典型立体几何模型的应用

典型立体几何模型的应用

广东 张胜潮

内容摘要：立体几何在高考中是重点考查的题目，考查空间想象能力、看图、画图、理解图的能力。典型的立体几何模型是我们常见的模型，如果能引入到解题中，可以将一些复杂问题简单化，另外本文介绍了一些典型立体几何模型的一些性质。

关键词：立体几何，典型，应用，立体几何模型。

学习立体几何要有准确的空间想象能力，有看图、画图、理解图能力，同时具有必要的逻辑推理能力，运算能力.在复习立体几何的时候，往往一些典型的空间模型可以起到从特殊到一般的作用，故我们可以利用典型的空间模型复习立体几何。

典型的空间模型就是典型的空间环境，利用典型的空间模型可以很顺利地解决高考中大型的立体几何题.

立体几何的概念、法则、定理都是在一定的“几何环境”中形成的，我们把它叫做几何环境，典型的空间模型就是典型的几何环境，许多同学对典型的几何环境理解地不深，他们把它当做佷一般的一道题解，所以在高考出现了很多很多与典型空间模型相关的甚至很难的大型立体几何题的时候，他们也感觉到上不去手.

下面的例题在高考中学生做得并不顺利，其原因就是典型的空间模型认识不足，利用典型的空间模型、熟悉几何环境意识不够.以下分几部分进行阐述 一、长方体模型

1.长方体1111ABC D A B C D -中1B D 是长方体的对角线，它有几个结论：

①体对角线长是：1B D =

②体的对角线与一个端点的三条棱所成的角分别为,,αβγ，则

2

2

2

cos cos cos 1αβγ++=

a

1

B 1

A 1

C

A

③考虑四面体11B C A D -是对棱长分别相等的四面体，

即111111,,A B D C BC D A D B A C ===

. 例1 某四面体异面对棱的棱长分别相等，分别是,,a b c ，求四面体的体积. 分析：做起来很简单，只要把这个四面体嵌入到棱长分别为,,x y z 的长方体中， 如图，由2222

22

222,,.a x y b y z c z x ⎧=+⎪=+⎨⎪=+⎩把222,,x y z 看作三个元，解这个三元方程组得：

222

2222

2222

2,2

,2.2a c b x a b c

y b c a z ⎧+-=

⎪⎪

+-⎪=

⎨⎪

⎪+-=

⎪⎩

这样,,x y z 都可以用这个四面体的对棱长来表达.

所以1463xyz V xyz xyz =-⨯

==

.

四面体中异面对棱长分别为,,a b c 的四面体的体积的算法——嵌入法.这种方法叫做嵌入法，“嵌入”的意思就是把不容易找到体积的空间图形放到能够嵌住的一个大的长方体，而那个大的长方体的体积是比较好求的.这就是长方体模型的一个利用.

例

2

如图，三棱锥

P A B -中，

A

P

B B

P C ∠=

∠

=∠=90 ，M

在△ABC 内，

60,4M P A M P B ∠=∠=

，求M P C ∠的度数.

分析：在三棱锥内部嵌入一个长方体，长方体的三个面与

三棱锥的三个面是吻合的，这样PM 是这个长方体的对角线.

根据22

2

c o s c o s c o s 1M P B M P C M P A ∠+∠+∠=，可

得2

1c o s 4

M P C ∠=

，从而60MPC ∠=

.如果在图中随便连

x

1B 1

A 1

C

A

P

C

P

C

MC ，解△MPC 那恐怕不是好办法.

这说明思路不同常常造成解题繁简相差是很大的.我们这个题比较成功的是把长方体嵌到三棱锥里面去，而这个三棱锥是一个大长方体的一个角，以PM 为对角线的长方体嵌到三棱锥P A B C -是完全可能的.

例 3 四棱锥P A B C D -中，A B C D 是矩形，4,12,,A B B C P A A B C D ==⊥面3P A =，求PC 与BD

的成角的余弦值.

解：延长AB 到E ，使AB ＝BE ，连结EP 、EC

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

,

3873124160

Rt PAE PE PA AE Rt C BE C E BC BE =+=+==+=+= 中中

在∆PCE 中，cos P C E ∠＝

2

2

2

2PC CE PE

PC PE

+-⋅

＝

65

所以PC 与BD

65

点评：长方体模型对于确立P C E 起了很大的作用.

二、长方体的“一角”模型

在三棱锥P A B C -中，,,PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥，且,,PA a PB b PC c ===.

①以P 为公共点的三个面两两垂直； ②△ABC 是锐角三角形

证明：设,,PA a PB b PC c === △ABC 中

D

B

E

C

A