矢量场函数的散度
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矢量场的通量和散度
divA lim
AdV
V
lim ( A)P V
V 0
V
V 0
V
divA A
二、矢量场的散度(divergence)
A Ax Ay Az x y z
散度小结： 1. 矢量场的散度是一个标量，它是描述矢量场中
பைடு நூலகம்任一点发散性质的量； 2. 散度代表矢量场的通量源的分布特性：
A 0 (正源) A 0 (负源) A 0 (无源)
矢量场的通量和散度
➢ 本节的研究目的
寻找能够度量和刻画矢量场变化情况的 量 散度是描述矢量场中任一点发散性质 的量
➢ 本节的研究内容
一、矢量场的通量 二、矢量场的散度
一、矢量场的通量
在矢量场中，取一个有向曲面 S ，则矢量场A 在 S 上的面积分称为矢量 A 穿过曲面 S 的通量，即
Φ
A dS
二、矢量场的散度(divergence)
散度小结：
A 0 (正源) A 0 (负源) A 0 (无源)
3. 在矢量场中，若 A 0 ， 称之为有源场， 称为(通量)源密度；
4. 若场中处处 A 0 ，称之为无源场。
本节要点
➢ 本节的研究目的
寻找能够度量和刻画矢量场变化情况的量 ——散度（分析矢量场的工具之一）
S
S A endS
A
S
en
一、矢量场的通量
通量的物理意义：不同物理量的通量意义不同。
以流速场为例，流速场 v 的通量表示单位时间 内流体穿过S 的流量。
v
S
en
Φ v dS S
表示穿出闭合
S面的净流量
en
一、矢量场的通量
根据通量的大小判断闭合面中源的性质：
第7讲矢量场的通量及散度1
2 2 2 2 2 2
且 ( xi , yi , zi ) 是在 li 内的一点。
2.（弧长）曲线积分（介绍） 如果（1）式的极限存在，则称该极限为数量场
u ( x, y, z ) 在曲线 L 上对弧长的曲线积分，记作
线积分。
L
u ( x, y, z )dl
式中L为积分的曲线路径；通常称其为第Ι型曲
2. 曲线积分
3. 曲面积分
4. 通量和源 5. 散度的定义 以上内容基本上是高等数学的复习！ 教材：第2章，第3节
4.通量和源：通量 定义：设有矢量场
一侧的曲面积分： An dS A dS
S S
A(M )，沿其中有向曲面 S
某
为矢量场 A(M ) 向积分所沿一侧穿过曲面
上式表明，通量是可以叠加的。
4.通量和源：通量 在直角坐标系中： 又： dS ndS
A P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
dS cos(n, x)i dS cos(n, y) j dS cos(n, z)k
z
S i
S
y
x
o
D
( xk , yk , zk )
( k ) x y
一般的曲面方程为：F ( x, y, z ) 0
曲面方程可以改写为：
F F F 法线方程为： n i j k x y z
z f ( x, y) 或 f ( x, y) z 0 z z 法线方程为： n ( )i ( ) j k x y
一个圆锥面 x2 y 2 z 2及平面 z H (H 0)所围成的封闭
且 ( xi , yi , zi ) 是在 li 内的一点。
2.（弧长）曲线积分（介绍） 如果（1）式的极限存在，则称该极限为数量场
u ( x, y, z ) 在曲线 L 上对弧长的曲线积分，记作
线积分。
L
u ( x, y, z )dl
式中L为积分的曲线路径；通常称其为第Ι型曲
2. 曲线积分
3. 曲面积分
4. 通量和源 5. 散度的定义 以上内容基本上是高等数学的复习！ 教材：第2章，第3节
4.通量和源：通量 定义：设有矢量场
一侧的曲面积分： An dS A dS
S S
A(M )，沿其中有向曲面 S
某
为矢量场 A(M ) 向积分所沿一侧穿过曲面
上式表明，通量是可以叠加的。
4.通量和源：通量 在直角坐标系中： 又： dS ndS
A P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
dS cos(n, x)i dS cos(n, y) j dS cos(n, z)k
z
S i
S
y
x
o
D
( xk , yk , zk )
( k ) x y
一般的曲面方程为：F ( x, y, z ) 0
曲面方程可以改写为：
F F F 法线方程为： n i j k x y z
z f ( x, y) 或 f ( x, y) z 0 z z 法线方程为： n ( )i ( ) j k x y
一个圆锥面 x2 y 2 z 2及平面 z H (H 0)所围成的封闭
矢量场的通量和散度
S A endS
A
S
en
一、矢量场的通量
通量的物理意义：不同物理量的通量意义不同。
以流速场为例，流速场 v 的通量表示单位时间 内流体穿过 S 的流量。
v
S
en
Φ S v dS
表示穿出闭合
S面的净流量
en
一、矢量场的通量
根据通量的大小判断闭合面中源的性质：
>0
(有正源)
<0
=0
(有负源) (无源或正负源同时存在)
散度是描述矢量场中任一点发散性质的量
通量无法说明闭合面内每一点处的性质，怎么办？
二、矢量场的散度(divergence)
1.散度的定义
divA lim S A dS
V 0 V S
矢量场 A 在点
M
M处的散度
V 0
单位体积发出的 通量—通量体密度
二、矢量场的散度(divergence)
1.散度的定义
S
M
V 0
divA lim S A dS
情况的量 散度是描述矢量场中任一点发散性质的量
本节的研究内容
一、矢量场的通量 二、矢量场的散度
一、矢量场的通量
在上矢 的量面场积中 分， 称取 为一 矢个 量有A 向穿曲过面曲面S ，S则的矢通量量场，A即在
S
Φ
A dS
S
V
lim ( A)P V
V 0
V
V 0 V
divA A
二、矢量场的散度(divergence)
A Ax Ay Az x y z
散度小结： 1. 矢量场的散度是一个标量，它是描述矢量场中
任一点发散性质的量； 2. 散度代表矢量场的通量源的分布特性：
电磁场与电磁波--矢量场的散度及旋度
evz Fz
v F
1.4 矢量场的通量和散度
散度的表达式：
直角坐标系
v F
Fx
Fy
Fz
x y z
圆柱坐标系
v F
1 h h hz
h hz F
h hz F
z
h h Fz
1( F ) 1FFz z球坐标系
v F
1 hr h h
r
(h h Fr )
(hr h F
)
F
(hr
h
F
)
1 r2
方向相反大小 相等结果抵消
n
S
C
图 1.曲5.5 面曲面的的剖划分分
1.5 矢量场的环流与旋度
4. 散度和旋度的区别
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
1.5 矢量场的环流与旋度
例1 .5 点电荷q在离其 rv处产生的电场强度为
1.4.4 散度定理
从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等 于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即
vv
v
ÑS F dS V FdV
高斯（散度）定理
散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁 理论中有着广泛的应用。
1.4 矢量场的通量和散度
vv
v div F
r div F 0
1.4 矢量场的通量和散度
直角坐标系下散度表达式的推导
不失一般性，令包围P点的 微体积V 为一直平行六面 体，如图所示。则
蜒S Fv
v dS
S
2.3 散度
(即规定了正反面的曲面 . )
求在单位时间内流向S 正面的流量 .
v
n
n
用元素法 .
ds
在单位时间内流经面积元素 dS 的流量元素 0 d (v n ) d S v dS
0 其中 dS n d S 为有向面积元素 .
v dS
《场论初步》
§2.3
矢量场的通量及散度
Flux and Divergence of Vector Field
主要内容
1. 通量 2. 散度 教材：第2章 第3节
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
1
《场论初步》
§2.3
矢量场的通量及散度
一、通量
不可压缩流体流速为 v (不变) ,
平面 上有洞面积为 s ,
> 0 (有正源) < 0 (有负源) = 0 (无源) 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合 曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系, 用来描 述空间某一范围内场的发散或会聚具有局域性质，不 能反映空间一点的情况.
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
7
《场论初步》
例1 已知矢量场 r xi yj zk ，求由内向外穿过
单位法向量为 n (指向正侧 ) .
n
v
s
在单位时间内从 s 中流过的流体的体积 (流量)
s v cos v n s
(1)
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
2
《场论初步》
§2.3
求在单位时间内流向S 正面的流量 .
v
n
n
用元素法 .
ds
在单位时间内流经面积元素 dS 的流量元素 0 d (v n ) d S v dS
0 其中 dS n d S 为有向面积元素 .
v dS
《场论初步》
§2.3
矢量场的通量及散度
Flux and Divergence of Vector Field
主要内容
1. 通量 2. 散度 教材：第2章 第3节
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
1
《场论初步》
§2.3
矢量场的通量及散度
一、通量
不可压缩流体流速为 v (不变) ,
平面 上有洞面积为 s ,
> 0 (有正源) < 0 (有负源) = 0 (无源) 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合 曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系, 用来描 述空间某一范围内场的发散或会聚具有局域性质，不 能反映空间一点的情况.
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
7
《场论初步》
例1 已知矢量场 r xi yj zk ，求由内向外穿过
单位法向量为 n (指向正侧 ) .
n
v
s
在单位时间内从 s 中流过的流体的体积 (流量)
s v cos v n s
(1)
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
2
《场论初步》
§2.3
矢量场的散度
第六节：矢量场的散度
主要内容： 一、矢量场散度的定义 二、矢量场散度的计算 三、矢量场散度的性质 四、例题
一、矢量场散度的定义
1、矢量场的平均散发量； 在直角指标系中， a( x, y, z ) a x ( x, y, z ) i a y ( x, y, z ) j a z ( x, y, z )k
lim
V M
a x a y a z 1 ( )dV lim[ a(M )] 0 V v x y z V M
a x a y a z diva a x y z
所以高斯定理还可以记 为： a x a y a z a ds ( )dV divadV x y z s v
称为矢量场 设流体的流速为 a，单位时间内流过 曲面s的的流量为 Q a ds
s
现设S是一个封闭曲面， V是所包围的体积 , a ds 则 s 就是单位时间从单位体 积发散出的量。 V 称为平均发散量。
2、散度的定义
在矢量场任意点处，作一闭合的曲面，当曲面包围的 体积趋于零时有；
如果有极限
lim
V M
s V M
a ds
s
V
。
就是矢量场a在M点的散度。
记为：diva ( M ) lim
a ds V
注意：（ 1 ）矢量场某点的散度是 标量； （2）当diva 0时，表示点是流出的源 ，
其值表示源强度。 (3)当小于零时，表示点是 吸收的洞，其值表示洞 的强度。 （4）当diva(M ) 0表示点为无源无洞。
f df r x f (r ) x dr x r
主要内容： 一、矢量场散度的定义 二、矢量场散度的计算 三、矢量场散度的性质 四、例题
一、矢量场散度的定义
1、矢量场的平均散发量； 在直角指标系中， a( x, y, z ) a x ( x, y, z ) i a y ( x, y, z ) j a z ( x, y, z )k
lim
V M
a x a y a z 1 ( )dV lim[ a(M )] 0 V v x y z V M
a x a y a z diva a x y z
所以高斯定理还可以记 为： a x a y a z a ds ( )dV divadV x y z s v
称为矢量场 设流体的流速为 a，单位时间内流过 曲面s的的流量为 Q a ds
s
现设S是一个封闭曲面， V是所包围的体积 , a ds 则 s 就是单位时间从单位体 积发散出的量。 V 称为平均发散量。
2、散度的定义
在矢量场任意点处，作一闭合的曲面，当曲面包围的 体积趋于零时有；
如果有极限
lim
V M
s V M
a ds
s
V
。
就是矢量场a在M点的散度。
记为：diva ( M ) lim
a ds V
注意：（ 1 ）矢量场某点的散度是 标量； （2）当diva 0时，表示点是流出的源 ，
其值表示源强度。 (3)当小于零时，表示点是 吸收的洞，其值表示洞 的强度。 （4）当diva(M ) 0表示点为无源无洞。
f df r x f (r ) x dr x r
矢量场散度的定义与计算
1.6 矢量场的散度
1. 矢量场的矢线（场线） 2. 矢量场的通量 3.散度的定义 4.散度的计算 5.散度定理
1. 矢量场的矢线（场线）：
在矢量场中，若一条曲线上每
一点的切线方向与场矢量在该点的
+
-
方向重合，则该曲线称为矢线。
2. 通量： 定义：如果在该矢量场中取一曲面S， 通过该曲面的矢线量称为通量。
S2 F dS2
S3 F dS3
S4 F dS4
S5 F dS5
S6 F dS6
4.散度的计算： 在直角坐标系中，如图做一封闭
曲面，该封闭曲面由六个平面组成。 矢量场表示为：
F Fxaˆx Fyaˆy Fzaˆz
z
S6
S1
S3
S4
S2
S5
y
x
F dS S
S1 F dS1
S2 F dS2
常用坐标系中，散度的计算公式
直角坐标系中： 圆柱坐标系中：
F Fx Fy Fz x y z
F 1 (Fr r) 1 F Fz
rR 2FR R
)
1
Rsin
(F
sin
)
1
Rsin
F
正交曲线坐标系中： F
1
Fu1 h 2 h 3
(Fu2
h1h3
F S
dS
Fxx
Fy y
Fz z
xyz
z
S3 S2
x
S6
S1
S4
S5
y
该闭合曲面所包围的体积： V xyz
散度： divF
F dS
S
Fx Fy Fz
lim V0 V
x y z
1. 矢量场的矢线（场线） 2. 矢量场的通量 3.散度的定义 4.散度的计算 5.散度定理
1. 矢量场的矢线（场线）：
在矢量场中，若一条曲线上每
一点的切线方向与场矢量在该点的
+
-
方向重合，则该曲线称为矢线。
2. 通量： 定义：如果在该矢量场中取一曲面S， 通过该曲面的矢线量称为通量。
S2 F dS2
S3 F dS3
S4 F dS4
S5 F dS5
S6 F dS6
4.散度的计算： 在直角坐标系中，如图做一封闭
曲面，该封闭曲面由六个平面组成。 矢量场表示为：
F Fxaˆx Fyaˆy Fzaˆz
z
S6
S1
S3
S4
S2
S5
y
x
F dS S
S1 F dS1
S2 F dS2
常用坐标系中，散度的计算公式
直角坐标系中： 圆柱坐标系中：
F Fx Fy Fz x y z
F 1 (Fr r) 1 F Fz
rR 2FR R
)
1
Rsin
(F
sin
)
1
Rsin
F
正交曲线坐标系中： F
1
Fu1 h 2 h 3
(Fu2
h1h3
F S
dS
Fxx
Fy y
Fz z
xyz
z
S3 S2
x
S6
S1
S4
S5
y
该闭合曲面所包围的体积： V xyz
散度： divF
F dS
S
Fx Fy Fz
lim V0 V
x y z
第8讲矢量场的通量及散度2
S
通量和散度之间的关系，即穿过封闭曲面
通量，等于 S 所围的区域 重积分。
S
的
上的散度在 上的三
推论2：若在封闭曲面
S
S 内处处有 divA 0 ，则
A dS 0
若封闭曲面内无源，则通量为零。
1.散度
推论3：若在矢量场
A 内的某些点（或区域上）
有 divA 0 或 divA 不存在，而在其它点上都 有 divA 0 ，则穿过包围这些点（或区域）的任
r x r y r z , , x r y r z r
x y z 1 1 div(ra ) a x a y a x (a x x a y y a x z ) (a r ) r r r r r
1.散度 例：已知 求 div(ra) 。
通量在直角坐标系中表示为，
l
A dl
n l
A n dl
l
( Pdy Qdx)
2.平面矢量场的通量和散度
格林定理（Green）：设函数 有界闭域
P( x, y) 和 Q( x, y)在
D上有一阶连续偏导数，D的边界 l
y
是
逐段光滑的，则有
Q P ( Pdy Qdx) ( )dxdy x y D l
在任一点 M ( x, y, z) 处的散度为：
P Q R divA x y z
由该定理可以得到以下几个重要的推论。 推论1：高斯定理可以写成矢量形式
A dS divAdV
S
1.散度
A dS divAdV
《矢量分析与场论》
第8讲 矢量场的通量及散度（2）
通量和散度之间的关系，即穿过封闭曲面
通量，等于 S 所围的区域 重积分。
S
的
上的散度在 上的三
推论2：若在封闭曲面
S
S 内处处有 divA 0 ，则
A dS 0
若封闭曲面内无源，则通量为零。
1.散度
推论3：若在矢量场
A 内的某些点（或区域上）
有 divA 0 或 divA 不存在，而在其它点上都 有 divA 0 ，则穿过包围这些点（或区域）的任
r x r y r z , , x r y r z r
x y z 1 1 div(ra ) a x a y a x (a x x a y y a x z ) (a r ) r r r r r
1.散度 例：已知 求 div(ra) 。
通量在直角坐标系中表示为，
l
A dl
n l
A n dl
l
( Pdy Qdx)
2.平面矢量场的通量和散度
格林定理（Green）：设函数 有界闭域
P( x, y) 和 Q( x, y)在
D上有一阶连续偏导数，D的边界 l
y
是
逐段光滑的，则有
Q P ( Pdy Qdx) ( )dxdy x y D l
在任一点 M ( x, y, z) 处的散度为：
P Q R divA x y z
由该定理可以得到以下几个重要的推论。 推论1：高斯定理可以写成矢量形式
A dS divAdV
S
1.散度
A dS divAdV
《矢量分析与场论》
第8讲 矢量场的通量及散度（2）
N0.3-4--第一章 标量场的梯度 矢量场的散度旋度 亥姆定理及矢量场的分类
div A = A
可以证明, 散度运算符合下列规则:
(A ± B ) = A ± B (φ A ) = φ A ± A φ
20
1.2通量 散度、 通量、 §1.2通量、散度、散度定理
三、高斯散度定理
矢量场的散度代表其通量的体密度,因此散度的体积分 等于穿过包围该体积封闭面的总通量:
（1）开曲面：沿封闭曲线 n的取法：
l 的绕行方向按右手螺旋的拇指方向
（2）封闭面： 取为封闭面的外法线方向 外法线方向
14
矢量A穿过整个曲面S的通量:
Φ = ∫ A ds = ∫ A nds
s s
如果S是一个封闭面, 则
Φ = ∫ A ds
S
15
1.2通量 散度、 通量、 §1.2通量、散度、散度定理
22
1.2通量 散度、 通量、 §1.2通量、散度、散度定理
同理
D y
q r 2 3y 2 = y 4π r5
D z q r 2 3z 2 = z 4π r5
故
Dx D y Dz q 3r 2 3( x 2 + y 2 + z 2 ) D = + + = =0 5 x y z 4π r
可见，除了点电荷所在源点 (r = 0)外，空间各点的电通密度散度均为 ，它是管形场 。 空间各点的电通密度散度均为0， 可见，
（C点）
电偶极子的电力线和等位线 17
1.2通量 散度、 通量、 §1.2通量、散度、散度定理
b) 散度的分量表示式
穿过包围点P(x,y,z)的无穷小体积 v = xyz 的通量： 的通量： 计算 A 穿过包围点 的无穷小体积 右边向外流出的通量： A 穿过右边 右边
矢量场的通量及散度.
div(cA) cdivA div( A B) div( A B) div( A) divA grad A
xyz e , r xi yj zk 例4 已知 求 div r
第二章 场论 第四节矢量场的环量及旋度 质点沿封闭曲线L运转一周时，场力F所做的功
r dS xdydz ydxdz zdxdy
s1 s1
Hdxdy H dxdy H 3
x
1
1
r
s2 s1
dS rn dS 0dS 0
s2 s2
r dS r dS H 3
s2
第二章 场论 2)通量为正、为负、为零时的物理意义 在一般的矢量场A(M)中，对于穿出封闭面S的通量Φ ，当其不为 零的时候，我们视其为证或者为负而说S内产生有通量Φ 的正源 或负源对于源的实际意义如何，视具体的物理场而定 例2 在点电荷q所产生的电场中，任何一点M处的电位移矢量为 q n D r 2 4 r 求从内穿出S的电通量Φ
在任一点M(x,y,z)的散度是
divA P q R x y z
第二章 场论
A dS Pdydz Qdxdz Rdxdy
s s
P q R ( )dV x y z P q R x y z V 根据中值定理有 M 其中M′为在Δ Ω 内的一点，由此
M s
D dS
s
q 4 R 2
r
dS
q 4 R 2
q 2 dS 4 R q 2 4 R s
第二章 场论 2 散度
divA lim lim M V M
xyz e , r xi yj zk 例4 已知 求 div r
第二章 场论 第四节矢量场的环量及旋度 质点沿封闭曲线L运转一周时，场力F所做的功
r dS xdydz ydxdz zdxdy
s1 s1
Hdxdy H dxdy H 3
x
1
1
r
s2 s1
dS rn dS 0dS 0
s2 s2
r dS r dS H 3
s2
第二章 场论 2)通量为正、为负、为零时的物理意义 在一般的矢量场A(M)中，对于穿出封闭面S的通量Φ ，当其不为 零的时候，我们视其为证或者为负而说S内产生有通量Φ 的正源 或负源对于源的实际意义如何，视具体的物理场而定 例2 在点电荷q所产生的电场中，任何一点M处的电位移矢量为 q n D r 2 4 r 求从内穿出S的电通量Φ
在任一点M(x,y,z)的散度是
divA P q R x y z
第二章 场论
A dS Pdydz Qdxdz Rdxdy
s s
P q R ( )dV x y z P q R x y z V 根据中值定理有 M 其中M′为在Δ Ω 内的一点，由此
M s
D dS
s
q 4 R 2
r
dS
q 4 R 2
q 2 dS 4 R q 2 4 R s
第二章 场论 2 散度
divA lim lim M V M
《矢量分析与场论》 矢量场的通量及散度
q •o
径为 R 的球面的通量。
x
y
R
解：电位移矢量为
D
qr
4r 3
q
4r 2
r r
q
4r 2
r
r r x2 y2 z2
根据通量的定义，有 球面外法向单位矢量
D • dS
S
n
r
dS
ndS
r
在球面上有
rR
4.通量和源
为 n 个弧长小段，第 i 段有，
li (xi1 xi )2 ( yi1 yi )2 (zi1 zi )2 xi2 yi2 zi2
且 (i ,i , i ) 是在 li 内的一点。
2.曲线积分
如果（1）式的极限存在，则把该极限称之为数
量场u(x, y, z) 在曲L线 上对弧长的曲线积分，记 作
y
o
x
D
( k ) x y (k ,k , k )
3.曲面积分
(i ,i , i ) 是 曲 面 上 的Si 一 点 ，
若式（2）的极限存在，则称
z
S Si
y
为数量场
u(x, y在, z曲) 面上 x o
的面积曲面积分，也称为第I
D
型曲面积分。记作
( k )x y (k ,k , k )
最后得到：
(Axdydz Aydxdz Azdxdy)
为矢量函数
A(
S
x,
y,
z
)
对坐标的曲面积分，也称为
第II型曲面积分。
在上式中，被积函数 Ax , Ay , Az中的 x, y, z 并不独立， 受曲面 S 的约束。
场论标量场的梯度矢量场的散度和旋度
S V
高斯定理
散度定理 The divergence theorem
散度定理：
既然矢量的散度代表的通过一个点流出或流入量的大小, 因此矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封 闭面的总通量, 即
V 上式称为散度定理, 也称为高斯定理。
Adv A ds
场物质的守恒定律
高斯定理的物理意义： 从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。 从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的场和包围区域 V 的闭合面 S 上 的场之间的关系。 如果已知区域 V 中的场，根据高斯定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。
L
A dl
ΔS0
ΔS
这个极限的意义就是在一个点上的环流的面密度, 或称环量强度。Curl(A)叫做旋度。任 意方向的曲面的环流强度是旋度在这个方向上面的投影。 旋度的物理意义
1) 矢量A的旋度是一个矢量, 其大小是矢量A在给定点处的最大环量面密度, 其方向就是当面元的取向使环量
面密度最大时, 该面元矢量的方向 2) 3) 它描述A在该点处的旋涡源强度。 若某区域中各点curl A=0, 称A为无旋场或保守场。 。
Ax dx Ay dy Az dz
L
A dl
L
0 0 0
越大/越小, 说明什么？
旋度的定义和运算
1、定义： 为反映给定点附近的环量情况, 我们把封闭曲线收小, 使它包围的面积ΔS 趋近于零, 取极限
ˆ lim curl(A) n
固定 R 时, 沿着梯度方向移动 T 变化最大.
多元函数的梯度:
T ( x) T e1 x
T ( x, y ) T T e1 e2 x y
高斯定理
散度定理 The divergence theorem
散度定理：
既然矢量的散度代表的通过一个点流出或流入量的大小, 因此矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封 闭面的总通量, 即
V 上式称为散度定理, 也称为高斯定理。
Adv A ds
场物质的守恒定律
高斯定理的物理意义： 从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。 从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的场和包围区域 V 的闭合面 S 上 的场之间的关系。 如果已知区域 V 中的场，根据高斯定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。
L
A dl
ΔS0
ΔS
这个极限的意义就是在一个点上的环流的面密度, 或称环量强度。Curl(A)叫做旋度。任 意方向的曲面的环流强度是旋度在这个方向上面的投影。 旋度的物理意义
1) 矢量A的旋度是一个矢量, 其大小是矢量A在给定点处的最大环量面密度, 其方向就是当面元的取向使环量
面密度最大时, 该面元矢量的方向 2) 3) 它描述A在该点处的旋涡源强度。 若某区域中各点curl A=0, 称A为无旋场或保守场。 。
Ax dx Ay dy Az dz
L
A dl
L
0 0 0
越大/越小, 说明什么？
旋度的定义和运算
1、定义： 为反映给定点附近的环量情况, 我们把封闭曲线收小, 使它包围的面积ΔS 趋近于零, 取极限
ˆ lim curl(A) n
固定 R 时, 沿着梯度方向移动 T 变化最大.
多元函数的梯度:
T ( x) T e1 x
T ( x, y ) T T e1 e2 x y
1.3 工程电磁场 矢量场的通量和散度
的积分只剩下 此，当体积 τ 由N
i个小、体积j 外元表组面成上时的，通穿量出，体因积
τ的通量就等于限定它的闭合面 S 上的通量。
N
N
i 1
lim (
i 0
A)
i
i 1
A dS
Si
证毕
即 ( A)d A dS
divA ＝0： 该点无源。
散度是标量。
2019/5/30
7
2 、散度在直角坐标系中的表示式：
divA
Ax
Ay
Az
x y z
矢量微分算子 ： “ ” 读作 nabla 或 del
ex
x
ey
y
ez
z
当作矢量看待
即
divA
(ex
A dS
divA
lim S
0
散度是标量
散度的意义：表示场中任意一点M处，通量对 体积的变化率。也称为 “通量源密度”。
2019/5/30
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讨论：
divA
lim
A dS
S
0
divA ＞0：该点有发出通量线的正源；
divA ＜0： 该点有吸收通量线的负源；
S
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11
例A ： e设xx球面eySy上 e任z z意, 点求的位SA置 d矢S量. 为
R
解：根据散度定理
Ad A dS
S
而 A的散度为
矢量场的散度名词解释
矢量场的散度名词解释矢量场是数学中一个重要的概念，常见于物理学和工程学中的描述和分析问题。
散度作为矢量场的一个重要性质，具有深远的意义。
本文将对矢量场的散度进行一个名词解释，并探讨其在数学和物理领域中的应用。
一、矢量场的定义矢量场可以理解为在空间中的每个点上存在一个矢量，这个矢量可以表示某种物理量的大小和方向。
比如，速度场中的矢量可以表示每个点处的速度大小和方向。
形式上，矢量场可以用一个函数来描述，该函数将每个点和一个矢量相对应。
我们可以将矢量场看作是一个从空间到矢量的映射。
二、散度的定义矢量场的散度描述了在每个点上的矢量变化的“量级”。
在物理学中，我们常常将散度理解为物质或能量的流量。
正式地说，给定一个矢量场F=(F1,F2,F3)，其中F1、F2和F3分别表示空间中的x、y和z方向上的分量，那么矢量场的散度定义为散度向量D=(∂F1/∂x, ∂F2/∂y, ∂F3/∂z)的数量。
散度的物理解释是，如果在一个点上的矢量场的散度为正，表示该点上的物质或能量在单位时间内正方向上流入。
而如果散度为负，则表示物质或能量在单位时间内反方向上流出。
对于散度为零的情况，表示物质或能量在这个点周围没有流动。
三、散度的计算在计算散度时，我们使用偏导数来描述矢量场在各个方向上的变化率。
比如，如果F=(x^2, 3y^2, z^2)，那么我们可以计算出∂F1/∂x=2x、∂F2/∂y=6y和∂F3/∂z=2z，从而得到该矢量场的散度向量D=(2x, 6y, 2z)。
四、散度的应用散度作为矢量场的一个重要性质，在数学和物理领域中有着广泛的应用。
1. 流体力学中的应用：在流体力学中，散度描述了流体的流动情况。
例如，对于一个速度场，散度表示了流体的源和汇，以及流体流动的强度。
这对于分析流体流动和设计管道系统非常重要。
2. 电磁学中的应用：在电磁学中，电场和磁场都可以看作是矢量场。
通过计算电场和磁场的散度，可以得到电荷和电流的分布情况，从而研究电磁学现象。
[详解]散度,旋度,梯度
![[详解]散度,旋度,梯度](https://img.taocdn.com/s3/m/416b8d99e43a580216fc700abb68a98271feacde.png)
散度散度（divergence）的概念：在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值∮F·d S/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。
div F=▽·F气象学：散度指流体运动时单位体积的改变率。
简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。
用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。
表示辐合、辐散的物理量为散度。
微积分学→多元微积分→多元函数积分：设某量场由A(x,y,z) = P(x,y,z)i+ Q(x.y,z)j+ R(x,y,z)k给出，其中P、Q、R 具有一阶连续偏导数，Σ 是场内一有向曲面，n是Σ 在点(x,y,z) 处的单位法向量，则∫∫A·n dS 叫做向量场A通过曲面Σ 向着指定侧的通量，而δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场A的散度，记作div A，即div A= δP/δx + δQ/δy + δR/δz。
上述式子中的δ 为偏微分（partial derivative）符号。
梯度gradient设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。
如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。
在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。
标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。
更严格的说，从欧氏空间R n到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。
在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。
在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。
2.3矢量场的通量及散度
s
A(r ) dS v
v 0
2、散度的物理意义 1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；
2) 矢量场的散度是一个标量；
3) 矢量场的散度是空间坐标的函数；
4) 矢量场的散度值表征空间中通量源的密度（分布特性）。
某一点的散度是指在以该点为中心的邻域内单位体积中 的通量源----通量源密度。
2. 矢量场的旋度
旋度是一个矢量，
模值等于环量密度的最大值； 方向为最大环量密度的方向。 用 rot A 表示，即：
rot A n lim
c
A dl S
max
S 0
ˆ 表示矢量场旋度的方向； 式中：n
3. 旋度的物理意义
1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数； 旋度完整的反映了矢量场的旋涡在各点上的分布情况。 而某个方向的环量密度是旋度在该方向上的投影。 2）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度； 旋度可以反映引起矢量场旋涡的源（旋度源）在空间的 分布情况。
Ax
y
Ay
ˆ A
ˆ y
ˆ z
A
ˆ 1 A
z
Az
1 A r 2 sin r
Ar
ˆ r
ˆ r
rA
r sin A
ˆ r sin
可以看出，旋度是对矢量场的一种微分运算，描述矢量场 在空间的某种变化情况。
通量反映的是大面积上的积分量，不能说明体积内每一点的性质。如果包围点M 的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点M 时, 通量与体积之比的极限存在， 即：
在M 点处的散度为： 为 V ，则定义场矢量 A(r )
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