《数值分析-李庆杨》第4章 数值积分与数值微分.ppt

《
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
(1.1)
数 值
如图4.3,若用抛物线代替曲线f(x),则可得到抛物线
分 析
公式(或辛普生公式)
》
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)] (1.2)
a
6
2
《 数 值 分 析 》
图 4.2
(3)尽管f(x)的原函数能表示成有限形式但其表达式
《 相当复杂。例如定积分
数 值 分
b dx
a 1 x4
析 》
1 的被积函数 1 x4 的原函数就比较复杂,从数值计算角
度来看,计算量太大。
第4章 数值积分与数值微分
如图4.1,若用左矩形近似地代替曲边梯形,则得到
左矩形公式
b
a f (x)dx (b a) f (a)
试确定系数A0, A1, A2, 使上述求积公式的代数精度尽量高.
三、插值型求积公式
第4章 数值积分与数值微分
在n 1个互异节点a x0 x1 xn b上已知函数值f0,
f1,, fn，就有拉格朗日插值多项式
n
《
数
值
分 析
得到
》
Ln (x) lk (x) fk
k 0
ab f (x)dx abLn (x)dx
数
f (x) x2, 代入(1.4)式的第三式有
值
分 析 》
A0 x02
(b
a)( a
b)2 2
b
4
a
(a2
b2)
b x2dx 1 (b3 a3 ),
a
3
说明中矩形公式对f (x) x2不精确成立，故它的代数精确度为1.
练习 设有求积公式
1
1 f (x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
n
ablk (x)dx
fk ,
k 0
即得求积公式
b
n
f (x)dx
a
Ak f k ,
其中Ak
b
a lk (x)dx.
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k 0
称为插值型求积公式.
(1.5)
第4章 数值积分与数值微分
它的余项为
b
b f (n1) ( ) n
R[ f ] a
f (x) Ln (x) dx a
为了构造出形如(1.3)式的求积公式，原则上是一个 确定参数xk和Ak的代数问题。
例如n=1时，取x0=a,x1=b,求积公式为
b
I ( f ) a f (x)dx A0 f (a) A1 f (b).
第4章 数值积分与数值微分
在线性方程组(1.4)中令m 1，则得
A0 A1 b a,
《
数 同样可得到右矩形公式
值
分
析
b
》
a f (x)dx (b a) f (b)
中矩形公式
b f (x)dx (b a) f (a b).
a
2
第4章 数值积分与数值微分
《 数 值 分 析 》
图 4.1
第4章 数值积分与数值微分
如图4.2,若用梯形的面积近似地代替曲边梯形的面 积,则得到计算定积分的梯形公式
当f(x)=x2时(1.4)式的第三个式子不成立，因为
b a (a2 b2 ) b x2dx 1 (b3 a3).
2
a
3
故梯形公式(1.1)的代数精确度为1.
第4章 数值积分与数值微分
在方程组(1.4)中如果节点xi及系数Ai都不确定，那么方 程组(1.4)是关于xi及Ai(i=0,1,…,n)的2n+2个参数的非线性方 程组。此方程组当n>1时求解是很困难的，但当n=0及n=1的 情形还可通过求解方程组(1.4)得到相应的求积公式。
第4章 数值积分与数值微分 图4.3
一般地, 求积公式
第4章 数值积分与数值微分
b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk ),
(1.3)
k 0
式中xk 称为求积节点；Ak 称为求积系数，亦称伴随节点xk的权。
权Ak仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖被积函数f (x)的具体形式。
《 通常称为机械求积公式.
第4章 数值积分与数值微分
第4章 数值积分和数值微分
§4.1 引 言
在一元函数的积分学中,我们已经熟知,若函数f(x)
《
数 在区间［a, b］ 上连续且其原函数为F(x) ,则可用牛顿
值 分
―莱布尼兹公式
析
》
b
a f (x)dx F (b) F (a)
第4章 数值积分与数值微分
来求定积分。前面公式虽然在理论上或在解决实际问
题中都起了很大的作用,但它并不能完全解决定积分的
计算问题。因为定积分的计算常常会碰到以下三种情
《
况:
数 值
(1)被积函数f(x)的原函数F(x)不易找到。许多很简
分 析
单的函数,例如
》
sin x , 1 , ex2
x ln x
等,其原函数都不能用初等函数表示成有限形式。
第4章 数值积分与数值微分
(2)被积函数f(x)没有具体的解析表达式。其函数关 系由表格或图形表示,无法求出原函数。
n
Ak b a,
k0
n Ak xk
k0
1 (b2 2
a2 ),
(1.4)
《
n Ak xkm
k0
1 (bm1 m 1
am1).
数 值 分
如果我们事先选定求积节点xk，譬如，以区间[a,b] 的等距分点作为节点，这时取m=n求解线性方程组(1.4)
析 》
即可确定求积系数Ak，而使求积公式(1.3)至少具有n次 代数精度。
数 值
二、代数精度的概念
分
析 》
定义1
若一个求积公式 对于所有次数不超过m的多项式
都准确成立,而对于某一个m 1次的多项式等式不准确成
立, 则称该求积公式具有m次代数精度.
一般地，欲使求积公式(1.3)具有m次代数精度，只要令它 对于f (x) 1, x,xm都能准确成立，这就要求
第4章 数值积分与数值微分
A 0a
A1b
1 2
(b 2
a2 ),
《
解 得A 0
A1
1（b a）.于是得 2
数 值
I ( f ) b f ( x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
分
析 这就是梯形公式(1.1),它表明利用线性方程组(1.4)推出的求积公式，
》 与用通过两点(a,f(a))与(b,f(b))的直线近似曲线y=f(x)得到的结果一致。
《
数 值
当n=0时，
分 析 》
b
I ( f ) a f (x)dx A0 f (x0 ),
其中，A0及x0为待定参数。根据代数精确度定义可令f(x)=1,x, 由方程组(1.4)知
第4章 数值积分与数值微分
A0 b a,
A0 x0
1 2
(b2
a2 ),
《
于是x0
1 2
(a
b).得到的求积公式就是中矩形公式。再令