共点，所以，…7分解得. …8分所以方程为. ……9分 (2)①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当方程为时，此时与准圆交于点，此时经过点(或)且与椭圆只有一个公共点的直线是(或)，即为(或)，显然直线垂直；同理可证方程为时，直线垂直. ………10分 ② 当都有斜率时，设点，其中，设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，则，消去得到，，，经过化简得到:，因为，，2222:1(0)x y C a b a b+=>>O F 12,l l 12,l l 12,l l y 12,l l 3,2==a c 1=b 2213x y +=422=+y x 422=+y x y 2+=kx y 22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩0912)31(22=+++kx x k 2+=kx y 2214449(13)0k k ∆=-⨯+=1±=k 12,l l 2,2+-=+=x y x y 12,l l 1l 1l 3=x 3-=x 1l 3=x 1l )1,3(),1,3(-)1,3()1,3(-1=y 1-=y 2l 1=y 1-=y 12,l l 1l 3-=x 12,l l 12,l l ),(00y x P 42020=+y x ),(00y x P 00)(y x x t y +-=0022()13y tx y tx x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩y 03))((32002=--++tx y tx x 03)(3)(6)31(2000022=--+-++tx y x tx y t x t 0]3)(3)[31(4)](6[2002200=--+⋅--=∆tx y t tx y t 012)3(2000220=-++-y t y x t x 42020=+y x 0)3(2)3(2000220=-++-x t y x t x设的斜率分别为，因为与椭圆都只有一个公共点，所以满足上述方程，所以，即垂直.……12分综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点M ，N ，且垂直，所以线段MN 为准圆的直径，所以|ＭＮ|=４. ……………13分【例14】设曲线C 1:1222=+y ax (a 为正常数)与C 2:y 2=2(x +m )在x 轴上方公有一个公共点P .(1)实数m 的取值范围(用a 表示).(2)O 为原点，若C 1与x 轴的负半轴交于点A ，当0<a <21时，试求⊿OAP 的面积的最大值(用a 表示). 14. 解：(1)由⎪⎩⎪⎨⎧+==+)(212222m x y y a x 消去y 得：0222222=-++a m a x a x ①设222222)(a m a x a x x f -++=，问题(1)化为方程①在x ∈(-a ，a )上有唯一解或等根．只需讨论以下三种情况：1°△=0得：212+=a m ，此时x p =-a 2，当且仅当-a <-a 2<a ，即0<a <1时适合；2°f (a )f (-a )<0，当且仅当-a <m <a ；3°f (-a )=0得m =a ，此时x p =a -2a 2，当且仅当-a <a -2a 2<a ，即0<a <1时适合． f (a )=0得m =-a ，此时x p =-a -2a 2，由于-a -2a 2<-a ，从而m ≠-a ．综上可知，当0<a <1时，212+=a m 或-a <m ≤a ；当a ≥1时，-a <m <a ．…… 10分(2)△OAP 的面积p ay S 21=∵0<a <21，故-a <m ≤a 时，0<m a a a 2122-++-<a ，由唯一性得 m a a a x p 2122-++-=显然当m =a 时，x p 取值最小．由于x p ＞0，从而y p =221ax p -取值最大，此时22a a y p -=，∴2a a a S -=．当212+=a m 时，x p =-a 2，y p =21a -，此时2121a a S -=．下面比较2a a a -与2121a a -的大小：令22121a a a a a -=-，得31=a故当0<a ≤31时，2a a a -≤2121a a -，此时2121a a S max -=．当2131<<a 时，22121a a a a a ->-，此时2a a a S max -=．……… 20分12,l l 21,t t 12,l l 21,t t 0)3(2)3(2000220=-++-x t y x t x 121-=⋅t t 12,l l 12,l l ),(00y x P 12,l l 422=+y x【例15】一张纸上画有半径为R 的圆O 和圆内一定点A 且OA =a . 拆叠纸片使得圆周上某一点A /刚好与A 点重合，这样的每一种拆法都留下一条直线折痕，当A /取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．16.解：如图，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则有A (a ，0)．设折叠时，⊙O 上点A /(ααsin ,cos R R )与点A 重合，而折痕为直线MN ，则 MN 为线段AA /的中垂线．设P (x ，y )为MN 上任一点，则｜PA /｜=｜PA ｜ 5分 ∴2222)()sin ()cos (y a x R y R x +-=-+-α 即ax a R y x R 2)sin cos (222+-=+αα 10分∴22222222sin cos yx R ax a R yx y x ++-=++αα可得：)cos ,(sin 22)sin(22222222yx y yx x yx R ax a R +=+=++-=+θθθα∴222222yx R ax a R ++-≤1 (此不等式也可直接由柯西不等式得到) 15分平方后可化为 22222)2()2()2()2(a R y R a x -+-≥1，即所求点的集合为椭圆圆22222)2()2()2()2(a R y R a x -+-=1外(含边界)的部分． 20分【例16】过抛物线2x y =上的一点A (1，1)作抛物线的切线分别交x 轴于D 、交y 轴于B .点C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足1λ=EC AE ；点F 在线段BC 上，满足2λ=FCBF，121=+λλ，线段CD 与EF 交于点P .当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程.18.解一：过抛物线上点A 的切线斜率为：∴=='=,2|21x x y 切线AB 的方程为D B x y 、∴-=.12的坐标为D D B ∴-),0,21(),1,0(是线段AB 的中点.……5分设),(y x P 、),(200x x C 、),(11y x E 、),(22y x F ，则由1λ=ECAE知， ;11,11120111011λλλλ++=++=x y x x ,2λ=FC BE得.11,1220222022λλλλ++-=+=x y x x∴EF 所在直线方程为：,1111111111111202101120122021201λλλλλλλλλλλλ++-+++-=++-++-++-x x x x x x x y 化简得.1]3)[()]1()[(2020********x x x x y x λλλλλλ-++--=+--…①…10分当210≠x 时，直线CD 的方程为：12202020--=x x x x y …②联立①、②解得02133x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去0x ，得P 点轨迹方程为：.)13(312-=x y ……15分当210=x 时，EF 方程为：CD x y ,4123)34141(23212λλλ-+--=-方程为：21=x ，联立解得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.121,21y x 也在P 点轨迹上.因C 与A 不能重合，∴.32,10≠∴≠x x ∴所求轨迹方程为).32()13(312≠-=x x y ……20分解二：由解一知，AB 的方程为),0,21(),1,0(,12D B x y --=故D 是AB 的中点. ……5分令,1,1,2211λλγ+==+===CF CBt CE CA t CP CD 则.321=+t t 因为CD 为ABC ∆的中线， .22CBD CAD CAB S S S ∆∆∆==∴而,23,232)11(212212*********=∴=+=+=+==⋅⋅=∆∆∆∆∆∆γγγγγt t t t t t t t S S S S S S CB CA CF CE t t CBD CFP CAD CEP CAB CEF P ∴是ABC ∆的重心.……10分设),,(),,(200x x C y x P 因点C 异于A ，则,10≠x 故重心P 的坐标为,3311),32(,31310202000x x y x x x x =++-=≠+=++=消去,0x 得.)13(312-=x y故所求轨迹方程为).32()13(312≠-=x x y ……20分。

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解析几何【例01】点,A B 的坐标分别是(0,1)-，(0,1)，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为12-． (1)求点M 轨迹C 的方程.(2)若过点()2,0D 的直线l 与(1)中的轨迹C 交于不同的两点E 、F (E 在D 、F 之间)，试求ODE ∆与ODF ∆面积之比的取值范围(O 为坐标原点)．解(1)设点M 的坐标为(,)x y ，∵12AM BM k k ⋅=-，∴1112y y x x +-⋅=-．整理，得2212x y +=(0x ≠)，这就是动点M 的轨迹方程． (2)方法一由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为()2y k x =-(12k ≠±) ① 将①代入1222=+y x ，得0)28(8)12(2222=-+⋅-+k x k x k ，由0∆>，解得2102k <<．设()11,E x y ，()22,F x y ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+.1228,12822212221k k x x k k x x ②令OBE OBF S S λ∆∆=，则||||BE BF λ=，即BE BF λ=⋅，即()1222x x λ-=-，且0 1.λ<<由②得，12212121224(2)(2),2122)(2)2()4.21x x k x x x x x x k -⎧-+-=⎪⎪+⎨⎪-⋅-=-++=⎪+⎩（即()()()22222412,2122.21x k x k λλ-⎧+-=⎪⎪+⎨⎪-=⎪+⎩22222141,(1)8(1)2k k λλλλ+∴==-++即． 2102k <<且214k ≠24110(1)22λλ∴<-<+且2411(1)24λλ-≠+．解得33λ-<<+13λ≠01λ<<，1223<<-∴λ且13λ≠．∴△OBE 与△OBF面积之比的取值范围是113,133⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．方法二由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为2x sy =+(2)s ≠± ①将①代入1222=+y x ，整理，得22(2)420s y sy +++=，由0∆>，解得22s >．设()11,E x y ，()22,F x y ，则1221224,22.2s y y s y y s ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩② 令11221212OBE OBF OB y S y S y OB y λ∆∆⋅===⋅，且01λ<< .将12y y λ=代入②，得()2222241,22.2s y s y s λλ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩∴()222182s s λλ+=+．即()2222161s λλλ+=--． ∵22s >且24s ≠，∴()2221261λλλ+>--且()2221461λλλ+≠--．即2610λλ-+<且13λ≠．解得33λ-<<+13λ≠． 01λ<<，1223<<-∴λ且13λ≠．故△OBE 与△OBF面积之比的取值范围是113,133⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【例02】在△ABC 中，A 点的坐标为(3，0)，BC 边长为2，且BC 在y 轴上的区间[-3，3]上滑动．(1)求△ABC 外心的轨迹方程．(2)设直线l ∶y =3x +b 与(1)的轨迹交于E 、F 两点，原点到直线l 的距离为d ，求dEF ||的最大值并求出此时b 的值．解 (1)设B 点的坐标为(0，0y )，则C 点坐标为(0，0y +2)(-3≤0y ≤1)，则BC 边的垂直平分线为y =0y +1 ①)23(3200-=+x y y y ②由①②消去0y ，得862-=x y ．∵130≤≤-y ，∴2120≤+=≤-y y ．故所求的△ABC 外心的轨迹方程为：)22(862≤≤--=y x y ．(2)将b x y +=3代入862-=x y 得08)1(6922=++-+b x b x ．由862-=x y 及22≤≤-y ，得234≤≤x ．所以方程①在区间34[，2]有两个实根．设8)1(69)(22++-+=b x b x x f ，则方程③在34[，2]上有两个不等实根的充要条件是： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--≤≥++-+=≥++-+=>+--=∆⋅⋅⋅⋅⋅⋅．，，，292)1(634082)1(629)2(0834)1(6)34(9)34(0)8(94)]1(6[222222b b b f b b f b b 得34-≤≤-b∵7232984)]1(32[||2221--=+--=-⋅b b b x x ∴721032||1||212--=-+=⋅b x x k EF 又原点到直线l 的距离为10||b d =，∴71)711(73202732072320||222++-=--=--=b b b b b d EF ∵34-≤≤-b ，∴41131-≤≤-b ．∴当411-=b ，即4-=b 时，35||max =d EF ．【例03】已知椭圆1C ：22221(0)y x a b a b+=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1．(1)求椭圆1C 的方程．(2)设点P 在抛物线2C ：2()y x h h =+∈R 上，2C 在点P 处的切线与1C 交于点,M N ．当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值．解(I )由题意得212,,121b a b b a=⎧=⎧⎪∴⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩所求的椭圆方程为2214y x +=，(II )不妨设21122(,),(,),(,),M x y N x y P t t h +则抛物线2C 在点P 处的切线斜率为2x t y t ='=，直线MN 的方程为22y tx t h =-+，将上式代入椭圆1C 的方程中，得2224(2)40x tx t h +-+-=，即()22222414()()40t x t t h x t h +--+--=，因为直线MN 与椭圆1C 有两个不同的交点，所以有4221162(2)40t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦，设线段MN 的中点的横坐标是3x ，则21232()22(1)x x t t h x t +-==+，设线段PA 的中点的横坐标是4x ，则412t x +=，由题意得34x x =，即有2(1)10t h t +++=，其中的22(1)40,1h h ∆=+-≥∴≥或3h ≤-；当3h ≤-时有220,40h h +<-<，因此不等式4221162(2)40t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦不成立；因此1h ≥，当1h =时代入方程2(1)10t h t +++=得1t =-，将1,1h t ==-代入不等式4221162(2)40t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦成立，因此h 的最小值为1．【例04】已知抛物线C ：22(0)x py p =>上一点(,4)A m 到其焦点的距离为174． (1)求p 与m 的值．(2)设抛物线C 上一点P 的横坐标为(0)t t >，过P 的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于点M ，过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N ．若MN 是C 的切线，求t 的最小值．解(Ⅰ)由抛物线方程得其准线方程：2py -=，根据抛物线定义点)4,(m A 到焦点的距离等于它到准线的距离，即41724=+p ，解得21=p ∴抛物线方程为：y x =2，将)4,(m A 代入抛物线方程，解得2±=m(Ⅱ)由题意知，过点),(2t t P 的直线PQ 斜率存在且不为0，设其为k .则)(:2t x k t y l PQ -=-，当,,02k kt t x y +-== 则)0,(2kktt M +-. 联立方程⎩⎨⎧=-=-y x t x k t y 22)(，整理得：0)(2=-+-t k t kx x 即：0)]()[(=---t k x t x ，解得,t x =或t k x -=))(,(2t k t k Q --∴，而QP QN ⊥，∴直线NQ 斜率为k1-)]([1)(:2t k x k t k y l NQ---=--∴，联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=---=--y x t k x kt k y 22)]([1)( 整理得：0)()(1122=----+t k t k kx k x ，即：0]1)()[(2=+---+t k k t k x kx 0)](][1)([=--+-+t k x t k k kx ，解得：kt k k x 1)(+--=，或t k x -= )]1)([,1)((22kt k k k t k k N +-+--∴，)1()1(1)(]1)([2222222--+-=+--+--+-=∴k t k kt k kkt t k t k k k t k k K NM而抛物线在点N 处切线斜率：kt k k y k kt k k x 2)(21)(---='=+--=切MN 是抛物线的切线，k t k k k t k kt k 2)(2)1()1(2222---=--+-∴，整理得02122=-++t tk k 0)21(422≥--=∆t t ，解得32-≤t (舍去)，或32≥t ，32min =∴t【例05】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>333x =．(1)求双曲线C 的方程．(2)设直线l 是圆22:2O x y +=上动点0000(,)(0)P x y x y ≠处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点,A B ，证明AOB ∠的大小为定值.【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．(Ⅰ)由题意，得233a c c a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1,3a c ==2222b c a =-=，所求双曲线C 的方程为2212y x -=.(Ⅱ)点()()0000,0P x y x y ≠在圆222x y +=上，圆在点()00,P x y 处的切线方程为()0000x y y x x y -=--，化简得002x x y y +=. 由2200122y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩及22002x y +=得()222000344820x x x x x --+-=， ∵切线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且2002x <<，∴20340x -≠，且()()22200016434820x x x ∆=--->，设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则20012122200482,3434x x x x x x x x -+==--， ∵cos OA OB AOB OA OB⋅∠=⋅，且()()121212010220122OA OB x x y y x x x x x x y ⋅=+=+--， ()212012012201422x x x x x x x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦-()222200002222000082828143423434x x x x x x x x ⎡⎤--⎢⎥=+-+----⎢⎥⎣⎦22002200828203434x x x x --==-=--.∴ AOB ∠的大小为90︒.【解法2】(Ⅰ)同解法1.(Ⅱ)点()()0000,0P x y x y ≠在圆222x y +=上，圆在点()00,P x y 处的切线方程为()0000x y y x x y -=--，化简得002x x y y +=.由2200122y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩及22002x y +=得 ()22200344820x x x x x --+-= ① ()222000348820xy y x x ---+= ②∵切线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且2002x <<，∴20340x -≠，设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则2200121222008228,3434x x x x y y x x --==--，∴12120OA OB x x y y ⋅=+=，∴ AOB ∠的大小为90︒. (∵22002x y +=且000x y ≠，∴220002,02x y <<<<，从而当20340x -≠时，方程①和方程②的判别式均大于零).【例06】椭圆E : 22221x y a b+=(a 、b >0)过M (2，2) ，N (6，1)两点，O 为坐标原点.(1)求椭圆E 的方程．(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，并且OA OB ⊥若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由.解:(1)因为椭圆E : 22221x y a b +=(a ，b >0)过M (2，2) ，N (6，1)两点，所以2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得22118114a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2284a b ⎧=⎨=⎩椭圆E 的方程为22184x y += (2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA OB ⊥，设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组22184x y y kx m+==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()8x kx m ++=，即222(12)4280k x kmx m +++-=，则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>，即22840k m -+>，12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++要使OA OB ⊥，需使12120x x y y +=，即2222228801212m m k k k--+=++，所以223880m k --=，所以223808m k -=≥又22840k m -+>，所以22238m m ⎧>⎨≥⎩，所以283m ≥，即26m ≥或26m ≤，因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为21m r k=+，222228381318m m r m k===-++，63r =，所求的圆为2283x y +=，此时圆的切线y kx m =+都满足26m ≥或26m ≤，而当切线的斜率不存在时切线为26x =±与椭圆22184x y +=的两个交点为2626或2626(±满足OA OB ⊥，综上，存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA OB ⊥.因为12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以22222212121222224288(84)()()4()41212(12)km m k m x x x x x x k k k --+-=+-=--⨯=+++，()2222222121212228(84)||()(1)()(1)(12)k m AB x x y y k x x k k -+=-+-=+-=++42242423245132[1]34413441k k k k k k k ++=⋅=+++++， ①当0k ≠时22321||[1]1344AB k k =+++因为221448k k ++≥所以221101844k k<≤++，所以2232321[1]1213344k k<+≤++，所以46||233AB <≤当且仅当22k =±时取”=”. ② 当0k =时，46||AB =. ③ 当AB 的斜率不存在时，两个交点为2626或2626(±，所以此时46||AB = 综上， |AB |46||233AB ≤≤: 4||[6,23]3AB ∈ 【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题，主要考查了椭圆的标准方程的确定，直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法，能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.【例07】设m R ∈，在平面直角坐标系中，已知向量(,1)a mx y =+，向量(,1)b x y =-，a b ⊥，动点 (,)M x y 的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程，并说明该方程所表示曲线的形状． (2)已知41=m ，证明:存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A ，B ，且OA OB ⊥(O 为坐标原点)，并求出该圆的方程．(3)已知41=m ，设直线l 与圆C :222x y R +=(1<R <2)相切于A 1，且l 与轨迹E 只有一个公共点B 1，当R 为何值时，|A 1B 1|取得最大值并求最大值.解(1)因为a b ⊥，(,1)a mx y =+，(,1)b x y =-，所以2210a b mx y ⋅=+-=，即221mx y +=.当m =0时，方程表示两直线，方程为1±=y ；当1m =时，方程表示的是圆当0>m 且1≠m 时，方程表示的是椭圆；当0<m 时，方程表示的是双曲线.(2).当41=m 时，轨迹E 的方程为2214x y +=，设圆心在原点的圆的一条切线为y kx t =+，解方程组2214y kx t x y ++==⎧⎪⎨⎪⎩得224()4x kx t ++=，即222(14)8440k x ktx t +++-=，要使切线与轨迹E 恒有两个交点A ，B ，则使△=2222226416(14)(1)16(41)0k t k t k t -+-=-+>，即22410k t -+>，即2241t k <+，且12221228144414kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩22222222212121212222(44)84()()()141414k t k t t k y y kx t kx t k x x kt x x t t k k k --=++=+++=-+=+++，要使OA OB ⊥，需使12120x x y y +=，即222222224445440141414t t k t k k k k ----+==+++，所以225440t k --=，即22544t k =+且2241t k <+，即2244205k k +<+恒成立. 所以又因为直线y kx t =+为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为21t r k=+，222224(1)45115k t r k k +===++，所求的圆为2245x y +=. 当切线的斜率不存在时，切线为552±=x ，与2214x y +=交于点)552,552(±或)552,552(±-也满足OA OB ⊥.综上，存在圆心在原点的圆2245x y +=使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点且OA OB ⊥. (3)当41=m 时，轨迹E 的方程为2214x y +=，设直线l 的方程为y kx t =+，因为直线l 与圆C :222x y R +=(1<R <2)相切于A 1，由(2)知21t R k =+，即222(1)t R k =+ ①，因为l 与轨迹E 只有一个公共点B 1，由(2)知2214y kx t x y ++==⎧⎪⎨⎪⎩得224()4x kx t ++=，即222(14)8440k x ktx t +++-=有唯一解则△=2222226416(14)(1)16(41)0k t k t k t -+-=-+=，即22410k t -+=， ②由①②得2222223414R t R R k R ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪⎩-，此时A ，B 重合为B 1(x 1，y 1)点，由12221228144414kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩中21x x =，所以，222122441616143t R x k R --==+， B 1(x 1，y 1)点在椭圆上，所以22211214143R y x R -=-=，所以22211124||5OB x y R =+=-，在直角三角形OA 1B 1中，2222211112244||||||55()A B OB OA R R R R =-=--=-+因为2244R R+≥当且仅当2(1,2)R =时取等号，所以211||541A B ≤-=，2(1,2)R =时|A 1B 1|取得最大值，最大值为1.【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系，以及直线与椭圆的位置关系，可以通过解方程组法研究有没有交点问题，有几个交点的问题.【例08】如图所示，已知圆:G 222(2)x y r -+=是椭圆22116x y +=的内接△ABC 的内切圆，其中A 为椭圆的左顶点. (1)求圆G 的半径r .(2)过点(0,1)M 作圆G 的两条切线交椭圆于E F ，两点，证明：直线EF 与圆G 相切．(1)解设B 02,r y +（），过圆心G 作GD AB ⊥于D ，BC 交长轴于H由GD HBAD AH =02636y r r=+-，即 066r r y r +=- (1) 而点B 02,r y +（）在椭圆上，2220(2)124(2)(6)1161616r r r r r y +---+=-== (2) 由(1)、 (2)式得2158120r r +-=，解得23r =或65r =-(舍去) (2) 证明设过点M(0,1)与圆224(2)9x y -+=相切的直线方程为:1y kx -= (3) xyABCMEFG则221231k k +=+，即2323650k k ++= (4) 解得12941941,1616k k -+--== 将(3)代入22116x y +=得22(161)320k x kx ++=，则异于零的解为232161k x k =-+ 设111(,1)F x k x +，222(,1)E x k x +，则121222123232,161161k k x x k k =-=-++ 则直线FE 的斜率为：221112*********EF k x k x k k k x x k k -+===--于是直线FE 的方程为:2112211323231()1614161k k y x k k +-=+++ 即3743y x =- 则圆心(2,0)到直线FE 的距离3722339116d -==+故结论成立.【例09】已知椭圆12222=+by a x (0>>b a )的两个焦点分别为)0)(0,(),0,(21>-c c F c F ，过点)0,(2c a E 的直线与椭圆相交于点A ，B 两点，且||2||,//2121B F A F B F A F =.(1)求椭圆的离心率. (2)直线AB 的斜率.(3)设点C 与点A 关于坐标原点对称，直线B F 2上有一点H (m ，n )(0≠m )在C AF 1∆的外接圆上，求mn的值.(1)||||,//2121B F A F B F A F =得21||||||||1212==A F B F EF EF 从而2122=+-c cacc a 得223c a =，离心率33==a c e (2)由(1)知，22222c c a b =-=，所以椭圆的方程可以写为222632c y x =+设直线AB 的方程为)(2ca x k y -=即)3(c x k y -= 由已知设),(),(2211y x B y x A 则它们的坐标满足方程组⎩⎨⎧=+-=222632)3(cy x c x k y 消去y 整理，得062718)32(222222=-+-+c c k cx k x k 依题意，3333,0)31(4822<<->-=∆k k c 而222221222132627,3218kc c k x x k k x x +-=+=+，有题设知，点B 为线段AE 的中点，所以2123x c x =+联立三式，解得222222213229,3229kc c k x k c c k x ++=+-=，将结果代入韦达定理中解得32±=k . (3)由(2)知，23,021cx x ==，当32-=k 时，得A )2,0(c 由已知得)2,0(c C -线段1AF 的垂直平分线l 的方程为),2(2222c x c y +-=-直线l 与x 轴的交点)0,2(c 是C AF 1∆的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为222)2()2(c c y c x +=+-直线B F 2的方程为)(2c x y -=，于是点),(n m H 满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+-)(249)2(222c m n c n c m由0≠m ，解得222,35c n c m ==，故522=m n ，当32=k 时，同理可得522=m n .【例10】已知椭圆2221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，离心率22e =，右准线方程为2x =.(1)求椭圆的标准方程.(2)过点1F 的直线l 与该椭圆交于M N 、两点，且222263F M F N +=，求直线l 的方程.解(I )由已知得2222⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩c a a c，解得2,1==a c ∴ 221=-=b a c ∴ 所求椭圆的方程为2212+=x y . (II )由(I )得1(1,0)-F 、2(1,0)F①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1=-x ，由22112=-⎧⎪⎨+=⎪⎩x x y 得22=±y设2(1,)2-M 、2(1,)2--N ，∴ 2222(2,)(2,)(4,0)422+=-+--=-=F M F N ，与已知相矛盾. ②若直线l 的斜率存在，设直线直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为(1)=+y k x ，设11(,)M x y 、22(,)N x y ，联立22(1)12=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y k x x y ，消元得2222(12)4220+++-=k x k x k∴ 22121222422,1212--+==++k k x x x x k k ，∴ 121222(2)12+=++=+ky y k x x k，又∵211222(1,),(1,)=-=-F M x y F N x y ∴ 221212(2,)+=+-+F M F N x x y y∴ 2222222121222822226(2)()12123⎛⎫+⎛⎫+=+-++=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭k k F M F N x x y y k k 化简得424023170--=k k 解得2217140或(舍去)==-k k ∴ 1=±k ∴ 所求直线l 的方程为11或=+=--y x y x .【例11】在平面直角坐标系xOy 中，点P 到点F (3，0)的距离的4倍与它到直线x =2的距离的3倍之和记为d ，当P 点运动时，d 恒等于点P 的横坐标与18之和. (1)求点P 的轨迹C .(2)设过点F 的直线l 与轨迹C 相交于M ，N 两点，求线段MN 长度的最大值.解(Ⅰ)设点P 的坐标为(x ，y )，则224(3)d x y =--+3︳x -2︳由题设当x >2时，由①得221(3)6,2x y x -+=- 化简得22 1.3627x y += 当2x ≤时由①得22(3)3,x y x ++=+化简得212y x =故点P 的轨迹C 是椭圆221:13627x y C +=在直线x =2的右侧部分与抛物线22:12C y x =在直线x =2的左侧部分(包括它与直线x =2的交点)所组成的曲线，参见图1(Ⅱ)如图2所示，易知直线x =2与1C ，2C 的交点都是A (2，26)，B (2，26-)，直线AF ，BF 的斜率分别为AF k =26-，BF k =26. 当点P 在1C 上时，由②知162PF x =-. ④ 当点P 在2C 上时，由③知3PF x =+ ⑤ 若直线l 的斜率k 存在，则直线l 的方程为(3)y k x =-(i )当k ≤AF k ，或k ≥BF k ，即k ≤-2 6时，直线I 与轨迹C 的两个交点M (1x ，1y )，N (2x ，2y )都在C1上，此时由④知∣MF ∣= 6 -121x ∣NF ∣= 6 - 122x 从而∣MN ∣= ∣MF ∣+ ∣NF ∣= (6 -121x )+ (6 - 122x )=12 - 12( 1x +2x ) 由22(3)13627y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(34)24361080k x k x k +-+-= 则1x ，1y 是这个方程的两根，所以1x +2x =222434k k +*∣MN ∣=12 - 12(1x +2x )=12 - 221234k k + 因为当226,6,24,k k ≤≥≥或k 2时 22212121001212.134114k MN k k =-=-=++ 当且仅当26k =±时，等号成立.(2)当,2626AE AN k k k k <<-<<时，直线L 与轨迹C 的两个交点1122(,),(,)M x y N x y 分别在12,C C 上，不妨设点M 在1C 上，点2C 上，则④⑤知，1216,32MF x NF x =-=+ 设直线AF 与椭圆1C 的另一交点为E 00012(,),, 2.x y x x x <<则 1021166,33222MF x x EF NF x AF =-<-==+<+= 所以MN MF NF EF AF AE =+<+=.而点A ，E 都在1C 上，且 26,AE k =-有(1)知100100,1111AE MN =<所以若直线ι的斜率不存在，则1x =2x =3，此时12110012()9211MN x x =-+=<综上所述，线段MN 长度的最大值为10011.【例12】已知直线220x y -+=经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 和椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线，,AS BS 与直线10:3l x =分别交于 ,M N 两点.(1)求椭圆C 的方程.(2)求线段MN 的长度的最小值.(3)当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得TSB ∆的面积为15若存在，确定点T 的个数，若不存在，说明理由.解方法一(I )由已知得，椭圆C 的左顶点为(2,0),A -上顶点为(0,1),2,1D a b ∴==故椭圆C 的方程为2214x y += (Ⅱ)直线AS 的斜率k 显然存在，且0k >，故可设直线AS 的方程为(2)y k x =+，从而1016(,)33k M 由22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)16164k x k x k +++-=0设11(,),S x y 则212164(2),14k x k --=+得2122814k x k -=+，从而12414ky k=+ 即222284(,),1414k k S k k -++又(2,0)B 由1(2)4103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得10313x y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩101(,)33N k ∴- 故161||33k MN k=+又16116180,||233333k k k MN k k >∴=+≥⋅= 当且仅当16133k k =，即14k =时等号成立14k ∴=时，线段MN 的长度取最小值83(Ⅲ)由(Ⅱ)可知，当MN 取最小值时，14k =此时BS 的方程为644220,(,),||55x y s BS +-=∴=要使椭圆C 上存在点T ，使得TSB ∆的面积等于15，只须T 到直线BS 的距离等于2，所以T 在平行于BS 且与BS 距离等于24的直线l 上.设直线':10l x y ++=由2,42=解得32t =-或52t =-【例13】给定椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，称圆心在原点O ，半径为22a b +的圆是椭圆Ｃ的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为(2,0)F ，其短轴上的一个端点到Ｆ的距离为3. (1)求椭圆Ｃ的方程和其“准圆”方程.(2)点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过点P 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个交点，且12,l l 分别交其“准圆”于点M 、N .①当P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求12,l l 的方程. ②求证|MN |为定值.解：(I )因为3,2==a c ，所以1=b ……………2分所以椭圆的方程为2213x y +=，准圆的方程为422=+y x . ……………4分(II )(1)因为准圆422=+y x 与y 轴正半轴的交点为P (0，2)， ……………5分设过点P (0，2)，且与椭圆有一个公共点的直线为2+=kx y ，所以22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得到0912)31(22=+++kx x k ， ……………6分因为椭圆与2+=kx y 只有一个公共点，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+= ，…7分解得1±=k . …8分所以12,l l 方程为2,2+-=+=x y x y . ……9分 (2)①当12,l l 中有一条无斜率时，不妨设1l 无斜率，因为1l 与椭圆只有一个公共点，则其方程为3=x 或3-=x ，当1l 方程为3=x 时，此时1l 与准圆交于点)1,3(),1,3(-，此时经过点)1,3((或)1,3(-)且与椭圆只有一个公共点的直线是1=y (或1-=y )，即2l 为1=y (或1-=y )，显然直线12,l l 垂直；同理可证 1l 方程为3-=x 时，直线12,l l 垂直. ………10分 ② 当12,l l 都有斜率时，设点),(00y x P ，其中42020=+y x ，设经过点),(00y x P 与椭圆只有一个公共点的直线为00)(y x x t y +-=，则0022()13y tx y tx x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到03))((32002=--++tx y tx x ，03)(3)(6)31(2000022=--+-++tx y x tx y t x t ，0]3)(3)[31(4)](6[2002200=--+⋅--=∆tx y t tx y t ，经过化简得到:12)3(2000220=-++-y t y x t x ，因为42020=+y x ，0)3(2)3(2000220=-++-x t y x t x ，设12,l l 的斜率分别为21,t t ，因为12,l l 与椭圆都只有一个公共点，所以21,t t 满足上述方程0)3(2)3(2000220=-++-x t y x t x ，所以121-=⋅t t ，即12,l l 垂直.……12分综合①②知：因为12,l l 经过点),(00y x P ，又分别交其准圆于点M ，N ，且12,l l 垂直，所以线段MN 为准圆422=+y x 的直径，所以|ＭＮ|=４. ……………13分【例14】设曲线C 1:1222=+y ax (a 为正常数)与C 2:y 2=2(x +m )在x 轴上方公有一个公共点P .(1)实数m 的取值范围(用a 表示).(2)O 为原点，若C 1与x 轴的负半轴交于点A ，当0<a <21时，试求⊿OAP 的面积的最大值(用a 表示). 14. 解：(1)由⎪⎩⎪⎨⎧+==+)(212222m x y y a x 消去y 得：0222222=-++a m a x a x ①设222222)(a m a x a x x f -++=，问题(1)化为方程①在x ∈(-a ，a )上有唯一解或等根．只需讨论以下三种情况：1°△=0得：212+=a m ，此时x p =-a 2，当且仅当-a <-a 2<a ，即0<a <1时适合；2°f (a )f (-a )<0，当且仅当-a <m <a ；3°f (-a )=0得m =a ，此时x p =a -2a 2，当且仅当-a <a -2a 2<a ，即0<a <1时适合． f (a )=0得m =-a ，此时x p =-a -2a 2，由于-a -2a 2<-a ，从而m ≠-a ．综上可知，当0<a <1时，212+=a m 或-a <m ≤a ；当a ≥1时，-a <m <a ．…… 10分(2)△OAP 的面积p ay S 21=∵0<a <21，故-a <m ≤a 时，0<m a a a 2122-++-<a ，由唯一性得 m a a a x p 2122-++-=显然当m =a 时，x p 取值最小．由于x p ＞0，从而y p =221ax p -取值最大，此时22a a y p -=，∴2a a a S -=．当212+=a m 时，x p =-a 2，y p =21a -，此时2121a a S -=．下面比较2a a a -与2121a a -的大小：令22121a a a a a -=-，得31=a故当0<a ≤31时，2a a a -≤2121a a -，此时2121a a S max -=．当2131<<a 时，22121a a a a a ->-，此时2a a a S max -=．……… 20分【例15】一张纸上画有半径为R 的圆O 和圆内一定点A 且OA =a . 拆叠纸片使得圆周上某一点A /刚好与A 点重合，这样的每一种拆法都留下一条直线折痕，当A /取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．16.解：如图，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则有A (a ，0)．设折叠时，⊙O 上点A /(ααsin ,cos R R )与点A 重合，而折痕为直线MN ，则 MN 为线段AA /的中垂线．设P (x ，y )为MN 上任一点，则｜PA /｜=｜PA ｜ 5分∴2222)()sin ()cos (y a x R y R x +-=-+-α 即ax a R y x R 2)sin cos (222+-=+αα 10分∴22222222sin cos yx R ax a R yx y x ++-=++αα可得：)cos ,(sin 22)sin(22222222yx y yx x yx R ax a R +=+=++-=+θθθα∴222222yx R ax a R ++-≤1 (此不等式也可直接由柯西不等式得到) 15分平方后可化为 22222)2()2()2()2(a R y R a x -+-≥1，即所求点的集合为椭圆圆22222)2()2()2()2(a R y R a x -+-=1外(含边界)的部分． 20分【例16】过抛物线2x y =上的一点A (1，1)作抛物线的切线分别交x 轴于D 、交y 轴于B .点C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足1λ=EC AE ；点F 在线段BC 上，满足2λ=FCBF，121=+λλ，线段CD 与EF 交于点P .当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程.18.解一：过抛物线上点A 的切线斜率为：∴=='=,2|21x x y 切线AB 的方程为D B x y 、∴-=.12的坐标为D D B ∴-),0,21(),1,0(是线段AB 的中点.……5分设),(y x P 、),(20x x C 、),(11y x E 、),(22y x F ，则由1λ=ECAE知， ;11,11120111011λλλλ++=++=x y x x ,2λ=FC BE得.11,1220222022λλλλ++-=+=x y x x∴EF 所在直线方程为：,1111111111111202101120122021201λλλλλλλλλλλλ++-+++-=++-++-++-x x x x x x x y 化简得.1]3)[()]1()[(2020********x x x x y x λλλλλλ-++--=+--…①…10分当210≠x 时，直线CD 的方程为：12202020--=x x x x y …②联立①、②解得02133x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去0x ，得P 点轨迹方程为：.)13(312-=x y ……15分当210=x 时，EF 方程为：CD x y ,4123)34141(23212λλλ-+--=-方程为：21=x ，联立解得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.121,21y x 也在P 点轨迹上.因C 与A 不能重合，∴.32,10≠∴≠x x ∴所求轨迹方程为).32()13(312≠-=x x y ……20分解二：由解一知，AB 的方程为),0,21(),1,0(,12D B x y --=故D 是AB 的中点. ……5分令,1,1,2211λλγ+==+===CF CBt CE CA t CP CD 则.321=+t t 因为CD 为ABC ∆的中线， .22CBD CAD CAB S S S ∆∆∆==∴而,23,232)11(212212*********=∴=+=+=+==⋅⋅=∆∆∆∆∆∆γγγγγt t t t t t t t S S S S S S CB CA CF CE t t CBD CFP CAD CEP CAB CEF P ∴是ABC ∆的重心.……10分设),,(),,(200x x C y x P 因点C 异于A ，则,10≠x 故重心P 的坐标为,3311),32(,31310202000x x y x x x x =++-=≠+=++=消去,0x 得.)13(312-=x y故所求轨迹方程为).32()13(312≠-=x x y ……20分。

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