薛定谔方程的建立
3.3 薛定谔方程的建立
薛定谔方程的建立
薛定谔 Erwin Schrodinger
奥地利人 1910年博士毕业 1921年苏黎世大学数学教授 1926年, 薛定谔在瑞士联邦工业大学物理讨 论会上介绍德布罗意波后, 德拜：“有了波 就应该有一个波动方程。”
几周后，薛定谔找到（提出）了波函数满足的微分方程 － 薛定谔方程，从而建立了描述微观粒子运动规律的学科— 量子力学。
x,t Ae
微分,得到方程
i E
t
i p
x
2
x2
p2
2
非相对论情况下：
i E t
i
x
px
2
2 x2
p
2 x
替换关系
E
p
2 x
2m
2
2 x2
px2
i E t
i
t
2 2m
2 x 2
对自由粒子成立，作用在波函数上才有意义！
令其作用于波函数 (x, t)上，则得到自由粒子波函数
一. 自由粒子薛定谔方程的建立
薛定谔方程是利用经典物理，用类比的办法得到的，开始 只不过是一个假定，尔后为实验证实。a. 与Fra bibliotek典波的波动方程类比
经典波函数
经典波动微分方程
Acos(t x)
u
2 1 2
x2 u2 t 2
b. 沿x轴运动的质量为m,动量为p,能量为E的自由粒子的波函数
i Et px
2 y 2
2 z 2
写为
i
(r,t) [
2
2 U (r,t)] (r,t)
t
2m
薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程，是量子力学 的基本假设。
清华大学物理第27章薛定谔方程(余京智)
这种E 取定值的状态称定态（stationary state）， 以后我们将只研究定态。 11
海森伯 狄拉克 泡利 （1901 1976） （1902 1984） （1900 1958）12
2
§27.2 无限深方势阱中的粒子
本节我们将在一种具体情况下，求解 定态薛定谔方程 [
2 2 U ( r )] ( r ) E ( r ) 2m
连续条件： 由于边界外 = 0，所以有：
( a / 2) 0 A sin( ka / 2 ) 0
2mE 2
k
2
( a / 2) 0 A sin( ka / 2 ) 0
由此得： ka / 2 l1 π ， ka / 2 l 2 π ， 其中l1 和 l2是整数。 将上两式相加得：
二. 关于薛定谔方程的讨论
ˆ (r , t ) 是量子力学 薛定谔方程 i (r , t ) H t
ˆ 引入算符 H
t ˆ — 非定态薛定谔方程 ˆ 后，有 i H 引入 H t
ˆ ˆ 为能量算符（反映粒子总能量） 若 H 0， 则称 H
a 2
n很大时，势 阱内粒子概率 分布趋于均匀。 |n|
2
（一维势垒）： 给定势函数
0 ，( x 0) U ( x) ( x 0) U 0，
入射 反射 Ⅰ区
E3 E2 E1
a 2
2a n 3 , 3 3 En
？
E
n 2 , 2 a
a 2
a 2
入射能量 E <U0 势垒的物理模型：
宏观情况或量子数很大时，可认为能量连续。 19
量子力学 薛定谔方程的建立和定态问题
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.2、 薛定谔方程的建立
2.3.2、 薛定谔方程的建立 1、自由粒子满足的微分方程: 由自由粒子波函数
i ( p⋅r − Et ) ψ p ( r , t ) = Ae
（1）
将上式两边对时间 t 求一次偏导，得：
∂ψ p
i ( p⋅r − Et ) i i = − EAe = − Eψ p ∂t
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.1、 描写波函数随时间变化的方程应满足条件
经典力学和量子力学关于描述粒子运动状态的差别。 经典力学 质点的状态用 r , p 描述。 量子力学
微观粒子状态用波函数 Ψ (r , t ) 描述。
每个时刻， r , p 均有确定值， 波函数 Ψ 描述的微观粒子不可能同
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.1、 描写波函数随时间变化的方程应满足条件
2.3、 薛定谔方程
在 2.1 节中， 我们讨论了微观粒子在某一时刻 t 的状态， 以及描写这个状态的波函数 Ψ 的性质， 但未涉及当时间改 变时粒子的状态将怎样随着变化的问题。本节中我们来讨 论粒子状态随时间变化所遵从的规律。
。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.3、 关于薛定谔方程的几点说明
2.3.3、 关于薛定谔方程的几点说明 （1）薛定谔方程是建立的，而不是推导出来的，建立的 方式有多种。 （2）薛定谔方程是量子力学最基本的方程，也是量子力 学的一个基本假定。薛定谔方程正确与否靠实验检验。 （3）薛定谔方程描述了粒子运动状态随时间的变化，揭 示了微观世界中物质的运动规律。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.4、 粒子流密度和粒子数守恒定律2.4.1、 几率分布变化及连续性方程
薛定谔方程
经典力学与量子力学的比较 经典力学
量子力学
研究对象
宏观物体，在一 具有波粒二象性 定条件下可看成 的微观粒子 质点
运动状态描写 坐标（x,y,z） 动量（p）
波函数ψ(x,y,z,t) |ψ(x,y,z,t)|2代表 时刻t在空间某 处的几率。
运动方程即状态 随时间变化规律
牛顿方程
薛定谔方程
三、一维无限深势阱
图3.2.1 无限深势阱
(3.2.3)
(3.2.4)
式中，A，δ为待定常数，为确定A与δ之值，利用ψ的边界条 件及归一化条件。从物理上考虑，粒子不能透过势阱，要求在 阱壁及阱外波函数为零，即
即
上式舍去了n=0和n为负值的情况
(3.2.5)
这个结果表明，粒子在无限高势垒中的能量是量子化的。 又由归一化条件
二、定态薛定谔方程
在势能V不显含时间的问题中，薛定谔方程可以用一种 分离变数的方法求其特解，令特解表为
代入下式，并把坐标函数和时间函数分列于等号两边：
令这常数为E，有
（10）
于是波函数ψ(r,t)可 以写成
与自由粒子的波函数比较，可知上式中的常数E就是能量， 具有这种形式的波函数所描述的状态称为定态.在定态中几 率密度｜ψ(r,t)｜2=｜ψ(r)｜2与时间无关。另一方面， (10) 式右边也等于E，故有
把(1)对t取一阶偏微商 如果自由粒子的速度较光速 小得多，它的能量公式是 p2/2m=E，两边乘以ψ，即得
（2） （3）
（4） （5）
把(3)和(4)代入(5)
得到一个自由粒子的薛定谔方程。 对于一个处在力场中的非 自由粒子，它的总能量等于 动能加势能
两边乘以ψ
自由粒子的薛定 谔方程可以按此式 推广成
§23 薛定谔方程–方程的建立
= ∫ ρ dτ
V
* = ψ ∫ ψ dτ 1 V
波函数的归一化条件。 要求波函数平方可积。
electron
ψ (r , t )
Cψ ( r , t )
描述同一种状态。 有意义的相对概率分布：
ψ (r , t )
2
常数
C 2 ψ (r , t )
解为
= u ( x) A1eik1 x + B1e − ik1 x
入射波 反射波
§2.4 一维定态问题–方势垒散射
区域(II)：0< x < a, V(x) = V0 V(x) E I 0 V0 II a III x
2 d 2 V − + 0 u =Eu 2 2m dx
令 k2 = 则
2 nπ x, sin u ( x) = a a , 0
0≤ x≤a x < 0, or , x > a
n = 1, 2,3,
§2.4 一维定态问题–无限深方势阱
结论：
(2) 粒子在一维无限深势阱中的概率(密度)分布
2 2 nπ x, sin u ( x) = a a , 0
也是一个一维的定态问题，其Schrödinger 方程：
2 d 2 − + V ( x ) u ( x)=Eu ( x) 2 2m dx 设0 < E < V0 2 d 2u =Eu 区域(I)：x < 0, V(x) = 0 − 2m dx 2 2 d u 2mE = − k12u 则 2 令 k1 = dx
则有
设为E
i df =E f (t ) dt
第三章 薛定谔方程的建立
Atomic physics and quantum mechanics
11
一 自由粒子薛定谔方程的建立 二 推广的薛定谔方程及其性质
Atomic physics and quantum mechanics
Atomic physics and quantum mechanics
17
薛定谔方程在量子力学中的地位虽与牛顿第二定律 在经典物理中的地位相当，但它与牛顿第二定律有 着本质的不同，与经典波动方程也不一样。 薛定谔方程式具有波粒二象性的微观粒子运动所遵 循的规律。 薛定谔方程的提出，深刻地揭示了原子世界中物质 的运动规律。对于原子的稳定性，物质的微观结构 等一系列物理和化学问题，提供了系统的、定量的 处理方法和理论。 除了物质的磁性和相对论效应以外，薛定谔方程对 所有原子问题原则上都能解决。
2
∫
全
ψ (r, t ) dτ = 1
2
波函数满足三个标准条件：有界性、连续性和单值性。
Atomic physics and quantum mechanics
9
二 态的叠加原理 态叠加原理： ψ 若 ψ 1、 2 为描述粒子的两个不同状态的波函数，它们的线
性叠加态 ψ = C1ψ 1 + C2ψ 2 表示粒子既可能处于 ψ 1 态又可能
多粒子体系的薛定谔方程
∂ i ψ (r1 , r2 , ∂t
2 ⎡N ⎛ ⎞ 2 , rN , t ) = ⎢ ∑ ⎜ − ∇ i + U i (ri ) ⎟ + V (r1 , r2 , ⎠ ⎣ i =1 ⎝ 2mi
⎤ , rN ) ⎥ψ (r1 , r2 , ⎦
高二物理竞赛课件：薛定谔方程的建立与算符
2 x2
2 y2
2 z2
U (r ,
t )
若势函数U不显含t，为求解薛定谔方程，分离变量
(r,t) (r )T(t)
代入薛定谔方程，得
i
d
dTt(t)
(r )
[Hˆ
(r )]T(t)
除以
(r
)
T
(t
)
，得
i
dT(t) dt
1 T(t)
1
(r )
Hˆ
(r )
=E
(常数)
上式
左边是 右边是
•从数学上讲，E 不论取何值，方程都有解。
•从物理上讲，E只有取一些特定值，方程的解才能满足 波函数的条件（单值、有限、连续）
•满足方程的特定的E值，称为能量本征值
•各E值所对应的E (r )叫能量本征函数，故该方程又称
为：能量本征值方程
•定态(stationary state): 能量取确定值的状态
量子力学唯一可以和实验进行比较的是力学量的平均值 ——平均值的假定
整理得
d 2
dx 2
2m E
2
0
令
k2
2m E 2
d 2Ψ dx2
k 2Ψ
0
方程解为： Ψ x Asin kx B cos kx
一维定态薛定谔方程的建立和求解举例
§16.3 一维定态薛定谔方程的建立和求解举例（一）一维运动自由粒子的薛定谔方程波函数随时间和空间而变化的基本方程，是薛定谔于1926年提出的，称为薛定谔波动方程，简称波动方程或薛定谔方程，它成为量子力学的基本方程．将（16.2.14）式分别对t 和x 求导，然后从这两式消去E 、p 、和ψ，便可得到一维运动自由粒子的薛定谔方程：ψ-=∂ψ∂)/iE (t 即ψ=∂ψ∂E t i （16.3.1）ψ=∂ψ∂22)/ip (x 2ψ=ψ∂-2222p⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡<<的薛定谔方程自由粒子轴运动的沿)c x (v方程（16.3.3）中不含有能量E 和动量p ，表明此方程是不受E 和p 的数值限制的普遍方程．请同学们自己试一试，如果上述波函数不用复数表式（16.2.14），改用类似于（16.2.1）式的余弦函数或正弦函数表式，就不会得到合乎要求的薛定谔方程（16.3.3）式❶．这薛定谔方程不是根据直接实验结果归纳而得，也不是由经典波动理论或其他理论推导出来的，它是在物质波假设的基础上，参照经典波动方程而建立起来的．薛定谔方程在微观领域中得到广泛的应用，它推导出来的结果，都与相关实验结果符合得很好，这才是薛定谔方程正确反映微观领域客观规律的最有力的证明．（二）一维运动自由粒子的定态薛定谔方程❶❷❷❷上述薛定谔方程（16.3.3）是偏微分方程，从此方程可解出波函数ψ（x ，t ）．在量子力学中最重要的解，是可把波函数ψ（x,t ）分离成空间部分u （x ）和时间部分f （t ）两函数的乘积的特解，即〔一维运动自由粒子的定态波函数〕 ψ（x,t ）=u （x ）f （t ）（16.3.4）将此式代入（16.3.3）式得：222dx u d )t (f )m 2/(dt df )x (u i -=两边除以ψ=uf 得：222dx u d u 1)m 2/(dt df f 1i -=此式左边是时间t 的函数，右边是坐标x 的函数．已知t 与x 是互相独立的自变量，左右两边相等，必须是两边都等于同一常量E ，即❶ 郭敦仁《量子力学初步》16—17页，人民教育出版社1978年版.❶ 郭敦仁《量子力学初步》21—22页，人民教育出版社1978年版.❷ 周世勋编《量子力学》32—33页，上海科学技术出版社1961年版.（16.3.8） （16.3.9） E dt df f 1i = E dx u d u 1)m 2/(222=- （16.3.5）因此，一个偏微分方程（16.3.3）可分解成两个常微分方程（16.3.5）以求解．如〔附录16C 〕所示，（16.3.5）式的E 就是粒子的能量E ．上述两个常微分方程的解分别为：〔时间波函数f （t ）〕 /iEt Ce )t (f -= （16.3.6）〔空间波函数u （x ）〕 （16.3.7）将上式的待定常量C 合并到A 和B 中，便可得到下式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡<<函数和几率密度的定态波子一维运动自由粒)c (v从此式可知，特解ψ=uf 使得几率密度|ψ|2与时间t 无关，这是粒子的几率分布与时间无关的恒定状态，因此称为定态．ψ=uf 称为定态波函数，其中空间部分u （x ）可称空间波函数，时间部分f （t ）可称时间波函数．如（16.3.9）式所示，定态的几率密度|ψ|2决定于空间波函数u ，与时间波函数f 无关．（16.3.5）式中空间波函数u 满足的方程，称为定态薛定谔方程，此方程重写如下： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡<<的定态薛定谔方程一维运动自由粒子)c (v （16.3.10） （16.3.7）式表明，空间波函数u （x ）的表式中有三个待定常量A 、B 、α，它们要由实际例子中的边界条件和归一化条件来确定．下面就要介绍确定常量A 、B 、α的一个实际例子．（三）一维矩形深势阱中，自由粒子的薛定谔方程定态解（1）金属中自由电子的运动金属中自由电子的运动，假设可简化为自由粒子的一维运动．在外界条件不变的情况下，可设想自由电子的几率分布是恒定的，不随时间而变．这就是上述定态的一维运动自由粒子的一个例子．上述（16.3.3）至（16.3.10）诸式均可应用于此例子．上述待定常量A 、B 、α，可按此例的边界条件和归一化条件确定之．（2）边界条件确定常量B 与α上述自由电子只能在金属中运动，可设定它的运动范围为0＜x ＜b ．在此范围内，设它的势能为零，即E p =0，E=E k ．在此范围外，它的势能必须达到无限大，即E p →∞，E →∞．所谓E p →∞，就是用势能条件表示自由电子不能越出金属之外，也就是说，这些自由电子被限制在矩形无限深势阱中运动，如（图16.3a ）所示．按几率来说，在金属表面以外没有自由电子，就是说，在x≤0和x ≥b 的范围中，这些电子的几率密度|ψ|2=0．因此，在此范围中，波函数ψ=0，u=0．这就是边界条件，或称边值条件．/mE 2x cos B x sin A )x (u =+=ααα222/iEt |u |x cos B x sin A e )x cos B x sin A ()t (f )x (u )t ,x (=+=ψ+===ψ-αααα ()0Eu /m 2dx u d 222=+（16.3.16） （16.3.17） 将此边值条件代入（16.3.7）式便可确定B 与α的数值，计算如下：在x=0处：u （0）=Asin0°+Bcos0°=B=0 （16.3.11）∴u （x ）=Asin αx （16.3.12）在x=b 处：u （b ）=Asin αb=0，αb=n π即α=n π/b ， n=1,2,3,…… （16.3.13）∴ψ（x,t ）=Asin （n πx/b ） /iEt e - （16.3.14）在（16.3.13）式中，u （b ）=0不选用A=0的答案．这因为A=0，则u （x ）=0，|ψ|2=0．这是x 等于任何数值，都使|ψ|2=0的不合理答案．在（16.3.13）式，不选用n=0的答案．因为n=0则α=0、u （x ）=0、|ψ|2=0，这也是处处都没有电子的不合理答案．在（16.3.13）式，如果选用n=－1,－2,－3，……所得ψ值，与选用n=1,2,3,……求得的ψ值，绝对值相等、正负号相反．因此，在计算|ψ|2时，不必要保留n 的负值．（3）归一化条件确定常量A将波函数表式（16.3.14）代入归一化条件式（16.2.11），按上述一维情况进行积分，并考虑到自由电子只在0＜x ＜b 范围内运动，可得结论如下：1dx x sin A dx dx 2b 0 2b 0 2 ==ψ=ψ⎰⎰⎰∞∞-α即()()[]=-=-=⎰b 022b0 2x 2sin )4A (2b A dx x 2cos 12A 1ααα()[]2b A )b x n 2sin(n 4b A 2b A 2b 0 22=ππ-=． b /2A 2=∴， b /2A = （16.3.15）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡<<ψ的定态波函数自由粒子中一维无限深矩形势阱)c (v ,（四）一维矩形无限深势阱中、自由粒子的几率分布从（16.3.17）式可得上述自由粒子的几率密度|ψ|2的表式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡<<的几率密度自由粒子中一维矩形深势阱)c (v , （16.3.18）上述空间波函数u 和几率密度|ψ|2的图线，如（图16.3b ）所示．自由粒子的运动范围限制在0＜x ＜b ，因此（16.3.18）式的角度αx=n πx/b 的变化范围为0＜αx ＜n π．当量子数n=1时，u 1（x ）=)b /x sin(b /2π；,3,2,1n ,b x 0),b /x n sin(b /2)x (u ,e )b /x n sin(b /2)t ,x (/iEt =<<π=π=ψ- b x 0 ,,3,2,1n )b /x n sin()b /2(u 222<<=π==ψ21ψ=(2/b)sin 2(πx/b)．如（图16.3b ）所示，曲线u 1和21ψ的最高点都在πx/b=π/2，即x=b/2处．这就是说，当n=1时，在势阱中x=b/2处，粒子的几率密度最大．这与经典理论所说自由粒子应是均匀分布的结论不同．经典理论不能说明微观粒子的情况．当n=2时， )b /x 2(sin )b /2(),b /x 2sin(b /2)x (u 2222π=ψπ=．角度的变化范围是0＜αx ＜2π．曲线u 2的最高点在2πx/b=π/2，即x=b/4处．曲线u 2的最低点在2πx/b=3π/2，即x=3b/4处．曲线u 2还有一个零点在2πx/b=π，即x=b/2处，如图所示．当n=2时，几率密度22ψ的曲线应有两个最高点，在x=b/4和x=3b/4处，有一个零点在x=b/2处．当n=3和n=4时的曲线图，由同学们在习题中计算分析．（图16.3b ）所示曲线形状，与两端固定的弦线中，形成驻波的形状相似．虽然粒子的物质波与弦线中机械波的驻波，在本质上是不同的现象．但是人们仍然喜欢引用驻波中的熟悉名词描写微观粒子的几率分布，把2ψ=0的位置叫做波节或节点，把|ψ|2的最大位置叫做波腹或腹点．（五）一维矩形无限深势阱中、自由粒子的能级从（16.3.7）与（16.3.13）式可得到能量E 的表式： ⎢⎢⎢⎣⎡<<n E )c (的能级自由粒子中一维矩形深势阱v ,E n 是能量E 的本征值．粒子的能量E 只能具有这一系列分立的数值E n ，也就是说，能量E 是量子化的．上述的n 值相当于玻尔理论中的量子数．虽然能级E n 和量子数n 都是玻尔先提出的，但他只作为一种假设提出．而在量子力学中，从薛定谔方程解出波函数ψ的过程，很自然地得出E n 和n ，不必求助于人为的假设．最低的能级E 1是为基态能级，相当于n=1的E 1值．其他各级能量E n =n 2E 1，如（图16.3b ）所示．粒子的能量不能小于E 1．但经典理论原以为，粒子的最小能量为零，所以最小能量E 1也被称为零点能．〔例题16.3A 〕已知原子核的线度为b=10－14米的数量级，质子的静质量为m=1.67×10－27千克．假设质子在原子核内作线性自由运动．求：（1）此质子的能量E 和速率v ．（2）它的动量p 和物质波波长λ．（3）它的总能ε和频率ν．（4）它的空间波函数u(x)和几率密度|ψ|2．〔解〕（1）把此质子看做是在线度为b 的无限深矩形势阱中，作线性自由运动．应用（16.3.20）式可求得它的能量E （即动能E k ）：E=n 2（h 2/8mb 2）=n 2×6.632×10－68/8×1.67×10－27×10－28= =n 2×3.29×10－13焦． E=E k =m v 2/2， v 2=2E/m=2n 2×3.29×10－13/1.67×10－27=n 2×3.94×1014，v =n ×1.98×107米/秒．当v <<c 时，可应用上述计算和下面的计算．（2）p=m v =1.67×10－27×n ×1.98×107=n ×3.31×10－20千克·米/秒．λ=h/p=6.63×10－34/n ×3.31×10－20=(1/n)×2.00×10－14米．（3）ε=E k +mc 2=n 2×3.29×10－13+1.67×10－27×9×1016= =n 2×3.29×10－13＋1.50×10－10=1.50×10－10焦．ν=ε/h=1.50×10－10/6.63×10－34=2.26×1023赫，或ν=c 2/v λ=9×1016/n ×1.98×107×(1/n)×2×10－14=2.27×1023赫． （4）按（16.3.17）式可求得此质子的空间波函数u(x)和几率密度|ψ|2的表式，其图解如（图16.3b ）所示． u(x)=)b /x n sin(b /2π=1.41×107sin （n πx ×1014）米－1/2.|ψ|2=|u|2=2×1014sin 2（n πx ×1014）米－1．〔说明〕请注意德布罗意波长λ=(1/n)×2b ，即势阱宽度b=n （λ/2）．还请注意，本题讨论自由粒子的一维运动，它的|ψ|2与|u|2的单位决定于b 的单位．。
大学物理-薛定谔方程
1.势能
若选线性谐振子平衡位置为坐标原点和势能
零点， 则一维线性谐振子的势能可以表示为：
U( x) 1 kx2 1 m 2 x2
2
2
m — 粒子的质量 k — 谐振子劲度系数
谐振子的角频率 k
m
2. 谐振子的定态薛定谔方程
由
d2
d x2
2m 2
[E
U
(
x)]
0
和 U(x) 1 m2x2
2
“有限”要求 D = 0，
2 C ek2x
E
（E U ,是衰减解）
U (x)
U= U0
U= 0
x
Ⅰ区 0 Ⅱ区
按经典力学……粒子不可能在 Ⅱ 区出现！ 按量子力学……粒子仍有可能在Ⅱ 区出现！
若势能曲线 如图所示：
U
( x) U= U0
有一个有限 E 宽度的“势垒”。 U= 0
U= 0 x
n 所以有 o Asin a x,
n e Acos a x,
n 2,4,6, n 1,3,5,
为了求出 A，我们用波函数的归一化条件，例如
1
a / 2
a / 2 o
2
d
x
A2
a
/
2
s
in2
(
n
x)d
x
a
A2
a / 2
a
2
可得
A 2 a
于是对每一个 n 值，波函数的空间部分为
2 n
on
称为定态薛定谔方程。
对势能函数 U 与时间t 无关的定态问题， 只须解定态薛定谔方程（2）式，再乘上（1）式
即可得总波函数 (x, t )。
例.一维自由运动微观粒子的波函数。 电子枪
薛定谔方程的建立
薛定谔方程的建立1925年，薛定谔在苏黎世大学任教,并兼任大物理学家德拜的助手。
薛定谔过去一直在致力于分子运动的统计力学方面的研究，所以很快注意到爱因斯坦于1925年2月德布罗意发表的关于理想气体量子理论的论文，并从中受到影响.薛定谔本人在1926年4月给爱因斯坦的一封信中曾谈起过：“如果不是您的第二篇关于气体简并的论文提示了我注意到德布罗意思想之重要性的话，恐怕我的整个事情都还未能开始呢。
”德拜的回忆说,当初在慕尼黑大学时，曾由德拜、薛定谔等人一块儿组织过一些讨论，德布罗意的博士论文发表后，他们曾进行过讨论。
由于难于理解，德拜就让薛定谔仔细钻研一下，然后给大家讲解。
“正是这个准备过程使他进步了。
作了报告后不过数月之久，他的正式论文就发表出来了.”薛定谔建立的波动力学是从光学和力学的类比入手的;他发现,微观粒子的运动，用哈密顿动力学方程描述和用德布罗意波波阵面方程描述具有同样的形式,从而看出物质波的“几何光学"等同于经典力学。
他把光学与力学进行类比：几何光学是波动光学的近似和简化，若经典力学等同于几何光学，则应该有一门波动力学等同于波动光学，它将如波动光学可以解释干涉衍射一样，用来解释原子领域的过程。
他于是引进波函数，把粒子在力场中的运动，描绘成波动的过程，建立了有名的薛定谔方程。
薛定谔的论文正式发表于1926年3月，题目为“作为本征值问题的量子化”，这是他四篇系列论文中的第一篇。
薛定谔利用哈密顿—雅可比（Hamilton －Jacobi ）微分方程，针对氢原子的具体情形，最后导出了一个一函数的本征值方程： 0)(2222=++∆ψψr e E K m 这就是定态下的薛定谔方程.玻尔的氢原子能级作为方程中函数的本征值自然而然地出现了。
薛定谔方程的引入方式并不是唯一的，其正确性只能由它所得出的结果是否正确来加以保证.事实证明，薛定谔方程在低速微观领域是十分正确的。
波动方程的建立标志了波动力学的诞生。
第13讲 薛定谔方程
ih
∂ ∂t
+
h2 2m
∂2 ∂x2
Ψ
=
E
−
p2 2m
Ψ
=
0
ih
∂ ∂t
Ψ
(x,
t
)
=
−
h2 2m
∂2 ∂x2
Ψ
(x,
t
)
( ) 对于 V x = V0 ，容易得出自由粒子波函数是方程
ih
∂ ∂t
Ψ
(x,
t
)
=
−
h2 2m
∂2 ∂x2
Ψ
(x,
t
)
+
V0Ψ
(x,
t
)
的解，且满足：
hω
=
(hk )2
∞
ψ
(rr
)
2
r dr
=1
−∞
prˆ
=
−ih∇
=
−ih
∂ ∂x
r i
+
∂ ∂y
r j
+
∂ ∂z
kr
讨论: 1) 薛定谔方程是量子力学基本方程，它是量子力学
的又一基本假设（另一：波函数统计解释）
2) 态叠加原理: 若 Ψ1, Ψ2 ,… Ψn 是系统n个可能的态， 那么Ψ=c1Ψ1+c2 Ψ2+…+cnΨn也是系统可能的态。
二、定态薛定谔方程
当 V (rr)∉t 时，薛定谔方程可用分离变量法求解 Ψ(rr,t) =ψ (rr)T(t)
将薛定谔方程两旁除以 ψT，可得
ih T
dT dt
=1 ψ
−
h2 ∇2 2m
+V (rr)ψ
薛定谔方程建立思路
薛定谔方程建立思路
薛定谔方程建立的思路主要包括以下过程：
首先，量子力学的基本假设是波粒二象性，即微观粒子既可以表现出粒子的特征，也可以表现出波的特征。
因此，我们需要建立一种既能描述粒子又能描述波的数学形式。
其次，我们首先定义一个波函数，这个波函数表示了微观粒子的状态。
如果我们能将波函数表示出来，那么就可以推导出微观粒子的一系列物理量，如位置、动量和能量等。
接着，我们需要根据物理规律建立微观粒子的运动方程，这个方程表达了微观粒子的演化规律。
这个方程需要满足以下几点要求：一是能够描述波粒二象性，二是符合量子力学的统计规律，三是能够解释一系列实验现象。
最终，通过求解这个方程，我们可以得到微观粒子波函数的演化规律，从而得到微观粒子的位置、动量和能量等物理量。
这个方程就是薛定谔方程。
总的来说，薛定谔方程的建立思路是从量子力学基本假设出发，通过建立宏观物理规律与微观物理规律之间的关系，得到描述微观粒子运动的方程。
薛定谔方程及其简单应用
（3）几率密度
粒子在势阱中的概率密度：
| (x) |2 2 sin2 n x
aa
n 很大时，相邻波腹靠得 很近，接近经典力学各处概 率相同。
一维无限深方势阱中 粒子的能级、波函数
(x)
4 x
E4
3 x
E3
2 x
E2
1x E1
n+1个
o
x a 节点
23
稳定的驻波能级
一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度
根据波函数的标准化条件，在边界上：
(0) 0, (a) 0
18
代入方程，得： (0) Asin 0 B cos0 0 (a) Asin(ka) Bcos(ka) 0
由此可得： B 0
Asin ka 0
若取A=0，则=0，表示粒子不在势阱出现，这违反 粒子在势阱内运动的已知条件，
n 4
| |2
4
16 E1
3
n 3
9E1
n 2
n 1 0
2
1
a/2 a 0 a/2
4E1 E1 a Ep 0
对于不同的量子数，在阱内某一特定的点，粒子
出现的几率是不同的。 24
经典理论中，处于无限 深方势阱中粒子的能量为连 续值，粒子在阱内运动不受 限制，各处概率相等。
随着能级的升高，几率
密度的峰值增多，当 n
2-1
薛定谔方程及 其简单应用
1
奥地利物理学家，1933年诺贝尔物理奖获得者。 薛定谔是著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人 之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭 的放射性等方面的研究都有很大成就。
薛定谔方程是在德布罗意提出的物质波的基础上建立起 来的。他把物质波表示成数学形式，建立了称为薛定谔 方程的量子力学波动方程。
量子物理第二章薛定谔方程
a 2 o
2
dx
A2
a 2 sin2 n
a 2
a
xdx
A 2 a
x a 2
o
2 sin n x
aa
n 2,4,6
能 量
e
2 cos n x
aa
本
n 1,3,5 征
函 数
n 0 x f a 2
能量本征波函数：n (x, t) n (x)eiEnt h
本征波函数描述的粒子状态称为粒子的能量本征态。
可以分辨出表面单个原子和原子台阶，原子结构，超晶格 结构，表面缺陷细节，观测活体 DNA 基因，病毒。
STM
下图为镶嵌了48个 Fe 原子的 Cu 表面的扫描隧道显 微镜照片。48 个 Fe 原子形成“电子围栏”，围栏中的电 子形成驻波：
由于这一贡献，宾尼格、罗赫尔和鲁斯卡三人分享了 1986年度的诺贝尔物理奖。
积分 :
df (t) f (t)
i h
E
dt
i Et
f (t) e h
(x,
t) E (x) f
t
E
(
x)e
i h
Et
右边:
h2
d 2 (x) U (x) (x) E (x)
2m dx2
---- 一维定态薛定谔方程普遍形式
§2.2 无限深方势阱中的粒子
一 、 一维无限深势阱
1 、 势能曲线
E 为有限值，所以
(x a ,x a) 22
(x) 0
势阱内
h2 2m
d 2
dx2
0
E
( a x a )
2
2
d2
d x2
2mE h2
薛定谔方程及提出背景
薛定谔方程在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为；(1)其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。
类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为。
(2)假假设，系统内有个粒子，那么波函数是定义于 -位形空间，所有可能的粒子位置空间。
用方程表达，。
其中，波函数的第个参数是第个粒子的位置。
所以，第个粒子的位置是。
不含时薛定谔方程不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。
顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。
应用别离变量法，猜测的函数形式为；其中，是别离常数，是对应于的函数．稍回儿，我们会发觉就是能量．代入这猜测解，经过一番运算，含时薛定谔方程(1)会变为不含时薛定谔方程：。
类似地，方程(2)变为。
历史背景与开展爱因斯坦诠释普朗克的量子为光子，光波的粒子；也就是说，光波具有粒子的性质，一种很奇奥的波粒二象性。
他建议光子的能量与频率成正比。
在相对论里，能量与动量之间的关系跟频率与波数之间的关系相同，所以，连带地，光子的动量与波数成正比。
1924年，路易·德布罗意提出一个惊人的假设，每一种粒子都具有波粒二象性。
电子也有这种性质。
电子是一种波动，是电子波。
电子的能量与动量决定了它的物质波的频率与波数。
1927年，克林顿·戴维孙和雷斯特·革末将缓慢移动的电子射击于镍晶体标靶。
然后，测量反射的强度，侦测结果与X射线根据布拉格定律(Bragg'slaw)计算的衍射图案相同。
戴维森-革末实验彻底的证明了德布罗意假说。
薛定谔夜以继日地思考这些先进理论，既然粒子具有波粒二象性，应该会有一个反响这特性的波动方程，能够正确地描述粒子的量子行为。
于是，薛定谔试着寻找一个波动方程。
哈密顿先前的研究引导著薛定谔的思路，在牛顿力学与光学之间，有一种类比，隐蔽地暗藏于一个发觉里。
建立薛定谔方程的方法
建立薛定谔方程的方法摘要:薛定谔方程是量子力学的重要基本方程,是由奥地利物理学家薛定谔在1926年提出的一个用于描述量子力学中波函数的运动方程,它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律,在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样,是量子力学的奠基理论之一.由对薛定谔方程式的解答,能清楚地描述量子系统里,量子尺寸粒子的统计性量子行为.本文将讨论以微分和类比的方法建立薛定谔方程.关键词:量子力学波函数薛定谔方程引言:薛定谔提出的量子力学基本方程建立于1926 年, 它是一个非相对论的波动方程.反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律, 地位与经典物理中的牛顿运动方程相当,ψ,质量为m 的微是打开物质微观世界大门的金钥匙.设描述微观粒子状态的波函数为()t r,U,中运动的薛定谔方程为在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足观粒子在势场()t rψ,由此可计算粒子的能量、分布概率等.的单值、有限、连续的条件下, 可解出波函数()t r,U与时间无关而只是坐标的函数情况下为定态问题.定态时的波函数可写成式中当势能()r()rψ称为定态波函数, 满足定态薛定谔方程, 这一方程在数学上称为本征方程,式中E为ψ又称为属于本征值E的本征函数,波函数本身及其一阶导数必须是本征值,是定态能量()r单值、连续和有限的,这称为波函数的标准条件.薛定谔方程是线性、齐次的微分方程,满足叠加原理.定态薛定谔方程的每一个解就代表粒子的一个稳定状态.纵观物理学发展的历史,人们对于微观世界的认识是极其曲折复杂的,经历了许多伟大科学家的艰辛努力与激烈争论.其间,他们各有自己的高见,也都有各自的不足, 每人只认识其中的一个侧面,将他们各自正确的部分集中起来,才建立起反映微观世界的正确理论——量子力学.其重要组成部分之一是薛定谔创立的波动力学.在波动力学中薛定谔从几何光学向波动光学的过渡关系,而推断出由经典力学向波动力学如何过渡,再受德布罗意波的启发而建立了薛定谔方程.由于在实践中只有少数几个特殊的粒子运动体系的薛定谔方程可以精确求解, 而对于复杂的多电子原子和分子体系的薛定谔方程则无法精确求解,即使是利用近似模型处理后,其求解过程仍然非常复杂烦琐.随着计算机技术的飞速发展, 经过适当的近似处理后,通过求解薛定谔方程来揭示物质的微观性质和状态已经得到了非常成功的应用,尤其是在量子化学计算领域.因此,薛定谔方程已经成为了人们打开物质微观世界大门的金钥匙.薛定谔方程在量子力学的研究中有着极其重要的作用, 它是量子力学重要的基本方程.这方程既不是推导,也不是证明出来的,它是假设而建立起来的.建立方程的依据是:(1)应当是波函数对时间的一阶微分方程;(2)方程要包含外界的因素;(3)方程中的系数不含有状态参量;(4)方程是线性的.薛定谔方程的建立用微分发建立薛定谔方程建立过程:自由粒子波函数所满足的方程推广到一般. 自由粒子的波函数为平面波 )(t r Et r p h i Ae-→→→=），（φ ①对时间求偏微商: hEt r p i t )(--=∂∂→→φ ② 对坐标求二次偏微商: φφφ22)(2222h p e h Ap x z p y p x p h i x z y x -=-=∂∂++ ③同理得: φφφ2222h p y -=∂∂ , φφ2222h p z z -=∂∂ ④将以上三式相加:ψ=ψ∇=∂ψ∂+∂ψ∂+∂ψ∂222222222- p z y x , ⑤利用自由粒子的能量和动量的关系,我们可得到自由粒子波函数所满足的微分方程: φμφ222∇-=∂∂h t ih ⑥上式中劈形算符:zk y j x i ∂∂+∂∂+∂∂=∇ ,2222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇•∇=∇ ⑦ 如存在势能()r U ,能量和动量的关系是: )(22r U p E +=μ⑧ 波函数应满足的微分方程是;φφμφ)(222r U h t ih +∇-=∂∂ ⑨ 这个方程称为薛定谔方程.由建立过程可以看出,只需对能量动量关系进行如下代换: tih E ∂∂→ , ∇-→→ih p就可得到薛定谔方程. 用类比法建立薛定谔方程几何光学和波动光学这两种光学理论分别是建立在光的微粒说和波动说基础上的. 早在19 世纪, 哈密顿根据几何光学中费马原理的数学表达式0ds ==Θ⎰BAK δδ和经典力学中哈密顿原理的数学表达式⎰==B A dt 0s δδ相似, 曾经提出经典力学和几何光学存在着某种相似性.在研究几何光学和波动光学的关系时, 如果波长无限短, 即在 →0 的条件下, 波动光学就会过渡到几何光学; 在量子力学研究中, 如果忽略量子效应, 即在 →0 的条件下,量子力学就会过渡成为经典力学. 如果把几何光学与经典力学之间的相似性和波动光学与几何光学、量子力学与经典力学之间的过渡关系进行类比, 用图表示为从类比图我们可以看出, 量子力学的波动方程和波动光学的波动方程在数学表达式上是相似的.在波动光学中, 光波的两个重要方程是01-2222=∂∂∇f u f (1)()iwt e r f - Φ=(2)将( 2) 代入( 1), 得 022=ψ+Φ∇k (3) 其中波矢的大小uw k =. 同样道理, 在量子力学中, 波函数的表达式应与( 2) 式相似, 记为:()()()()t E i iwt e r e r t r --,ψ=ψ=ψ(4) 如果能量不随时间变化, 则波函数的空间部分()r ψ所满足的波动方程也应与( 3) 相似, 记为0Ψ22=ψ+∇k(5) 其中波矢的大小为()U E m P k -==2,代入( 5) 式, 得 0U)-(E 22=ψ+ψ∇ m 或ψ=ψ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∇E U m 222- (6) 上式则是定态薛定谔方程. 如果我们知道势能()r U 的具体形式, 通过解方程即可求出定态波函数()r ψ和粒子的能量E .如果方程(6)两端同乘以()t E iw e -, 则方程变为ψ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∇=ψU m E 222-(7) 由( 4) 式可得 ()ψ=ψ=∂ψ∂-E e E i t E i 将上式代入(7) 式左边, 得ψ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∇-=∂ψ∂U m i 222 （8） 这就是薛定谔方程的一般形式. 对于自由粒子来说, 它不受保守力场的作用, 即U = 0, 则自由粒子的定态薛定谔方程为ψ=ψ∇E m 222- (9)自由粒子薛定谔方程的一般形式为ψ∇=∂ψ∂222-m i (10)由此可见, 利用类比的方法也可以建立起薛定谔方程, 它与用微分的方法来建立方程所得的结果是一致的. 主要是通过逻辑思维对经典力学、几何力学、波动光学、量子力学的相似之处及过渡关系进行比较, 得出量子力学的波动方程与光波的波动方程相似,以此作为基础而建立起薛定谔方程的. 需要注意的是, 薛定谔方程是实验的综合,不是推导和证明出来的, 薛定谔方程的正确性是靠它与大量实验相符合而得以证实的.实验验证薛定愕方程建立半个多世纪以来一直为人们所承认和接受并得到长远发展.那么其基本假设和由此而建立的方程的实验基础是什么?它经受住了一些什么样的实验检验呢?微观粒子的波粒二象性即德布罗意物质波的革命性假设及其实验被证实是薛定愕方程的实验基础和理论基础.整个十九世纪物理学在对光的研究中首先发现了光的波动特性,在这方面有大量的实验事实可查.如扬氏双缝干涉实验,菲涅耳双棱镜干涉实验,牛顿环干涉实验,菲涅耳圆孔衍射实验等.薛定愕方程的建立有着广泛的实验基础,但实验对方程的建立不是直接的,即方程不是大量实验结果的直接总结,因此方程还必须进一步接受实验的检验.那么薛定愕方程建立之后它经受住了一些什么样的实验检验了呢？ 这里略举几例:从薛定愕方程得到的结果与实验结果相符的事例还不止这些,但是从上述事例中,我们可充分看到薛定愕方程建立后,众多的实验结果为其正确性提供了坚实的实验基础.结论:薛定谔方程可由微分法和类比法建立,且经检验,薛定谔方程是正确的,即:(1) 从这个方程得到了谐振子的能级和定态波函数,结果与海森伯的矩阵力学所得相同.(2) 从这个方程得到的解正是氢原子的能级公式.(3) 该方程处理了普朗克谐振子和双原子分子等问题.(4) 从这个方程可计算出里德伯常数,结果与实验相符合.(5) 利用这个方程含时间的微扰理论,解决色散等问题.原子的稳定性问题.参考文献[1] 杨亚培张晓霞光电物理基础.电子科技大学出版社 2009 14-28[2] [日] 中岛贞雄. 最子力学(上) [M] . 北京: 北京师范大学出版社,1989.[3] 张怿慈. 量子力学简明教程[M] . 北京: 人民教育出版社, 1979.[4] 曾谨言.量子力学[M].北京:科学出版社,2007.1.26-28.[5] 汪德新.量子力学[M].北京:科学出版社,2008.8.100-105.[6] 郭奕玲.物理学史2版[M].北京:清华大学出版社,2005.8.45-49.[7] 张永德.量子力学[M].北京:科学出版社,2008.8.35-78.[8] 钱伯初.量子力学[M].北京:高等教育出版社,2006.1.254-259.[9] 门福殿.量子力学.[M].北京中国石油大学出版社,2005.5.12-18.[10] 孙利平.打开物质微观世界大门的金钥匙-薛定谔方程[J]长沙大学学报第18卷第4期2004年12月.[11] 梁辉.从薛定谔方程谈量子力学与经典物理的区别[J]安徽技术师范学院学报2003,17( 1):70-71.。
2010薛定谔方程(第二章)
由此，按能量-时间的不确定关系式，粒子能量的 不确定度为 E 2( U E )
2t
0
这时，粒子的总能量将为E+ΔE，而其动能的不确 定度为 E k E E U 0 U 0 E
粒子在到达的区域内，其动能的不确定度大于其 名义上的负动能的值。因此，负动能被不确定关 系“掩盖”了，它只是一种观察不到的“虚”动 能。 由于粒子可以进入
式还给出在x=a/2处，ψ≠0，
波函数随x的增大而按指数规律减小。 粒子处于可能的基态和第1，2激发态（U0太 小时，粒子不能被束缚在阱内）的波函数如图中
的实线所示，虚线表示粒子的概率密度分布。
量子力学给出的结果与经典力学给出的不同：
1 处于束缚态的粒子的能量量子化了。 2 在E<U0 的情况下，按经典力学，粒子只能在阱 内（即-a/2<x<a/2）运动，不可进入其能量小于势 能的x>a/2的区域，因为在这一区域粒子的动能 Ek(Ek=E-U0)将为负值。 但是，量子力学理论给出，在其势能大于其总 能量的区域内，粒子仍有一定的概率密度，即粒 子可以进入这一区域。
6 2
a 10
例如 : E1 2( Mev), E2 8( Mev)
例题2：设一个电子处于宽 a 10 m 的无限深势井中， 当电子从第一激发态(n=2)跃迁回基态(n=1)时发射出一个 光子，求此光子波长。 解：由公式：
10
En n
2
2
2 2 2
2me a
0.60510 n ( J ) E2 E1 16 1 2.7410 ( s ) h 0 c 8 1.0910 m 109 A
d • 阱外： [ 2m 2 ]( x ) E( x ) dx
谈薛定谔方程的建立与创造性思维特征
谈薛定谔方程的建立与创造性思维特征
薛定谔方程是一个重要的物理方程，它是由俄国物理学家薛定谔在1925年提出的，它描述了
原子核的行为。
薛定谔方程的建立是一个重要的科学成就，它体现了薛定谔的创造性思维特征。
薛定谔方程的建立是一个复杂的过程，它需要薛定谔具有创造性思维特征。
首先，薛定谔拥有深厚的物理学知识，他能够把物理学的知识运用到实际问题中，从而推导出薛定谔方程。
其次，薛定谔具有极强的创新能力，他能够从物理学的知识中提炼出新的思想，并将其应用到实际问题中，从而推导出薛定谔方程。
最后，薛定谔具有极强的推理能力，他能够从物理学的知识中推导出薛定谔方程，从而解决实际问题。
总之，薛定谔方程的建立体现了薛定谔的创造性思维特征，他拥有深厚的物理学知识，极强的创新能力和推理能力，这些特征使他能够推导出薛定谔方程，为物理学的发展做出了重要贡献。
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薛定谔方程的建立
1925年，薛定谔在苏黎世大学任教,并兼任大物理学家德拜的助手。
薛定谔过去一直在致力于分子运动的统计力学方面的研究，所以很快注意到爱因斯坦于1925年2月德布罗意发表的关于理想气体量子理论的论文，并从中受到影响.薛定谔本人在1926年4月给爱因斯坦的一封信中曾谈起过：“如果不是您的第二篇关于气体简并的论文提示了我注意到德布罗意思想之重要性的话，恐怕我的整个事情都还未能开始呢。
”德拜的回忆说,当初在慕尼黑大学时，曾由德拜、薛定谔等人一块儿组织过一些讨论，德布罗意的博士论文发表后，他们曾进行过讨论。
由于难于理解，德拜就让薛定谔仔细钻研一下，然后给大家讲解。
“正是这个准备过程使他进步了。
作了报告后不过数月之久，他的正式论文就发表出来了.”
薛定谔建立的波动力学是从光学和力学的类比入手的;他发现,微观粒子的运动，用哈密顿动力学方程描述和用德布罗意波波阵面方程描述具有同样的形式,从而看出物质波的“几何光学"等同于经典力学。
他把光学与力学进行类比：几何光学是波动光学的近似和简化，若经典力学等同于几何光学，则应该有一门波动力学等同于波动光学，它将如波动光学可以解释干涉衍射一样，用来解释原子领域的过程。
他于是引进波函数，把粒子在力场中的运动，描绘成波动的过程，建立了有名的薛定谔方程。
薛定谔的论文正式发表于1926年3月，题目为“作为本征值问题的量子化”，这是他四篇系列论文中的第一篇。
薛定谔利用哈密顿—雅可比（Hamilton －Jacobi ）微分方程，针对氢原子的具体情形，最后导出了一个一函数的本征值方程： 0)(2222=++∆ψψr e E K m 这就是定态下的薛定谔方程.玻尔的氢原子能级作为方程中函数的本
征值自然而然地出现了。
薛定谔方程的引入方式并不是唯一的，其正
确性只能由它所得出的结果是否正确来加以保证.事实证明，薛定谔
方程在低速微观领域是十分正确的。
波动方程的建立标志了波动力学
的诞生。
孤独的研究者，通过曲折的道路，终于达到了一个光辉的顶
点。
当波动力学出现的时候，玻恩正致力于自由粒子与原子间碰撞问
题的研究，他看出波动力学的描述方法更为便利，就采用了这种理论.
运用的结果使他认识到,波动力学并没有回答碰撞之后各粒子的状态
问题，而只是给出了碰撞后各种状态的可能性.这就促使他提出了波
函数的统计解释：“粒子的运动遵循着统计规律，而统计性则按因果
律在坐标中传播.”并把波函数的绝对值二次方解释为与粒子在单位
体积内出现的几率成比例，被称为玻恩对波函数的统计诠释。
波函数所表示的波也常被称为几率波。
由于粒子肯定存在于空间中，因此，将波函数对整个空间积分，就得出粒子在空间各点出现几率之和，结果应等于1，即:
⎰⎰==1),(),(2τϕτd t r c d t r p
可以用),(t r c ϕ代替),(t r ϕ作为波函数，那么波函数),(),(t r c t r ϕϕ≡'就满足条件：
图10-11为中年时的薛定谔
⎰
='1),(2t r ϕ，这个条件称为波函数的归一化条件,满足这个条件的波函数),(t r ϕ'称为归一化波函数.玻恩也因对波函数的统计解释而获得1954年度诺贝尔物理学奖金。