《数值分析-李庆杨》第4章 数值积分与数值微分.ppt
合集下载
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
数值分析课件第4章数值积分与数值微分
森(simpson)公式(又称为抛物形求积公式)，即
S b a [ f (a) 4 f (a b) f (b)].
6
2
上页 下页
n = 4 时的牛顿-柯特斯公式就特别称为柯特斯公 式. 其形式是
上页 下页
4.1.1 数值求积的基本思想
由积分中值定理, 对连续函数f(x), 在区间[a, b]
内至少存在一点，使
I
b
a
f
(x)d
x
(b
a)
f
(
)
只要对平均高度 f() 提供一种近似算法, 便可相应
地获得一种数值求积方法. 即所谓矩形公式.
几何图形见书p119.
上页 下页
例如, 用区间[a, b]两端点的函数值 f(a)与f(b)的
nn
(t j)dt
0 jk
(k=0,1,,n)
则 Ak (b a)Ck(n) , 于是得求积公式
n
In (b a) Ck(n) f ( xk )
k0
称为n 阶牛顿-柯特斯 (Newton-Cotes)公式, Ck(n) 称 为柯特斯系数。
显然, 柯特斯系数与被积函数 f (x) 和积分区间
如为了构造出上面的求积公式，原则上是一个 确定参数xk和Ak的代数问题.
上页 下页
4.1.3 插值型求积公式
设给定一组节点 a x0 x1 xn1 xn b
且已知f(x)在这些节点上的函数值 f(xk), 则可求得f(x)
的拉格朗日插值多项式(因为Ln(x)的原函数易求)
n
Ln ( x) f ( xk )lk ( x) 则 f (x)Ln(x)
k0
如果对任I给n( 小f )正 I数n(ε~f>)0， 只n 要Ak误[ f差( x|δkk)|充 ~f分k ]小就 ,有
河海大学研究生数值分析课件
插值节点。其他点 x [a, b]称为插值点。 [a, b称为 ] 插值区间。
若 P(x) 是次数不超过n的多项式，即
P( x) a0 a1 x an x n
则称 P(x)为插值多项式。相应的方法称为多项式插值。 若 P(x) 是分段多项式，则称分段多项式插值。 常用的有拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插 值、埃特金插值、三次样条插值等。
定义2 称
f ( x1 ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ] x1 x0
为 f (x)关于点
x0 , x1 的一阶均差；称
f [ x0 , x2 ] f [ x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x2 x1
为 f (x)的二阶均差；一般的，称
f ( f ( x ,, x )) | ( ) | ( xk ) xk k 1
1 n n
例3 测量得某场地长 l 的值为 110 0.2 ，宽d m 的值为 80 0.1m ，试求面积 s = ld 的绝对误差限与 相对误差限。 （见黑板）
1.3 误差定性分析与避免误差危害
1 ( n1)
若 x 具有n位有效数字，则相对误差限
r
x 10 (a1 a2 10 an 10
) , a1 0
1 ( n 1) 10 2a1 1 ( n 1) 10 ，则 反之，若 x 的相对误差限 r 2a1
至少具有n位有效数字。 （证明见黑板）
其中数值计算方法是数值分析研究的对象。
主要包括：
（1）函数的数值逼近（包括插值法）；
（2）数值微分和数值积分；
（3）非线性方程（组）数值解； （4）数值线性代数（如线性方程组数值解、矩阵 特征值特征向量的计算）； （5）（偏）微分方程数值解。
若 P(x) 是次数不超过n的多项式，即
P( x) a0 a1 x an x n
则称 P(x)为插值多项式。相应的方法称为多项式插值。 若 P(x) 是分段多项式，则称分段多项式插值。 常用的有拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插 值、埃特金插值、三次样条插值等。
定义2 称
f ( x1 ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ] x1 x0
为 f (x)关于点
x0 , x1 的一阶均差；称
f [ x0 , x2 ] f [ x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x2 x1
为 f (x)的二阶均差；一般的，称
f ( f ( x ,, x )) | ( ) | ( xk ) xk k 1
1 n n
例3 测量得某场地长 l 的值为 110 0.2 ，宽d m 的值为 80 0.1m ，试求面积 s = ld 的绝对误差限与 相对误差限。 （见黑板）
1.3 误差定性分析与避免误差危害
1 ( n1)
若 x 具有n位有效数字，则相对误差限
r
x 10 (a1 a2 10 an 10
) , a1 0
1 ( n 1) 10 2a1 1 ( n 1) 10 ，则 反之，若 x 的相对误差限 r 2a1
至少具有n位有效数字。 （证明见黑板）
其中数值计算方法是数值分析研究的对象。
主要包括：
（1）函数的数值逼近（包括插值法）；
（2）数值微分和数值积分；
（3）非线性方程（组）数值解； （4）数值线性代数（如线性方程组数值解、矩阵 特征值特征向量的计算）； （5）（偏）微分方程数值解。
数值分析课件 第4章 数值积分与数值微分
第4章 数值积分与数值微分1 数值积分的基本概念实际问题当中常常需要计算定积分。
在微积分中，我们熟知，牛顿—莱布尼兹公式是计算定积分的一种有效工具，在理论和实际计算上有很大作用。
对定积分()ba I f x dx =⎰，若()f x 在区间[,]ab 上连续，且()f x 的原函数为()F x ，则可计算定积分()()()ba f x dx Fb F a =-⎰ 似乎问题已经解决，其实不然。
如1）()f x 是由测量或数值计算以数据表形式给出时，Newton-Leibnitz 公式无法应用。
2）许多形式上很简单的函数，例如222sin 1(),sin ,cos ,,ln x x f x x x e x x-=等等，它们的原函数不能用初等函数的有限形式表示。
3）即使有些被积函数的原函数能通过初等函数的有限形式表示，但应用牛顿—莱布尼兹公式计算，仍涉及大量的数值计算，还不如应用数值积分的方法来得方便，既节省工作量，又满足精度的要求。
例如下列积分24111ln11arc 1)arc 1)xdxxtg tg C++=+⎡⎤+++-+⎣⎦⎰对于上述这些情况，都要求建立定积分的近似计算方法—数值积分法。
1.1 数值求积分的基本思想根据以上所述，数值求积公式应该避免用原函数表示，而由被积函数的值决定。
由积分中值定理：对()[,]f x C a b∈，存在[,]a bξ∈，有()()()baf x dx b a fξ=-⎰表明，定积分所表示的曲边梯形的面积等于底为b a-而高为()fξ的矩形面积（图4-1）。
问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出()fξ。
我们将()fξ称为区间[,]a b上的平均高度。
这样，只要对平均高度()fξ提供一种算法，相应地便获得一种数值求积分方法。
如果我们用两端的算术平均作为平均高度()f ξ的近似值，这样导出的求积公式[()()]2b a T f a f b -=+ (1.1)便是我们所熟悉的梯形公式（图4-2）。
数值分析第四章数值积分与数值微分-PPT课件
二、数值积分的基本思想
1、定积分的几何意义
y
I ( f ) f ( x)dx
f x
a
b
o
a
b
x
2、数值积分的理论依据
依据积分中值定理, 对于连续函数 f x ,
在 a , b 内存在一点 ,使得
f ?
I (f) ) dx ( b a )f( ) f(x
1、问题的提出
构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有: (i) 确定求积系数 A k 和求积节点 x k ； (ii) 判定求积公式精度的衡量标准； (iii) 求积公式的误差估计和收敛性分析.
2、定义
称求积公式 In ( f ) A k f (x k ) 具有m次代数精度,如
n k0
第四章
数值积分 与数值微分
§1 引 言
一、数值积分的必要性
本章主要讨论如下形式的一元函数积分
I ( f ) f ( x)dx
在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分
a
b
If () x d x F () b F () a f()
a
b
要求被积函数 F x ☞ 有解析表达式；
上述积分称为第二类椭圆积分。 What’s the It’s so Original complex that function?! we can not get it.
2. 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示成有限 形式,但表达式相当复杂,计算极不方便. 例如函数:
x2 2x2 3
并不复杂,但它的原函数却十分复杂:
上述定义中的条件(i),(ii)等价于:
k k k ( i ) R ( x ) I ( xI ) ( x 0 ,( 0 k m ) n )
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)第一章：数值分析导论1. 解答：数值分析是一门研究如何使用计算机来解决数学问题的学科。
它包括了从数学理论到计算实现的一系列技术。
数值分析的目标是通过近似的方式求解数学问题，其结果可能不是完全精确的，但是能够满足工程或科学应用的要求。
2. 解答：数值分析在实际应用中起着重要的作用。
它可以用于求解复杂的数学方程、计算机模拟及建模、数据的统计分析等等。
数值分析是科学计算和工程计算的基础，对许多领域都有着广泛的应用，如物理学、经济学、生物学等。
3. 解答：数值方法指的是使用数值计算的方式来求解数学问题。
与解析方法相比，数值方法一般更加灵活和高效，可以处理一些复杂的数学问题。
数值方法主要包括了数值逼近、插值、数值积分、数值微分、线性方程组的求解、非线性方程的求根等。
4. 解答：计算误差是指数值计算结果与精确解之间的差异。
在数值计算中，由于计算机的有限精度以及数值计算方法本身的近似性等因素，都会导致计算误差的产生。
计算误差可以分为截断误差和舍入误差两种。
第二章：数值误差分析1. 解答：绝对误差是指实际值与精确值之间的差异。
例如，对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其绝对误差为| x - x_0 |。
绝对误差可以衡量数值近似解的精确程度，通常被用作评估数值计算方法的好坏。
2. 解答：相对误差是指绝对误差与精确解之间的比值。
对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其相对误差为| (x - x_0) / x_0 |。
相对误差可以衡量数值近似解相对于精确解的精确度，常用于评估数值计算方法的收敛速度。
3. 解答：舍入误差是由于计算机的有限精度而引起的误差。
计算机中使用的浮点数系统只能表示有限的小数位数，因此在进行数值计算过程中，舍入误差不可避免地会产生。
舍入误差会导致计算结果与精确结果之间存在差异。
4. 解答：误差限度是指对于给定的数值计算问题，所能容忍的误差范围。
研究生课程《数值分析》第四章数值积分与数值微分
b
a
f
(x)dx
1 (b 6
a)
f
(a)
4
f
(a
2
b)
f
(b)
y=f(x)
梯形公式把 f(a), f(b) 的加权平均值
1 f (a) f (b)
2
aa ((aa++bb))//22 bb
作为平均高度 f( ) 的近似值而获得的一种数值积分方法。
中矩形公式把 [a,b] 的中点处函数值
f
ab 2
定义 （代数精度） 设求积公式（1）对于一切次 数小于等于 m 的多项式( f (x) 1, x, x2 , , xm 或 f (x) a0 a1x a2 x 2 am x m )是准确的，而对于 次数为 m+1 的多项式是不准确的，则称该求积公 式具有 m 次代数精度（简称代数精度）
作为平均高度 f( ) 的近似值而获得的一种数值积分方法。
Simpson公式是以函数 f(x)在 a, b, (a+b)/2 这三点的函数
值 f(a),
f(b),
f
a
2
b
的加权平均值
。
1 ( f (a) 4 f ( a b ) f (b))作为平均高度 f() 的近
6
2
似值而获得的一种数值积分方法。
将积分区间细分, 在每个小区间内用简单函数代替复 杂函数进行积分，这是数值积分的思想。本章主要讨论 用代数插值多项式代替 f(x) 进行积分。
5.1.1 数值积分的基本思想
积分 I b f (x)dx 在几何上可以理解为由 x=a, x=b, a
y=0 以及 y = f(x) 这四条边所围成的曲边梯形面积。如图 1 所 示，而这个面积之所以难于计算是因为它有一条曲边 y=f(x)。
数值分析数值计算方法课程课件PPT之第四章数值积分与数值微分
4
( x a )( x b ) d x a
b
[ a , b ].
(2) f ( x) C [a, b], 则 辛 普 森 公 式 的 截 断 差 误 为：
f ()b a b 2 R ( x a )( x ) ( x b ) d x S a 4 ! 2
b ab a 4 ( 4 ) ( ) f ( ), 180 2
n 1
I k 求出积分值Ik,然后将它们累加求和,用 作为所求积分 I的近 k 0 似值。
h I f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) f ( x ) k k 1 a x k 2 k 0 k 0 h f ( x ) 2 ( f ( x ) f ( x ) ... f ( x )) f ( x ) 0 1 2 n 1 n 2
记
1 S f ( a ) 4 f ( x ) 2 f ( x ) f ( b ) 1 n k k 2 6 k 0 k 1
n 1 n 1
称为复化辛普森公式。
18
类似于复化梯形公式余项的讨论，复化辛普森公式的求 积余项为
R s h f 2880 ba
1
4.3 复化求积公式
问题1：由梯形、辛普森和柯特斯求积公式余项，分析随着求 积节点数的增加，对应公式的精度是怎样变化？ 问题2：当n≥8时N—C求积公式还具有数值稳定性吗？可用增 加求积节点数的方法来提高计算精度吗？ 在实际应用中，通常将积分区间分成若干个小区间， 在每个小区间上采用低阶求积公式，然后把所有小区间上 的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复 化求积公式的基本思想。常用的复化求积公式有复化梯形 公式和复化辛普森公式。
( x a )( x b ) d x a
b
[ a , b ].
(2) f ( x) C [a, b], 则 辛 普 森 公 式 的 截 断 差 误 为：
f ()b a b 2 R ( x a )( x ) ( x b ) d x S a 4 ! 2
b ab a 4 ( 4 ) ( ) f ( ), 180 2
n 1
I k 求出积分值Ik,然后将它们累加求和,用 作为所求积分 I的近 k 0 似值。
h I f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) f ( x ) k k 1 a x k 2 k 0 k 0 h f ( x ) 2 ( f ( x ) f ( x ) ... f ( x )) f ( x ) 0 1 2 n 1 n 2
记
1 S f ( a ) 4 f ( x ) 2 f ( x ) f ( b ) 1 n k k 2 6 k 0 k 1
n 1 n 1
称为复化辛普森公式。
18
类似于复化梯形公式余项的讨论，复化辛普森公式的求 积余项为
R s h f 2880 ba
1
4.3 复化求积公式
问题1：由梯形、辛普森和柯特斯求积公式余项，分析随着求 积节点数的增加，对应公式的精度是怎样变化？ 问题2：当n≥8时N—C求积公式还具有数值稳定性吗？可用增 加求积节点数的方法来提高计算精度吗？ 在实际应用中，通常将积分区间分成若干个小区间， 在每个小区间上采用低阶求积公式，然后把所有小区间上 的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复 化求积公式的基本思想。常用的复化求积公式有复化梯形 公式和复化辛普森公式。
数值分析 李庆扬ppt课件
x
x xA xA
➢ 定义2.2 绝对误差界、相对误差界
若 x ，x则A 称 为A绝对误差界，简称 误A 差界
称 为A 相对误差界, 记为 . xA
r
；.
数值分析14
数值分析
➢定义2.3 有效数字 /* significant digits */
用|为x科有 学nx计A 位|数 有（法0效即.，5数 记的字10截，k 取精n按确x A 四到 舍 五（a。1 n入其0 k 规中 则0 ）.a ）1 ，a . 则2 若称a n
离散集合（部分有理数），此集合的数称为机器数.
浮点数：
这种允36许.83小=数0.3点68位3×置1浮02动=0的.03表68示3×法1称03为数的 浮点形式。
机器数 x 的二进制浮点形式为: 尾数
x 2k0 .12 t
阶
其中， k 12 s(j { 0 ,1 } )
阶的位数
；.
数值分析19
数值分析
促使一些边缘学科的相继出现： 计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学, 计算地质学,计算经济学,等等
；.
4 数值分析
数值分析
实际问题
建立数学模型
数值分析提出算法
程序 设计
分析结果并对实际问题进行解释说明
编程上机计算
在建立了数学模型之后，并不能立刻用计算机直接求解，还必须寻找用计算机计算这 些数学模型的数值方法，即将数学模型中的连续变量离散化，转化成一系列相应的算法步 骤，编制出正确的计算程序，再上机计算得出满意的数值结果。
略去高阶项：
A A f( x 1 ,,x n ) f( x 1 ,,x n )
n j1
f
(x) xj
x xA xA
➢ 定义2.2 绝对误差界、相对误差界
若 x ，x则A 称 为A绝对误差界，简称 误A 差界
称 为A 相对误差界, 记为 . xA
r
；.
数值分析14
数值分析
➢定义2.3 有效数字 /* significant digits */
用|为x科有 学nx计A 位|数 有（法0效即.，5数 记的字10截，k 取精n按确x A 四到 舍 五（a。1 n入其0 k 规中 则0 ）.a ）1 ，a . 则2 若称a n
离散集合（部分有理数），此集合的数称为机器数.
浮点数：
这种允36许.83小=数0.3点68位3×置1浮02动=0的.03表68示3×法1称03为数的 浮点形式。
机器数 x 的二进制浮点形式为: 尾数
x 2k0 .12 t
阶
其中， k 12 s(j { 0 ,1 } )
阶的位数
；.
数值分析19
数值分析
促使一些边缘学科的相继出现： 计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学, 计算地质学,计算经济学,等等
；.
4 数值分析
数值分析
实际问题
建立数学模型
数值分析提出算法
程序 设计
分析结果并对实际问题进行解释说明
编程上机计算
在建立了数学模型之后，并不能立刻用计算机直接求解，还必须寻找用计算机计算这 些数学模型的数值方法，即将数学模型中的连续变量离散化，转化成一系列相应的算法步 骤，编制出正确的计算程序，再上机计算得出满意的数值结果。
略去高阶项：
A A f( x 1 ,,x n ) f( x 1 ,,x n )
n j1
f
(x) xj
《数值分析-李庆杨》第4章 数值积分与数值微分-文档资料
(a
b).得到的求积公式就是中矩形公式。再令
数
f (x) x2, 代入(1.4)式的第三式有
值
分 析 》
A0 x02
(b
a)( a
b)2 2
b
a 4
(a2
b2)
b x2dx 1 (b3 a3 ),
a
3
说明中矩形公式对f (x) x2不精确成立，故它的代数精确度为1.
当f(x)=x2时(1.4)式的第三个式子不成立，因为
b a (a2 b2 ) b x2dx 1 (b3 a3).
2
a
3
故梯形公式(1.1)的代数精确度为1.
第4章 数值积分与数值微分
在方程组(1.4)中如果节点xi及系数Ai都不确定，那么方 程组(1.4)是关于xi及Ai(i=0,1,…,n)的2n+2个参数的非线性方 程组。此方程组当n>1时求解是很困难的，但当n=0及n=1的 情形还可通过求解方程组(1.4)得到相应的求积公式。
练习 设有求积公式
1
1 f (x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
试确定系数A0, A1, A2, 使上述求积公式的代数精度尽量高.
三、插值型求积公式
第4章 数值积分与数值微分
在n 1个互异节点a x0 x1 xn b上已知函数值f0,
A1
1（b a）.于是得 2
数 值
I ( f ) b f ( x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
分
析 这就是梯形公式(1.1),它表明利用线性方程组(1.4)推出的求积公式，
数值分析第五版李庆扬王能超课件第4章(1)
1.483240 1.549193 1.612452 1.673320 1.732051
y1
yi 1 yi h f ( xi , yi ) ( i 0, ... , n 1)
亦称为欧拉折线法
/* Euler’s polygonal arc method*/
2.1
欧拉方法
定义 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考 虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差 /* local
1.264911 1.341641
0.5
0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
1.435133
1.508966 1.580338 1.649783 1.717779 1.784770
1.416402
1.485956 1.552514 1.616475 1.678166 1.737867
1.414214
隐式欧拉公式
y i 1 y i h f ( x i 1 , yi 1 ) ( i 0, ... , n 1)
2.1
欧拉方法
注：
由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得
到，故称为隐式（后退） /* implicit */ 欧拉公式，而前 者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。
truncation error */。
定义 若某算法的局部截断误差为 O(hp+1)，则称该算法有 pding term */
欧拉法的局部截断误差：
Ri y( xi 1 ) yi 1 [ y( xi ) hy( xi ) h2 y( xi ) O( h3 )] [ yi hf ( xi , yi )]
y1
yi 1 yi h f ( xi , yi ) ( i 0, ... , n 1)
亦称为欧拉折线法
/* Euler’s polygonal arc method*/
2.1
欧拉方法
定义 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考 虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差 /* local
1.264911 1.341641
0.5
0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
1.435133
1.508966 1.580338 1.649783 1.717779 1.784770
1.416402
1.485956 1.552514 1.616475 1.678166 1.737867
1.414214
隐式欧拉公式
y i 1 y i h f ( x i 1 , yi 1 ) ( i 0, ... , n 1)
2.1
欧拉方法
注：
由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得
到，故称为隐式（后退） /* implicit */ 欧拉公式，而前 者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。
truncation error */。
定义 若某算法的局部截断误差为 O(hp+1)，则称该算法有 pding term */
欧拉法的局部截断误差：
Ri y( xi 1 ) yi 1 [ y( xi ) hy( xi ) h2 y( xi ) O( h3 )] [ yi hf ( xi , yi )]
数值分析_清华李庆杨第五版第四章_数值积分
梯形公式和中矩形公式具有1次代数精度，辛卜生公
式有3次代数精度。下面以梯形公式为例进行验证
b
a
ba f (a) f (b) f ( x) dx 2
b
取f(x)=1时， a 1dx b a, 取f(x)=x时,
1 2 2 a xdx 2 (b a ),
b
ba (1 1) b a 2
两端相等
ba 1 2 2 (a b) (b a ) 2 2
两端相等
取f(x)=x2 时,
b
a
1 3 ba 2 1 2 3 2 x dx (b a ), (a b ) (a b 2 )( b a) 3 2 2
2
两端不相等
所以梯形公式只有1次代数精度。
例4.2 试确定一个至少具有2次代数精度的公式
y y=f(x)
在这三个公式中, 梯形公式 把f(a), f(b)的加权平均值
1 f (a) f (b) 作为平均高度 2
a a
(a+b)/2 (a+b)/2
b b
f()的近似值而获得的一种数值积分方法。
中矩形公式把[a,b] 的中点处函数值
f (
a b ) 2
作为平均高度f()的近似值而获得的一种数值积 分方法。
n j k
x xj
这里
( x) ( x x0 )(x x1 )( x xn )
多项式P(x)易于求积,所以可取
b
a
f ( x)dx 的近似值，即
b
a
P( x)dx 作为
b
a
f ( x)dx
n
式有3次代数精度。下面以梯形公式为例进行验证
b
a
ba f (a) f (b) f ( x) dx 2
b
取f(x)=1时， a 1dx b a, 取f(x)=x时,
1 2 2 a xdx 2 (b a ),
b
ba (1 1) b a 2
两端相等
ba 1 2 2 (a b) (b a ) 2 2
两端相等
取f(x)=x2 时,
b
a
1 3 ba 2 1 2 3 2 x dx (b a ), (a b ) (a b 2 )( b a) 3 2 2
2
两端不相等
所以梯形公式只有1次代数精度。
例4.2 试确定一个至少具有2次代数精度的公式
y y=f(x)
在这三个公式中, 梯形公式 把f(a), f(b)的加权平均值
1 f (a) f (b) 作为平均高度 2
a a
(a+b)/2 (a+b)/2
b b
f()的近似值而获得的一种数值积分方法。
中矩形公式把[a,b] 的中点处函数值
f (
a b ) 2
作为平均高度f()的近似值而获得的一种数值积 分方法。
n j k
x xj
这里
( x) ( x x0 )(x x1 )( x xn )
多项式P(x)易于求积,所以可取
b
a
f ( x)dx 的近似值，即
b
a
P( x)dx 作为
b
a
f ( x)dx
n
《数值分析》PPT课件
它的近似解.
8
实际问题 数学模型 数值计算方法
上机计算求出结果
近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差.
9
例如，用泰勒(Taylor)多项式
Pn (x)
f (0)
f (0) x 1!
f (0) x2 2!
f (n) (0) xn n!
近似代替函数 f (，x) 则数值方法的截断误差是
4
数值分析的特点： 一、面向计算机，能根据计算机的特点提供切实可行的 有效算法. 二、有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求， 对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行
分析. 三、要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时
间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研 究的问题，它5 关系到算法能否在计算机上实现.
界，即
13
e * x * x *,
则 叫* 做近似值的误差限， 它总是正数.
例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 ，x读出和该长度 接近的刻度 ，x * x *是 x的近似值， 它的误差限是 0.5m，m 于是
x * x 0.5mm. 如读出的长度为 765m，m 则有 765 x . 0.5 虽然从这个14 不等式不能知道准确的 是x多少，但可知
19
当准确值 位x数比较多时，常常按四舍五入的原则得 到 x的前几位近似值 ，x * 例如
x π 3.14159265
取3位 取5位
x3* 3.14, 3* 0.002, x5* 3.1416, 5* 0.000008,
它们的误差都不超过末位数字的半个单位，即
π 3.14 1 102 , 2
定义设1 为准确x 值，
x *为 x的一个近似值， 称
8
实际问题 数学模型 数值计算方法
上机计算求出结果
近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差.
9
例如，用泰勒(Taylor)多项式
Pn (x)
f (0)
f (0) x 1!
f (0) x2 2!
f (n) (0) xn n!
近似代替函数 f (，x) 则数值方法的截断误差是
4
数值分析的特点： 一、面向计算机，能根据计算机的特点提供切实可行的 有效算法. 二、有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求， 对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行
分析. 三、要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时
间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研 究的问题，它5 关系到算法能否在计算机上实现.
界，即
13
e * x * x *,
则 叫* 做近似值的误差限， 它总是正数.
例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 ，x读出和该长度 接近的刻度 ，x * x *是 x的近似值， 它的误差限是 0.5m，m 于是
x * x 0.5mm. 如读出的长度为 765m，m 则有 765 x . 0.5 虽然从这个14 不等式不能知道准确的 是x多少，但可知
19
当准确值 位x数比较多时，常常按四舍五入的原则得 到 x的前几位近似值 ，x * 例如
x π 3.14159265
取3位 取5位
x3* 3.14, 3* 0.002, x5* 3.1416, 5* 0.000008,
它们的误差都不超过末位数字的半个单位，即
π 3.14 1 102 , 2
定义设1 为准确x 值，
x *为 x的一个近似值， 称
数值分析第五版李庆扬王能超课件第4章(2)
30 x
1.0000 2.0000 4.0000 8.0000 1.6000101 3.2000101
1.0000 2.5000101 6.2500102 1.5625102 3.9063103 9.7656104
1.0000 2.5000 6.2500 1.5626101 3.9063101 9.7656101
稳定性 /* Stability */
例：考察初值问题
2.2 单步法的稳定性
y( x ) 30 y( x ) 在区间[0, 0.5]上的解。 y ( 0) 1
分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。
节点 xi 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 欧拉显式 欧拉隐式 改进欧拉法 精确解 小扰动引起了质的改变 ! ye
其中2阶方法
yi 1 yi hK 1 K f (x h , y h K ) 1 i i 1 2 2
Img
的绝对稳定区域为
而显式 1~ 4 阶方法的绝对稳定 Img 区域为
k=4 - 3
0
Re
k=1
k=3 k=2
-2 -1
-3
-2
-1
Re
无条件阶经典龙格-库塔法 /* Classical Runge-Kutta Method */ ：
y i 1 K1 K2 K3 K4
yi h ( K1 2K 2 2K 3 K 4 ) 6 f ( xi , yi )
h f ( xi h , y K1 ) i 2 2 h f ( xi h , y K2 ) i 2 2
1.0000 4.9787102 2.4788103 1.2341104 6.1442106 3.0590107
1.0000 2.0000 4.0000 8.0000 1.6000101 3.2000101
1.0000 2.5000101 6.2500102 1.5625102 3.9063103 9.7656104
1.0000 2.5000 6.2500 1.5626101 3.9063101 9.7656101
稳定性 /* Stability */
例：考察初值问题
2.2 单步法的稳定性
y( x ) 30 y( x ) 在区间[0, 0.5]上的解。 y ( 0) 1
分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。
节点 xi 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 欧拉显式 欧拉隐式 改进欧拉法 精确解 小扰动引起了质的改变 ! ye
其中2阶方法
yi 1 yi hK 1 K f (x h , y h K ) 1 i i 1 2 2
Img
的绝对稳定区域为
而显式 1~ 4 阶方法的绝对稳定 Img 区域为
k=4 - 3
0
Re
k=1
k=3 k=2
-2 -1
-3
-2
-1
Re
无条件阶经典龙格-库塔法 /* Classical Runge-Kutta Method */ ：
y i 1 K1 K2 K3 K4
yi h ( K1 2K 2 2K 3 K 4 ) 6 f ( xi , yi )
h f ( xi h , y K1 ) i 2 2 h f ( xi h , y K2 ) i 2 2
1.0000 4.9787102 2.4788103 1.2341104 6.1442106 3.0590107
数值分析第四章数值积分与数值微分
称 f 为区间 a , b 的平均高度.
3、求积公式的构造
若简单选取区间端点或中点的函数值作为平均高度，则 可得一点求积公式如下：
左矩形公式： Iffaba
中矩形公式： Iff a2bba
右矩形公式： Iffbba
左矩形公式： Iffaba
0
0
上述积分称为第二类椭圆积分。
WhatI’st’tshseo Ocorimgipnlaelx that funwcteiocnan?!not
get it.
2. 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示成有限 形式,但表达式相当复杂,计算极不方便. 例如函数:
x2 2x2 3
并不复杂,但它的原函数却十分复杂:
(i) 对所有次数≤m次的多项式 Pm (x,)有
R (P m ) I(P m ) In(P m ) 0
(ii)存在m+1次多项式 Pm1(x),使得
R (P m 1 ) I(P m 1 ) In (P m 1 ) 0
上述定义中的条件(i),(ii)等价于:
( i )R ( x k ) I ( x k ) I n ( x k ) 0 ,( 0 k m )
f x xn1 的余项为零。
由于 f x xn1,所以 fn1xn1!
即得
R(f)hn2 n n (tj)dt 0
j0
引进变换 t u n ,因为 n 为偶数,故 n 为整数,
2
2
于是有
n
R(f)hn2
2 n
2
n (unj)du
且每个波纹以近似 2 英寸为一个周期. 求制做一块波纹瓦所需
铝板的长度L.
这个问题就是要求由函数 f xsinx
数值分析李庆杨版
* r
反之， x *的相对误差限为 若 至少具有n位有效数字.
1 10( n1)，则x * 2(a1 1)
例３要使 20的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？
三、数值运算的误差估计
* * 四则运算，设x1, x2为准确值, x1 , x2为近似值，则误差限：
* * * * ( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 ), * * * * * * ( x1 x2 ) | x1 | ( x2 ) | x2 | ( x1 ), * * * * | x1 | ( x2 ) | x2 | ( x1 ) * * ( x1 / x2 ) . * 2 | x2 |
一、误差来源、分类
模型误差
观测误差
截断误差或方法误差
f (0) f (0) 2 f ( n) (0) n f ( x) Pn ( x) f (0) x x x 1! 2! n! f ( n1) ( ) n1 x 截断误差： Rn ( x) (n 1)! 舍入误差 R 3.14159 0.0000026. 数制转换、机器数.
* r 0.005/9.80 0.000005/ 0.00980.
定理１设近似数x * 表示为
x* 10m (a1 a2 101 al 10(l 1) )
* r
(2.1)
其中a1 0 . 若x * 具有n位有效数字，则其相对 误差限为 1 10( n1)； 2a1
3、常微方程数值解法和偏微方程数值解法
三、数值分析的特点
1 1 n 1 1 ln 2 1 (1) , 2 3 n
ln(1 x) x 2 x3 x , 2 3
反之， x *的相对误差限为 若 至少具有n位有效数字.
1 10( n1)，则x * 2(a1 1)
例３要使 20的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？
三、数值运算的误差估计
* * 四则运算，设x1, x2为准确值, x1 , x2为近似值，则误差限：
* * * * ( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 ), * * * * * * ( x1 x2 ) | x1 | ( x2 ) | x2 | ( x1 ), * * * * | x1 | ( x2 ) | x2 | ( x1 ) * * ( x1 / x2 ) . * 2 | x2 |
一、误差来源、分类
模型误差
观测误差
截断误差或方法误差
f (0) f (0) 2 f ( n) (0) n f ( x) Pn ( x) f (0) x x x 1! 2! n! f ( n1) ( ) n1 x 截断误差： Rn ( x) (n 1)! 舍入误差 R 3.14159 0.0000026. 数制转换、机器数.
* r 0.005/9.80 0.000005/ 0.00980.
定理１设近似数x * 表示为
x* 10m (a1 a2 101 al 10(l 1) )
* r
(2.1)
其中a1 0 . 若x * 具有n位有效数字，则其相对 误差限为 1 10( n1)； 2a1
3、常微方程数值解法和偏微方程数值解法
三、数值分析的特点
1 1 n 1 1 ln 2 1 (1) , 2 3 n
ln(1 x) x 2 x3 x , 2 3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
题中都起了很大的作用,但它并不能完全解决定积分的
计算问题。因为定积分的计算常常会碰到以下三种情
《
况:
数 值
(1)被积函数f(x)的原函数F(x)不易找到。许多很简
分 析
单的函数,例如
》
sin x , 1 , ex2
x ln x
等,其原函数都不能用初等函数表示成有限形式。
第4章 数值积分与数值微分
(2)被积函数f(x)没有具体的解析表达式。其函数关 系由表格或图形表示,无法求出原函数。
n
Ak b a,
k0
n Ak xk
k0
1 (b2 2
a2 ),
(1.4)
《
n Ak xkm
k0
1 (bm1 m 1
am1).
数 值 分
如果我们事先选定求积节点xk，譬如，以区间[a,b] 的等距分点作为节点，这时取m=n求解线性方程组(1.4)
析 》
即可确定求积系数Ak，而使求积公式(1.3)至少具有n次 代数精度。
(3)尽管f(x)的原函数能表示成有限形式但其表达式
《 相当复杂。例如定积分
数 值 分
b dx
a 1 x4
析 》
1 的被积函数 1 x4 的原函数就比较复杂,从数值计算角
度来看,计算量太大。
第4章 数值积分与数值微分
如图4.1,若用左矩形近似地代替曲边梯形,则得到
左矩形公式
b
a f (x)dx (b a) f (a)
数
f (x) x2, 代入(1.4)式的第三式有
值
分 析 》
A0 x02
(bBiblioteka a)( ab)2 2
b
4
a
(a2
b2)
b x2dx 1 (b3 a3 ),
a
3
说明中矩形公式对f (x) x2不精确成立，故它的代数精确度为1.
练习 设有求积公式
1
1 f (x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
试确定系数A0, A1, A2, 使上述求积公式的代数精度尽量高.
三、插值型求积公式
第4章 数值积分与数值微分
在n 1个互异节点a x0 x1 xn b上已知函数值f0,
f1,, fn，就有拉格朗日插值多项式
n
《
数
值
分 析
得到
》
Ln (x) lk (x) fk
k 0
ab f (x)dx abLn (x)dx
为了构造出形如(1.3)式的求积公式，原则上是一个 确定参数xk和Ak的代数问题。
例如n=1时，取x0=a,x1=b,求积公式为
b
I ( f ) a f (x)dx A0 f (a) A1 f (b).
第4章 数值积分与数值微分
在线性方程组(1.4)中令m 1，则得
A0 A1 b a,
《
数 同样可得到右矩形公式
值
分
析
b
》
a f (x)dx (b a) f (b)
中矩形公式
b f (x)dx (b a) f (a b).
a
2
第4章 数值积分与数值微分
《 数 值 分 析 》
图 4.1
第4章 数值积分与数值微分
如图4.2,若用梯形的面积近似地代替曲边梯形的面 积,则得到计算定积分的梯形公式
《
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
(1.1)
数 值
如图4.3,若用抛物线代替曲线f(x),则可得到抛物线
分 析
公式(或辛普生公式)
》
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)] (1.2)
a
6
2
《 数 值 分 析 》
图 4.2
当f(x)=x2时(1.4)式的第三个式子不成立，因为
b a (a2 b2 ) b x2dx 1 (b3 a3).
2
a
3
故梯形公式(1.1)的代数精确度为1.
第4章 数值积分与数值微分
在方程组(1.4)中如果节点xi及系数Ai都不确定，那么方 程组(1.4)是关于xi及Ai(i=0,1,…,n)的2n+2个参数的非线性方 程组。此方程组当n>1时求解是很困难的，但当n=0及n=1的 情形还可通过求解方程组(1.4)得到相应的求积公式。
A 0a
A1b
1 2
(b 2
a2 ),
《
解 得A 0
A1
1（b a）.于是得 2
数 值
I ( f ) b f ( x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
分
析 这就是梯形公式(1.1),它表明利用线性方程组(1.4)推出的求积公式，
》 与用通过两点(a,f(a))与(b,f(b))的直线近似曲线y=f(x)得到的结果一致。
第4章 数值积分与数值微分 图4.3
一般地, 求积公式
第4章 数值积分与数值微分
b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk ),
(1.3)
k 0
式中xk 称为求积节点；Ak 称为求积系数，亦称伴随节点xk的权。
权Ak仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖被积函数f (x)的具体形式。
《 通常称为机械求积公式.
n
ablk (x)dx
fk ,
k 0
即得求积公式
b
n
f (x)dx
a
Ak f k ,
其中Ak
b
a lk (x)dx.
k 0
称为插值型求积公式.
(1.5)
第4章 数值积分与数值微分
它的余项为
b
b f (n1) ( ) n
R[ f ] a
f (x) Ln (x) dx a
《
数 值
当n=0时，
分 析 》
b
I ( f ) a f (x)dx A0 f (x0 ),
其中，A0及x0为待定参数。根据代数精确度定义可令f(x)=1,x, 由方程组(1.4)知
第4章 数值积分与数值微分
A0 b a,
A0 x0
1 2
(b2
a2 ),
《
于是x0
1 2
(a
b).得到的求积公式就是中矩形公式。再令
数 值
二、代数精度的概念
分
析 》
定义1
若一个求积公式 对于所有次数不超过m的多项式
都准确成立,而对于某一个m 1次的多项式等式不准确成
立, 则称该求积公式具有m次代数精度.
一般地，欲使求积公式(1.3)具有m次代数精度，只要令它 对于f (x) 1, x,xm都能准确成立，这就要求
第4章 数值积分与数值微分
第4章 数值积分与数值微分
第4章 数值积分和数值微分
§4.1 引 言
在一元函数的积分学中,我们已经熟知,若函数f(x)
《
数 在区间［a, b］ 上连续且其原函数为F(x) ,则可用牛顿
值 分
―莱布尼兹公式
析
》
b
a f (x)dx F (b) F (a)
第4章 数值积分与数值微分
来求定积分。前面公式虽然在理论上或在解决实际问